Apostila Estatística Aplicada

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Estatística Aplicada
Simone Echeveste
Estatística Aplicada
O grande avanço tecnológico das últimas décadas gerou a necessida-de de formação de profissionais capazes de acompanhar esse de-
senvolvimento com habilidades para gerar e analisar dados, produzindo 
informação útil a ser utilizada na resolução de problema. Neste contexto, 
as ferramentas estatísticas são imprescindíveis, e o conhecimento das mes-
mas torna-se necessário para qualquer profissional.
A Estatística hoje se configura como uma das ciências que mais vem 
crescendo em termos de utilização e importância na Administração: pes-
quisas de marketing, comportamento do consumidor, estudos de qualida-
de, confiabilidade, desenvolvimentos de novos produtos, avaliação de sa-
tisfação dos clientes etc. Estes são alguns exemplos da ampla utilização das 
ferramentas estatísticas para resolução de problemas e tomada de decisões 
nessa área.
A disciplina de Estatística Aplicada tem por objetivos: propiciar ao alu-
no o estudo da estatística com vistas à análise de dados experimentais, 
cálculo e interpretação das medidas descritivas, utilização de testes estatís-
ticos como ferramenta de análise de comparação e relação de dados no 
contexto das pesquisas realizadas na área de Administração.
Os conteúdos serão apresentados em 10 capítulos, contendo a ex-
plicação teórica dos mesmos, bem como a apresentação de exemplos e 
aplicações em problemas na área da Administração. Em cada capítulo será 
destacado o objetivo de cada ferramenta estatística, bem como a interpre-
tação dos resultados obtidos.
Introdução
Sumário
Introdução ................................................................................... iii
 1 Conceitos Básicos de Estatística .............................................1
 2 Apresentação de Dados ......................................................13
 2.1 Tabelas de Frequência .....................................................014
 2.2 Gráficos Estatísticos .........................................................018
 3 Medidas de Tendência Central ............................................33
 4 Medidas de Variabilidade ....................................................47
 5 Distribuição de Probabilidade Normal .................................61
 6 Amostragem .......................................................................85
 7 Estimação .........................................................................101
 8 Testes de Hipóteses ...........................................................117
 9 Análise de Correlação ......................................................149
 10 Análise de Regressão ........................................................169
Conceitos Básicos 
de Estatística
ÂÂNeste capítulo, será apresentado o contexto da pesqui-sa em que a estatística está inserida, bem como serão 
destacados os principais conceitos básicos de estatística. 
O objetivo aqui é que o aluno compreenda o vocabulário 
pertinente à análise estatística e que compreenda os ele-
mentos importantes no contexto dessa análise.
Ao final deste capítulo, espera-se que o aluno, dada 
uma situação problema, identifique corretamente a popu-
lação e a amostra de estudo bem como as variáveis en-
volvidas classificando-as de acordo com a sua natureza.
Capítulo 1
Simone Echeveste
2 Estatística Aplicada
O papel da estatística na ciência
A necessidade de analisar um conjunto de dados estatistica-
mente está sempre inserida no contexto de uma pesquisa, ou 
seja, temos inicialmente uma situação problema a ser resol-
vida, ou ainda uma hipótese a ser testada e, para isso, uma 
pesquisa deve ser realizada.
Com isso, em uma pesquisa, destaca-se a importância da 
utilização da estatística de acordo com os seguintes fatores:
 a) Em uma pesquisa, muitas vezes são realizados estudos 
experimentais ou observacionais que culminam em uma 
coleção de dados numéricos que devem ser organizados e 
resumidos.
 b) O padrão de variação nos dados faz com que a resposta 
não seja óbvia, ou seja, somente tratando os dados ade-
quadamente é que poderemos verificar o comportamento 
das variáveis de estudo.
 c) Uma análise estatística é composta por métodos para co-
leta e descrição dos dados, viabilizando a verificação da 
força da evidência nos dados pró ou contra as hipóteses 
de pesquisa. A presença de uma variação não previsível 
nos dados faz disso, muitas vezes, uma tarefa pouco trivial.
Em toda a pesquisa realizada, almeja-se a resposta a um 
problema ou ainda uma situação-problema que está vinculada 
a uma tomada de decisão a ser realizada. Podemos considerar 
que nossa decisão pode ser tomada por meio de dois tipos de 
soluções: a primeira, que pode ser considerada uma solução 
empírica que se fundamenta na observação e na experiência, 
Capítulo 1 Conceitos Básicos de Estatística 3
livre de um método científico, é uma forma de solução muitas 
vezes subjetiva que pode levar a tomada de decisão errada.
Figura 1 O papel da Estatística na pesquisa.
O outro tipo de solução seria por meio de método cientí-
fico, à luz de dados provenientes de uma pesquisa que segue 
uma metodologia predeterminada para garantir a imparcia-
lidade das informações obtidas. Nesse caso, as ferramentas 
estatísticas são indispensáveis para a viabilização de uma to-
mada de decisão com menores riscos e incertezas.
Definições importantes na estatística
Sempre que falamos em Estatística estamos inseridos no con-
texto de uma pesquisa. As pesquisas podem ser classificadas 
4 Estatística Aplicada
em duas grandes abordagens conforme demonstra a figura 
a seguir:
Figura 2 Tipos de Pesquisa.
Uma pesquisa quantitativa é composta por quatro etapas 
distintas. Dessas etapas, nas três últimas (planejamento, exe-
cução e comunicação dos resultados), a estatística surge como 
uma importante ferramenta de suporte para o pesquisador (Fi-
gura 3).
Na etapa Planejamento da pesquisa, a estatística tem im-
portante participação na determinação do tamanho da amos-
tra a ser estudada, na escolha do procedimento/processo de 
amostragem que deve ser utilizado para a coleta de dados, 
bem como na elaboração do instrumento de coleta e no esta-
belecimento do tipo de variáveis a serem pesquisadas.
Capítulo 1 Conceitos Básicos de Estatística 5
Figura 3 Contribuição da Estatística para a pesquisa.
No momento da Execução da pesquisa, a estatística é im-
prescindível, pois fornece as ferramentas necessárias para a 
análise dos dados e para a obtenção de conclusões sobre o 
objeto de estudo.
Na Comunicação dos resultados, a estatística auxilia a 
construção de tabelas e gráficos, facilitando a apresentação 
dos principais resultados obtidos.
A realização de todas essas etapas é importante, e elas 
fazem parte da elaboração de uma pesquisa científica que 
procure ser o mais fidedigna possível. O conhecimento dessas 
etapas também é importante para o julgamento da adequa-
cidade de pesquisas realizadas por terceiros, ou seja, quando 
nos é apresentado oralmente ou por meio de artigos resultan-
tes de uma pesquisa, precisamos ter um conhecimento mínimo 
do processo científico para que sejamos capazes de criticar e 
entender os resultados obtidos.
6 Estatística Aplicada
Na literatura, encontramos vários conceitos e definições 
para a Estatística, alguns autores a definem como um ramo 
da matemática, já outros defendem a ideia de que a Estatística 
representa por si só uma área única da ciência, desconside-
rando ser esta uma subdivisão da matemática.
Rao (1999) define estatística como:
“A estatística é uma ciência que estuda e pesquisa sobre: 
o levantamento de dados com a máxima quantidade de 
informação possível para um dado custo; o processamento 
de dados para a quantificação da quantidade de incerteza 
existentena resposta para um determinado problema; a to-
mada de decisões sob condições de incerteza, sob o menor 
risco possível. Finalmente, a estatística tem sido utilizada na 
pesquisa científica, para a otimização de recursos econô-
micos, para o aumento da qualidade e produtividade, na 
otimização em análise de decisões.”
Esse conceito apresenta de forma clara e concisa todos 
os aspectos que envolvem as diversas formas de utilização da 
Estatística: levantamento de dados, processamento, análise e 
auxílio na tomada de decisões.
Ao iniciar uma análise estatística, deve-se também considerar 
alguns elementos relacionados à metodologia do estudo reali-
zado, como as definições de População e Amostra da pesquisa:
Uma população (N) é conjunto de elementos de interesse em 
um determinado estudo, que podem ser pessoas ou resultados 
experimentais, com uma ou mais características comuns, que se 
pretende estudar.
Capítulo 1 Conceitos Básicos de Estatística 7
Uma amostra (n) é um subconjunto da população usado para 
obter informação acerca do todo. Obtemos uma amostra para 
fazer inferências de uma população. Nossas inferências são vá-
lidas somente se a amostra é representativa da população.
Para ilustrar esses conceitos por meio de um exemplo, con-
sidere a seguinte situação de pesquisa:
Situação de pesquisa
“Uma empresa operadora de TV a cabo deseja realizar uma 
pesquisa com seus clientes da cidade de Porto Alegre referente 
ao grau de satisfação dos mesmos com o serviço prestado. Ao 
todo, essa operadora possui, nessa cidade, 217.193 assinan-
tes dos quais foram selecionados 620 para participar dessa 
pesquisa.”
População: 217.193 assinantes da operadora de TV a 
cabo de Porto Alegre.
Amostra: 620 assinantes da operadora de TV a cabo de 
Porto Alegre que participaram da pesquisa.
Outro conceito muito importante é o da Variável, que vem 
a ser a matéria prima de qualquer pesquisa, ou seja, quando 
se termina uma coleta de dados, em um primeiro momento, 
dispomos de um conjunto de valores ou ainda respostas perti-
nentes às nossas variáveis de pesquisa.
8 Estatística Aplicada
Uma variável (x) é uma característica dos elementos investiga-
dos que difere de um elemento para outro e do qual temos inte-
resse em estudar. Cada unidade (elemento) da população que é 
escolhido como parte de uma amostra fornece uma medida de 
uma ou mais variáveis, também chamadas observações.
As variáveis podem ser classificadas em:
 Â Variáveis Quantitativas: são as características que 
podem ser medidas em uma escala quantitativa, ou seja, 
apresentam valores numéricos/quantidades. Podem ser 
contínuas ou discretas.
Discretas: características mensuráveis que podem as-
sumir apenas um número finito ou infinito contável de 
valores e, assim, somente fazem sentido valores intei-
ros. Exemplos: números de carros vendidos, número de 
filhos, número de reclamações recebidas por dia etc.
Contínuas: características mensuráveis que assumem 
valores em uma escala para as quais valores fracionais 
fazem sentido. Exemplos: renda mensal, tempo de en-
trega da mercadoria, tamanho do imóvel em m2 etc.
 Â Variáveis Qualitativas: são as características que 
não possuem valores quantitativos, mas, ao contrário, 
são definidas por várias categorias, ou seja, represen-
tam uma classificação dos elementos. Podem ser nomi-
nais ou ordinais.
Nominais: não existe ordenação dentre as catego-
rias. Exemplos: marca do carro, tipo de fornecedor, 
profissão etc.
Capítulo 1 Conceitos Básicos de Estatística 9
Ordinais: existe uma ordenação entre as catego-
rias. Exemplos: escolaridade (Fundamental, Médio 
ou Superior), grau de importância (nenhuma, pouca, 
razoável, muito) etc.
Figura 4 Classificação das variáveis.
A Estatística pode ser dividida em duas áreas: Descritiva 
e Inferencial. A área descritiva é mais simples, contem-
plando ferramentas de organização de dados e síntese de 
informação. A área Inferencial, por sua vez, permite ao 
pesquisador projetar resultados amostrais para populações, 
bem como testar hipóteses concernentes a parâmetros popu-
lacionais. Inferência estatística é o processo pelo qual 
estatísticos tiram conclusões acerca da população usando 
informação de uma amostra. A Estatística Inferencial está 
baseada em dois pilares fundamentais: a Amostragem e a 
Probabilidade.
10 Estatística Aplicada
Recapitulando
As ferramentas estatísticas são indispensáveis no trata-
mento de dados provenientes de uma pesquisa. É pela análise 
e tratamento de dados que o pesquisador obtém todas as in-
formações pertinentes ao objeto de estudo, propiciando uma 
tomada de decisão com menores riscos e incertezas.
Algumas definições importantes:
 Â População (N): é o conjunto de elementos de interes-
se em um determinado estudo.
 Â Amostra (n): parte da população selecionada é a 
quantidade de elementos investigada.
 Â Variável (x): é a característica da amostra a ser inves-
tigada, ou seja, o que desejamos saber com a pergunta 
realizada.
A Estatística pode ser dividida em duas áreas: Descritiva, 
que se refere à organização e síntese da informação, e Infe-
rencial, destinada à projeção de resultados amostrais para 
toda a população.
Atividades: Conceitos básicos de estatística
Considere a seguinte situação de pesquisa:
“Uma pesquisa foi realizada com um grupo aleatoriamente se-
lecionado de 400 clientes de um restaurante japonês. O objeti-
vo dessa pesquisa era identificar o perfil do cliente em relação 
às características Bairro em que reside, Tempo que frequenta 
o restaurante, Gasto médio na refeição realizada e grau de 
Capítulo 1 Conceitos Básicos de Estatística 11
satisfação com o serviço oferecido pelo restaurante (muito sa-
tisfeito, satisfeito etc.).”
Questão 1. A população dessa pesquisa pode ser considerada como:
 a) 400 clientes desse restaurante japonês.
 b) Todos os clientes desse restaurante japonês.
 c) Perfil do cliente.
 d) Características do cliente, como bairro, tempo que fre-
quenta, gasto e grau de satisfação.
 e) Todos os restaurantes japoneses.
Questão 2. A amostra dessa pesquisa pode ser considerada como:
 a) Perfil do cliente.
 b) Características do cliente, como bairro, tempo que fre-
quenta, gasto e grau de satisfação.
 c) 400 clientes desse restaurante japonês.
 d) Todos os clientes desse restaurante japonês.
 e) Os restaurantes japoneses.
Questão 3. As variáveis dessa pesquisa são:
 a) Identificação do Perfil do cliente.
 b) Os 400 clientes desse restaurante japonês.
 c) Todos os clientes desse restaurante japonês.
 d) Bairro em que reside, tempo que frequenta o restaurante, 
gasto médio e grau de satisfação com o serviço.
 e) Os diferentes restaurantes japoneses existentes.
Questão 4. As variáveis quantitativas dessa pesquisa são:
 a) Bairro em que reside e grau de satisfação com o serviço.
 b) Bairro em que reside, gasto médio e grau de satisfação 
com o serviço.
12 Estatística Aplicada
 c) Tempo que frequenta o restaurante, gasto médio e grau de 
satisfação com o serviço.
 d) Tempo que frequenta o restaurante e gasto médio.
 e) Todas as variáveis são quantitativas.
Questão 5. Marque V para verdadeiro e F para falso nas seguintes 
afirmativas:
 a) ( ) Em uma pesquisa, o padrão de variação nos dados 
faz com que os resultados não sejam óbvios, por esse mo-
tivo, os resultados obtidos devem receber um tratamento 
estatístico que permitirá a verificação do comportamento 
das variáveis de estudo.
 b) ( ) As variáveis quantitativas são características que não pos-
suem valores, mas, ao contrário, são definidas por catego-
rias, ou seja, representam uma classificação dos elementos.
 c) ( ) A necessidade da utilização da Estatística na análise 
de dados ocorre em pesquisas do tipo Quantitativas.
 d) ( ) A Estatística dividi-seem duas partes: Estatística Des-
critiva e Estatística Qualitativa.
Gabarito das atividades propostas
Questão 1. b) Todos os clientes desse restaurante japonês.
Questão 2. c) 400 clientes desse restaurante japonês.
Questão 3. d) Bairro em que reside, tempo que frequenta o restau-
rante, gasto médio e grau de satisfação com o serviço.
Questão 4. d) Tempo que frequenta o restaurante e gasto médio.
Questão 5. a) V, b) F, c) V, d) F
Apresentação 
de Dados
Simone Echeveste
Capítulo 2
14 Estatística Aplicada
Tabelas de frequência
O primeiro contato do pesquisador com os seus dados é feito 
por meio da construção das tabelas de frequência. Podemos 
dizer que, neste momento, os dados recebem o seu primeiro 
tratamento. Nessa etapa de análise, o pesquisador identificará 
as possíveis respostas a uma determinada variável e o compor-
tamento das mesmas no que se refere a sua frequência.
A tabela de frequência tem por objetivo apresentar os resul-
tados de cada variável de uma forma organizada e resumida. 
Nessa tabela, encontramos o número de repetições de cada 
categoria de resposta de uma variável, bem como o seu per-
centual no grupo investigado.
De acordo com as normas da ABNT (Associação Brasileira 
de Normas Técnicas) e do IBGE (Instituto Brasileiro de Geo-
grafia e Estatística), as tabelas de frequência devem considerar 
os seguintes elementos:
 a) Título: deve conter as informações necessárias para que 
se compreenda “o que” está sendo apresentado na tabela, 
“onde” os dados foram obtidos e “quando” esses dados 
foram coletados.
 b) Cabeçalho: indica a natureza do conteúdo de cada co-
luna da tabela.
 c) Corpo da Tabela: é a parte composta por linhas e colu-
nas com as informações observadas.
 d) Rodapé: espaço logo abaixo da tabela que pode ser uti-
lizado para a apresentação de notas ou observações de 
natureza informativa.
Capítulo 2 Apresentação de Dados 15
 e) Fonte: refere-se à entidade que organizou ou forneceu os 
dados apresentados na tabela.
Exemplo de construção de uma tabela de 
frequência:
Considere uma pesquisa realizada com uma amostra de 20 
clientes que compraram em um site de compras na Internet 
com o objetivo de investigar o tempo de atraso na entrega (em 
dias) das mercadorias adquiridas nesse site. Os dados obser-
vados foram:
0 1 0 2 3 3 2 1 0 4
3 1 0 0 4 2 1 0 1 0
Para esses dados, podemos destacar as seguintes informações:
 a) Variável de pesquisa: tempo de atraso na entrega das 
mercadorias.
 b) Amostra investigada: 20 clientes.
Para a construção da tabela, precisamos das seguintes infor-
mações:
 c) Valores da variável que surgiram: correspondem 
aos tempos de atraso observados. Neste caso, encontra-
mos 0, 1, 2, 3 e 4 dias.
 d) Frequência (f) de cada valor da variável: corres-
ponde ao número de vezes que cada valor se repetiu.
16 Estatística Aplicada
Para o exemplo, podemos observar que 0 dias de atraso se 
repetiu em 7 clientes:
0 1 0 2 3 3 2 1 0 4
3 1 0 0 4 2 1 0 1 0
Na sequência, 1 dia de atraso se repetiu em 5 clientes:
0 1 0 2 3 3 2 1 0 4
3 1 0 0 4 2 1 0 1 0
Já 2 dias de atraso se repetiu em 3 clientes:
0 1 0 2 3 3 2 1 0 4
3 1 0 0 4 2 1 0 1 0
Para 3 dias de atraso, observamos uma ocorrência em 3 clien-
tes:
0 1 0 2 3 3 2 1 0 4
3 1 0 0 4 2 1 0 1 0
Por fim, para 4 dias de atraso, observamos uma ocorrência em 
2 clientes:
0 1 0 2 3 3 2 1 0 4
3 1 0 0 4 2 1 0 1 0
Agora, organizamos essa informação por meio da estrutu-
ra de uma tabela de frequência, considerando todos os seus 
elementos:
Capítulo 2 Apresentação de Dados 17
Tempo de atraso na entrega das mercadorias
Tempo de atraso Frequência %
0 7 35
1 5 25
2 3 15
3 3 15
4 2 10
Total 20 100
Fonte: Pesquisa Interna
Como calculamos a porcentagem da tabela de fre-
quência?
Cálculo da Porcentagem:
18 Estatística Aplicada
IMPORTANTE!!!
De acordo com as normas, as tabelas de frequência não podem ser 
fechadas dos lados, nem ter linhas dividindo as categorias da variável. 
As únicas linhas permitidas são as que delimitam o cabeçalho e as que 
delimitam o total; no centro da tabela, é opcional colocar ou não o 
traço divisório das colunas.
Gráficos estatísticos
A utilização de gráficos como forma de apresentação de da-
dos pode ser justificada por um ditado popular de que “uma 
imagem vale mais que 1000 palavras”
Técnicas gráficas são geralmente utilizadas, em vez de ta-
belas, para descrever um conjunto de dados por meio de um 
“desenho”. Um gráfico estatístico é uma forma de apresen-
tação dos dados estatísticos, cujo objetivo é o de reproduzir, 
no investigador ou no público em geral, uma impressão mais 
rápida e viva do fenômeno em estudo. (Crespo, 1996)
A representação gráfica deve ser utilizada levando-se em 
conta algumas qualidades essenciais básicas para a constru-
ção destes conforme nos mostra a figura 2.
De acordo com Levin (1987), enquanto algumas pessoas 
parecem “desligar-se” ao serem expostas a informações esta-
tísticas em forma de tabelas, elas podem prestar bastante aten-
ção às mesmas informações apresentadas em forma gráfica. 
Esse fato justifica a grande utilização por parte dos pesquisa-
dores e da mídia escrita e impressa dos gráficos em substitui-
ção das tabelas.
Capítulo 2 Apresentação de Dados 19
Figura 5 Qualidade de um bom gráfico.
Gráfico de setores
O gráfico de setores, também conhecido como gráfico pizza, 
torta, queijo ou bolacha, é um dos mais simples recursos gráfi-
cos, sua construção é baseada no fato de que o círculo possui 
360º, sendo que esse círculo é dividido em fatias de acordo 
com o percentual em cada categoria. É um gráfico útil para 
representar variáveis nominais ou apresentadas em categorias 
de respostas.
20 Estatística Aplicada
Figura 6 Exemplo de gráfico de setores.
Gráfico de colunas
O gráfico de colunas é um dos gráficos mais utilizados para 
representar um conjunto de dados, sendo a representação de 
uma série de dados por meio de retângulos dispostos verti-
calmente. A altura desses retângulos é proporcional a suas 
respectivas frequências (ou porcentagens). Esse gráfico pode 
Capítulo 2 Apresentação de Dados 21
ser utilizado para representar qualquer tipo de variável em 
qualquer nível de mensuração; por esse fato, é um recurso 
extremamente utilizado em pesquisas.
Figura 7 Exemplo de gráfico de colunas.
Gráfico de barras
O gráfico de barras é uma representação de uma série de 
dados por meio de retângulos dispostos horizontalmente. Os 
22 Estatística Aplicada
comprimentos desses retângulos são proporcionais a suas res-
pectivas frequências. Esse gráfico é semelhante ao gráfico de 
colunas, contudo, a posição da escala e da frequência é troca-
da, ou seja, na linha horizontal temos a frequência (ou percen-
tual) de casos observados e na linha vertical temos os valores 
(ou as categorias) da variável de estudo.
Figura 8 Exemplo de gráfico de barras.
Capítulo 2 Apresentação de Dados 23
Gráfico de linhas
Esse gráfico se utiliza de uma linha para representar uma série 
estatística. Seu principal objetivo é evidenciar a tendência ou 
a forma como o fenômeno está crescendo ou decrescendo em 
um período de tempo. Seu traçado deve ser realizado conside-
rando o eixo “x” (horizontal), a escala de tempo, e o eixo “y” 
(vertical), frequência observada dos valores.
Figura 9 Exemplo de gráfico de linhas.
24 Estatística Aplicada
Como fazer gráficos no excel
Fazer gráficos no Excel é muito fácil e simples!
Para isso, precisamos inicialmente fazer as tabelas de 
frequências e calcular as porcentagens. Na confecção dos 
gráficos, devemos considerar que a informação percentual é 
sempre mais interessante de ser apresentada (essa regra só não 
se aplica no caso do gráficode linhas, pois, nesse caso, muitas 
vezes desejamos acompanhar a evolução de uma determinada 
variável que não necessariamente é analisada em percentual).
Vamos considerar um exemplo de construção de um gráfi-
co de barras apresentando os resultados para a variável Profis-
são. Na planilha do Excel, precisamos colocar apenas duas 
informações: as categorias da variável que apareceram (no 
caso do exemplo apresentado abaixo, as profissões) e as suas 
respectivas porcentagens.
Capítulo 2 Apresentação de Dados 25
Marque com o mouse essas duas colunas na planilha e 
escolha a opção na barra de ferramentas Inserir Gráfico 
Barras.
Escolha o gráfico de barras dentre as opções fornecidas 
pelo Excel. Uma dica importante é que a primeira opção apre-
sentada é sempre mais interessante e mais simples.
26 Estatística Aplicada
Capítulo 2 Apresentação de Dados 27
Após o gráfico pronto, você poderá formatar as cores, es-
tilos, acrescentar título etc. utilizando a barras de ferramentas 
de Gráfico.
No item Design, você pode modificar as cores do gráfico.
No item Layout, você pode modificar os eixos do gráfico, 
acrescentar títulos, legendas e valores.
No item Formatar, você pode modificar os preenchimentos 
(cores) e os contornos do gráfico.
28 Estatística Aplicada
Recapitulando
 Â Variável (x): é a característica da amostra a ser inves-
tigada, ou seja, o que desejamos saber com a pergunta 
realizada.
 Â Categorias: representam as possíveis respostas para a 
variável investigada.
 Â Frequência (f): é o número de vezes que cada cate-
goria da variável se repetiu, ou ainda, quantos elemen-
tos investigados optaram por determinada resposta da 
questão.
As tabelas de frequência correspondem a uma forma 
de apresentação de dados, seus elementos são: Título, Ca-
beçalho, Corpo, Rodapé e Fonte. Sua estrutura é composta 
por linhas e colunas. As colunas são determinadas de forma 
que a variável a ser apresentada e suas respectivas catego-
rias localizam-se na primeira coluna; já na segunda coluna, é 
apresentada a frequência (número de repetições) de cada ca-
tegoria; e, por fim, a terceira coluna representa a porcentagem 
de cada categoria de resposta.
Os gráficos estatísticos são formas de apresentação 
dos dados cujo objetivo é o de reproduzir, no investigador ou 
no público em geral, uma impressão mais rápida e viva do 
fenômeno em estudo, levando-se em conta a simplicidade, 
clareza e veracidade das informações apresentadas.
Capítulo 2 Apresentação de Dados 29
Atividades: Apresentação de dados
Os dados a seguir referem-se ao tempo de espera na fila de 
uma casa lotérica, em minutos, considerando um grupo de 15 
clientes. Os resultados obtidos foram:
6 5 6 7 8
8 8 8 5 7
8 7 6 8 6
Questão 1. A variável de pesquisa para esse exemplo é:
 a) 15 clientes de uma casa lotérica.
 b) Clientes da casa lotérica.
 c) Tempo de espera na fila (em minutos).
 d) Contas pagas na fila da casa lotérica.
 e) Nenhuma das respostas anteriores.
Questão 2. A amostra de pesquisa para esse exemplo é:
 a) 15 clientes de uma casa lotérica.
 b) Clientes da casa lotérica.
 c) Tempo de espera na fila (em minutos).
 d) Contas pagas na fila da casa lotérica.
 e) Nenhuma das respostas anteriores.
Questão 3. Construa uma tabela de frequência para repre-
sentar esses dados.
30 Estatística Aplicada
Questão 4. Construa uma tabela para representar os dados 
abaixo que se referem ao número de viagens realizadas por 20 
famílias nos últimos 5 anos:
0 1 2 5 2 3 4 2 2 4
4 0 0 2 3 2 1 5 2 1
Questão 5. “O desempenho do setor de Cartões de Crédito 
tem sido bastante satisfatório e tem crescido na medida em que 
a compensação de cheques vem diminuindo. Existe o incentivo 
por parte dos bancos para que seja impulsionado o uso de car-
tões, tudo porque a transação com cheque custa 455% a mais 
que a eletrônica. Por parte dos estabelecimentos comerciais, 
o incentivo acontece por ser mais seguro e por reduzir as des-
pesas financeiras. Atualmente, o potencial de crescimento de 
demanda é para o dobro de cartões que estão em circulação, 
hoje, pouco mais de 40 milhões. Nos últimos 8 anos, o uso do 
cartão de crédito aumentou 327%, enquanto que a utilização 
do cartão de débito, 562,5%.” Fonte: www.investnews.com.br
Os dados abaixo correspondem aos resultados de uma 
pesquisa realizada com 20 lojas de um shopping com o ob-
jetivo de verificar o valor mensal de suas vendas (mil 
reais) pagas com cartão de débito:
12 15 10 5 10 10 5 12 2 2
10 15 10 15 10 5 10 10 10 10
Construa uma tabela de frequência para representar esses 
dados.
Capítulo 2 Apresentação de Dados 31
Gabarito das atividades propostas
Questão 1. c) Tempo de espera na fila (em minutos).
Questão 2. a) 15 clientes de uma casa lotérica.
Questão 3.
Tempo de espera na fila (em minutos)
Tempo Frequência %
5 2 13,3
6 4 26,7
7 3 20,0
8 6 40,0
Total 15 100
Fonte: Pesquisa
Questão 4.
Número de viagens realizadas nos últimos 5 anos
Nº viagens Frequência %
0 3 15,0
1 3 15,0
2 7 35,0
3 2 10,0
4 3 15,0
5 2 10,0
Total 20 100
Fonte: Pesquisa
32 Estatística Aplicada
Questão 5.
Valor mensal de suas vendas (mil reais) pagas com cartão de débito:
Valor (mil reais) Frequência %
2 2 10,0
5 3 15,0
10 10 50,0
12 2 10,0
15 3 15,0
Total 20 100
Fonte: Pesquisa
Medidas de 
Tendência Central
ÂÂNeste capítulo, iremos abordar as Medidas de Tendên-cia Central, que são medidas que têm por objetivo 
representar todos os valores de uma variável por meio 
de um único valor. As medidas de tendência central são: 
Média, Mediana e Moda.
Simone Echeveste
Capítulo 3
34 Estatística Aplicada
Nosso objetivo aqui é a apresentação de cada uma dessas 
medidas no que se refere à aplicabilidade, ao cálculo e à in-
terpretação dos resultados obtidos. O aluno, ao final deste 
capítulo, deverá ser capaz de calcular e interpretar as medidas 
estatísticas apresentadas.
Podemos ainda aprofundar um pouco mais a nossa análise 
estatística para o caso em que as variáveis analisadas sejam 
QUANTITATIVAS por meio das medidas estatísticas de ten-
dência central.
Essas medidas têm por objetivo encontrar a “tendência 
central” de um conjunto de dados, ou seja, encontrar o valor 
do meio ou ainda os valores típicos de uma distribuição. São 
medidas úteis para caracterizar e representar um conjunto de 
dados por meio de um único valor utilizando critérios distintos 
para isso. As medidas de tendência central são: média, me-
diana e moda.
Figura 10 Medidas de Tendência Central.
Capítulo 3 Medidas de Tendência Central 35
Média
A média é a medida de tendência central mais conhecida e 
mais utilizada de todas. Existem vários tipos de médias, a que 
utilizamos em pesquisas é a Média aritmética, obtida pela 
soma de todos os valores da variável investigada (valores de 
x) dividida pelo número total de valores no conjunto de dados 
(total da amostra – n). É representada pelos símbolos na 
amostra e por µ na população.
Notação:
µ – média populacional
 – média amostral
Fórmula:
Onde:
S = somatório
x – variável (valores obtidos para a variável investigada)
n – tamanho da amostra
Exemplo
Os dados abaixo representam o tempo de relacionamento (em 
anos) de uma amostra de 7 clientes com a sua operadora de 
telefonia celular.
15 18 18 20 17 18 16
36 Estatística Aplicada
Elementos importantes:
Amostra (n): 7 clientes.
Variável (x): tempo de relacionamento com a operadora de 
telefonia celular.
Média:
 = 17,4 anos
Interpretação: “Em média, o tempo de relacionamento 
dos clientes com sua operadora de telefonia celular é de 17,4 
anos.”
Média para dados agrupados em tabelas 
de frequência
Quando os dados estão organizadosna forma de uma tabe-
la de frequências, devemos multiplicar os diferentes valores 
“x” pelas respectivas frequências “f”. A fórmula utilizada deve-
rá ser nesse caso:
Capítulo 3 Medidas de Tendência Central 37
Onde:
S = somatório
x – variável
f – frequência de cada valor da variável
n – tamanho da amostra
Exemplo
Considere a seguinte tabela referente ao Número de faltas no 
período de um ano em uma amostra de 62 funcionários de 
uma empresa:
Número de faltas em um ano
Nº de faltas (x) Frequência (f) % x.f
0 5 8,0 0 x 5 = 0
2 25 40,3 2 x 25= 50
4 30 48,4 4 x 30= 120
6 2 3,2 6 x 2= 12
Total 62 (n) 100 182
 = 2,9 faltas
38 Estatística Aplicada
Interpretação: “Em média, os funcionários tiveram 2,9 faltas 
em um ano.”
Mediana
Ordenados os elementos da amostra em ordem crescente, a 
mediana é o valor considerado o ponto do meio, que a divide 
ao meio, isto é, metade dos elementos da amostra é menor ou 
igual à mediana, e a outra metade é maior ou igual à mediana.
Notação:
Md ou Me
Como obter a Mediana:
 1º) todos os valores do conjunto de dados devem ser colocados 
em ordem crescente, se houver algum valor que se repita 
mais de uma vez, deve ser repetido na ordenação também.
 2º) devemos encontrar a posição da mediana considerando 
a seguinte regra: se o tamanho da amostra (n) é ímpar, a 
mediana é o valor central; se o tamanho da amostra (n) for 
par, a mediana será a média dos dois valores centrais.
EXEMPLO 1: Quando o tamanho da amostra “n” for ímpar.
Uma pesquisa foi realizada com o objetivo de verificar a 
renda, em salários mínimos, de uma amostra de 5 clientes de 
uma loja.
8,0 9,1 8,5 9,7 9,2
Capítulo 3 Medidas de Tendência Central 39
Amostra (n): 5 clientes de uma loja.
Variável (x): renda em salários mínimos.
Mediana (Md)
 1º) Colocar os valores em ordem crescente.
8,0 8,5 9,1 9,2 9,7
 2º) Encontrar o valor central no conjunto de dados.
8,0 8,5 9,1 9,2 9,7
Mediana
Interpretação: “Metade dos clientes dessa loja possuem 
renda de 9,1 salários mínimos ou menos, e metade dos clientes 
possui renda de 9,1 salários mínimos ou mais.”
EXEMPLO 2: Quando o tamanho da amostra “n” for par.
Uma pesquisa foi realizada com o objetivo de verificar a 
renda, em salários mínimos, de uma amostra de 6 clientes 
de uma loja.
8,0 8,8 8,5 9,7 9,5 9,2
Amostra (n): 6 clientes de uma loja.
Variável (x): renda em salários mínimos.
40 Estatística Aplicada
 1º) Colocar os valores em ordem crescente.
8,0 8,5 8,8 9,2 9,5 9,7
 2º) Encontrar os dois valores centrais no conjunto de dados.
8,0 8,5 8,8 9,2 9,5 9,7
Mediana
 3º) Calcular o ponto médio entre esses dois valores centrais 
(somando os dois valores e dividindo por dois).
Md = 9,0 salários mínimos
Interpretação: “Metade dos clientes dessa loja possuem 
renda de 9 salários mínimos ou menos, e metade dos clientes 
possui renda de 9 salários mínimos ou mais.”
Moda
A moda de um conjunto de dados é simplesmente o valor do 
conjunto de dados que ocorreu com maior frequência, ou seja, 
que mais se repetiu.
Notação:
Mo
Capítulo 3 Medidas de Tendência Central 41
Exemplo
Os dados apresentados a seguir referem-se aos valores da 
diária (em reais) para um casal em uma amostra de 8 Hotéis 
na cidade de Porto Alegre:
200 210 200 210 
210 250 230 210 
Amostra (n): 8 Hotéis em Porto Alegre.
Variável (x): valor da diária para um casal (em reais).
Mo = 210 reais (este valor se repete quatro vezes na amos-
tra, foi o valor de diária que mais se repetiu).
200 210 220 210 
210 250 230 210 
Interpretação: “O valor da diária para um casal que 
ocorreu com maior frequência foi de 210 reais.”
ATENÇÃO!!!
- Um conjunto de dados pode não ter moda, ou seja, nenhum valor se repetir.
Exemplo: Idade de 5 clientes:
34, 56, 23, 42, 38
Nenhum valor se repete – não tem moda!
- Um conjunto de dados pode ter mais que uma moda, ou seja, poderemos 
ter mais que um valor da variável se repetindo com frequências iguais.
Exemplo: Idade de 8 clientes:
35, 23, 35, 40, 51, 40, 32, 55
Duas modas: 35 e 40 peças!
42 Estatística Aplicada
Recapitulando
As Medidas de Tendência Central têm por objetivo representar 
todos os valores de uma variável por meio de um único va-
lor. As medidas de tendência central são: Média, Mediana e 
Moda.
A Média representa a soma de todos os valores de uma 
variável dividida pela quantidade de valores existente; já a me-
diana representa o valor central de um conjunto de dados de 
forma que metade dos valores observados é igual ou menor a 
ela, e metade igual ou superior a ela. A moda corresponde ao 
valor da variável que ocorreu com maior frequência, ou ainda, 
o que mais se repetiu.
Atividades: Medidas de tendência central
Questão 1. Uma pesquisa foi realizada com 12 empresas do 
ramo alimentício, com o objetivo de verificar o número de fun-
cionários que estas possuem, os dados obtidos estão abaixo:
32 35 45 50 30 22 15 25 10 15 30 21
Calcule e interprete:
 a) Média.
 b) Mediana.
 c) Moda.
Capítulo 3 Medidas de Tendência Central 43
Questão 2. A tabela abaixo representa os salários pagos a 
100 operários da empresa GLT & Cia:
Salários GLT & Cia
Nº de salários mínimos Nº de operários %
0 40 40,0
2 30 30,0
4 10 10,0
6 15 15,0
8 5 5,0
Total 100 100,0
Fonte: Pesquisa
 a) Quem é a variável de estudo?
 b) Qual foi a amostra pesquisada?
 c) Qual a média de salário dos operários da empresa GLT & 
Cia?
Questão 3. Uma pesquisa levantou os dados sobre o mer-
cado imobiliário de determinado centro urbano, do ano 2005 
a 2012, e os valores obtidos sobre o número de lançamentos 
(em mil unidades) e o total em vendas (em milhões de Reais) 
estão dispostos abaixo:
Ano 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
Vendas 5,1 4,0 4,5 10,1 12,6 9,7 10,2 11,7
Fonte: Pesquisa
44 Estatística Aplicada
 a) Quem é a variável desse estudo?
 b) Quem é a amostra estudada?
 c) Calcule e interprete a média.
 d) Calcule e interprete a mediana.
 e) Calcule e interprete a moda.
Questão 4. A tabela abaixo apresenta os valores das diárias 
pagas por 40 turistas nos hotéis do balneário Beach Star:
Diárias pagas em Beach Star
Diária (em R$) Nº de turistas %
80 18 45,0
96 10 25,0
145 5 12,5
210 7 17,5
Total 40 100
Fonte: Rede hoteleira
 a) Calcule e interprete a média para esses dados.
Questão 5. Segundo dados divulgados pelo DIEESE (Depar-
tamento Intersindical de Estatísticas e Estudos Socioeconômi-
cos), os valores da cesta básica em Dezembro de 2009, em 10 
capitais brasileiras pesquisadas, estão na tabela abaixo:
Capítulo 3 Medidas de Tendência Central 45
Valor da Cesta Básica em 10 capitais brasileiras em Dezembro de 2009
Capital Valor da cesta básica (R$)
Brasília 222,22
RJ 213,36
SP 228,19
Curitiba 211,85
Porto Alegre 237,58
Belém 204,32
Fortaleza 176,96
Manaus 215,94
Recife 171,31
Salvador 183,15
Fonte: DIEESE
Com base nos dados apresentados na tabela acima:
 a) Calcule e interprete o preço médio da Cesta Básica para 
as capitais pesquisadas.
 b) Calcule e interprete o preço mediano da Cesta Básica 
para as capitais pesquisadas.
Gabarito das atividades propostas
Questão 1.
 a) Em média, essas empresas possuem 27,5 funcionários.
46 Estatística Aplicada
 b) Metade das empresas possui menos que 27,5 funcioná-
rios, e metade mais que 27,5 funcionários.
 c) Os números de funcionários que ocorrem com maior fre-
quência são 15 e 30 funcionários.
Questão 2.
 a) Variável: salários GLT&Cia.
 b) Amostra: 100 operários.
 c) 2,3 salários mínimos.
Questão 3.
 a) Variável: total de vendas.
 b) Amostra: 8 anos.
 c) Em média, foram vendidos 8,5 milhões em reais nesse 
períodopor ano.
 d) Metade do período foi vendida por menos que 9,9 mi-
lhões de reais, e metade por mais que 9,9 milhões de 
reais.
 e) Não há moda, pois nenhum valor se repete.
Questão 4.
O valor médio das diárias é de 114,9 reais.
Questão 5.
 a) O preço médio da cesta básica nessas capitais é de 206,5 
reais.
 b) Em metade das capitais, o preço da cesta básica é inferior 
a 212,6 reais, e em metade é superior a 212,6 reais.
Medidas de 
Variabilidade
ÂÂNeste capítulo, iremos abordar as Medidas de Variabi-lidade, que são medidas que têm por objetivo mensu-
rar variação de um conjunto de dados em torno da média.
Simone Echeveste
Capítulo 4
48 Estatística Aplicada
Nosso objetivo aqui é a apresentação de cada uma dessas 
medidas no que se refere à aplicabilidade, ao cálculo e à inter-
pretação dos resultados obtidos. O aluno, ao final deste capítu-
lo, deverá ser capaz de calcular e interpretar as medidas de va-
riabilidade: variância, desvio-padrão e coeficiente de variação.
A média é extremamente útil como uma medida que obje-
tiva representar/resumir um conjunto de dados, mas também 
é imprescindível ao pesquisador ter conhecimento da variação 
que ocorre em torno dessa média. Para isso, o cálculo das 
medidas de variabilidade contribui para uma melhor interpre-
tação do comportamento de uma variável quantitativa (sua 
média e sua variação).
Tão importante quanto representarmos todos os valores de 
um conjunto de dados por meio das medidas de tendência 
central é ter o conhecimento da variação que ocorre em torno 
dessa medida. As medidas de variabilidade são extremamente 
úteis no tratamento de dados, pois estas indicam a variação 
existente em torno da média. As medidas de variabilidade que 
veremos em nossa disciplina são: Variância, Desvio-padrão e 
Coeficiente de variação.
Figura 11 Medidas de Variabilidade.
Capítulo 4 Medidas de Variabilidade 49
Variância
A variância de uma amostra corresponde à média dos qua-
drados dos desvios dos valores em relação à média, Quanto 
maior for a variação dos valores do conjunto de dados, maior 
será a variância.
Notação:
σ2 – variância populacional
s2 – variância amostral
Fórmula:
 
Onde:
x – valores da variável investigada
 – média da amostra
n – tamanho da amostra
S – somatório
Propriedades da Variância
 1. Somando-se (ou subtraindo-se) a cada elemento de um con-
junto de valores uma constante, a variância não se altera;
 2. Multiplicando-se (ou dividindo-se) cada elemento de um con-
junto de valores por um valor constante, a variância fica mul-
tiplicada (ou dividida) pelo quadrado da constante.
50 Estatística Aplicada
Exemplo
Os dados apresentados abaixo correspondem ao número 
de reclamações (em mil reclamações) diárias recebidas pelo 
PROCON referentes às operadoras de TV a cabo no período 
de 5 dias:
17 18 16 20 22
Elementos importantes:
Variável (x): número de reclamações (em mil reclamações) 
diárias recebidas pelo PROCON referentes às operadoras de 
TV a cabo.
Amostra (n): 7 dias.
Média:
Variância:
Capítulo 4 Medidas de Variabilidade 51
s2 = 5,8 reclamações/dia2
No cálculo da variância, pode-se observar que a unidade 
da variável estudada é elevada ao quadrado, dificultando, as-
sim, a interpretação de seu resultado final. A solução para esse 
problema é extrair a raiz quadrada da variância, permitindo, 
dessa forma, que se volte à unidade original da variável. Essa 
nova medida (a raiz quadrada da variância) é chamada de 
desvio-padrão.
Desvio-padrão
O desvio-padrão corresponde à raiz quadrada da variância. 
Essa medida expressa a variação média do conjunto de dados 
em torno da média, para mais ou para menos na mesma uni-
dade de medida da média. 
Notação:
σ – desvio-padrão populacional
s – desvio-padrão amostral
Fórmula:
52 Estatística Aplicada
Propriedades do Desvio-padrão
 1. Somando-se (ou subtraindo-se) a cada elemento de um conjun-
to de valores uma constante, o desvio-padrão não se altera; 
 2. Multiplicando-se (ou dividindo-se) cada elemento de um con-
junto de valores por um valor constante, o desvio-padrão fica 
multiplicado (ou dividido) pela constante.
O desvio-padrão de uma amostra pode ser calculado con-
siderando as seguintes etapas:
Figura 12 Etapas para o cálculo do Desvio-padrão.
Para o exemplo apresentado teremos:
Capítulo 4 Medidas de Variabilidade 53
Variância:
s2 = 5,8 reclamações/dia2
Desvio-padrão:
s = 2,4 reclamações/dia
Interpretação:
“Em média, o PROCON recebe diariamente 18,6 reclamações 
com uma variação em torno dessa média de 2,4 reclamações.”
Coeficiente de variação
Neste momento, poderemos questionar: quando um desvio-
-padrão é grande e quando ele é pequeno? Na verdade, um 
desvio padrão pode ser considerado grande ou pequeno de-
pendendo da ordem de grandeza da variável.
Por esse motivo, quando desejamos comparar a variabili-
dade entre métodos, ou ainda entre grupos de valores, é indi-
cada a utilização do Coeficiente de Variação que representa 
o desvio-padrão expresso como uma porcentagem da média.
Notação:
C.V. – Coeficiente de variação.
54 Estatística Aplicada
Fórmula:
 
Onde:
 – média da amostra
s – desvio-padrão
Para o exemplo...
Interpretação:
“Existe uma variação em torno da média de 12,9%.”
Figura 13 Interpretação Coeficiente de Variação.
Capítulo 4 Medidas de Variabilidade 55
Medidas de variabilidade para dados 
agrupados em tabelas de frequência
Os dados abaixo se referem ao tempo de espera na fila de um 
caixa de supermercado (em minutos):
Tempo de espera na fila (minutos)
Tempo de espera (x) Frequência (f) % x.f
0 5 8,0 0 x 5 = 0
2 25 40,3 2 x 25= 50
4 30 48,4 4 x 30= 120
6 2 3,2 6 x 2= 12
Total 62 (n) 100 182
Média:
Agora, vamos calcular a variância e o desvio-padrão. Nes-
se caso, devemos considerar a frequência de cada valor da 
variável.
56 Estatística Aplicada
Variância:
Tempo de espera na fila (minutos)
Tempo de espera (x) Frequência (f) % (x– )2. f
0 5 8,0 (0 – 2,9)2. 5 = 42,05
2 25 40,3 (2 – 2,9)2. 25 = 20,25
4 30 48,4 (4 – 2,9)2. 30 = 36,3
6 2 3,2 (6 – 2,9)2. 2 = 19,22
Total 62 (n) 100 117,82
s2 = minutos2
Desvio-padrão:
s = 1,4 minutos
Capítulo 4 Medidas de Variabilidade 57
Interpretação:
“Em média, o tempo de espera na fila desse supermercado é 
de 2,9 minutos com uma variação em torno dessa média de 
1,4 minutos.”
Recapitulando
As Medidas de Variabilidade (Variância, Desvio-padrão e Coefi-
ciente de Variação) são extremamente úteis no tratamento de da-
dos, pois estas indicam a variação existente em torno da média.
Quando realizamos o tratamento estatístico de dados pro-
venientes de variáveis quantitativas, o cálculo e interpretação 
dessas medidas fornece informação detalhada e de extrema 
importância na tomada de decisão do pesquisador.
Atividades: Medidas de variabilidade
Questão 1. Os dados abaixo são referentes às taxas de de-
semprego (em %) em alguns países selecionados da América 
do Sul e da América do Norte:
Brasil Uruguai Chile Argentina Canadá EUA Venezuela
11.4 12.1 5.6 7.3 4.8 5.3 7.3
Calcule e interprete a Média e o desvio-padrão para esses 
dados.
58 Estatística Aplicada
Questão 2. A capacidade em litros dos porta-malas dos car-
ros populares produzidos no Brasil foi investigada obtendo-se 
os seguintes dados:
Corsa: 240 litros Uno: 224 litros Hobby: 325 litros 
Gol: 146 litros
Calcule e interprete a média e o desvio-padrão para esses 
dados.
Questão 3. Um fabricante de molas está interessado em im-
plementar um sistema de controle de qualidade para monitorar 
seu processo de produção. Para isto, foi registrado o número 
de molas fora da conformidade em cada lote deprodução. Os 
dados apresentados na tabela de frequência abaixo se referem 
a 20 lotes selecionados, observando-se o número de molas 
fora de conformidade.
Número de molas fora de conformidade
Número de molas f %
6 3 15,0
7 6 30,0
8 4 20,0
9 3 15,0
12 4 20,0
Total 20 100,0
 a) Calcule e interprete as medidas descritivas: média e des-
vio-padrão para esses dados.
Capítulo 4 Medidas de Variabilidade 59
Questão 4. Considere a seguinte tabela:
Número de faltas no mês de uma amostra de 153 funcionários na empresa WK
Nº de faltas Nº funcionários %
0 85 55,5
1 20 13,1
2 40 26,1
3 8 5,3
Total 153 100,0
Calcule e interprete a média e o desvio-padrão para esses 
dados.
Questão 5. Duas turmas de Estatística apresentam as seguin-
tes estatísticas para as notas na prova G1:
Turma A: média = 7,8 pontos e desvio-padrão = 1,4 pontos.
Turma B: média = 8,2 pontos e desvio-padrão = 2,5 pontos.
Qual das duas turmas teve um desempenho mais homogê-
neo na prova G1? Justifique.
Gabarito das atividades propostas
Questão 1.
A taxa média de desemprego é 7,7% com uma variação em 
torno dessa média de 2,9%.
60 Estatística Aplicada
Questão 2.
Em média, a capacidade do porta-malas desses carros é de 
233,8 litros com uma variação em torno dessa média de 73,4 
litros.
Questão 3.
Em média, são produzidas por lote 8,4 molas fora de confor-
midade com uma variação de 2,2 molas.
Questão 4.
Em média, os funcionários da empresa WK possuem 0,8 fal-
tas, com uma variação em torno dessa média de 1 falta.
Questão 5.
CVA = 17,9% CVB = 30,5% CVA < CVB
A turma A teve um desempenho mais homogêneo na prova 
G1, comparada com a turma B, pois tem um coeficiente de 
variação menor.
Distribuição de 
Probabilidade Normal
ÂÂ A distribuição Normal ou Gaussiana é, sem dú-vida, o modelo probabilístico mais conhecido. Várias 
técnicas estatísticas necessitam da suposição de que os 
dados se distribuam normalmente para serem utilizadas. 
Na natureza, uma grande quantidade de variáveis apre-
senta tal distribuição.
O objetivo desse capítulo é a apresentação dessa dis-
tribuição por meio de exemplos de aplicações na área 
da administração; espera-se que o aluno compreenda as 
situações problema em que ela possa ser aplicada e as 
interpretações dos resultados fornecidos.
Simone Echeveste
Capítulo 5
62 Estatística Aplicada
A distribuição Normal é o modelo probabilístico mais utilizado 
no tratamento estatístico de dados, pois diversas ferramentas 
estatísticas necessitam da suposição de que os dados se distri-
buam normalmente para serem utilizadas.
A sua função densidade de probabilidade da distribuição 
normal f(x) é dada por:
 ; para -∞ < x < ∞ , -∞ < µ < ∞ e σ2 > 0
Os parâmetros da Normal são a média ( µ ) e o desvio-
-padrão ( σ ), que permitem infinitas curvas normais com dife-
rentes formatos (mas sempre simétricas). O gráfico da função 
densidade de probabilidade é apresentado a seguir:
Figura 14 Gráfico da Curva Normal.
Capítulo 5 Distribuição de Probabilidade Normal 63
Figura 15 Características da Distribuição Normal.
A distribuição Normal, independentemente dos valores 
dos parâmetros, apresenta sempre a seguinte relação (Fi-
gura 11):
64 Estatística Aplicada
Figura 16 Áreas importantes da Curva Normal.
Distribuição normal-padrão ou normal 
reduzida - Z
A função densidade de probabilidade f(x) da distribuição nor-
mal depende dos valores de µ e σ; por essa razão, teremos 
várias equações para vários diferentes valores de µ e σ. Todas 
as curvas normais representativas de distribuições de frequên-
cias podem ser transformadas em uma curva normal padrão, 
usando-se a média µ e o desvio padrão σ da variável em 
estudo.
Capítulo 5 Distribuição de Probabilidade Normal 65
Para evitar cálculos com a integração, uma tabela única foi 
desenvolvida para uma variável aleatória agora chamada de 
“Z” com µ=0 e σ=1, e sua distribuição de probabilidades é 
definida como normal padronizada, ou ainda normal padrão.
Seja X uma variável aleatória normalmente distribuída com 
quaisquer parâmetros média µ e desvio-padrão σ. Para reali-
zar o processo de padronização, devemos realizar a seguinte 
transformação:
Onde:
x = valor de interesse da variável
µ = média da variável
σ = desvio-padrão da variável
Após a padronização, poderemos obter as probabilidades 
associadas a cada área por meio da Tabela Normal padrão 
apresentada a seguir:
Tabela da Distribuição Normal Padrão P(Z < z) – VALORES POSITIVOS
z 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
66 Estatística Aplicada
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916
2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986
3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990
3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993
3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995
3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997
3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998
3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998
3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
Capítulo 5 Distribuição de Probabilidade Normal 67
Tabela da Distribuição Normal Padrão P(Z < z) – VALORES NEGATIVOS
z 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641
-0,1 0,46020,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247
-0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859
-0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483
-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121
-0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776
-0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451
-0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148
-0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867
-0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611
-1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379
-1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170
-1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985
-1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823
-1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681
-1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559
-1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455
-1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367
-1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294
-1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233
-2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183
-2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143
-2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110
-2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084
-2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064
-2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048
-2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036
-2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026
-2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019
-2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014
-3,0 0,0013 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010
-3,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007
68 Estatística Aplicada
-3,2 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005
-3,3 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003
-3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002
-3,5 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002
-3,6 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
-3,7 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
-3,8 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
-3,9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
Como utilizar a tabela normal padrão
Na tabela, desejamos saber a área correspondente a um de-
terminado valor de “z”, devemos considerar duas informações 
importantes obtidas a partir do valor de “z” que são: a linha e 
a coluna em que devemos procurar o valor.
Por exemplo, para P(z < 1,35), lê-se “probabilidade de z 
ser inferior a 1,35”:
Devemos dividir esse número em duas partes: a primei-
ra composta pela parte inteira do número e a primeira casa 
após a vírgula que representa os décimos; a segunda parte é 
composta pela segunda casa após a vírgula que representa o 
centésimo.
Capítulo 5 Distribuição de Probabilidade Normal 69
Para o nosso exemplo P(z < 1,35), deveremos buscar na ta-
bela dos valores de “z” positivos a linha 1,3 e a coluna 0,05:
Tabela da Distribuição Normal Padrão P(Z < z) – VALORES POSITIVOS
z 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8557 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
Então P(z < 1,35) = 0,9115 ou ainda 91,15%.
Outro exemplo: P(z < -0,27)
70 Estatística Aplicada
Deveremos buscar na tabela dos valores de “z” negativos 
a linha -0,2 e a coluna 0,07:
Tabela da Distribuição Normal Padrão P(Z < z) – VALORES POSITIVOS
z 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641
-0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247
-0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859
-0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483
-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121
-0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776
-0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451
-0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148
-08 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867
Então P(z < -0,27) = 0,3936 ou ainda 39,36%.
Exemplo 1
O valor gasto em uma refeição em um restaurante tem dis-
tribuição normal com média de 20 reais e desvio-padrão de 
0,50 reais. Qual a probabilidade que um cliente aleatoria-
mente selecionado gaste menos de 21 reais?
Passo 1: Dados do Problema
x = valor gasto em uma refeição
µ = 20 reais
σ = 0,50 reais
Capítulo 5 Distribuição de Probabilidade Normal 71
Pede-se: P(x < 21 reais)
Passo 2: Padronizar para obter o cálculo da área pela tabela 
Normal Padrão
Passo 3: Buscar o valor da probabilidade P(z < 2,00) na 
tabela normal
72 Estatística Aplicada
Deveremos buscar na tabela dos valores de “z” positivos 
a linha 2,0 e a coluna 0,00:
Tabela da Distribuição Normal Padrão P(Z < z) – VALORES POSITIVOS
z 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 ,05948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,91470,9162 0,9177
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890
Então a P(x < 21 reais) = 0,9772 ou 97,72%.
Capítulo 5 Distribuição de Probabilidade Normal 73
Exemplo 2
O número de unidades vendidas em uma loja de materiais es-
portivos no período de um mês é normalmente distribuído com 
média de 7000 unidades e desvio-padrão de 600 unidades. 
Qual é a probabilidade de que em um determinado mês essa 
loja venda menos de 6400 unidades?
Passo 1: Dados do Problema
x = número de unidades vendidas em uma loja de materiais 
esportivos no período de um mês
µ = 7000 unidades
σ = 600 unidades
Pede-se:
P(x < 6400 unidades)
74 Estatística Aplicada
Passo 2: Padronizar para obter o cálculo da área pela tabela 
Normal Padrão
Passo 3: Buscar o valor da probabilidade P(z < -1,00) na 
tabela normal
Capítulo 5 Distribuição de Probabilidade Normal 75
Deveremos buscar na tabela dos valores de “z” negativos 
a linha -1,0 e a coluna 0,00:
Tabela da Distribuição Normal Padrão P(Z < z) – VALORES POSITIVOS
z 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641
-0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247
-0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859
-0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483
-0,4 0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121
-0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776
-0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451
-0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148
-0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867
-0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611
-1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379
-1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170
-1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985
Então a P(x < 6400 unidades) = 0,1587 ou 15,87%.
Nos exemplos anteriores, observe que as áreas/probabi-
lidades solicitadas foram sempre áreas INFERIORES a um 
76 Estatística Aplicada
valor “x” de interesse; observe que, na tabela normal padrão 
utilizada, as probabilidades que ali se encontram referem-se 
sempre a áreas inferiores:
Tabela da Distribuição Normal Padrão P(Z < z) – VALORES POSITIVOS
z 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641
-0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247
Quando a probabilidade desejada for uma área SUPE-
RIOR a algum valor de “x” ou ainda ENTRE dois valores de 
“x”, devemos utilizar a mesma tabela, porém observando as 
seguintes regras:
No mesmo exemplo anteriormente citado, vamos consi-
derar agora que desejamos saber a probabilidade dessa loja 
vender mais de 7500 unidades:
Pede-se:
P(x > 7500 unidades)
Capítulo 5 Distribuição de Probabilidade Normal 77
Observe que aqui desejamos a área localizada à DIREITA 
no gráfico (área escura), ou seja, uma área SUPERIOR, po-
rém a tabela apresenta apenas o cálculo das áreas INFERIO-
RES, ou ainda à ESQUERDA do gráfico (área clara). Nesse 
caso utilizaremos a informação que a curva ao todo possui 
100% de área, então calcularemos a área INFERIOR e do re-
sultado obtido na tabela subtrairemos 100%.
Então poderemos estabelecer a seguinte regra:
P( x ≥ a ) = 100% - P( x ≤ a )
Voltando ao exemplo:
 b) Probabilidade de vender mais de 7500 unidades.
Pede-se:
P(x > 7500 unidades)
78 Estatística Aplicada
Vamos então aplicar a regra:
P(x > 7500 unidades) = 100% - P(x < 7500 unidades)
Padronizando para obter o cálculo da área pela tabela 
Normal Padrão.
Buscando o valor da probabilidade P(z < 0,83) na tabela 
normal.
Deveremos buscar na tabela dos valores de “z” positivos 
a linha 0,8 e a coluna 0,03:
Capítulo 5 Distribuição de Probabilidade Normal 79
Tabela da Distribuição Normal Padrão P(Z < z) – VALORES POSITIVOS
z 0,0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830
Então a P(x < 7500 unidades) = 0,7967 ou 79,67%.
ATENÇÃO!!!
Não esqueça que a probabilidade desejada é SUPERIOR a 7500 
horas, então:
P(x > 7500 horas) = 100% - P(x < 7500 horas)
P(x > 7500 horas) = 100% - 79,67%
P(x > 7500 horas) = 20,33%
80 Estatística Aplicada
Agora, vejamos o terceiro e último tipo de área/probabili-
dade a ser calculada: ENTRE dois valores.
Qual é a probabilidade dessa loja vender entre 6300 uni-
dades e 7400 unidades?
Pede-se:
P( 6300 ≤ x ≤ 7400 )
Nesse caso, teremos dois valores de “x” que deverão ser 
padronizados resultando em dois valores de probabilidade, 
uma referente à área inferior a 7400 e outra inferior a 6300.
Capítulo 5 Distribuição de Probabilidade Normal 81
Para obter a área de interesse, devemos subtrair uma área 
da outra. Assim, poderemos estabelecer a seguinte regra:
P( a ≤ x ≤ b ) = P( x ≤ b ) – P( x ≤ a )
Voltando ao exemplo:
Pede-se:
P( 6300 ≤ x ≤ 7400 )
82 Estatística Aplicada
Vamos então aplicar a regra:
P( 6300 ≤ x ≤ 7400 ) = P(x ≤ 7400) – P(x ≤ 6300)
Padronizando para obter o cálculo da área pela tabela 
Normal Padrão.
Na tabela: linha 0,6 e coluna 0,07 0,7486 ou 74,86%
Na tabela: linha -1,1 e coluna 0,07 0,1210 ou 
12,10%
Então:
P( 6300 ≤ x ≤ 7400 ) = 74,86% – 12,10%
P( 6300 ≤ x ≤ 7400 ) = 62,76%
Capítulo 5 Distribuição de Probabilidade Normal 83
Recapitulando
A distribuição de probabilidades para uma variável aleatória 
“X” é expressa por meio de um modelo matemático que repre-
senta as probabilidades associadas aos possíveis valores que 
essa variável pode assumir.
A Distribuição Normal é o modelo probabilístico mais co-
nhecido, no qual várias técnicas estatísticas necessitam da 
suposição de que os dados se distribuam normalmente para 
serem utilizadas. Seus parâmetros são a média e o desvio-
-padrão.
Atividades: Distribuição de probabilidade 
normal
Questão 1. Determinado atacadista efetua suas vendas por 
telefone. Após alguns meses, verificou-se que os pedidos se 
distribuem normalmente com média de 3.000 pedidos e des-
vio-padrão de 180 pedidos. Qual a probabilidadede que em 
um mês selecionado ao acaso essa empresa venda menos 
de 2700 pedidos.
Questão 2. O conteúdo líquido das garrafas de 300 ml de 
um refrigerante é normalmente distribuído com média de 300 
ml e desvio-padrão de 2 ml. Determine a probabilidade de uma 
garrafa selecionada ao acaso apresentar conteúdo líquido:
 a) Inferior a 306 ml.
 b) Superior a 305 ml.
84 Estatística Aplicada
 c) Entre 302 e 304 ml.
Questão 3. O lucro mensal obtido com ações de determi-
nada empresa tem distribuição normal com média de 12 mil 
reais e desvio-padrão de 5 mil reais. Qual a probabilidade de 
que em determinado mês o lucro dessa empresa seja:
 a) Superior a 18 mil reais.
 b) Inferior a 8 mil reais.
 c) Entre 10 e 15 mil reais.
Questão 4. Suponha que a renda média anual de uma grande 
comunidade tenha distribuição normal com média de 15 mil re-
ais e com um desvio-padrão de 3 mil reais. Qual a probabilida-
de de que um indivíduo aleatoriamente selecionado desse grupo 
apresente uma média salarial anual superior a 18 mil reais?
Questão 5. O escore de um estudante no vestibular é uma 
variável com distribuição normal com média de 550 pontos e 
desvio-padrão de 30 pontos. Se a admissão em certa faculda-
de exige um escore mínimo de 575 pontos, qual é a probabi-
lidade de um aluno ser admitido nessa faculdade?
Gabarito das atividades propostas
Questão 1. P(x < 2700 pedidos) = 4,75%
Questão 2. a) 99,87% b) 0,62% c) 13,59%
Questão 3. a) 11,51% b) 21,19% c) 38,12%
Questão 4. P(x > 18 mil reais) = 15,87%
Questão 5. P(x > 575 pontos) = 20,33%
Amostragem
ÂÂ Quando uma pesquisa/estudo analisa os dados de todo o Universo/grupo que ele tenta compreender, 
dizemos que está trabalhando com a população. Entre-
tanto, muitas vezes, o pesquisador trabalha com tempo, 
energia e recursos econômicos limitados, tornando possí-
vel a análise de apenas parte do grupo de dados retirados 
da população. Esse grupo denomina-se amostra.
Neste capítulo, serão apresentados os elementos im-
portantes relacionados ao processo de seleção da amos-
tra que fará parte da pesquisa. Com o estudo da teoria da 
amostragem, espera-se que o aluno conheça as diferentes 
metodologias de seleção da amostra, bem como compre-
enda os procedimentos do cálculo do tamanho mínimo de 
uma amostra em uma pesquisa.
Simone Echeveste
Capítulo 6
86 Estatística Aplicada
“Frederick Mosteller, estatístico e professor em Harvard, dis-
se, certa vez, que é possível mentir usando estatísticas, mas 
que se mente mais, e melhor, sem estatísticas. É preciso en-
tender que as amostras podem levar a conclusões erradas. 
Contudo, as opiniões pessoais, sem base em dados, levam, 
em geral, a conclusões muito mais erradas.”
Amostragem é o conjunto de procedimentos e técnicas para 
extração de elementos da população para compor a amostra. 
O objetivo da amostragem é obter amostras representativas 
das populações em estudo.
As técnicas de amostragem se dividem em: probabilísti-
cas e não probabilísticas. As técnicas probabilísticas são 
aquelas em que todos os elementos da população têm uma 
probabilidade não nula de seleção. Nas técnicas não proba-
bilísticas, não podemos garantir que todos os elementos têm 
probabilidade de serem selecionados para a amostra.
Técnicas de amostragem probabilísticas
 Â Amostra Aleatória Simples
Uma amostra aleatória simples é selecionada tal que todos 
os elementos da população tenham a mesma chance de 
serem selecionados, por exemplo, por um sorteio.
 Â Amostra Sistemática
Uma amostra sistemática poderá ser tratada como uma 
amostra aleatória simples se os elementos da população 
estiverem ordenados aleatoriamente, e a seleção será re-
Capítulo 6 Amostragem 87
alizada por meio da escolha sistemática, por exemplo, de 
uma a cada cinco elementos.
 Â Amostra Estratificada
Esta técnica consiste em dividir a população em subgrupos, 
que são denominados estratos. Esses estratos devem ser 
internamente mais homogêneos do que a população toda, 
com respeito às variáveis em estudo.
 Â Amostra por conglomerados
Chamamos de conglomerado um agrupamento de elemen-
tos da população. Por exemplo, numa população de alunos 
de uma escola, as turmas formam conglomerados de alunos.
Técnicas de amostragem não 
probabilísticas
 Â Amostra por cotas
Nesta técnica, a população é vista de forma segregada, 
dividida em diversos subgrupos. Numa pesquisa socioeco-
nômica, por exemplo, a população pode ser dividida por 
faixas de renda, faixas de idade, nível de instrução etc.
 Â Amostra por julgamento
Os elementos escolhidos são aqueles julgados como típi-
cos da população que se deseja estudar.
 Â Amostra por fluxo
Os elementos são selecionados a partir do fluxo destes em 
determinado local. Por exemplo, considere uma pesquisa 
88 Estatística Aplicada
referente à opinião das pessoas sobre a administração da 
cidade. A amostra pode ser selecionada considerando o 
fluxo das pessoas no centro de Porto Alegre.
As perguntas mais frequentes em relação ao tamanho mí-
nimo da amostra podem ser resumidas em três questões apre-
sentadas na figura 17.
Figura 17 Questões mais frequentes sobre o tamanho da amostra.
Nesse contexto, definir o tamanho mínimo da amostra é 
indispensável para garantir a capacidade de o estudo respon-
der aos objetivos propostos considerando o rigor científico in-
dispensável em qualquer pesquisa. É importante observar que 
não existe um tamanho de amostra predeterminado, ou seja, 
cada pesquisa deve ser realizada considerando sua população 
e seus objetivos.
A determinação do tamanho amostral é realizada mediante 
fórmulas estatísticas, conhecidas como fórmulas para cálculo 
de tamanho de amostra que consideram alguns elementos im-
portantes apresentados na figura 18.
Capítulo 6 Amostragem 89
Figura 18 Elementos que devem ser considerados no cálculo do tamanho 
mínimo da amostra.
Determinação do tamanho mínimo da 
amostra
Quando desejamos coletar uma amostra aleatória de dados 
que será utilizada para estimar uma média populacional µ, 
quantos valores amostrais devem ser obtidos? De acordo com 
TRIOLA (2008), a determinação do tamanho de uma amostra 
é muito importante, pois amostras desnecessariamente gran-
90 Estatística Aplicada
des gastam tempo e dinheiro, e amostras muito pequenas po-
dem levar a resultados pobres.
Não podemos evitar a ocorrência do ERRO AMOSTRAL, 
porém podemos limitar seu valor a partir da escolha de uma 
amostra de tamanho adequado. Obviamente, o ERRO AMOS-
TRAL e o TAMANHO DA AMOSTRA seguem sentidos contrários 
(conforme apresentação da Figura 19, abaixo). Quanto maior 
o tamanho da amostra, menor o erro cometido e vice-versa.
Figura 19 Relação entre o erro amostral e o tamanho da amostra.
Cálculo do tamanho mínimo da amostra
 A) PARA ESTIMAR UMA MÉDIA QUANDO A POPULA-
ÇÃO É CONHECIDA
Para estimarmos uma média, o cálculo para o tamanho 
mínimo de amostra necessita das seguintes informações:
- Determinação do erro de estimação (e).
Capítulo 6 Amostragem 91
- Nível de confiança desejado nos resultados (normalmente, 
esse valor é estipulado em 95%).
Valores de z para níveis de confiança estabelecidos e o 
tamanho da amostra.
Nível de confiança Valor tabela Z
90% 1,645
95% 1,960
99% 2,575
- Tamanho da população de interesse do estudo (N).
A fórmula utilizada é:
Onde:
σ2 – desvio-padrão populacional elevado ao quadrado (vari-
ância)
Z2 – valor da tabela normal padrão elevado ao quadrado
e2 – erro máximo de estimação estabelecido pelo pesquisador
N – tamanho da população
92 Estatística Aplicada
Exemplo
Deseja-se determinar o tamanho mínimo de uma amostra 
para estimar a média de gastos mensais em supermercado de 
clientes que possuem o cartão fidelidade, considerando um 
erro máximode estimação de 15 reais e uma confiabilidade 
de 95%, o desvio-padrão desse gasto é sabido ser de 200 re-
ais. Considere que, ao todo, 6500 clientes possuem o cartão 
fidelidade.
Informações do problema:
Deseja estimar a média de gastos mensais no supermercado.
N = 6.500 clientes (População)
Z = 1,96 (valor da tabela normal para uma confiança de 95%)
e = 15 reais (erro amostral)
σ = 200 reais (desvio-padrão)
Capítulo 6 Amostragem 93
Para o valor final, recomenda-
se o arredondamento sempre 
para o próximo número inteiro.
n = 619
Para essa pesquisa, deve-se investigar no mínimo 619 
clientes.
Para o caso do desvio-padrão ser desconhecido, deve-se utili-
zar uma estimativa desse valor com base em dados amostrais, 
como por exemplo:
- A partir de um estudo piloto com base na primeira coleta 
de, pelo menos, 31 valores amostrais selecionados aleato-
riamente, calcular o desvio-padrão amostral.
- Por meio da utilização do desvio-padrão obtido em outra 
pesquisa semelhante (características populacionais, men-
suração das variáveis) da que está sendo realizada.
 B) PARA ESTIMAR UMA MÉDIA QUANDO A POPULA-
ÇÃO É DESCONHECIDA
Para o caso do tamanho total da população ser desconhecido, 
ou ainda naqueles casos em que a população é infinita, pode-
remos utilizar a seguinte fórmula para determinar o tamanho 
mínimo da amostra:
94 Estatística Aplicada
Exemplo
Um Administrador de empresas deseja estimar a renda média 
para o primeiro ano de trabalho em sua área de atuação. 
Quantos administradores devem ser selecionados, desejando 
ter 95% de confiança em que a renda média amostral esteja a 
menos de 20 reais da verdadeira renda média populacional? 
Sabemos, por um estudo prévio, que o desvio-padrão é de 
150 reais.
Devemos, portanto, obter uma amostra de, ao menos, 216 
administradores que estejam no primeiro ano de trabalho, se-
lecionados aleatoriamente.
 C) PARA ESTIMAR UMA PROPORÇÃO QUANDO A PO-
PULAÇÃO É CONHECIDA
Outro parâmetro estatístico cuja determinação afeta o ta-
manho da amostra é a proporção populacional. A fórmula 
para cálculo do tamanho da amostra para uma estimativa da 
PROPORÇÃO POPULACIONAL (p) é dada por:
Capítulo 6 Amostragem 95
Onde:
Z – valor da distribuição normal (para 95% de confiança, z = 
1,96)
p = proporção da característica a ser estudada (quando não 
sabemos essa proporção, utilizamos o valor de p = 50% ou 
ainda p = 0,50)
N = tamanho da população
e = erro máximo de estimação (normalmente, para pesquisas 
na área de administração, utilizamos 5% - 0,05)
Exemplo 1
Vamos supor uma pesquisa com uma população de 1450 as-
sinantes da NET; qual o tamanho mínimo que a amostra deve 
ter considerando um erro máximo de estimação de 5%?
Informações do problema:
Z – 1,96 (para 95% de confiança, z = 1,96)
p = 0,50 (quando não sabemos essa proporção, utilizamos o 
valor de p = 0,50)
N = 1.450
e = 0,05
96 Estatística Aplicada
 
=
−+−
−
=
−+−
−
=
)50,01(50,0.96,105,0).11450(
1450).50,01(50,0.96,1
)1()1(
)1(
22
2
22
2
ppzN
Nppzn
e
 
86,303
5829,4
58,392.1
9604,06225,3
450.19604,0
25,084,30025,01449
450.125,084,3
==
+
×
=
×+×
××
=
n
n
Devemos, então, investigar uma amostra de 304 assinantes 
da NET.
 D) PARA ESTIMAR UMA PROPORÇÃO QUANDO A PO-
PULAÇÃO É DESCONHECIDA
Quando a população é desconhecida, utilizamos para es-
timar uma proporção a seguinte fórmula:
Exemplo
Uma pequena indústria fabricante de gêneros alimentícios 
deseja realizar uma pesquisa em um supermercado de uma 
Capítulo 6 Amostragem 97
região de São Leopoldo com o objetivo de estimar a propor-
ção de consumidores que preferem o leite embalado em sacos 
plásticos. Qual deve ser o tamanho mínimo da amostra consi-
derando um nível de confiança de 95% e um erro máximo de 
estimação de 5%?
Informações do problema:
Z – 1,96 (para 95% de confiança, z = 1,96)
p = 0,50 (quando não sabemos essa proporção, utilizamos o 
valor de p = 0,50)
e = 0,05
Devemos, então, investigar uma amostra de 385 consumi-
dores.
98 Estatística Aplicada
Recapitulando
A determinação do processo de amostragem e do tamanho 
da amostra são decisões muito importantes em qualquer pes-
quisa. Cabe sempre ao pesquisador procurar desenhar seu 
planejamento amostral procurando reduzir o máximo possível 
a fonte de erros.
Dependendo da variável principal a ser estimada e algu-
mas informações a respeito da população alvo da pesquisa, 
podemos utilizar diferentes fórmulas para determinar o tama-
nho mínimo da amostra.
Atividades: amostragem
Questão 1. Uma pesquisa é planejada para determinar as 
despesas médicas anuais das famílias dos empregados de 
uma grande empresa. A gerência da empresa deseja ter 95% 
de confiança de que a média da amostra está no máximo com 
uma margem de erro de 50 reais da média real das despe-
sas médicas familiares. Um estudo-piloto indica que o desvio-
-padrão pode ser calculado como igual a 400 reais. Qual o 
tamanho de amostra necessário?
Questão 2. Um estudo deseja saber a proporção de eleitores 
que se declaram indecisos em relação a certo candidato. Qual 
Capítulo 6 Amostragem 99
deverá ser o tamanho mínimo de amostra para uma confiança 
de 95% e um erro máximo de estimação de 5%?
Questão 3. Uma grande loja de departamentos deseja reali-
zar uma pesquisa com seus clientes que possuem o cartão da 
loja. Ao todo, são 4500 clientes. Qual o tamanho da amostra 
que deve ser adotado com um erro máximo de estimação de 
5% e um nível de confiança de 95%?
Questão 4. Um gerente de restaurante deseja estimar o tem-
po médio que os clientes levam para realizar uma refeição. 
Com base em estudos anteriores, sabe-se que o desvio-pa-
drão é de 15 minutos. Utilizando uma confiança de 95% e um 
erro máximo de 5 minutos, qual deve ser o tamanho mínimo 
da amostra para esse estudo?
Questão 5. Uma pesquisa deseja estimar a proporção de 
analfabetos em uma região do interior do Brasil com uma con-
fiabilidade de 95% e com um erro de estimação máxi-
mo de 2,5%. Qual o tamanho da amostra a ser utilizada?
Gabarito atividades propostas
Questão 1. n = 245,8 ≈ 246
Questão 2. n = 384,16 ≈ 385
100 Estatística Aplicada
Questão 3. n = 354,01 ≈ 355
Questão 4. n = 34,57 ≈ 35
Questão 5. n = 1.536,64 ≈ 1.537
Estimação
ÂÂNeste capítulo, serão trabalhados alguns conceitos im-portantes a respeito de estimação pontual e intervalar. 
Será apresentado ao aluno a construção e a interpretação 
de um Intervalo de Confiança, bem como a importância 
da informação fornecida por ele.
Simone Echeveste
Capítulo 7
102 Estatística Aplicada
O aluno, ao final deste capítulo, deverá realizar estimações 
intervalares para parâmetros como a média e a proporção a 
partir da construção de intervalos de confiança, bem como 
realizar a correta interpretação dos mesmos.
Ao realizar uma pesquisa, na grande maioria das vezes, 
necessitamos conhecer algumas características da população 
por meio de informações amostrais, ou seja, uma amostra 
é extraída da população e, a partir da sua análise, as in-
formações obtidas são inferidas para toda a população de 
interesse.
A estimação é o processo que consiste no uso de dados 
da amostra (dados amostrais) para estimar valores de parâ-
metros populacionais desconhecidos, tais como média, desvio 
padrão, proporções etc.
Estimação é o processo pelo qual utilizamos um valor 
amostral (estimador) com o objetivo de inferir o seu respec-
tivo valor populacional (parâmetro).
IMPORTANTE:
A média populacional µ é estimada por .
O desvio-padrão populacional σ é estimado por s.
A proporção populacional p é estimada por p.
Capítulo 7 Estimação 103
Estimação por ponto e por 
intervalos de confiançaA estimação pontual, ou por ponto de um parâmetro, ocorre 
sempre que calculamos alguma estatística utilizando apenas a 
aplicação da fórmula de seu estimador. Nesse tipo de estima-
tiva a informação fornecida é composta por um único valor.
Quando calculamos, por exemplo, o salário médio de um 
grupo de pessoas e chegamos ao resultado = 3.250 reais, 
estamos estimando que, em média, essas pessoas tenham um 
salário de 3.250 reais. Observe que nossa estimativa é pontu-
al, ou seja, feita utilizando apenas um único valor.
Já a estimação intervalar consiste na determinação de um 
intervalo de valores do qual, com certa confiança (probabilida-
de), esteja contido o parâmetro desconhecido, utilizando, para 
isso, a informação obtida com o seu estimador. A utilização 
de intervalos de confiança é uma alternativa sempre muito in-
teressante no processo de estimação, pois permite determinar 
o erro máximo de estimação cometido com certa confiança 
preestabelecida.
Intervalo de confiança para média µ
Ao construir um Intervalo de Confiança para uma média, de-
sejamos estabelecer um intervalo de valores com uma proba-
bilidade preestabelecida, considerando a estimativa da média 
( ) corrigida pelo erro de estimação (e).
104 Estatística Aplicada
Destaca-se aqui que a variável analisada (x) deve apresen-
tar distribuição aproximadamente normal para que se possa 
realizar esse procedimento de estimação intervalar.
Figura 20 Representação do Intervalo de Confiança 95% para a média.
Duas situações são consideradas quando desejamos estabe-
lecer um Intervalo de Confiança para a média populacional µ:
 1ª) Quando o desvio-padrão σ é conhecido.
 2ª) Quando o desvio-padrão σ é desconhecido.
Seja “X” uma variável aleatória que apresenta distribuição 
normal com desvio-padrão desconhecido, o Intervalo de 
Confiança para a média µ pode ser assim determinado:
Onde:
 
Atenção!
= média amostral
e = erro de estimação
t = valor tabelado tabela t-student
s = desvio-padrão amostral
n = tamanho da amostra
Capítulo 7 Estimação 105
Observe que, nesse intervalo, utilizaremos a distribuição t-
-student que é uma distribuição muito semelhante à distribui-
ção normal e é utilizada em casos de pequenas amostras ou 
ainda quando σ é desconhecido. A tabela t-student apresenta-
da abaixo possui ( n – 1) graus de liberdade:
Tabela de valores críticos da distribuição t de Student.
Gl (n-1) IC 95% IC 98% IC 99%
0,050 0,020 0,010
1 12,706 31,821 63,656
2 4,303 6,965 9,925
3 3,182 4,541 5,841
4 2,776 3,747 4,604
5 2,571 3,365 4,032
6 2,447 3,143 3,707
7 2,365 2,998 3,499
8 2,306 2,896 3,355
9 2,262 2,821 3,250
10 2,228 2,764 3,169
11 2,201 2,718 3,106
12 2,179 2,681 3,055
13 2,160 2,650 3,012
14 2,145 2,624 2,977
15 2,131 2,602 2,947
16 2,120 2,583 2,921
17 2,110 2,567 2,898
106 Estatística Aplicada
18 2,101 2,552 2,878
19 2,093 2,539 2,861
20 2,086 2,528 2,845
21 2,080 2,518 2,831
22 2,074 2,508 2,819
23 2,069 2,500 2,807
24 2,064 2,492 2,797
25 2,060 2,485 2,787
26 2,056 2,479 2,779
27 2,052 2,473 2,771
28 2,048 2,467 2,763
29 2,045 2,462 2,756
30 2,042 2,457 2,750
39 2,023 2,426 2,708
40 2,021 2,423 2,704
49 2,010 2,405 2,680
50 2,009 2,403 2,678
59 2,001 2,391 2,662
60 2,000 2,390 2,660
99 1,984 2,365 2,626
100 1,984 2,364 2,626
120 1,980 2,358 2,617
200 1,972 2,345 2,601
infinito 1,960 2,326 2,576
Capítulo 7 Estimação 107
Exemplo 1
Em um estudo realizado com uma amostra de 25 clientes in-
vestidores de um banco, verificou-se uma idade média desses 
clientes de 54,7 anos com um desvio-padrão de 5,2 anos. 
Construa o Intervalo de Confiança (IC) 95% para a verdadeira 
idade média de todos os clientes investidores desse banco.
Dados do Problema:
Variável (x) – Idade (em anos)
Amostra (n) = 25 clientes
 = 54,7 anos
s = 5,2 anos
t = 2,064 (veja na página a seguir como encontrar esse valor)
Intervalo de Confiança 95%
108 Estatística Aplicada
e = 2,1466
[ ± e]
[54,7 ± 2,15]
[54,7 – 2,15 a 54,7+ 2,15]
[52,55 a 56,85]
Interpretação: “Estima-se, com 95% de confiança, que 
a verdadeira idade média desses clientes seja um valor entre 
52,55 anos e 56,85 anos.”
Como encontrar o valor de “T” na tabela 
T-student
Na tabela “t”, devemos considerar duas informações impor-
tantes: a linha e a coluna em que o valor se encontra. Na 
linha, temos os graus de liberdade (gl) que correspondem sem-
pre ao tamanho da amostra menos 1 (n-1), e na coluna deve-
mos observar o nível de confiança do intervalo desejado.
No exemplo acima, o tamanho da amostra é 25 e o Inter-
valo de Confiança solicitado é 95%, então devemos olhar na 
tabela a linha 25 – 1 = 24 e a coluna que corresponde ao IC 
95%:
Capítulo 7 Estimação 109
Tabela de valores críticos da distribuição t de Student.
Gl (n-1) IC 95% IC 98% IC 99%
0,050 0,020 0,010
1 12,706 31,821 63,656
2 4,303 6,965 9,925
3 3,182 4,541 5,841
4 2,776 3,747 4,604
5 2,571 3,365 4,032
6 2,447 3,143 3,707
7 2,365 2,998 3,499
8 2,306 2,896 3,355
9 2,262 2,821 3,250
10 2,228 2,764 3,169
11 2,201 2,718 3,106
12 2,179 2,681 3,055
13 2,160 2,650 3,012
14 2,145 2,624 2,977
15 2,131 2,602 2,947
16 2,120 2,583 2,921
17 2,110 2,567 2,898
18 2,101 2,552 2,878
19 2,093 2,539 2,861
20 2,086 2,528 2,845
21 2,080 2,518 2,831
22 2,074 2,508 2,819
23 2,069 2,500 2,807
24 2,064 2,492 2,797
O valor de “t”, então, para esse exemplo, é de 2,064.
t = 2,064
110 Estatística Aplicada
Exemplo 2
Em uma central 0800 de atendimento a dúvidas sobre os pro-
dutos de um empresa, foi registrado, em uma amostra de 15 
dias, uma média de 53 atendimentos ao dia com um desvio-
-padrão de 4 atendimentos. Obtenha o Intervalo de Confiança 
95% para a verdadeira média de atendimentos diários recebi-
dos por essa central.
Dados do Problema:
Variável (x) – Número de atendimentos realizados ao dia
Amostra (n) = 15 dias
 = 53 atendimentos
s = 4 atendimentos
t = 2,145 (procurar na tabela - linha 14 e coluna IC95%)
Tabela de valores críticos da distribuição t de Student.
Gl (n-1) IC 95% IC 98% IC 99%
0,050 0,020 0,010
1 12,706 31,821 63,656
2 4,303 6,965 9,925
3 3,182 4,541 5,841
4 2,776 3,747 4,604
5 2,571 3,365 4,032
6 2,447 3,143 3,707
7 2,365 2,998 3,499
8 2,306 2,896 3,355
9 2,262 2,821 3,250
Capítulo 7 Estimação 111
10 2,228 2,764 3,169
11 2,201 2,718 3,106
12 2,179 2,681 3,055
13 2,160 2,650 3,012
14 2,145 2,624 2,977
15 2,131 2,602 2,947
16 2,120 2,583 2,921
17 2,110 2,567 2,898
Intervalo de Confiança 95%
e = 2,22
[53 ± 2,22]
[53 – 2,22 a 53 + 2,22]
[50,78 a 55,22]
Interpretação: “Estima-se, com 95% de confiança, que o 
verdadeiro número médio de atendimentos realizados por essa 
central seja um valor entre 50,78 e 55,22 atendimentos ao 
dia.”
112 Estatística Aplicada
Intervalo de confiança para proporção p
Seja “p” a proporção de ocorrência de algum evento de inte-
resse em uma população, o Intervalo de Confiança para uma 
proporção da população p pode ser definido como:
Figura 21 Representação do Intervalo de Confiança 95% para a 
proporção.
Atenção!
p = proporção observada na amostra
e = erro de estimação
z = valor tabelado tabela normal
n = tamanho da amostra
Os valores de Z (normal-padrão) podem ser obtidos na 
tabela t com infinitos graus de liberdade. Valores típicos:
Capítulo 7 Estimação 113
z0,05= 1,645 (IC 90%)
z0,025 = 1,96 (IC 95%)
z0,005 = 2,576 (IC 99%)
Exemplo
Num depósito, uma amostra de 230 latas de certo produto ali-
mentar armazenadas para serem distribuídas foram verificadas 
constatando-se que 12 já ultrapassaram o prazo de validade. 
Construa e interprete o Intervalo de confiança 95% para a pro-
porção verdadeirade latas que já ultrapassaram o prazo de 
validade.
Dados do Problema:
Proporção investigada – proporção de latas com prazo de va-
lidade vencido
Amostra (n) = 230 latas
Verifique que, de acordo com o enunciado do problema 
das 230 latas, 12 ultrapassaram o prazo de validade.
z = 1,96 (valor obtido a partir da normal padrão de acordo 
com os valores de z apresentada na página anterior)
114 Estatística Aplicada
Intervalo de Confiança 95%
Após o intervalo construído, 
multiplique os valores obti-
dos por 100 para apresentar 
o intervalo em percentual.
Interpretação: “Estima-se, com 95% de confiança, que a 
verdadeira proporção de latas que já ultrapassaram o prazo de 
validade seja um valor entre 2,35% a 8,09%.”
Recapitulando
A Estimação é o processo pelo qual utilizamos um valor amos-
tral (estimador) com o objetivo de inferir o seu respectivo valor 
populacional (parâmetro), podendo ser realizada de duas for-
mas: estimativa pontual ou estimativa intervalar.
Capítulo 7 Estimação 115
A estimação intervalar é construída a partir do cálculo 
do estimador de interesse ajustado a um erro de estimação, 
corresponde a uma alternativa sempre muito interessante no 
processo de estimação, pois permite ao pesquisador conside-
rar em uma estimativa pontual o erro de estimação que pode 
ocorrer nesse valor.
Atividades: Estimação
Questão 1. Um determinado Instituto de Pesquisa investigou 
uma amostra de 400 Administradores a respeito do tempo que 
levaram para obter seus diplomas. A média obtida foi de 4,5 
anos com um desvio-padrão de 0,5 anos. Com base nesses 
dados amostrais, construa um intervalo de 95% de confiança 
para o verdadeiro tempo médio gasto por todos os Adminis-
tradores para obter seus diplomas.
Questão 2. Uma amostra de 539 lares de certa cidade foi 
selecionada e determinou-se que em 133 deles havia, pelo 
menos, uma arma de fogo. Usando um nível de confiança de 
95%, calcule o Intervalo de Confiança para a verdadeira pro-
porção de lares com, pelo menos, uma arma de fogo.
Questão 3. Para estimar o tempo médio de atendimento em 
um restaurante do tipo fast-food, um pesquisador anotou o 
tempo gasto por 40 garçonetes para completar um pedido-
-padrão (consistindo de 1 hambúrguer, uma porção de fritas e 
uma bebida). As garçonetes levaram, em média, 4,3 minutos 
com um desvio-padrão de 2,4 minutos para completar os pe-
116 Estatística Aplicada
didos. Construa o Intervalo de Confiança 95% para o verda-
deiro tempo médio necessário para completar um pedido-
-padrão.
Questão 4. Quarenta e uma pessoas, de uma amostra alea-
tória de 500 trabalhadores, estão desempregadas. Calcule um 
Intervalo de Confiança 95% para essa proporção.
Questão 5. Para avaliar o peso médio de uma nova safra de 
limões, o administrador de uma fazenda obteve os pesos de 
50 limões novos, encontrando uma média de 115,5 gramas, 
com um desvio-padrão de 20,4 gramas. Construa e interprete 
confiança 95% para o verdadeiro peso médio dos limões.
Gabarito das atividades propostas
Questão 1. R: [4,45 anos a 4,51 anos].
Questão 2. R: [21,03% a 28,31%].
Questão 3. R: [3,56 minutos a 5,04 minutos].
Questão 4. R: [5,8% a 10,6%].
Questão 5. R: [109,85 gramas a 121,15 gramas].
Testes de Hipóteses
ÂÂNeste capítulo, estudaremos uma importante ferramen-ta de análise estatística muito utilizada na área da Ad-
ministração que é o Teste de Hipóteses. Essa ferramenta 
permite ao pesquisador verificar se uma afirmação sobre 
um parâmetro (média) pode ser aceita para toda a popu-
lação ou não.
Ao final deste capítulo, o aluno deverá identificar os ti-
pos de problemas que podem ser analisados por meio de 
um teste de hipóteses, compreender todos os passos que 
compõem a realização deste, bem como concluir sobre os 
resultados obtidos.
Simone Echeveste
Capítulo 8
118 Estatística Aplicada
Em algumas situações de pesquisa, existe um particular inte-
resse em decidir sobre a verdade ou não de uma hipótese 
específica (se dois grupos têm a mesma média ou não, ou se o 
parâmetro populacional tem um valor em particular ou não). 
Na Estatística, quando falamos em hipóteses, referimo-nos a 
uma afirmação a respeito de um parâmetro, como a média ou 
o desvio-padrão, por exemplo.
Nesse caso, precisamos de ferramentas que permitam tes-
tar se uma afirmação é aceita ou rejeitada, tendo como base 
as informações obtidas em uma amostra. O Teste de hipó-
teses viabiliza uma estrutura para que façamos isto; ele é útil 
quando desejamos verificar a alegação (afirmação) feita sobre 
um parâmetro (média ou proporção).
Exemplos:
 Â O lucro médio mensal da empresa é de 500 mil reais.
 Â As vendas médias da loja A são superiores às da loja B.
 Â O tempo médio de entrega da mercadoria é de 7 dias.
Um teste de hipóteses deve considerar alguns passos im-
portantes na sua realização. Iniciamos com a determinação 
da hipótese a ser investigada, ou ainda com o efeito que de-
sejamos comprovar; este deve se referir a algum parâmetro 
populacional como a média ou a proporção, por exemplo.
A hipótese estabelecida é comparada aos resultados obti-
dos considerando uma pesquisa realizada com uma amostra 
de “n” elementos. As informações obtidas com os estimadores 
dos parâmetros de interesse adicionadas a alguns elementos 
Capítulo 8 Testes de Hipóteses 119
de probabilidade permitirão ao pesquisador decidir se a hipó-
tese é verdadeira ou não.
Figura 22 Elementos de um Teste de Hipóteses.
Em geral, estipula-se um nível de 5%. O valor da proba-
bilidade de se obter o efeito observado, dado que a hipótese 
nula é verdadeira, é chamado de p-valor. Se o valor do p-valor 
for menor que o nível de significância estipulado (normalmente 
de 5%), assume-se o erro tipo I e rejeita-se a hipótese nula. Ao 
contrário, se o p-valor for maior, não é assumido o erro tipo I 
e se aceita a hipótese nula.
Os testes podem rejeitar ou aceitar a hipótese nula e, nessa 
decisão, podem ocorrer dois possíveis tipos de erros conforme 
demonstra a Figura 20:
120 Estatística Aplicada
Figura 23 Tipos de Erros em um Teste de Hipóteses.
Em um teste de hipóteses, é obviamente desejável que se 
reduza ao mínimo as probabilidades α e β dos dois tipos de 
erros. A redução simultânea dos erros ocorre sempre 
quando aumentamos o tamanho da amostra.
Componentes de um teste de hipóteses
Hipóteses de pesquisa
O primeiro passo consiste em formular hipóteses sobre a afir-
mação de estudo. As hipóteses estatísticas sempre comparam 
dois ou mais parâmetros e podem ser classificadas em dois 
tipos:
 Â Hipótese Nula (H0) estabelece a ausência de diferen-
ça entre os parâmetros. É sempre representada por uma 
igualdade.
Capítulo 8 Testes de Hipóteses 121
 Â Hipótese Alternativa (H1) é a hipótese contrária à 
H0; geralmente, é a hipótese que o pesquisador quer ver 
confirmada. Pode representar simplesmente uma desi-
gualdade, ou ainda a ideia de superioridade/inferiori-
dade.
- O tempo médio de entrega da mercadoria é de 7 dias.
H0 : µ = 7 dias
H1 : µ ≠ 7 dias
- A quantidade média de peças defeituosas do fabricante A 
é superior a do fabricante B.
H0 : µ A = µ B
H1 : µ A > µ B
Estatística do teste
A estatística do teste é um valor calculado com as informações 
provenientes da amostra e, posteriormente, utilizado para se 
tomar a decisão sobre a aceitação ou rejeição da hipótese 
nula (H0).
122 Estatística Aplicada
Regra de decisão
Se o valor da estatística do teste localiza-se na região críti-
ca, rejeitamos a hipótese (nula) H0, pois existe uma forte evi-
dência amostral de sua falsidade. Ao contrário, aceitamos H0, 
concluindo que não existe evidência amostral significativa para 
sua rejeição.
Conclusão experimental
Após a regra de decisão, o teste deve ter uma conclusão expe-rimental na qual o pesquisador, de acordo com o contexto do 
problema, finalizará a sua análise descrevendo os resultados 
obtidos.
Figura 24 Etapas de um teste de hipóteses.
Capítulo 8 Testes de Hipóteses 123
Teste de hipóteses para uma média 
(Teste T – Student)
O objetivo desse teste é comparar os valores obtidos em uma 
amostra com uma média estabelecida como referência.
Hipóteses
Ho: µ = µ0 (referência)
Ha: µ ≠ µ0 (referência)
Estatística do teste
 
n
s
Xt ocal
µ−
=
 
Onde: = média da amostra
µ0 = valor de referência
s = desvio-padrão da amostra
n = tamanho da amostra
Regra de decisão
Na regra de decisão, devemos considerar que a variável ana-
lisada tenha distribuição aproximadamente normal. Nesse 
caso, a partir dos valores da tabela t-student, iremos definir os 
pontos de corte na regra de decisão, ou seja, a partir de que 
ponto inicia e termina a região crítica (região de rejeição).
A regra estabelece que, se o valor calculado na estatística 
do teste for um valor localizado na região de aceitação, de-
veremos então aceitar a hipótese nula H0 que representa a 
decisão de que a diferença encontrada nos dados amostrais 
com os parâmetros populacionais NÃO é significativa.
124 Estatística Aplicada
Para o caso do valor calculado na estatística estar locali-
zado na região crítica, deveremos então rejeitar a hipótese 
nula H0 que representa a decisão de que SIM, existe diferença 
significativa dos dados amostrais com os parâmetros popula-
cionais.
Figura 25 Regra de decisão.
Como obter o valor tabelado da Regra de 
Decisão
Utilizaremos aqui o valor da tabela t-student, da mesma forma 
como já fizemos para a construção dos Intervalos de Confian-
ça, utilizando a mesma tabela. A linha a ser utilizada corres-
ponde aos graus de liberdade, obtidos a partir do tamanho 
da amostra investigada menos 1 (n – 1). Já a coluna corres-
ponderá ao nível de significância desejado do teste (p-value) 
que corresponde ao erro do teste – normalmente esse nível de 
significância é estabelecido em no máximo 5%.
Capítulo 8 Testes de Hipóteses 125
Nível de significância do teste
Tabela de valores críticos da distribuição t de Student.
Gl (n-1) IC 95% IC 98% IC 99%
0,050 0,020 0,010
1 12,706 31,821 63,656
2 4,303 6,965 9,925
3 3,182 4,541 5,841
4 2,776 3,747 4,604
5 2,571 3,365 4,032
6 2,447 3,143 3,707
7 2,365 2,998 3,499
8 2,306 2,896 3,355
9 2,262 2,821 3,250
10 2,228 2,764 3,169
11 2,201 2,718 3,106
12 2,179 2,681 3,055
13 2,160 2,650 3,012
14 2,145 2,624 2,977
15 2,131 2,602 2,947
16 2,120 2,583 2,921
17 2,110 2,567 2,898
18 2,101 2,552 2,878
19 2,093 2,539 2,861
Exemplo 1
Uma fábrica de móveis afirma que o tempo médio de entrega 
de seus produtos vendidos é de 18 dias. Para verificar essa 
afirmação, uma amostra de 30 pedidos dessa empresa foi 
analisada, verificando-se um tempo médio de entrega de 17,8 
126 Estatística Aplicada
dias com um desvio-padrão de 5,6 dias. Analise os dados e 
conclua ao nível de significância de 5%.
Passo 1 – Dados do Problema
Variável (x) = Tempo de entrega dos produtos (dias)
µ0 = 18 dias (valor de referência)
n = 30 pedidos (tamanho da amostra)
 = 17,8 dias (média da amostra)
s = 5,6 dias (desvio-padrão da amostra)
α = 0,05 (nível de significância do teste: p = 5%)
Passo 2 – Hipóteses de Pesquisa
H0 : µ = 18 dias
H1 : µ ≠ 18 dias
Passo 3 – Cálculo da Estatística do Teste
Passo 4 – Regra de Decisão
Vamos agora identificar o valor tabelado a ser utilizado na 
Regra de Decisão: A amostra dessa pesquisa foi de 30 televi-
sores, então o grau de liberdade (n-1) é 30 – 1 = 29 (linha 29 
da tabela t). O nível de significância estabelecido no problema 
Capítulo 8 Testes de Hipóteses 127
é de 5% – então a coluna a ser utilizada da tabela é a que 
corresponde 0,05.
Tabela de valores críticos da distribuição t de Student.
Gl (n-1) IC 95% IC 98% IC 99%
0,050 0,020 0,010
18 2,101 2,552 2,878
19 2,093 2,539 2,861
20 2,086 2,528 2,845
21 2,080 2,518 2,831
22 2,074 2,508 2,819
23 2,069 2,500 2,807
24 2,064 2,492 2,797
25 2,060 2,485 2,787
26 2,056 2,479 2,779
27 2,052 2,473 2,771
28 2,048 2,467 2,763
29 2,045 2,462 2,756
30 2,042 2,457 2,750
39 2,023 2,426 2,708
40 2,021 2,423 2,704
49 2,010 2,405 2,680
50 2,009 2,403 2,678
59 2,001 2,391 2,662
60 2,000 2,390 2,660
99 1,984 2,365 2,626
100 1,984 2,364 2,626
120 1,980 2,358 2,617
200 1,972 2,345 2,601
infinito 1,960 2,326 2,576
O valor de “t” tabelado é então 2,045 – esse valor deter-
minará na regra de decisão os limites da região crítica.
128 Estatística Aplicada
Regra de Decisão
A regra estabelecida é: se o valor da estatística do teste for 
SUPERIOR a +2,045 ou INFERIOR a -2,045, nossa deci-
são será REJEITAR H0, ou seja, há diferença significativa entre 
os valores observados na amostra com o valor estabelecido 
como referência.
Já se o valor da estatística do teste estiver ENTRE -2,045 
e +2,045, nossa decisão será de ACEITAR H0, o que implica 
na existência de uma diferença NÃO significativa entre os va-
lores da amostra com a referência.
Para o nosso exemplo, o valor da estatística do teste foi de 
t = -0,196.
Capítulo 8 Testes de Hipóteses 129
Esse valor (t = -0,196) está localizado, na nossa regra de 
decisão, dentro da região de aceitação – então nossa decisão 
será ACEITAR H0.
Ao aceitar a hipótese nula H0, estaremos aceitando a se-
guinte afirmação:
H0 : µ = 18 dias
No contexto do problema, estaremos então aceitando que 
o tempo médio de entrega dos produtos dessa fábrica de mó-
veis não difere significativamente de 18 meses, ou seja, a dife-
rença encontrada em relação a esse tempo médio na amostra 
NÃO FOI SIGNIFICATIVA.
Passo 5 – Conclusão
Na conclusão, escreveremos um parágrafo referente ao re-
sultado final do teste de hipóteses:
130 Estatística Aplicada
“Verifica-se, a partir do teste estatístico realizado, ao nível 
de significância de 5%, que o tempo médio de entrega dos 
produtos não difere significativamente de 18 meses.”
Exemplo 2
Uma indústria alimentícia produz determinado tipo de pão, 
cujo peso médio deve ser de 190 gramas. Devido a mudan-
ças na política cambial, que ocasionou aumento no preço do 
trigo, alguns ingredientes da receita foram substituídos. Uma 
equipe do controle de qualidade dessa indústria resolveu ve-
rificar se o peso do produto aumentou e escolheu, aleatoria-
mente, 200 unidades, medindo o peso de cada uma. O peso 
médio obtido da amostra foi de 182 gramas com um desvio-
-padrão de 12 gramas. Analise os dados e conclua ao nível de 
significância de 5%.
Passo 1 – Dados do Problema
Variável (x) = Peso do pão (gramas)
µ0 = 190 gramas (valor de referência)
n = 200 pães (tamanho da amostra)
 = 182 gramas (média da amostra)
s = 12 gramas (desvio-padrão da amostra)
α = 0,05 (nível de significância do teste: p = 5%)
Passo 2 – Hipóteses de Pesquisa
H0 : µ = 190 gramas
H1 : µ ≠ 190 gramas
Capítulo 8 Testes de Hipóteses 131
Passo 3 – Cálculo da Estatística do Teste
Passo 4 – Regra de Decisão
A amostra dessa pesquisa foi de 200 pães televisores, en-
tão o grau de liberdade (n-1) é 200 – 1 = 199 (não temos 
na tabela a linha 199, então usaremos a mais próxima, nesse 
caso, a linha 200). O nível de significância estabelecido no 
problema é de 5% – então a coluna a ser utilizada da tabela é 
a que corresponde 0,05.
Tabela de valores críticos da distribuição t de Student.
Gl (n-1) IC 95% IC 98% IC 99%
0,050 0,020 0,010
18 2,101 2,552 2,878
19 2,093 2,539 2,861
20 2,086 2,528 2,845
21 2,080 2,518 2,831
22 2,074 2,508 2,819
23 2,069 2,500 2,807
24 2,064 2,492 2,797
25 2,060 2,485 2,787
26 2,056 2,479 2,779
27 2,052 2,473 2,771
28 2,048 2,467 2,763
29 2,045 2,462 2,756
132Estatística Aplicada
30 2,042 2,457 2,750
39 2,023 2,426 2,708
40 2,021 2,423 2,704
49 2,010 2,405 2,680
50 2,009 2,403 2,678
59 2,001 2,391 2,662
60 2,000 2,390 2,660
99 1,984 2,365 2,626
100 1,984 2,364 2,626
120 1,980 2,358 2,617
200 1,972 2,345 2,601
infinito 1,960 2,326 2,576
O valor de “t” tabelado é então 1,972 – esse valor deter-
minará na regra de decisão os limites da região crítica.
Regra de Decisão
Para o nosso exemplo, o valor da estatística do teste foi: t 
= -9,41.
Capítulo 8 Testes de Hipóteses 133
Esse valor (t = -9,41) está localizado, na nossa regra de 
decisão, FORA da região de aceitação, ou ainda, ele se loca-
liza na REGIÃO CRÍTICA – então nossa decisão será REJEI-
TAR H0.
H0 : µ = 190 gramas
H1 : µ ≠ 190 gramas
Ao rejeitar a hipótese nula H0, estaremos concordando 
com a afirmação feita em H1:
H1 : µ ≠ 190 gramas
No contexto do problema, estaremos então concluindo que 
os pães têm um peso médio DIFERENTE de 190 gramas, ou 
seja, a diferença encontrada em relação a esse peso médio na 
amostra FOI SIGNIFICATIVA. Como essa diferença foi signifi-
cativa, poderemos observar, na amostra, que o peso encontra-
do de 182 gramas é INFERIOR ao peso de referência 190 
gramas.
Passo 5 – Conclusão
“Verifica-se, a partir do teste estatístico realizado, ao nível 
de significância de 5%, que o peso médio dos pães após 
a substituição de alguns ingredientes é significativamente 
DIFERENTE de 190 gramas. Observa-se, ao analisar os 
resultados da amostra, que esse peso é significativamente 
INFERIOR a 190 gramas.”
134 Estatística Aplicada
Teste de hipóteses para comparação entre 
duas médias (T-student para duas amostras)
Esse teste é muito semelhante ao anteriormente visto. Porém 
aqui não teremos um valor de referência a ser comparado, 
mas sim duas amostras provenientes de dois grupos distintos; 
e o objetivo aqui é comparar as médias dessas duas amostras 
independentes, verificando se existe ou não diferença signifi-
cativa entre elas.
Cada um dos grupos investigados (ou amostras investiga-
das) gera suas estatísticas descritivas que deverão ser utilizadas 
no cálculo da estatística do teste: tamanho da amostra (n), 
média amostral ( ) e desvio-padrão amostral (s).
Grupo 1 Grupo 2
Hipóteses:
As hipóteses são estabelecidas a partir da comparação da 
média dos grupos. Na hipótese nula H0, novamente teremos a 
ausência de diferença significativa, ou seja, a média do grupo 
1 é igual a média do grupo 2. Já a hipótese alternativa H1 
Capítulo 8 Testes de Hipóteses 135
indica que EXISTE diferença significativa entre as médias dos 
grupos 1 e 2.
Estatística do teste
Onde:
1 = Média do grupo 1
2 = Média do grupo 2
s1
2
 = variância do grupo 1 (desvio-padrão ao quadrado)
s1
2 = variância do grupo 2 (desvio-padrão ao quadrado)
n1 = tamanho de amostra do grupo 1
n2 = tamanho de amostra do grupo 2
Regra de decisão
A regra de decisão para esse teste é praticamente a mesma do 
teste anterior. Porém, a única diferença refere-se aos graus de 
liberdade que agora, como teremos dois grupos, será: (n1 + 
n2 – 2), ou seja, deve-se somar os tamanhos de amostra dos 
dois grupos e subtrair dois.
136 Estatística Aplicada
Exemplo 1
Uma empresa fabricante de telefones celulares afirma que a 
duração média em horas (em stand by) da sua bateria é supe-
rior à duração das concorrentes. Duas amostras formadas por 
40 baterias desse fabricante e 40 do concorrente apresenta-
ram médias iguais a 65 e 60 horas, com um desvio-padrão de 
2 e 3 horas, respectivamente. Seria possível supor que a ba-
teria da empresa do fabricante tenha significativamente maior 
duração? Considere um nível de significância de 5%.
Passo 1 – Dados do Problema
Variável (x) = Tempo de duração da bateria (horas)
Grupo 1 – Fabricante Grupo 2 – Concorrente
1 = 65 horas
2 = 60 horas
s1
2 = (2 horas)2
s1
2 = (3 horas)2
n1 = 40
n2 = 40
α = 0,05 (nível de significância do teste: p = 5%)
Passo 2 – Hipóteses de Pesquisa
Capítulo 8 Testes de Hipóteses 137
Passo 3 – Cálculo da Estatística do Teste
Passo 4 – Regra de Decisão
A tabela a ser utilizada é a mesma tabela do teste anterior. 
Na linha, vamos obter os graus de liberdade (gl), considerando 
a soma dos dois tamanhos de amostra dos grupos menos 2:
Gl: (n1+n2 – 2) = (40+40 - 2) = 78 (Na tabela, não temos 
linha 78, então iremos para a mais próxima que é a linha 60).
Tabela de valores críticos da distribuição t de Student.
Gl (n-1) IC 95% IC 98% IC 99%
0,050 0,020 0,010
25 2,060 2,485 2,787
26 2,056 2,479 2,779
27 2,052 2,473 2,771
28 2,048 2,467 2,763
29 2,045 2,462 2,756
30 2,042 2,457 2,750
39 2,023 2,426 2,708
40 2,021 2,423 2,704
138 Estatística Aplicada
49 2,010 2,405 2,680
50 2,009 2,403 2,678
59 2,001 2,391 2,662
60 2,000 2,390 2,660
99 1,984 2,365 2,626
100 1,984 2,364 2,626
120 1,980 2,358 2,617
200 1,972 2,345 2,601
infinito 1,960 2,326 2,576
O valor de “t” tabelado é então 2,000 – esse valor deter-
minará na regra de decisão os limites da região crítica.
Regra de Decisão
Para o nosso exemplo, o valor da estatística do teste foi: t 
= 8,77.
Esse valor (t = 8,77) está localizado, na nossa regra de de-
cisão, FORA da região de aceitação, ou ainda, ele localiza-se 
na REGIÃO CRÍTICA – então nossa decisão será REJEITAR H0.
Capítulo 8 Testes de Hipóteses 139
Ao rejeitar a hipótese nula H0, estaremos concordando 
com a afirmação feita em H1:
H1 : µ1 ≠ µ2
No contexto do problema, estaremos então concluindo que 
os grupos de celulares (fabricante e concorrente) têm um tem-
po médio de duração da bateria DIFERENTE um do outro, ou 
seja, a diferença encontrada em relação a esse tempo mé-
dio de duração na amostra investigada FOI SIGNIFICATIVA. 
Como essa diferença foi significativa, poderemos observar na 
amostra que o tempo médio de duração do fabricante (65 
horas) é SUPERIOR ao tempo médio de duração do concor-
rente (60 horas).
Passo 5 – Conclusão
“Verifica-se, a partir do teste estatístico realizado, ao nível 
de significância de 5%, que o tempo médio de duração da 
bateria é significativamente DIFERENTE entre os dois gru-
pos de estudo (fabricante e concorrente). Observa-se, ao 
analisar os resultados da amostra, que esse tempo médio é 
significativamente SUPERIOR para o fabricante.”
140 Estatística Aplicada
Exemplo 2
Duas técnicas de venda são aplicadas em dois grupos de ven-
dedores com o objetivo de verificar se alguma delas é mais efi-
caz que a outra. Foi observado o Número de unidades vendi-
das no período de uma semana. Os dados observados foram:
Técnica de venda Nº Vendedores Venda Diária Média Desvio-Padrão
Técnica A 20 76 unidades 9 unidades
Técnica B 25 78 unidades 8 unidades
Analise esses dados a um nível de significância de 5%.
Passo 1 – Dados do Problema
Variável (x) = venda diária (unidades)
Grupo 1 – Técnica de vendas A Grupo 2 – Técnica de vendas B
1 = 76 unidades
2 = 78 unidades
s1
2 = (9 unidades)2
s1
2 = (8 unidades)2
n1 = 20
n2 = 25
α = 0,05 (nível de significância do teste: p = 5%)
Capítulo 8 Testes de Hipóteses 141
Passo 2 – Hipóteses de Pesquisa
Passo 3 – Cálculo da Estatística do Teste
Passo 4 – Regra de Decisão
Gl: (n1+n2 – 2) = (20 + 25 - 2) = 43 (Na tabela, não te-
mos linha 43, então iremos para a mais próxima que é a linha 
40).
Tabela de valores críticos da distribuição t de Student.
Gl (n-1) IC 95% IC 98% IC 99%
0,050 0,020 0,010
18 2,101 2,552 2,878
23 2,069 2,500 2,807
24 2,064 2,492 2,797
25 2,060 2,485 2,787
26 2,056 2,479 2,779
27 2,052 2,473 2,771
28 2,048 2,467 2,763
142 Estatística Aplicada
29 2,045 2,462 2,756
30 2,042 2,457 2,750
39 2,023 2,426 2,708
40 2,021 2,423 2,704
49 2,010 2,405 2,680
50 2,0092,403 2,678
59 2,001 2,391 2,662
200 1,972 2,345 2,601
infinito 1,960 2,326 2,576
O valor de “t” tabelado é então 2,021 – esse valor deter-
minará na regra de decisão os limites da região crítica.
Regra de Decisão
Para o nosso exemplo, o valor da estatística do teste foi: t 
= 0,78.
Esse valor (t = 0,78) está localizado, na nossa regra de 
decisão, DENTRO da região de aceitação, ou ainda, ele lo-
Capítulo 8 Testes de Hipóteses 143
caliza-se na REGIÃO DE ACEITAÇÃO – então nossa decisão 
será ACEITAR H0.
Ao aceitar a hipótese nula H0, estaremos concordando com 
a afirmação feita em H0:
H1: µ1 = µ2
No contexto do problema, estaremos então concluindo que 
não existe diferença significativa para as vendas médias entre 
as técnicas de venda A e B.
Passo 5 – Conclusão
“Verifica-se, a partir do teste estatístico realizado, ao nível 
de significância de 5%, que não existe diferença significativa 
para as vendas médias entre as técnicas de venda A e B.”
Recapitulando
Os Testes de hipóteses fornecem ao pesquisador uma fer-
ramenta útil na comprovação ou não de hipóteses feitas sobre 
um parâmetro (média ou proporção). Trata-se de uma com-
provação científica da existência de diferenças significativas a 
partir da análise de resultados provenientes de amostras com 
parâmetros populacionais.
144 Estatística Aplicada
Atividades: Testes de hipóteses
Questão 1. O tempo de deslocamento de Porto Alegre até 
São Leopoldo, antes das obras da copa, apresentava uma mé-
dia de 40 minutos. Atualmente, devido às obras em andamen-
to, uma amostra de 50 indivíduos que realizaram esse traje-
to apresentou uma média de tempo de 70 minutos com um 
desvio-padrão de 5 minutos. Analise os dados e conclua ao 
nível de significância de 5% se houve um aumento significativo 
nesse tempo médio de deslocamento.
Questão 2. Foi feita uma comparação salarial entre profis-
sionais de determinada categoria que atuam nos setores públi-
co e privado. Foram investigados 45 profissionais do setor pú-
blico, encontrando-se média de R$ 1220, com desvio-padrão 
de R$ 240. Entre 28 profissionais do setor privado, a média foi 
de R$ 1470, com desvio-padrão de R$ 270. Usando 5% de 
significância, analise e conclua sobre esses dados.
Questão 3. A industrial ABC S.A., fabricante de determina-
do equipamento eletrônico, procedeu à substituição de cer-
to componente importado pelo similar nacional. Um grande 
comprador da referida indústria supõe que tal substituição te-
nha diminuído a duração do produto que antes era anunciada 
como sendo, em média, de 210 horas. Para julgar a aceita-
bilidade de sua suposição, o comprador testou uma amostra 
de 100 unidades, verificando um tempo médio de duração de 
197 horas com um desvio-padrão de 16 horas. Fixado o nível 
de significância de 5%, conclua sobre o caso.
Capítulo 8 Testes de Hipóteses 145
Automóvel n Média de consumo Desvio-padrão
Colossal 12 unidades 14 km/l 2 km/l
XP15 10 unidades Km/l 4 km/l
Questão 4. O dono de uma empresa de entregas e mudan-
ças possui uma frota de automóveis e está interessando em 
testar duas marcas de pneus radiais. Os dados em km rodados 
até o desgaste do pneu para uma amostra de 25 unidades do 
pneu A e 25 unidades do pneu B são:
Pneu A : Média: 38500 km; Desvio-padrão: 1200 km
Pneu B : Média 36700 km; Desvio-padrão: 960 km
A partir desses dados, foi realizado o teste t-student de 
comparação de duas médias, resultando um valor de estatís-
tica do teste t = 5,86. Ao analisar esses dados, ao nível de 
significância de 5%, você poderia concluir que:
A. ( ) Não existe diferença significativa para a quantidade de 
km rodados até o desgaste entre os pneus A e B.
B. ( ) Existe diferença significativa para a quantidade de km ro-
dados até o desgaste entre os pneus A e B. Observa-se 
que quantidade é superior para o pneu B.
C. ( ) Não existe diferença significativa para a quantidade de 
km rodados até o desgaste entre os pneus A e B. Observa-
-se que quantidade é superior para o pneu A.
146 Estatística Aplicada
D. ( ) Existe diferença significativa para a quantidade de km ro-
dados até o desgaste entre os pneus A e B, porém essa 
diferença é insignificante.
E. ( ) Existe diferença significativa para a quantidade de km ro-
dados até o desgaste entre os pneus A e B. Observa-se 
que essa quantidade é significativamente superior para o 
pneu A.
Questão 5. O tempo médio gasto para profissionais da área 
de Ciências Contábeis realizarem uma determinada tarefa tem 
sido de 50 minutos. Um novo procedimento está sendo imple-
mentado. Nesse novo procedimento, retirou-se uma amostra 
de 25 pessoas, com um tempo médio de execução dessa mes-
ma tarefa de 48 minutos e um desvio-padrão de 11,9 minutos.
A partir desses dados, foi realizado o teste t-student, resul-
tando um valor de estatística do teste t = 0,84. Ao analisar 
esses dados, ao nível de significância de 5%, você poderia 
concluir que:
A. ( ) Aceita-se H0, não existe diferença significativa para o tem-
po de execução médio da tarefa com o novo procedimen-
to.
B. ( ) Rejeita-se H0, existe diferença significativa para o tempo 
de execução médio da tarefa com o novo procedimento. 
Observa-se que esse tempo com o novo procedimento é 
significativamente inferior a 50 minutos.
Capítulo 8 Testes de Hipóteses 147
C. ( ) Aceita-se H0, existe diferença significativa para o tempo 
de execução médio da tarefa com o novo procedimento. 
Observa-se que esse tempo com o novo procedimento é 
significativamente superior a 50 minutos.
D. ( ) Rejeita-se H0, existe diferença significativa para o tempo 
de execução médio da tarefa com o novo procedimento. 
Observa-se que esse tempo com o novo procedimento é 
significativamente inferior a 48 minutos.
E. ( ) Aceita-se H0, existe diferença significativa para o tempo 
de execução médio da tarefa com o novo procedimento. 
Observa-se que esse tempo com o novo procedimento é 
significativamente inferior a 50 minutos.
Gabarito das atividades propostas
Questão 1. t = 42,25
Conclusão: Rejeita-se H0, logo, existe diferença significativa 
no tempo médio de deslocamento. Observa-se que ,com as 
obras em andamento, esse tempo de deslocamento de Porto 
Alegre a São Leopoldo é significativamente superior a 40 mi-
nutos.
Questão 2. t = -4,01
Conclusão: Rejeita-se H0, logo, existe diferença significativa 
para o salário médio dos profissionais entre os setores público 
e privado. Observa-se que o salário médio dos profissionais 
148 Estatística Aplicada
do setor privado é significativamente superior ao dos funcio-
nários do setor público.
Questão 3. t = -0,77
Conclusão: Aceita-se H0, logo, não existe diferença significa-
tiva na média de consumo entre os dois tipos de automóveis.
Questão 4. Letra “E”.
Existe diferença significativa para a quantidade de km rodados 
até o desgaste entre os pneus A e B. Observa-se que essa 
quantidade é significativamente superior para o pneu A.
Questão 5. Letra “A”.
Aceita-se H0, não existe diferença significativa para o tempo de 
execução médio da tarefa com o novo procedimento.
Análise de Correlação
ÂÂNeste capítulo, será abordada uma ferramenta estatís-tica com grande aplicabilidade em estudos da área 
de Administração dos quais é necessário investigar o grau 
de relacionamento entre duas variáveis quantitativas. Será 
apresentado o cálculo do Coeficiente de Correlação de 
Pearson e a sua interpretação no contexto do problema.
Simone Echeveste
Capítulo 9
150 Estatística Aplicada
Espera-se que o aluno, após o término de estudo deste 
capítulo, possa identificar em quais situações aplica-se essa 
ferramenta, bem como realize os cálculos necessários para a 
mensuração da correlação entre duas variáveis, interpretando 
corretamente os resultados obtidos.
Muitas vezes,na prática, necessitamos estudar o relacio-
namento de duas variáveis, coletadas como pares de valores, 
para resolver questões, como por exemplo:
Figura 26 Exemplos de correlações na área da Administração.
A existência de uma relação entre as variáveis e a men-
suração desse grau de relação é o que caracteriza o objeto 
da Análise de Correlação. Essa ferramenta estatística indica a 
existência ou não de relacionamento entre duas variáveis e se 
esse relacionamento é fraco, moderado ou forte.
Os dados para a análise de correlação são provenientes 
de observações de variáveis aos pares, isso significa que cada 
Capítulo 9 Análise de Correlação 151
observação da amostra é composta por dois valores (x e y), e 
com esses valores podemos, inicialmente, construir o digrama 
de dispersão que é uma forma de verificar o tipo de correlação 
existente entre duas variáveis.
Diagrama de Dispersão
Um dos métodos mais usados para a investigação de pares de 
dados é a utilização de diagramas de dispersão. Geometrica-
mente, um diagrama de dispersão é considerado uma coleção 
de pontos num plano cujas duas coordenadas cartesianas são 
os valores de cada membro do par de dados. É um gráfico no 
qual cada ponto representa um par de valores observados, 
em que podemos visualizar a relação entre as variáveis, bem 
como, a partir da disposição dos pontos, podemos observar 
a existência ou não de um possível relacionamento entre as 
variáveis.
Gráfico 1 Diagrama de Dispersão para as variáveis: Renda X Aplicação 
Mensal na poupança.
152 Estatística Aplicada
Tipos de correlações
 A) Correlação Positiva ou Direta
Ocorre quando as duas variáveis crescem no mesmo senti-
do, estão diretamente correlacionadas. À medida que a variá-
vel X aumenta, Y aumenta também (ou vice-versa).
Exemplo: Vendas X Gastos em propaganda
 B) Correlação Negativa ou Inversa
Ocorre quando as duas variáveis crescem em sentidos 
opostos, estão inversamente correlacionadas. À medida que 
uma variável aumenta, a outra diminui.
Capítulo 9 Análise de Correlação 153
Exemplo: Número de faltas X Desempenho do aluno
 C) Ausência de Correlação
Ocorre quando as duas variáveis não estão correlacionadas.
Exemplo: Altura X Quociente de Inteligência
154 Estatística Aplicada
Coeficiente de correlação de pearson ( r )
O Coeficiente de correlação de Pearson é uma medida do 
grau e da direção de uma relação linear entre duas variáveis. 
O símbolo r representa o coeficiente de correlação popula-
cional e o símbolo r representa o coeficiente de correlação 
amostral.
Figura 27 Condições importantes do Coeficiente de Correlação de Pearson.
Sua fórmula é:
Capítulo 9 Análise de Correlação 155
Como Calcular:
 1º) Obtenha a soma dos valores de x : Sx
 2º) Obtenha a soma dos valores de y: Sy
 3º) Multiplique cada valor de x por seu valor y correspondente e obte-
nha a sua soma: Sx.y
 4º) Eleve ao quadrado cada valor de x e obtenha a sua soma: Sx2
 5º) Eleve ao quadrado cada valor de y e obtenha a sua soma: Sy2
 6º) Use essas cinco somas para calcular o coeficiente de correlação.
Interpretação do coeficiente de correlação 
de pearson ( r )
O Coeficiente de Correlação de Pearson foi desenvolvido de 
forma que seu resultado final será sempre um valor entre -1 
e +1, ou seja: -1 ≤ r ≤ 1. A partir dos valores de r, podemos 
verificar o tipo da correlação existente entre as variáveis estu-
dadas considerando as seguintes regras na interpretação de 
seu resultado:
 Â Se r > 0, indica uma correlação positiva ou direta en-
tre as variáveis, um aumento na variável X provocará 
um aumento na variável Y.
 Â Se r < 0, indica uma correlação negativa ou inversa 
entre as variáveis, um aumento na variável X provoca-
rá uma redução na variável Y.
 Â Se r = 0, indica a inexistência de qualquer relação ou 
tendência linear entre as variáveis X e Y.
156 Estatística Aplicada
Exemplo 1
Uma amostra de 6 residências selecionadas aleatoriamente foi 
observada quanto à idade do imóvel, em anos, e quanto ao 
preço de venda, em unidades monetárias. Os dados observa-
dos foram:
Residência Idade do Imóvel (x) Preço de venda (y)
1 1 100
2 2 80
3 3 90
4 4 15
5 5 50
6 6 20
Para esse exemplo, temos as seguintes informações:
n = 6 residências
x = Idade do Imóvel
y = Preço de venda dos imóveis
Para calcular o Coeficiente de Correlação de Pearson, pre-
cisaremos dos seguintes somatórios:
 1º) Obtenha a soma dos valores de x: Sx
 2º) Obtenha a soma dos valores de y: Sy
 3º) Multiplique cada valor de x por seu valor y correspondente 
e obtenha a sua soma: S x.y
Capítulo 9 Análise de Correlação 157
 4º) Eleve ao quadrado cada valor de x e obtenha a sua soma: 
Sx2
 5º) Eleve ao quadrado cada valor de y e obtenha a sua soma: 
Sy2
Tabela de cálculos:
Residência Idade (x) Preço de venda (y) x.y x2 y2
1 1 100 100 1 10000
2 2 80 160 4 6400
3 3 90 270 9 8100
4 4 15 60 16 225
5 5 50 250 25 2500
6 6 20 120 36 400
Totais 21 355 960 91 27.625
Cálculo do Coeficiente de correlação de Pearson
158 Estatística Aplicada
Interpretação:
“Como r apresenta um valor negativo, indica correlação 
inversa/negativa entre a idade do imóvel e o seu preço 
de venda, ou seja, quanto maior a idade do imóvel (mais 
antigo for) menor tende a ser o preço de venda.”
Interpretação da intensidade da 
correlação
Podemos, além de identificar a existência de correlação e o 
seu tipo (direta, inversa), analisar a sua intensidade da seguin-
te forma: (Callegari-Jacques, 2003)
 Â Se 0,00 < r < ±0,30 – existe correlação fraca
 Â Se ±0,30 ≤ r < ±0,60 – existe correlação moderada
 Â Se ±0,60 ≤ r < ±0,90 – existe correlação forte
 Â Se ±0,90 ≤ r < ±1,00 – existe correlação muito forte
Considere o símbolo “±” relacionado ao sinal da correla-
ção – se negativo (-), inversa e, se positivo, direta (+).
Exemplo 2
Uma cadeia de supermercados financiou um estudo para ve-
rificar a relação entre a renda mensal (salários mínimos) e as 
Capítulo 9 Análise de Correlação 159
despesas semanais em supermercados de 8 famílias selecio-
nadas aleatoriamente.
Renda mensal (salários mínimos) x Despesa semanal supermercado (reais)
Família Renda mensal (x) Despesa semanal supermercado (y)
1 3,5 280
2 3,8 360
3 2,6 200
4 1,9 110
5 3,1 230
6 2,8 210
7 4,2 330
8 4,0 350
Para esse exemplo, temos as seguintes informações:
n = 8 famílias
x = Renda mensal (salários mínimos)
y = Despesa semanal supermercado (reais)
160 Estatística Aplicada
Tabela de cálculos:
Família Renda mensal (x) Despesa super. (y) x.y x2 y2
1 3,5 280 980 12,3 78400
2 3,8 360 1368 14,4 129600
3 2,6 200 520 6,8 40000
4 1,9 110 209 3,6 12100
5 3,1 230 713 9,6 52900
6 2,8 210 588 7,8 44100
7 4,2 330 1386 17,6 108900
8 4,0 350 1400 16,0 122500
Total (S) 25,9 2070 7164 88,2 588500
Considere:
Cálculo do Coeficiente de correlação de Pearson 
Capítulo 9 Análise de Correlação 161
Interpretação:
“Como r apresenta um valor positivo, indica correlação dire-
ta/positiva entre a renda mensal e as despesas semanais no 
supermercado, ou seja, quanto maior a renda, maior tende 
a ser a despesa semanal no supermercado. Podemos ainda 
destacar se essa correlação é muito forte.”
Recapitulando
Na Análise de Correlação, estamos interessados em mensurar 
o grau de associação entre duas variáveis por meio do cálculo 
do Coeficiente de Correlação de Pearson. Quando duas va-
riáveis estão correlacionadas, essa relação pode ser direta (a 
medida que uma variável aumenta, a outra aumenta também 
ou vice-versa) ou inversa (a medida que uma variável aumen-
ta, a outra diminui).
162 Estatística Aplicada
Atividades: Análise de correlação
Questão 1. Um comerciantede temperos está curioso sobre 
a grande variação nas vendas de loja para loja e acha que as 
vendas estão associadas com o espaço nas prateleiras dedica-
dos a sua linha de produto em cada ponto de venda. Oito lo-
jas foram selecionadas ao acaso, e as duas seguintes variáveis 
foram mensuradas: x: total de espaço de frente (comprimento 
x altura em cm2) dedicado a sua linha de produtos na loja e y 
= total das vendas dos produtos, em reais, no último mês. Os 
dados são apresentados na tabela a seguir:
Vendas x espaço dedicado aos produtos
Loja Loja 1 Loja 2 Loja 3 Loja 4 Loja 5 Loja 6 Loja 7 Loja 8 Totais (S)
Espaço 
(x)
340 230 405 325 280 195 265 300 Sx = 2340
Vendas 
(y)
71 65 83 74 67 56 57 78 Sy= 551
X.Y 24140 14950 33615 24050 18760 10920 15105 23400 Sx.y= 164940
X2 115600 52900 164025 105625 78400 38025 70225 90000 Sx2= 714800
Y2 5041 4225 6889 5476 4489 3136 3249 6084 Sy2= 38589
Calcule e interprete o Coeficiente de Correlação de Pear-
son para esses dados.
Questão 2. Considere as seguintes informações referentes a 
15 Municípios do Rio Grande do Sul:
Capítulo 9 Análise de Correlação 163
RELAÇÃO ENTRE O ÍNDICE DE POBREZA (%) E O PIB PER CAPTA (REAIS)
Município Índice de Pobreza (X) PIB per capta (Y) X.Y X2 Y2
Alegrete 30,9 14,2 438,8 954,8 201,6
Bagé 26,8 10,1 270,7 718,2 102,0
Bento Gonçalves 21,1 24,2 510,6 445,2 585,6
Camaquã 26,6 16,9 449,5 707,6 285,6
Canoas 29,5 49,5 1460,3 870,3 2450,3
Caxias do Sul 20,9 30,5 637,5 436,8 930,3
Erechim 26,3 21,4 562,8 691,7 458,0
Guaíba 31,4 20,1 631,1 986,0 404,0
Porto Alegre 23,7 26,3 623,3 561,7 691,7
Rio Grande 29,1 32,0 931,2 846,8 1024,0
Santa Maria 25,3 12,8 323,8 640,1 163,8
Sapucaia 31,4 14,0 439,6 986,0 196,0
Tramandaí 28,9 8,9 257,2 835,2 79,2
Vacaria 28,8 14,7 423,4 829,4 216,1
Viamão 33,1 7,0 231,7 1095,6 49,0
Totais (S) 413,8 302,6 8191,5 11605,3 7837,2
Ao realizar a Análise de Correlação de Pearson para esses 
dados, o valor do coeficiente foi r = -0,272. Sobre a interpre-
tação desse valor, você diria que:
164 Estatística Aplicada
 A. ( ) Pode-se concluir que existe uma correlação direta entre 
o Índice de Pobreza e o PIB per capta desses municípios, 
ou seja, quanto maior o Índice de Pobreza, menor tende a 
ser o PIB per capta.
 B. ( ) Pode-se concluir que não existe diferença significativa 
entre o Índice de Pobreza e o PIB per capta desses muni-
cípios, ou seja, o PIB não é superior em Municípios mais 
pobres.
 C. ( ) Pode-se concluir que existe uma correlação inversa en-
tre o Índice de Pobreza e o PIB per capta desses municí-
pios, ou seja, quanto maior o Índice de Pobreza, menor 
tende a ser o PIB per capta.
 D. ( ) Pode-se concluir que existe uma correlação inversa en-
tre o Índice de Pobreza e o PIB per capta desses municí-
pios, ou seja, quanto maior o Índice de Pobreza, maior 
tende a ser o PIB per capta.
 E. ( ) Pode-se concluir que existe uma correlação inversa ex-
tremamente forte entre o Índice de Pobreza e o PIB per 
capta desses municípios, ou seja, para todos os municí-
pios, quanto maior o Índice de Pobreza, menor foi o PIB 
per capta.
Questão 3. Procurando quantificar os efeitos da escassez de 
sono sobre a capacidade de resolução de problemas simples, 
um agente tomou ao acaso 10 sujeitos e os submeteu a ex-
perimentação. Deixou-os sem dormir por diferentes números 
de horas, após o que solicitou que os mesmos resolvessem 
os itens “contas de adicionar” de um teste. Obteve, assim, os 
seguintes dados:
Capítulo 9 Análise de Correlação 165
Amostra Horas sem dormir (x) Nº de erros (y) x.y x2 y2
1 8 8 64 64 64
2 8 6 48 64 36
3 12 6 72 144 36
4 12 10 120 144 100
5 16 8 128 256 64
6 16 14 224 256 196
7 20 14 280 400 196
8 20 12 240 400 144
9 24 16 384 576 256
10 24 12 288 576 144
Total (S) 160 106 1848 2880 1236
Calcule e interprete o coeficiente de correlação linear de 
Pearson para esses dados.
Questão 4. Em uma indústria de cervejas, realizou-se um 
estudo com o objetivo de correlacionar a temperatura do dia 
com as vendas de refrigerante. Realizou-se, para isso, uma 
Análise de Correlação entre essas variáveis resultando em um 
coeficiente de correlação de Pearson de r = 0,926. A partir 
da interpretação desse valor, podemos concluir que:
A ( )
Existe uma correlação direta forte entre a temperatura 
do dia e as vendas de refrigerante.
166 Estatística Aplicada
B ( )
Existe uma correlação inversa fraca entre a tempera-
tura do dia e as vendas de refrigerante.
C ( )
Existe uma correlação inversa forte entre a temperatu-
ra do dia e as vendas de refrigerante.
D ( ) Essas variáveis não possuem nenhuma correlação.
E ( )
Existe uma correlação direta muito forte entre a tem-
peratura do dia e as vendas de refrigerante.
Questão 5. Um estudo de correlação foi realizado com o ob-
jetivo de verificar a relação entre as variáveis Horas de estudo 
(x) e nota na prova de Estatística (y). Os dados observados em 
uma amostra de 8 alunos foram:
Aluno Horas de estudo (x) Nota na prova (y) x.y x2 y2
1 2 1 2 4 1
2 4 3 12 16 9
3 5 6 30 25 36
4 5 6 30 25 36
5 6 8 48 36 64
6 8 7 56 64 49
7 9 8 72 81 64
8 10 10 100 100 100
Total (S) 49 49 350 351 359
Capítulo 9 Análise de Correlação 167
Calcule e interprete o coeficiente de correlação linear de 
Pearson para esses dados.
Gabarito das atividades propostas
Questão 1. r = 0,857
“Existe uma correlação forte direta entre total de espaço 
de frente dedicado a sua linha de produtos na loja e y = 
total das vendas dos produtos, em reais, no último mês, ou 
seja, quanto maior o espaço de frente dedicado à linha 
de produtos, maior tende a ser as vendas dos produtos.
Questão 2.
C. ( x ) Pode-se concluir que existe uma correlação inversa 
entre o Índice de Pobreza e o PIB per capta desses muni-
cípios, ou seja, quanto maior o Índice de Pobreza menor 
tende a ser o PIB per capta.
Questão 3. r = 0,801
“Existe uma correlação forte direta entre o número de 
horas sem dormir e o número de erros, ou seja, quanto 
maior o número de horas sem dormir, maior tende a ser 
o número de erros cometidos.
Questão 4.
E. ( x )
Existe uma correlação direta muito forte entre a tem-
peratura do dia e as vendas de refrigerante.
168 Estatística Aplicada
Questão 5. r = 0,911
“Existe uma correlação muito forte direta entre o núme-
ro de horas de estudo e a nota na prova, ou seja, quanto 
maior o número de horas de estudo, maior tende a ser 
a nota na prova.”
Análise de Regressão
ÂÂNeste capítulo, será apresentada uma ferramenta de análise estatística aplicada em estudos em que se de-
seja estabelecer um modelo matemático que represente a 
relação entre duas variáveis X e Y. Esse modelo é extrema-
mente útil ao pesquisador, pois permitirá a ele a realiza-
ção de previsões e estimativas.
Ao final desse estudo, o aluno deverá ser capaz de 
identificar as situações em que a Análise de Regressão 
pode ser utilizada na resolução de problemas na área de 
Administração de empresas, bem como interpretar cor-
retamente os resultados obtidos com essa ferramenta de 
análise de dados.
Simone Echeveste
Capítulo 10
170 Estatística Aplicada
A relação linear entre duas variáveis X e Y pode ser inves-
tigada de duas formas: pela Análise de Correlação, na qual 
quantificamos a intensidade dessa relação, e pela Análise de 
Regressão, na qual a forma dessa relação é explicitada por 
meio de um modelo matemático.
Usamos Análise de Regressão quando acreditamos que há 
relações entre as variáveis e desejamos expressar matematica-
mente tais relações. A Regressão Linear nos fornece equações 
do primeiro grau para determinarmos estimativas dos valores 
médios de algumas variáveis em função dos valores das outras.
Modelo de regressão linearOs Modelos de regressão simples são modelos matemáticos 
que relacionam o comportamento de uma variável Y com uma 
variável X a partir de uma função:
F(X) = Y = a + bX
Nesse modelo, a variável X é a variável independente da 
equação, enquanto Y = f(X) é a variável dependente das va-
riações de X.
Figura 28 Denominação das variáveis no modelo de Regressão Linear.
Capítulo 10 Análise de Regressão 171
Poderemos utilizar seus resultados para os seguintes objetivos:
 Â Realizar previsões sobre o comportamento futuro de al-
gum fenômeno por meio de uma coleta de dados.
 Â Simular os efeitos sobre uma variável Y em decorrência 
de alterações introduzidas nos valores de uma variável X.
Estimadores para o modelo de 
regressão linear
Os estimadores dos coeficientes angular (β) e linear (α) serão 
designados respectivamente por b e a. Assim, a estimativa do 
modelo adotado será dada por:
Y = a + bX
Os valores de a e b serão determinados pelo Método dos 
Mínimos Quadrados (MMQ), aplicado na amostra sele-
cionada, utilizando-se as seguintes fórmulas:
onde e são as médias dos valores de Y e X.
172 Estatística Aplicada
INFORMAÇÕES IMPORTANTES
A inclinação (b) da regressão mede a direção e a magnitude 
da relação. Quando as duas variáveis estão correlacionadas 
positivamente, a inclinação (valor de b) também será positiva, 
enquanto, quando as duas variáveis estão correlacionadas 
negativamente, a inclinação (valor de b) será negativa.
A magnitude da inclinação da regressão pode ser lida como segue: 
para cada acréscimo unitário na variável (X), a variável dependente 
aumentará/diminuirá b unidades de y.
Exemplo 1
Certa empresa, estudando a variação da demanda de seu 
produto (unidades vendidas) em relação à variação de preço 
de venda (reais), obteve os dados que estão na tabela abaixo:
PREÇO DO PRODUTO X DEMANDA
Mês Preço (X) Demanda (Y)
1 35 350
2 40 325
3 50 290
4 55 270
5 60 250
6 65 240
7 70 235
8 80 220
9 95 215
10 110 205
Capítulo 10 Análise de Regressão 173
 Observe, no diagrama de dispersão acima apresenta-
do, que podemos traçar uma reta que representa a relação 
entre as variáveis.
Cálculos da equação da reta de regressão
Para esse exemplo, temos as seguintes informações:
n = 10 meses
x = Preço (reais)
y = Demanda (unidades vendidas)
Primeiramente, precisaremos, para a realização dos cálcu-
los, de acordo com as fórmulas, dos seguintes somatórios: Sx, 
Sx.y e Sx2
174 Estatística Aplicada
Mês Preço (x) Demanda (y) x . y x2
1 35 350 12250 1225
2 40 325 13000 1600
3 50 290 14500 2500
4 55 270 14850 3025
5 60 250 15000 3600
6 65 240 15600 4225
7 70 235 16450 4900
8 80 220 17600 6400
9 95 215 20425 9025
10 110 205 22550 12100
Total (S) 660 2.600 162.225 48.600
Cálculo das Médias
Capítulo 10 Análise de Regressão 175
Cálculo do Coeficiente b
Cálculo do Coeficiente a
Atenção ao sinal de negativa 
do coeficiente!!!
176 Estatística Aplicada
Equação da Reta de Regressão:
Equação da Reta para as variáveis:
x: preço e y: demanda
Após a determinação da Equação da Reta, poderemos utili-
zá-la agora com o objetivo de fazer previsões. Por exemplo, 
poderemos estimar qual será a demanda esperada 
para um preço de 100 reais.
Nesse caso, estamos determinando o valor de x = 100 
reais e desejamos estimar qual será valor de y = demanda 
(unidades vendidas). Para isso, basta substituirmos os dados 
na Equação da Reta obtida:
Para x = 100 reais
Conclusão
Estima-se que, para um preço de 100 reais, sejam vendidas 
em torno de 196,76 unidades do produto.
Capítulo 10 Análise de Regressão 177
Exemplo 2
Os dados abaixo representam o x: tempo de experiência em 
anos, e os respectivos y: salários (em salários mínimos) de uma 
amostra de 8 Administradores:
Tempo de Experiência X Renda Mensal
Administrador X: Experiência (anos) Y: Salários Mínimos
1 2 5
2 5 6
3 10 11
4 8 9
5 6 7
6 12 10
7 15 14
8 11 10
Para esse exemplo, temos as seguintes informações:
n = 8 administradores
x = Tempo de experiência (anos)
y = Renda mensal (salários mínimos)
178 Estatística Aplicada
Tabela de cálculos:
Administrador X: Experiência (anos) Y: Salários Mínimos x.y x2
1 2 5 10 4
2 5 6 30 25
3 10 11 110 100
4 8 9 72 64
5 6 7 42 36
6 12 10 120 144
7 15 14 210 225
8 11 10 110 121
Total (S) 69 72 704 719
Cálculos para a construção da Equação da Reta
Cálculo das Médias
Capítulo 10 Análise de Regressão 179
Cálculo do Coeficiente b
Cálculo do Coeficiente a
Equação da Reta:
Equação da Reta para as variáveis:
x: Tempo de experiência e y: Renda mensal
180 Estatística Aplicada
Questão:
Qual será a renda mensal estimada de um Administrador com 
15 anos de experiência?
Nesse caso, estamos determinando o valor de x = 15 anos 
e desejamos estimar qual será valor de y = renda mensal (sa-
lários mínimos). Para isso, basta substituirmos os dados na 
Equação da Reta obtida:
Para x = 15 anos
Conclusão
Estima-se que, para um tempo de experiência de 15 anos, o 
salário mensal de um Administrador seja em torno de 13,27 
salários mínimos.
Recapitulando
A Análise de Regressão linear simples estuda o relacionamento 
entre uma variável dependente (y) e outra variável indepen-
dente (x). Esse relacionamento é representado por um modelo 
Capítulo 10 Análise de Regressão 181
matemático, por meio de uma equação que associa a variável 
dependente com a variável independente.
Após a determinação da Reta de Regressão, ou ainda 
Equação de Regressão, poderemos utilizá-la com o objetivo 
de realizar projeções ou simulações com as variáveis utilizadas 
no modelo.
Atividades: Análise de regressão
Questão 1. Uma amostra de funcionários de uma empresa 
foi observada quanto às variáveis: tempo de experiência na 
função (anos), e produtividade na realização da tarefa (núme-
ro de relatórios produzidos). Para os dados obtidos com uma 
amostra de 20 funcionários, obteve-se a seguinte Equação da 
Reta de Regressão: y = 58,13 + 1,62x. A partir dessa equa-
ção, responda às seguintes questões:
- Pelo valor do coeficiente “b” da reta, podemos dizer que a 
correlação entre o tempo de experiência na função e a produ-
tividade é:
a. ( ) Inexistente
b. ( ) Direta/positiva
c. ( ) Inversa/Negativa
d. ( ) Direta/Negativa
e. ( ) Inversa/Positiva
182 Estatística Aplicada
- Para um funcionário com 10 anos de experiência, estima-se 
que este produza aproximadamente quantos relatórios?
a. ( ) 1,62 relatórios
b. ( ) 74 relatórios
c. ( ) 58 relatórios
d. ( ) 10 relatórios
e. ( ) 120 relatórios
Questão 2. Suponhamos que uma cadeia de supermercados 
tenha financiado um estudo dos gastos em alimentação para 
famílias de quatro pessoas. Obteve-se a seguinte equação de 
regressão linear: y = −200 + 0,10 x, onde y representa a 
despesa mensal estimada com alimentação e x a renda líquida 
mensal. A partir da Equação da Reta estabelecida, estime a 
despesa de uma família de quatro pessoas com renda mensal 
de R$ 15.000.
Questão 3. Foi feito um levantamento a respeito dos imóveis 
de dois dormitórios alugados por uma imobiliária da zona sul 
da cidade de Porto Alegre. Para verificar a relação entre o va-
lor do aluguel cobrado (reais) e a sua distância em relação ao 
centro da cidade (metros), coletou-se os dados de 8 imóveis 
cadastrados nessa imobiliária.
Capítulo 10 Análise de Regressão 183
Valor do aluguel X Distância do centro
Imóvel Distância do centro (x) Valor do Aluguel (y)
1 5 950
2 4 980
3 6 1000
4 9 1100
5 6 1090
6 4 990
7 6 970
8 8 1030
 a) Obtenha a Equação da Reta de regressão para esses da-
dos.
 b) Estime o valor do aluguelde um imóvel localizado a 10 
metros.
Questão 4. Um corretor do mercado de ações, visando pre-
ver o número de negócios fechados por dia, decidiu utilizar 
o número de chamadas telefônicas recebidas como variável 
independente. Os resultados obtidos para uma amostra de 10 
dias foram:
184 Estatística Aplicada
Número de chamadas recebidas X Número de negócios fechados
Dia Nº chamadas recebidas Nº Negócios fechados
1 591 42
2 146 32
3 185 36
4 245 44
5 600 82
6 510 70
7 394 56
8 486 65
9 483 63
10 106 23
 a) Obtenha a Equação da Reta de regressão para esses da-
dos.
 b) Estime o número de negócios fechados para um dia em 
que se recebam 500 chamadas.
Questão 5. Os dados abaixo representam o valor de um 
determinado mês da fatura do cartão de crédito (em reais) e 
a renda mensal (em salários mínimos) de uma amostra de 7 
indivíduos:
Capítulo 10 Análise de Regressão 185
Indivíduo Renda Mensal (x) Gasto cartão (y)
1 3,5 520
2 5,0 850
3 2,8 310
4 4,5 800
5 5,2 860
6 5,8 910
7 6,9 900
 a) Obtenha a Equação da Reta de regressão para esses da-
dos.
 b) Estime o gasto no cartão de uma família com renda de 7,5 
salários mínimos.
Gabarito das atividades propostas
Questão 1.
b. ( X ) Direta/positiva.
b. ( X ) 74 relatórios.
Questão 2.
R: R$ 1.300,00
186 Estatística Aplicada
Questão 3.
a) R: Y = 885,57 + 21,36 X
b) R: R$ 1.099,17
Questão 4.
a) R: Y = 20,42 + 0,08 X
b) R: 60,42 negócios fechados.
Questão 5.
a) R: Y = 15,20 + 149,66 X
b) R: 1.137,65 reais.
Referências Bibliográficas
BARBETTA, Pedro Alberto. Estatística Aplicada às Ciências So-
ciais. Florianópolis: Ed. Da UFSC, 2001. 337 p.
CALLEGARI-JACQUES, S.M. Bioestatística: Princípios e Aplica-
ções. ArtMed, Porto Alegre, 3a reimpressão, 2006.
CLARK, J. DOWNING, D. Estatística aplicada. São Paulo : Sa-
raiva, 1998.
MOORE, D. A Estatística Básica e sua prática. Rio de Janeiro: 
Ed. LTC, 2000.
SIMON, Gary A. FREUND, John E. Estatística Aplicada. Porto 
Alegre : Bookman, 2000. 404 p.