1140822 EST PDF 07 Probabilidade

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PROBABILIDADE
ESTATÍSTICA BÁSICA
ZOOTECNIA S2
PROF. JEFTÉ SILVA
INTRODUÇÃO
 A probabilidade que mede a possibilidade de que um evento venha a ocorrer 
representa uma parte importante da estatística.
 Representa a base da estatística inferencial.
 A teoria da probabilidade é utilizada para avaliar a incerteza envolvida nessas 
decisões.
 Por exemplo a estimativa das vendas para o próximo ano, para uma empresa, é 
baseada em muitas premissas, algumas das quais podem vir a ser verdadeiras, 
enquanto outras não.
EXPERIMENTO, 
RESULTADOS E ESPAÇO 
AMOSTRAL
PROBABILIDADE
EXPERIMENTO
 Definição: 
 Corresponde a um processo que, ao ser realizado, resulta em uma e
somente uma de muitas observações.
 Essas observações são conhecidas como resultados do experimento.
ESPAÇO AMOSTRAL
 Definição: 
 A coleção de todos os resultados para um experimento
 Um espaço amostral é representado por S.
 O espaço amostral para o exemplo relativo à inspeção de uma bola de tênis é
escrito como
S = {perfeita, defeituosa}
 Os elementos de um espaço amostral são conhecidos como pontos da
amostra.
DIAGRAMAS
 Um diagrama de Venn corresponde a uma figura (uma forma geométrica 
fechada, tal como um retângulo, um quadrado ou um círculo) que ilustra todos 
os resultado possíveis para um experimento.
 Em um diagrama de árvore, cada resultado é representado por um galho da 
árvore.
 Exemplo:
 Desenhar um diagrama de Veen e de árvore para um experimento sobre 
um lançamento único de uma moeda.
 Desenhar um diagrama de Veen e de árvore para um experimento sobre 
dois lançamento de uma moeda.
EVENTOS SIMPLES E 
EVENTOS COMPOSTOS
PROBABILIDADE
EVENTO
 Um evento representa um ou mais dos resultados de um experimento.
 Um evento pode corresponder a um evento simples (Evento elementar) ou a 
um evento composto (Evento múltiplo).
EVENTO SIMPLES
 Cada um dos resultados finais para um experimento é conhecido como evento 
simples.
 Um evento simples inclui um, e somente um, resultado.
 Podemos os eventos utilizando quaisquer letras. Ex. E1, A2, D55.
 Mas, geralmente, utiliza-se o “E”  E1, E2, E3…
EVENTO COMPOSTO
 Um evento composto consiste em mais do que um resultado.
 Corresponde a uma coleção de mais do que um resultado para um experimento
 Eventos compostos são representados por A, B, C…, ou por A1, A2 …
CALCULANDO A 
PROBABILIDADE
PROBABILIDADE
PROBABILIDADE
 A probabilidade, que fornece a possibilidade de ocorrência de um evento, é 
representada por P.
 A probabilidade de que um evento simples Ei venha a ocorrer é representada 
por P(E), e a probabilidade de que um evento composto A venha a ocorrer é 
representada por P(A).
A probabilidade corresponde à medida numérica da possibilidade de que um 
determinado evento venha a ocorrer.
PROBABILIDADE
 DUAS PROPRIEDADES DA PROBABILIDADE
1ª - A probabilidade de um evento sempre se posiciona no intervalo entre 0 e 1.
 Seja um evento simples ou um evento composto, a probabilidade de um 
evento nunca é menor que 0 ou maior que 1
 Assim:
0 ≤ P(Ei) ≤ 1
0 ≤ P(A) ≤ 1
PROBABILIDADE
 DUAS PROPRIEDADES DA PROBABILIDADE
1ª - A probabilidade de um evento sempre se posiciona no intervalo entre 0 e 1.
 Um evento que nunca pode ocorrer tem probabilidade igual a zero (evento 
impossível).
 Um evento que é certo de ocorrer tem probabilidade igual a 1 e é conhecido 
como evento certo. 
 Ou seja:
 Para um evento impossível M: P(M) = 0
 Para um evento certo C: P(C) = 1
PROBABILIDADE
 DUAS PROPRIEDADES DA PROBABILIDADE
2ª - A soma das probabilidades de todos os eventos simples (ou resultados finais) 
para um experimento, representada por ∑P(Ei), é sempre igual a 1.
 Para um experimento:
∑P(Ei) = P(E1) + P(E2) + P(E3)… = 1
TRÊS ABORDAGENS 
CONCEITUAIS PARA A 
PROBABILIDADE
PROBABILIDADE
PROBABILIDADE
 As três abordagens conceituais para a probabilidade conceito são da:
 Probabilidade clássica
 Conceitos de frequência relativa da probabilidade
 Conceitos da probabilidade subjetiva.
PROBABILIDADE CLÁSSICA
 Muitas vezes, vários resultados para um experimento podem ter a mesma 
probabilidade de ocorrência.
 Esses resultados são conhecidos como resultados igualmente possíveis.
 A regra da probabilidade clássica é aplicada para se calcularem as 
probabilidades de eventos, para um experimento para o qual todos os 
resultados sejam igualmente possíveis.
Resultados Igualmente Possíveis: Dois ou mais resultados (ou eventos) que 
têm a mesma probabilidade de ocorrência são conhecidos como resultados 
igualmente possíveis (ou eventos igualmente possíveis).
PROBABILIDADE CLÁSSICA
 De acordo com a regra da probabilidade clássica, a probabilidade de um 
evento simples é igual a 1, dividido pelo número total de resultados para o 
experimento.
 Isto é óbvio, uma vez que a soma das probabilidades de todos os 
resultados finais para um experimento é igual a 1 e todos os resultados 
finais são igualmente possíveis.
 Em contrapartida, a probabilidade de um evento composto A é igual ao 
número total de resultados favoráveis ao evento A, dividido pelo número total de 
resultados para o experimento.
PROBABILIDADE CLÁSSICA
 Assim:
1
Evento 
simples
Evento 
composto
PROBABILIDADE CLÁSSICA
 Exemplos:
 Encontrar a probabilidade de se obter cara e a probabilidade de se obter coroa 
para um lançamento de moeda.
 Que tipo de evento é esse? Simples ou composto?
PROBABILIDADE CLÁSSICA
 Exemplos:
 Em um grupo de 500 mulheres, 80 já jogaram golfe pelo menos uma vez. 
Suponha que uma dessas 500 mulheres seja aleatoriamente selecionada. Qual 
é a probabilidade de que ela tenha jogado golfe pelo menos uma vez?
 Que tipo de evento é esse? Simples ou composto?
 Uma vez que a seleção deve ser feita de maneira aleatória, cada uma das 500 
mulheres tem a mesma probabilidade de vir a ser selecionada.
 Consequentemente, este experimento tem um total de 500 resultados 
igualmente possíveis.
 Oitenta desses 500 resultados estão incluídos no evento em que a mulher 
selecionada tenha jogado golfe pelo menos uma vez.
PROBABILIDADE CLÁSSICA
FREQUÊNCIA RELATIVA DA PROBABILIDADE
 O Astrogildo frequenta o 9.º ano de escolaridade da escola básica e gosta muito 
da disciplina de Matemática. É mesmo a sua disciplina preferida!
 No entanto, nem todos os colegas têm o mesmo gosto.
 O Astrogildo gostaria de saber qual a probabilidade de, escolhido um colega 
da escola ao acaso, ele também preferir a Matemática.
 Suponhamos que cada aluno tem apenas 6 disciplinas: Língua Portuguesa (LP), 
Língua Estrangeira (LE), História (H), Geografia (G), Matemática (M) e Ciências 
Naturais (CN).
 Ele poderia utilizar um dados e pintar o nome de todas as disciplinas e 
jogar uma vez em vez de se perguntar ao aluno qual a sua disciplina 
preferida?
FREQUÊNCIA RELATIVA DA PROBABILIDADE
 NÃO
 Só estaria correto se o aluno respondesse ao acaso, indicando uma 
qualquer das 6 disciplinas e todas as disciplinas teriam a mesma quantidade 
de aluno que gostam delas.
 Mas, na realidade, as coisas não se passam assim... As disciplinas não estão 
todas em igualdade de circunstâncias, pois cada aluno tem alguma ou algumas 
disciplinas preferidas.
 Partindo do princípio de que cada aluno tem apenas uma disciplina preferida.
 Uma solução será averiguar junto de alguns alunos qual a sua disciplina 
preferida e depois estimar a probabilidade de a disciplina favorita ser a 
Matemática, através da frequência relativa ou percentagem de respostas que a 
indicam como preferida. 
FREQUÊNCIA RELATIVA DA PROBABILIDADE
 Por exemplo: se, numa amostra de 15 alunos, 6 deles disserem quepreferem a 
Matemática, a frequência relativa atribuída à Matemática como disciplina 
preferida é de:
FREQUÊNCIA RELATIVA DA PROBABILIDADE
 Este valor obtido para a frequência relativa é considerado uma estimativa 
para a probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, preferir a Matemática.
 Exemplos:
 A probabilidade de que uma família aleatoriamente selecionada possua 
casa própria;
 A probabilidade de que uma mulher aleatoriamente selecionada nunca 
tenha fumado. 
 A probabilidade de que uma pessoa de 80 anos venha a viver pelo menos 
mais um ano.
 Essas probabilidades não podem ser calculadas com a utilização da regra da 
probabilidade clássica, uma vez que os vários resultados para os experimentos 
correspondentes não são igualmente possíveis.
FREQUÊNCIA RELATIVA DA PROBABILIDADE
 Embora os vários resultados para cada um desses experimentos não sejam 
igualmente possíveis cada um desses experimentos pode ser realizado 
inúmeras vezes para gerar dados.
 Nesses casos, para calcular probabilidades, utilizamos dados do passado ou 
geramos novos dados, realizando um experimento um grande número de vezes.
 A frequência relativa de um evento é utilizada como uma aproximação para a 
probabilidade desse evento. 
 Uma vez que as frequências relativas são determinadas por meio da realização 
de um experimento, as probabilidades calculadas utilizando frequências 
relativas podem se alterar quase a cada vez que um experimento é repetido.
FREQUÊNCIA RELATIVA DA PROBABILIDADE
 Caso um experimento seja repetido n vezes e um evento A seja observado f
vezes, então, de acordo com o conceito de frequência relativa da probabilidade:
FREQUÊNCIA RELATIVA DA PROBABILIDADE
 Uma pesquisa para determinar a probabilidade de que uma família 
aleatoriamente selecionada do Estado do Ceará possua casa própria. Como 
determinar?
 Existem dois resultados para uma família aleatoriamente selecionada:
 Esta família possui casa própria
 Esta família não possui casa própria
 Podemos selecionar uma amostra de famílias no Estado do Ceará e observar 
se cada uma delas possui, ou não, casa própria.
Esses eventos não 
são igualmente 
possíveis
FREQUÊNCIA RELATIVA DA PROBABILIDADE
 Suponhamos que fosse feito esse levantamento em uma amostra aleatória de 
1000 famílias e observássemos que 670 delas possuem casa própria. 
 Então:
n = tamanho da amostra = 1000
f = número de famílias que possuem casa própria = 670
 Consequentemente:
 ௙
௡
଺଻଴
ଵ଴଴଴
Esse valor é uma aproximação da 
probabilidade de uma família selecionada 
no Ceará possuir casa própria.
PROBABILIDADE SUBJETIVA
 Muitas vezes, nos deparamos com experimentos que não têm resultados 
igualmente possíveis, nem podem ser repetidos para gerar dados.
 Nesses casos, não podemos calcular as probabilidades de eventos utilizando a 
regra da probabilidade clássica ou o conceito de frequência relativa.
 Considere, por exemplo, as seguintes probabilidades de eventos:
 A probabilidade de que um aluno, que está estudando estatística, venha a 
obter 10 nesse curso.
 A probabilidade de que a Média da Bolsa de São Paulo venha a ser maior 
ao final do próximo dia de negócios.
 A probabilidade de que o time do Fortaleza suba para a série B no ano que 
vem.
PROBABILIDADE SUBJETIVA
 Nem a regra da probabilidade clássica nem o conceito de frequência relativa da 
probabilidade podem ser aplicados para calcular probabilidades para esses 
exemplos.
 Todos esses exemplos pertencem a experimentos que não apresentam 
resultados igualmente possíveis, nem o potencial de serem repetidos.
 A probabilidade subjetiva baseia-se no julgamento, na experiência, nas 
informações e na crença do próprio indivíduo.
 Um aluno pode atribuir uma alta probabilidade ao evento de que ela venha a 
obter A em estatística, enquanto seu professor pode atribuir uma baixa 
probabilidade ao mesmo evento.
REGRA DE CONTAGEM
PROBABILIDADE
REGRA DE CONTAGEM
 Quando repetimos os eventos várias vezes o número de resultado aumenta.
 Para experimentos que apresentam grande número de resultados, pode ser fácil 
relacionar todos os resultados. 
 Utilizaremos a regra de contagem para encontrar o número total de resultados.
 A regra de contagem pode ser facilmente estendida, de modo a se aplicar a um 
experimento que tenha menos ou mais do que três etapas.
REGRA DE CONTAGEM
 Lançando uma moeda três vezes. 
 Este experimento tem três etapas: o primeiro lançamento, o segundo 
lançamento e o terceiro lançamento.
 Cada etapa tem dois resultados: uma cara e sendo, dos resultados para três 
lançamentos de uma moeda 
2 X 2 X 2 = 8
 Os oito resultados para esse experimento são CACACA, CACACO, CACOCA, 
CACOCO, COCACA, COCACO, COCOCA e COCOCO.
1º lançamento
2º lançamento
3º lançamento
REGRA DE CONTAGEM
 Um futuro comprador de carros pode escolher entre uma taxa de juros fixa e 
uma taxa de juros variável. Também pode escolher um prazo de pagamento de 
36 meses, 48 meses ou 60 meses. Quantos resultados totais são possíveis?
PROBABILIDADE MARGINAL E 
PROBABILIDADE CONDICIONAL
PROBABILIDADE
MARGINAL E CONDICIONAL
 Vamos supor que todos os 100 empregados de uma empresa tenham sido 
entrevistados para afirmarem se são favoráveis ou contrários ao pagamento de 
salários elevados aos CEOs de empresas norte americanas.
 A Tabela a seguir fornece uma classificação cruzada dessas respostas para 
esses 100 empregados.
A favor Contra
Homem 15 45
Mulher 4 36
Tabela 1. Classificação cruzada de respostas de empregados
Opinião
Sexo Mulher e 
contra
MARGINAL E CONDICIONAL
 Ampliando a tabela:
A favor Contra Total
Homem 15 45 60
Mulher 4 36 40
Total 19 81 100
Tabela 2. Classificação cruzada de respostas de empregados com totais
Total de homens
Total de mulheres
Total de 
pessoas 
a favor
Total de 
pessoas 
contra
MARGINAL E CONDICIONAL
 Suponha que um empregado seja selecionado ao acaso, a partir desses 100 
empregados.
 Esse empregado pode ser classificado com base apenas no sexo do indivíduo 
ou com base na opinião do indivíduo.
 Se apenas uma característica for considerada de cada vez, o empregado 
selecionado pode ser homem, uma mulher, a favor ou contra.
 A probabilidade de cada uma dessas quatro características ou eventos, é 
denominada probabilidade marginal ou probabilidade simples. 
Essas probabilidade são chamadas de probabilidades marginais porque são 
calculadas dividindo-se as margens das linhas correspondentes (totais para 
as linhas) ou as margens das colunas (totais para as colunas) pelo total geral.
MARGINAL E CONDICIONAL
 Definição
 Probabilidade marginal (ou simples) representa a probabilidade de um único 
evento sem levar em conta qualquer outro evento.
 Calcular a probabilidade de selecionar um homem:
P(M) =
P(A favor) = 
P (Contra) = 
MARGINAL E CONDICIONAL
 Suponhamos que um empregado seja selecionado ao acaso entre esses 100 
empregados.
 Suponha também que se saiba que esse empregado (selecionado) seja um 
homem  o evento de que o empregado selecionado seja um homem já 
ocorreu.
 Qual é a probabilidade de que o empregado selecionado seja a favor do 
pagamento de altos salários aos CEOs? 
P(a favor | homem)
“Sabendo que”
O evento cuja probabilidade 
está para ser determinada Esse evento já ocorreu
MARGINAL E CONDICIONAL
 Essa probabilidade P(a favor | homem) é chamada de probabilidade 
condicional de “a favor”.
 Definição
 Representa a probabilidade de que um evento venha a ocorrer, sabendo-se 
que um outro evento já tenham ocorrido.
 Exemplo: Calcular a probabilidade condicional P(a favor | homem)
MARGINAL E CONDICIONAL
 Calcular:
 P(A favor | Mulher) P(Mulher | A favor)
 P(Mulher | Contra)
 P(Homem | A favor)
 P(Homem | contra)
A favor Contra Total
Homem 15 45 60
Mulher 4 36 40
Total 19 81 100
EVENTOS MUTUAMENTE 
EXCLUDENTES
PROBABILIDADE
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES
 Eventos que não podem ocorrer conjuntamente;
 Esses eventos não apresentam quaisquer resultados em comum.
 Caso dois ou mais eventos sejam mutuamente excludentes, no máximo um 
deles irá ocorrer a cada vez que repetirmos o experimento.
 Por conseguinte, a ocorrência de um evento exclui a ocorrência do outro, ou de 
outros eventos.
 Para qualquer experimento, os resultados finais são sempre mutuamente 
excludentes, uma vez que se espera que um, e somente um, desses resultados 
ocorra em uma repetição do experimento. 
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES
 Considere, por exemplo, dois lançamentos de uma moeda.
 Este experimento tem quatro resultados possíveis: 
 CACA;
 CACO;
 COCA;
 COCO.
 Esses resultados são mutuamente excludentes, uma vez que um, e somente um, 
deles irá ocorrer ao lançarmos a moeda duas vezes.
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUDENTES
 Exemplo:
 Considere os seguintes eventos para um lançamento de um dado:
 A = um número par é observado = {2, 4, 6}
 B = um número ímpar é observado = {1, 3, 5}
 C = um número menor do que 5 é observado = {1, 2, 3, 4}
 Pergunta-se:
 Os eventos A e B são mutuamente excludentes? 
 Os eventos A e C são mutuamente excludentes?
EVENTOS DEPENDENTES 
EVENTOS INDEPENDENTES
PROBABILIDADE
DEPENDENTES E INDEPENDENTES
 No caso de dois eventos independentes, a ocorrência de um evento não altera 
a probabilidade da ocorrência do outro.
 P (A | B) = P(A) ou P (B | A) = P(B)
 Pode-se demonstrar que, caso uma dessas duas condições seja verdadeira, a 
segunda também será verdadeira; e caso uma condição não seja verdadeira, 
a segunda também não será verdadeira
 Caso a ocorrência de um evento afete a probabilidade de ocorrência do outro 
evento, os dois eventos o considerados eventos dependentes. 
DEPENDENTES E INDEPENDENTES
 Exemplo sobre os 100 empregados anterior.
A favor Contra Total
Homem 15 45 60
Mulher 4 36 40
Total 19 81 100
 Os eventos “Mulher” (M) e “ a favor” (A) são independentes?
DEPENDENTES E INDEPENDENTES
 Os eventos M e A serão independentes se:
P(M) = P(M | A)
 Utilizando as informações fornecidas na tabela, calculamos as duas 
probabilidades a seguir:
 P (M) = 
 P ( M | A) = 
 P (M) = 40/100 = 0,4
 P ( M | A) = 4/19 = 0,2105
As duas probabilidade 
não são iguais:
EVENTOS 
DEPENDENTES
DEPENDENTES E INDEPENDENTES
 A dependência de A e M pode também ser provada pela demonstração de que 
as P(A) e P(A | M) não são iguais.
DEPENDENTES E INDEPENDENTES
 Uma caixa contém um total de 100 CDs que foram fabricados em dois 
equipamentos.
 Desse total, 60 foram fabricados no Equipamento 1. 
 Do total de CDs, 15 são defeituosos.
 Dos 60 CDs que foram fabricados no Equipamento 1, 9 são defeituosos.
 Sejam D o evento no qual um CD aleatoriamente selecionado é defeituoso e A o 
evento no qual um CD aleatoriamente selecionado foi fabricado no Equipamento 
1. Os eventos D e A são independentes?
 D = Defeituoso
 P = perfeito
 A = Equipamento 1
 B = Equipamento 2
DEPENDENTES E INDEPENDENTES
 A partir das informações fornecidas
 P(D) =
 P(D | A) =
 P(D) = 15/100 = 0,15 
 P(D | A) = 9/60 = 0,15
DEPENDENTES E INDEPENDENTES
 A independência neste exemplo, significa que a probabilidade de qualquer CD 
ser defeituoso é a mesma, 0,15, independentemente do equipamento em que foi 
fabricado.
Ou seja, os dois equipamentos estão produzindo a mesma percentagem 
de CDs defeituosos. 
 Por exemplo, 9 dos 60 CDs fabricados no Equipamento 1 são defeituosos, e 6 
dos 40 CDs fabricados no Equipamento 2 são defeituosos.
 Por conseguinte, para cada um dos dois equipamentos, 15% dos CDs 
produzidos são defeituosos.
DEPENDENTES E INDEPENDENTES
Tabela de classificações cruzadas
Tipo de equipamento Defeituoso (D) Perfeito (P) Total
Equipamento 1 9 51 60
Equipamento 2 6 34 40
Total 15 85 100
 P(D) =
 P(D | B) =
EVENTOS COMPLEMENTARES
PROBABILIDADE
EVENTOS COMPLEMENTARES
 Dois eventos mutuamente excludentes que, ao serem considerados em 
conjunto, incluem todos os resultados para um experimento são chamados de 
eventos complementares. 
 Observe que dois eventos complementares são sempre mutuamente 
excludentes.
 O complemento de um evento A é representado por 
EVENTOS COMPLEMENTARES
 Uma vez que dois eventos complementares, considerados em conjunto, incluem 
todos os resultados para um experimento, e uma vez que a soma das 
probabilidades de todos os resultados é igual a 1, é óbvio que:
𝑃 𝐴 + 𝑃 �̅� = 1
 Ainda
𝑃 𝐴 = 1 − 𝑃 �̅�
𝑃 �̅� = 1 − 𝑃 𝐴
EVENTOS COMPLEMENTARES
 Em um grupo de 5000 adultos, 3500 são a favor de leis mais rígidas para o 
controle do uso de armas, 1200 são contra essas leis e 300 não têm opinião a 
respeito.
 Um adulto é aleatoriamente selecionado nesse grupo. 
 Seja A um evento no qual esse adulto seja a favor de leis mais rígidas para o 
controle de armas.
 Qual é o evento complementar de A? 
 Quais são as probabilidades dos dois eventos?
EVENTOS COMPLEMENTARES
 Neste caso, o evento inclui 1500 adultos que são contra leis mais rígidas para 
o controle de armas, ou que não têm opinião a respeito.
 Os eventos A e são complementos um do outro. 
 Uma vez que 3500 adultos no grupo são a favor de leis mais rígidas para o 
controle de armas e 1500 são contra ou não têm opinião a respeito,
 As probabilidades dos eventos A e são
P(A) = 3500/5000 = 0,70 e 
P( ) 1500/5000 = 0,30
EVENTOS COMPLEMENTARES
 A soma dessas duas probabilidades é igual a 1. 
 Uma vez que achamos a P(A), pode-se encontrar a probabilidade de P(A) como 
sendo
P( ) = 1 - P(A) = 1 - 0,70 = 0,30