04 Medidas descritivas numéricas

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MEDIDAS DESCRITIVAS 
NUMÉRICAS
ESTATÍSTICA BÁSICA
ZOOTECNIA S2
PROF. JEFTÉ SILVA
MÉDIA ARITMÉTICA
MEDIDAS DESCRITIVAS NUMÉRICAS
MÉDIA ARITMÉTICA
� A média aritmética, também conhecida como média, representa a medida de 
tendência central mais frequentemente utilizada.
� Para dados não-agrupados, a média aritmética é obtida por meio da divisão da 
soma de todos os valores pelo número de valores do conjunto de dados.
���	�����	�
� = �
	�	��	�
�
�	
�	���
����ú	��
	��	���
���
MÉDIA ARITMÉTICA
� A média aritmética calculada para dados de amostras é representada por �̅ (lê-
se “x barra”).
� A média aritmética calculada para dados de populações é representada por (a 
letra grega “µ” (mi).
� Lembre-se de que o número de valores de um conjunto de dados é representado 
por:
� n para uma amostra
� N para uma população.
� A variável é representada por x.
MÉDIA ARITMÉTICA
� A média aritimética para dados não agrupados é obtido por meio da divisão da 
soma de todos os valores pelo número de valores no conjunto de dados.
� Assim:
� Sejam x1, x2, ..., xn portanto “n” valores da variável X. A média aritmética 
simples de X é definida por:
n
x
x
n
i
i∑
=
=
1 n
x
x
∑
=ou simplesmente
Isso é para 
amostras!!
MÉDIA ARITMÉTICA
� Média aritmética para amostras (�̅):
�̅ = ∑�
��
�
� Média aritmética para populações (µ):
� = ∑�
��
�
MÉDIA ARITMÉTICA
� Exemplo 01: A Tabela 1 fornece o total das folhas de pagamento de 2002, 
correspondentes a cinco times campeonato cearense de futebol
Time Total da folha de pagamento de 2002 (milhões de reais)
Ceará 62
Icasa 93
Fortaleza 126
Crateús 75
Ferroviário 34
Tabela 01 - Total das folhas de pagamento de 2002, correspondentes a 
cinco times do campeonato cearense de futebol
Responda
MÉDIA ARITMÉTICA
� Qual a variável?
� Total da folha de pagamento
� Qual valor corresponde a x1, x2, x3, x4, x5?
� x1 = 62
� x2 = 93
� x3 = 126
� x4 = 75
� x5 = 34
MÉDIA ARITMÉTICA
� Os dados são agrupados ou não agrupados?
� Não-agrupados
� Esses dados correspondem a uma amostra ou a uma população?
� Amostra (afinal o campeonato cearense não possui apenas cinco times)
� Calcule a média:
n
x
x
∑
= 5
34751269362 ++++
=x
milhões 78 R$x =
MÉDIA ARITMÉTICA
� Exemplo 02 : Os dados a seguir representam as idades de todos os oito 
empregados de uma pequena empresa:
53 – 32 – 61 – 27 – 39 – 44 – 49 – 57 
� Calcule a média:
� Os dados representam uma amostra ou uma população?
� = ∑�
��
�
� = 53 + 32 + 61 + 27 + 39 + 44 + 49 + 578
� = 3628
$ = %&, (&	)*+,
MÉDIA ARITMÉTICA
� Se tomarmos uma amostra de três empregados, no exemplo 2, e desejarmos 
tirar a média aritmética da idade de três empregados escolhidos ao acaso a 
média será representada por �̅.
� Suponha que os três valores incluídos na amostra sejam 32, 39 e 57. Então, a 
média idade para essa amostra corresponde a: (Calculem)
� 42,67 anos
� Se tomarmos uma segunda amostra com três empregados oriundos dessa 
empresa, o valor provavelmente será diferente. Exemplo: 53, 27 e 44. 
(Calculem)
� 41,33 anos
MÉDIA ARITMÉTICA
� Assim, podemos afirmar que o valor da média aritmética da população (µ), é 
constante.
� Entretanto, o valor da média aritmética da amostra, ./, varia de uma amostra 
para outra. 
� O valor de ./ para uma determinada amostra depende de quais valores da 
população estejam incluídos naquela amostra.
� Cuidado!!!!! � Às vezes, um conjunto de dados pode conter alguns poucos 
valores demasiadamente grandes. 
Outliers ou Valores Extremos � Valores que são demasiadamente pequenos, 
ou demasiadamente grandes, em relação à maior parte dos valores em um 
conjunto de dados, 
MÉDIA ARITMÉTICA
� Uma importante limitação da média aritmética, como uma medida de tendência 
central, diz respeito ao fato de ela ser demasiadamente sensível a valores 
extremos.
� Exemplo:
Cultivar Número de pragas
Setentão 7
Epace 10 10
Marataoã 5
Sempre verde 9
Vita 7 90
Tabela 02 – Numero de insetos pragas em cinco cultivares de feijão de corda
Valor extremo
MÉDIA ARITMÉTICA
� Calcule a média sem o valor da cultivar Vita 7:
�̅ = ∑�
��
�
�̅ = 7 + 10 + 5 + 94
./ = 1, 1&	2*,34+,
MÉDIA ARITMÉTICA
� Calcule a média com o valor da cultivar Vita 7:
�̅ = ∑�
��
�
�̅ = 7 + 10 + 5 + 9 + 905
./ = (%, (	2*,34+,
Um aumento de 
mais de três vezes
MÉDIA ARITMÉTICA
� O exemplo anterior deve nos incentivar a sermos cautelosos.
� Devemos lembrar que a média aritmética nem sempre representa a melhor 
medida de tendência central, uma vez que é fortemente influenciada por valores 
extremos (outliers).
� Às vezes, outras medidas de tendência central fornecem uma impressão mais 
acurada sobre um conjunto de dados.
PROPRIEDADES DA MÉDIA 
ARITMÉTICA SIMPLES
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES
PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA
� A média aritmética de uma constante é a própria constante:
a
n
an
n
aaa
n
a
a
n
i
==
+++
==
∑
=
....1
__
PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA
� A média aritmética do produto de uma constante (diferente de zero) por uma 
variável estatística é igual ao produto da constante pela média aritmética da 
variável estatística (corresponde a uma mudança de escala). O mesmo vale 
para divisão:
___
1211
_____
.
.
......
.
. Xa
n
xa
n
xaxaxa
n
xa
Xa
n
i
i
n
n
i
i
==
+++
==
∑∑
==
PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA
� A média aritmética da soma de uma constante com uma variável estatística é 
igual à soma da constante com a média aritmética da variável estatística. O 
mesmo vale para subtração.
( )
___
1211 ... Xa
n
xna
n
xaxaxa
n
xa
Xa
n
i
i
n
n
i
i
+=
+
=
++++++
=
+
=+
∑∑
==
PROPRIEDADES DA MÉDIA ARITMÉTICA
� A média aritmética da soma de duas variáveis estatísticas é igual à soma da 
média aritmética de cada variável estatística:
( )
______
11111 ... YX
n
yx
n
xxyx
n
yx
YX
n
i
i
n
i
i
yn
n
i
ii
+=
+
=
++++
=
+
=+
∑∑∑
===
MEDIANA
MEDIDAS DESCRITIVAS NUMÉRICAS
MEDIANA
� Outra medida importante de tendência central corresponde à mediana
� DEFINIÇÃO: A mediana representa o valor relativo ao termo posicionado no 
meio em um conjunto de dados que tenha sido classificado em ordem crescente.
� Ela divide um conjunto de dados classificados em duas partes iguais.
� Para se calcular a mediana toma-se os seguintes passos:
1. Classificar os dados em ordem crescente;
2. Encontrar o termo posicionado no meio. O valor deste termo corresponde à 
mediana.
MEDIANA
� A posição do termo do meio em um conjunto de dados com n valores é obtida da 
seguinte maneira:
5
��çã
	�
		��
 = 	� + 12
Valor da mediana para dados não agrupados:
Mediana = valor do 89:; ésimo termo em um conjunto de dados classificados
MEDIANA
� Caso o conjunto de dados apresentado represente uma população, substitua n
por N.
� Caso o número de observações em um conjunto de dados seja ímpar, então a 
mediana é fornecida pelo valor do termo posicionado no meio dos dados 
classificados.
� Se o número de observações for par, a mediana é fornecida pela média dos 
valores correspondentes aos dois termos do meio.
MEDIANA
� Exercícios
� Os dados a seguir fornecem a perda de peso (em libras) de uma amostra de 
cinco membros de um clube de saúde ao final de dois meses de associação ao 
clube. 
10 5 19 8 3
� Encontre a mediana.
MEDIANA
� Solução:
� Primeiro deve-se classificar os dados apresentados em ordem crescente, 
3 5 8 10 19
� Existem cinco observações noconjunto de dados. Consequentemente, n = 5
5
��çã
	�
		��
 = 	5 + 12
<+,2çã+	=+	>32+ = ?
� Portanto, a mediana corresponde ao valor do terceiro termo nos dados 
classificados
3 5 8 10 19
MEDIANA
� Solução:
� A mediana da perda de peso para essa amostra de cinco membros desse clube 
de saúde é de 8 libras.
MEDIANA
� Exercícios
� A Tabela 3.3 apresenta uma lista da receita total, para as 12 mais importantes 
temporadas americanas de concertos de todos os tempos.
� Encontre a mediana das receitas para esses dados.
MEDIANA
MEDIANA
� Solução:
� Inicialmente, classificamos os dados apresentados em ordem crescente, da 
seguinte maneira:
74,1 - 76,4 - 79,4 - 79,9 - 80,2 - 82,1 - 86,8 - 89,3 - 98,0 - 103,5 - 109,7 - 121,2
� Existem 12 valores no conjunto de dados (n = 12)
5
��çã
	�
		��
 = 	12 + 12
<+,2çã+	=+	>32+ = @, &
MEDIANA
� Solução:
� A mediana é fornecida pela média aritmética entre o sexto e o sétimo valores.
74,1 - 76,4 - 79,4 - 79,9 - 80,2 - 82,1 - 86,8 - 89,3 - 98,0 - 103,5 - 109,7 - 121,2
����� = 82,1 + 86,82
A3=2)*) = B$	D%, %&	>2EFõ3,
A mediana das receitas para as 12 principais temporadas norte-americanas de 
concertos de todos os tempos corresponde a U$ 84,45 milhões.
MEDIANA
� A mediana fornece o centro de um histograma, com metade dos valores de 
dados à esquerda da mediana e a outra metade dos valores à direita da 
mediana.
� A vantagem de se utilizar a mediana como uma medida de tendência central 
corresponde ao fato de que ela não é influenciada por valores extremos.
� Consequentemente, a mediana é preferida em relação à média aritmética como 
uma medida de tendência central para conjuntos de dados que contêm valores 
extremos (outliers).
MODA
MEDIDAS DESCRITIVAS NUMÉRICAS
MODA
� A moda é uma palavra que se origina da palavra francesa mode, que significa 
moda � um item que é mais popular ou mais comum. 
� Na estatística, a moda representa o valor mais comum em um conjunto de 
dados.
A moda corresponde ao valor que ocorre com mais frequência em um 
conjunto de dados
MODA
� Exemplo:
� Os dados abaixo são referente a cor de 10 animais em uma fazenda em 
Maraguape, Ceará
Branco – Vermelho – Preto – Vermelho – Branco – Branco – Preto – Vermelho 
Preto – Vermelho
Qual a moda?
MODA
� Uma importante limitação da moda corresponde ao fato de que um conjunto de 
dados pode não ter moda alguma, ou pode ter mais de uma moda � ao 
passo que possui apenas uma média aritmética e uma única mediana.
� Um conjunto de dados, no qual cada valor só ocorre uma única vez não
possui uma moda.
� Um conjunto de dados, com apenas um único valor ocorrendo com a 
frequência mais alta, possui somente uma única moda� UNIMODAL
� Um conjunto de dados com dois valores que ocorrem com a mesma 
frequência (mais alta) possui duas modas � BIMODAL
� Se mais do que dois valores em um junto de dados ocorrem com a mesma 
frequência (mais alta), então o conjunto de dados contém mais do que duas 
modas � MULTIMODAL
MODA
� As rendas do ano passado, para cinco famílias aleatoriamente selecionadas, 
foram R$ 36.150; R$ 95.750; R$ 54.985; R$77.490 e R$ 23.740. Encontre a 
moda.
Não possui uma moda
MODA
� Os preços de uma mesma marca de aparelho de televisão, em oito lojas, foram 
registrados como R$ 495,00; R$ 503,00; R$ 495,00, R$ 470,00, R$ 505,00, 
R$470,00 e R$ 499,00.
� Calcule a moda
� Neste conjunto de dados, cada um dos dois valores, R$ 495,00 e R$ 470,00, 
ocorre duas vezes.
� Dos valores remanescentes ocorre somente uma vez.
Por conseguinte, esse conjunto de dados possui duas modas: R$ 
495,00 e R$ 470,00
MODA
� Não podemos afirmar qual das três medidas de tendência central corresponde a 
uma melhor medida como um todo.
� Cada uma delas pode ser melhor em diferentes situações.
� Provavelmente, a média aritmética representa a medida de tendência central 
mais utilizada, seguida pela mediana.
� A média aritmética tem a vantagem de que seu cálculo inclui cada um dos 
valores referentes ao conjunto de dados.
� A mediana representa uma melhor medida quando o conjunto de dados inclui 
valores extremos.
� A moda é simples de localizar, mas não é muito utilizada em aplicações práticas.
RELAÇÕES ENTRE A MÉDIA 
ARITMÉTICA, A MEDIANA E 
A MODA
MEDIDAS DESCRITIVAS NUMÉRICAS
REL. ENTRE A MÉDIA, A MEDIANA E A MODA
� Vimos em organização de dados quantitativos, dois dos muitos formatos que um 
histograma ou uma curva de distribuição de frequências podem assumir são: 
simétrico e assimétrico.
� Existe relações entre a média aritmética, a mediana e a moda para três desses 
histogramas e curvas de frequências.
� O conhecimento sobre os valores da média aritmética, da mediana e da moda 
pode nos dar uma ideia sobre o formato de uma curva de frequências.
REL. ENTRE A MÉDIA, A MEDIANA E A MODA
� Para um histograma e uma curva de frequências simétricos, com um único pico 
os valores da média aritmética, da mediana e da moda são idênticos e se 
posicionam no centro da distribuição.
REL. ENTRE A MÉDIA, A MEDIANA E A MODA
� Para um histograma e uma curva de frequências assimétricas à direita, a média 
aritmética é o maior deles, o valor para a moda é o menor deles, e o valor da 
mediana se posiciona entre esses dois valores. (Observe que a moda sempre 
ocorre no ponto correspondente ao pico.)
� O valor da média aritmética é o maior neste caso, uma vez que é res extremos 
que ocorrem na cauda direita.
� Esses valores extremos puxam a média aritmética direita.
REL. ENTRE A MÉDIA, A MEDIANA E A MODA
� Para um histograma e uma curva de frequências assimétricas à direita, a média 
aritmética é o maior deles, o valor para a moda é o menor deles, e o valor da 
mediana se posiciona entre esses dois valores. (Observe que a moda sempre 
ocorre no ponto correspondente ao pico.)
REL. ENTRE A MÉDIA, A MEDIANA E A MODA
� Caso o histograma e a curva de distribuição sejam assimétricos à esquerda o 
valor da média aritmética é o menor deles, e o valor para a moda é o maior 
deles, com o valor da mediana se posicionando entre esses dois valores.
� Neste caso, os valores extremos na cauda esquerda a média aritmética para a 
esquerda.
REL. ENTRE A MÉDIA, A MEDIANA E A MODA
� Caso o histograma e a curva de distribuição sejam assimétricos à esquerda o 
valor da média aritmética é o menor deles, e o valor para a moda é o maior 
deles, com o valor da mediana se posicionando entre esses dois valores.
AMPLITUDE
MEDIDAS DESCRITIVAS NUMÉRICAS
AMPLITUDE
� A amplitude representa a medida de dispersão mais simples de calcular.
� Para obter a amplitude, toma-se a diferença entre o maior valor e o menor valor 
em um conjunto de dados.
Amplitude = Maior valor – Menor valor 
AMPLITUDE
� Exemplo:
RAÇA PESO (kg)
Nelore 450
Guzerá 519
Pardo-suíço 700
Holandesa 550
Aberdeen Angus 539
Tabela 04 – Peso de cinco raças de bovinos
� Calcule a amplitude
AMPLITUDE
� A amplitude, da mesma maneira que a média aritmética, apresenta a 
desvantagem de ser influenciada por valores extremos.
� Consequentemente, a amplitude não representa uma boa medida de dispersão 
para ser utilizada em relação a um conjunto de dados que contenha valores 
extremos.
� Outra desvantagem de se utilizar a amplitude como uma medida de dispersão 
corresponde que seu cálculo é baseado em apenas dois valores: o maior e o 
menor. Todos os outros valores do conjunto de dados são ignorados ao se 
calcular a amplitude. 
� Assim sendo, a amplitude não é uma da de dispersão muito satisfatória.
VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO
MEDIDAS DESCRITIVAS NUMÉRICAS
VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO
� O desvio-padrão representa a medida de dispersão mais utilizada.
� O valor relativoao desvio-padrão nos informa quão próximos os valores de um 
conjunto de dados estão agrupados em torno da média aritmética.
� Em geral, um valor mais baixo de desvio-padrão, para um conjunto de dados, 
indica que os valores daquele conjunto de dados estão dispersos ao longo de 
uma amplitude relativamente menor em torno da média aritmética.
� Em contrapartida, um maior valor de desvio-padrão, para um conjunto de dados, 
indica que os valores daquele conjunto de dados estão dispersos ao longo de 
uma amplitude relativamente maior em torno da média aritmética.
VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO
� A variância calculada para os dados da população é representada por σ2 (lê-se 
sigma ao quadrado), e a variância calculada para dados de amostras é 
representada por s2.
� O desvio-padrão é obtido extraindo-se a raiz quadrada positiva da variância. 
� Consequentemente, o desvio-padrão calculado para de populações é 
representado por σ, e o desvio-padrão calculado para dados de amostras é 
representado por s.
VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO
� EQUAÇÕES:
� Variância para população
H; = ∑(� − �)
;��
�
� Variância para amostra
�; = ∑(� − �̅)
;��
� − 1
VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO
� O valor de (x - µ) ou (x - �̅) nas fórmulas acima é chamado de desvio do valor 
de x em relação à média aritmética.
� A soma dos desvios dos valores de x em relação à média aritmética é sempre 
igual a zero.
� Assim: 
� ∑ � − � = 0 ��
� ∑ � − �̅ = 0 ��
VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO
� Por exemplo, suponha que os resultados de final de semestre, para uma 
amostra contendo e quatro alunos, sejam 82, 95, 67 e 92. 
� Então, a média aritmética do resultado relativo a esses quatro alunos é:
�̅ = 82 + 95 + 67 + 924
./ = D%
VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO
� CALCULO DOS DESVIOS
x . − ./
82 82 – 84 = - 2
95 95 – 84 = +11
67 67 – 84 = -17
92 92 – 84 = +8
L � − �̅ = 0 
�
�
VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO
� Do ponto de vista de cálculos, é mais fácil e mais eficiente utilizar fórmulas de 
atalho para calcular variância e o desvio-padrão.
� Utilizando as fórmulas de atalho, reduzimos o tempo de cálculo e erros 
decorrentes de arredondamentos. 
H; = ∑ M
NO(∑ P)²��R��
S e �; =
∑ MNO(∑ P)²��T��
8O:
� Observe que o denominador na fórmula para a variância da população é N, 
enquanto o denominador na fórmula para a variância da amostra corresponde a 
n - 1
VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO
� O desvio-padrão é calculado extraindo-se a raiz quadrada da variância:
H = H;� e � = �²�
VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO
� EXEMPLO:
Time Total da folha de pagamento de 2002 (milhões de reais)
Ceará 62
Icasa 93
Fortaleza 126
Crateús 75
Ferroviário 34
Tabela 01 - Total das folhas de pagamento de 2002, correspondentes a 
cinco times do campeonato cearense de futebol
Calcular a variância e o desvio padrão
VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO
� EXEMPLO:
Time Folha de pagamento �²
Ceará 62 3.844
Icasa 93 8.649
Fortaleza 126 15.876
Crateús 75 5.625
Ferroviário 34 1.156
L� = 390
�
�
L�² = 35.150
�
�
OBSERVAÇÕES
VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO
OBS. DE VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO
� Os valores da variância e do desvio-padrão:
NUNCA SÃO NEGATIVOS
OBS. DE VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO
� Isso significa que o numerador na fórmula para a variância nunca deve resultar 
em um valor negativo.
� Geralmente, os valores da variância e do desvio-padrão são positivos mas, caso 
um conjunto de dados não tenha variação a variância e o desvio-padrão serão, 
então, iguais a zero. 
� Exemplo: caso quatro pessoas em um grupo tenham a mesma idade - digamos, 
35 anos - os quatro valores no conjunto de dados correspondem a:
35 35 35 35
� Se calcularmos a variância e o desvio-padrão para esses dados, seus 
valores serão iguais a zero ocorre porque não existe variação entre os 
valores desse conjunto de dados.
OBS. DE VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO
� As unidades de medida da variância são sempre iguais ao quadrado das 
unidades de dos dados originais.
� Isso ocorre porque os valores originais são elevados ao quadrado para se 
calcular a variância.
� No exemplo dos times de futebol, as unidades de medida dos dados originais 
milhões de reais.
� No entanto, as unidades de medida da variância são milhões de reais elevados a 
quadrado que, evidentemente, não fazem sentido.
� No entanto, as unidades de medida do desvio-padrão são as mesmas que as 
medida dos dados originais, uma vez que o desvio-padrão é obtido extraindo-se 
a raiz quadrada da variância.
EXEMPLOS
VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO
EXEMPLOS
� A seguir são listados os rendimentos de 2002 (em milhares de reais), sem 
impostos, para todos empregados de uma pequena empresa.
Empregado Salário .²
1 48,50 2.352,25
2 38,40 1.474,56
3 65,50 4.290,25
4 22,60 510,76
5 79,80 6.368,04
6 54,60 2.981,16
L� = 309,4
�
�
L�² = 17.977,02
�
�
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
MEDIDAS DESCRITIVAS NUMÉRICAS
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
� Uma desvantagem do desvio-padrão como uma medida de dispersão 
corresponde ao fato de que o mesmo representa uma medida de variabilidade 
absoluta, e não de variabilidade relativa.
� Às vezes, pode ser necessário comparar a variabilidade de dois conjuntos de 
dados diferentes, que têm diferentes unidades de medida.
� O coeficiente de variação, representado por CV, expressa o desvio padrão como 
uma percentagem da média aritmética.
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
� Fórmulas básicas, utilizadas para calcular a variância da população e a variância 
da amostra para dados agrupados:
� Coeficiente de variação para população:
UV = H� × 100
� Coeficiente de variação para amostra:
UV = ��̅ × 100
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
� Os salários anuais de todos os empregados que trabalham para uma empresa 
têm uma média aritmética de $42.350 e um desvio-padrão de $3820,00.
� Os anos de escolaridade para os mesmos empregados têm uma média 
aritmética de 15 anos e um desvio-padrão de 2 anos.
� A variação relativa nos salários é maior ou menor que a variação relativa 
correspondente aos anos de escolaridade desses empregados?
MÉDIA PONDERADA
MEDIDAS DESCRITIVAS NUMÉRICAS
MÉDIA PONDERADA
� Em algumas aplicações, certos valores em um conjunto de dados podem ser 
considerados mais importantes do que outros.
� Por exemplo, para determinar as notas de alunos em um curso, um professor 
pode atribuir um peso à prova final que seja duas vezes maior que o peso 
atribuído a cada uma das outras provas.
� Nestes casos, é mais apropriado utilizar a média aritmética ponderada. 
MÉDIA PONDERADA
� Em geral, para uma sequência de n valores de dados, x1, x2,..xn, aos quais são 
atribuídos pesos p1, p2,...pn, respectivamente, a média aritmética ponderada é 
encontrada por meio da fórmula:
���	X
������� = ∑�X
��
∑X��
na qual ∑�X�� é obtido multiplicando-se cada valor de dado por seu peso e, em 
seguida, somando-se os produtos
MÉDIA PONDERADA
� EXERCÍCIO
� Suponha que um professor faça duas provas além de uma prova final, 
atribuindo à prova final um peso duas vezes maior do que aquele atribuído a 
cada uma das outras provas. Encontre a média aritmética ponderada para um 
aluno que faça 73 e 67 pontos nas primeiras duas provas e 85 na prova final. 
MÉDIA GEOMÉTRICA
MEDIDAS DESCRITIVAS NUMÉRICAS
MÉDIA GEOMÉTRICA
� Ao estudar fenômenos tais como a inflação ou variações na população, que 
envolvam aumentos ou diminuições periódicas, a média aritmética geométrica 
é utilizada para encontrar a média da variação ao longo de todo o período em 
estudo.
� Para calcular a média aritmética geométrica de uma sequência de n valores, x1, 
x2, ..., xn, multiplicamos esses valores e, em seguida, encontramos a raiz para 
esse produto. 
� Assim:
	��	Y�
	��
� = �: ×�; ×⋯�8T
MÉDIA GEOMÉTRICA
� EXERCÍCIO
� Suponha que as taxas de inflação para os últimos cinco anos sejam 4%, 3%, 
5%, 6% e 8%, respectivamente
� Conseguinte, ao final do primeiro ano, o índice de preços será 1,04 vez maior 
que o índice de preços no início do ano, e assim sucessivamente.
� Encontre a média aritmética da taxa de inflação ao longo do período de cinco 
anos encontrando a média aritmética geométrica para o conjunto de dados: 
1,04; 1,03; 1,05; 1,06 e 1,08