Exercícios de Probabilidade e Estatística

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Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri
Instituto de Cieˆncia e Tecnologia
Diamantina - Minas Gerais
CTD113 - Probabilidade e Estat´ıstica Prof. Dr. Ricardo Luis dos Reis
Lista de Exerc´ıcios: Probabilidade
1. Uma indu´stria automobil´ıstica esta´ preocupada com um poss´ıvel recall de seu seda˜ quatro portas
mais vendido. Se houver um recall, ha´ 0,25 de probabilidade de que o defeito seja no sistema de
freios; 0,18 de que de que seja na transmissa˜o; 0,17 de que seja no sistema de combust´ıvel e 0,40
de que seja em alguma outra parte. Qual e´ a probabilidade de que o defeito esteja nos freios ou no
sistema de combust´ıvel, se a probabilidade de defeitos em ambos os sistemas, simultaneamente,
e´ de 0,15? R: 0,27
2. Ha´ um interesse centrado na vida u´til de um componente eletroˆnico. Suponha que se saiba que
a probabilidade de que esse componente sobreviva mais que 6.000 horas e´ de 0,42. Suponha,
tambe´m, que a probabilidade de que tal componente sobreviva na˜o mais que 4.000 horas e´ de
0,04.
(a) Qual e´ a probabilidade de que a vida u´ltil do componente seja menor ou igual a 6.000 horas?
R: 0,58
(b) Qual e´ a probabilidade de que a vida u´til desse componente seja maior que 4.000 horas? R:
0,96
3. Os trabalhadores de uma fa´brica sa˜o encorajados constantemente para que se pratique a to-
leraˆncia zero a acidentes de trabalho. Os acidentes podem ocorrer devido ao ambiente de tra-
balho ou a condic¸o˜es que na˜o sa˜o seguras. Por outro lado, eles podem ocorrer por descuido
ou erro humano. Ale´m disso, os turnos de trabalho dos funciona´rios, que sa˜o das 7h a`s 15h
(turno matutino), das 15h a`s 23h (turno vespertino) e das 23h a`s 7h (turno noturno), podem
ser outro fator de acidentes. Durante o ano passado, ocorreram 300 acidentes. As porcentagens
de acidentes para as combinac¸o˜es de condic¸o˜es sa˜o:
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Turno Condic¸o˜es inseguras Erro humano
Matutino 5% 32%
Vespertino 6% 25%
Noturno 2% 30%
Se um acidente reportado e´ selecionado aleatoriamente dentre os 300,
(a) Qual e´ a probabilidade de que o acidente tenha ocorrido durante o turno noturno? R: 0,32
(b) Qual e´ a probabilidade de que o acidente tenho ocorrido devido a erro humano? R: 0,87
(c) Qual e´ a probabilidade de que o acidente tenha ocorrido devido a condic¸o˜es inseguras? R:
0,13
(d) Qual e´ a probabilidade de que o acidente tenha ocorrido no turno vespertino ou no turno
noturno? R: 0,63
4. E´ comum, em muitas a´reas industriais, o uso de ma´quinas envasadoras para colocar os produtos
em caixas. Isso ocorre na indu´stria aliment´ıcia, bem como em outras a´reas nas quais os produtos
teˆm uso dome´stico, como o detergente. Tais ma´quinas na˜o sa˜o perfeitas e podem: A, atender
a`s especificac¸o˜es; B, encher as caixas menos do que o necessa´rio; ou C, encher mais do que o
necessa´rio. Geralmente, o na˜o enchimento das caixas e´ o que se deseja evitar. Seja P (B) = 0, 001
enquanto P (A) = 0, 99.
(a) Fornec¸a P(C). R: 0,009
(b) Qual e´ a probabilidade de a ma´quina na˜o encher as caixas menos do que o necessa´rio? R:
0,999
(c) Qual e´ a probabilidade de a ma´quina encher as caixas mais do que o necessa´rio ou encher
menos do que o necessa´rio? R: 0,01
5. Como a situac¸a˜o anterior pode sugerir, os procedimentos estat´ısticos sa˜o frequentemente usados
para o controle de qualidade (ou seja, controle de qualidade industrial). A`s vezes, o peso de um
produto e´ uma varia´vel importante a ser controlada. Sa˜o dadas as especificac¸o˜es para o peso
de certo produto empacotado e o pacote e´ rejeitado se estiver muito pesado ou muito leve. Os
dados histo´ricos sugerem que 0,95 e´ a probabilidade de que o produto atenda a`s especificac¸o˜es
de peso, enquanto 0,002 e´ a probabilidade de que o produto seja leve demais. Para cada pacote
do produto o fabricante investe R$ 20,00 na produc¸a˜o e o prec¸o de compra pelo cliente e´ de R$
25,00.
(a) Qual e´ a probabilidade de que um pacote escolhido aleatoriamente da linha de produc¸a˜o
esteja muito pesado? R: 0,048
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(b) Para cada 10.000 pacotes vendidos, qual e´ o lucro do fabricante se todos os pacotes atendem
a`s especificac¸o˜es? R: R$ 50.000,00
(c) Assumindo-se que todos os pacotes ‘defeituosos’ sejam rejeitados e na˜o rendam lucro nenhum,
de quanto sera´ o lucro reduzido em 10.000 pacotes devido a` falha de na˜o se atender a`s
especificac¸o˜es? R: R$ 12.500,00
6. A probabilidade de que um automo´vel sendo abastecido com gasolina tambe´m necessite de uma
troca de o´leo e´ de 0,25; a probabilidade de que ele precise de um novo filtro de o´leo e´ de 0,40; e
a probabilidade de que sejam necessa´rias tanto a troca de o´leo quanto a de filtro e´ de 0,14.
(a) Se o o´leo tiver de ser trocado, qual e´ a probabilidade de que o filtro tambe´m tenha de ser
trocado? R: 0,56
(b) Se for preciso um novo filtro, qual e´ a probabilidade de que o o´leo tambe´m precise ser
trocado? R: 0,35
7. Suponha que o diagrama de um sistema ele´trico seja o da Figura 1. Qual e´ a probabilidade de
que o sistema funcione? Assuma que os componentes falham independentemente. R: 0,8037
Figura 1: Sistema Ele´trico.
8. Um sistema de circuitos e´ dado na Figura 2. Assuma que os componentes falham independen-
temente.
Figura 2: Sistema Ele´trico.
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(a) Qual e´ a probabilidade de que o sistema funcione? R: 0,7511
(b) Dado que o sistema funciona, qual e´ a probabilidade de que o componente A na˜o esteja
funcionando? R: 0,2045
9. Na situac¸a˜o do exerc´ıcio anterior, sabe-se que o sistema na˜o funciona. Qual e´ a probabilidade
de que o componente A tambe´m na˜o funcione? R: 0,588
10. Em certa linha de montagem, treˆs ma´quinas B1, B2 e B3 produzem 30%, 45% e 25% dos
produtos, respectivamente. Sabe-se, de experieˆncias anteriores, que 2%, 3% e 2% dos produtos
feitos por cada ma´quina sa˜o, respectivamente, defeituosos. Agora, suponha que um produto, ja´
acabado, seja selecionado aleatoriamente.
(a) Qual e´ a probabilidade de que tal produto apresente algum defeito? R: 0,0245
(b) Se descobrir que este produto apresenta defeitos, qual e´ a probabilidade de que o produto
tenha sido fabricado pela ma´quina B3? R: 0,2041
11. Uma indu´stria emprega treˆs planos anal´ıticos para criar e desenvolver certo produto. Devido aos
custos, os treˆs planos sa˜o usados em momentos variados. Na verdade, os planos 1, 2 e 3 sa˜o usados
para 30%, 20% e 50% dos produtos, respectivamente. O ‘´ındice de defeitos’ e´ diferente para os
treˆs procedimentos: P (D|P1) = 0, 01, P (D|P2) = 0, 03 e P (D|P3) = 0, 02, em que P (D|Pj)
e´ a probabilidade de um produto apresentar defeitos, dado o plano j. Se selecionarmos um
produto aleatoriamente e observarmos que ele apresenta defeitos, qual foi provavelmente o plano
usado e, em consequeˆncia, responsa´vel pelo defeito? R: P (P1|D) = 0, 158, P (P2|D) = 0, 316 e
P (P3|D) = 0, 526. Um produto com defeito e´, mais provavelmente, resultado do uso do plano 3.
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