4. MEDIDAS DE VARIABILIDADE

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4	MEDIDAS DE VARIABILIDADE:
Um dos problemas em se trabalha com o desvio médio absoluto é a dificuldade matemática que o módulo apresenta. Uma outra forma de contornar o problema apresentado pelos valores negativos dos desvios é elevar cada desvio ao quadrado. A média dos quadrados dos desvios é chamada de variância.
4.1	VARIÂNCIA: Podemos definir duas variâncias: variância populacional (2) (leia-se sigma ao quadrado) e variância amostral (S2).
	A variância populacional é dada por:
 n
 ( Xi - ) 2 onde: N é o número de dados da população e
 2 = i=1 é a média populacional.
 N
A variância amostral é dada por:
 n
 ( Xi - X ) 2 onde: n é o número de dados da amostra e
 S2 = i=1 X é a média amostral.
 n - 1
	Note que as duas expressões da variância diferem em relação ao denominador, que é chamado de grau de liberdade da variável. No caso da variância populacional, o grau de liberdade é N (número de dados da população) enquanto na variância amostral, o grau de dados da população), enquanto na variância amostral, o grau de liberdade é n – 1 (número de dados da amostra menos 1).
Ex:	Consideremos os seguintes dados amostrais:
		10	15	11	13	12
a) Cálculo da média: X = 10 + 15 + 11 + 13 + 12 = 61 = 12,2
 5 5
b) Cálculo da variância amostral:
S² = (10 – 12,2)² + (15 – 12,2)² + (11 – 12,2)² + (13 – 12,2)² + (12 – 12,2)² =
 5 – 1
S² = (-2,2)² + (2,8)² + (-1,2)² + (0,8)² + (-0,2)² = 4,84 + 7,84 + 1,44 + 0,64 + 0,04 = 3,7
 4 4
4.2 DESVIO PADRÃO: Os dados geralmente têm unidades de medida como metro, quilograma, segundo, etc. Ao elevar os desvios ao quadrado, estas unidades também serão elevadas ao quadrado, dificultando a comparação do valor da variância com os dados. Para resolver estes problemas, podemos extrair a raiz quadrada positiva da variância, que é chamada de desvio padrão.
O desvio padrão populacional () é a raiz quadrada positiva da variância populacional, ou seja:
 n
 ___ (Xi - )²
 = ² ou = i=1 
 N 
O desvio padrão amostral (S) é a raiz quadrada positiva da variância amostral, ou seja:
 n
 ___ (Xi - X )²
 S = S² ou S = i=1 
 n - 1 
Ex: 1) Uma doceira pesou sete bolos de chocolate dentre dezenas de bolos que são produzidos. Os pesos dos bolos, em kg, foram:
1,2	1,3	1,4	1,2	1,3	1,5	1,3
Calcule a média, a variância e o desvio padrão dos pesos dos bolos.
Solução: a) Cálculo da média amostral:
X = 1,2 + 1,3 + 1,4 + 1,2 + 1,3 + 1,5 + 1,3 = 1,3 kg
 7
Cálculo da variância amostral:
S² = (1,2 – 1,3)² + (1,3 – 1,3)² + (1,4 – 1,3)² + (1,2 – 1,3)² + (1,3 – 1,3)² + (1,5 – 1,3)² + (1,3 –1,3)²
 7 – 1
S² = 0,01 + 0,00 + 0,01 + 0,01 + 0,00 + 0,04 + 0,00 = 0,07 = 0,01 kg²
 6 6
Cálculo do desvio padrão amostal:
 __ _____
S = S² = 0,01 = 0,1 kg 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO Nº 14:
Os dados abaixo referem-se ao consumo de água, em litros, em 7 casa. Calcule a média e o desvio padrão desses dados.
1020	1300	2300	1500	900	3500	800
Uma indústria analisou, durante 8 semanas, o número de funcionários que faltam por semana. Os resultados obtidos foram.
5	8	7	5	6	4	6	8
Calcule a média, a variância e o desvio padrão do número de faltas dos funcionários.