Mecânica: Cinemática e Vetores

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2012
Mecânica
 Prof.ª Margaret Luzia Froehlich
Copyright © UNIASSELVI 2012
Elaboração:
 Prof.ª Margaret Luzia Froehlich
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
621
F925m Froehlich, Margaret Luzia
Mecânica / Margaret Luzia Froehlich. Indaial : Grupo 
UNIASSELVI, 2012.
183 p. il. 
Inclui bibliografia.
ISBN 978-85-7830-362-4
1. Engenharia
2. Mecânica
I. Centro Universitário Leonardo da Vinci
II. Núcleo de Ensino a Distância
 
III
apresentação
Amigo(a) acadêmico(a)! Não pretendo me aprofundar muito 
nesse Caderno de Estudos, mas, sim, dar uma indicação do que deve ser 
analisado pelo aluno(a) nesta disciplina. Por isso é importante lembrar que 
um entendimento maior pode ser alcançado através da leitura dos livros 
indicados nas referências.
Ela se divide em três principais aspectos: os corpos rígidos (sistemas 
de partículas e corpos extensos), os corpos deformáveis (assunto para 
resistência dos materiais) e fluidos (compressíveis e incompressíveis). Nossa 
abordagem se fixa no primeiro aspecto, corpos rígidos, a partir do que 
veremos os corpos em repouso dentro da estática, os corpos em movimento 
sob o ponto de vista da cinemática e da dinâmica.
Antes, porém, teremos uma revisão de vetores, com vistas 
relembrarmos a soma e a decomposição de vetores, além dos produtos escalar 
e vetorial. Em seguida, lembraremos de alguns conceitos fundamentais como 
espaço, tempo, massa e força. Finalmente, aprofundaremos nosso estudo de 
Mecânica com forças, momentos, estática, estruturas e vínculos.
Finalizaremos nosso Caderno com uma discussão resumida de 
tensões, visando preparar o terreno para a disciplina de Resistência dos 
Materiais. Esperamos que esse estudo capacite o futuro engenheiro a analisar 
os problemas, aplicando os princípios da mecânica para formular modelos 
matemáticos, incorporando hipóteses físicas que representem, com realismo, 
as situações práticas vividas na Engenharia.
Aproveite bem e bom estudo!
Professora Margaret Luzia Froehlich
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
V
VI
VII
UNIDADE 1 - CINEMÁTICA .............................................................................................................1
TÓPICO 1 - VETORES ..........................................................................................................................3
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................3
2 VETORES UNITÁRIOS ....................................................................................................................4
3 COMPONENTES DE UM VETOR ..................................................................................................5
4 ADIÇÃO DE VETORES ....................................................................................................................5
5 MULTIPLICAÇÃO DE VETORES ..................................................................................................6
5.1 PRODUTO ESCALAR ...................................................................................................................6
5.2 PRODUTO VETORIAL .................................................................................................................7
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................8
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................9
TÓPICO 2 - CONCEITOS BÁSICOS .................................................................................................11
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................11
2 SISTEMA INTERNACIONAL .........................................................................................................11
3 PONTO MATERIAL OU PARTÍCULA E CORPO EXTENSO ...................................................15
4 ESPAÇO ................................................................................................................................................15
5 TEMPO ..................................................................................................................................................15
6 REFERENCIAL ....................................................................................................................................16
7 DESLOCAMENTO .............................................................................................................................16
8 TRAJETÓRIA ......................................................................................................................................17
9 VELOCIDADE .....................................................................................................................................18
10 ACELERAÇÃO ..................................................................................................................................22
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................25
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................26
TÓPICO 3 - TIPOS DE MOVIMENTO .............................................................................................27
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................27
2 MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME E MOVIMENTO
 UNIFORMEMENTE VARIADO ......................................................................................................27
3 MOVIMENTO DE PROJÉTIL ..........................................................................................................30
3.1 ACELERAÇÃO ..............................................................................................................................31
3.2 VELOCIDADE ................................................................................................................................313.3 ESPAÇO ...........................................................................................................................................31
4 DETERMINAÇÃO DO MOVIMENTO A PARTIR DA ACELERAÇÃO ................................33
4.1 COM A ACELERAÇÃO DEPENDENTE DE X ........................................................................34
4.2 COM A ACELERAÇÃO DEPENDENTE DE V .........................................................................35
5 MOVIMENTO RELATIVO ...............................................................................................................37
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................40
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................41
TÓPICO 4 - MOVIMENTO CIRCULAR E ROTAÇÃO .................................................................43
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................43
2 ACELERAÇÃO ....................................................................................................................................43
suMário
VIII
3 PERÍODO .............................................................................................................................................44
4 APLICAÇÕES ......................................................................................................................................45
5 ROTAÇÃO DE UM CORPO EXTENSO EM TORNO DE UM EIXO FIXO ............................49
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................53
RESUMO DO TÓPICO 4......................................................................................................................55
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................56
UNIDADE 2 - DINÂMICA ..................................................................................................................59
TÓPICO 1 - DINÂMICA ......................................................................................................................61
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................61
2 MASSA .................................................................................................................................................61
3 MOMENTO LINEAR OU QUANTIDADE DE MOVIMENTO................................................62
4 MOMENTO ANGULAR ...................................................................................................................64
5 FORÇA ..................................................................................................................................................67
6 FORÇAS ESPECIAIS .........................................................................................................................68
6.1 FORÇA GRAVITACIONAL .........................................................................................................68
6.2 FORÇA NORMAL ........................................................................................................................69
6.3 FORÇA DE TRAÇÃO ....................................................................................................................70
6.4 FORÇA DE ATRITO ......................................................................................................................71
6.5 FORÇA ELÁSTICA .......................................................................................................................74
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................75
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................76
TÓPICO 2 - SISTEMAS DE FORÇAS, MOMENTOS E BINÁRIOS...........................................79
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................79
2 FORÇAS EXTERNAS E INTERNAS ...............................................................................................79
3 MOMENTO DE UMA FORÇA ........................................................................................................80
4 SISTEMAS EQUIVALENTES DE FORÇAS ..................................................................................80
5 BINÁRIO ..............................................................................................................................................81
6 PRINCÍPIO DE D´ALEMBERT ........................................................................................................82
7 REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS A UM PONTO ...................................................82
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................87
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................88
TÓPICO 3 - DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO E EQUAÇÕES DE MOVIMENTO ...............91
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................91
2 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE ....................................................................................................91
3 EQUAÇÕES DE MOVIMENTO ......................................................................................................92
4 MOMENTO DE INÉRCIA ................................................................................................................92
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................98
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................101
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................102
TÓPICO 4 - VIBRAÇÕES MECÂNICAS ..........................................................................................105
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................105
2 MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES .....................................................................................106
3 PÊNDULO SIMPLES .........................................................................................................................108
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................110
RESUMO DO TÓPICO 4......................................................................................................................115
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................116
IX
UNIDADE 3 - ESTÁTICA ....................................................................................................................119
TÓPICO 1 - EQUILÍBRIO DOS CORPOS ........................................................................................121
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................121
2 GRAUS DE LIBERDADE ..................................................................................................................1223 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO ......................................................................................................122
4 EQUILÍBRIO ESTÁTICO DO PONTO MATERIAL ...................................................................123
5 EQUILÍBRIO ESTÁTICO DO CORPO RÍGIDO .........................................................................124
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................128
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................129
TÓPICO 2 - VÍNCULOS .......................................................................................................................131
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................131
2 TIPOS DE VÍNCULOS ......................................................................................................................132
2.1 APOIO SIMPLES OU ROLETES ..................................................................................................132
2.2 APOIO FIXO E ARTICULAÇÃO .................................................................................................132
2.3 ENGASTE........................................................................................................................................133
3 CARREGAMENTO PLANO .............................................................................................................133
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................140
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................143
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................144
TÓPICO 3 - TRELIÇAS .........................................................................................................................147
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................147
2 CÁLCULO DAS REAÇÕES ..............................................................................................................149
2.1 MÉTODO DOS NÓS .....................................................................................................................150
2.1.1 Redundância interna e externa ...........................................................................................154
2.1.2 Condições especiais ..............................................................................................................156
3 MÉTODO DAS BARRAS ..................................................................................................................156
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................159
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................160
TÓPICO 4 - VIGAS E CABOS .............................................................................................................163
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................163
2 ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR EM UMA VIGA ..........................................164
3 CABOS ..................................................................................................................................................166
3.1 CABOS COM CARGAS CONCENTRADAS .............................................................................166
3.2 CABOS COM CARGAS DISTRIBUÍDAS ...................................................................................167
RESUMO DO TÓPICO 4......................................................................................................................169
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................170
TÓPICO 5 - TENSÃO E DEFORMAÇÃO .........................................................................................171
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................171
2 TENSÃO NORMAL ..........................................................................................................................171
3 TENSÃO DE CISALHAMENTO .....................................................................................................174
4 TENSÃO ADMISSÍVEL ....................................................................................................................176
5 DEFORMAÇÃO ..................................................................................................................................178
5.1 DEFORMAÇÃO NORMAL .........................................................................................................178
RESUMO DO TÓPICO 5......................................................................................................................180
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................181
REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................183
X
1
UNIDADE 1
CINEMÁTICA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, o(a) acadêmico(a) estará apto a:
• relembrar algumas operações com vetores e os principais conceitos de ci-
nemática;
• reconhecer as equações dos principais tipos de movimento;
• analisar o movimento em 1D (uma dimensão) de um cursor preso por 
uma corda que passa por três polias;
• analisar o movimento em 2D (duas dimensões) de um projétil lançado 
para o ar a partir de um ângulo θ com a direção horizontal;
• demonstrar que a aceleração medida a partir de dois referenciais-inércias 
possui o mesmo valor;
• analisar alguns movimentos associados a um ponto central.
A primeira unidade está dividida em quatro tópicos. No final de cada um 
deles, você encontrará atividades que lhe auxiliarão a fixar os conceitos.
TÓPICO 1 – VETORES
TÓPICO 2 – CONCEITOS BÁSICOS
TÓPICO 3 – TIPOS DE MOVIMENTO
TÓPICO 4 – MOVIMENTO CIRCULAR E ROTAÇÃO
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
VETORES
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico, estudaremos os vetores, seus componentes, sua multiplicação, 
entre outros. Veremos, também, como representar uma grandeza vetorial. Veja o 
exemplo a seguir.
FONTE: Disponível em: <https://www.google.com.br/maps>. Acesso em: 05 mar. 2018.
FIGURA 1 – MAPA MOSTRANDO A DISTÂNCIA PERCORRIDA POR UM MÓVEL DE INDAIAL ATÉ
BRUSQUE. A SETA INDICA O DESLOCAMENTO
Uma grandeza vetorial, grandeza representada por um segmento de reta 
orientado, sempre presente na nossa vida, é o deslocamento, como, por exemplo, 
o da seta da Figura 1. O corpo saiu da cidade de Indaial e chegou à cidade de 
Brusque. Indaial é a posição inicial 
→ S0 e Brusque a posição final 
→ S do deslocamento 
∆
→ S. Assim, o vetor ∆
→ S é a diferença entre as posições final e inicial e, portanto, não 
depende da trajetória percorrida. Por outro lado, o corpo seguiu a trajetória sobre 
a rodovia passando pelas cidades de Blumenau e Gaspar. O comprimento dessa 
trajetória é uma grandeza escalar, conhecida como distância percorrida.
Um vetor, portanto, tem alguns atributos bem visíveis como, por exemplo, 
a extremidade que éa ponta (Indaial, ponto O) e a origem que é a cauda da seta 
(Brusque, ponto E), veja figura a seguir. Além disso, um vetor possui um módulo 
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
4
(tamanho da seta), uma direção (linha que une origem com extremidade) e um 
sentido (no sentido da seta). O vetor → u da figura a seguir ocupa um lugar no 
espaço entre os pontos E e O do sistema de coordenadas x, y e z.
FONTE: Autora
No próximo item, veremos como podemos definir um vetor em termos de 
seus vetores unitários.
2 VETORES UNITÁRIOS
Os versores , e i j k
  
 são vetores unitários, sem dimensões, das direções 
coordenadas x, y e z e são representados na figura a seguir. Enquanto um ponto 
tem as coordenadas x, y, z, um vetor é a soma das suas componentes nas direções 
dos versores , e i j k
  
.
FONTE: Autora
Assim, um vetor pode ser escrito em termos de suas componentes (notação 
vetorial) ou em termos do seu valor numérico (módulo),
Notação vetorial:
Módulo :
FIGURA 2 – VETOR NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL. 
FIGURA 3 – TRÊS DIREÇÕES COORDENADAS E SEUS VERSORES.
TÓPICO 1 | VETORES
5
Na próxima seção, veremos como encontrar as componentes nas direções 
x e y de um vetor no espaço bidimensional.
3 COMPONENTES DE UM VETOR
Vamos olhar para o vetor v

 da figura a seguir no espaço plano formado 
pelo eixo x e pelo eixo y.
FONTE: Autora
Das definições de seno e cosseno, podemos concluir que o vetor 
possui as seguintes componentes, 
 
 Lembrando, o ângulo é 
medido no sentido anti-horário, a partir do eixo x até o vetor . O módulo do vetor 
é e a direção é dada pela definição da função tangente, 
.
4 ADIÇÃO DE VETORES
Suponha dois vetores, e , no espaço tridimensional x, y e z, em que 
a soma resultante é . Conhecendo-se as componentes de cada vetor, 
somam-se as componentes x, y e z separadamente, 
.
Exemplo 1 – Dados os vetores , 
encontre o vetor resultante da soma entre eles. Encontre também o seu módulo.
Solução: Para encontrar o vetor resultante da soma fazemos:
FIGURA 4 – VETOR v

, O TRIÂNGULO RETÂNGULO E SUAS RELAÇÕES
2 2 2
tan
cos
 
 
 
hip cat cat
catopx
catad
catopsen x
hip
catadx
hip
= +
=
=
=
2 2 2
tan
cos
 
 
 
hip cat cat
catopx
catad
catopsen x
hip
catadx
hip
= +
=
=
=
2 2 2
tan
cos
 
 
 
hip cat cat
catopx
catad
catopsen x
hip
catadx
hip
= +
=
=
=
2 2 2
tan
cos
 
 
 
hip cat cat
catopx
catad
catopsen x
hip
catadx
hip
= +
=
=
=
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
6
O módulo pode ser obtido como segue:
5 MULTIPLICAÇÃO DE VETORES
A multiplicação de vetores é diferente da multiplicação algébrica 
de escalares. Veremos aqui três tipos de multiplicação. O primeiro caso é o 
mais simples em que multiplicamos um vetor por um escalar. Por exemplo, 
estamos interessados na multiplicação do escalar t pelo vetor . 
O resultado dessa multiplicação é igual a , resultando 
num novo vetor com um fator igual a t.
Exemplo 2 – Dado o vetor e o escalar , encontre o 
vetor resultante do produto entre eles.
Solução: .
A multiplicação de dois vetores pode ser efetuada de dois modos: o produto 
escalar e o produto interno. Veremos esses dois casos a seguir.
5.1 PRODUTO ESCALAR
O produto escalar, ou produto interno, é a multiplicação entre dois 
vetores, que resulta num escalar e é definido por, .
Em termos de seus vetores unitários podemos escrever o produto escalar como
.
Exemplo 3 – Dados os vetores , 
encontre o produto escalar entre eles. Encontre também o ângulo entre eles.
Solução: Para encontrar o produto escalar, utiliza-se a multiplicação com 
seus vetores unitários,
 
TÓPICO 1 | VETORES
7
Para encontrar o ângulo entre esses dois vetores, devemos encontrar 
primeiros os seus módulos:
5.2 PRODUTO VETORIAL
O produto vetorial, ou produto externo entre dois vetores, resulta em 
outro vetor e é definido por, .
Em termos de seus vetores unitários, podemos escrever o produto vetorial 
como:
.
Exemplo 4 – Dados os vetores , encontre 
o produto vetorial entre eles.
Solução:
Agora, utilizamos a definição:
Por se tratar de uma revisão com o objetivo de apenas lembrar 
algumas definições de operações com vetores, não nos atemos às deduções 
pormenorizadamente. Caso o acadêmico queira maiores esclarecimentos, deve 
consultar a bibliografia recomendada no final deste Caderno de Estudos.
8
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico você viu que:
• Definimos vetor e mostramos os elementos que compõem um vetor.
• Aprendemos a representar os vetores através de suas componentes por meio 
dos seus versores, utilizando a notação vetorial e em termos de seu valor 
numérico, calculando o seu módulo.
• Vimos algumas operações básicas entre vetores como a adição e a multiplicação.
• Relembramos a definição de produto escalar e produto vetorial.
9
AUTOATIVIDADE
Ao final deste tópico, caro(a) acadêmico(a), vamos exercitar seus 
conhecimentos adquiridos, resolvendo as questões a seguir:
1 Dado o vetor e o escalar , encontre o vetor resultante 
do produto entre eles.
2 Dado o vetor e o escalar t = 2, encontre o vetor resultante 
do produto entre eles.
3 Dados os vetores , encontre o produto 
escalar entre eles. Encontre também o ângulo entre eles.
4 Dados os vetores , encontre o produto 
vetorial entre eles.
5 Dados os vetores , encontre o vetor 
resultante da soma entre eles. Encontre também o seu módulo.
6 Dado o vetor , no espaço plano formado pelos eixos x e y, encontre 
as suas componentes nas direções x e y, sabendo que o vetor forma um 
ângulo de 300 com o eixo x.
10
11
TÓPICO 2
CONCEITOS BÁSICOS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
A Mecânica é a parte da Física que estuda o movimento dos corpos. 
Como os corpos apresentam diferentes aspectos quanto à sua agregação atômica, 
comportam-se de maneiras diferentes ao serem solicitados por uma força. 
Levando em conta essa diferença, dividimos a Mecânica em três partes, a saber: 
corpos rígidos, corpos deformáveis e fluidos.
O estudo dos corpos rígidos é, por sua vez, dividido em mais dois aspectos. 
A Cinemática e Dinâmica, que estudam os corpos em movimento, e a Estática, 
que estuda os corpos em repouso. 
Começamos nosso estudo levantando alguns conceitos que são 
fundamentais para a compreensão das ideias apresentadas nesse contexto, 
bem como as principais grandezas abordadas aqui e como estas grandezas se 
relacionam nos fenômenos que pretendemos analisar.
2 SISTEMA INTERNACIONAL
São grandezas fundamentais o comprimento, a massa, o tempo, 
a temperatura, a corrente elétrica, a intensidade de luz e o mol. Com elas 
expressamos nossas ideias e fazemos medidas que tornam possível publicá-las 
para a verificação por outros estudiosos. Um sistema de unidades serve para 
referenciar um conjunto de padrões únicos que são utilizados para comparar a 
grandeza medida e assim quantificá-la. Por exemplo, no sistema MKS (metro–
kg (quilograma)–segundo), 1 kgf = 1kg.9,8m/s2. Em contrapartida, 1 kgf equivale 
a 9,8 N no SI (Sistema Internacional). Da mesma forma, 1 UTM (Unidade Técnica 
de Massa) no MKS equivale a 9,81 kg no SI. O MKS e o SI são sistemas de unidades 
onde se relacionam as grandezas com as suas respectivas unidades.
O quadro a seguir contém as principais grandezas em mecânica e suas 
unidades no sistema internacional de unidades.
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
12
Unidades Fundamentais Unidades do Sistema Internacional
Espaço Metro (m)
Tempo Segundo (s)
Massa Quilograma (kg)
Unidades Derivadas
Velocidade Metro por segundo (m/s)
Aceleração Metro por segundo ao quadrado (m/s2)
Momento Linear Quilograma metro por segundo (kg.m/s)
Momento Angular Quilograma metroao quadrado por segundo (kg.m2/s)
Força Newton (N) → kg.m/s2
FONTE: Autora
QUADRO 1 – SISTEMA DE UNIDADES INTERNACIONAL SI
De um modo geral, as grandezas vêm expressas em diversos sistemas de 
medidas e, muitas vezes, é necessário converter todas para o mesmo sistema antes 
de trabalhar com elas. Como sabemos, uma grandeza física é representada por 
um símbolo algébrico, como por exemplo, d para distância, t para tempo e v para 
velocidade. Quando calculamos a distância, fazendo o produto da velocidade, 
com o tempo utilizamos certa coerência dimensional, observe:
Milhas segundos por hora não é uma unidade usual de comprimento. 
Como as unidades estavam em sistemas diferentes não foi possível simplificar 
A velocidade estava em m/s e o tempo em s, ambos no SI, possibilitando a 
simplificação de s (segundos) gerando a distância na unidade correta, m (metros). 
Vamos supor que a velocidade tenha sido dada em outro sistema de unidades, 
por exemplo, 4,47mi/h (milhas por hora), substituindo na equação encontramos 
o seguinte resultado.
TÓPICO 2 | CONCEITOS BÁSICOS
13
Comprimento Tempo Massa
1 m = 100 cm = 103 mm 1 min = 60 s 1 kg = 103g = 0,0685 slug
1 km = 103 m = 0,6214 mi 1 h = 3600 s 1 slug = 14,59 kg
1 pol = 0,0254 m 1 dia = 86400 s 1 u = 1,661x10-27kg
1 pé = 1 ft = 0,3048 m 1 ano = 3,156x107s 1 kg = 2,205lb ( g = 9,8 m/s2)
Velocidade Aceleração 1 dracmas = 3,888 gramas
1 m/s = 3,281 pés/s 1 m/s2 = 3,281 pés/s2 Pressão
1 km/h = 0,2778 m/s = 0,6214 mi/h Força 1 Pa = 1 N/m2 = 0,209lb/pé2
1 mi/h = 0,4470 m/s 1 N = 0,2248 lb 1 bar = 105 Pa
1 pés/s = 0,3048 m/s 1 kgf = 9,8 N 1 atm = 1,013x105Pa
1 Curies = 2,2 . 1018 desint/ min Impulso 1 mmHg= 1 torr = 133,3 Pa
1 ton (refrigeração) = 12000 Btu/h 1lb.s = 4,448N.s 1 lbf/pé2= 47,88 N/m2
1 nós (internacional) = 0,5144 m/s Energia 1 cmHg a 00C = 27,845 lb/
pé2
Volume 1 lb.pés = 1,356J Potência
1 litro = 10-3 m3 = 1000 cm3 1 cal = 4,186 J 1 W = 1 J/s
1 pé3 = 0,02832 m3 1 Btu =1055 J 1 hp = 746 W
1 galão = 3,788 litros 1 eV = 1,602x10-19J 1 Btu/h = 0,293 W
QUADRO 2 – FATORES DE CONVERSÃO DAS UNIDADES
FONTE: Autora
Utiliza-se muito o fator 3,6 para converter m/s e km/h entre si, isso vem do fato de 
que as unidades de comprimento e tempo foram convertidas separadamente, facilitando 
assim a memorização da conversão.
UNI
a unidade de tempo gerando uma unidade estranha para o comprimento. O 
correto seria converter primeiro a velocidade para o mesmo sistema do tempo 
(SI). Podemos fazer isso com o auxílio do fator de conversão obtido na tabela 2.
Em seguida, procedemos como foi demonstrado anteriormente, e obtemos 
novamente a unidade correta para a distância, 16 m.
No quadro a seguir, relacionamos os fatores de conversão de algumas 
grandezas.
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
14
Veja:
Assim, se você quiser converter km/h em m/s basta dividir por 3,6. 
Exemplo 5 – Calcule o número de km em 6 milhas.
Solução: Do quadro 2, temos que 1 km = 0,6214 mi. A regra é simples, 
multiplicamos a unidade que desejamos converter (1 mi) pela unidade que 
desejamos obter (1 km) e dividimos pelo seu equivalente na unidade que 
queremos substituir (0,6214 mi).
Exemplo 6 – De acordo com o rótulo de um frasco de molho, o volume é 
de 0,334 litros. Converta esse valor para centímetros cúbicos.
Solução: Novamente do quadro 2, 1 L = 1000cm3, multiplicando pela que 
queremos e dividindo pela que vamos eliminar, obtemos:
Exemplo 7 – Uma placa de limite de velocidade avisa que o limite máximo 
é de 100mi/h. Expresse esse valor em km/h e em m/s.
Solução: Da mesma maneira que antes,
TÓPICO 2 | CONCEITOS BÁSICOS
15
3 PONTO MATERIAL OU PARTÍCULA E CORPO EXTENSO
Em Mecânica temos o conceito de corpo como a entidade material que 
ocupa um lugar no espaço no decorrer de um tempo. Classificamos os corpos 
em dois tipos, de acordo com as suas dimensões. Corpos extensos são corpos 
cujos pontos de aplicação dos vetores força não convergem para um ponto único. 
Chamamos de ponto material, ou partícula, todo corpo cujos pontos de aplicação 
dos vetores força podem ser representados todos no mesmo ponto. Observe a 
figura a seguir.
FONTE: Autora
4 ESPAÇO
O espaço ou posição é o vetor localização de uma partícula a partir 
de um referencial até o ponto em que se encontra durante um certo intervalo de 
tempo, veja na figura a seguir. Dois espaços diferentes ocupados pela mesma 
partícula em dois tempos diferentes. O vetor é formado pelas componentes nas 
três direções perpendiculares e o representamos como .
FIGURA 5 – UM PONTO MATERIAL E UM CORPO EXTENSO EM EQUILÍBRIO
5 TEMPO
Grandeza t utilizada para descrever as variações das posições e dizer 
se a partícula se encontra em movimento ou repouso. Num certo intervalo de 
tempo a simultaneidade e a precedência de um evento são independentes do 
observador.
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
16
6 REFERENCIAL
É um sistema de coordenadas fixas de onde o evento é observado. A 
figura a seguir mostra dois espaços diferentes para a partícula, a partir do mesmo 
referencial, o ponto O, origem do sistema de coordenadas x, y e z.
FONTE: Autora
7 DESLOCAMENTO
O vetor deslocamento delta s, , observe a figura a seguir, é o vetor 
com origem no ponto de posição inicial (coordenadas de ) e tem extremidade 
no ponto de posição final (coordenadas ). Delta t, , é o intervalo de tempo 
decorrido durante esse deslocamento.
FONTE: Autora
FIGURA 6 – ESPAÇOS DIFERENTES PARA A PARTÍCULA A PARTIR DO MESMO REFERENCIAL
FIGURA 7 – VETOR DESLOCAMENTO DELTA S, 
TÓPICO 2 | CONCEITOS BÁSICOS
17
Exemplo 8 – Uma partícula se move sobre o plano xy e suas coordenadas 
são dadas pelas seguintes equações,
Sendo t em segundos e x e y em metros, determine o vetor posição da 
partícula no instante t = 15s, o seu módulo e o ângulo formado com x.
Solução: As coordenadas x e y podem ser determinadas mediante simples 
substituição do tempo das equações fornecidas,
O vetor posição é, então, escrito como . O módulo 
deste vetor é dado por, . E o ângulo é:
8 TRAJETÓRIA
Note os vetores posição e em relação à origem de um eixo cartesiano 
na figura a seguir, durante um intervalo de tempo . O ponto material se deslocou 
do ponto dado pelas coordenadas de até o ponto dado pelas coordenadas de 
. A linha tracejada indica todos os pontos pelos quais o móvel passou ou ainda 
passará, ou seja, a sua trajetória, que é a linha formada pelas diversas posições que 
o corpo ocupa no tempo. A trajetória da esquerda é circular e o móvel obedece às 
equações que serão demonstradas no próximo tópico. No meio o móvel, é descrita 
uma trajetória curva e à direita encontramos uma trajetória retilínea.
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
18
FONTE: Autora
9 VELOCIDADE
A Grandeza Vetorial mede a rapidez com que o corpo se desloca. 
Quando se trata da velocidade média, esta é a razão entre o deslocamento e o 
intervalo de tempo. 
.
Assim, Os tempos são cada vez menores, de 
modo que a posição se aproxime cada vez mais de . Tomamos o limite de 
, tendendo a zero de e obtemos a derivada da posição em relação ao tempo 
, que é a reta tangente à curva naquele ponto e que entendemos como sendo 
a velocidade instantânea da partícula em movimento. Observe a figura a seguir.
A velocidade instantânea é a taxa de variação no tempo do deslocamento 
Assim, 
FIGURA 8 – TRAJETÓRIAS
TÓPICO 2 | CONCEITOS BÁSICOS
19
FONTE: Autora
Exemplo 9 – Utilizando os dados do exemplo anterior, encontre a 
velocidade média e a velocidade instantânea da partícula móvel.
Solução: A velocidade média é dada pela definição, , sendo 
a posição inicial igual a zero e o tempo inicial também igual a zero. Assim, 
encontramos:
FIGURA 9 – VELOCIDADE MÉDIA 
 
E VELOCIDADE INSTANTÂNEA 
A velocidade instantânea é dada pela derivadada posição, 
 
 
Assim, devemos encontrar a derivada de x e de y:
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
20
Substituindo o tempo por 15 segundos, temos:
Dessa maneira, o vetor velocidade instantânea se torna, 
.
Exemplo 10 – (YOUNG; FREEDMANN, 2010) Um veículo robótico está 
explorando a superfície de Marte. O módulo de aterrissagem é a origem do 
sistema de coordenadas e a superfície do planeta é o plano xy. O veículo que será 
representado por um ponto, possui componentes x e y que variam com o tempo 
de acordo com
a) Calcule as coordenadas do veículo e sua distância do módulo de 
aterrissagem no instante t = 2,0 s. 
Solução:
No instante t = 2,0 s, as coordenadas do carro são
 
A distância entre o veículo e a origem nesse instante é
 
b) Calcule o vetor deslocamento e o vetor velocidade média no intervalo 
de tempo entre t = 0 e t = 2,0 s. 
Solução: Para achar o deslocamento e a velocidade média, escrevemos o 
vetor posição em função do tempo.
TÓPICO 2 | CONCEITOS BÁSICOS
21
Para t = 0 o vetor posição fica,
 
c) Deduza uma expressão geral para o vetor velocidade instantânea do 
veículo. Expresse a velocidade instantânea em t = 2,0 s, usando componentes, e, 
também em termos de módulo, direção e sentido.
Solução: Para achar uma expressão geral para a velocidade, devemos 
encontrar a derivada no tempo do vetor posição, assim, utilizando as equações 
fornecidas pelo enunciado da questão, temos que
Para expressar a velocidade instantânea em t = 2,0 s, usando componentes, 
basta substituir o tempo acima na equação geral encontrada,
 
Em termos de módulo, encontramos
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
22
Para encontrar a direção e o sentido, encontramos o ângulo entre o vetor 
e o eixo x,
10 ACELERAÇÃO
Observe, na figura a seguir, que o vetor velocidade muda, aumentando ou 
diminuindo de intensidade, de para . Está presente uma grandeza vetorial 
denominada aceleração, que é responsável por essa variação.
FONTE: Autora.
Exemplo 11 – Utilizando os dados do exemplo anterior, encontre a 
aceleração instantânea da partícula móvel.
Solução: Analogamente ao exemplo anterior, temos que a aceleração 
instantânea é dada por:
FIGURA 10 – TRAJETÓRIA
TÓPICO 2 | CONCEITOS BÁSICOS
23
Exemplo 12 – Um ponto material se desloca em linha reta, de modo que 
sua posição é definida pelo diagrama da figura a seguir. Encontre a função da 
velocidade e da aceleração em função do tempo. Mostre os gráficos.
FONTE: Autora
FONTE: Autora
Solução: A velocidade é a derivada da posição no tempo, .
Que descreve o comportamento do gráfico da figura a seguir.
FIGURA 11 – GRÁFICO DA POSIÇÃO x(m) EM FUNÇÃO DO TEMPO t(s). O CORPO 
SAI DA ORIGEM E CHEGA ATÉ A DISTÂNCIA DE 30 METROS EM 4 
SEGUNDOS E DEPOIS RETORNA À ORIGEM EM t = 6 s
FIGURA 12 – GRÁFICO DA VELOCIDADE v(m/s) Em Função Do Tempo t(s). A 
VELOCIDADE INICIAL É ZERO EM ZERO SEGUNDOS, EM t = 2 s 
O CORPO ATINGE A VELOCIDADE MÁXIMA DE 12 m/s, DEPOIS 
VOLTA A DECRESCER ATÉ ZERO, QUANDO VOLTA A AUMENTAR EM 
MÓDULO. O SINAL NEGATIVO INDICA QUE O PONTO MATERIAL 
ESTÁ SE APROXIMANDO DA ORIGEM
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
24
A aceleração é dada pela derivada da função da velocidade, .
Que descreve o comportamento do gráfico na figura a seguir.
FONTE: Autora
FIGURA 13 – GRÁFICO DA VELOCIDADE v(m/s) EM FUNÇÃO DO TEMPO t(s). A ACELERAÇÃO 
INICIAL É DE 12 m/s2 E EM t = 2 s, A ACELERAÇÃO SE ANULA
Você pode fazer esse exercício usando o MatLab ou outro similar. Tente fazer a 
lista de exercícios utilizando mais esse recurso.
UNI
25
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, caro(a) acadêmico(a), você viu que:
• Apresentamos as principais unidades das grandezas mecânicas no Sistema 
Internacional SI.
• Diferenciamos corpo extenso de ponto material.
• Definimos espaço, tempo e referencial.
• Estudamos o conceito deslocamento e trajetória.
• Definimos velocidade como sendo a medida da rapidez com que o corpo 
se desloca e aceleração como sendo a rapidez com que o móvel varia a sua 
velocidade.
26
AUTOATIVIDADE
Para exercitar os conhecimentos adquiridos neste tópico, resolva as 
questões a seguir:
1 A posição r de uma partícula que se move num plano xy é dada por r = (4t3 
– 6t)i + (8 – 2t4)j com r em metros e t em segundos. Na notação de vetores 
unitários, calcule: 
a) r
b) v 
c) a para t = 3s.
2 A velocidade v de uma partícula que se move sobre o plano xy é dada por 
v = (15t – 5t2)i + (6 - 2t)j, com v em m/s e t em segundos. 
a) Qual é a aceleração quando t = 1,0 s? 
b) Quando (se acontecer) a aceleração é nula? 
c) Quando (se acontecer) a velocidade é nula?
3 A partir da expressão x = t3 – 6t2 – 15t + 40 onde x(m), t(s), podemos descrever 
o deslocamento de um ponto material. Encontre:
a) O instante em que a velocidade será nula.
b) A posição e a distância percorrida pelo ponto material até esse instante.
c) A aceleração nesse instante.
d) Esboce os gráficos.
4 Uma unidade de área frequentemente usada na medição de áreas de terrenos 
é o hectare, definido como 104 m2. Uma mina de carvão de escavação aberta 
consome 75 hectares de terra, até uma profundidade de 26m a cada ano. 
Qual é o volume de terra removido por ano em quilômetros cúbicos?
5 Encontre os componentes da velocidade e da aceleração da partícula no 
tempo de 2 segundos de um ponto material governado pela expressão a 
seguir.
27
TÓPICO 3
TIPOS DE MOVIMENTO
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
É quase sempre possível descrever o comportamento de um corpo 
móvel, observando algumas grandezas associadas ao seu movimento. Assim, 
relacionamos essas grandezas em funções horárias para prever a sua velocidade 
e a sua posição em qualquer tempo. Como essas funções variam, dependendo da 
trajetória que o corpo descreve, resolvemos abordá-las separadamente em cada 
tipo de movimento.
2 MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME E MOVIMENTO 
UNIFORMEMENTE VARIADO
Sabendo que a taxa de variação da velocidade em função do tempo nos 
fornece a aceleração, discutida na seção 5 do tópico anterior, podemos escrever 
que . Rearranjando os membros da equação, ficamos com . 
Integrando o lado esquerdo em relação à velocidade, e o lado direito em relação 
ao tempo, temos: . Com a aceleração constante, podemos colocá-
la para fora do símbolo de integral e efetuar a operação da seguinte maneira, 
 com e, passando para o lado direito da equação, 
encontramos uma função horária para a velocidade .
Movimentos com aceleração constante são denominados movimentos 
uniformemente variados. Quando a aceleração é nula e o corpo descreve uma 
trajetória retilínea, o movimento é retilíneo uniforme e a equação acima se resume 
em , ou seja, a velocidade é constante. 
A função horária para as posições pode ser obtida de modo semelhante ao 
se tomar a taxa de variação do espaço em relação ao tempo, como encontrado na 
seção 4 do tópico anterior, e integrá-la:
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
28
Analogamente ao caso anterior,
 
, substituindo a 
equação para a velocidade encontrada na dedução anterior, escrevemos: 
 , sendo , e passando para o lado direito 
da equação encontramos uma função horária para o espaço: .
A função horária acima dá a posição do corpo em qualquer tempo para o 
movimento uniformemente variado. Para o caso de um movimento retilíneo uniforme, 
a equação acima se reduz em , sendo a velocidade constante, .
Podemos combinar a equação das velocidades em função do tempo, 
, com a equação das posições em função do tempo, , 
e obter uma nova equação, que não depende do tempo, .
Exemplo 1 – Uma aplicação dos conceitos abordados até aqui é um sistema 
de polias, como o da figura a seguir, em que um cursor A e um bloco E estão 
ligados por uma corda que passa sobre três polias C, D e B. As polias B e D estão 
fixas. A polia C está presaa um cursor e é puxada para baixo com velocidade 
constante igual a 2m/s. No instante t = 0, o cursor A inicia o movimento para 
baixo, a partir da posição P, com uma aceleração constante. Sabendo-se que a 
velocidade do cursor A é 8m/s, ao passar pelo ponto Q, determine a variação de 
altura, a velocidade e a aceleração do bloco E, quando o cursor A passar por Q.
FONTE: Autora
Solução: Escolhemos a origem como sendo o plano horizontal superior e o 
sentido positivo de y para baixo (observe figura a seguir). Notamos que, em 
FIGURA 14 – SISTEMA COM POLIAS 
TÓPICO 3 | TIPOS DE MOVIMENTO
29
FONTE: Autora
FONTE: Autora
FIGURA 15 – MOVIMENTO DO CURSOR A 
FIGURA 16 – MOVIMENTO DA POLIA C 
Agora podemos determinar o tempo que o cursor A levou para alcançar 
o ponto Q,
, o cursor A está na posição P e sua velocidade inicial é zero, . Quando o 
cursor passar pela posição Q, sua velocidade é 
, assim é correto escrever
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
30
Podemos escrever as equações de movimento da polia C, veja a figura 
anterior, e encontrar o seu deslocamento , 
encontramos que:
3 MOVIMENTO DE PROJÉTIL
O movimento de projétil pode ser visto como uma composição de 
dois movimentos diferentes: um movimento retilíneo uniforme na direção x e 
uniformemente variado na direção y. Observe a figura a seguir:
FONTE: Autora
FIGURA 17 – LANÇAMENTO DE PROJÉTIL 
O comprimento da corda é constante, portanto:
Vê-se, então, que o bloco E sobe 10 m. Para encontrar a velocidade e a 
aceleração do bloco E, basta aplicar a derivada duas vezes, ,
TÓPICO 3 | TIPOS DE MOVIMENTO
31
Vamos dividir o movimento em dois movimentos independentes e 
analisá-los separadamente quanto à aceleração, à velocidade e à posição.
3.1 ACELERAÇÃO
Em relação ao eixo x, a aceleração é igual a zero, . Não existe força 
resultante atuando nessa direção.
Em relação ao eixo y, a aceleração é igual à aceleração gravitacional, com 
sinal negativo, pois, tem sentido oposto ao dos y crescentes, . A força 
resultante que atua nessa direção é a força gravitacional.
3.2 VELOCIDADE
Em relação ao eixo x, a velocidade é constante, , pois a aceleração 
é nula nessa direção.
Em relação ao eixo y, a velocidade varia com o tempo, , de 
modo que a aceleração é constate e igual ao negativo da aceleração da gravidade.
3.3 ESPAÇO
Em relação ao eixo x, a posição é uma função do tempo com velocidade 
constante, . Observe que o movimento nessa direção é uniforme.
Em relação ao eixo y a posição é uma função do tempo com aceleração 
constante, . Observe que nessa direção o movimento é variado.
Exemplo 2 – Uma pedra é projetada de um rochedo íngreme, de altura 
h, com velocidade inicial de 42 m/s, direcionada em um ângulo de 600 acima da 
horizontal. (figura a seguir). A pedra cai em um ponto A, 5,5 s após o lançamento. 
Encontre (a) a altura h do rochedo, (b) a velocidade da pedra imediatamente antes 
do impacto em A, e (c) a altura máxima H, alcançada acima do chão.
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
32
FONTE: Autora
Solução: 
a) A altura h é a coordenada y do deslocamento como tempo igual a 5,5 
s e dada pela equação . Sendo , substituindo 
 e , encontramos a velocidade inicial na direção y como 
sendo, . Sabendo que quando a pedra 
foi lançada ela se encontrava na origem das posições e que a aceleração da 
gravidade vale , podemos encontrar a altura do rochedo, :
b) Para encontrar a velocidade da pedra ao bater no rochedo, precisamos 
encontrar as coordenadas de x e y para a velocidade e calcular o seu módulo. Na direção 
x, o movimento é uniforme, portanto, a velocidade nesta direção é constante. Assim:
FIGURA 18 – MOVIMENTO DE PROJÉTIL
A velocidade na direção y pode ser encontrada mediante a equação:
TÓPICO 3 | TIPOS DE MOVIMENTO
33
4 DETERMINAÇÃO DO MOVIMENTO 
A PARTIR DA ACELERAÇÃO
Vimos que as condições de movimento são especificadas principalmente 
pelo tipo de aceleração que o corpo possui. Porém, nem sempre a aceleração 
depende do tempo, a aceleração de uma massa presa a uma mola, por exemplo, 
depende do afastamento do corpo da posição de equilíbrio. Podemos considerar 
três classes mais comuns de movimento, com a aceleração dependente do 
tempo, com a aceleração dependente da posição e com a aceleração dependente 
da velocidade. Vimos o primeiro caso exaustivamente na última seção, vamos 
analisar os dois outros casos agora. 
Encontramos o vetor velocidade como sendo e 
o seu módulo, .
c) Observe a figura anterior. Na altura máxima, a componente y da 
velocidade é igual a zero, . Podemos utilizar a equação da velocidade em y 
para encontrar o tempo e utilizar na equação da posição de y para determinar a 
altura máxima H.
Substituindo esse tempo na equação para y, encontramos:
34
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
4.1 COM A ACELERAÇÃO DEPENDENTE DE X 
a = f (x)
A partir da equação conhecida em função de t, podemos chegar a uma 
função exclusivamente da distância por meio de algumas operações simples,
 
Substituindo a aceleração por f(x), encontramos
 
Exemplo 3 – A aceleração de um corpo é dada por a(x)=-kx. Queremos 
determinar a constante k, sabendo que na posição inicial x = 0 a velocidade é de v = 
24 m/s e que a velocidade se anula v = 0 em x = 6m. (BEER; JOHNSTON JR, 2006).
Solução: Substituindo a equação da aceleração e as condições impostas na 
expressão deduzida nesta seção, temos:
 
TÓPICO 3 | TIPOS DE MOVIMENTO
35
4.2 COM A ACELERAÇÃO DEPENDENTE DE V
Em princípio, a unidade de k (s-2) pode nos parecer estranha, mas devemos 
nos lembrar que ela deve respeitar a igualdade a = -kx. Como x está em metros, k 
precisa estar em s-2 para compor a unidade de aceleração m/s2.
a = f (v)
Utilizando os mesmos argumentos nas deduções anteriores, podemos 
mostrar que
Exemplo 4 – (BEER; JOHNSTON JR, 2006). A aceleração de uma partícula 
é definida pela relação, .
Onde k é uma constante. Sabendo que x = 0 e v = 7,5 m/s em t = 0, e que v 
= 3,6 m/s quando x = 1,8 m, determine:
a) A velocidade da partícula quando x = 2,4 m.
b) O tempo necessário para que a partícula atinja o repouso.
Solução: 
a) Como as grandezas fornecidas são a velocidade e a posição, convém 
utilizar a expressão que obtemos por meio da segunda dedução,
O exercício a seguir está proposto no capítulo 11 da referência citada. O aluno 
pode testar seus conhecimentos desenvolvendo alguns dos outros problemas propostos 
pelo autor na obra Mecânica Vetorial para Engenheiros.
UNI
36
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
Substituindo k na equação e utilizando as condições iniciais, obtemos
b) Do mesmo modo podemos encontrar o tempo quando a partícula 
alcança o repouso substituindo k e f(v) na primeira equação,
TÓPICO 3 | TIPOS DE MOVIMENTO
37
5 MOVIMENTO RELATIVO
Para dar um exemplo de movimento relativo, imagine que você esteja 
dentro de um carro a 100km/h e atire uma pedra para frente a 10 km/h em relação 
a você. A pedra estará a 110 km/h em relação a um observador que esteja parado 
do lado de fora. O mesmo movimento é observado a partir de dois referenciais 
diferentes: um está em repouso (observador externo ao carro) e o outro se move 
com velocidade constante (observador no interior do carro). Ambos obtêm 
resultados diferentes para a medida da velocidade da pedra.
Vamos olhar para a figura a seguir. O referencial A está em repouso 
( ) e o referencial B se move com velocidade constante ( ) no plano 
xy. é o vetor posição do referencial B em relação ao referencial A, é o 
vetor posição do ponto P em relação ao referencial A e é o vetor posição do 
ponto P m relação ao referencial B.
FONTE: Autora
Podemos encontrar uma expressão para a posição do ponto P que relacione 
os dois referenciais de tal maneira que .
Para encontrarmos a velocidade, devemos derivar a expressão acimaem 
relação ao tempo, . Assim, a velocidade relativa é 
expressa como segue: .
De modo semelhante, derivamos uma expressão para a aceleração: 
.
Como o referencial B se move com velocidade constante e a derivada 
de uma constante é igual a zero ( ), encontramos , ou seja, a 
aceleração medida a partir dos dois referenciais possui o mesmo valor.
FIGURA 19 – MOVIMENTO RELATIVO
38
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
Exemplo 5 – Uma bola é arremessada verticalmente para o alto a partir 
do nível de 12 m de um poço de elevador com uma velocidade inicial de 18m/s. 
No mesmo instante, um elevador de plataforma aberta passa pelo nível de 5m, 
subindo com uma velocidade constante de 2 m/s. (BEER; JOHNSTON JR, 2006).
 Determine:
a) Quando e onde a bola vai atingir o elevador.
b) A velocidade relativa da bola em relação ao elevador quando a bola o atinge.
FONTE: Autora
Solução:
a) Podemos descrever o movimento da bola, com aceleração constante 
a = -9,8m/s2, como um movimento uniformemente acelerado. Em t = 0 a bola se 
encontra na posição inicial y0 = 12 m e velocidade inicial v0 = 18 m/s,
 
O movimento do elevador, com velocidade constante vE = 2m/s, é um 
movimento uniforme e possui apenas uma equação,
 
FIGURA 20 – BOLA NO POÇO DO ELEVADOR. PROBLEMA APRESENTADO NO BEER E JOHNSTON 
[2]. EM y
E
 = y
B
 A BOLA E O ELEVADOR SE ENCONTRAM
TÓPICO 3 | TIPOS DE MOVIMENTO
39
Onde a posição inicial é de 5m, conforme podemos ver na figura anterior, 
para yE.
Quando a bola atinge o chão do elevador yB = yE , então podemos escrever que
 
Ou seja, a bola atinge o elevador em t = 3,65s, desprezando o tempo 
negativo. Para determinar o lugar, basta substituir o tempo em uma das duas 
equações para as posições,
 
b) A velocidade relativa da bola em relação ao elevador é
 
O sinal negativo indica que a bola é observada do elevador, deslocando-se 
no sentido negativo (para baixo).
40
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você viu que:
• Vimos que o movimento retilíneo uniforme é o movimento cuja trajetória é 
em linha reta e a aceleração é nula. Portanto, o móvel se move com velocidade 
constante.
• Vimos que, num movimento uniformemente variado com aceleração constante 
e diferente de zero, a velocidade do móvel é uma função dependente do tempo.
• Observamos o movimento balístico ou movimento de projétil que é um 
movimento bidimensional (2D) e aprendemos a tratá-lo como dois movimentos 
independentes: um na direção x em MRU (sem resultante atuando sobre o 
corpo), e outro na direção y em MRUV, em que existe a interação da força 
gravitacional.
• Estudamos também o movimento relativo a dois referenciais inerciais e 
apresentamos as equações que os relacionam.
41
AUTOATIVIDADE
Chegando ao final de mais um tópico, para testar seus conhecimentos 
adquiridos, responda as seguintes atividades:
1 Uma pedra é lançada de uma catapulta em t =0, com uma velocidade inicial 
de módulo 20,0 m/s em um ângulo de 400 acima da horizontal. Quais são os 
módulos dos componentes: 
(a) horizontal 
(b) vertical do seu deslocamento em relação à catapulta em t = 1,10s? 
Repita para as componentes (c) horizontal e (d) vertical em t = 1,80 s e 
para as componentes (e) horizontal e (f) vertical em t = 5,00 s.
2 Um peixe, nadando em um plano horizontal, tem velocidade vi = (5,00i + 
2,00j)m/s em um ponto no oceano em que o deslocamento em relação a 
uma certa pedra é r i = (9,0i – 3,00j)m. Após o peixe nadar com aceleração 
constante por 15,0s, sua velocidade é v = (16,0i - 4,00j)m/s. Quais são as 
componentes da aceleração?
3 Uma pedra é projetada sobre um rochedo íngreme de altura h com 
velocidade inicial de 40 m/s direcionada em um ângulo de 500 acima da 
horizontal. A pedra cai em um ponto A, 4,0 s após o lançamento. Encontre 
(a) a altura h do rochedo, (b) a velocidade da pedra imediatamente antes do 
impacto em A, e (c) a altura máxima H alcançada acima do chão.
4 De um elevador em movimento ascendente, de velocidade 3,66 m/s, 
abandona-se uma pedra que atinge o fundo do poço em 2,5s. A que altura 
estava o elevador no momento do abandono da pedra? Qual a velocidade 
da pedra no instante do choque com o solo.
5 De uma janela de um prédio, localizada a 20m acima do solo, arremessa-
se verticalmente para cima, uma bola com velocidade de 10m/s. Sabendo-
se que a aceleração da bola é constante e igual a 9,81m/s2, para baixo, 
escreva uma expressão para a velocidade v e para a elevação y da bola, 
relativamente ao solo, para qualquer instante t. Determinar o instante em 
que a bola atinge a elevação máxima e o seu valor em y correspondente. 
42
43
TÓPICO 4
MOVIMENTO CIRCULAR E ROTAÇÃO
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Movimento circular é aquele em que o móvel executa uma trajetória em 
círculo, podemos colocar a origem do nosso sistema coincidindo com o centro do 
círculo como na figura a seguir. A posição angular θ é dada pela relação entre o 
comprimento do arco d e o raio r . Assim, para a primeira posição, temos 
 
e, para a posição seguinte, . Uma revolução tem . Isso equivale 
a 2π radianos. O deslocamento angular é dado por . A velocidade 
tangencial v é proporcional à velocidade angular é dada pela expressão: v=r .
FONTE: Autora
2 ACELERAÇÃO
A aceleração possui uma componente da direção radial e uma componente 
na direção tangencial como ilustra a figura a seguir.
FIGURA 21 – MOVIMENTO CIRCULAR 
44
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
FONTE: Autora
A aceleração total é escrita em termos de seus vetores unitários como 
, em que at é a componente tangencial e ar a componente radial.
No caso particular de um movimento circular uniforme, a aceleração 
tangencial é nula e, portanto, a velocidade escalar é constante em módulo, mas 
varia continuamente na direção tangente ao círculo. Consequentemente, existe 
apenas uma componente da aceleração na direção radial, que costumamos chamar 
de aceleração centrípeta por se dirigir ao centro da trajetória e seu módulo é dado 
por , em que v é a velocidade tangencial e r é o raio da circunferência.
Deve-se levar em conta o fato da componente radial da aceleração depender 
do raio da trajetória circular nos projetos de estruturas e mecanismos como as asas 
de avião e as linhas férreas evitando-se variações repentinas na curvatura.
3 PERÍODO
Podemos encontrar o tempo para executar uma volta completa, 
denominado período T , utilizando a definição de velocidade e lembrando 
que a distância percorrida numa volta completa é , em que r é o raio da 
circunferência, temos,
.
Isolando a velocidade em função do período, temos que
 
Substituindo na aceleração radial ou centrípeta, encontramos que,
FIGURA 22 – COMPONENTES TANGENCIAL E RADIAL DA ACELERAÇÃO 
TÓPICO 4 | MOVIMENTO CIRCULAR E ROTAÇÃO
45
A equação acima caracteriza um movimento circular uniforme. Em 
seguida, vamos apresentar um problema com aceleração centrípeta em uma 
estrada curva.
4 APLICAÇÕES
Vamos ver algumas aplicações dos conceitos abordados até aqui na forma 
de exemplos práticos. 
Exemplo 1 – O carro esportivo Aston Martin V8 Vantage possui “aceleração 
lateral” de 0,96g, o que equivale a (0,96)(9,8m/s2)= 9,4 m/s2. Isso representa a 
aceleração centrípeta máxima sem que o carro deslize para fora de uma trajetória 
circular. Se o carro se desloca a uma velocidade constante de 40m/s (89mi/h ou 
cerca de 144km/h), qual é o raio mínimo da curva que ele pode aceitar?
Solução:
Exemplo 2 – Um trem se desloca numa curva de raio 1000m com uma 
velocidade de 162km/h O trem desacelera e após 5s a velocidade do trem reduziu 
para 108km/h. Determine a aceleração logo após os freios terem sido acionados.
46
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
FONTE: Autora
Solução: Para determinar a aceleração do trem precisamos encontraras 
suas duas componentes, uma na direção tangente a curva e a outra na direção 
radial (aceleração centrípeta). Veja a figura a seguir.
FONTE: Autora
Vamos converter os valores das velocidades para o sistema internacional, 
dividindo os valores em km/h por 3,6 e obtê-los em m/s. Assim, encontramos v0 = 
45 m / s e v = 30 m / s.
Substituindo esses valores na definição de aceleração média, encontramos 
a aceleração tangencial,
Para encontrar a componente radial, utilizamos a definição de aceleração 
centrípeta,
FIGURA 23 – TREM SE DESLOCANDO NUMA CURVA 
FIGURA 24 – A ACELERAÇÃO E SUAS COMPONENTES 
TÓPICO 4 | MOVIMENTO CIRCULAR E ROTAÇÃO
47
FONTE: Autora
Com aceleração angular constante são válidas as expressões 
FIGURA 25 – DESLOCAMENTO DE UM PONTO MATERIAL PRESO A UM 
CORPO EM ROTAÇÃO COM ACELERAÇÃO ANGULAR CONSTANTE 
SOBRE UM EIXO FIXO
O vetor aceleração, em termos dos vetores unitários se torna 
e o seu módulo,
Para estudar o movimento circular de um ponto sobre um corpo rígido, 
em rotação ao redor de um eixo, considera-se o ângulo θ descrito ao redor do 
eixo de rotação num intervalo de tempo. Sobre o eixo podemos localizar o vetor 
velocidade angular ω e o vetor aceleração angular α, relacionados entre si como 
mostra a figura a seguir e as equações que seguem.
Do mesmo modo que podemos encontrar a velocidade linear v(t) de uma 
partícula derivando a função das posições x(t), e derivando x(t), mais uma vez 
encontramos a aceleração a(t). Nós podemos derivar a expressão θ(t) para obter a 
velocidade com que o ângulo varia e a sua aceleração através da segunda derivada 
de θ(t). Uma notação bastante utilizada para derivada primeira é um ponto sobre 
o símbolo da grandeza e dois pontos para segunda derivada.
48
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
Vamos ilustrar com o exemplo de um movimento considerando as 
direções r e θ.
Exemplo 3 – O braço AO da figura a seguir possui 1m de comprimento 
e gira ao redor do ponto O, definido pela relação , em que é dado em 
radianos e t em segundos. O cursor C desliza ao longo do braço dado pela relação 
r = 1 – 0,15 t2 em relação ao ponto O, em que r é dado em metros e t em segundos. 
Determine a velocidade e a aceleração do cursor após o braço ter girado 400.
FONTE: Autora
Solução: Sabendo que 1800 = π • rad, encontramos que 10 = 0,01745rad. 
Assim, temos que 400 = 0,698rad. Substituindo na expressão para , temos,
Tomando as expressões para e r substituímos t, assim de e 
temos,
 
FIGURA 26 – BRAÇO ARTICULADO EM O 
TÓPICO 4 | MOVIMENTO CIRCULAR E ROTAÇÃO
49
FONTE: Autora
A velocidade do cursor é dado em termos de e r,
5 ROTAÇÃO DE UM CORPO EXTENSO 
EM TORNO DE UM EIXO FIXO
Os pontos materiais que formam o corpo em rotação estão se deslocando 
em planos formados por circunferências com centros sobre uma reta fixa 
denominada eixo de rotação. Observe a figura a seguir.
FIGURA 27 – MOVIMENTO DO CURSOR E DIREÇÃO DOS VETORES 
UNITÁRIOS DAS DIREÇÕES e r 
A aceleração em termos de e r é dado por,
Devemos observar que a aceleração em relação ao movimento retilíneo do 
cursor C ao longo do braço AO é , ou seja de A para O.
50
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
A velocidade de rotação do eixo é denominada velocidade angular 
e está na direção do eixo. Podemos encontrar uma relação entre a velocidade 
escalar tangencial da partícula do corpo em movimento circular com a velocidade 
angular do eixo, escrevendo v = r , em que r é o raio da circunferência que dá a 
trajetória da partícula.
FONTE: Autora
FONTE: Autora
Um corpo extenso em rotação, como o da figura anterior, possui velocidade 
angular e aceleração angular α na direção do eixo de rotação. Tomando um 
ponto material qualquer do corpo, encontramos que sua aceleração é composta 
por duas componentes: a1 na direção tangencial e an na direção normal, que podem 
ser escritas em termos da velocidade angular e da aceleração angular como segue:
at = rα
an = r 2
FIGURA 28 – CORPO EXTENSO EM ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO 
FIGURA 29 – CORPO EXTENSO EM ROTAÇÃO EM TORNO DO EIXO 
z COM VELOCIDADE ANGULAR E ACELERAÇÃO ANGULAR α. E 
COM COMPONENTES a
1
 e a
n
 DA ACELERAÇÃO DE UM PONTO 
MATERIAL DO CORPO 
TÓPICO 4 | MOVIMENTO CIRCULAR E ROTAÇÃO
51
Definindo as equações de movimento de um corpo extenso em rotação em 
relação à coordenada em função da variável temporal, encontramos = 0+ 
• t, para o movimento de rotação uniforme com α = 0, e 
FONTE: Autora
Solução: (a) Como o cabo é inextensível, a velocidade do ponto C é igual 
à do ponto B e a componente tangencial da aceleração no ponto C é igual à 
aceleração do ponto B.
Assim, encontramos que e o raio é 0,07m. Podemos 
determinar a aceleração angular e a velocidade angular inicial:
FIGURA 30 – POLIA COM PESO
para o movimento de rotação uniformemente acelerado, com α = cte , ou 
seja, aceleração angular constante.
Exemplo 4 – Um peso A está ligado a uma polia dupla pelo cabo inextensível 
mostrado na figura a seguir. O movimento da polia é controlado pelo cabo B, que 
possui aceleração constante de 0,316m / s2 e uma velocidade inicial de 0,332m / s, 
ambas para a direita. Determinar: (a) o número de revoluções executadas pela 
polia em 3s, (b) a velocidade e a variação da posição do peso A depois de 3s e (c) 
a aceleração do ponto C na periferia da polia interna, no instante inicial.
52
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
Utilizando, agora, as equações de movimento com t = 3s , obtemos:
Cada revolução tem uma coordenada angular de 2 . π . rad, portanto, o número 
total de revoluções é a relação entre a coordenada angular e 2 . π . rad. Assim:
FONTE: Autora
(c) Podemos encontrar a componente normal da aceleração no ponto C, 
utilizando a relação:
FIGURA 31 – AS COMPONENTES DA ACELERAÇÃO DE UM PONTO DA 
POLIA, E GRANDEZAS LINEARES DO CORPO A
(b) Utilizando as relações entre os movimentos angular e linear, com r = 
0,12 m, encontramos a velocidade e o deslocamento do corpo A:
TÓPICO 4 | MOVIMENTO CIRCULAR E ROTAÇÃO
53
FONTE: Autora
Encontramos, neste tópico, as relações entre as grandezas para os móveis 
em movimento circular e o movimento de rotação de corpos extensos, encerrando 
nossa discussão sobre cinemática. 
Na próxima Unidade, entramos no estudo da Dinâmica e veremos 
algumas aplicações das leis de Newton. Antes, porém, vamos relembrar alguns 
conceitos que foram abordadas no Caderno da disciplina de Física Geral. Logo em 
seguida, iniciamos o estudo da dinâmica e, por último, na Unidade 3, abordamos 
a Estática e suas aplicações na Engenharia.
Agora, utilizando a componente tangencial juntamente com esse resultado, 
encontramos:
, cuja direção é dada por:
ANÁLISE DO MOVIMENTO PLANO EM FUNÇÃO DE UM 
PARÂMETRO
Ferdinand Pierre Beer
No caso de certos mecanismos, é possível exprimir as coordenadas x e 
y de todos os seus pontos principais através de expressões analíticas simples 
contendo um único parâmetro. Pode tornar-se vantajoso, neste caso, determinar 
diretamente a velocidade e a aceleração absolutas de diversos pontos do 
FIGURA 32 – ACELERAÇÃO E SUAS COMPONENTES
LEITURA COMPLEMENTAR
54
UNIDADE 1 | CINEMÁTICA
mecanismo, uma vez que suas componentes podem ser obtidas derivando-se as 
coordenadas x e y desses pontos.
Considerando-se a barra AB, cujas extremidades deslizam nas guias 
horizontal e vertical (Figura acima), as coordenadas xA e xB das extremidades da 
barra podem ser expressas em função do ângulo formado pela barra com a vertical
Derivando as equações (1) duas vezes em relação a t, obtemos:
Lembrando que , obtemos:
Observamos que um valor positivo de vA ou aA indica que a velocidade 
 ou a aceleração está dirigida para a direita, e um valor positivo de vB ou aB 
indica que ou está dirigida para cima.As equações (4) podem ser usadas, 
por exemplo, para determinar vB e , quando vA e são conhecidas. Substituindo 
o valor de na (5), podemos determinar aB e α se aA for conhecido.
FONTE: BEER, Ferdinand Pierre. Mecânica vetorial para engenheiros. 5 ed. São Paulo: Makron 
Books, 1994, p. 447-448.
Na próxima Unidade, entramos no estudo da Dinâmica e veremos algumas 
aplicações das leis de Newton. Antes, porém, vamos relembrar alguns conceitos que foram 
abordadas no Caderno da disciplina de Física Geral. Logo em seguida, iniciaremos o estudo 
da Estática.
UNI
55
RESUMO DO TÓPICO 4
Neste tópico, você teve oportunidade de estudar importantes assuntos 
de Física, cujo resumo apresentamos a seguir:
• O movimento circular da partícula e seu deslocamento angular.
• Que a aceleração é composta pelas componentes na direção tangencial e radial.
• Encontramos o período como sendo o tempo necessário para uma volta 
completa.
• Mostramos algumas aplicações práticas dos conceitos apresentados.
• Estudamos as equações que regem o movimento de rotação de um corpo 
extenso, segundo suas principais grandezas.
56
AUTOATIVIDADE
Para exercitar os conhecimentos adquiridos, resolva as questões a seguir:
1 Um ciclista, correndo a 10m/s, contorna uma curva com um raio de 25m. 
Qual é o módulo da sua aceleração?
2 Um bloquinho A repousa sobre uma placa horizontal que gira em torno de um 
eixo fixo em O. A placa parte do repouso em t = 0 e acelera à razão constante 
de 0,5 rad/s2. Sabendo que r = 0,2m, determine o módulo da aceleração total 
do bloco, quando (a) t = 0, (b) t = 1s e (c) t = 2s. Situação apresentada na figura 
a seguir.
FONTE: Autora
3 Uma fita de computador move-se entre dois tambores. Durante um intervalo 
de 3s , a velocidade da fita aumenta uniformemente de v0 = 0,620m / s a v1 
= 1,54m / s. Sabendo que a fita não escorrega nos tambores, determine (a) a 
aceleração angular do tambor B e (b) a número de revoluções executadas pelo 
tambor B durante esse intervalo de tempo.
FONTE: Autora
FIGURA 33 – PLACA GIRATÓRIA 
FIGURA 34 – FITA DE COMPUTADOR 
57
4 Calcule o valor mínimo do raio de uma curva, se a componente normal da 
aceleração de um carro a 26,8 m/s não puder exceder 0,762m/s2?
5 Um jogador de golfe lança uma bola a partir da origem com uma velocidade 
inicial de 50 m/s e um ângulo de 25 graus com a horizontal. Determine o 
raio de curvatura da trajetória descrita pela bola no ponto mais alto da 
trajetória. R. 209,3 m.
6 Para testar seu desempenho, um carro é dirigido ao redor de uma pista 
circular de teste de diâmetro d. Determine o valor de d quando a velocidade 
escalar do carro for de 72km/h, e seu componente normal da aceleração for 
de 3,2 m/s2. Determine a velocidade escalar do carro. 
58
59
UNIDADE 2
DINÂMICA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta Unidade, você estará apto a:
• relembrar os conceitos de massa e força;
• definir quantidade de movimento e momento angular;
• conceituar força a partir da quantidade de movimento e lembrar algumas 
forças especiais;
• estudar sistemas de forças, momentos e binários;
• analisar a dinâmica do corpo rígido através de suas equações de movimento;
• analisar o movimento do OHS (oscilador harmônico simples).
Esta Unidade está dividida em quatro tópicos, sendo que em cada um 
deles, você encontrará atividades que lhe ajudarão a fixar os conheci-
mentos adquiridos.
TÓPICO 1 – DINÂMICA
TÓPICO 2 – SISTEMAS DE FORÇAS, MOMENTOS E BINÁRIOS
TÓPICO 3 – DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO E EQUAÇÕES DE MOVI-
MENTO
TÓPICO 4 – VIBRAÇÕES MECÂNICAS
60
61
TÓPICO 1
DINÂMICA
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Na unidade anterior, começamos a estudar como os corpos se movimentam. 
Preocupamo-nos apenas em descrever o movimento sem incluir a sua causa. 
Podemos, no entanto, ir mais além. Sabemos que se liberarmos um corpo de certa 
altura da superfície da Terra ele cai, e que essa queda é devida à força gravitacional, 
por que, então, o satélite permanece na órbita sem cair sobre a Terra? Na verdade, 
tudo depende da sua velocidade que deve levar a força centrípeta tal que equilibre a 
força gravitacional e torne a aceleração na direção radial nula. O que é preciso fazer 
para parar um trem? Por que as rodas dos pneus se desgastam? Como é possível 
garantir segurança na construção de brinquedos de um parque de diversões? O 
que significa ser capaz de compensar uma força ou suplantá-la?
 
Para responder essas e outras perguntas precisamos definir algumas 
grandezas físicas como massa, força, quantidade de movimento e momento 
angular.
2 MASSA
Grandeza escalar m associada à quantidade de matéria de um corpo 
extenso ou ponto material de tal maneira que, quanto maior a massa de um corpo, 
maior a sua inércia.
Quando pesamos os corpos na Terra e os levamos para a Lua percebemos 
que eles são mais leves na Lua. Isso acontece porque a força atrativa da Lua é 
menor do que a da Terra. Ou seja, a atração da Terra é maior porque possui uma 
quantidade maior de massa. Outra coisa interessante é o fato de que corpos com 
massas diferentes caem com a mesma aceleração em queda livre. Acredita-se 
que Galileu comprovou isso experimentalmente quando jogou duas pedras, de 
pesos diferentes, do alto da torre Pisa e elas caíram aproximadamente juntas, 
contrariando completamente o que se pensava na época. Isso vem do fato de que 
a força aumenta na mesma proporção de aumento da massa. Ou seja, se a massa 
é maior a força sobre ela também é maior,
 
UNIDADE 2 | DINÂMICA
62
Fornecendo assim uma aceleração constante no caso da interação 
gravitacional.
Pense no seguinte, quando tomamos uma pedra maior solicitamos mais 
força para erguê-la, isso ocorre porque a força atrativa entre as duas massas (a 
pedra e a Terra) também é maior. A força que temos que fazer para pegar uma 
pedra maior é a mesma força que a Terra tem que fazer para atrair a pedra para 
ela. Galileu conseguiu mostrar que todos os corpos em queda livre (livre de forças 
opostas a queda) caem com a mesma aceleração,
 
Na equação acima podemos observar que a massa é a razão entre a força 
gravitacional Fg e a aceleração da gravidade g, que na Terra (nível do mar) vale g 
= 9,81m/s2.
A força de atração gravitacional é diretamente proporcional ao produto 
das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas, 
sendo que o fator de proporcionalidade é a constante gravitacional G = 6,6724x10-
11N.m2/kg2. Assim, para as massas M e m separadas pela distância r, temos
 
3 MOMENTO LINEAR OU QUANTIDADE DE 
MOVIMENTO
Imagine dois corpos vindo em sua direção, ambos com uma velocidade 
de 3 m/s. Um dos corpos é uma bola de tênis e o outro é um caminhão. Se você 
tivesse que escolher qual deles colidiria com você, certamente, a resposta seria 
a bola de tênis. Você tem uma definição intuitiva sobre qual deles tem a maior 
quantidade de movimento. A Grandeza Vetorial, que mede a quantidade de 
movimento de cada um desses corpos, é denominada momento linear e é dada 
pela expressão , em que m é a massa e a velocidade com a qual o corpo 
está se movendo. A unidade do momento linear no SI é o kg.m/s.
Em um sistema isolado e fechado, quando a força resultante sobre o 
sistema é nula, a quantidade de movimento se conserva e é dada pela expressão 
, ou seja, a quantidade de movimento antes é igual à quantidade de 
movimento depois.
Imagine dois corpos vindo em sua direção, ambos com uma velocidade 
de 3 m/s. Um dos corpos é uma bola de tênis e o outro é um caminhão. Se você 
TÓPICO 1 | DINÂMICA
63
tivesse que escolher qual deles colidiria com você, certamente, a resposta seria 
a bola de tênis. Você tem uma definição intuitiva sobre qual deles tem a maior 
quantidade de movimento. A Grandeza Vetorial,que mede a quantidade de 
movimento de cada um desses corpos, é denominada momento linear e é dada 
pela expressão , em que m é a massa e a velocidade com a qual o corpo 
está se movendo. A unidade do momento linear no SI é o kg.m/s.
Em um sistema isolado e fechado, quando a força resultante sobre o 
sistema é nula, a quantidade de movimento se conserva e é dada pela expressão 
, ou seja, a quantidade de movimento antes é igual à quantidade de 
movimento depois.
Exemplo 1 – Uma caixa com massa m = 6,0kg desliza com velocidade v = 
4,0m / s em um piso sem atrito no sentido positivo de um eixo x. Repentinamente, 
ela explode em dois pedaços. Um pedaço de massa m1 = 2,0kg se desloca no sentido 
positivo do eixo x com velocidade v1 = 8,0m / s. Qual a velocidade v2 do segundo 
pedaço de massa m2 ?
Solução: utilizando o princípio de conservação temos:
 
Onde: O m2 = 6,0 - 2,0 = 4,0kg.
Exemplo 2 – Um satélite artificial está em órbita circular de 1440 km sobre 
a superfície de Vênus. O peso do satélite foi determinado como sendo 1800N antes 
de ser lançado da Terra. Determine a intensidade da quantidade de movimento 
linear do satélite sabendo que sua velocidade escalar orbital é de 13,2x103 km/h.
Solução: Da tabela 2 da Unidade 1, tomamos o fator de conversão para as 
velocidades, 1 km/h = 0,2778 m/s, e encontramos a massa pela equação na seção 2,
 
 
 
UNIDADE 2 | DINÂMICA
64
Sendo que a aceleração da gravidade na Terra vale 9,81m/s.
A quantidade de movimento pode ser determinada como segue,
 
Vamos supor um corpo como, por exemplo, uma placa rígida em 
movimento plano. Olhe para a figura a seguir. A placa é constituída por n pontos 
materiais Pi de massas e o momento angular L da placa em relação ao seu 
centro de massa G pode ser calculado tomando-se os momentos em relação a G 
das quantidades de movimento dos pontos materiais em relação ao referencial 
Gxy. Assim, , onde é o vetor posição e é a quantidade 
de movimento do ponto Pi em relação ao referencial.
4 MOMENTO ANGULAR
FONTE: Autora
Podemos escrever a expressão acima em termos de suas grandezas 
angulares, lembrando que , uma vez que o ponto considerado executa 
um movimento de rotação ao redor do referencial considerado, de modo que a 
expressão citada se torna, , onde é o 
momento de inércia e a velocidade angular. 
As deduções demonstradas aqui são válidas para todos os corpos 
simétricos. Calculando a derivada do momento angular, temos um vetor na 
direção e sentido da aceleração angular , ou seja, perpendicular à placa .
FIGURA 35 – PLACA EM MOVIMENTO NO PLANO xy 
TÓPICO 1 | DINÂMICA
65
Quando uma partícula se move sobre a ação de uma única força dirigida 
para um ponto fixo (ponto central), dizemos que a partícula está sob a ação de 
uma força central e o seu momento angular L0 se conserva,
Onde φ é o ângulo entre o raio (distância do ponto central até a partícula) 
e a velocidade linear da partícula. Olhe a figura a seguir, o ponto de origem dos 
componentes da velocidade, onde a partícula se encontra, está a uma distância r do 
ponto central. O ângulo φ é o ângulo entre o vetor r e o vetor velocidade v tangente 
à curva. O ângulo θ é o ângulo entre a linha horizontal e a linha que contém r.
FONTE: Autora
No movimento orbital dos planetas e satélites, a força central F é a atração 
gravitacional,
FIGURA 36 – UMA PARTÍCULA SE DESLOCANDO COM VELOCIDADE v 
SOBRE A CURVA A UMA DISTÂNCIA R ATÉ O CENTRO DE FORÇA
Quando a órbita é circular, devemos lembrar que a aceleração dirigida 
para o centro é a aceleração radial (centrípeta) que pode ser calculada através da 
velocidade tangente à órbita,
Da equação apresentada na seção 2, quando definimos a massa, podemos 
escrever que
UNIDADE 2 | DINÂMICA
66
E igualar as duas expressões para a força,
FONTE: Autora
FIGURA 37 – SATÉLITE EM ÓRBITA SE APROXIMANDO DA ALTITUDE MÁXIMA NO PONTO “A” 
(MAIS AFASTADO DA TERRA). NO PONTO “A” O Ângulo φ ENTRE A DISTÂNCIA DO CENTRO 
DA TERRA E A VELOCIDADE TANGENTE A TRAJETÓRIA É IGUAL A 900 
Nas órbitas elípticas, o raio e a velocidade são perpendiculares entre si 
(sen900 = 1) em dois pontos, o mais afastado A e o mais próximo P ao centro de 
força. Assim, podemos escrever,
Exemplo3: Um satélite é lançado em uma direção paralela à superfície da 
Terra com uma velocidade de 30112 km/h de uma altitude de 384 km. Determine 
a velocidade do satélite quando ele atinge sua altitude máxima de 3774 km. 
Recorde-se que o raio da terra é de 6370 km. (BEER; JOHNSTON JR, 2006).
Solução: A situação está ilustrada na figura a seguir. Como o satélite está 
se movendo sob a ação de uma força central dirigira para o centro da Terra, seu 
momento angular é constante, temos
TÓPICO 1 | DINÂMICA
67
5 FORÇA
A Grandeza Vetorial , que associa a interação entre os corpos ou partículas 
e se caracteriza pelo seu ponto de aplicação, intensidade, direção e sentido. A 
força é dada pela taxa de variação do momento linear, assim escrevemos,
FONTE: Autora
Num sistema com “n” forças atuando, pode-se encontrar um sistema 
equivalente com uma única força que é a soma de todas as forças. Tal força é 
denominada força resultante,
 
FIGURA 38 – TRAJETÓRIA (FORÇAS APLICADAS EM DIFERENTES CORPOS E DIFERENTES 
PONTOS) 
onde m é a massa em kg e a é a aceleração em m/s2.
Observe na figura a seguir algumas forças sendo aplicadas em diferentes 
corpos e diferentes pontos de aplicação.
UNIDADE 2 | DINÂMICA
68
6 FORÇAS ESPECIAIS
Em muitos dos nossos problemas encontramos envolvidas sempre as 
mesmas forças que estão presentes na natureza e obrigatoriamente precisam ser 
consideradas. Embora o acadêmico já tenha trabalhado com elas exaustivamente 
na disciplina de Física Geral, vale a pena lembrar, aqui, suas definições, uma vez 
que serão amplamente utilizadas na disciplina de Mecânica.
6.1 FORÇA GRAVITACIONAL
Vamos localizar o nosso sistema referencial no solo, sobre a superfície da 
Terra. Embora a Terra esteja em movimento, nós o desconsideramos e dizemos 
que o sistema de referência se encontra em repouso. Vamos desprezar também a 
resistência do ar, de modo que um objeto largado próximo à superfície da Terra 
executa um movimento de queda livre, sujeito apenas à aceleração da gravidade 
, como o da figura a seguir.
FONTE: Autora
Pelo princípio fundamental, ou segunda lei de Newton, temos que a força 
é proporcional à aceleração através da seguinte expressão .
Substituindo a aceleração pela aceleração da gravidade , 
levando em conta o fato desta aceleração apontar no sentido decrescente do eixo 
y, encontramos que em notação de vetor unitário, ou simplesmente na 
forma vetorial .
FIGURA 39 – CORPO EM QUEDA LIVRE PRÓXIMO À SUPERFÍCIE DA TERRA
TÓPICO 1 | DINÂMICA
69
Mas esta força continua atuando mesmo que o corpo esteja parado em algum 
ponto próximo da superfície, de modo que deve haver uma força equilibrando a 
força gravitacional para que a resultante seja nula. Assim, utilizando o princípio 
de inércia ou primeira lei de Newton, temos:
FR = 0
P – Fg = 0
P = Fg
Portanto, podemos afirmar que o módulo da força peso P sempre é igual 
ao módulo da força gravitacional Fg.
6.2 FORÇA NORMAL
Quando um corpo como o da figura a seguir se encontra apoiado sobre 
uma superfície, ele pressiona esta superfície, deformando-a. Esta deformação não 
pode ser percebida em corpos rígidos, mas, mesmo assim, ela continua existindo. 
Ao mesmo tempo, a superfície deformada empurra o corpo de volta com uma 
força normal N, perpendicular ao apoio.
FONTE: Autora
Utilizando o princípio fundamental e aplicando o princípio de inércia na 
direção vertical y, encontramos que:
FIGURA 40 – BLOCO APOIADO SOBRE UMA MESA 
Substituindo Fg pela sua definição e rearranjando os termos da equação, temos:
UNIDADE2 | DINÂMICA
70
Ou seja, o módulo da força normal N (da mesa sobre o corpo) é igual ao 
módulo da força gravitacional Fg (do corpo sobre a mesa). Observe se a mesa estiver 
dentro de um elevador e este estiver subindo aceleradamente N = m(g + a) pois Fr = 
ma e não Fr = 0. Se o elevador estiver descendo aceleradamente N = m(g - a).
6.3 FORÇA DE TRAÇÃO
A força de tração T está associada a corpos puxados por cordas, como é o 
caso da pedra na extremidade da corda na figura a seguir. Quando a corda está 
sob tensão, cada extremidade sente um puxão que se estende ao longo da corda. A 
força com que o homem segura a corda é, em módulo, a mesma que segura a pedra.
FONTE: Disponível em: <http://www.puc-rio.br/vestibular/
repositorio/provas/2002/fisi_d1.html>. Acesso em: 30 jul. 2008
Exemplo 4 – A extremidade de um pêndulo de 2 m de comprimento 
descreve um arco de circunferência em um plano vertical. Se a tração da corda é 
2,5 vezes o peso do pêndulo para a posição mostrada, encontre a velocidade e a 
aceleração do pêndulo nessa posição. (BEER; JOHNSTON JR, 2006).
FONTE: Autora
FIGURA 41 – PEDRA PUXADA POR MEIO DE UMA CORDA 
FIGURA 42 – PÊNDULA NA EXTREMIDADE DA CORDA
TÓPICO 1 | DINÂMICA
71
6.4 FORÇA DE ATRITO
Você já notou que, quando tenta mudar um móvel de lugar, o esforço que 
tem que fazer para iniciar o movimento é bem maior do que para mantê-lo? Isso 
se deve às forças de coesão entre as moléculas do móvel e da superfície de apoio 
que permanecem ligadas microscopicamente por uma espécie de soldagem a frio. 
Uma vez rompida essa soldagem, o corpo desliza com mais facilidade sobre a 
superfície de apoio.
Todos os corpos possuem asperezas em maior ou menor grau, que são 
responsáveis por uma força de resistência contrária ao movimento. Essa força que 
aparece quando um corpo é arrastado sobre outro é chamada de força de atrito FA . 
Podemos definir o atrito como sendo a resistência de contato exercida 
por um corpo sobre o outro quando este se move ou tende a se mover com 
Solução: O peso do pêndulo é mg; a tração na corda é, portanto, 2,5mg. 
Recordando que an é dirigido para o centro e at como mostrado na figura anterior, 
podemos escrever,
FONTE: Autora
Observação Importante: Na demonstração do exemplo, nos baseamos no 
fato de que o vetor mg pode ser decomposto em seus componentes ortogonais 
através das relações trigonométricas do triângulo retângulo. 
FIGURA 43 – COMPONENTES DAS FORÇAS E DAS ACELERAÇÕES
UNIDADE 2 | DINÂMICA
72
relação ao outro. Nas máquinas, o atrito pode tanto ser uma vantagem quanto 
uma desvantagem, ele é essencial para vários dispositivos em que há ligação ou 
fixação, já quando provoca o desgaste ou perda de potência o atrito é indesejável.
A força de atrito pode ser de duas espécies: a força de atrito estática FAB , 
que ocorre quando empurramos um corpo sobre uma superfície sem que este se 
mova e a força de atrito dinâmica FAD , que ocorre quando o corpo já se encontra 
em movimento. Essas forças são diretamente proporcionais à compressão sofrida 
pela superfície representada pela força normal N e ao seu grau de aspereza 
representado pelo coeficiente de atrito estático e dinâmico, e . Assim, 
podemos escrever as seguintes expressões para a força de atrito estática e a força 
de atrito dinâmica, respectivamente:
Nos projetos de engenharia, procura-se utilizar materiais com pequeno 
coeficiente de atrito para minimizar o desgaste e melhorar a eficiência das 
engrenagens, evitando boa parte da perda do rendimento nas máquinas.
Exemplo 5 – Um caminhão transporta um bloco de ferro de 3,0 t 
, trafegando horizontalmente e em linha reta, com velocidade constante. 
O motorista vê o sinal ficar vermelho e aciona os freios, aplicando uma 
desaceleração constante de valor 3,0 m/s2. O bloco não escorrega. O coeficiente 
de atrito estático entre o bloco e a carroceria é 0,40. Adote g = 9,8 m/s2. a) Qual 
a intensidade da força de atrito que a carroceria aplica sobre o bloco, durante a 
desaceleração? b) Qual a máxima desaceleração que o caminhão pode ter para 
o bloco não escorregar? (1 tonelada = 1000 kg) .
a) Utilizando o princípio fundamental da dinâmica, encontramos:
b) A máxima aceleração pode ser encontrada calculando-se a força de 
atrito estático máxima:
Aplicando esse resultado no princípio fundamental encontramos:
TÓPICO 1 | DINÂMICA
73
Ou podemos resolver o problema independente da massa, da maneira 
que segue,
FONTE: Autora
Solução: O carro percorre uma trajetória horizontal de raio r. A componente 
normal da aceleração é dirigida para o centro da trajetória. O peso do carro é mg. 
Como nenhuma força de atrito lateral deve ser exercida sobre o carro, a reação N 
da estrada é mostrada perpendicularmente à estrada,
FIGURA 44 – CARRO NUM DECLIVE
Exemplo 6 – Determine a velocidade de segurança calculada para uma 
curva de rodovia de raio 120 m, inclinada de um ângulo de 180. A velocidade de 
segurança calculada de uma curva com declive de uma rodovia é a velocidade 
escalar na qual um carro deve trafegar sem que nenhuma força de atrito lateral seja 
exercida em suas rodas. (BEER; JOHNSTON JR, 2006).
UNIDADE 2 | DINÂMICA
74
 
 
6.5 FORÇA ELÁSTICA
Observando-se o comportamento mecânico de uma mola, descobriu-se 
que as deformações elásticas obedecem a uma lei muito simples. Verificou-se que, 
quanto maior o peso de um corpo suspenso a uma das extremidades de uma mola 
(cuja outra extremidade está fixa no suporte), maior é a deformação sofrida pela 
mola. Analisando outros sistemas elásticos, o físico inglês R. Hooke verificou que 
existe sempre uma proporcionalidade entre a força de restituição e a deformação 
elástica produzida. Com base nessas observações, encontramos uma lei geral 
conhecida como a lei de Hooke para essa força de restituição: .
O fator k, que é característico da mola considerada, é denominado 
constante da mola.
75
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico, você teve oportunidade de estudar importantes aspectos 
da Física, conforme resumo que é apresentado a seguir:
• Definimos quantidade de movimento como sendo o produto da massa com 
a velocidade do corpo.
• Definimos também o momento angular L de um corpo em relação ao seu 
centro de massa G.
• Deduzimos uma equação para a força, a partir da taxa de variação do momento 
linear.
• Relembramos algumas forças especiais já estudadas na disciplina de Física 
Geral.
76
AUTOATIVIDADE
Para melhor entendimento do estudo deste tópico, procure resolver as 
questões a seguir:
1 Um bloco com massa m = 8,0kg desliza com velocidade v = 4,0m/s em um 
piso sem atrito, no sentido positivo de um eixo x. Repentinamente, ele se 
parte em dois pedaços. Um pedaço, de massa m1 = 2,0kg, se desloca no 
sentido positivo do eixo x com velocidade v1 = 8,0m/s. Qual a velocidade do 
segundo pedaço, de massa m2?
2 Duas forças horizontais atuam sobre um corpo de 2,0kg que pode deslizar 
sobre uma superfície sem atrito, que está posicionado no plano xy. Uma 
força é . Encontre a aceleração do corpo na notação 
vetor unitário quando a outra força for .
3 Sobre as forças de atrito, é incorreto afirmar:
a) ( ) A força de atrito cinético sempre será menor que o atrito estático.
b) ( ) A força de atrito estático varia para anular a resultante das forças em 
um corpo, tendo como limite máximo o valor quando esta força for igual a 
“µestático.N”.
c) ( ) A força de atrito cinético é constante para qualquer força aplicada 
quando há movimento relativo entre os corpos.
d) ( ) Para aplicações de engenharia sempre se deseja materiais com menores 
coeficientes de atrito, para melhorar eficiência de engrenagens e reduzir 
desgastes, responsáveis por boa parte da perda de rendimento em máquinas. 
Não há aplicação em engenharia de materiais com elevado atrito.
4 Um bloco de 80km repousasobre um plano horizontal. Obtenha a 
intensidade da força R capaz de comunicar ao bloco uma aceleração de 2,5 
m/s2 para a direita. O coeficiente de atrito entre o bloco e o plano é µ = 0,25.
5 Consideremos uma corda elástica, cuja constante vale 10 N/cm. As 
deformações da corda são elásticas até uma força de tração de intensidade 
300N e o máximo esforço que ela pode suportar, sem romper-se, é de 
500N. Se amarramos um dos extremos da corda em uma árvore e puxarmos 
o outro extremo com uma força de intensidade 300N, a deformação será de 
30cm. Se substituirmos a árvore por um segundo indivíduo que puxe a 
corda também com uma força de intensidade 300N, podemos afirmar que:
a) a força de tração será nula;
b) a força de tração terá intensidade 300N e a deformação será a mesma do 
caso da árvore;
c) a força de tração terá intensidade 600N e a deformação será o dobro do caso 
da árvore;
77
d) a corda se romperá, pois a intensidade de tração será maior que 500N;
e) n. d. a. 
6 a) Calcule a aceleração adquirida pelo pêndulo na direção tangente à 
trajetória, sabendo que a massa da esfera é de 0,5 kg e o ângulo formado com 
a vertical é de 300. b) Supondo que a resultante de forças é nula na direção 
que une a esfera ao ponto onde a corda está fixada, calcule a tração na corda.
FONTE: Autora
7 O valor da aceleração da gravidade em qualquer latitude φ é dado por g 
= 9,7087(1+0,0053sen2φ)m/s2, onde o efeito da rotação da Terra e também o 
fato de que a Terra não é esférica foram levados em conta. Sabendo que a 
massa de uma barra de ouro foi oficialmente definida como 2 kg, determine 
até 4 casas significativas sua massa em quilogramas e seu peso em newtons 
a uma altitude de (a) 00, b) 450 e c) 600. (BEER; JOHNSTON JR, 2006).
8 A massa de 6 kg abaixo é submetida a duas forças F de 80 N formando 
um ângulo θ de 300-com o eixo vertical. Calcule a aceleração do corpo na 
direção vertical.
FONTE: Autora
FIGURA 45 – PÊNDULO SIMPLES
FIGURA 46 – CORPO SUBMETIDO A DUAS FORÇAS 
APLICADAS
78
79
TÓPICO 2
SISTEMAS DE FORÇAS, 
MOMENTOS E BINÁRIOS
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Até agora tratamos o corpo como uma partícula, tal aproximação nem 
sempre é possível, muitas vezes precisamos ter em mente que o corpo, na 
verdade, é uma combinação de um grande número de partículas. Muitas vezes é 
importante considerar as dimensões do corpo e apontar as forças que atuam em 
diferentes pontos de aplicação. Para o nosso estudo, vamos empregar apenas os 
corpos que não se deformam, conhecidos como corpos rígidos.
Vamos mostrar, nesse tópico, que sempre podemos encontrar um sistema 
equivalente de forças que representa todas as forças atuantes no corpo. Veremos 
também o momento de uma força em relação a um ponto e em relação a um 
eixo, associados ao efeito de uma força sobre um corpo rígido. Veremos também 
o conceito de binário associado a duas forças de mesma intensidade, sentidos 
opostos e que atuam em linhas de ação paralelas.
2 FORÇAS EXTERNAS E INTERNAS
As forças podem ser classificadas em dois tipos, forças externas e 
forças internas. As forças externas atuam externamente no corpo e podem ser 
classificadas em forças de ação que podem atuar em qualquer ponto do corpo 
como, por exemplo, uma carga sobre uma viga, e as forças de reação que surgem 
em determinados pontos do corpo como, por exemplo, os apoios. A reação é 
consequência de uma ação e não pode ser calculada independentemente. As 
forças internas são as solicitações que o corpo rígido sofre e são responsáveis por 
manterem todos os pontos materiais do corpo unidos.
UNIDADE 2 | DINÂMICA
80
3 MOMENTO DE UMA FORÇA
O produto vetorial de uma força com o vetor posição perpendicular do 
ponto de aplicação da força em relação a um ponto O, denominado polo, é chamado 
de momento polar M, sendo esta grandeza um vetor com módulo, direção e sentido. 
Observe a figura a seguir. O vetor momento provoca um giro com determinado 
sentido em relação ao polo considerado. Possui direção perpendicular ao plano 
formado pela força e pelo vetor posição perpendicular .
FONTE: Autora
Pode-se representar o sentido do momento no plano através de uma 
convenção de sinais adotando + ou – de acordo com a nossa escolha. Veja sugestão 
na figura a seguir.
FONTE: Autora
A unidade do momento é o Newton metros (Nm).
4 SISTEMAS EQUIVALENTES DE FORÇAS
Chamamos de sistema de forças o conjunto de forças que atuam 
simultaneamente sobre um corpo. Sistema equivalente é o sistema de forças 
que obedece ao princípio de transmissibilidade. Este princípio estabelece que 
o movimento de um corpo rígido permanece inalterado se uma força que atua 
FIGURA 47 – MOMENTO DE UMA FORÇA 
FIGURA 48 – SENTIDOS: POSITIVO E NEGATIVO DO MOMENTO
TÓPICO 2 | SISTEMAS DE FORÇAS, MOMENTOS E BINÁRIOS
81
sobre um dado ponto for substituída por uma força de mesmo módulo, direção 
e sentido que atua em outro ponto do corpo, desde que esteja situada na mesma 
linha de ação. Observe a figura a seguir. Tais forças são denominadas equivalentes, 
pois produzem o mesmo efeito sobre o corpo.
FONTE: Autora
5 BINÁRIO
Quando um sistema é composto por duas forças paralelas de módulos 
iguais, mas sentidos opostos, a resultante de forças é nula, mas existe um momento 
polar resultante de módulo igual ao produto da força pela distância entre as duas 
direções paralelas. Tal sistema é denominado binário. Veja figura a seguir.
FONTE: Autora
Dizemos que dois binários são equivalentes quando possuem o mesmo 
momento polar resultante. Veja figura a seguir.
FONTE: Autora
FIGURA 49 – PRINCÍPIO DE TRANSMISSIBILIDADE 
FIGURA 50 – BINÁRIO 
FIGURA 51 – EQUIVALÊNCIA DE BINÁRIOS 
UNIDADE 2 | DINÂMICA
82
Observe na figura anterior que os dois binários possuem o mesmo 
momento polar resultante:
6 PRINCÍPIO DE D´ALEMBERT
O princípio de d´Alembert afirma que as ações e as reações internas de 
um corpo rígido em movimento estão em equilíbrio. Isso significa que as forças 
externas que atuam no corpo são equivalentes às forças efetivas sobre os vários 
pontos materiais que formam o corpo rígido. Podemos representar esse resultado 
através de um vetor resultante , com origem no centro de massa G, e um 
momento binário M, como podemos visualizar na figura a seguir.
FONTE: Autora
7 REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE 
FORÇAS A UM PONTO
Sempre podemos reduzir um sistema de forças qualquer a um sistema 
formado por uma resultante e um momento polar resultante em um ponto 
escolhido arbitrariamente.
FONTE: Autora
FIGURA 52 – PRINCÍPIO DE D´ALEMBERT 
FIGURA 53 – SISTEMA DE FORÇAS
TÓPICO 2 | SISTEMAS DE FORÇAS, MOMENTOS E BINÁRIOS
83
Vamos reduzir o sistema de forças, da figura a seguir, no ponto A. Para 
tanto, encontramos a resultante somando todas as forças que atuam no sistema 
FONTE: Autora
Exemplo 1 – Encontrar o momento resultante no ponto P da figura a seguir.
Solução: 
Precisamos das distâncias perpendiculares do ponto onde a força é 
aplicada até o ponto P. Assim,
FIGURA 54 – REDUÇÃO DE SISTEMA DE FORÇAS A UM PONTO 
FONTE: A autora
FIGURA 55 – FORÇA DE 520 N APLICADA EM “A”. TRIÂNGULO RETÂNGULO E SUAS RELAÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS
Agora, encontramos o momento resultante 
Procedemos, agora, da mesma maneira em relação ao ponto B 
 
O resultado é o sistema ilustrado na figura a seguir.
2 2 2
tan
cos
 
 
 
hip cat cat
catopx
catad
catopsen x
hip
catadx
hip
= +
=
=
=
2 2 2
tan
cos
 
 
 
hip cat cat
catopx
catad
catopsen x
hip
catadx
hip
= +
=
=
=
2 2 2
tan
cos
 
 
 
hip cat cat
catopx
catad
catopsen x
hip
catadx
hip
= +
=
=
=
2 2 2
tan
cos
 
 
 
hip cat cat
catopx
catad
catopsen x
hip
catadx
hip
= +
=
=
=UNIDADE 2 | DINÂMICA
84
Encontramos as coordenadas x e y do ponto P a origem no ponto 0.
Agora, precisamos dos componentes ortogonais da força, para determiná-
los encontramos a direção do vetor de 520 N,
 
Os componentes ortogonais da força
 
Inserindo esses resultados na expressão para o momento resultante, temos
Onde as flechas indicam ↓ sentido horário (-) e ↑ sentido anti-horário (+).
Exemplo 2 – Encontrar a distância d, na figura a seguir para que o momento 
resultante, em relação a qualquer ponto seja de 330Nm no sentido anti-horário.
FONTE: A autora
FIGURA 56 – EXERCÍCIO ENCONTRADO NOS LIVROS DAS REFERÊNCIAS 
BIBLIOGRÁFICAS
TÓPICO 2 | SISTEMAS DE FORÇAS, MOMENTOS E BINÁRIOS
85
Solução: 
Podemos escrever diretamente na expressão para soma de binários,
FONTE: A autora
Solução:
FIGURA 57 – EXERCÍCIO ENCONTRADO NOS LIVROS DAS 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Exemplo 3 – Determine a intensidade de F, na figura a seguir, de modo 
que o momento de binário resultante seja de 450 lb.pés no sentido anti-horário. 
Em que local o momento de binário atua?
O momento de binário resultante pode atuar em qualquer ponto.
Exemplo 4 – Determine o momento de binário da figura a seguir. Expresse 
o resultado como um vetor cartesiano.
UNIDADE 2 | DINÂMICA
86
FONTE: A autora
Solução: 
O vetor distância do vetor – F até o vetor F é
 
Encontrando o produto vetorial entre os dois
 
FIGURA 58 – EXERCÍCIO ENCONTRADO NOS LIVROS DAS REFERÊNCIAS 
BIBLIOGRÁFICAS
87
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você estudou os seguintes itens:
• Diferenciamos forças externas de forças internas.
• Definimos o momento de uma força M como sendo o produto vetorial de uma 
força , com o vetor posição perpendicular do ponto de aplicação da força 
em relação a um ponto O.
• Utilizamos o princípio de transmissibilidade para explicar o conceito de 
sistemas de forças equivalentes.
• Definimos binários como sendo pares de forças paralelas com mesmo módulo, 
mas em sentidos opostos e que tem por efeito um momento polar resultante.
• Apresentamos o princípio de d´Alembert.
• Demonstramos a redução de um sistema de forças a um ponto.
88
AUTOATIVIDADE
Chegando ao final de mais um tópico, vamos exercitar os 
conhecimentos adquiridos respondendo as seguintes questões:
1 Calcule os momentos dos binários da figura a seguir e diga se são 
equivalentes ou não.
FONTE : Autora
2 Suponha um plano formado pelos eixos x e y, conforme a figura a seguir, 
em que atuam as cargas e . Calcule: (a) Os momentos desenvolvidos 
por em relação aos pontos A, B e C. (b) Os momentos desenvolvidos por 
 em relação aos pontos A, B e C. (c) O momento resultante do sistema em 
relação aos pontos A, B e C.
FONTE: Autora
FIGURA 59 – BINÁRIOS DO EXERCÍCIO 1
FIGURA 60 – ESQUEMA DO EXERCÍCIO 2 
89
3 Reduza o sistema de forças da figura a seguir ao ponto O.
FONTE: Autora
4 Dois binários atuam na viga. Determine a intensidade de F de modo que o 
momento de binário resultante seja 300lb.pés no sentido anti-horário. Em 
que local da viga atua o momento do binário resultante? Um triângulo a 
partir do vetor F tem hipotenusa igual a cinco e catetos igual a 3 e 4. 
FONTE: A autora
FIGURA 61 – ESQUEMA DO EXERCÍCIO 3
FIGURA 62 – EXERCÍCIO ENCONTRADO NOS LIVROS DAS REFERÊNCIAS 
BIBLIOGRÁFICAS
90
5 Um binário atua nos dentes da engrenagem mostrada na figura. Substitua 
esse binário por um equivalente, composto por um par de forças que atuam 
nos pontos A e B.
FONTE: Disponível em: <http://www.engbrasil.eng.br/pp/mt/aula12.pdf>. 
Acesso em: 26 jan. 2011.
FIGURA 63 – ENGRENAGEM
91
TÓPICO 3
DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO E 
EQUAÇÕES DE MOVIMENTO
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Veremos agora as relações existentes entre as forças que atuam num corpo 
rígido, levando em conta a forma e a localização exata do ponto de aplicação de 
cada força. Para tanto, precisamos abordar o conceito de diagrama de corpo livre 
que será apresentado na próxima seção.
2 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE
Antes de resolver um problema de dinâmica, é importante identificar 
todas as forças relevantes envolvidas no problema. Para facilitar a visualização 
destas forças, isola-se o corpo envolvido e desenha-se um diagrama de corpo livre 
ou diagrama de forças, que é uma esquematização simples, envolvendo todas as 
forças que estão atuando sobre o corpo.
FONTE: Autora
Observe o exemplo que apresentamos na figura anterior. O rapaz empurra 
uma caixa na direção horizontal, exercendo uma força aplicada na altura h. No 
solo aparece a força de atrito , que se opõe ao movimento. Na direção vertical, 
estão representadas a força peso no centro de massa, a uma distância d da 
aresta da caixa e a reação ao apoio , perpendicular ao plano de apoio e na 
mesma direção do peso, porém em sentido oposto.
FIGURA 64 – DIAGRAMA DE CORPO LIVRE
92
UNIDADE 2 | DINÂMICA
3 EQUAÇÕES DE MOVIMENTO
4 MOMENTO DE INÉRCIA
Suponhamos um corpo constituído de um grande número n de pontos 
materiais, de massas com , sob a ação de forças externas 
, movendo-se no espaço. 
Considerando o movimento do centro de massa G do corpo em relação a 
um sistema de referência Oxyz, podemos escrever a seguinte equação: , 
em que m é a massa do corpo e é a aceleração do centro de massa. Tomando agora 
o movimento do corpo em relação ao sistema de referência Gxyz, encontramos 
, em que é a derivada temporal do momento angular. 
Supondo um corpo em movimento num plano, temos as seguintes 
equações fundamentais:
Onde I é o momento de Inércia do corpo.
As equações acima revelam que a aceleração do centro de massa e a 
aceleração angular podem ser facilmente obtidas encontrando-se a resultante das 
forças que atuam sobre o corpo e seu momento resultante.
O momento de inércia de uma distribuição de massas pontuais é dado 
pela expressão onde xi sé a distância da massa mi ao eixo de rotação.
Exemplo 1 – Uma varinha delgada de 1 m de comprimento tem uma 
massa desprezível. São colocados 5 massas de 1 kg cada uma, situadas a 0.0, 0.25, 
0.50, 0.75, e 1.0 m de um dos extremos. Calcular o momento de inércia do sistema 
relativo a um eixo perpendicular a varinha que passa através de: a) Um extremo. 
b) Da segunda massa. c) Do centro de massa.
TÓPICO 3 | DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO E EQUAÇÕES DE MOVIMENTO
93
FONTE: Disponível em: <http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egsantana/
solido/din_rotacion/inercia/inercia.htm>. Acesso em: 26 jan. 2011.
Solução: 
a) O momento de inércia relativo a um eixo perpendicular a varinha e que passa 
pela primeira partícula é IA=1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752+1·12=1.875 kgm2.
b) O momento de inércia relativo a um eixo perpendicular à varinha e que passa 
pela segunda partícula é IB=1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752=0.9375 kgm2.
c) O momento de inércia relativo a um eixo perpendicular à varinha e que passa 
pela terceira partícula (centro de massas) é IC=1·0.52+1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52=
0.625 kgm2.
O momento de inércia de uma distribuição contínua de massa é dado pela 
expressão,
 onde dm é um elemento de massa situado a uma distância x do 
eixo de rotação.
O raio de giração k do corpo em relação ao eixo é definido pela relação
I = k2m
O raio de giração representa a distância em que toda a massa do corpo deve 
estar concentrada para que o momento de inércia em relação ao eixo permaneça 
inalterado. (BEER; JOHNSTON JR, 2006).
Exemplo 2 – Calcular o momento de inércia de uma varinha de massa Me 
comprimento L relativo a um eixo perpendicular à varinha que passa pelo centro 
de massa.
FIGURA 65 – VARINHA DELGADA COM 5 MASSAS SOBRE ELA
94
UNIDADE 2 | DINÂMICA
FONTE: Disponível em: <http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egsantana/solido/
din_rotacion/inercia/inercia.htm>.Acesso em: 26 jan. 2011.
Solução:
A massa dm do elemento de comprimento da varinha compreendido 
entre x e x+dx é
FONTE: Disponível em: <http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egsantana/solido/din_
rotacion/inercia/inercia.htm>. Acesso em: 26 jan. 2011.
FIGURA 66 – VARINHA DELGADA
FIGURA 67 – VARINHA DELGADA
O momento de inércia da varinha é
Podemos calcular o momento de inércia da varinha relativo a um eixo 
perpendicular a mesma que passa por um de seus extremos, aplicando o teorema 
de Steiner.
/2 2 2
/2
1
12
L
c L
MI x dx ML
L−
= =∫
2
21
2 3c
LI I M ML = + = 
 
Mdm dx
L
=
TÓPICO 3 | DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO E EQUAÇÕES DE MOVIMENTO
95
Exemplo 3 – Qual é o momento de inércia de um disco de massa M e 
raio R relativo a um eixo perpendicular ao plano do disco e que passa por seu centro?
FONTE: Disponível em: <http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egsantana/solido/din_
rotacion/inercia/inercia.htm>. Acesso em: 26 jan. 2011.
Solução: 
Tomamos um elemento de massa que dista x do eixo de rotação. O 
elemento é um anel de raio x e de largura dx. Se recortamos o anel e o estendemos, 
ele é convertido em um retângulo de comprimento 2x e largura dx, cuja massa é
FONTE: Disponível em: <http://www.welcomecongonhas.com.br/edicao1/
carros.html>. Acesso em: 30 jul. 2008.
FIGURA 68 – DISCO DELGADO
FIGURA 69 – VEÍCULO DO EXEMPLO
O momento de inércia do disco é
2 2
22M Mdm xdx xdx
R R
π
π
= =
3 2
2
0
2 1
2
R
C
MI x dx MR
R
= =∫
96
UNIDADE 2 | DINÂMICA
Exemplo 4 – Quando a velocidade do veículo era de 10,0m/s, aplicaram-
se os freios bruscamente, fazendo com que as quatro rodas parassem de girar, 
mesmo assim o veículo derrapou 5,0m antes de parar. Qual é o módulo da reação 
normal e da força de atrito em cada roda enquanto o veículo derrapava? (Utilize 
informações do diagrama de corpo livre apresentado na figura a seguir).
FONTE: Autora
Solução: Podemos determinar primeiro a aceleração do automóvel, 
utilizando a equação das velocidades:
Agora podemos usar as equações de movimento, lembrando que na 
direção y a aceleração é igual a zero, pois o corpo não se desloca verticalmente e, 
escolhendo o ponto 1 como polo, encontramos:
FIGURA 70 – DIAGRAMA DE CORPO LIVRE 
TÓPICO 3 | DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO E EQUAÇÕES DE MOVIMENTO
97
Numa segunda etapa, P = N1 + N2, utilizando a definição de força de 
atrito temos que:
Substituindo esse resultado na primeira, encontramos que 
, sabendo que P =mg temos que , substituindo 
na anterior e simplificando P:
Na terceira equação podemos determinar N1, como segue:
Por fim, pela definição de força de atrito, podemos determinar FA1:
Utilizando novamente a segunda equação, determinamos N2 e depois FA2:
Por outro lado, os valores calculados acima representam a soma das 
reações nas duas rodas dianteiras e nas duas rodas traseiras. Vamos calcular o 
módulo em cada roda como segue:
98
UNIDADE 2 | DINÂMICA
FREIO WIRELESS PARA BICICLETA: VÊM AÍ ABS E EBD
Freio sem fios (wireless)
Um engenheiro alemão construiu um freio wireless para bicicletas que 
não é apenas extremamente eficiente, mas também virtualmente à prova de 
falhas (figura 1).
FIGURA 1 – FOTO DA BICICLETA COM SISTEMA DE FREIOS SEM FIO
FONTE: SITE INOVAÇÃO TECNOLÓLOGICA. Disponivel em: <http://www.
inovacaotecnologica.com.br/noticias/noticia.php?artigo=freio-wireless-sem-
fios-bicicleta&id=010170111015>. Acesso em: 10 abr. 2012.
Enquanto o conceito de "drive-by-wire" é antigo quando se trata de 
automóveis - quando os cabos de acionamento são substituídos por fios - a ideia 
é mais recente no caso das bicicletas. Mas o professor Holger Hermanns, da 
Universidade de Saarland, achou que já dava para eliminar também os fios, e 
resolveu criar o freio wireless - portanto, uma geração à frente do drive-by-wire.
LEITURA COMPLEMENTAR
TÓPICO 3 | DINÂMICA DO CORPO RÍGIDO E EQUAÇÕES DE MOVIMENTO
99
Segurança máxima
Para isso, além do desafio técnico de construir o próprio freio, ele teve 
que se preocupar com uma questão fundamental: a segurança. Usando sistemas 
de controle eletrônico e replicando os circuitos, o pesquisador afirma ter atingido 
um nível de segurança de 99,999999999997%. 
Com tantos noves, é muitíssimo mais fácil ser atingido por um meteorito 
do que sofrer um acidente com a magrela por uma falha nos freios - em cada 1 
trilhão de brecadas, haverá três falhas.
"Não é perfeito, mas é aceitável," diz o engenheiro.
No freio wireless (sem fio) não há nem mesmo uma alavanca de freio: 
tudo o que ciclista precisa fazer é apertar a manopla de borracha que recobre 
o guidão. Sensores de pressão embutidos no plástico detectam a pressão e 
enviam o sinal - quanto maior é a pressão, mais forte será a brecada (figura 2).
FIGURA 2 – FOTO DO SISTEMA DE FRENAGEM SEM FIO
FONTE: SITE INOVAÇÃO TECNOLÓLOGICA. Disponivel em: <http://www.
inovacaotecnologica.com.br/noticias/noticia.php?artigo=freio-wireless-sem-fios-
bicicleta&id=010170111015>. Acesso em: 10 abr. 2012.
ABS para bicicletas
Para não haver falhas, os transmissores da rede sem fios são replicados, 
garantindo que o sinal chegue ao sistema de frenagem propriamente dito mesmo 
se houver erros de transmissão na rede.
100
UNIDADE 2 | DINÂMICA
Se tudo funcionar bem, o freio é acionado em 250 milissegundos. Esse 
tempo de acionamento significa que o ciclista que estiver a uma velocidade 
de 30 km/h conseguirá parar em dois metros. Mas os engenheiros não ficaram 
satisfeitos, e agora vão criar um freio ABS para bicicletas.
"Não é difícil integrar um sistema antitravamento dos freios e um controle 
de tração. Vai precisar apenas de alguns ajustes," garante Hermanns.
Sistemas mais complexos
As redes sem fio nunca são um método à prova de falhas. Mas é necessário 
reduzir ao máximo as ocorrências para que esses sistemas possam equipar 
equipamentos maiores, como carros e trens, como se espera que ocorra em um 
futuro próximo.
Por isto o Dr. Hermanns decidiu começar com a bicicleta, que pode ser 
testada com riscos reduzidos. Segundo ele, o mais importante do trabalho são os 
modelos matemáticos e os algoritmos que ele e sua equipe desenvolveram, que 
monitoram continuamente o funcionamento de cada componente individual do 
freio, assim como sua interação. Esses algoritmos poderão ser usados em sistemas 
maiores e mais complexos.
"O freio wireless de bicicleta nos fornece o brinquedinho necessário para 
otimizar essas técnicas para que eles operem em sistemas muito mais complexos," 
afirma ele.
FONTE: Redação do Site Inovação Tecnológica - 15/10/2011. Disponível em: <http://
www.inovacaotecnologica.com.br/noticias/noticia.php?artigo=freio-wireless-sem-fios-
bicicleta&id=010170111015>. Acesso em: 10 abr. 2012.
101
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, caro(a) acadêmico(a), você teve oportunidade de estudar 
os seguintes itens:
• Mostramos a importância do diagrama de corpo livre.
• Definimos as equações de movimento de corpos rígidos.
• Utilizamos um exemplo para demonstrar a utilização das equações de 
movimento.
102
AUTOATIVIDADE
Para melhor compreensão deste tópico e exercitar os conhecimentos 
adquiridos, resolva as questões a seguir: 
1 Uma empilhadeira de 2500kg carrega um engradado de 1200kg, como 
indica a figura. A empilhadeira, movendo-se para a esquerda, sofre a 
ação dos freios que produzem uma desaceleração de 3m/s2. Sabendo-se 
que o coeficiente de atrito estático entre o engradado e o suporte é 0,60; 
determine a componente vertical da reação em cada roda.
FONTE: BEER, Ferdinand P. Mecânica vetorial para engenheiros – Cinemática e 
dinâmica. São Paulo: Makron Books, 1991.
2 No problema anterior, determine a máxima desaceleração do veículo para 
que o engradado não escorregue e aempilhadeira não tombe, ambos para 
frente.
3 Quando a velocidade de avanço do caminhão mostrado na figura era de 9 m/s, os 
freios foram acionados bruscamente, fazendo com que as quatro rodas parassem 
de girar. Foi observado que o caminhão derrapou sobre 6 m de pista até o repouso. 
Determine a intensidade da reação normal e da força de atrito em cada roda 
enquanto o caminhão derrapava até o repouso.
FIGURA 71 – EMPILHADEIRA 
103
FONTE: Disponível em: <http://blog.educacional.com.br/matematicos/2010/05/11/
o-caminhao-os-tijolos-e-os-sacos-de-cimento-desafio-n%C2%BA-08/>. Acesso em: 
26 jan. 2011.
4 Uma polia que pesa 54 N e tem um raio de giração de 20 cm está unida a 
dois blocos, como mostrado na figura. Considerando que não exista atrito 
no eixo, determine a aceleração angular da polia e a aceleração de cada 
bloco.
FONTE: Autora
Exercício encontrado nos livros das referências bibliográficas.
FIGURA 72 – CAMINHÃO
FIGURA 73 – POLIA 
104
105
TÓPICO 4
VIBRAÇÕES MECÂNICAS
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
As oscilações são movimentos harmônicos em torno de um ponto de 
equilíbrio e que no mundo real normalmente são amortecidas. Isto é, elas 
desaparecem gradualmente, transformando a energia mecânica em energia 
térmica, devido ao atrito. Vibrações são pequenas oscilações que causam aumento 
de tensões e perda de energia nas máquinas e estruturas, por isso devem ser 
eliminadas através de um bom projeto. 
Na figura a seguir, vemos o efeito causado pela ressonância entre a 
frequência natural de oscilação da ponte e a frequência dos vórtices produzidos 
pelo vento.
FONTE: Disponível em: http://www.aticaeducacional.com.br/htdocs/secoes/atual_cie.
aspx?cod=751. Acesso em 30 jul. 2008.
FIGURA 74 – EFEITO DA TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA POR RESSONÂNCIA
106
UNIDADE 2 | DINÂMICA
2 MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES
Começaremos considerando o movimento oscilatório de uma partícula 
restrita ao movimento em uma dimensão, como é o caso do corpo preso à mola 
da figura a seguir. Considera-se também que a posição de equilíbrio estável da 
partícula é a origem. Se a partícula é deslocada da origem, uma certa força tende 
a restaurar a partícula até sua posição original.
FONTE: Autora
Para pequenas oscilações, podemos aplicar a lei de Hooke para a força 
que envolve deformações elásticas: F(x) = - kx.
A equação de movimento do oscilador harmônico simples pode ser 
obtida pela substituição da lei de Hooke na equação de Newton: F = ma. Assim, 
, em que é a segunda derivada do deslocamento x(t).
Rearranjando os termos, escrevemos . A equação acima é uma 
equação diferencial de segunda ordem. Fazendo , podemos escrever 
.
Esta equação descreve o movimento harmônico simples, executado por 
uma partícula de massa m submetida a uma força proporcional ao seu deslocamento 
com sentido oposto e é satisfeita pelas seguintes funções: 
, constituindo duas soluções particulares da equação diferencial. A solução 
geral pode ser obtida multiplicando-se as soluções particulares pelas constantes 
arbitrárias A e B e adicionando-as. Assim, encontramos .
Derivando duas vezes, encontramos a velocidade e a aceleração no instante 
t, sucessivamente:
Os valores de A e B dependem das condições iniciais do movimento.
O tempo de uma oscilação completa corresponde ao período T de vibração 
e é dado por e é medido em segundos.
FIGURA 75 – OSCILADOR HARMÔNICO SIMPLES 
TÓPICO 4 | VIBRAÇÕES MECÂNICAS
107
FONTE: Autora
Solução: (a) Precisamos encontrar primeiro o valor da constante da mola 
equivalente no caso de uma associação em paralelo.
FIGURA 76 – REPRESENTAÇÃO EXEMPLO 8
Exemplo 8 – Um bloco de 60 kg se move entre guias verticais. O bloco 
é puxado 50 mm abaixo de sua posição de equilíbrio e solto. Determine (a) o 
período de vibração, (b) a velocidade máxima e (c) a aceleração máxima do 
bloco, sabendo que e .
O período pode ser determinado através da equação . Para tanto, 
vamos determinar primeiro , sabendo que:
Encontramos que: 
(b) A velocidade máxima é obtida mediante , em que 
transformamos 50 mm em 0,05m.
108
UNIDADE 2 | DINÂMICA
c) A aceleração semelhantemente se torna 
3 PÊNDULO SIMPLES
Suponha uma partícula de massa m suspensa por um fio inextensível de 
massa desprezível e de comprimento L, como o que aparece na figura a seguir, 
caracterizando mais um exemplo de oscilador harmônico simples.
FONTE: Autora
Devemos notar que todo oscilador tem associado um elemento de inércia 
e um elemento de restituição. Assim também nosso pêndulo simples deve 
apresentar esses dois elementos. A inércia está associada à massa da partícula e a 
restituição está associada à força gravitacional entre a Terra e a partícula.
Observando a figura anterior, podemos ver que as forças atuantes são a 
tração T sobre o fio e a força gravitacional mg. Fazendo a decomposição da força 
gravitacional numa componente radial mg.cosθ e uma componente tangente à 
trajetória da partícula mg.senθ , sendo que está força atua no sentido de fazer a 
partícula retornar ao seu ponto de equilíbrio, temos a seguinte expressão para a 
força restauradora: .
FIGURA 77 – PÊNDULO SIMPLES 
TÓPICO 4 | VIBRAÇÕES MECÂNICAS
109
Para pequenas oscilações, aplica-se e lembrando que o 
deslocamento x é aproximadamente igual a . Encontramos, então,
e substituindo na expressão para a força, temos: 
.
Comparando a equação acima com a obtida no sistema massa-mola, 
podemos ver que a constante faz o papel da constante k da mola. E, por 
analogia, podemos escrever o período do pêndulo simples como sendo: 
.
Exemplo 9 – Uma bola de demolição com 2500 kg oscila da extremidade de 
um guindaste. O comprimento do cabo que oscila é igual a 17m. Calcule o período 
da oscilação, supondo que o sistema possa ser tratado como um pêndulo simples.
FONTE: Autora
Solução: Utilizando a equação para o período encontrada na discussão 
anterior temos,
FIGURA 78 – GUINDASTE DE DEMOLIÇÃO 
Vamos encerrar esta unidade com o texto complementar sobre vibrações 
forçadas.
110
UNIDADE 2 | DINÂMICA
VIBRAÇÕES FORÇADAS
Ferdinand Pierre Beer
As vibrações mais importantes do ponto de vista da Engenharia são as 
vibrações forçadas de um sistema. Essas vibrações ocorrem quando o sistema 
é submetido a uma força periódica ou quando está elasticamente ligado a um 
suporte que tem um movimento alterado.
Figura A – Mecânica vetorial para engenheiros
Considerando inicialmente o caso de um corpo de massa m suspenso por 
uma mola e submetido a uma força periódica de intensidade 
(fig. A). Esta força pode ser uma força real externa aplicada ao corpo ou pode ser 
uma força centrífuga produzida pela rotação de alguma parte desequilibrada do 
corpo. Chamando de x o deslocamento do corpo medido a partir da sua posição 
de equilíbrio, escrevemos a equação de movimento
Lembrando que , temos
 (1)
LEITURA COMPLEMENTAR
TÓPICO 4 | VIBRAÇÕES MECÂNICAS
111
Figura B – Mecânica vetorial para engenheiros
Em seguida, consideremos o caso de um corpo de massa m suspenso por 
uma mola presa a um suporte móvel cujo deslocamento é igual a 
(fig.B). Medindo o deslocamento x do corpo a partir da posição de equilíbrio 
estático correspondente a , tem-se o seguinte resultado para a elongação 
total da mola no instante . A equação do movimento é, 
então,
Lembrando que , temos
 (2)
Notamos que as equações (1) e (2) são do mesmo tipo e que a solução da 
primeira equação satisfará à segunda se colocarmos .
Uma equação diferencial do tipo (1) e (2) que possui um segundo 
membro diferente de zero, é chamada não homogênea. Sua solução geral é obtida 
adicionando-se uma solução particular da equação dada à solução geral da 
correspondente equação homogênea (com o segundo membro iguala zero). Uma 
solução particular de (1) e(2) pode ser obtida tentando-se uma solução da forma
 (3)
112
UNIDADE 2 | DINÂMICA
Substituindo x por x part em (10, encontramos
que pode ser resolvida para a amplitude
Definindo , onde p é a frequência angular da vibração livre do 
corpo, escrevemos
 (4)
Substituindo (3) em (2), obtemos de modo análogo
 (5)
A equação homogênea é a equação , que define a vibração 
livre do corpo. Sua solução geral, chamada função complementar é,
 (6)
Somando a solução particular (3) e a função complementar (6), obtemos a 
solução geral das equações (1) e (2)
 (7)
Observamos que a equação obtida consiste um das vibrações superpostas. 
Os dois primeiros termos em (7) representam a vibração livre do sistema. A 
frequência desta vibração, chamada frequência natural do sistema, depende 
somente da constante k da mola e da massa m do corpo, e as constantes A e 
B podem ser determinadas doas condições iniciais. Esta vibração livre também 
é chamada vibração transitória porque, na prática, logo será amortecida pelas 
forças de atrito.
O último termo em (7) representa a vibração do estado estacionário 
produzida e mantida pela força que a imprime ou que é imprimida pelo 
movimento do suporte. Sua frequência é a frequência forçada imposta por esta 
força ou movimento, e sua amplitude xm, definida por (5), depende da razão entre 
as frequências . A razão da amplitude xm da vibração do estado estacionário 
para a deflexão estática Fm / k causada por força Fm ou pela amplitude do 
movimento do suporte é chamada de fator de ampliação. De (4) e (5), obtemos,
Fator de ampliação 
TÓPICO 4 | VIBRAÇÕES MECÂNICAS
113
Figura C – Mecânica vetorial para engenheiros
O fator de ampliação versus razão das frequências / p está representado 
graficamente na figura C. Notamos que, quando = p, a amplitude da vibração forçada 
torna-se infinita. Diz-se que a força excitadora ou o movimento excitador do suporte 
está em ressonância com o sistema dado. Na realidade, a amplitude da vibração 
permanece finita por causa das forças amortecedoras; todavia, tal situação deve ser 
evitada, e a frequência forçada não deve ser escolhida muito próximo da frequência 
natural do sistema. Notamos, também, que para < p, o coeficiente em (7) é 
positivo, enquanto para > p este coeficiente é negativo. No primeiro caso a vibração 
forçada está em fase com a força excitadora ou o movimento excitador do suporte, 
enquanto no segundo caso está defasada de 1800.
Problema Resolvido
Um motor pesando 1750N está apoiado em quatro molas, cada uma tendo 
constante de 150kN/m. O desbalanceamento do rotor é equivalente a um peso de 0,3N 
localizado a 0,15m do eixo de rotação. Sabendo que o motor é obrigado a mover-se 
verticalmente, determinar (a) a frequência em rpm em que ocorrerá a ressonância (b) 
a amplitude da vibração do motor na frequência de 1200rpm.
Figura D – Mecânica vetorial para engenheiros
114
UNIDADE 2 | DINÂMICA
Solução: a) A frequência de Ressonância A frequência de ressonância é 
igual a frequência angular (em rpm) da vibração livre do motor. A massa do 
motor e a constante equivalente das molas de sustentação são
b) Amplitude de Vibração a 1200 rpm A velocidade angular do motor e a 
massa equivalente ao peso de 0,3N são
O módulo da força centrífuga devida ao desbalanceamento do rotor é
A deflexão estática que poderia ser causada por uma carga Fm constante é
Substituindo o valor de Fm / k juntamente com os valores conhecidos de 
e p na equação (4), obtemos
Nota. Como > p, a vibração está defasada de 1800 em relação a força 
centrífuga devida ao deslocamento do rotor. Por exemplo, quando a massa 
desbalanceada está diretamente abaixo do eixo de rotação, a posição do motor é 
xm = 3,2.10-5 m , acima da posição de equilíbrio.
FONTE: BEER, Ferdinand Pierre. Mecânica vetorial para engenheiros. São Paulo: Makron Books, 
1994. p. 844-848.
115
RESUMO DO TÓPICO 4
Neste tópico, você teve oportunidade de estudar importantes aspectos 
de Física, cujos itens resumidos são apresentados a seguir:
• Iniciamos o estudo de vibrações mecânicas através da definição de movimento 
harmônico simples, utilizando como exemplo o movimento oscilatório de uma 
partícula restrita ao movimento em uma dimensão.
• Utilizamos também um pêndulo simples constituído por uma massa m 
suspensa por um fio inextensível de massa desprezível e de comprimento L 
para estudar o movimento harmônico simples.
116
AUTOATIVIDADE
Finalizando este último tópico, responda a estas questões a seguir para 
exercitar os conhecimentos adquiridos:
1 Um bloco de 60kg se move entre guias verticais. O bloco é puxado 50 mm 
abaixo de sua posição de equilíbrio e solto. Determine (a) o período de 
vibração, (b) a velocidade máxima e (c) a aceleração máxima do bloco, 
sabendo que e . (Utilize 
para determinar a constante equivalente da associação em série).
FONTE: Autora
2 Um pêndulo simples executa oscilações de pequena abertura angular de 
modo que a esfera pendular realiza um movimento harmônico simples. É 
correto afirmar que:
a) O período de oscilação independe do comprimento do pêndulo.
b) O período de oscilação é proporcional ao comprimento do pêndulo.
c) O período de oscilação independe do valor da aceleração da gravidade 
local.
d) O período de oscilação independe da massa da esfera pendular.
3 O coeficiente de atrito estático entre a barra vertical e o cilindro B é 0, 4. A 
mola tem constante elástica igual a 30 N/m e comprimento normal de 1, 5 
m. Determine o intervalo de valores da massa do cilindro, para os quais 
o equilíbrio é possível na posição indicada na figura. Supondo que seja a 
maior massa, determine o período de oscilação.
FIGURA 79 – ESQUEMA PARA EXERCÍCIO 1
117
FONTE: Autora
4 Um oscilador massa-mola tem amplitude do movimento de 2mm, pulsação 
de 2π, e não existe defasagem de fase. Quando t=10s, qual a elongação do 
movimento?
Sendo a função horária da elongação:
 
5 Dada a função horária da elongação:
 
Sabendo que todos os valores se encontram em unidades do SI, responda:
a) Qual a amplitude do movimento?
b) Qual a pulsação do movimento?
c) Qual o período do movimento?
d) Qual a fase inicial do movimento?
e) Quando t=2s qual será a elongação do movimento?
FIGURA 80 – MOLA PRESA A UMA EXTREMIDADE FIXA E A UMA 
MASSA MÓVEL
118
119
UNIDADE 3
ESTÁTICA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, o(a) acadêmico(a) estará apto a:
• entender as equações que regem os corpos em repouso, aplicando as con-
dições de equilíbrio necessárias;
• compreender a aplicação dos vínculos na restrição de graus de liberdade;
• encontrar as reações internas e externas aos corpos submetidos a cargas 
externas;
• estudar sistemas estruturais como treliças e calcular as reações;
• analisar corpos como vigas e cabos aplicando condições de equilíbrio;
• compreender como os corpos submetidos a forças deformam.
A terceira unidade está dividida em cinco tópicos. No final de cada um deles, 
você encontrará atividades que lhe ajudarão a fixar os conceitos.
TÓPICO 1 – EQUILÍBRIO DOS CORPOS
TÓPICO 2 – VÍNCULOS
TÓPICO 3 – TRELIÇAS
TÓPICO 4 – VIGAS E CABOS
TÓPICO 5 – TENSÃO E DEFORMAÇÃO
120
121
TÓPICO 1
EQUILÍBRIO DOS CORPOS
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
As pontes, os prédios, as torres são alguns exemplos de corpos que 
são construídos para permanecerem em repouso mesmo que solicitados por 
muitas forças.
Observe na figura a seguir, a criatividade nas curvas arrojadas do museu 
Oscar Niemayer, em Curitiba. Mas por que corpos como esses não se movem 
quando submetidas ao peso da própria estrutura? Das eventuaiscargas? Da 
corrosão provocada devido à presença da atmosfera ou devido ao desgaste pelo 
uso constante? Para responder essas perguntas, precisamos encontrar as reações 
internas e externas a esses fatores. Esse estudo visa analisar os sistemas de corpos 
rígidos, em equilíbrio, e é exatamente isso que veremos agora.
FONTE: Disponível em: <http://www2.petrobras.com.br/cultura/portugues/espacovirtual/galeria/
index.asp>. Acesso em: 15 ago. 2008.
Respeitando as condições de equilíbrio impostas sobre esses corpos, 
encontramos as suas equações e, conhecendo as reações externas, determinamos 
as suas reações internas.
FIGURA 81 – MUSEU OSCAR NIEMAYER 
UNIDADE 3 | ESTÁTICA
122
2 GRAUS DE LIBERDADE
Um corpo pode se mover em diversas direções e sentidos. Os graus 
de liberdade determinam a flexibilidade que um corpo possui ao executar um 
movimento no espaço.
Considerando um sistema de eixos x, y e z, como o da figura a seguir, 
os corpos podem se movimentar para frente ou para trás, em relação ao eixo 
x, para esquerda ou para a direita, em relação ao eixo y, e para cima ou para 
baixo, em relação ao eixo z. Estes movimentos são conhecidos como translação. 
Adicionalmente, os corpos também podem girar ao redor desses três eixos, sendo 
esse movimento chamado de rotação. Assim, há seis graus de liberdade para 
o corpo, três graus de liberdade associados à rotação e três graus de liberdade 
associados à translação, através das quais os corpos podem se mover.
FONTE: Autora
3 CONDIÇÕES DE EQUILÍBRIO
Podemos aplicar as condições de equilíbrio para determinar as reações, 
quando conhecemos as restrições sobre os seus graus de liberdade, impondo-as 
nas equações que regem o movimento desses corpos. 
As forças externas que atuam num corpo rígido podem ser reduzidas a um 
sistema de forças equivalentes a uma força resultante, e a um binário num ponto 
qualquer. Quando a resultante e o binário são nulos, as forças externas constituem 
um sistema equivalente a zero e o corpo rígido se encontra em equilíbrio. 
São condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo rígido 
que o somatório das forças e dos momentos sejam nulos, , ou 
FIGURA 82 – UM CORPO E SEUS GRAUS DE LIBERDADE 
TÓPICO 1 | EQUILÍBRIO DOS CORPOS
123
seja, não há movimento de translação nem movimento de rotação. Isso significa 
que o corpo não possui nenhum grau de liberdade.
Num sistema cartesiano, essas duas equações se desdobram em seis 
equações, segundo as componentes nos três eixos coordenados.
Condições de equilíbrio:
Forças: Momentos: 
4 EQUILÍBRIO ESTÁTICO DO PONTO MATERIAL
O ponto material se encontra em equilíbrio estático quando sua velocidade 
 permanece nula, no decorrer do tempo e em relação ao sistema de referência 
considerado. Consequentemente, a aceleração também é nula e, pelo princípio 
de inércia, a resultante das forças que atuam sobre esse sistema é nula, 
. Não tem sentido falar em rotação do ponto material. Assim, as equações de 
equilíbrio se resumem nas equações que restringem os três graus de liberdade de 
translação do ponto.
Exemplo 1 – O sistema esquematizado na figura a seguir encontra-se em 
equilíbrio. O corpo A tem massa de 60 kg. Determine as forças de tração que 
atuam nos fios BC e BD.
FONTE: Autora
Solução: A condição de equilíbrio pode ser imposta pelo método das 
projeções num sistema cartesiano ortogonal Oxy. Observe a figura a seguir. 
Assim, as equações de equilíbrio se tornam:
FIGURA 83 – ESQUEMA – EXEMPLO 1
UNIDADE 3 | ESTÁTICA
124
Substituindo P = mg, sendo m a massa de 20 kg e g a aceleração da 
gravidade 9,8 m/s2, encontramos:
FONTE: Autora
5 EQUILÍBRIO ESTÁTICO DO CORPO RÍGIDO
Para estudarmos o equilíbrio estático do corpo rígido, precisamos considerar 
também a possível rotação do corpo. Então, devemos acrescentar a condição que 
restringe os outros três graus de liberdade, , momentos nulos. 
Vamos recordar rapidamente o conceito de momento de uma força. Vimos, 
no final da Unidade 1, que o momento de uma força aplicada a um ponto P, 
em relação a um ponto O, denominado polo, é o produto vetorial do vetor pelo 
vetor , que é a distância do ponto de aplicação até o polo, . Podemos 
simplificar esse resultado administrando o produto da intensidade da força 
pela distância perpendicular b do ponto O à linha de ação da força. Observe a 
figura a seguir.
FIGURA 84 – DECOMPOSIÇÃO DA FORÇA DE TRAÇÃO NO CABO BD. E 
DEMAIS FORÇAS QUE ATUAM SOBRE O CORPO
TÓPICO 1 | EQUILÍBRIO DOS CORPOS
125
FONTE: Autora
A distância b é conhecida como o braço da força. Adotamos o sinal positivo 
para o momento quando a força tende a produzir uma rotação em torno do polo 
no sentido anti-horário e negativo no sentido horário. Quando o braço b, ou seja, 
a distância do polo até a linha de ação, é nulo, o momento da força também é 
nulo. Veja os exemplos da figura a seguir.
FONTE: Autora
Exemplo 2 – Uma barra situada num plano horizontal preso ao teto 
pode girar em torno da articulação na qual se encontra pendurada. Determine o 
momento da força de intensidade 10 N, em relação a este ponto nos casos a), 
b), c) e d) da figura. 
Solução: 
a) A força é exercida sobre o polo, consequentemente, não pode produzir 
um torque. Portanto, o momento é igual a zero. 
b) A força é aplicada a uma distância de 0,2 m do pólo e paralela à linha 
de ação, ou seja, o braço b novamente é nulo. Consequentemente, o momento 
também é nulo.
FIGURA 85 – FORÇA PELA DISTÂNCIA PERPENDICULAR b DO PONTO O À 
LINHA DE AÇÃO DA FORÇA
FIGURA 86 – FORÇA SENDO APLICADA EM DIFERENTES PONTOS DA 
BARRA ARTICULADA 
UNIDADE 3 | ESTÁTICA
126
c) A linha de ação da força é perpendicular ao polo e está a uma distância 
de 0,1 m. A tendência do torque é no sentido horário e, lembrando a nossa 
convenção de sinais mencionada anteriormente, observando a figura a seguir, 
temos que .
FONTE: Autora
d) O braço é de 0,2 m da força aplicada perpendicularmente a essa direção e o 
torque também tende no sentido horário. Assim, .
Vejam que, nos dois primeiros casos, a barra se encontra em equilíbrio 
estático, enquanto que, nos dois casos seguintes, a barra gira em torno do polo no 
sentido horário.
Para que um corpo rígido esteja em equilíbrio estático, é preciso restringir 
os seis graus de liberdade . Estudaremos esse caso no 
próximo exemplo.
Exemplo 3 – A viga AB é mantida na posição horizontal por uma barra 
vertical CD. Uma força de 3000kgf é aplicada na viga conforme a figura a seguir. 
Determine a força de tração na barra CD.
FONTE: Autora
Solução: Aplicando as condições de equilíbrio do corpo rígido:
 
Forças: Momentos: 
FIGURA 87 – SENTIDOS POSITIVO E NEGATIVO DO MOMENTO 
FIGURA 88 – VIGA AB 
TÓPICO 1 | EQUILÍBRIO DOS CORPOS
127
FONTE: Autora
Da última equação temos: .
Da segunda equação: .
Da primeira equação: .
Podemos determinar Fx e Fy , determinando, em seguida XA , YA e T através 
das três equações independentes que encontramos. Como estamos apenas 
interessados na força de tração, calcularemos, nesse exemplo, apenas Fy :
FIGURA 89 – VIGA EM EQUILÍBRIO E A REPRESENTAÇÃO DAS FORÇAS QUE 
ATUAM NELA 
Observando o diagrama de corpo livre da figura a seguir, encontramos as 
forças no plano xy e o momento na direção z: 
Substituindo na primeira equação de equilíbrio, vem que:
As reações internas devido ao apoio no ponto A, XA e YA estão associadas 
aos vínculos. Vamos defini-los no próximo tópico.
128
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico, você viu que:
• Iniciamos o estudo da Estática definindo os graus de liberdade.
• Apresentamos as condições de equilíbrio para um sistema estático.
• Mostramos as equações de equilíbrio associadas a um ponto material.
•Mostramos as equações de equilíbrio associadas ao corpo rígido.
129
AUTOATIVIDADE
Ao final deste tópico, para exercitar seus conhecimentos adquiridos, 
responda as questões a seguir:
1 Explique com suas palavras o que são graus de liberdade. A partícula ou 
ponto material possui o mesmo número de graus de liberdade de um corpo 
rígido? Por quê?
2 Quais são as condições de equilíbrio? Explique o que elas significam.
3 O sistema da figura a seguir está em equilíbrio. Determine a força de tração 
na corda, sabendo que o corpo possui uma massa de 30kg e que o ângulo 
do plano inclinado formado com a direção horizontal é de 300.
4 Decomponha a força de 200 lb que atua sobre o tubo (Figura a seguir) em 
componentes nas direções (a) x e y (b) x´e y.
FONTE: Autora
FONTE: Disponível em: <http://www.professores.uff.br/salete/mec/CAPII.PDF>. 
Acesso em: 26 jan. 2011.
FIGURA 90 – ESQUEMA PARA EXERCÍCIO
FIGURA 91 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
A B
C
c
b a
Lei dos senos:
Lei dos cossenos:
 
A B C
sen a sen b sen c
= =
2 2 2 cos C A B AB c= + −
130
5 A mola ABC da figura tem rigidez de 500 N/m e comprimento sem 
deformação de 6 m. Determine a força horizontal F aplicada à corda que 
está presa no pequeno anel B, de modo que o deslocamento do anel em 
relação à parede seja d = 1,5 m.
6 Um bloco de 150 kg (figura a seguir) pende de uma pequena polia que 
pode rolar sobre o cabo ACB. A polia e sua carga são mantidas na posição 
ilustrada na figura por um segundo cabo DE, paralelo ao trecho CB do cabo. 
Determine: a) a tração no cabo ABC e b) a tração no cabo DE. Despreze o 
raio da polia e a massa dos cabos e da roldana.
FONTE: Disponível em: <http://www.fsc.ufsc.br/~humberto/fsc5051/
lista1.pdf>. Acesso em: 26 jan. 2011.
FONTE: Disponível em: <http://www.fsc.ufsc.br/~humberto/fsc5051/
lista1.pdf>. Acesso em: 26 jan. 2011.
FIGURA 92 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
FIGURA 93 – MANGA MÓVEL PRESO À MOLA
131
TÓPICO 2
VÍNCULOS
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Em sistemas estruturais, desejamos manter certas partes do corpo 
em equilíbrio e, para tanto, empregamos uma força de reação. Num anel, 
por exemplo, podemos restringir o movimento dele a um grau de liberdade 
translacional apenas e momentos nesta direção. A estas forças de reação 
produzidas pelos apoios nas duas direções em que restringimos o movimento 
do anel chamamos de vínculos.
As forças são classificadas conforme a sua origem. Por exemplo, a força 
numa locomotiva ou muscular é uma força de contato. A força da gravidade 
ou a magnética tem ação a distância. Em análises estruturais, as forças são 
divididas em forças externas e forças internas.
As forças externas atuam nas partes externas na estrutura e é a razão 
pela sua existência. Elas, por sua vez, podem ser ativas ou reativas. As forças 
ativas são independentes e podem atuar em qualquer ponto da estrutura. São 
as cargas que submeteremos à estrutura. Como exemplo, o peso de um carro 
que passa por uma ponte, ou o peso próprio da estrutura. As forças reativas, 
em que se concentra a discussão presente, surgem em determinados pontos 
(vínculos), sendo consequência das ações. Por isso, precisam ser calculadas 
para equivalerem às ações para garantirem o equilíbrio do sistema.
As forças internas mantém unidos os pontos materiais que formam o 
corpo sólido da estrutura (solicitações internas). Se o corpo é estruturalmente 
composto de diversas partes, as forças que mantêm estas partes unidas 
também são chamadas de forças internas (forças desenvolvidas em rótulas). 
(SOFISICA, 2010)
132
UNIDADE 3 | ESTÁTICA
FONTE: Autora
2.2 APOIO FIXO E ARTICULAÇÃO
A articulação e o apoio fixo restringem a translação em todas as direções, 
mas não impedem a rotação. Na figura a seguir, temos as forças reativas 
representadas pelas setas Fx e Fy.
2 TIPOS DE VÍNCULOS
Os vínculos podem ligar elementos de uma estrutura entre si ou ligar a 
estrutura ao meio externo e, portanto, se classificam em vínculos internos (unem 
partes componentes de uma estrutura) e externos (unem os elementos de uma 
estrutura ao meio externo). Os vínculos externos se classificam segundo o número 
de graus de liberdade que restringem. (SOFISICA, 2010) 
Vimos que vínculos são forças de reação que restringem os graus de 
liberdade de um corpo. Começamos nosso estudo analisando alguns vínculos 
em sistemas de forças 2D (bidimensionais). Em seguida, apresentamos, na leitura 
complementar, apoios e conexões em sistemas de forças 3D (tridimensionais).
2.1 APOIO SIMPLES OU ROLETES
Esse tipo de apoio impede a translação na direção perpendicular ao apoio. 
A força de reação é ortogonal à direção de translação. O apoio simples não impede 
a rotação. Podemos observar a força de reação, Fy , no esquema da figura a seguir.
FIGURA 94 – APOIO SIMPLES NO PLANO 
TÓPICO 2 | VÍNCULOS
133
FONTE: Autora
2.3 ENGASTE
3 CARREGAMENTO PLANO
No engaste, a restrição é sobre todas as translações e rotações, ou seja, o corpo 
não pode fazer nenhum movimento. Agora, além de duas forças desconhecidas, 
Fx e Fy, temos também um momento desconhecido Mz. Observe essas grandezas 
representadas na figura a seguir.
FONTE: Autora
Vamos analisar alguns desses casos nos próximos exemplos.
Os vínculos no carregamento plano são, portanto, de três espécies, que 
podem ser simbolizadas do seguinte modo. (SOFISICA, 2010)
1. Restringe uma translação
FIGURA 95 – APOIO FIXO 
FIGURA 96 – ENGASTE 
134
UNIDADE 3 | ESTÁTICA
FONTE: Autora
Solução: Depois de fazer um diagrama de corpo livre do pórtico, conforme a 
figura a seguir, escrevemos as equações de equilíbrio: 
FIGURA 97 – PÓRTICO COM UM APOIO FIXO NO PONTO A E UM APOIO 
SIMPLES NO PONTO D 
 
2. Restringe duas translações.
 
 
3. Restringe duas translações e uma rotação.
 
Cada movimento restrito corresponde a uma reação vincular, que deve 
ser determinada.
Exemplo 4 – Determine as reações nos suportes A e D, da figura a seguir, 
causadas pela força . Desprezar o peso próprio da estrutura do pórtico.
TÓPICO 2 | VÍNCULOS
135
FONTE: Autora
D
Observando o fato de que existe um apoio fixo no ponto A e, portanto, 
duas reações de apoio e um apoio simples, o ponto D, e, portanto, apenas uma 
reação de apoio.
Da primeira equação independente, temos: 
Da última tiramos que: 
Da segunda equação independente, encontramos: 
Exemplo 5 – Um guindaste fixo tem uma massa de 1000 kg e é usado para 
suspender um pacote de 2600 kg. O guindaste é mantido na posição indicada 
na figura por um pino (do tipo apoio fixo) no ponto A e um suporte basculante 
(do tipo apoio simples) no ponto B. O centro de gravidade do guindaste está 
localizado em G. Determine os componentes das reações em A e B.
FIGURA 98 – DIAGRAMA DE CORPO LIVRE DO PÓRTICO 
136
UNIDADE 3 | ESTÁTICA
Solução: Depois de fazer o diagrama de corpo livre da figura a seguir, 
multiplicamos a constante g = 9,8m / s2 pela massa m e obtemos os pesos P. A força 
no pino é de direção desconhecida; ela é representada pelas suas componentes XA 
e YA. A força de reação no suporte do basculante é normal a superfície de apoio XB.
FONTE: BEER, Ferdinand Pierre. Mecânica vetorial para engenheiros: Estática. 
São Paulo: Makron Books, 1994.
FONTE: Autora
Vamos escrever as condições de equilíbrio, tomando o ponto A como 
sendo o polo. Encontramos:
Da última equação, temos que: 
 
FIGURA 99 – GUINDASTE DO EXEMPLO 5
FIGURA 100 – ESQUEMA COM AS REAÇÕES EXTERNAS E INTERNAS NO 
GUINDASTE 
TÓPICO 2 | VÍNCULOS
137
FONTE : Autora
Exemplo 6 – Um homem levanta uma viga de 10 kg e 10 m de comprimento 
puxando uma corda. Encontrar a força de tração T na corda e a reação em A. 
Suponha que a aceleração da gravidade é igual à 9,81 m/s2.
FONTE: Disponívelem: <http://www.pucrs.br/feng/civil/professores/glaucia/
cap2(2005-2).pdf>. Acesso em: 26 jan. 2011.
4,00m
45°
25°
A
B
FIGURA 101 – DETALHE DA FORÇA DE REAÇÃO NO PONTO A
FIGURA 102 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
Da primeira, encontramos: 
Da segunda equação: 
Observe, na figura a seguir, o sentido da componente horizontal da força no 
ponto A, XA:
138
UNIDADE 3 | ESTÁTICA
Solução:
FONTE: A autora
Solução: Construímos o diagrama de corpo livre das forças que atuam 
sobre a barra, figura a seguir. As forças de contato atuando na barra em B são 
normais às superfícies da parede, além do peso P =200(9,81) =1962 N. a força 
exercida pelo chão pela esfera na junta em A é representada pelas componentes 
x, y e z. A posição vertical de B é dada por 
 
FIGURA 103 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
Exemplo 7 – A barra de aço uniforme com 7 m de comprimento tem uma 
massa de 200 kg e está apoiada sobre o chão por uma rótula em A. A extremidade 
esférica em B se apoia na parede vertical lisa, como mostrado. Calcule as forças 
exercidas pelas paredes e pelo chão nas extremidades da barra. (MERIAN; 
KRAIGE, 2008, p. 98)
TÓPICO 2 | VÍNCULOS
139
FONTE: A autora
Utilizando A como centro de momento para eliminar a referência das 
forças atuando em A. Os vetores posição são,
FIGURA 104 – DIAGRAMA DE CORPO LIVRE
Onde o centro de massa, localização do vetor P, está à meia distância de A e B.
As forças em A podem ser determinadas como segue:
140
UNIDADE 3 | ESTÁTICA
REAÇÕES EM APOIOS E CONEXÕES PARA UMA ESTRUTURA 
TRIDIMENSIONAL
Ferdinand Pierre Beer
As reações em uma estrutura tridimensional variam da força única de 
direção conhecida, exercida por uma superfície sem atrito, ao sistema força-
binário, exercido por um engaste. 
Consequentemente, em problemas que envolvam o equilíbrio de uma 
estrutura tridimensional, pode haver uma a seis incógnitas associadas às reações 
em cada apoio ou conexão. Uma maneira simples de se determinar o tipo de 
reação correspondente a um dado apoio ou conexão é o número de incógnitas 
envolvidas é achar quais dos seis movimentos fundamentais (translação nas 
direções x, y e z, rotação em torno dos eixos x, y e z) são permitidos e quais 
movimentos são impedidos.
Apoios de esferas, superfícies sem atrito e cabos, por exemplo, impedem 
translação em uma direção apenas e, portanto, exercem uma força única cuja 
linha de ação é conhecida; cada um desses apoios envolve uma incógnita, a saber, 
a intensidade da reação. Roletes sobre superfícies rugosas e rodas sobre trilhos 
impedem a translação em duas direções; as reações correspondentes consistem 
em dois componentes de força desconhecidos. Superfícies rugosas em contato 
direto e apoiados do tipo rótula impedem a translação em três direções; esses 
apoios envolvem três componentes de força desconhecidos.
Alguns apoios e conexões podem impedir tanto a rotação quanto a 
translação; as reações correspondentes incluem tanto binários quanto forças. 
Por exemplo, a reação em um engaste, que impede qualquer movimento (tanto 
rotação quanto translação), consiste em três forças desconhecidas e três binários 
desconhecidos. Uma junta universal, que é projetada para possibilitar rotação 
em torno de dois eixos, exercerá uma reação constituída de três componentes de 
força desconhecidos e um binário desconhecido.
Outros apoios e conexões são projetados principalmente para impedir 
a translação; seu projeto, no entanto, é tal que eles também impedem algumas 
rotações. As reações correspondentes consistem essencialmente em componentes 
de força, mas podem também incluir binários. Um grupo de apoios desse tipo 
inclui articulações e mancais projetados para sustentar somente cargas radiais 
LEITURA COMPLEMENTAR
TÓPICO 2 | VÍNCULOS
141
(por exemplo, mancais de deslizamentos, mancais de rolamento). As reações 
correspondentes consistem em dois componentes de força, mas também podem 
incluir dois binários. Outro grupo inclui apoios do tipo pino e suporte, articulações 
e mancais, projetados para sustentar tanto um empuxo axial quanto uma carga 
radial (Por exemplo, mancais de esferas). As reações correspondentes consistem 
em três componentes de força, mas também podem incluir dois binários. 
Entretanto, esses apoios não exercerão quaisquer binários apreciáveis em 
condições normais de uso. Portanto, somente componentes de força devem ser 
incluídos em suas análises, exceto se verificar que são necessários binários para 
se manter o equilíbrio do corpo rígido, ou exceto se o apoio tiver sido projetado 
especificamente para exercer um binário.
Se as reações envolvem mais seis incógnitas, há mais incógnitas do 
que equações, e algumas das reações são estaticamente indeterminadas. Se as 
reações envolvem menos de seis incógnitas, há mais equações do que incógnitas, 
e algumas das equações de equilíbrio não podem ser satisfeitas em condições 
gerais de carregamento; o corpo rígido só está parcialmente vinculado. 
Entretanto, nas condições de carregamento particulares que correspondem 
a um dado problema, as equações extras frequentemente se reduzem a identidades 
triviais, como 0 = 0, e podem ser desconsideradas; embora só esteja parcialmente 
vinculado, o corpo rígido permanece em equilíbrio. Mesmo com seis ou mais 
incógnitas, é possível que algumas equações de equilíbrio não sejam satisfeitas. 
Isso pode ocorrer quando as reações associadas aos apoios ou são paralelas ou 
interceptam a mesma linha, o corpo rígido está então impropriamente vinculado.
142
UNIDADE 3 | ESTÁTICA
Classificação das estruturas
As estruturas podem ser classificadas quanto ao número de vínculos que 
possui. Podemos comparar o número de vínculos com o número de equações 
independentes que conseguimos através das condições de equilíbrio e classificar 
as estruturas em três tipos.
Hipostática - Na estrutura hipostática o número de equações é maior que 
o número de incógnitas, portanto não possui vínculos suficientes para garantir a 
sua total imobilidade. 
Hiperestática - Na hiperestática o número de equações é menor que o 
número de incógnitas e há superabundância de vínculos para garantir a sua total 
imobilidade.
Isostática - Na estrutura isostática o número de equações é igual ao 
número de incógnitas possuindo assim uma quantidade de vínculos estritamente 
necessária para garantir a sua imobilidade total. 
FONTE: Extraído e adaptado de: BEER, Ferdinand Pierre. Estática. In: Mecânica vetorial para 
engenheiros. São Paulo: Makron Books, 1994. p. 191-193.
143
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você viu os seguintes assuntos relacionados à Física:
• Definimos vínculos e os classificamos em função da sua utilização e restrição 
aos graus de liberdade.
• Mostramos a utilização dos vínculos em sistemas tridimensionais.
• Através de alguns exemplos práticos, abordamos o cálculo das reações 
vinculares.
• Classificamos as estruturas em função das reações e equações de equilíbrio.
144
AUTOATIVIDADE
Chegando ao final de mais um tópico, vamos exercitar nossos 
conhecimentos resolvendo as questões a seguir:
1 A viga AB da figura se encontra apoiada nos extremos por dois vínculos, 
no ponto A um apoio fixo e no ponto B um apoio simples. Pedem-se as 
reações vinculares nos pontos A e B, sabendo-se que a carga P vale 30N. 
FONTE: Autora
2 Uma estrutura em arco é fixa ao suporte articulado no ponto A, e sobre 
roletes em B num plano de 300 com a horizontal. O vão AB mede 20m. 
O peso da estrutura é Q = 10000kgf. A força resultante dos ventos é P = 
2000kgf e situa-se a 4 m, acima de A, paralelamente à reta AB. Determinar 
as reações nos suportes A e B.
FONTE: Autora
FIGURA 105 – VIGA AB 
FIGURA 106 – PÓRTICO 
145
3 A barra homogênea AB de peso P = 120 N está articulada em A e é mantida 
em equilíbrio pelofio ideal BC. Determine a intensidade da força de tração 
no fio e as componentes vertical e horizontal da força da articulação na 
barra. Sabe-se que o comprimento da barra é 1 m e o ângulo é de 300.
4 Observe na figura a seguir, três cargas aplicadas a uma viga. A viga é 
apoiada em um rolete em A e em uma articulação em B. Desprezando o 
peso próprio da viga, determine as reações em A e B quando Q = 75 kN.
5 Determine as reações em A e B quando: (a) α = 00 (b) α = 900 (c) α = 300.
FONTE: Autora
FONTE: Disponível em: <http://www.pucrs.br/feng/civil/professores/
glaucia/cap2(2005-2).pdf>. Acesso em: 26 jan. 2011.
FONTE: Disponível em: <http://www.pucrs.br/feng/civil professores/
glaucia/cap2(2005-2).pdf>. Acesso em: 26 jan. 2011.
FIGURA 107 – BARRA AB
FIGURA 108 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
FIGURA 109 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
146
147
TÓPICO 3
TRELIÇAS
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Uma das principais estruturas utilizadas pela engenharia é a treliça, 
mostrada na figura a seguir, constituída principalmente por elementos retos e 
unidos por um nó.
FONTES: Disponível em: <http://www.serradaprata.com.br/contrucao-civil/trelica-
lancadeira-de-vigas-m3bbd.html?MEid=72>. Acesso em: 15 ago. 2008.
Os elementos da treliça são feitos para suportar pouca carga lateral. 
As cargas, no entanto, são aplicadas aos nós. Veja na figura a seguir, detalhes 
mostrando os pinos nos nós da estrutura.
FIGURA 110 – TRELIÇAS EM CONSTRUÇÕES DE PONTES E VIADUTOS 
UNIDADE 3 | ESTÁTICA
148
FONTE: Disponível em: <http://www.lmc.ep.usp.br/people/hlinde/
Estruturas/garabit.htm> Acesso em: 15 ago. 2008.
A grande vantagem da treliça é atingir grandes vãos livres sem colunas ou 
vigas. Em seguida, veja outros exemplos de estruturas com treliças.
FONTE: Disponível em: <http://www.fec.unicamp.br/~fam/novaes/public_
html/iniciacao/teoria/estrutur/4.htm>. Acesso em: 15 ago. 2008.
FONTE: Disponível em: <http://www.fec.unicamp.br/~fam/novaes/public_html/
iniciacao/teoria/estrutur/4.htm>. Acesso em: 15 ago. 2008.
FIGURA 111 – DETALHE MOSTRANDO OS NÓS NOS PONTOS EM QUE A 
TRELIÇA POSSUI PINOS QUE LIGAM OS ELEMENTOS DA ESTRUTURA 
FIGURA 112 – ESTRUTURAS DE TRELIÇA - ESTRUTURA DE AÇO DE UM 
GALPÃO INDUSTRIAL
FIGURA 113 – ESTRUTURAS DE TRELIÇA - TORRE DE ALTA TENSÃO E UMA TRELIÇA 
PLANA DE MADEIRA
TÓPICO 3 | TRELIÇAS
149
Quando os elementos de treliça se situam essencialmente no mesmo 
plano, a treliça é chamada de treliça plana. Para pontes e estruturas similares, 
treliças planas são utilizadas em pares com uma treliça colocada em cada lado da 
estrutura. (MERIAN; KRAIGE, 2008). 
2 CÁLCULO DAS REAÇÕES
Para Merian e Kraige (2008), quando conexões soldadas ou rebitadas são 
usadas para unir elementos estruturais, podemos normalmente considerar que a 
conexão é do tipo união por pino se as linhas centrais forem concorrentes na junta 
como na a seguir. Na análise de treliças simples, também consideramos que todas 
as forças externas são aplicadas nos nós das juntas.
Consideremos uma barra articulada qualquer como a da figura a seguir. 
Podemos escrever as equações de equilíbrio para esse corpo como segue,
 
FONTE: A autora
FONTE: Autora
Da última equação temos que: , da segunda equação: 
 e da primeira: .
FIGURA 114 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
FIGURA 115 – BARRA QUALQUER ARTICULADA 
UNIDADE 3 | ESTÁTICA
150
Assim sendo, as únicas forças de reação na barra articulada são em sentido 
paralelo ao seu comprimento XA e XB. Estas estão em sentidos opostos, como 
podemos ver os possíveis resultados na figura a seguir. A barra pode estar sendo 
tracionada ou comprimida.
FONTE: Autora
2.1 MÉTODO DOS NÓS
Podemos encontrar as reações internas nos pontos de ligação de vários 
elementos utilizando o método dos nós. Este método consiste em analisar 
separadamente cada ponto de encontro de duas ou mais barras ou articulação 
de interligação das barras e considerar o somatório das forças externas e internas 
que atuam nesse ponto nulo.
Demonstraremos esse método através do exemplo prático a seguir.
Exemplo 6 – A estrutura mostrada na figura a seguir é composta por 
barras biarticuladas, de pesos desprezíveis. A e B são duas articulações externas. 
Determine todos os esforços atuantes nas barras.
FONTE: Autora
Solução: Para determinar os esforços em cada barra, vamos olhar para os 
nós separadamente. Veja o esquema das forças de cada nó na figura a seguir.
FIGURA 116 – REAÇÕES NA BARRA 
FIGURA 117 – TRELIÇA DO EXEMPLO 6 
TÓPICO 3 | TRELIÇAS
151
FONTE: Autora
Agora, vamos escrever as condições de equilíbrio em cada nó. Vamos 
começar com o nó do ponto A, figura a seguir. As únicas forças que atuam no 
ponto a são XA, YA e NAC.
FONTE: Autora
Observando a disposição das forças na figura anterior, escrevemos:
FIGURA 118 – FORÇAS ATUANDO EM CADA NÓ 
FIGURA 119 – FORÇAS NO PONTO A 
UNIDADE 3 | ESTÁTICA
152
FONTE: Autora
FONTE: Autora
FONTE: Autora
Analogamente, escrevemos para cada nó as condições de equilíbrio como segue:
FIGURA 120 – FORÇAS NO PONTO B
FIGURA 121 – FORÇAS NO PONTO C
FIGURA 122 – FORÇAS NO PONTO D 
TÓPICO 3 | TRELIÇAS
153
FONTE: Autora
A partir das equações (5) podemos determinar NCE e NDE, 
, lembrando que , encontramos .
E a partir desse resultado, podemos encontrar NDE, . 
Lembrando que , encontramos, NDE = – Q.
Utilizando as equações (4), podemos determinar NDB e NCD, no nó do 
ponto D:
FIGURA 123 – FORÇAS NO PONTO E
Com as equações (3), determinamos:
UNIDADE 3 | ESTÁTICA
154
Substituindo esse resultado na outra: 
Com as equações (2), determinamos: 
Finalmente, das equações (1) recebemos: 
Assim, encontramos todas as incógnitas procuradas,
Algumas vezes não podemos, inicialmente, atribuir para uma ou ambas 
as forças desconhecidas atuando em um dado nó. Nesse caso, podemos fazer uma 
atribuição arbitrária. Uma força calculada negativa indica que a direção assumida 
inicialmente está errada. (MERIAN; KRAIGE, 2008)
2.1.1 Redundância interna e externa
Conforme Merian e Kraige (2008), se uma treliça tem mais apoios externos do 
que os necessários para garantir uma configuração de equilíbrio estável, a treliça como 
um todo é estaticamente indeterminada e os apoios extras constituem redundância 
externa. Se tiver mais elementos internos que os necessários para evitar o colapso 
quando a treliça é removida de seus apoios, então os elementos extras constituem 
redundância interna, e a treliça é novamente estaticamente indeterminada.
 
Para uma treliça que é estaticamente determinada, existe uma relação 
específica entre o número de seus elementos e o número de seus nós necessária para 
estabilidade interna sem redundância. Como podemos especificar o equilíbrio de 
TÓPICO 3 | TRELIÇAS
155
cada nó por duas equações escalares de força, existem ao todo 2j equações desse 
tipo para uma treliça com j nós. Para a treliça completa composta de m elementos 
de duas forças e tendo no máximo 3 reações de apoio desconhecidas, existem ao 
todo m + 3 incógnitas (m forças de tração ou compressão e três reações). Assim, 
para qualquer treliça plana, a equação m + 3 = 2j será satisfeita se a treliça é 
internamente estaticamente determinada.
 
Observe a figura a seguir, a treliça tem 6 nós, isso dá 2j = 12, 12 equações. 
Com 3 reações R1, R2 e L, assim m + 3 = 12 dá m = 9, 9 forças de tração ou compressão, 
AF, AB, EF, BF,BC, CD, DE, BE, CE.
FONTE: MERIAN; KRAIGE, 2008 p. 118.
FIGURA 124 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
UNIDADE 3 | ESTÁTICA
156
2.1.2 Condições especiais
Para Merian e Kraige (2008), é comum encontrar diversas condições especiais 
na análise de treliças. Quando dois elementos colineares estão sob compressão 
como indicado na figura 125 A , é necessário adicionarum terceiro elemento para 
manter o alinhamento dos dois elementos e prevenir a flambagem. A partir de 
um somatório de forças, vê-se que a força F3 no terceiro elemento deve ser zero na 
direção y e que F1 = F2 na direção x. Essa conclusão é válida independente do ângulo 
θ e também se os elementos colineares estão sob tração. Se uma força externa com 
uma componente y fosse aplicada no nó, então F3 não valeria zero.
Quando dois elementos não colineares são unidos como mostrado na 
figura 125 B, então, na ausência de uma carga externa aplicada a esse nó, as 
forças em ambos os elementos deve ser zero, como podemos ver através dos dois 
somatórios de força.
Quando dois pares de elementos colineares são unidos como mostrado 
na figura 125 C , as forças em cada par devem ser iguais e opostas. Essa conclusão 
deriva dos somatórios de forças indicados na figura 125.
FONTE: MERIAN; KRAIGE, 2008 p. 119. 
3 MÉTODO DAS BARRAS
Podemos utilizar outro método se estivermos interessados apenas na 
reação em uma barra em particular, sem a necessidade de determinar os valores 
de todas as reações. Este método consiste no método das barras e também vamos 
apresentá-lo na forma de um problema concreto, como o do próximo exemplo. 
Exemplo 7 – Queremos determinar o esforço atuante na barra HJ da figura 
a seguir.
FIGURA 125 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
TÓPICO 3 | TRELIÇAS
157
FONTE: Autora
Solução: Primeiramente, vamos impor as condições de equilíbrio sobre 
toda a estrutura, considerando apenas as reações externas, no apoio fixo do ponto 
A e no apoio simples no ponto B. As reações internas podem ser desprezadas 
porque se anulam aos pares. Assim, somando todas as cargas P, obtemos:
FIGURA 126 – ESTRUTURA DO EXEMPLO 7 
A última equação nos dá o valor de YB :
Podemos substituir na segunda para determinar YA :
A primeira equação nos dá, diretamente, o valor de XA = 0 .
Com as reações externas determinadas, podemos encontrar a reação 
interna solicitada na barra HJ. Para tanto, precisamos isolar a parte da estrutura 
em que temos a reação procurada. Vamos analisar a parte da treliça constituída 
pelos pontos I, J,K,L e B.
UNIDADE 3 | ESTÁTICA
158
FONTE: Autora
As forças de reação interna que não se cancelam aos pares são as forças 
NGI , NHI e NHJ . Impondo a condição de momentos nulos, nessa porção da treliça, 
e considerando o ponto I como um polo, encontramos: 
FIGURA 127 – ALGUNS ELEMENTOS DA TRELIÇA CONSTITUÍDA PELOS 
PONTOS I, J, K, L e B 
Substituindo o valor de YB, encontrado anteriormente, temos:
Assim, determinamos o esforço que a barra HJ pode suportar em termos 
da carga P e das dimensões a e b.
159
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico, você teve oportunidade de estudar aspectos importantes, 
cujos itens são apresentados a seguir:
• Definimos treliça e apontamos sua utilidade em Engenharia, mostrando 
algumas estruturas que a empregam.
• Mostramos como calcular as reações internas nos elementos retos da treliça.
• Apresentamos o método dos nós para a determinação das reações externas e 
internas.
• Apresentamos o método das barras como alternativa para a determinação de 
reações num elemento em particular.
160
AUTOATIVIDADE
Para reforçar seu aprendizado, resolva as questões a seguir:
1 Usando a estrutura mostrada na figura 117, do exemplo 6, que é composta 
por barras biarticuladas de pesos desprezíveis, sendo A e B são duas 
articulações externas. Determine todos os esforços atuantes nas barras, 
sabendo que Q = 30 N.
2 Sabendo que P = 30 N, a = 1m e b = 3m, determinar o esforço atuante na barra 
HJ da figura 126, do exemplo 7.
3 Para a estrutura ilustrada, determine as reações no rolete “A” e no engaste “H”.
4 Determine a força em cada elemento da treliça e indique se os elementos estão 
mesmo sob tração ou compressão. Considere que P1 = 500lb e P2 = 100lb.
FONTE: Autora
FONTE: Disponível em: <http://www.professores.uff.br/salete/mec/
CAPVI1.PDF>. Acesso em: 26 jan. 2011.
FIGURA 128 – ELEMENTOS DA TRELIÇA PARA ATIVIDADE
FIGURA 129 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
161
5 Determine a força em cada elemento da treliça e indique se os elementos 
estão mesmo sob tração ou compressão. Considere que P1 = P2 = 4kN.
6 Determine as forças nos elementos BC, HC e HG para a treliça da ponte e 
indique se eles estão sob tração.
FONTE: Disponível em: <http://www.professores.uff.br/salete/mec/CAPVI1.
PDF>. Acesso em: 26 jan. 2011.
FONTE: Disponível em: <http://www.professores.uff.br/salete/mec/CAPVI1.PDF>. 
Acesso em: 26 jan. 2011.
FIGURA 130 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO 
FIGURA 131 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
162
163
TÓPICO 4
VIGAS E CABOS
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Denominamos viga um elemento estrutural que pode sustentar cargas 
aplicadas em vários pontos de sua extensão. Geralmente, as cargas aplicadas 
são perpendiculares ao eixo da viga, causando somente cisalhamento e flexão. A 
figura a seguir mostra a colocação de vigas num viaduto.
FONTE: Disponível em: <http://www.manaus.am.gov.br/secretarias/semosbh/galeria-1/
Colocacoes-de-Vigas---Viaduto-da-Recife---nov-2007.jpg/view>. Acesso em: 15 ago. 2008.
O projeto de qualquer elemento estrutural ou mecânico requer uma 
investigação das cargas que atuam em seu interior para garantir que o material 
utilizado resista ao carregamento. Os efeitos internos podem ser determinados 
pelo uso do método das barras. (HIBBELER, 2005).
FIGURA 132 – COLOCAÇÃO DE VIGAS EM VIADUTO
UNIDADE 3 | ESTÁTICA
164
FIGURA 133 – VIGA SUBMETIDA ÀS CARGAS CONCENTRADAS P
2 
, P
3
 E P
5 
, E AS CARGAS 
DISTRIBUÍDAS P
1
 E P
4
Determinamos, a partir da viga inteira, as reações YA e YB. Cortando a viga 
em dois pedaços, a partir do ponto C, calculamos as reações internas. Tomando o 
pedaço AC determinamos o esforço cortante Ec1 em C, usando a condição Fy = 0 
e o momento fletor a condição .
Exemplo 1 – Uma barra é fixada em uma de suas extremidades e é 
carregada como mostra a figura a seguir. Determine as forças normais internas 
nos pontos B e C.
2 ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO 
FLETOR EM UMA VIGA
As cargas concentradas sobre as vigas são expressas em N (Newton) e as 
cargas distribuídas sobre as vigas são expressas em N/m (Newton/metro). Na 
figura a seguir, a viga AB possui três cargas concentradas: P2 , P3 e P5 , e duas 
cargas distribuídas P1 e P4 . Queremos determinar o esforço cortante e o momento 
fletor num ponto qualquer, como, por exemplo, o ponto C.
FONTE: Autora
TÓPICO 4 | VIGAS E CABOS
165
FONTE: A autora
Solução: Apenas uma força normal AY atua no apoio fixo, uma vez que as 
cargas são aplicadas simetricamente ao longo do eixo da barra (AX = 0, MA = 0).
FONTE: A autora
As forças internas em B e C são obtidas utilizando os diagramas de 
corpo livre da barra secionada, conforme figura anterior. Nenhuma força de 
cisalhamento ou momento atuará nessas seções, por não serem necessários para 
a condição de equilíbrio. Foram escolhidos os segmentos AB e DC porque eles 
contêm menor quantidade de forças.
Segmento AB
FIGURA 134 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
FIGURA 135 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
UNIDADE 3 | ESTÁTICA
166
Segmento DC
3 CABOS
Os cabos são muito utilizados, na Engenharia, em pontes, linhas de 
transmissão, teleféricos etc. Existem duas categorias para os cabos, dependendo 
das cargas que sustentam. Observe os cabos na figura a seguir.
FONTE: Disponível em: <http://www.vias3d.net/web/?ver=Articulos&id=15>. 
Acesso em: 15 ago. 2008.
3.1 CABOS COM CARGAS 
CONCENTRADAS
Vamos considerar um cabo de peso desprezível submetido a três pesos, 
como é ilustrado na figura a seguir. As reações internas podem ser reduzidas a 
uma força de tração na direção ao longo do cabo. As reações nos apoios A e B, 
juntamente com as três cargas, estão representadasna mesma figura.
FIGURA 136 – CABOS 
TÓPICO 4 | VIGAS E CABOS
167
FONTE: Autora
Temos três equações de equilíbrio e quatro incógnitas. Portanto, o sistema 
permanece indeterminado, a menos que obtivermos uma equação adicional. 
Para tanto, vamos considerar o equilíbrio numa parte do cabo. Conhecendo as 
coordenadas de um ponto sobre o cabo entre os dois primeiros pesos, figura a 
seguir, traçamos o diagrama de corpo livre e escrevemos as condições de equilíbrio 
sobre esse segmento do cabo.
FONTE: Autora
Depois de determinar XA e YA, podemos encontrar a distância y de A até 
cada ponto do cabo.
3.2 CABOS COM CARGAS DISTRIBUÍDAS
Quando um cabo sustenta uma carga distribuída, ele toma a forma de 
uma curva como o da figura a seguir, e a força interna em cada ponto é uma força 
de tração direcionada ao longo da tangente dessa curva.
FIGURA 137 – CABO SUSTENTANDO 3 CARGAS
FIGURA 138 – DIAGRAMA DE CORPO LIVRE DO SEGMENTO AO 
UNIDADE 3 | ESTÁTICA
168
FONTE: Autora
Traçando um diagrama de corpo livre da parte do cabo, desde o ponto mais 
baixo O até um outro ponto qualquer Q, temos as forças T0 no ponto mais baixo, T 
no ponto qualquer e P para o peso distribuído na parte do cabo considerado. Do 
triângulo retângulo formado por essas forças:
FIGURA 139 – CARGA DISTRIBUÍDA NUM CABO
O resultado acima mostra que a componente horizontal da força de tração 
 é a mesma em qualquer ponto e a componente vertical é igual à carga medida 
a partir do ponto mais baixo.
169
Neste tópico, você teve oportunidade de estudar os seguintes conteúdos 
de Mecânica:
• Vimos a utilização de cabos e vigas na Engenharia.
• Mostramos o conceito de esforço cortante e momento fletor numa viga.
• Estudamos cabos submetidos a cargas concentradas e cargas distribuídas.
RESUMO DO TÓPICO 4
170
AUTOATIVIDADE
Caro(a) acadêmico(a)! Para fixar o tópico estudado, resolva estas 
questões a seguir:
1 Encontre o esforço cortante e o momento fletor no ponto C da (Figura a 
seguir) que segue.
FONTE: Autora.
2 O cabo AB (Figura a seguir) sustenta três cargas verticais nos pontos 
indicados. Se o ponto D está 1,5 m abaixo do apoio esquerdo, determine: 
(a) A elevação dos pontos C e E. (b) A inclinação máxima e a tração máxima 
no cabo.
FONTE: Autora
FIGURA 140 – VIGA AB COM DUAS CARGAS CONCENTRADAS
FIGURA 141 – CABO COM TRÊS CARGAS CONCENTRADAS 
171
TÓPICO 5
TENSÃO E DEFORMAÇÃO
UNIDADE 3
1 INTRODUÇÃO
Se o corpo é submetido a uma carga externa, ocorre uma distribuição de 
força que mantém cada segmento do corpo em equilíbrio. Tensão é a intensidade 
dessa força interna que age em cada ponto do corpo.
Podemos ilustrar as tensões em cinco tipos principais: tração, compressão, 
flexão, cisalhamento e torção. Observe na figura a seguir como as forças atuam na 
barra em cada um desses casos.
FONTE: Autora
A maior parte dos elementos estruturais ou mecânicos são finos e 
compridos, com cargas frequentemente aplicadas nas suas extremidades, podendo 
se tratar de uma tração ou uma compressão. Vamos considerar que A é a área da 
seção transversal de uma barra, como o da figura a seguir, e N a intensidade da 
força interna, sendo ambas constantes ao longo do eixo longitudinal da barra. 
Então, a tensão normal também é constante ao longo da barra e é dada pela 
expressão: .
Para diferenciar entre uma compressão ou uma tração, convencionamos 
que N é positivo se provoca uma tração e negativo se provoca uma compressão. 
 
2 TENSÃO NORMAL
FIGURA 142 – TIPOS DE SOLICITAÇÕES 
UNIDADE 3 | ESTÁTICA
172
A unidade da tensão no sistema internacional é o Newtons por metro 
quadrado (N/m2). Essa unidade é denominada Pascal (Pa), podendo ser acrescida 
dos prefixos k (kilo = 103), M (mega = 106) e G (giga = 109).
FONTE: Autora
Exemplo 1 – A luminária de 70 kg é suportada por duas hastes AB e BC 
como mostra a figura a seguir. Se AB tem diâmetro de 9 mm e BC tem diâmetro 
de 7 mm, determine a tensão normal média em cada haste.
FONTE: Autora
Solução: Fazendo um diagrama de corpo livre como o da figura a seguir, 
explicitamos as forças nas direções dos dois eixos coordenados x e y.
FONTE: Autora
FIGURA 143 – TRAÇÃO E COMPRESSÃO
FIGURA 144 – LUMINÁRIA 
FIGURA 145 – DIAGRAMA DE CORPO LIVRE 
TÓPICO 5 | TENSÃO E DEFORMAÇÃO
173
E aplicando as equações de equilíbrio para cada uma dessas direções, 
encontramos:
Sabendo que a massa da luminária é de 70 kg, e que a aceleração da 
gravidade é g = 9,8m / s2, podemos calcular o seu peso: 
Substituindo P na equação de equilíbrio para y e resolvendo ambas:
A tensão normal média em cada haste passa a ser então , sendo 
a área circular da seção transversal igual a , em que r é o raio que pode 
ser determinado dividindo-se o diâmetro por 2. Temos,
UNIDADE 3 | ESTÁTICA
174
3 TENSÃO DE CISALHAMENTO
A tensão de cisalhamento é paralela ao plano da seção transversal e se 
caracteriza por uma tendência de corte. Ao cortar um tecido, fatiar um pedaço de 
queijo ou aparar um pedaço de papel com uma guilhotina, você está praticando 
um cisalhamento. Durante o corte, as partes se movimentam paralelamente, por 
escorregamento, uma sobre a outra, separando-se. Todo material possui certa 
resistência a esse cisalhamento. É possível determinar a tensão de cisalhamento 
dos corpos sujeitos aos esforços cortantes de duas maneiras diferentes, fazendo um 
ensaio de cisalhamento ou utilizando o valor de resistência à tração do material.
FONTE: Disponível em: <http://www.lrm.ufjf.br/pdf/07cisalhamento.pdf> 
. Acesso em: 18 Ago. 2008.
O ensaio de cisalhamento para pinos, rebites e parafusos é feito da 
seguinte maneira: utiliza-se um dispositivo como o representado pela figura 
anterior. Nele, o corpo de prova é inserido entre as duas partes móveis e, então, é 
submetido a uma força de tração ou compressão perpendicular ao seu eixo axial. 
Observe a região do corpo que é afetada pelo cisalhamento. A força aplicada é 
aumentada lentamente até que ocorra a ruptura do corpo de prova. Podem-se 
também ensaiar as soldas substituindo o corpo de prova por junções soldadas.
No caso de ensaios de cisalhamento de chapas, o dispositivo utilizado 
é semelhante ao apresentado na figura a seguir, em que se determina apenas o 
valor da força que provoca a ruptura da seção transversal do corpo de prova.
FIGURA 146 – DISPOSITIVO UTILIZADO PARA ENSAIO DE CISALHAMENTO 
F
F
região de
parafusos
de fixação
cisalhamento
corpo de prova
TÓPICO 5 | TENSÃO E DEFORMAÇÃO
175
FONTE: Disponível em: <http://www.lrm.ufjf.br/pdf/07cisalhamento.pdf>. 
Acesso em: 18 ago. 2008.
Para o cálculo da tensão de cisalhamento , precisamos determinar a 
relação entre a força cortante F pela área A do corpo: .
Exemplo 2 – O desenho da figura a seguir mostra um rebite de 20 mm de 
diâmetro que será usado para unir duas chapas de aço, devendo suportar um 
esforço cortante de 29400 N. Qual será a tensão de cisalhamento sobre a área da 
seção transversal do rebite?
FONTE: Disponível em: <http://www.lrm.ufjf.br/pdf/07cisalhamento.pdf>. Acesso 
em: 18 ago. 2008.
Solução: A área da seção transversal é dada pela expressão , em 
que r é o raio que pode ser determinado dividindo-se o diâmetro por 2. Utilizando 
a definição de tensão de cisalhamento encontramos que:
FIGURA 147 – DISPOSITIVO UTILIZADO PARA ENSAIO DE CISALHAMENTO 
FIGURA 148 – REBITE UNINDO DUAS CHAPAS DE AÇO 
F
F
F
corpo de prova
punção cilíndrico
rebite
∅ 20
ferramenta
UNIDADE 3 | ESTÁTICA
176
4 TENSÃO ADMISSÍVEL
Quando o engenheiro executa um projeto com elementos estruturais ou 
mecânicos, precisa restringir a tensão do material a um nível seguro. A tensão 
admissível é uma característica do material utilizado e indica até quanto o materialsuporta a tensão antes de se romper. É necessário escolher uma tensão admissível 
para a carga aplicada menor do que a carga que o elemento pode suportar para 
garantir a segurança, pois podem ocorrer cargas acidentais, impactos ou vibrações 
desconhecidas, além dos possíveis desgastes provocados pela corrosão. 
O fator de segurança FS dá a relação entre a carga de ruptura Frup e a carga 
admissível Fadm.
FONTE: HIBBELER (2006, p. 35).
Quando se projetam guindastes, como o da figura anterior, feitos 
para movimentar cargas pesadas, é preciso considerar fatores de segurança 
adequados. O fator de segurança é sempre maior do que 1. É possível utilizar-
se valores próximos de 1, quando é importante reduzir-se o peso ao máximo. 
Porém, em usinas nucleares, em que há incerteza nas cargas e no comportamento 
do material, o fator de segurança alcança valores próximos a 3.
Exemplo 3 – Uma carga axial no eixo mostrado na figura a seguir é 
resistida pelo colar em C, que está preso ao eixo e localizado à direita do mancal 
em B. Determine o maior valor de P para as duas forças axiais em E e F, de 
modo que a tensão no colar não exceda uma tensão de apoio admissível em C 
de e que a tensão normal média no eixo não exceda um esforço de 
tração admissível de .
FIGURA 149 – GUINDASTE
TÓPICO 5 | TENSÃO E DEFORMAÇÃO
177
FONTE: HIBBELER (2006, p. 42).
Solução: Vamos encontrar primeiro a tensão normal máxima que ocorre na 
região EC, pois, observando a figura a seguir, podemos perceber que a carga axial no 
interior da região FE é de 2P, e a maior carga ocorre no interior da região EC. Assim:
FONTE: HIBBELER (2006, p. 42).
Agora, vamos calcular a tensão de apoio no colar. Observe a figura a 
seguir. O colar deve resistir a uma carga de 3P, que atua na área de apoio de 
 Então:
FONTE: HIBBELER (2006 p. 43).
FIGURA 150 – EIXO 
FIGURA 151 – DISTRIBUIÇÃO DA CARGA AXIAL 
FIGURA 152 – DISTRIBUIÇÃO DA CARGA NO APOIO
UNIDADE 3 | ESTÁTICA
178
Portanto, a maior carga que pode ser aplicada no eixo é de P = 51,8kN.
5 DEFORMAÇÃO
Quando um corpo é submetido a uma força, tende a mudar de tamanho 
e forma. Isso origina o que chamamos de deformação. Esta deformação pode 
se apresentar visível aos nossos olhos ou ser imperceptível. Podemos medir as 
deformações através de experiências e aplicar os valores às cargas e tensões que 
vão atuar no interior do corpo.
5.1 DEFORMAÇÃO NORMAL
É a deformação que produz um alongamento ou contração de um 
segmento de reta por unidade de comprimento. Considere os pontos A e B sobre 
a reta pontilhada que representa o eixo na figura 153 (a). O segmento ∆S, é o 
comprimento da reta AB. Quando o corpo sofre a deformação, esses pontos são 
deslocados para as posições A´e B´, figura 153 (b) em que a reta se transforma 
numa curva de comprimento ∆S´. A deformação normal média ε é dada pela 
expressão: .
FONTE: Autora
Quando a deformação normal é conhecida, podemos obter o comprimento 
final aproximado na direção do eixo depois da deformação. Assim, SS ∆+≈∆ )1(´ ε .
Observe que, se for positivo à reta, alonga-se e se for negativo, 
contrai-se. A deformação é uma grandeza adimensional, pois se trata de uma 
relação entre comprimentos.
Exemplo 4 – Uma haste delgada como a da figura a seguir está submetida 
a um aumento de temperatura, o que cria uma deformação normal na haste de 
FIGURA 153 – DEFORMAÇÃO
TÓPICO 5 | TENSÃO E DEFORMAÇÃO
179
. O z é dado em metros. Determinar : (a) o deslocamento da 
extremidade B da haste devido ao aumento de temperatura e (b) a deformação 
normal média da haste.
FONTE: Autora
Solução: (a) Como a deformação normal é dada para cada ponto ao longo 
da haste, um segmento diferencial dy, localizado na posição y, tem comprimento 
deformado determinado por 
FIGURA 154 – HASTE 
O deslocamento é, portanto .
(b) A deformação média é .
180
Neste tópico, você teve oportunidade de estudar os seguintes conteúdos:
• Observamos que os corpos podem se deformar quando submetidos à tensão.
• Vimos que a tensão é uma força interna que se distribui no corpo para mantê-lo 
em equilíbrio quando submetido a uma carga.
• Calculamos a tensão normal e definimos tensão de cisalhamento.
• Mostramos como calcular a tensão admissível.
• Estudamos a deformação e vimos que ela tem por efeito causar uma mudança 
no tamanho do corpo.
RESUMO DO TÓPICO 5
181
Chegando ao final de mais um tópico, caro(a) acadêmico(a), para 
melhor fixação do conteúdo, resolva as questões a seguir:
1 A luminária da figura a seguir tem 50 kg e é suportada pelas hastes AB e 
CB, com diâmetros de 8 mm e 10 mm, respectivamente. Calcule o valor da 
tensão normal média em cada haste e determine qual das duas hastes está 
sujeita à maior tensão.
FONTE: Autora
2 O tirante está apoiado em sua extremidade por um disco circular fixo como 
mostrado na figura a seguir. Se a haste passa por um furo de 40mm de 
diâmetro, determinar o diâmetro mínimo requerido da haste e a espessura 
mínima do disco, necessários para suportar uma carga de 20kN. A tensão 
normal admissível da haste é , e a tensão de cisalhamento 
admissível do disco é .
FONTE: Disponível em: <http://meusite.mackenzie.com.br/alex_
bandeira/ResmatI/Aula03.pdf>. Acesso em: 18 ago. 2008.
FIGURA 155 – LUMINÁRIA 
FIGURA 156 – TIRANTE 
AUTOATIVIDADE
182
183
REFERÊNCIAS
BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON JR, E. Russell; CLAUSEN, William E. 
Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. São Paulo: McGraw Hill. 2006.
BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON JR, E. Russell; CLAUSEN, William E. 
Mecânica Vetorial para Engenheiros: Dinâmica. 7º ed. São Paulo: McGraw Hill. 
2006.
BEER, Ferdinand Pierre. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. São 
Paulo: Makron Books, 1994.
HIBBELER, R. C. Estática: Mecânica para engenheiros. 10º ed. São Paulo: Person 
Education do Brasil, 2005.
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Engineering Mechanics. volume I: Statics e 
volume II: Dynamics, New York: John Willey & Sons, 1998.
MERIAN, J. L.; KRAIGE, L. g. Mecânica: Estática. 5º ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2008.
PUCRS. Disponível em: <http://www.pucrs.br/feng/civil/professores/regina/
mecanica_dos_solidos_apostila_2007_2.pdf>. Acesso em: 26 jan. 2011.
SCRIBD. Disponível em: <http://www.scribd.com/doc/31637938/Mecanica-
vetorial-para-engenheiros-Estatica-Beer>. Acesso em: 26 jan. 2011.
SC.EHU. Disponível em: <www.sc.ehu.es/sbweb/fisica>. Acesso em: 26 jan. 2011.
SOFISICA. Disponível em: <http://www.sofisica.com.br/conteudos/exercicios/
mhs.php>. Acesso em: 26 jan. 2011.
UFS. Disponível em: <http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egsantana/solido/
din_rotacion/inercia/inercia.htm>. Acesso em: 26 jan. 2011.
YOUNG, Hugh D.; FREEDMANN, Roger A. Física I: Mecânica. São Paulo: 
Persons Education do Brasil, 2010.