Balanço de Massa em Estado Transiente[572]

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Universidade Federal de Santa Maria 
Curso de Engenharia Química 
Disciplina: Balanço de Massa e Energia 
Prof. Adriano Cancelier 
 
 
Balanços de Massa em Estado Transiente 
 
 
Muitos processos contínuos não são operados durante todo o tempo em estado 
estacionário, embora sejam mantidos durante a maior parte do tempo neste estado. Ao menos 
durante a partida (startup) ou parada (shutdown) todos os processos apresentam estado 
transientes. Outros processos, porém, são continuamente operados em estado transiente, como 
reatores em batelada ou semi-batelada, por exemplo. 
Consideremos um tanque utilizado para misturar duas soluções: 
 
Solução contendo soluto A Solução contendo soluto B
Mistura A + B
 
 
 Se as vazões mássicas de A e B forem mantidas constantes, teremos uma solução, saindo 
do tanque, com concentrações de A e B constantes. Mantidas estas condições o processo estaria 
sendo operado em estado estacionário. Porém, se em algum instante a concentração de alguma 
das correntes de alimentação sofrer alguma alteração (perturbação) a concentração no interior do 
tanque, e consequentemente na saída deste, sofrerá variação ao longo do tempo, até que a 
situação seja novamente normalizada. Durante a fase onde a concentração no interior do tanque 
for alterada, teremos o estado transiente. 
 
CA
CA
t
t
Tanque
Alimentação
 
 
 Os balanços em regime transiente, ou não-estacionário, envolvem processos nos quais as 
quantidades e as condições operacionais variam com o tempo no interior do sistema. Porém, as 
análises realizadas sobre os processos operados em estado estacionário são mantidas para esta 
análise, acrescentando-se a análise temporal (dinâmica). 
 2
Fundamentação 
 
 Da mesma forma que o balanço em estado estacionário, pode-se realizar o balanço de 
massa transiente total (soma das massas de todos os constituintes do sistema) e o balanço de 
massa para espécies. Quando dizemos que um processo, através do balanço de massa, está em 
estado transiente, estamos afirmando que a massa do sistema ou a massa de alguma espécie 
química no sistema está variando ao longo do tempo. A variação da massa, no sistema, ao longo 
do tempo é denominada acúmulo de massa, definido como: 
 
 Acúmulo de massa = ttt mm −∆+ 
 
 Acúmulo de massa da espécie i = titti mm −∆+ 
 
 Acúmulo positivo = ttt mm >∆+ e titti mm >∆+ 
 
 Acúmulo negativo = ttt mm <∆+ e titti mm <∆+ 
 
 Acúmulo Zero = Estado estacionário = ttt mm =∆+ e titti mm =∆+ 
 
 
Balanço de Massa Sem Reação Química em Regime Transiente 
 
 Consideremos o seguinte sistema sem reação química, para um componente: 
 
W1
W2
mt+∆t
mt
 
 
 Onde W1 e W2 são vazões mássicas (massa/tempo). 
 
 Para o sistema sem reação química, o balanço geral de massa é escrito como: 
 






−





=





Saemque
MassasdasSoma
Entramque
MassasdasSoma
Acumulada
Massa
 
 
 
 
 
 
 Adotando-se como base de cálculo ∆t, teremos: 
 
tWtWmm ttt ∆−∆=−∆+ 21 
 3
Se dividirmos a equação anterior por ∆t, teremos: 
 
21 WWt
mm ttt
−=
∆
−∆+
 
 
 Se tomarmos o limite da equação anterior quando ∆t → 0: 
 
dt
dm
t
mm ttt
t
=
∆
−∆+
→∆ 0
lim 
 
Portanto: 21 WWdt
dm
−= 
 
 
Para uma Mistura 
 
Considere o esquema: 
 
W3 , xA3
W1 , xA1 W2 , xA2
mA
mA
t+∆t
t
W3 , xA3
W1 , xA1 W2 , xA2
mA
mA
t+∆t
t
 
 
 onde: xA = Fração mássica do composto A. 
 W = vazão mássica (massa/tempo). 
 
 Neste caso, para o balanço parcial de compostos, deve-se considerar a composição da 
mistura, que pode ser dada pela concentração, fração molar, mássica ou volumétrica. 
 
O balanço de massa total (transiente) fica: 
 
tWtWtWmm ttt ∆−∆+∆=−∆+ 321 
 
 
 Dividindo a equação por ∆t: 
 
321 WWWt
mm ttt
−+=
∆
−∆+
 
 4
 Se tomarmos o limite da equação anterior quando ∆t → 0: 
 
dt
dm
t
mm ttt
t
=
∆
−∆+
→∆ 0
lim 
 
Assim: 321 WWWdt
dm
−+= 
 
 
 Realizando, agora, o balanço material transiente para a espécie A: 
 






−





=





aide A que S
assasSoma das M
ntrade A que E
assasSoma das M
de AAcumulada 
Massa
 
 
txWtxWtxWmm AAAtAttA ∆−∆+∆=−∆+ 332211 
 
 Dividindo a equação por ∆t: 
 
332211 AAA
tAttA
xWxWxW
t
mm
−+=
∆
−∆+
 
 
 Tomando o limite da equação anterior quando ∆t → 0: 
 
dt
dm
t
mm AtAttA
t
=
∆
−∆+
→∆ 0
lim 
 
 Assim: 332211 AAAA xWxWxWdt
dm
−+= 
 
 
Balanço de Massa Com Reação Química em Regime Transiente 
 
 O aparecimento de reações químicas não implica em operações transientes, porém o 
termo de reação sempre representa o consumo (reagentes) ou formação (produtos) ao longo do 
tempo. Sendo assim, a expressão geral para o balanço material para o componente “i” em 
sistemas transientes com reação química é: 
 






−





+





−





=





Consumida
ideMassa
Gerada
ideMassa
ideque Saem
assasSoma das M
ideEntramque
MassasdasSoma
Acumulada
ideMassa "" "" 
"" "" 
 "" 
 
 
 Existem diversas formas de se expressar a velocidade de reações químicas, que 
determinam a taxa de geração ou de formação de produtos, porém a forma mais comum, em 
sistemas homogêneos, é: 
 
)Reagentes dos ãoConcentraç,(TfrA =− 
 
 5
 Como exemplo, para uma reação do tipo: aA + bB → cC; 
 
βα
BAA CKCr −= 
onde α e β representam a ordem de reação em relação aos reagentes A e B, respectivamente. 
 
Por estequiometria, pode-se afirmar que: 
c
r
b
r
a
r CBA
=−=− 
 
onde K, velocidade específica de reação, é função da temperatura, determinado pela Equação de 
Arrhenius: 
RT
EA
eKK
−
= 0 
 
sendo: K0 = Fator de freqüência ou fator pré-exponencial; 
 EA = Energia de ativação; 
 R = Constante dos gases ideais; 
 T = Temperatura absoluta. 
 
 Para o balanço material, considere o sistema com reação química abaixo: 
 
F1 F2
F3
FA0
CA0
FB0
CB0
FA FB FC
CA CB CC
V
aA + bB →→→→ cC
 
 
onde: Fij = Vazão molar da espécie “i” na corrente “j” (mol/tempo); 
 Cij = Concentração molar da espécie “i” na corrente “j” (mol/volume), poderia ser 
concentração simples; 
 F1, F2, F3: Vazão mássica total da corrente (massa/tempo), poderia ser vazão molar ou 
volumétrica; 
 V = Volume de reação. 
 
 
- Balanço global de massa: 
 
321 FFFdt
dm
−+= 
 
 
- Balanço de massa para a espécie A: 
 
 Definindo-se NA como número de mols da espécie A: 
 
temAdeConsumotFtFNN AAtAttA ∆−∆−∆=−∆+ 0 
 6
A taxa de consumo de uma espécie química A é denotada como rA (taxa de reação): 
 
tempovolume
consumidosA de mols de número
×
=Ar 
 
Assim: tVrtFtFNN AAAtAttA ∆+∆−∆=−∆+ 0 
 
 Dividindo a equação por ∆t e aplicando o limite quando ∆t → 0: 
 
VrFF
dt
dN
AAA
A +−= 0 
 
 Se o volume do sistema for mantido constante: 
 
VrFF
dt
dCV AAAA +−= 0 
 
 A vazão molar para o componente pode ser escrita como: 000 vCF AA = , sendo 0v a vazão 
volumétrica, dada em volume/tempo. Sendo assim: 
 
A
AAA r
V
vCvC
dt
dC
+
−
=
00
 
Lembrando que βα BAA CKCr −= . 
 
 7
Exemplos 
 
1 – Determine o tempo necessário para esvaziar o tanque cilíndrico abaixo, que contém um 
fluido puro, em função da altura inicial. 
 
ho
q2
hoho
q2
 
 
2 – A figura abaixo representa um tanque misturador contendo, inicialmente, 10 m3 de uma 
solução aquosa de sal com concentraçãode 100 g/L. As bombas 1 e 2 são ligadas em t=0. 
Encontre a expressão para a concentração da linha de saída em função do tempo. Qual a massa 
de sal contida no tanque após meia hora de operação? 
 
1
2
q1=3x10-4 m3/s
q2=4x10-4 m3/s1
2
q1=3x10-4 m3/s
q2=4x10-4 m3/s
 
 
3 – Um reator batelada processa uma reação elementar do tipo A → B. Encontre o perfil de 
concentração de reagente ao longo do tempo de reação. 
 
4 – Para o reator contínuo abaixo, encontre uma expressão para o cálculo da conversão do 
reagente “A” em função do tempo. 
 
F1 [L/h]
CA0 [gmol/L]
F, CA, CB, CC
V
F1 [L/h]
CA0 [gmol/L]
F, CA, CB, CC
V
 
Considere que F1 = F, ou seja, volume do sistema 
é constante. 
 
A reação elementar pode ser representada como: 
A → B + C