Estatística Aplidafa Slide

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Estatística
para os cursos de: 
Economia 
Administração e 
Ciências Contábeis
BPDEA
A
Associação para
a dos Direitos 
Editoriais e
R E S P E I T E O A U T O R
N A O
EDITORA ATLAS S.A.
Rua Conselheiro Nébias, 1384 (Campos Elísios) 
01203-904 São Paulo (SP)
Tel.: (O 11) 3357-9144
Ermes 
Elio
da Silva 
da Silva
Walter Gonçalves 
Afrânio Carlos Murolo
Estatística
para os cursos de:
Economia 
Administração e
Ciências Contábeis
Volume 1
PAULO 
EDITORA ATLAS S.A. -- 1999
1994 by EDITORA ATLAS S.A.
ed. 1995; 2. ed. 1996; 3. ed. 1999;
Capa: Aldo
Composição: Formato Serviços de Editoração Ltda.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
- 3. ed. São Paulo: Atlas, 1999.
da Silva, Afrânio Carlos
Estatística Ermes da Silva ... let
Outros autores: Walter Gonçalves, Elio 
Murolo.
ISBN 85-224-2236-2
Estatística I. Silva, Ermes Medeiros. Gonçalves, Walter, 1942- 111.
Silva, Elio da. Murolo, Afrânio Carlos. V. Título.
94-4177 CDD-519.5
índice para catálogo sistemático:
1. Estatística 519.5
TODOS OS DIREITOS RESERVADOS- É proibida a reprodução total ou parcial, de 
qualquer forma ou por qualquer meio. A violação dos direitos de autor (Lei
9.610198) é crime estabelecido pelo artigo 184 do Código Penal.
Depósito legal na Biblioteca Nacional conforme Decreto
de 1907.
de 20 de dezembro
Impresso no
Sumário
CONCEITOS 11
1. Introdução, 11
2. Conceitos Fundamentais, 12
1. Objetivo, 12
2. População e Amostra, 12
3. Processos Estatísticos de Abordagem, 12
4. Dados Estatísticos, 14
5. Estatística Descritiva, 14
6. Dados Brutos,
7. Rol, 16
8. Exercícios Propostos, 17
1. Apresentação de Dados Estatísticos, 18
2. Distribuição de Frequência - Variável Discreta, 18
3. Distribuição de Frequência - Variável Contínua, 19
4. Construção da Variável Discreta, 20
5. Construção da Variável Contínua, 21
6. Exercícios Propostos, 26
7. Distribuição de Frequências - Variável Discreta, 29
1. Frequência Relativa de um Elemento da Série - 29
2. Frequência Acumulada de um Elemento da Série - 30
3. Frequência Acumulada Relativa de um Elemento da Série - 31
8. Distribuição de Frequências - Variável Contínua, 32
1. Frequência Relativa de uma Classe - 32
2. Frequência Acumulada de uma Classe - 33
3. Frequência Acumulada Relativa de uma Classe - 34
9. Exercícios Propostos, 35
6 Sumário
10. Representação Gráfica de Séries Estatísticas, 38
1. Histograma - Variável Discreta, 39
2. Histograma - Variável Contínua, 40
11. Exercícios Propostos, 42
3 MEDIDAS DE CENTRAL, 46
1. Introdução, 46
2. Somatório - Notação Sigma (C ), 46
3. Exercícios Propostos, 51
4. . Médias, 54
1. Média Aritmética Simples, 54
2. Média Aritmética Ponderada, 54
3. Média Geométrica Simples, 55
4. Média Geométrica Ponderada, 55
5. Média Harrnônica Simples, 55
6. Média Harmônica Ponderada, 56
5. Cálculo da Média Aritmética, 57
6. Exercícios Propostos, 60
7. Mediana, 66
Cálculo da Mediana, 66
9. Exercícios Propostos, 71
10. Moda, 74
11. Cálculo da Moda, 74
12. Utilização das Medidas de Tendência Central, 83
13. Exercícios Propostos, 85
4 MEDIDAS SEPARATRIZES, 89
1. Conceitos, 89
2. Cálculo das
3. Exercícios Propostos, 95
90
5 MEDIDAS DE 100
1. Introdução, 100
2. Medidas de Dispersão Absoluta, 101
3. Amplitude Total,
4. Cálculo da Amplitude Total, 101
5. Exercícios Propostos, 102
6. Desvio Médio Simples, 103
Sumário 7
7. Cálculo do Desvio Médio Simples, 103
8. Exercícios Propostos, 108
9. Variância e Desvio Padrão, 109
10. Cálculo da Variância e Desvio Padrão, 110
11. Interpretação do Desvio Padrão, 116
12. Exercícios Propostos, 118
13. Medidas de Dispersão Relativa, 121
14. Exercícios Propostos, 122
i MEDIDAS DE ASSIMETRIA E 124
1. Introdução, 124
2. Medidas de Assimetria, 125
1. Coeficiente de Pearson, 125
2. Coeficiente de Bowley, 125
3. Medida de 126
4. Exercícios Propostos, 132
PROBABILIDADES, 143
1. Introdução, 143
1. Fenômenos Aleatórios, 143
2. Teoria das Probabilidades - Espaço Amostral, 145
3. Eventos, 147
4. Operações com Eventos, 148
5. Exercícios Propostos, 149
6. Função de Probabilidade, 151
7. Definição de Probabilidade, 151
8. Exercícios Propostos, 155
9. Probabilidade de um Evento, 158
10. Exercícios 159
11. Axiomas de Probabilidade, 162
i
8.1
DE PROBABILIDADES, 163
Fundamentais, 163
1. Probabilidade do Conjunto Vazio, 163
1. Probabilidade do Complementar, 163
3. Probabilidade da Reunião, 163
4. Exercícios Propostos, 165
5. Probabilidade Condicional, 165
8 Sumário
6. Exercícios Propostos, 170
7. da Probabilidade Total, 172
8. Exercícios Propostos, 174
9. de Bayes, 176
10. Exercícios Propostos, 178
8.2 Exercícios Gerais, 179
Bibliografia, 189
Prefácio
colocando a disposição dos colegas professores e aos
em estatística de modo geral uma coleção de livros da qual este é o 
primeiro volume. O conteúdo deste volume apresenta os conceitos básicos 
iniciais de um curso de estatística, isto é, enfoca a estatística descritiva, as 
medidas sobre uma distribuição, e coloca os principais estimadores necessá- 
rios ao desenvolvimento posterior de inferência estatística. Encerra o volume 
o estudo do cálculo de probabilidades. Este conteúdo foi escolhido por alguns 
motivos. A nossa experiência ao desenvolver cursos nesta área nos
de que este conteúdo pode ser desenvolvido com bom aproveitamento 
um curso anual de 72 horas ou em curso semestral equivalente. Além disso,
conteúdo está adequado ao novo currículo dos cursos de administração de 
empresa que estão sendo implantados nas diversas faculdades.
Entretanto, o que nos parece mais importante é a maneira como o 
assunto foi desenvolvido. Uma crítica frequente de professores e alunos com 
respeito aos textos de estatística é que eles apresentam os conceitos estatísti- 
cos do ponto de vista matemático, com ênfase nos cálculos das medidas. A 
conseqüência deste enfoque é que os estudantes, embora possam desenvol- 
ver os cálculos necessários a solução de problemas não são capazes de 
realizar o que nos parece fundamental em estatística, que é o conhecimento e 
as possíveis interpretações do fenômeno estatístico envolvido.
Para atingir este objetivo procuramos desenvolver os conceitos dando 
a interpretação das medidas sobre o fenômeno estatístico. Desta for-
ia, a apresentação de cada conceito é seguida de sua interpretação
a, completada por questões teóricas e práticas que fixem esse
A idéia é que fique claro o que o conceito significa do ponto de vista 
estatístico e quais são as possíveis utilidades que ele pode ter, principalmente
no campo da Administração.
Tendo em vista este objetivo, muitas vezes restringimos a abrangência 
do conceito com a finalidade de torná-lo acessível ao estudante. Desta forma, 
os professores da área certamente notarão alguns conceitos particularizados 
ou pouco abrangentes. Achamos necessária esta restrição para não desviar o 
enfoque do significado do conceito e sua interpretação.
10 Prefácio
Acreditamos que a medida que o estudante for adquirindo experiência 
nesta área, a generalização dos conceitos ocorrerá de maneira natural.
Com a finalidade de fixar os conceitos elaboramos grande quantidade 
de exercícios. O leitor deverá notar que tivemos o cuidado de apresentar 
problemas enfocando a aplicação da estatística a diversas áreas da adminis- 
tração de empresas; cumprindo desta forma uma de suas finalidades que é de 
disciplina de apoio as áreas profissionais deste campo.
Esperamos que este texto e os demais que o seguirão sejam de utili- 
dade para professores e estudantes que necessitam de estatística em sua 
vida profissional.
Gostaríamos de receber sugestões e críticas dos colegas. Essa aten- 
ção para com nosso trabalho nos farão agradecidos e certamente colaborarão 
para a correção de rumo, aumentando a adequação, utilidade e competência 
desta obra.
São Paulo, outubro de 94.
Os Autores
Conceitos Básicos
1 IntroduçãoO termo Estatística provém da palavra Estado e foi utilizado original- 
mente para denominar levantamentos de dados, cuja finalidade era orientar o 
Estado em suas decisões.
Neste sentido foi utilizado em épocas remotas para determinar o valor 
dos impostos cobrados dos cidadãos, para determinar a estratégia de uma 
nova batalha em guerras que se caracterizavam por uma sucessão de bata- 
lhas. (Era fundamental aos comandantes saber de quantos homens, armas, 
cavalos etc. dispunham após a última batalha.)
Atualmente, a estatística é definida da seguinte forma:
Estatística é um conjunto de métodos e processos 
quantitativos que serve para estudar e medir os fe- 
nômenos coletivos.
A estatística teve acelerado desenvolvimento a partir do século XVII, 
com os estudos de BERNOULLI, FERMAT, PASCAL, LAPLACE, GAUSS, GALTON,
PEARSON, FISHER, POISSON e outros que estabeleceram suas características 
atuais.
Ela não alcançou ainda um estado definitivo. Continua a progredir na 
razão direta do desejo de investigação dos fenômenos coletivos.
A Estatística é considerada por alguns autores como Ciência no senti- 
do do estudo de uma população. É considerada como método quando utiliza- 
da como instrumento por outra Ciência.
A Estatística mantém com a Matemática uma relação de dependência, 
solicitando-lhe auxílio, sem o qual não poderia desenvolver-se.
Com as outras Ciências mantém a relação de complemento, quando 
utilizada como instrumento de pesquisa.
12 Estatística 1
Em especial esta última é a relação que a Estatística mantém com a 
Administração, Economia, Ciências Contábeis, servindo como instrumento au- 
xiliar na tomada de decisões.
2. Conceitos Fundamentais
1. OBJETIVO
Estatística tem como objetivo o estudo dos fenômenos coletivos.
2. E AMOSTRA
Conceituaremos População como sendo o conjunto de todos os itens 
(pessoas, coisas, objetos) que interessam ao estudo de um fenômeno coletivo 
segundo alguma característica.
Entenderemos por Amostra, qualquer subconjunto não vazio de uma 
população.
Uma característica numérica estabelecida para toda uma população é 
denominada parâmetro.
Uma característica numérica estabelecida para uma amostra é deno- 
minada estimador.
Por exemplo: no fenômeno coletivo eleição para governador no Estado 
de São Paulo, a população é o conjunto de todos os eleitores habilitados no 
Estado de São Paulo. Um parâmetro é a proporção de votos do candidato A. 
Uma amostra ,é um grupo de 1000 eleitores selecionados em todo o Estado. 
Um estimador é a proporção de votos do candidato A obtida na amostra.
Em aplicações efetivas, o número de elementos componentes de uma 
amostra é bastante reduzido em relação ao número de elementos componen- 
tes da população.
3. Processos Estatísticos de Abordagem
Quando solicitados a estudar um fenômeno coletivo podemos optar 
entre os seguintes processos estatísticos:
a) Estimação.
b) Censo.
Conceitos Básicos 13
Censo: é uma avaliação direta de um parâmetro, utilizando-se todos 
componentes da população.
Estimação: é uma avaliação indireta de um parâmetro, com base em 
estimador através do cálculo de probabilidades.
Propriedades Principais do Censo:
i Admite erro processual zero e tem confiabilidade 100%.
i É caro.
i É lento.
É quase sempre desatualizado.
i Nem sempre é viável.
Propriedades Principais da Estimação:
i Admite erro processual positivo e tem confiabilidade menor que 
100%.
i É barata.
i É rápida.
i É atualizada.
i É sempre viável.
estatisticamente, a precisão de um valor numérico é avalia- 
da através do confiança e erro processual.
Se admitirmos que podemos retirar do Censo todo tipo de erro de 
natureza humana (erro de cálculo de avaliação, de anotação etc.), restará 
apenas outro tipo de erro devido ao procedimento empregado.
Este erro é chamado erro processual. No caso de um Censo, o erro 
processual é zero, pois avaliamos um por um, todos os elementos componen- 
tes da População.
Como o erro processual na avaliação é zero, a confiabilidade no 
metro obtido é 100%. A precisão, no Censo é total.
Na estimação, como avaliamos apenas parte e não todos os elemen- 
tos que compõem a população, admitimos um erro processual positivo na 
avaliação do valor numérico e por conseqüência uma confiabilidade menor
que sendo, portanto, menos precisa que o Censo.
Como o número de elementos que compõem uma amostra é conside-
ravelmente menor que o número de elementos que compõem uma População, 
a Estimação é sempre bem mais barata que o Censo, é concluída mais 
rapidamente que o Censo e, portanto, mais atualizada.
14 Estatística 1
Se a maneira de avaliar um elemento é um teste destrutivo, o Censo 
se torna um processo inviável, pois destruiria a população do estudo.
Entretanto, na maioria das vezes em que o Censo é considerado 
vel é por razões e de tempo.
Na sociedade moderna, a maioria dos problemas exigem decisões de 
curto prazo. Por isso, as informações estatísticas úteis a resolução destes 
problemas devem ser obtidas rapidamente.
Pela rapidez e facilidade da obtenção destas informações, a estimação 
tem sido cada vez mais utilizada como procedimento estatístico.
4. Dados Estatísticos
Normalmente, no trabalho estatístico o pesquisador se vê obrigado a 
lidar com grande quantidade de valores numéricos resultantes de um Censo 
ou de uma estimação.
Estes valores numéricos são chamados dados estatisticos.
No sentido de disciplina, a Estatística ensina métodos racionais para a 
obtenção de informações a respeito de um fenômeno coletivo, além de obter 
conclusões válidas para o fenômeno e também permitir tomada de decisões, 
através de dados estatisticos observados.
Desta forma, a estatística pode ser dividida em duas áreas:
a) Estatística Descritiva - é a parte da Estatística que tem por 
to descrever os dados observados.
b) Estatística Indutiva - é a parte da Estatística que tem por objetivo 
obter e generalizar conclusões para a população a partir de uma 
amostra, através do cálculo de probabilidade.
O cálculo de probabilidade é que viabiliza a inferência estatística.
5. Estatística Descritiva
A Estatística Descritiva, na sua função de descrição dos dados, tem as 
seguintes atribuições:
a) A obtenção dos dados estatísticos.
b) A organização dos dados.
c) A redução dos dados.
d) A representação dos dados.
Conceitos Básicos 15
e) A obtenção de algumas informações que auxiliam a descrição do 
fenômeno observado.
A obtenção ou de dados é normalmente feita através de 
questionário ou de observação direta de uma população ou amostra.
i A organização dos dados consiste na ordenação e crítica quanto 
a correção dos valores observados, falhas humanas, omissões, abandono de 
dados duvidosos etc.
i Redução dos dados - O entendimento e compreensão de grande 
quantidade de dados através da simples leitura de seus valores individuais é 
uma tarefa extremamente árdua e difícil mesmo para o mais experimentado 
pesquisador.
A Estatística descritiva apresenta duas formas básicas para a redução 
do número de dados com os quais devemos trabalhar, chamadas variável 
discreta e variável contínua.
A representação dos dados - dados estatísticos podem ser 
mais facilmente compreendidos quando apresentados através de uma repre- 
sentação gráfica, o que permite uma visualização instantânea de todos os 
dados.
Os gráficos, quando bem representativos, tornam-se importantes ins- 
trumentos de trabalho.
É ainda atributo da Estatística Descritiva a obtenção de algumas infor- 
mações como médias, proporções, dispersões, tendências, índices, taxas, 
coeficientes, que facilitam a descrição dos fenômenos observados. Isto encer- 
ra as atribuições da Estatística Descritiva.
Completando o processamento estatístico, no caso de uma Estimação, 
a Estatística Indutiva estabelece parâmetros a partir de estimadores usando o 
cálculo de probabilidade. Esta última etapa será desenvolvida posteriormente.
1.6 Dados Brutos
Quando fazemos n observações diretasem um fenômeno coletivo ou 
observamos as respostas a uma pergunta em uma coleção de n questioná- 
rios, obtemos uma sequência de n valores numéricos.
Tal sequência é denominada dados brutos.
16 Estatística 1
Representando por X a característica observada no fenômeno coletivo 
ou na pergunta dos questionários, então representa o valor da característi- 
ca obtida na primeira observação do fenômeno coletivo ou o valor da caracte- 
rística observado no primeiro questionário; representa o valor da caracterís- 
tica X na segunda observação do fenômeno coletivo ou o valor da característi- 
ca Xobservada no segundo questionário e assim sucessivamente.
Desta forma, os dados brutos podem ser representados por X:
Esta sequência de valores assim obtida apresenta-se completamente 
desordenada. De modo geral, podemos afirmar que:
Dados brutos é uma. sequência de valores numéri- 
cos organizados, obtidos diretamente da obser- 
vação de um fenômeno coletivo.
1.7 Rol
Quando ordenamos na forma crescente ou decrescente, os Dados 
Brutos passam a se chamar Rol.
Portanto:
Rol é uma sequência ordenada dos Dados Brutos.
Exemplo: No final do ano letivo, um aluno obteve as seguintes notas 
bimestrais em Matemática: 4; 8;
Neste exemplo, X representa nota bimestral e pode ser apresentada 
na forma:
4;, 8; (Dados Brutos)
OU
4; 8. (Rol)
Após uma atenta leitura desta parte inicial, o interessado 
deve responder as seguintes questões:
Conceitos Básicos 17
1.8 Exercícios Propostos
O que é Estatística?
2. O que é População?
. O que é Amostra?
. O que é Parâmetro?
O que é Estimador?
Quais os processos estatísticos de abordagem para o estudo de um fenôme- 
no coletivo?
O que é Censo?
O que é Estimação?
3. Explique as propriedades principais do Censo.
'O. Explique as propriedades principais da Amostragem.
1. O que é Dado Estatístico?
O que é Estatística Descritiva e
'3. O que é Estatística Indutiva? 
'4. O que são Dados Brutos? 
'5. O que é Rol?
são suas tarefas?
'6. Construa o Rol para sequência de dados brutos:
4, 12, 7, 8, 15, 21, 20.
5, 8, 5, 12, 14, 13, 12, 18.
a)
b)
c)
d) 7, 9.
RESPOSTAS
Séries Estatis
2.1 Apresentação de Dados Estatísticos
Quando lidamos com poucos valores numéricos, o trabalho estatístico 
fica sensivelmente reduzido. No entanto, normalmente teremos que trabalhar 
com grande quantidade de dados.
Um dos objetivos da Estatística Descritiva neste caso, é obter uma 
significativa redução na quantidade de dados com os quais devemos operar 
diretamente. Isto pode ser conseguido modificando-se a forma de apresenta- 
ção destes dados.
Suponha que observamos as notas de 30 alunos em uma prova e 
obtivemos os seguintes valores:
Se entendermos como frequência simples de um elemento o número 
de vezes que este elemento figura no conjunto de dados, podemos reduzir 
significativamenteo número de elementos com os quais devemos trabalhar.
Para isto organiza-se o conjunto de dados na forma de uma série 
estatística chamada variável discreta.
2.2 Distribuição de Frequência - Variável Discreta
É uma representação tabular de um conjunto de valores em que colo- 
camos na primeira coluna em ordem crescente apenas os valores distintos 
da série e na segunda coluna colocamos os valores das frequências simples 
correspondentes.
Se usarmos f para representar frequência simples, a sequência (1)
pode ser representada pela tabela:
Séries Estatísticas 19
(1) Note que a colocação de um índice i para x e para f 
tem a finalidade de referência. Deste modo, repre- 
senta o primeiro valor distinto da série, representa o 
segundo valor distinto da série, representa a fre- 
quência simples do primeiro valor distinto da série, 
representa a frequência simples do distinto da 
série e assim sucessivamente.
(2) Note que conseguimos reduzir de 30 elementos que 
constituíam a série original para apenas 12 elementos.
(3) Note também que a variável discreta só é uma forma 
eficiente de redução dos dados, quando o número de 
elementos distintos da série for pequeno.
Devemos optar por uma variável discreta na repre- 
sentação de uma série de valores quando o número 
de elementos distintos da série for pequeno.
2.3 Distribuição de Frequência - Variável Contínua
Suponha que a observação das notas de 30 alunos em uma prova nos 
aos seguintes valores:
Observando estes valores notamos grande número de elementos dis-
O que significa que neste caso a variável discreta não é aconselhável
- a redução de dados.
Classe Notas
1 2 4 4
2 4 6 12
3 6 8
4 8 1O 4
20 Estatística 1
Nesta situação é conveniente agrupar os dados por faixas de valores, 
ficando a série com a seguinte apresentação:
Esta apresentação da série de valores é denominada variável contí-
nua.
Devemos optar por uma variável contínua na repre- 
sentação de uma série de valores quando o número 
de elementos distintos da série for grande.
2.4 Construção da Variável Discreta
A construção de uma variável discreta é bastante simples. Basta ob- 
servar quais são os elementos distintos da sequência, ordená-los, e colocá-los 
na primeira coluna da tabela. Em seguida computar a frequência simples de 
cada elemento distinto e colocá-la na segunda coluna da tabela.
Exemplo de construção de uma variável discreta: A sequência abaixo 
representa a observação do numero de acidentes por dia, em uma rodovia, 
durante 20 dias.
x:
Os valores distintos da sequência são: O, 1, 2, 3.
As frequências simples respectivas são: 8, 5, 5, 2.
Portanto, a variável discreta representativa desta sequência é:
Séries Estatísticas 21
Construção da Variável Contínua
A construção da variável contínua requer o conhecimento de alguns 
que vamos estabelecer aproveitando a tabela abaixo como
Classe
1. AMPLITUDE TOTAL DE UMA é a diferença entre o 
e o menor elemento de uma sequência.
Representando a amplitude total por A,, o maior elemento da sequên- 
cia Xpor e o menor elemento por a amplitude total é denotada por:
No exemplo da sequência que deu origem a tabela
= 2, portanto:
= 9,5 e
Intervalo de 
classe
A amplitude total representa o comprimento total da sequência e é
na mesma unidade de medida dos dados da sequência.
2. INTERVALO DE CLASSE é qualquer subdivisão da amplitude to- 
tal de uma série estatística.
No exemplo da tabela (2) subdividimos a amplitude total em quatro 
classes, obtendo os intervalos de classe 2 4, 4 6, 6 8, 8 10.
Note que na realidade não trabalhamos com a = 7,5 e sim com a 
amplitude total ajustada para 8 como justificaremos adiante.
3. LIMITE DE CLASSE: cada intervalo de classe fica caracterizado 
dois números reais. O menor valor é chamado limite inferior da classe e 
será indicado por I. O maior valor é chamado limite superior da classe e será
por L. Por exemplo, na Classe 2 4, 2 e L = 4.
22 Estatística 1
4. AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE é a diferença entre o 
limite superior e o limite inferior da classe. Se usarmos h para representar a 
amplitude do intervalo de classe podemos estabelecer:
(1) Na realidade, as classes não precisam necessariamen- 
te ter a mesma amplitude como no exemplo acima. 
Porém, sempre que possível, devemos trabalhar com 
classes de mesma-amplitude. Isto facilita sobremaneira 
os cálculos posteriores.
(2) Note que usamos para representar as classes, interva- 
los reais semiabertos a direita. Isto significa que o in- 
tervalo contém o limite inferior, contém o limi- 
te superior, ou seja, o intervalo de classe 2 4 con- 
tém os valores reais maiores ou iguais a 2 e menores 
que 4.
Desta forma, o último intervalo da série que é 8 10 
não contém o valor 10. É por isso que não utilizamos a 
amplitude pois se isto fosse feito, o limite superior 
da última classe seria 9,5 e como o limite superior não
deve pertencer a classe, o elemento 9,5 da sequência
estatística original ficaria sem classificação.
Como vamos utilizar este critério, precisaremos ajustar 
sempre o valor máximo da série ao definir a amplitudetotal.
Outros critérios poderiam ser adotados como o
5.
. lo real semiaberto a esquerda ou mesmo o intervalo 
real aberto, mas nenhum destes critérios é melhor que 
o critério adotado.
DE CLASSES: o número de classes a ser utilizado
depende muito da experiência do pesquisador e das questões que ele preten- 
de responder com a variável contínua.
Isto pode ser verificado facilmente pelo próprio interessado ao longo 
desta exposição.
Para efeito de nossos exemplos, utilizaremos o critério da raiz para a
determinação do número de classes.
Séries Estatísticas 23
DA RAIZ
Se a sequência estatística contém n elementos e se indicarmos por K
número de classes a ser utilizado, então pelo critério da raiz:
Como o número K de classes deve ser necessariamente um número 
iteiro e como dificilmente é um número inteiro, deixaremos como opção 
ara o valor de K o valor inteiro mais próximo de uma unidade a menos ou 
mais que este valor.
. No exemplo da tabela n 30 e conseqüentemente k =
,477, portanto o valor inteiro mais próximo de é 5. As opções para k
ntão são: 4 ou 5 ou 6.
A amplitude do intervalo de classe que designamos por h é determina- 
da da seguinte forma:
o portanto h = 
8 
= 2.
-
4
que a opção por quatro classes, foi feita em função de um 
valor de h mais fácil de se operar.
Se tivéssemos optado por cinco classes, o valor de h seria = se 
véssemos optado por seis classes, o valor de h seria = 1,3333...
Veja que o melhor valor para se trabalhar em cálculos é o h = 2. Foi 
isto que optamos por quatro classes.
Conhecendo-se o valor = 2 e a amplitude de classe h 2,
que o limite superior da primeira classe é 4. Portanto, a primeira classe é
intervalo 2 4. O limite inferior da segunda classe é 4. Somando-se a 
de classe obteremos 6. Portanto, a segunda classe é 4 1 - 6. A
classe por analogia é 6 8 e a quarta classe é 8 10.
6. SIMPLES DE UMA CLASSE chama-se
simples de uma classe ao número de elementos da sequência que são 
ou iguais ao limite inferior desta classe e menores que o limite
desta classe.
24 Estatística 1
No exemplo 2, a frequência simples da primeira classe é o número de 
elementos da sequência que são maiores ou iguais a 2 e menores que 4.
Note que os valores da sequência nestas condições são os valores 3,
2,
Portanto, a frequência simples da primeira classe é 4.
Da mesma forma determinamos as frequências simples das demais 
classes, completando o quadro representativo da variável contínua.
Existem outros critérios para a determinação do número de 
classes, como por exemplo a fórmula de STURGES.
Segundo STURGES, O número Kde classes é dado por:
Para valores de n muito grandes, esta fórmula apresenta mais vanta- 
gens que o critério da raiz, embora apresente o mesmo problema de aproxi- 
mação do valor de K.
Como acreditamos que na prática a experiência do pesquisador é que 
na verdade vai determinar o número de classes, optamos pelo método mais 
simples que é o critério da Raiz.
EXEMPLO DE DE UMA VEL
Um teste para aferir o Quociente de Inteligência em determinada clas- 
se de alunos de uma Faculdade deu origem a sequência de valores
Para a construção da variável contínua, devemos determinar o número 
de elementos da sequência. Verificamos que a sequência possui n = 70 ele- 
mentos.
Classe Intervalo de 
classe
1 60 70 1
2 70 80 5
3 80 90 6
4 90 1 10
5 100 110 12
6 110 120 19
7 120 130 14
8 130 140 3
Séries Estatísticas 25
Pelo critério da raiz K = No caso, K O valor inteiro 
próximo é 8. Portanto, temos opção para construir a variável contínua
m 7 ou 8 ou 9 classes.
O maior valor da sequência é = 139 e o menor valor da
Portanto, a amplitude total da sequência é = 139 - 61 = 78. No 
tanto, sabemos que pelo fato de o critério adotado do intervalo de classe 
r semi-aberto a direita, devemos ajustar o valor Se ajustássemos
para 140, a amplitude ajustada passaria a ser = 140 - 61 = 79. Este
não é divisível de forma inteira nem por 7 nem por 8 e nem por 9, que 
nossas opções de classes.
Nesta situação devemos ajustar para 141 obtendo a = 141 -
31 = 80 que é divisível exatamente por 8, obtendo-se ama amplitude do 
de classe h dada por:
Observe que o ajuste do valor foi de duas unidades, passando de
'39 para 141.
A experiência do pesquisador, nesta o levaria a distribuir este
de duas unidades, iniciando a representação da série em 60 e
em 140. A amplitude total ajustada para a série é: = 140 - 60 = 80.
O comprimento do intervalo de classe é h = 10 e o número de classes
Computando as frequências simples de cada classe, construímos a 
contínua representativa desta série.
A variável contínua é conceituada como uma representação tabular em 
colocamos na primeira coluna os intervalos de classe e na segunda
os valores das frequências simples correspondentes.
26 Estatística 1
A coluna "classe" tem a finalidade apenas de facilitar a referência as 
classes, não fazendo parte da variável contínua.
O quadro final tanto da variável discreta como da variável contínua 
recebe o nome de distribuição de frequência.
2.6 Exercícios Propostos
1. Qual é o objetivo de agrupar os dados por frequência?
2. O que é uma variável discreta?
3. Qual é a característica de um conjunto de dados que indique o uso de uma 
variável discreta ao se agrupar os dados por frequência?
4. O que é uma variável contínua?
5. Qual é a característica de um conjunto de dados que indique o uso de uma 
variável contínua ao se agrupar os dados por frequência?
Uma pesquisa sobre a idade, em anos de uma classe de calouros de uma faculda- 
de, revelou os seguintes valores:
17, 18, 20, 21, 19, 20, 18, 17, 19
20, 18, 19, 18, 19, 21, 18, 19, 18, 18
19, 19, 21, 20, 17, 19, 19, 18, 18, 19
21, 18, 19, 19, 20, 19, 18, 19, 20
18, 19, 19, 20, 20, 19,
Agrupe, por frequência, estes dados.
7. Uma auditoria em uma grande empresa observou o valor de 50 notas fiscais 
emitidas durante um mês. Esta amostra apresentou os seguintes valores em dóla- 
res:
20.4 23.3 30.5 27.61O,
12.3
Agrupe, por frequência, estes dados.
8. Uma empresa automobilística selecionou ao acaso, uma amostra de 40 
dores autorizados em todo o Brasil e anotou em determinado mês o número 
unidades adquiridas por estes revendedores. Obteve os seguintes dados:
Classe Valor da nota US$ Número de notas
1 6.551 11.661 2
2 11.661 16.771 5
3 16.771 21.881 13
4 21 26.991 1O
5 26.991 32.101 9
6 32.1O1 37.211 6
7 37.211 42.321 5
Séries Estatísticas 27
10 15 25 21 6 23 15 21 26 32
9 14 19 20 32 18 16 26 24 20
7 18 17 28 35 22 19 39 18 21
15 18 22 20 25 28 30 16 12 20
Agrupe, por frequência, estes dados.
Uma indústria embala peças em caixas com 100 unidades. O controle de qualida- 
de selecionou 48 caixas na linha de produção e anotou em cada caixa o número 
de peças defeituosas. Obteve os seguintes dados:
2 0 0 4 3 0 0 1 0 0
1 1 2 1 1 1 1 1 1 0
o 0 3 0 0 0 2 0 0 1
1 2 0 2 0 0 0 0 0 0
o 0 0 0 0 0 1 0
Agrupe, por frequência, estes dados.
10. Um banco selecionou ao acaso 25 contas de pessoas físicas em uma agência, em 
determinado dia, obtendo os seguintes saldos em dólares:
1
3 39.61O,
Agrupe, por frequência, estes dados.
Uma solução uma margem de erro mínima é:
(anos)
17
18
19
20
21
Número de alunos
3
18
17
8
4
Classe Número de carros Número de revendedores
1 5 1o 3
2 10 15 3
3 15 20 12
4 20 25 11
5 25 30 6
6 30 35 3
7 35 40 2
Número de peças 
defeituosas por caixa
Número de caixas
28
1 12
2 5
3 2
4 1
28 Estatística 1
A,
A, ajustada =
- 6.55
- =
K = 7 A melhor opção para dividir 35.770 é 7 A = 5.110
8. Uma solução com uma margem de erro mínima é:
A,ajustada = 40 - 6 = 34, o que não é exatamente divisível por 6, nem por 7,nem por 8.
Ajustamos a amplitude para 40 - 5 = 35 para distribuir o erro. Assim, A, ajustada é 35. 
Podemos optar por 5 ou por 7 classes. Obviamente, a melhor opção é por sete classes.
Classe Número de contas
102
3
4
40.1
52.501 3
A, ajustada 52.501 - 3.250 49.251, que não é divisível por formainteira nem por 4, nem por 5 e nem 
por 6. Neste caso, consideramos a A, ajustada 52.501 - 3.249, para distribuir o erro. Assim:
Séries Estatísticas 29
2.7 Distribuição de Frequências - Variável Discreta
Uma vez que o interessado tenha colocado os dados na forma de uma 
distribuição de frequência, ele poderá rapidamente obter algumas informações 
adicionais e úteis para a compreensão da série, se considerar os seguintes 
conceitos:
RELATIVA DE UM ELEMENTO DA -
É a divisão da frequência simples deste elemento pelo número total de 
elementos da série.
Exemplo: Considere a variável discreta:
O total de elementos desta série é 25. Portanto, a frequência relativa 
primeiro elemento distinto da série, que é 2, vale:
A frequência relativa do segundo elemento distinto, que é 3, vale:
Da mesma forma determinamos a frequência relativa dos elementos 
seguintes da série:
30 Estatística 1
Note que estes valores representam a participação percentual de cada 
elemento distinto na série. Assim, podemos fazer a interpretação: 12% dos 
valores da série são iguais a 2; 28% dos valores da série são iguais a 3; 32% 
dos valores da série são iguais a 4; 24% dos valores da série são iguais a 6; e 
4% dos valores da série são iguais a 7.
É a soma da frequência simples deste elementocom as frequências 
simples dos elementos que o antecedem.
Desta forma, a frequência acumulada para os elementos 2, 3, 4, 6 e 7
valem respectivamente:
Estes valores podem ser interpretados da seguinte forma:
- 3 elementos componentes da série são valores menores ou iguais 
a 2.
- 10 elementos componentes da série são valores menores ou iguais 
a 3.
- 18 elementos componentes da série são valores menores ou iguais 
a 4.
Séries Estatísticas 31
- 24 elementos componentes da série são valores menores ou iguais 
a 6.
- 25 elementos componentes da série são valores menores ou iguais 
a 7.
ACUMULADA RELATIVA DE UM ELEMENTO DA
-
I
É a divisão da frequência acumulada deste elemento, pelo número 
de elementos da série:
Assim, a frequência acumulada relativa dos elementos 2, 3, 4, 6 e 7
respectivamente:
Estes valores podem ser interpretados da seguinte forma:
- 12% dos valores da série são menores ou iguais a 2.
- 40% dos valores da série são menores ou iguais a 3.
- 72% dos valores da série são menores ou iguais a 4.
- 96% dos valores da série são menores ou iguais a 6.
- 100% dos valores da série são menores ou iguais a 7.
Quando acrescentamos estes valores a tabela original, esta passa a
de frequências. Para o exemplo estabelecido, a 
de frequências é:
Classe Int. cl.
1 2 4 6
2 41 6 18
3 6 8 10
4 8 1O 6
32 Estatística 1
2.8 Distribuição de Frequências - Variável Contínua
No caso da variável contínua, pelo fato de termos utilizado intervalos 
de classe, semi-aberto a direita, as interpretações são diferentes. Portanto, 
redefiniremos estes tipos de frequência.
2.8.1 RELATIVA DE UMA CLASSE -
I
É a divisão da frequência simples desta classe pelo número total de 
elementos da série.
Exemplo: Considere a distribuição de frequência:
O total de elementos desta série é 40.
Portanto, a frequência relativa da primeira classe é:
Séries Estatísticas 33
A frequência relativa da segunda classe é:
A frequência relativa da terceira classe é:
é:
f = - = 
10 
= ou 25% e a frequência relativa da quarta classe
n 
-
40
Observe que estes valores representam a participação percentual dos 
elementos por classe. A interpretação para estes valores é:
- 15% dos valores da série são maiores ou iguais a 2 e menores que 
4.
- 45% dos valores da série são maiores ou iguais a 4 e menores que
6.
- 25% dos valores da série são maiores ou iguais a 6 e menores que 
8.
- 15% dos valores da série são maiores ou iguais a 8 e menores que 
10.
2.8.2 ACUMULADA DE UMA CLASSE -
É a soma da frequência simples desta classe com as frequências 
simples das classes anteriores.
Desta forma, as frequências acumuladas para estas classes são:
34 Estatística 1
Estes valores podem ser interpretados da seguinte forma, lembrando 
que são todos maiores ou iguais a 2.
- 6 elementos da série são valores menores que 4.
- 24 elementos da série são valores menores que 6.
- 34 elementos da série são valores menores que 8.
- 40 elementos da série são valores menores que 10.
2.8.3 ACUMULADA RELATIVA DE UMA CLASSE -
I
É a divisão da frequência acumulada desta classe pelo número total de 
elementos da série:
Deste modo, a frequência acumulada relativa para cada classe é:
Estes valores podem ser interpretados da seguinte forma, lembrando 
que são todos maiores ou iguais a 2:
- 15% dos valores da série são menores que 4.
- 60% dos valores da série são menores que 6.
- 85% dos valores da série são menores que 8.
- 100% dos valores da série são menores que 10.
Quando acrescentamos estes valores a tabela original, esta passa a 
se chamar de frequências. Para o exemplo estabelecido, a distri- 
buição de frequências é:
(anos) Número de alunos
17 3
18 18
19 17
20 8
21 4
Séries Estatísticas 35
Exercícios Propostos
O que é amplitude total de uma sequência de dados?
O que é limite inferior de uma classe?
O que é frequência simples de um elemento?
O que é frequência relativa de um elemento?
O que é frequência acumulada de um elemento?
O que é frequência acumulada relativa de um elemento?
O que é frequência simples de uma classe?
O que é frequência relativa de uma classe?
O que é frequência acumulada de uma classe?
O que é frequência acumulada relativa de uma classe?
Construa a distribuição de frequências para a série representativa da idade de 50
do primeiro ano de uma Faculdade.
os valores colocados na 
anterior.
o quadro.
da de frequências do
Classe Int. cl. f F
1 2 4 6 15 6 15
2
3
4 6
6 8
18
10
45
25
24
34
60
85
4 8 10 6 15 40 1O0
Número de 
acidentes por dia
Número 
de dias
O 30
1 5
2 3
3 1
4 1
Classe Salários US$ Número de funcionários
1 2
2 6
3 1O
4 5
5 2
Classe Int. cl. fi f,
1 6 10 1
2 10 14 25
3 14 18 14
4 18 22 90
5 22 26 2
36 Estatística 1
15. Interprete todos os valores da segunda linha da distribuição de frequências do 
problema anterior.
16. Construa a distribuição de frequências para a série abaixo que representa uma 
amostra dos salários de 25 funcionários selecionados em uma empresa.
17. Interprete os valores obtidos na quarta linha da distribuição de frequências do 
problema anterior.
18. Construa a distribuição de frequências para a série abaixo que representa o saldo 
de 25 contas de pessoas em uma agência em determinado dia.
Classe Número de funcionlrios
o
3
4 2
19. Interprete os valores da terceira linha da distribuição de frequências do problema 
anterior.
20. Complete o quadro de distribuição de frequências.
Idade (anos) Número de alunos % %
17 3 6 3 6
18 18 36 21 42
19 17 34 38 76
20 8 16 46 92
2 4 8 50
Número de 
acidentes 
por dia:
Número de dias % %
O 30 75 30 75
1 5 35
2 3 38 95
I
4 40 1
Séries Estatísticas 37
Interpretações:
19 - Há alunos nesta classe com 19 anos. 
17 - Há 17 alunos nesta classe com 19 anos.
34 - 34% dos alunos desta classe têm 19 anos.
38 - Nesta classe há 38 alunos com 19 anos ou menos. 
76 - 76% dos alunos desta classe têm 19 anos ou menos.
'3.
40
Interpretações:
1 - Há dias em que ocorre um acidente por dia neste cruzamento. 
5 - Em cinco dias dos 40 observados, ocorreu um acidente por dia.
- dos dias observados ocorreu um acidente por dia.
35 - Em 35 dias dos 40 observados ocorrereu um ou nenhum acidente por dia neste cruzamento.
- % dos dias observados ocorreram um ou nenhum acidente por dia neste cruzamento.
6.
Classe Salários US$ Número de 
funcionários
fi
% %
1 2 8 2 8
2 6 24 8 32
3 1O 40 18 72
4 5 20 23 92
5 2 8 25
Classe Saldos US$ Número de
contas
%
1 o-I 1 5 20 5 20
2 1O 40 15 60
3 8 32 23 92
4 2 8 25 1
38 Estatística 1
17. Interpretações:
4 - enfocando na ordem crescente a quarta classe de salários desta empresa.
1 - - salários destaclasse maiores ou iguais a e menores
que
5 - Há cinco funcionários com salários maiores ou iguais a US$ e menores que US$
e menores que20 - 20% dos funcionários selecionados têm salários maiores ou iguais a
US$
23 - Há 23 funcionários entre os selecionados com salários menores que
92 - 92% dos funcionáriosselecionados têm salários menores que US$
18.
19. Interpretações:
3 - enfocando, na ordem crescente, a terceira faixa de saldos nas contas das pessoas físicas.
1 - - Os valores desta faixa compreendem valores maiores ou iguais a US$
e menores que
e menores
e menores que US$
8 - Há oito contas entre as pesquisadas com saldos maiores ou iguais a 
que
32 - 32% das contas pesquisadas têm saldos maiores ou iguais a
23 - Há 23 contas entre as pesquisadas com saldos menores que
92 - 92% das contas pesquisadas têm saldos menores que
Int. cl.
10
3 14 18 8 40
4 18 22 4 20
5 22 26 2 1O
2.10 Representação Gráfica de Séries Estatísticas
Existem muitas formas de se representar graficamente uma série es- 
tatística.
Podemos citar entre elas: gráfico em linhas; em colunas; em barras, em 
setores; em porcentagens complementares; gráficos polares; gráficos pictóri- 
cos, cartogramas etc.
Séries Estatísticas 39
entanto, a maioria deles são simplesmente gráficos de
que o interessado com pequeno esforço poderá facilmente compreender.
Nosso interesse estará completamente voltado para os gráficos de 
análise da série estatística que são: Histograma, Polígono de frequência e a 
curva polida de frequência.
Estas representações gráficas assumem aspectos diferenciados para 
variável discreta e variável contínua.
É um conjunto de hastes, representadas em um sistema de coordena- 
das cartesianas que tem por base os valores distintos da série e por altura, 
valores proporcionais as frequências simples correspondentes destes elemen- 
tos
Exemplo: Se considerarmos a série:
então o histograma assume a forma:
40 Estatística 1
É um conjunto de retângulos justapostos, representados em um siste- 
ma de coordenadas cartesianas, bases são os intervalos de classe e 
cujas alturas são valores proporcionais as frequências simples corresponden- 
tes.
Exemplo: Se considerarmos a série:
então o histograma assume a forma:
Observe que não colocamos o zero no eixo horizontal na origem 
do sistema por uma questão de clareza da representação gráfica.
Deixamos, intencionalmente, um espaço igual a um intervalo de classe 
no início e no final da representação gráfica.
Se considerarmos este espaçamento inicial e final como sendo classes 
fictícias com frequência zero e unirmos os pontos médios das bases supe- 
riores destes retângulos, obtemos uma nova figura chamada polígono de 
frequência.
Classe Int. cl.
1 o 2 3
2 2 4 6
3 4 6 8
4 6 8 5
5 8 1O 2
Séries Estatísticas 41
0 2 4 6 8 1 0 cl.
Observe que a área do polígono de frequência é a mesma área do
Quando lidando com um censo, o histograma representa 
a distribuição de frequência da população, mas quando
dando com uma amostra, a histograma representa apenas a distribuição de 
da amostra e não da população.
No entanto, se imaginarmos o número n de elementos da amostra 
iumentando progressivamente, o número de classes iria aumentando pro- 
e a amplitude do intervalo de classe iria diminuindo, o que
o polígono de frequência praticamente em uma figura polida,
curva polida de frequência.
Esta figura nos dará uma noção da distribuição de frequência da
0 2 4 6 8 1 0 lnt.
Idade (anos) Número de alunos
17 3
18 18
19 17
20 8
21 4
Número de 
acidentes por dia
Número de dias
f i
O 30
1 5
2 3
3 1
4 1
Classe Salários US$ Número de
1 2
2 6
3 10
4 5
5 2
42 Estatística 1
2.11 Exercícios Propostos
Conceitue histograma para uma variável discreta.
2. Conceitue histograma para uma variável contínua.
3. Quando a série representa uma amostra qual é o principal objetivo da construção 
do histograma?
4. Construa um histograma para a distribuição de frequência:
5. Construa um histograma para a série representativa da idade de 50 alunos do 
primeiro ano de uma Faculdade:
6. Construa um histograma para a série representativa do número de acidentes por 
dia observados em determinado cruzamento, durante 40 dias:
7. Construa um para a série representativa de uma amostra dos salários 
de 25 funcionários selecionados em uma empresa.
8. Construa o de frequência para a distribuição do problema anterior.
Séries Estatísticas 43
Construa um histograma para a série representativa do saldo de 25 contas de 
pessoas físicas em uma agência em determinado dia.
Classe Número de contas
o-I 1
4 2
Construa o polígono de frequência para a distribuição do problema anterior.
44 Estatística 1
I I I I I Salários
Salários
Séries Estatísticas 45
o Saldos
de 
Tendência Central
1. Introdução
No estudo de uma série estatística é conveniente o cálculo de algumas 
medidas que a caracterizam.
Estas medidas, quando bem interpretadas, podem fornecer-nos infor- 
mações muito valiosas com respeito a série estatística.
Em suma, podemos reduzi-la a alguns valores, cuja interpretação for- 
nece-nos uma compreensão bastante precisa da série.
Um destes valores é a medida de tendência central.
É um valor intermediário da série, ou seja, um valor compreendido 
entre o menor e o maior valor da série. É também um valor em torno do qual 
os elementos da série estão distribuídos e a posiciona em relação ao eixo 
horizontal.
Em resumo, a medida de tendência central procura estabelecer um 
número no eixo horizontal em torno do qual a série se concentra.
As principais medidas de tendência central são: média, mediana e
moda.
No cálculo de várias medidas estatísticas, vamos utilizar somas de um 
grande número de parcelas.
Para facilitar a representação destas somas, introduziremos o conceito 
de somatório.
2. Somatório - Notação Sigma (C )
Quando queremos representar uma soma de n valores do tipo +
+ ... + podemos codificá-la através da expressão:
Medidas de Tendência Central 47
- é utilizada para representar as operações de adição entre as 
parcelas.
- é a parcela genérica
A parcela genérica é obtida tomando-se os termos constantes em 
as parcelas, no caso x. Para representar a parte variável em cada 
no caso os índices, utilizamos a letra i e indicamos a variação de i.
exemplo i varia, segundo números inteiros consecutivos de 1 até n.)
A expressão 
de 1 até n."
deve ser lida "soma dos valores xi, para i
i= 
Para que uma soma possa ser representada por esta notação é
que i assuma todos os valores inteiros consecutivos entre dois valores 
Assim, a soma:
4
+
i= 
Exemplos:
48 Estatística 1
Da mesma forma que codificamos a soma através da notação Sigma, 
podemos decodificar obtendo as parcelas componentes.
4
Para obter a primeira parcela da soma:
i= 2
basta substituir na parcela genérica 
extremo inferior, i = 2.
A primeira parcela da soma é
a variável i pela valor indicado no
Para obter a segunda parcela, basta substituir na parcela genérica
a variável i por 3. A segunda parcela vale A última parcela da soma é
o valor de ipor 4, que é oobtida quando substituímos na parcela genérica 
valor indicado no extremo superior.
A última parcela é
4
Portanto, = +
i= 2
Exemplos:
3
3. b)
3 
= - b)
3 + - -
, i= 
Apesar de ser apenas um código e não uma operação, a notação 
Sigma tem algumas propriedades que podem simplificar operações. Entre 
elas destacamos:
Medidas de Tendência Central 49
1. O somatório de uma soma é a soma dos somatórios.
n
De fato, se desenvolvermos obtemos:
i= 
n
2. O somatório de uma diferença é a diferença dos somatórios.
A demonstração é análoga a anterior.
3. O somatório do produto de uma constante por uma variável é
o produto da constante pelo somatório da variável.
n
Considerando a um número real qualquer e desenvolvendo 
obtemos:
(a. 
i= 
50 Estatística 1
n
( a . = ... =
i= n
= a. = a. 
i=
O somatório da divisão de uma variável poruma constante é a 
divisão do somatório da variável pela constante.
n
De fato, desenvolvendo
Um caso particular da notação Sigma é a representação de uma soma 
cujas parcelas todas iguais.
Neste caso, as parcelas são constituídas por valores constantes e a 
variável utilizada apenas para estabelecer o número de parcelas.
O número de parcelas é determinado pela diferença entre o valor de i 
indicado no extremo superior e o valor indicado no extremo inferior, adicionan- 
do-se uma unidade.
Assim, a soma 15 + 15 + 15 + 15 pode ser representado por:
4 5 6
15 15 15
i= -i =- 2 i= 3
em todos os casos a diferença entre o valor de iindicado no 
extremo superior e o valor de iindicado no extremo inferior, acrescida de uma 
unidade conduz a 4, que é o número de parcelas.
Desta forma,
Medidas de Tendência Central 51
3 é constituída de (7 - 2) + 1 = 6 parcelas. Portan-
to: i= 2
Nas aplicações estatísticas estaremos sempre interessados na 
soma de todos os valores da série. Portanto, i varia sempre de 1 a n e 
conseqüentemente não precisaremos indicar na notação sigma a variação de i.
Desta forma, identificaremos:
Isto facilita a apresentação das fórmulas de cálculos.
3.3 Exercícios Propostos
Escreva na notação Sigma, as somas: 
a)
c) (x, + 2) + + 2) + + 2)
d) 10)
- - -
2. Escreva as parcelas da soma indicada.
52 Estatística 1
3. Calcule para a tabela abaixo, o valor numérico das somas indicadas:
I 4. Usando as propriedades do somatório, desenvolva:
5. Usando a tabela do problema 3, verifique que:
Medidas de Tendência Central 53
SESPOSTAS
a) = 60 = 252. Portanto,
c) = 125 = 441. Portanto,
54 Estatística 1
3.4 Médias
Do ponto de vista teórico, vários tipos de média podem ser calculados 
para uma massa de dados.
Focalizaremos neste estudo as médias aritméticas geométricas e
3.4.1 SIMPLES
a média aritméticaPara uma sequência numérica
simples, que designaremos por definida por:
Exemplo: Se 2, 0, 5, 3, então =
4
Para uma sequência numérica ......, afetados de pesos p,,
respectivamente, a média aritmetica ponderada, que designare- 
mos por é definida por:
Exemplo: Se X: 2, 4, 5, com pesos 1, 3, 2 respectivamente, então:
Medidas de Tendência Central 55
a média geométrica
3.4.3 SIMPLES
Para uma sequência numérica
simples, que designaremos por é definida por:
Exemplo: Se X: 2, 4, 6, 9, então:
3.4.4 PONDERADA
Para uma sequência numérica X: afetados de pesos 
respectivamente, a média geométrica ponderada que designaremos
por é definida por:
Exemplo: Se X: 2,5 com pesos 3, 3, 1 respectivamente, então:
3.4.5 SIMPLES
Para uma sequência numérica de elementos não nulos X:
a média harmônica simples, que designaremos por é definida por:
Note que a média harmônica é o inverso da média aritmética dos 
inversos dos elementos.
Exemplo: Se X: 2, 5, 10, então:
PONDERADA
Para uma sequência numérica de elementos não nulos X:
afetados de pesos ... respectivamente, a média harmônica pondera-
. .
da que designaremos por é definida por:
Medidas de Tendência Central 57
Exemplo: Se X: 2, 4, 12 com pesos 3, 2,2 respectivamente, então:
Observando-se que:
1. A média aplica-se naturalmente quando se quer a ob- 
tenção de uma média unidade de medida seja o inverso da 
unidade de medida dos componentes da sequência original.
2. A média geométrica só é para representar uma série de 
valores aproximadamente em progressão geométrica.
3. Os casos anteriores não são muito frequentes nas aplicações. Va- 
mos restringir o desenvolvimento de médias ao caso de média 
aritmética, que é a média mais utilizada nas aplicações.
3.5 Cálculo da Média Aritmética
- DADOS BRUTOS OU ROL
Neste caso, devemos utilizar uma média aritmética simples:
Exemplo: Calcule a média da variável X: 3, 5, 8, 12, 7, 12, 15, 18, 20,
O valor médio desta série é 12, ou seja, os valores 
desta série concentram-se em torno do valor 12.
58 Estatística 1
- DISCRETA
Se os dados estão apresentados na forma de uma variável discreta, 
utilizaremos a média aritmética ponderada, considerando as frequências sim- 
ples como sendo as ponderações dos elementos correspondentes.
P,
passa aA fórmula de cálculo de originalmente era =
ser escrita como:
Exemplo: Determinar a média da distribuição:
Solução: Inicialmente devemos somar a coluna de frequências simples 
para obter o número total de elementos da série: C 10 elementos.
Em seguida, utilizamos a própria disposição da tabela para efetuar os 
produtos acrescentando estes valores dispostos em uma nova coluna. 
Em seguida somamos os valores desta coluna.
Na sequência substituímos estes valores na expressão
Classe Int. cl.
1 2 5 1
2 5 8 10
3 8 11 8
4 11 I 14 1
Medidas de Tendência Central 59
O valor médio da série é
dos valores da série.
isto é, 5,6 é o ponto de
Caso -
Se os dados estão apresentados na forma de uma variável continua, 
a média aritmética ponderada, considerando as frequências sim-
: das classes como sendo as ponderações dos pontos médios destas
asses.
O ponto médio, de cada classe é definido por:
A fórmula de cálculo de 
escrita como:
originalmente era = passa a
Exemplo: Determinar a média da distribuição:
Inicialmente, devemos somar a coluna das frequências sim- 
ples, obtendo = 20.
Na sequência, calculamos os pontos médios de classe: o ponto médio 
da primeira classe é = O ponto médio da segunda classe é
= o ponto médio da terceira classe é = e o ponto médio da
2
quarta classe é -
60 Estatística 1
Estes valores serão dispostos em uma nova coluna na tabela. Como 
no caso anterior, usaremos a própria tabela para a sequência de cálculos.
-
C
Portanto, X = - -
20
Classe
1
2
3
4
Int. cl.
2
5
8
11 I
5
8
11
14
Interpretação: O valor médio desta série é isto é, é o valor 
em torno do qual os elementos desta série se concentram.
Quando agrupamos os dados na disposição de uma 
variável contínua, passamos a trabalhar com os dados sem conhecimento de 
seus valores individuais.
Note no exemplo acima, que o máximo que podemos afirmar com 
respeito ao menor valor desta série é que ele é um valor maior ou igual a 2 e 
menor que 5. Mas não conhecemos seu valor individualizado.
O mesmo ocorre com todos os outros valores da série.
Este fato é que nos leva a substituir as classes pelos seus pontos 
médios ao calcular a média da série.
3.6 Exercícios Propostos
1. Calcule a média aritmética da série:
10, 12,
Y: 5, 6, 6, 10, 11, 11, 20.
(c) Z:
2. Um produto é acondicionado em lotes contendo cada um deles 10 unidades. O
lote só é aprovado se apresentar um peso superior a 40 quilos.
4; 5;Se as unidades que compõem determinado lote pesam: 3; 4;
4; 5, este lote será aprovado? Qual o peso médio do produto?
Calcule a média geométrica para as séries:
X: 1, 2, 4, 7, 16
Y: 81, 26, 10, 3, 1
1
10
8
1
65
76
Medidas de Tendência Central 61
Calcule a média harmônica da série:
e $Um produto é vendido em três supermercados por $
Determine quantos se paga em média pelo produto.
Um produto é vendido em três supermercados por $ $ e $
Determine, em média quantos quilos do produto se compra com 
Calcule a média harmônica da série 130, 132, 135.
a média aritmética da série:
. Calcule a média geométrica da série anterior.
Calcule a média harmônica da série anterior.
Verifique pelos cálculos anteriores qual relação é válida entre estas médias.
Uma loja vende cinco produtos básicos A, B, C, D, E. O lucro por unidade comer- 
cializada destes produtos vale respectivamente
$ A loja vendeu em determinado mês 20; 30; 20; 10; 5 
unidades respectivamente. Qual foi o lucro por unidade comercializada por 
esta loja?
Um caminhão cujo peso vazio é 3.000 kg será carregado com 480 caixas de 10 kg 
cada, 350 caixas de 8 kg cada, 500 caixas de 4 kg cada e 800 caixas de 5 kg 
cada. O motorista do caminhão pesa 80 kg e a lona de cobertura da carga pesa 50 
kg. (a) Se este caminhão tem que passar por uma balança que só permite passa- 
gens a caminhões com peso máximode 15 toneladas, este caminhão passará 
pela balança? (b) Qual o peso médio das caixas carregadas no caminhão?
Calcule a idade média dos alunos de uma classe de primeiro ano de determinada 
Faculdade, em anos.
I
Idade (anos) NQde alunos
17 3
18 18
19 17
20 8
21 4
acidentes 
por dia:
NQde dias
O 30
1 5
2 3
3 1
4 1
Classe Salários $ de
1 12
2 15
3 8
4 3
5 1
6 1
Classe Tempo de mão-de-obra 
(horas)
de motores
1 o -I 4 1
2 4 8 5
3 12 1O
4 12 16 12
5 16 20 4
62 Estatística 1
15. Calcule o número médio de acidentes por dia em uma determinada esquina.
16. O salário de 40 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadro 
abaixo. Calcule o salário médio destes funcionários.
17. Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, segundo o quadro 
abaixo:
Calcule o para estas residências.
18. Uma empresa de aviação observou em seus registros recentes, o tempo de mão- 
de-obra gasto na revisão completa de um motor de jato.
O seguinte quadro foi obtido:
Classe Aluguel $ NQde casas
1 O
1
30
2 52
3 28
4 7
5 3
Classe Número de unidades 
consumidas
de supermercados
1 O -I 1.000 1o
2 1.000 2.000 50
3 2.000 3.000 200
4 3.000 4.000 320
5 4.000 5.000 150
6 5.000 6.000 30
Medidas de Tendência Central 63
a) Determine o número médio de horas de mão-de-obra necessário para a revi- 
são de cada motor.
b) Com base nesta informação, qual deve ser o tempo total de mão-de-obra para 
a revisão de dez motores que aguardam revisão?
c) Se a empresa dispõe no momento de dois homens trabalhando 12 horas por 
dia nestas revisões conseguirá provavelmente revisar estes dez motores em 
quatro dias?
Uma empresa de âmbito nacional, fornecedora de supermercados, fez um levanta- 
mento do consumo de seu principal produto em vários supermercados obtendo em 
determinado mês, a tabela:
Determine o consumo médio deste supermercado pesquisado.
Uma pesquisa para determinar a eficiência de uma nova ração para animais, em 
termos de ganho de peso, mostrou que após um mês em que a ração normal foi 
substituída pela nova ração, os animais apresentaram um aumento de peso se- 
gundo a tabela:
a) Calcular o aumento médio de peso por animal.
b) Se a ração antiga proporcionava em iguais circunstâncias um aumento médio 
de peso de 3.100 esta nova ração pode a princípio ser considerada 
mais eficiente?
Refaça o problema anterior acrescentando a todos os limites de classe mais 2 kg. 
Compare a média com a média anterior,
e a E R, então x - a =
e a E R, então x + a = + a
- a
Especiais
2 . Prove que se X: 
Prove que se X: x,, 
Prove que se X:
25. Prove que se X:
a .e a E R, então
, a R e a 0, então =
Classe Aumento de peso
em
de animais
1 o 1 1
2 -I 2 5
2 3 35
3 4 37
4 5 28
n
= ... também pode ser
64 Estatística 1
26. Mostre que a média geométrica simples 
calculada
x
X = e
n
27. Mostre que a média geométrica ponderada =
pode ser calculada por:
C 
...
pode também ser calculada no caso
"' i
28. Mostre que a média ponderada =
de uma variável continua pela fórmula:
I
onde: é o ponto médio de classe de uma classe qualquer escolhida. 
são valores de uma nova variável obtidos pela transformação =
Esta fórmula é chamada Processo Breve do Cálculo da Média.
29. Calcule a média da tabela do problema 16, usando o Processo Breve.
30. Calcule a média da tabela do problema 17, usando o Processo Breve.
h
RESPOSTAS
b) 9,857 c) 8,145
b) 9,1225
b)
1. a)
2. Sim.
3. a) 3,8946
4. a) 9,6
5.
6. O,0075585
7.
8. 3,6
9. 3,478
O. 3,352
d
b) 6,385 kg13. a) Não
14.
15.
16.
17.
b) C)
19.
20. a) kg
21. a) 5,311 kg. A
b) Sim.
b) Sim.
da nova a média da série antiga acrescida de duas unidades.
Medidas de Tendência Central 65
L
n n
C
n
Da mesma forma demonstram-se, usando propriedades do somatório, os próximos exercícios.
... . Portanto,
n
X =
= ... 
1 
. Usando as propriedadesdo logaritmo:
= -
1
n
n
. Aplicando a operação antilogaritmo,obtemos:
. = ... .
= ... . Usando as propriedades do logaritmo:
... =-1
1
C 'i
1
= + + ... + =
= - . Aplicando a operação antilogaritmo obtemos:
-
23. X = + . h. Como =
a,
L h
, substituindo-se, obtém-se:
1
hh 
. h =
66 Estatística 1
3.7 Mediana
É um valor real que separa o rol em duas partes deixando a sua 
esquerda o mesmo número de elementos que a sua direita. Portanto, a me- 
diana é um valor que ocupa a posição central em uma série.
Notação: A mediana será denotada por
3.8 Cálculo da Mediana
Caso - DADOS BRUTOS OU ROL
Inicialmente devemos ordenar os elementos caso sejam dados bru-
tos, obtendo o Rol.
Em seguida determinamos o número n de elementos do Rol.
1.1. Se n é impar - O Rol admite apenas um termo central que 
ocupa a posição 0 do elemento que ocupa esta posição é a 
mediana.
Exemplo: Determinar a mediana do conjunto:
Solução: Ordenando estes elementos obtemos o rol. X: 2, 8, 12, 12,
20,
O número de elementos é n = 7 (ímpar), a posição do termo central é
A mediana é o quarto elemento do Rol: = 12.
O valor deixa a sua esquerda e sua direita o mesmo número de 
elementos, sendo, portanto, o elemento central da série.
Quando lidamos com com urn número de elementos, a 
quantidade de elementos esquerda é direita é aproximadamente 50% do 
total de elementos, o que conduz a genérica para a 
mediana: "50% dos valores da série são valores menores ou iguais a 12 e 
50% valores da série são maiores ou iguais a 12".
1.2. Se n é par - Neste caso, o rol admite dois termos centrais que
ocupam as posições e + A mediana é convencionada como
sendo a média dos valores que ocupam estas posições centrais.
Medidas de Tendência Central
Exemplo: Determinar a mediana da série: 
21, 15, 10, 8, 9, 13.
Solução: Ordenando estes elementos, obtemos o rol: 7, 8, 9,
O número de elementos é n = 8 (par). 
As posições dos termos centrais são: e +
O elemento que ocupa a quarta posição na série é 
ocupa a quinta posição é 13. Portanto,
e o elemento
Interpretação: 50% dos valores do rol são valores menores ou iguais a 
e 50% dos valores do rol são valores maiores ou iguais a
Caso - DISCRETA
Se os dados estão apresentados na forma de uma variável discreta,
já estão naturalmente ordenados.
Assim, basta verificar se o número de elementos da série é ímpar ou 
e aplicar o mesmo raciocínio do caso anterior.
Para facilitar a localização dos termos centrais, construímos a 
acumulada da série.
Exemplo Determinar a mediana da série:
Solução: O número de elementos da série é n = C = 23
Portanto, a série admite apenas um termo central que ocupa a posição
o
2
Construindo a frequência acumulada podemos localizar com facilidade 
décimo segundo elemento da série.
68 Estatística 1
Note que o elemento que ocupa a primeira posição na série é 2. Em 
seguida aparecem quatro elementos iguais a 5. Estes elementos ocupam na 
série as posições de segundo a quinto. Depois aparecem mais dez elementos 
iguais a 8 que ocupam na série as posições de sexto a décimo quinto.
o elemento que ocupa a décima segunda posição
vale 8, e podemos afirmar que 8.
Interpretação: 50% dos valores da série são iguais a 8 e
50% dos valores da série são maiores ou iguais a 8.
Exemplo 2: Calcular a mediana da série:
Solução: O número de elementos da série é 32 (par) e a série admite
dois termos centrais que ocupam as posições: e + =
Para localizar estes elementos, construímos a frequência acumulada da série.
Classe Int. cl.
1 3 6 2
2 6 9 5
3 9 12 8
4 12 15 3
5 15 18 1
Medidas de Tendência Central 69
As três primeiras posições da série são ocupadas por elementos iguais
3.
Da quarta a oitava posição os elementos são iguais a 1. Da nona a 
sexta posição os elementos são iguais a 2. Da décima sétima a 
sexta posição os elementos valem 3.
Portanto, o elemento que ocupa a décima sexta posição é 2 e o
que ocupa a décima sétima posição é 3 e, a me-
: é:
50% dos valores da série são
e 50% dos valores da série são valores maiores ou
ou iguais
a
Caso-
Se a dados são apresentados na forma de uma variável contínua, o 
anterior não pode ser utilizado, uma vez que mesmo identificada a 
da mediana na série, o valor do elemento da série que ocupa esta
não é identificável.
Utilizaremos um exemplo, para generalizar a fórmula de cálculo da
Considere a distribuição de frequência:
O número de elementos da série é n = = 19.
A mediana, por definição, separa o número de elementos da série em 
contendo cada um deles 50% dos elementos.
Portanto, a posição da mediana na série é No exemplo
O valor decimal 9,5 indica que a mediana é um elemento posicionado 
o nono e o décimo elemento da série.
Classe Int. cl.
1 3 6 2 2
2 6 9 5 7
3 9 12 8 15
4 12 15 3 18
5 15 18 1 19
70 Estatística
Construiremos a frequência acumulada para identificar em qual classe 
estão situados o nono e o décimo elemento da série.
Note que o nono e o décimo elementos estão posicionados na terceira 
classe, o que indica que a mediana é um valor compreendido entre 9 e 12. A 
classe que contém a mediana será identificada como classe mediana.
Este intervalo de três unidades contém oito elementos. Supondo que 
eles estão uniformemente distribuídos neste intervalo, então poderemos dividir 
este intervalo de modo proporcional a posição da mediana na série.
Ou seja: 
1 5 - 7 
-
3
. Simplificando:
X
Portanto:
Observando na fórmula em destaque acima que:
- 9 é o limite inferior da classe mediana.
- 9,5 é a metade dos elementos da série, isto é,
- 7 é a frequência acumulada da classe anterior a classe mediana.
- 8 é a frequência simples da classe mediana.
Medidas de Tendência Central 71
- 3 é a amplitude do intervalo de classe, poderemos generalizar a 
fórmula de cálculo da mediana para variável contínua:
- limite inferior da classe mediana.
n - número de elementos da série.
Frequência acumulada da classe anterior a classe mediana.
- frequência simples da classe mediana.
h - amplitude do intervalo de classe.
Devido as condições impostas na obtenção da
da mediana, fica evidente que o valor obtido pela fórmula é um valor 
do verdadeiro valor da mediana da série.
De modo geral, todas as medidas calculadas para uma variável 
serão valores aproximados para estas medidas, uma vez que ao 
os dados segundo uma variável contínua, há perda de informações
a identidade dos dados.
3.9 Exercícios Propostos
. Calcule a mediana da sequência:
a) 10, 12, 12
2. Interprete os valores obtidos no exercício anterior.
3. Calcule a mediana da distribuição.
NQde peças 
defeituosas 
por caixa
Número de 
caixas
o 20
1 15
2 12
3 6
4 4
5 2
72 Estatística 1
4. Calcule a mediana da distribuição do número de acidentes por dia, observados em 
determinado cruzamento, durante 40 dias.
por dia de dias
4 1
Interprete o valor da mediana obtida no problema anterior:
6. Calcule a mediana para a série representativa da idade de 50 alunos de uma 
classe do primeiro ano de uma Faculdade.
7. Inferprete o valor obtido para a mediana no problema anterior.
8. Uma máquina produz peças que são embaladas em caixas contendo 48 unidades. 
Uma pesquisa realizada com 59 caixas, revelou a existência de peças defeituosas 
seguindo a tabela:
Determine o valor mediano da série.
9. Interprete o valor obtido no problema anterior.
10. Determine o valor mediano da distribuição a seguir que representa os salários de
25 funcionários selecionados em uma empresa.
Classe Consumo por nota de notas
1 O-I 50 1O
2 50 1 28
3 100 150 12
4 150 200 2
5 200 250 1
6 250 300 1
Medidas de Tendência Central 73
Classe Salários NP de funcionários
1
10
4
5
5
2
'. Interprete o valor mediano obtido no problema anterior.
Uma loja de departamentos, selecionou um grupo de 54 notas fiscais, durante um 
dia, e obteve o seguinte quadro:
Determine o valor mediano da série. 
Interprete o valor obtido.
O departamento de recursos humanos de uma empresa, tendo em vista o aumen- 
to de produtividade de seus vendedores, resolveu, premiar com um aumento de 
5% no salário, a metade de seus vendedores mais eficientes. Para isto, fez um 
levantamento de vendas semanais, por vendedor, obtendo a tabela:
Classe Vendas NP de vendedores
3
4
5
10.000
20.000
30.000
40.000
10.000
20.000
30.000
40.000
50.000
27
31
1O
A partir de qual volume de vendas o vendedor será premiado?
- O consumo de energia elétrica verificado em 250 residências de famílias da classe 
média, com dois filhos, revelou a distribuição:
Calcule a mediana da distribuição.
3. Interprete o valor obtido.
Classe Consumo de
1 O-I 50 2
2 50 1 15
3 100 150 32
4 150 200 47
5 200 250 50
6 250 300 80
7 300 350 24
74 Estatística 1
RESPOSTAS
2. a) 50% dos valores da série são menores ou iguais a 8 e 50% são valores maiores ou iguais a 8.
maiores oub) 50% dos valores da série são menores ou iguais a 5 e 50% dos valores da série 
iguais a 5.
3. m, = 5.
4. O
5. Em 50% dos dias observados ocorreu acidente e em 50% dos dias observados ocorre O ou mais 
acidentes por dia.
7. 50% dos alunos desta sala tem 19 anos ou menos e 50% têm 79 anos ou mais.
9.
10.
50% das caixas contêm uma ou nenhuma peça defeituosa e 50% contêm uma ou mais peças defeitu- 
osas.
1.490.
11. 50% dos funcionários desta empresa recebem $1.490 ou menos e 50% recebem $1.490 ou 
m, =
13. 50% das notas apresentavam consumo menor ou igual a $ 80, 36 e 50% apresentavam consumo 
maior ou igual a
14.
15. = 229 Kwh.
16. 50% das residências da classe com dois filhos consomem 229 kwh ou menos e 50% consomem
229 ou mais.
3.10 Moda
É o valor de maior frequência em um conjunto de dados.
A moda será denotada por
3.11 Cálculo da Moda
Caso - DADOS BRUTOS OU ROL
Basta identificar o elemento de maior frequência.
Exemplos:
1.
O elemento de maior frequência é 5. Portanto, 
unimodal.
5. É uma sequência
Medidas de Tendência Central 75
:
: :
Esta sequência apresenta o elemento 6 e o elemento 10 como ele- 
de maior frequência. Portanto, = 6 e = 10. É uma sequência
Poderemos encontrar sequências trimodais, tetramodais e assim 
Estas sequências serão chamadas de forma genérica por se-
polimodais.
Observe que todos os elementos da série apresentam a mesma
Nesta situação, não há um elemento que se destaque pela maior 
e diremos que a série é amodal.
Caso - DISCRETA
Este caso é ainda mais simples. Note que na apresentação da variável 
screta, as frequências já estão computadas na segunda coluna. Basta
o elemento de maior frequência.
Exemplos:
A maior frequência observada na segunda coluna é 8 e corresponde 
elemento 3 da série. Portanto é, uma série unimodal com 3.
2.
76 Estatística 1
A maior frequência observada na segunda coluna é 5 e corresponde 
aos valores 2 e 4. Portanto, é uma série bimodal com = 2 e 4.
Observe que todos os elementos da série possuem a mesma frequên- 
cia. Portanto, a série é amodal.
Para determinar a moda de uma variável contínua, podemos optar por 
vários processos. Daremos destaque para a moda de Pearson, a moda de 
King e a moda de Czuber.
Processo: MODA DE PEARSON
Segundo PEARSON, a moda de uma variável contínua pode ser obtida 
através do valor da média e da mediana:
Classe Int. cl.
1 o 1o 1
2 10 20 3
3 20 30 6
4 30 40 2
Classe Int.
o 10 1 1
2 10 20 3 4
3 20 30 6 1O
4 30 40 2 12
Medidas de Tendência Central 77
Cálculo da mediana:
1
2
3
4
Cálculo da média:
Classe Int. cl.
A mediana corresponde ao sexto elemento da série. o sexto elemento
ia série está na terceira classe. Esta é a classe mediana. A mediana vale:
0
10
20
30
10
20
30
40
5
45
150
70
3
6
2
5
15
25
35
Classe Int.
o o 1
2 20 3
20 30 6
4 30 40 2
78 Estatística 1
Note que a moda está situada na terceira classe que é a classe de 
maior frequência da série.
A classe de maior frequência será chamada de classe modal.
Processo: MODA DE KING
levou em consideração, em sua fórmula, a frequência simples da 
classe anterior e a frequência simples da classe posterior a classe modal.
onde:- limite inferior da classe modal.
- frequência simples da classe posterior a classe modal.
- frequência simples da classe anterior a classe modal.
h - amplitude do intervalo de classe.
Exemplo: Calcule a moda de King para a distribuição:
Solução: A classe modal é a de maior frequência portanto é a terceira 
classe e a moda vale:
2
20 + 24
3+2 
Interpretação:24 é o valor mais frequente nesta distribuição.
Classe Int. cl.
1 o 10 1
2 10 1 20 3
3 20 1 30 6
4 30 1 40 2
Medidas de Tendência Central 79
Processo: MODA DE CZUBER
CZUBER levou em consideração, em sua fórmula a frequência simples 
da classe anterior, a frequência simples da classe posterior, além da frequên- 
cia simples da classe modal.
É, portanto, uma fórmula mais completa que a fórmula de King.
onde:
- limite inferior da classe modal.
- frequência simples da classe modal.
- frequência simples da classe anterior a classe modal.
- frequência simples da classe posterior a classe modal.
h - amplitude do intervalo de classe.
Exemplo: Calcule a moda de Czuber para a distribuição:
A classe modal é a terceira classe, portanto, a moda vale:
é o valor mais frequente nesta distribuição.
A fórmula de Pearson tem normalmente interesse teó- 
rico. Se não dispusermos da média e da mediana da distribuição, a fórmula de 
Pearson é a mais trabalhosa.
A fórmula de King é a mais simples delas, mas não é a mais precisa.
A fórmula de Czuber é mais precisa que a fórmula de King, pois leva 
também em consideração a frequência da classe modal.
80 Estatística 1
Observe que no exemplo utilizado o cálculo da moda pelos três pro- 
cessos determinou três valores diferentes.
É claro que os três valores obtidos são valores aproximados do verda- 
deiro valor da moda.
Normalmente o mais confiável é o valor da moda de Czuber.
As fórmulas de King e Czuber podem ser justificadas, de modo seme- 
lhante, com o histograma da distribuição.
a) Fórmula de King
Identifica-se a classe modal como sendo a de maior altura (frequência) 
e caracteriza-se a seu limite inferior I e seu limite superior L
Projeta-se a frequência da classe posterior na reta representativa da 
frequência da classe anterior obtendo-se o ponto A. Em seguida projeta-se a 
partir do L no sentido vertical, uma distância igual a frequência da classe 
anterior obtendo o ponto B.
O segmento de reta unindo os pontos A e B intercepta o eixo horizontal 
P, que identifica-se como sendo a moda da distribuição.
A amplitude do intervalo de classe é h e está dividida em duas partes.
Se chamarmos a parte de x, então a segunda parte será h - x.
Medidas de Tendência Central 81
Assim, observando a figura concluímos que:
Como os triângulos ACP e PDB são semelhantes (A, A, A), os lados 
proporcionais.
Então,
AC X
h - x ' 
Usando propriedade das proporções, podemos afirmar:
de onde conclui-se que:
Lembrando que AC = e que DB obtém-se
X = .h 
+
Substituindo o valor de x na expressão = I + x obtém-se:
82 Estatística 1
Int. cl.
Identifica-se a classe modal e caracteriza-se o seu limite inferior I e o 
seu limite superior L .
Unindo-se os A e D e os pontos B e C, os segmentos de reta 
determinados se interceptam no ponto P.
Em seguida projeta-se verticalmente este ponto no eixo horizontal ob- 
tendo o ponto M, que identifica-se como sendo a moda da distribuição.
A amplitude do intervalo de classe é h e está dividida em duas partes.
Se chamarmos a primeira parte de x, então a segunda parte será h - x.
Estes valores correspondem as alturas dos triângulos ABP e CDP 
respectivamente.
Como estes triângulos são semelhantes (A, A, A), os lados e as alturas 
são proporcionais. Então:
AB X
CD h - x ' 
Usando a propriedade das proporções, podemos afirmar:
Medidas de Tendência Central 83
onde se conclui que:
- e que CD = CF - DF =Lembrando que AB = AE - BE = f
, obtém-se:
x h = .h 
Como a moda é identificada como sendo o ponto M da figura, pode- 
rios afirmar que:
Substituindo o valor de x obtido anteriormente nesta expressão, a 
fica escrita:
m =
- +
Se a classe modal for a primeira classe, então = O
e se a classe modal for a última então = 0.
3.12 Utilização das Medidas de Tendência Central
Na maioria das situações, não necessitamos calcular as três medidas 
de tendência central.
Normalmente precisamos de apenas uma das medidas para caracteri- 
zar o centro da série.
Surge, então, a questão: qual medida deve ser utilizada?
84 Estatística
A medida ideal em cada caso é aquela que melhor representa a maio- 
ria dos dados da série.
Quando todos os dados de uma série estatística são iguais, a média, a 
mediana e a moda coincidirão com este valor e, portanto qualquer uma delas 
representará bem a série. No entanto, este caso dificilmente ocorrerá na 
prática.
Na maioria das vezes, teremos valores diferenciados para a série e 
conseqüentemente a medida irá representar bem, apenas os dados da série 
que se situam próximos a este valor. Os dados muito afastados em relação ao 
valor da medida não serão bem representados por ela.
Desta forma, se uma série apresenta forte concentração de dados em 
sua área central, a média, a mediana e a moda ficam também situadas em 
sua área central representando bem a série como na figura a). Como a mais 
conhecida é a média, optamos por esta medida de tendência central. Con- 
cluindo, devemos optar pela média, quando houver forte concentração de 
dados na área central da série.
Se uma série apresenta forte concentração de dados em seu início, a 
mediana e a moda estarão posicionadas mais no início da série, repre- 
sentando bem esta concentração. A média que é fortemente afetada por al- 
guns valores posicionados no final da série se deslocará para a direita desta 
concentração não a representando bem.
Como a mais conhecida entre mediana e moda é a mediana, esta será 
a medida neste caso.
A mesma situação ocorre se a série apresenta forte concentração de 
dados em seu final.
Concluindo, devemos optar pela mediana, quando houver forte con- 
centração de dados no início ou no final da série.
A moda deve ser a opção como medida de tendência central apenas 
em séries que apresentam um elemento típico, isto é, um valor frequên- 
cia é muito superior a frequência dos outros elementos da série.
NQde acidentes
por dia
de
O 30
1 5
2 3
3 1
4 1
Medidas de Tendência Central 85
3.13 Exercícios Propostos
. Calcule a moda das séries abaixo: 
a)
3
10, 10, 10, 11
b) 9,
c) J: 7, 7, 7, 7, 7
d) 6,
e) 5, 9, 8, 12.
2. Interprete os valores obtidos na 1
3. Calcule a moda da distribuição:
4. Interprete o valor obtido no problema
5. Calcule a moda da série:
6. Calcule a moda da distribuição do número de acidentes diários, observados em 
um cruzam-ento, durante 40 dias:
7. Interprete o valor obtido no problema anterior.
Calcule a moda da série representativa da idade de 50 alunos de uma classe de 
primeiro ano de uma Faculdade:
Idade (anos) NQ de alunos
20
9. Interprete o valor obtido no problema anterior.
Classe Notas Nil de alunos
1 0 1 - - 2 5
2 2 1 - - 4 2 0
3 4 1 - - 6 1 2
4 6 1 - - 8 2 0
5 8 1 - - 1 0 3
Classe Salarios $ Nil de funclonarios
1 1.000,00 1-- 1.200,00 2
2 1.200,00 1 - - 1.400,00 6
3 1 . 4 0 0 , 0 0 1 - -1 . 6 0 0 , 0 0 10
4 1.600,00 1-- 1.800,00 5
5 1.800,00 1-- 2.000,00 2
Classe Consumo por nota $ N9 de notas
1 0 1 - - 5 0 10
2 5 0 1 - - 1 0 0 2 8
3 1 0 0 1 - - 1 5 0 1 2
4 1 5 0 1 - - 2 0 0 2
5 2 0 0 1 - - 2 5 0
6 2 5 0 1 - - 3 0 0
Classe Nil de acidentes Nil de dias
1 0 1 - - 2 20
2 2 1 - - 4 6
3 4 1 - - 6 3
4 6 1 - 8 1
86 Estatistica 1
10. Ca/cute a moda de King para a distribui9ao representativa dos sa/arios de 25 
funcionarios selecionados em uma empresa.
11. Ca/cute a moda de Czuber para a tabela do prob/ema anterior.
12. lnterprete o valor da moda obtida no problema anterior.
13. Calcu/e a moda de King para a distribui<;ao de valores de 54 notas fiscais emitidas 
na mesma data, selecionadas em uma /oja