EDP listas

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Equações	
  Diferenciais	
  Parciais	
  (EDP)	
  
Cap.	
  12,	
  Kresyszig	
  	
  	
  
Jefferson	
  Soares	
  da	
  Costa	
  
	
  
2	
  
Conceitos	
  Básicos	
  	
  
Uma Equação Diferencial Parcial (EDP) é uma equação envolvendo 
uma ou mais derivadas parciais de uma função (desconhecida), que 
chamaremos de u e que depende de duas ou mais variáveis. 
Equação Diferencial Parcial 
A ordem da derivada mais alta é chamada de ordem da EDP. 
Uma EDP é linear se ela é do primeiro grau na função desconhecida 
u e em suas derivadas parciais, Caso contrário, ela é chamada de 
não-linear. 
Chamamos uma EDP linear de homogênea se cada um de seus 
termos contém u ou uma de suas derivadas parciais. De outro modo, 
dizemos que a equação é não-homogênea. 
3	
  
Conceitos	
  Básicos	
  	
  
Exemplos de EDP 
4	
  
Conceitos	
  Básicos	
  	
  
Uma solução de uma EDP em alguma região R do espaço das 
variáveis independentes é uma função que tem todas as suas 
derivadas parciais aparecendo na EDP em algum domínio D 
contendo R e que satisfaz à EDP em qualquer ponto de R. 
Soluções de uma EDP 
Geralmente uma EDP possui várias soluções. Por exemplo as 
funções u = x2 – y2, u = excos(y), u = sen(x)cosh(y), u = ln(x2 + y2) 
são soluções da mesma EDP. 
Esta restrição é feita através de condições adicionais que surgem do 
problema. Podemos impondo que a solução u assuma valores dados 
no contorno da região R (condições de contorno). Ou, quando o 
tempo t é uma das variáveis, que u (ou ut = ∂u/∂t ou ambas) 
possa(m) ser determinada(s) em t = 0 (“condições iniciais”). 
5	
  
Conceitos	
  Básicos	
  	
  
Sabemos que, se uma EDO é linear e homogênea, então, a partir de 
soluções conhecidas, podemos obter outras soluções por 
superposição. O mesmo é válido para EDP’s e o procedimento é 
completamente análogo, de forma que temos: 
Teorema da superposição 
6	
  
Conceitos	
  Básicos	
  	
  
Exemplo 01 
Encontre soluções u da EDP uxx – u = 0 dependentes de x e y. 
Solução 
Percebemos que não existem derivadas de u com relação y, 
podemos resolver a EDP (uxx – u = 0) como uma EDO (u’’ – u = 0) 
Resolvendo u’’ – u = 0 temos sua equação característica será: 
λ 2 −1= 0
λ = ±1
De forma que a solução seria u = Aex + Be-x , nesta caso como 
estamos tratando uma EDP temos que as constantes A e B são 
funções de y, assim a solução geral será. 
7	
  
Conceitos	
  Básicos	
  	
  
Exemplo 02 
Encontre soluções u da EDP uxy = -ux . 
Solução 
Fazemos ux = p, ficamos com: 
Cuja solução será: 
Por integração temos que a solução geral será: 
Onde ƒ(x) será ∫c(x)dx, podemos perceber que ƒ(x) e g(y) são 
arbitrários 
8	
  
Modelagem:	
  Corda	
  Vibrante,	
  Equação	
  da	
  Onda	
  
Como uma primeira e importante EDP, determinaremos a equação 
que rege as pequenas vibrações transversais de uma corda elástica, 
como uma corda de violino. Consideremos a corda situada ao longo 
do eixo x, esticada com um comprimento L e fixada nas 
extremidades x = 0 e x = L. Então, estendemos a corda e, num 
instante qualquer, que chamaremos de t = 0, nós a soltamos, 
deixando-a vibrar, O problema consiste em determinar as vibrações 
da corda, ou seja, achar sua deflexão u(x, t) em um ponto x e em 
qualquer instante t > 0 
Problema da corda vibrante 
9	
  
Modelagem:	
  Corda	
  Vibrante,	
  Equação	
  da	
  Onda	
  
Problema da corda vibrante 
Suposições Físicas: 
 
1. A massa da corda por unidade de comprimento é constante 
(“corda homogênea”). A corda é perfeitamente elástica e não oferece 
resistência à deflexão. 
 
2. A tensão causada pelo esticamento da corda, presa pelas suas 
extremidades, é tão grande que a ação da força gravitacional na 
corda (que tenta puxá-la um pouco para baixo) pode ser desprezada. 
 
3. A corda executa pequenos movimentos transversais num plano 
vertical, isto é, cada partícula da corda move-se de modo 
estritamente vertical, de modo que a deflexão e a inclinação em cada 
ponto da corda sempre permanecerão pequenas em valores 
absolutos 
 
 
 
10	
  
Modelagem:	
  Corda	
  Vibrante,	
  Equação	
  da	
  Onda	
  
Problema da corda vibrante 
Para obter a EDP da corda vibrante, devemos analisar as forças 
atuando sobre uma porção muito pequena da corda. Vamos estudar 
o movimento da corda nas duas direções x e y. 
 
Como não temos movimento da direção horizontal em x temos: 
 
 
Já na direção de y utilizaremos a segunda lei de Newton, pela 
segunda lei de Newton temos: 
 
 
 
 
Dividindo a expressão acima por T2cos(b) = T1 cos(a) = T, obtemos: 
11	
  
Modelagem:	
  Corda	
  Vibrante,	
  Equação	
  da	
  Onda	
  
Problema da corda vibrante 
Como tan(a) e tan(b) são as inclinações da corda em x e x + Δx 
temos que: 
 
 
 
Dividindo a expressão referente ao balanço de forcas na direção de 
y por Δx ficamos com: 
 
 
 
 
Se tomarmos Δx → 0 ficamos com 
 
 
 
 
Que é denominada equação de onda unidimensional e T/ρ é 
representado por c2 para indicar que é uma constante 
necessariamente positiva 
 
12	
  
Solução	
  por	
  Separação	
  de	
  Variáveis.	
  Uso	
  da	
  Série	
  de	
  Fourier	
  
Vamos agora resolver a equação de onda unidimensional, mas 
primeiramente temos que para a solução da equação (u(x, t)) ter 
significado físico vamos impor algumas condições. 
Solução por Separação de Variáveis. Uso da Série de Fourier 
Vamos impor duas condições de contorno. 
Vamos impor duas condições iniciais, a forma do movimento da 
corda dependerá de sua deflexão inicial (u(x, 0)), que chamaremos 
de f(x), e de sua velocidade inicial (ut(x, 0)), que chamaremos de 
g(x). 
13	
  
Solução	
  por	
  Separação	
  de	
  Variáveis.	
  Uso	
  da	
  Série	
  de	
  Fourier	
  
Finalmente para resolver o nosso problema vamos seguir o seguinte 
algoritmo que consiste em 3 passos. 
 
Passo 01: Pelo método da separação de variáveis ou método do 
produto faremos u(x, t) = F(x)G(t), obtemos de (1) duas EDOs: uma 
para F(x) e outra para G(t). 
 
Passo 02: Achamos soluções dessas EDOs que satisfazem as 
condições de contorno . 
 
Passo 03: Finalmente, usando séries de Fourier, faremos uma 
composição das soluções obtidas no Passo 2 para obtermos a 
solução de (1) que satisfaz ambas (2) e (3), ou seja, a solução de 
nosso modelo da corda vibrante. 
Solução por Separação de Variáveis. Uso da Série de Fourier 
14	
  
Solução	
  por	
  Separação	
  de	
  Variáveis.	
  Uso	
  da	
  Série	
  de	
  Fourier	
  
Usando o método do separação de variáveis (Passo 01) ficamos 
com: 
Solução por Separação de Variáveis. Uso da Série de Fourier 
Nossa EDP se tornou: 
Dividindo tudo por c2FG e igualando a uma constante k, ficamos com: 
15	
  
Solução	
  por	
  Separação	
  de	
  Variáveis.	
  Uso	
  da	
  Série	
  de	
  Fourier	
  
Multiplicando a expressão anterior pelos denominadores ficamos 
com duas EDO: 
Solução por Separação de Variáveis. Uso da Série de Fourier 
De modo que este k é denominado constante de separação 
Vamos agora satisfazer as condições de contorno do problema 
(Passo 02) 
Determinemos agora soluções F e G para as equações acima, de 
modo que u = FG satisfaça as condições de contorno, ou seja: 
16	
  
Solução	
  por	
  Separação	
  de	
  Variáveis.	
  Uso	
  da	
  Série	
  de	
  Fourier	
  
Primeiro, resolvemos para o caso trivial Se G ≡	
  0, então u = FG ≡ 0, o 
que não tem interesse. Logo, G ≠ 0, neste caso temos que as 
condições de contorno ficarão: 
Soluçãopor Separação de Variáveis. Uso da Série de Fourier 
Para k = 0, a solução geral será F = ax + b e obtemos a = b = 0, de 
modo que F ≡ 0 e u = FG ≡	
  0, o que não tem qualquer interesse. 
Para valores positivos de k = u2, uma solução geral é 
De modo que F ≡ 0, devemos então fazer k negativo (k = -p2), 
ficamos com a equação F’’ + p2F = 0, cuja solução é bem conhecida. 
Impondo as condições de contorno ficamos com: 
17	
  
Solução	
  por	
  Separação	
  de	
  Variáveis.	
  Uso	
  da	
  Série	
  de	
  Fourier	
  
Desta forma é necessário que B ≠ 0, logo ficamos com sen(pL) = 0, 
assim ficamos com 
Solução por Separação de Variáveis. Uso da Série de Fourier 
Fazendo B = 1, obtemos um número infinito de soluções F(x) = Fn(x), 
onde: 
Agora vamos obter G(t), temos que k = -p2 = -(nπ/L)2, isto significa: 
De modo que a solução geral para G(t) será: 
18	
  
Solução	
  por	
  Separação	
  de	
  Variáveis.	
  Uso	
  da	
  Série	
  de	
  Fourier	
  
Logo, as soluções gerais são são un(x, t) = Fn(x)Gn(t) = Gn(t)Fn(x), 
que escrevemos como: 
Solução por Separação de Variáveis. Uso da Série de Fourier 
Essas funções são chamadas de autofunções, ou funções 
características, e os valores λn = cnp/L são chamados de 
autovalores, ou valores característicos, de uma corda vibrante. O 
conjunto {λ1, λ2,...,} é chamado de espectro 
Vemos que cada un representa um movimento harmônico cuja 
frequência corresponde a λn/2π = cn/2L ciclos por unidade de tempo. 
Esse movimento é chamado de n-ésimo modo normal da corda 
19	
  
Solução	
  por	
  Separação	
  de	
  Variáveis.	
  Uso	
  da	
  Série	
  de	
  Fourier	
  
Vamos agora concluir a solução da EDP (Passo 03). As autofunções 
un, satisfazem a equação de onda e as condições de contorno, no 
entanto uma unica un não satisfará as condições iniciais. Felizmente 
a equação de onda é linear e homogênea de modo que uma 
combinação linear de soluções também será solução, então ficamos: 
Solução por Separação de Variáveis. Uso da Série de Fourier 
Satisfazendo a condição inicial de deslocamento inicial ficamos com: 
Escolheremos os Bn’s de modo que u(x, 0) se torne a série senoidal 
de Fourier de f(x) tal que : 
20	
  
Solução	
  por	
  Separação	
  de	
  Variáveis.	
  Uso	
  da	
  Série	
  de	
  Fourier	
  
Satisfazendo à Condição Inicial de Velocidade Inicial, temos que: 
Solução por Separação de Variáveis. Uso da Série de Fourier 
Fazendo t = o e tomando uma série de Fourier senoidal para g(x) 
temos que: 
21	
  
Solução	
  por	
  Separação	
  de	
  Variáveis.	
  Uso	
  da	
  Série	
  de	
  Fourier	
  
No caso da Velocidade Inicial ser identicamente igual a zero (g(x) = 
0). Neste caso teremos que todos os Bn* serão zero. Teremos que: 
Solução por Separação de Variáveis. Uso da Série de Fourier 
Consequentemente teremos que: 
Ou seja o u(x ,t) será da forma 
22	
  
Solução	
  por	
  Separação	
  de	
  Variáveis.	
  Uso	
  da	
  Série	
  de	
  Fourier	
  
Exemplo 01 
Ache a solução da equação da onda correspondente à deflexão 
inicial triangular. 
23	
  
Solução	
  por	
  Separação	
  de	
  Variáveis.	
  Uso	
  da	
  Série	
  de	
  Fourier	
  
Exemplo 01 (cont.) 
Como g(x) = 0, logo Bn* = 0, nos resta apenas calcular o Bn*, para 
isto temos: 
Solução 
bn =
2
L [
2k
L xsen(
nπ x
L )dx +0
L/2
∫ 2kL (L − x)sen(
nπ x
L )dx]L/2
L
∫
Consequentemente a Solução geral será: 
24	
  
Solução	
  por	
  Separação	
  de	
  Variáveis.	
  Uso	
  da	
  Série	
  de	
  Fourier	
  
Exemplo 01 (cont.) 
25	
  
Equação	
  do	
  Calor:	
  Solução	
  por	
  Séries	
  de	
  Fourier	
  
Estudamos anteriormente a equação de onda, passaremos agora a 
analisar outra EDP muito importante, a denominada Equação do 
calor. Esta equação é da seguinte forma 
Equação do Calor: Solução por Séries de Fourier 
Onde u(x, y, z, t) representa a temperatura para um corpo de 
material homogêneo, c2 é a difusividade térmica, K a condutividade 
térmica, σ o calor específico e ρ a massa específica do material do 
corpo. Esta equação também é denominada equação de difusão, a 
principio estudaremos o caso onde u(x, t) (equação do calor 
unidimensional) 
26	
  
Equação	
  do	
  Calor:	
  Solução	
  por	
  Séries	
  de	
  Fourier	
  
Ao observar esta EDP percebemos que ela apresenta duas 
derivadas em x (uxx), porém diferentemente da equação de onda 
apresenta apenas uma derivada em t (ut). 
Equação do Calor: Solução por Séries de Fourier 
As condições de contorno do problema serão: 
Como o problema só possui uma derivada com relação a t, 
precisamos de apenas uma condição inicial. 
O Método de solução será o mesmo utilizado para equação de onda, 
baseado em 3 passos: Usar o método de separação de variáveis, 
impor as condições iniciais e de contorno e por fim encontrar a 
solução geral com o auxilio de séries de Fourier. 
27	
  
Equação	
  do	
  Calor:	
  Solução	
  por	
  Séries	
  de	
  Fourier	
  
Vamos agora resolver a EDP, no Passo 01 fazemos u(x, t) = F(x)G(t) 
substituindo na EDP ficamos com FĠ = c2F’’G com Ġ = dG/dt e F 
=d2F/dx2 
Equação do Calor: Solução por Séries de Fourier 
Igualando a Equação acima a uma constante k = -p2. 
Isto nos fornece diretamente duas EDO’s 
28	
  
Equação	
  do	
  Calor:	
  Solução	
  por	
  Séries	
  de	
  Fourier	
  
Vamos agora resolver as EDOs e satisfazer as condições de 
contorno e iniciais (Passo 02). 
Equação do Calor: Solução por Séries de Fourier 
Uma solução geral para F’’ + p2F = 0 será: 
Impondo as condições de contorno ficaremos com: 
O que implica em: 
E consequentemente teremos 
29	
  
Equação	
  do	
  Calor:	
  Solução	
  por	
  Séries	
  de	
  Fourier	
  
Fazendo B = 1, ficamos com as seguinte soluções 
Equação do Calor: Solução por Séries de Fourier 
Como p = nπ/L, para Ġ + c2P2G = 0, ficamos com: 
Esta EDO terá solução geral: 
Com Bn sendo uma constante, assim a solução será: 
30	
  
Equação	
  do	
  Calor:	
  Solução	
  por	
  Séries	
  de	
  Fourier	
  
Devida a linearidade desta EDP, se possuirmos n soluções da EDP a 
combinação linear destas soluções também será solução, nesta 
caso ficamos com: 
Equação do Calor: Solução por Séries de Fourier 
Impondo as condições iniciais ficamos com: 
Encontrando os coeficientes Bn* por meio de Séries de Fourier 
(Passo 03) temos que: 
31	
  
Equação	
  do	
  Calor:	
  Solução	
  por	
  Séries	
  de	
  Fourier	
  
Encontre a temperatura u(x, t) numa barra de cobre de 80 cm de 
comprimento e isolada lateralmente, considerando que a 
temperatura inicial seja de 100sen(px/80)°C e que extremidades 
estejam mantidas a 0°C. Quanto tempo será necessário para que a 
temperatura máxima caia a 50°C?. Dados físicos sobre o cobre: 
massa específica 8,92 gm/cm3, calor específico 0,092 cal/(gm° C), 
condutividade térmica 0,95 cal/(cm s °C). 
Exemplo 01 
Solução 
Pela condição inicial do problema temos que: 
De cara temos que B1 = 100, B2 = B3 = B4 = 0, precisamos ainda 
calcular λ12, que será λ12 = c2π2/L2, vamos calcular primeiramente c2 
32	
  
Equação	
  do	
  Calor:	
  Solução	
  por	
  Séries	
  de	
  Fourier	
  
Com L = 80 cm, temos que λ12 será. 
Exemplo 01 (cont.) 
Desta forma a temperatura variará com a posição e o tempo da 
seguinte forma 
De modo que para calcular o tempo necessário para a temperatura 
máxima seja 50 ºC será: 
33	
  
Equação	
  do	
  Calor:	
  Solução	
  por	
  Séries	
  de	
  Fourier	
  
Encontre a temperatura numa barra de comprimento L, lateralmente 
isolada e cujas extremidadessão mantidas numa temperatura 0, 
supondo que a temperatura inicial seja 
Exemplo 02 
34	
  
Equação	
  do	
  Calor:	
  Solução	
  por	
  Séries	
  de	
  Fourier	
  
Sabemos que Bn será: 
Exemplo 02 (cont.) 
Solução 
Ficamos então com: 
Temos que Bn = 0, se n for par, para n impar ficamos com: 
35	
  
Equação	
  do	
  Calor:	
  Solução	
  por	
  Séries	
  de	
  Fourier	
  
Exemplo 02 (cont.) 
Assim o comportamento da temperatura u(x, t) será: 
36	
  
Equação	
  do	
  Calor:	
  Problema	
  bidimensional	
  e	
  estacionário	
  
Vamos considerar agora a Equação do calor no bidimensional 
Equação do Calor: Problema bidimensional e estacionário 
Vamos analisar agora o caso estacionário, ou seja ∂u/∂t = 0, nossa 
equação se reduz a chamada equação de Laplace. 
Este problema consiste numa EDP a ser considerada em alguma 
região R do plano xy e uma dada condição de contorno sobre a 
curva C de R. Este é um problema de valor de contorno (PVC). 
37	
  
Equação	
  do	
  Calor:	
  Problema	
  bidimensional	
  e	
  estacionário	
  
Podemos dizer que um problema de contorno será. 
Equação do Calor: Problema bidimensional e estacionário 
No nosso caso temos um Problema de Dirichlet em um Retângulo R, 
Consideremos um problema de Dirichlet para a equação de Laplace 
num retângulo R, supondo que a temperatura u(x, y) seja igual a 
uma dada função f(x) no lado superior e igual a 0 nos outros três 
lados do retângulo 
38	
  
Equação	
  do	
  Calor:	
  Problema	
  bidimensional	
  e	
  estacionário	
  
Vamos resolver este problema por separação de variáveis, 
substituindo u(x, y) por F(x)G(y) na EDP. Isto resulta em. 
Equação do Calor: Problema bidimensional e estacionário 
Depois disso obtemos: 
Que impondo as condições de contorno ficamos: 
Ficamos com k = (nπ/a)2, e as soluções não nulas serão: 
39	
  
Equação	
  do	
  Calor:	
  Problema	
  bidimensional	
  e	
  estacionário	
  
Com k = (nπ/a)2, a EDO para G(y) ficará. 
Equação do Calor: Problema bidimensional e estacionário 
Cujas soluções serão: 
Impondo as condições de contorno (u = 0) no lado inferior de R 
implica em Gn(0) = An + Bn = 0, ou seja ficamos com Bn = -An, o que 
implica em: 
Fazendo 2An = An*, ficamos com: 
40	
  
Equação	
  do	
  Calor:	
  Problema	
  bidimensional	
  e	
  estacionário	
  
A solução geral será: 
Equação do Calor: Problema bidimensional e estacionário 
Impondo a condição de contorno do lado superior (u(x, b) = f(x)), ou 
seja y = b, ficamos com: 
De modo que os coeficientes de Fourier bn para f(x) são dados por: 
41	
  
Equação	
  do	
  Calor:	
  Problema	
  bidimensional	
  e	
  estacionário	
  
Assim a solução geral do problema será: 
Equação do Calor: Problema bidimensional e estacionário 
Com An* dado por: