Método de Eliminação de Gauss em Cálculo Numérico

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Professor:. Jobson de Araújo Nascimento 
Turma: Engenharia Civil 
Período:2015.1 
1 
Disciplina: 
Cálculo Numérico 
Campina Grande 
Março- 2015 
Sumário 
2 
Sumário 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eliminação de Gauss; 
Método da Fatoração LU; 
Método de Gauss-Jacobi; 
Método de Gauss-Seidel. 
Sumário 
3 
Método Direto(Eliminação 
de Gauss) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Usando operações elementares entre linhas na matriz aumentada ou equações 
no sistema de equações lineares, transformar um sistema linear qualquer em 
sistema linear triangular superior. 
Sumário 
4 
Método Direto(Eliminação 
de Gauss) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
originalSistema
xxx
xxx
xxx
n
n
n










**...**
**...**
**...**
21
21
21

dotransformaSistema
x
xx
xxx
n
n
n










**
**...*
**...**
2
21

Operações 
 elementares 
entre equações 
Sumário 
5 
Método Direto(Eliminação 
de Gauss) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
bvetorXvetor
n
AMatrix
x
x
x









































*
*
*
*...**
*...**
*...**
2
1
 
**
*
*
*
*...00
*...*0
*...**
2
1
bvetorXvetor
n
AMatrix
x
x
x


  






































Operações 
 elementares 
 
Sistema 
original 
Sistema transformado 
Sumário 
6 
Método Direto(Eliminação 
de Gauss) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 












*
*
*
*...**
*...**
*...**













*
*
*
*...00
*...*0
*...**

Operações 
elementares 
entre linhas 
 
Matriz aumentada 
do sistema 
original 
Matriz aumentada 
do sistema 
Transformado 
Sumário 
7 
Método Direto(Eliminação 
de Gauss) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Operar o sistema na forma matriz aumentada, no meu ponto de vista, é mais 
claro, fácil e menos trabalhoso. 
 
Desejando, pode operar também na forma de sistemas de equações, ou até 
mesmo na forma matricial. 
 
Supor que a matriz A seja quadrada m=n e não singular. 
 
Pode aplicar eliminação de Gauss em matrizes singulares( se quadrada) ou com 
m ≠ n também. Esses casos serão tratados mais tarde . 
 
Adotado as seguintes notações; aij
(k) e b i
(k), i = 1,2,...,m( i-ésima linhas) e 
j=1,2,...,n (j-ésima colunas) e k=1,...(k-ésima etapa da eliminação). 
Sumário 
8 
Método Direto(Eliminação 
de Gauss) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pivô 
Pivôs das fazes 
anteriores a k 
  















AumentadaMatriz
k
n
k
k
k
k
kk
nk
kk
kk
kkk
kkkk
b
b
b
b
aa
aa
aaa
aaaa
nn
kn
nk
nk




















)(
)(
)(
2
)(
1
)()(
)()(
)()()(
)()()()(
00
00
0
2222
111211
Elementos a serem 
eliminados na faze k 
A eliminação (ou 
pivoteamento) se 
procede da esquerda 
para a direita, de cima 
para baixo, abaixo da 
diagonal principal. 
Sumário Método Direto(Eliminação 
de Gauss) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pivôs das fazes 
anteriores a k 
pivô 
  















AumentadaMatriz
k
n
k
k
k
k
kk
nk
kk
kk
kkk
kkkk
b
b
b
b
aa
aa
aaa
aaaa
nn
kn
nk
nk




















)(
)(
)(
2
)(
1
)()(
)()(
)()()(
)()()()(
00
00
0
2222
111211
Elementos a serem 
eliminados na faze k 
Na fase k , escolhe-se 
o elemento pivô akk(k) 
(elemento referência) 
situado na posição da 
diagonal principal da 
coluna k e linha k. 
O pivô akk 
(k) não será 
eliminado(zerado), 
somente os elementos 
abaixo dele. 
 
Sumário Método Direto(Eliminação 
de Gauss) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Posição do pivô, 
mas, a22
(2) = 0 
Pivô da faze 1 
ap2
(2) ≠ 0 
  















AumentadaMatriz
n
p
nk
pk
b
b
b
b
aaa
aaa
aaa
aaaa
nnn
pnp
nk
nk




















)2(
)2(
)2(
2
)2(
1
)2()2()2(
)2()2()2(
)2()2()2(
)2()2()2()2(
2
2
2222
111211
0
0
0 Caso o elemento 
akk
(k) for zero ou 
próximo de zero, 
escolher outro 
elemento abaixo 
da diagonal 
principal, na 
mesma coluna, 
apk
(k) ,não zero e 
p>k. 
 O pivô dessa 
coluna será apk
(k) 
Sumário Método Direto(Eliminação 
de Gauss) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pivô da faze 1 
pivô da fase 2 
  















AumentadaMatriz
n
p
nk
k
b
b
b
b
aaa
aaa
aaa
aaaa
nnn
n
pnpkp
nk




















)2(
)2(
2
)2(
)2(
1
)2()2()2(
)2()2(
2
)2(
)2()2()2(
)2()2()2()2(
2
222
2
111211
0
0
0
Elementos a serem 
eliminados na faze 2 
Colocar a linha p 
na posição da 
linha k e vice 
versa e eliminar 
os elementos 
abaixo da posição 
do pivô. 
Exemplo: k=2. 
Sumário Método Direto(Eliminação 
de Gauss) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ultimo pivô 
Eliminação de 
Gauss Terminada 
 
Agora, é só 
terminar de 
resolver o 
sistema, basta 
usar o método 
já mostrado 
aqui, para 
sistemas 
triangulares 
superiores. 
  















AumentadaMatriz
n
n
n
k
n
n
n
nn
kk
nnn
nnnn
b
b
b
b
a
aa
aaa
aaaa
nn
kn
nk
nk




















)(
)(
)
2
)(
1
)(
)()(
)()()(
)()()()(
000
00
0
2222
111211
Continuar a eliminação (ou pivoteamento) até que k=n ou a posição do pivô seja 
ann
(n) e todo triangulo inferior à diagonal principal seja 0 (zero). 
Sumário Método Direto(Eliminação 
de Gauss) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para cada fase k = 1,2,..,n, da eliminação (ou pivoteamento): 
Determinar o pivô akk
(k) ≠0 (ou não muito pequeno). 
Aplicando operações elementares entre linhas. 
Para cada elemento aik
(k) que deverá ser eliminado (zerado), na i-ésima linha, i = 
k+1,...,n, a abaixo da k-ésima da linha do pivô na mesma k-ésima coluna, 
determinar uma constante mik, de modo que, ao multiplicá-la pela k-ésima linha do 
pivô e somar com a i-ésima linha, esse elemento deverá ser zerado. 
Valor do elemento aik
(k) 
na fase k 
Valor do pivô akk
(k) na 
fase k 
)(
)(
)1()()( 0
k
kk
k
ik
ik
ik
k
kkik
k
kk
k
kkik
a
a
m
aamaam


SumárioMétodo Direto(Eliminação 
de Gauss) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 








39123
34132
26321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Aplicando 
eliminação 
de Gauss 










12
33
185
2632
3
32
321
x
xx
xxx
3
1
3
,2
1
2
)1(
11
)1(
31
31)1(
11
)1(
21
21 
a
a
m
a
a
m
4
)1(
)4(
)2(
22
)2(
32
32 



a
a
m
Sumário Decomposição LU 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma decomposição LU ou uma fatoração LU de uma matriz quadrada A e uma 
fatoração A=LU na qual L é triangular inferior e U triangular superior. 
 
)(
Re
sin:
1
11
XdesoluçãoYUXUXYUX
bLYbLYbUXLbXALLbAX
solverComo
gularnãonnquadradaMatrizAseja
YU





  1111
sin:
 

LULUAAinverter
gularnãonnquadradaMatrizLUAseja
Sumário Decomposição LU 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  





  





  





  





  









)2(
)1(
)2(
21311
)2()2(
3
)2(
2
)2(
3
)2(
33
)2(
32
)2(
2
)2(
13
)2(
22
)2(
1
)2(
13
)2(
12
)2(
11
)1()1(
3
)1(
2
)1(
1
)1(
3
)1(
33
)1(
32
)1(
31
)1(
2
)1(
13
)1(
22
)1(
21
)1(
1
)1(
13
)1(
12
)1(
11
)1(
11
)1(
1
)1(
11
)1(
31
)1(
11
)1(
21
)2()2(
3
)2(
2
)2(
3
)2(
33
)2(
32
)2(
2
)2(
13
)2(
22
)2(
1
)2(
13
)2(
12
)2(
11
)1()1(
3
)1(
2
)1(
1
)1(
3
)1(
33
)1(
32
)1(
31
)1(
2
)1(
13
)1(
22
)1(
21
)1(
1
)1(
13
)1(
12
)1(
11
)1(
11
)1(
21
)1(
11
)1(
31
)1(
11
)1(
1
0
0
0
100
010
001
0001
0
0
0
~
A
nnnn
n
n
n
A
nnnnn
n
n
n
M
n
A
nnnn
n
n
n
A
nnnnn
n
n
n
mmm
n
aaa
aaa
aaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
a
a
a
a
a
a
aaa
aaa
aaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
a
a
a
a
a
a
n














































































































Sumário Decomposição LU 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  





  





  





  





  











)3()2(
)2(
)3()2(
211
)3()3(
3
)3(
3
)3(
33
)3(
2
)3(
13
)3(
22
)3(
1
)3(
13
)3(
12
)3(
11
)2()2(
3
)2(
2
)2(
3
)2(
33
)2(
32
)2(
2
)2(
13
)2(
22
)2(
1
)2(
13
)2(
12
)2(
11
)2(
22
)2(
2
)2(
22
)2(
32
)3()3(
3
)3(
3
)3(
33
)3(
2
)3(
13
)3(
22
)3(
1
)3(
13
)3(
12
)3(
11
)2()2(
3
)2(
2
)2(
3
)2(
33
)2(
32
)2(
2
)2(
13
)2(
22
)2(
1
)2(
13
)2(
12
)2(
11
)2(
22
)2(
32
)1(
11
)1(
1
00
00
0
0
0
0
100
0100
0010
0001
00
00
0
~
0
0
0
A
nnn
n
n
n
A
nnnn
n
n
n
M
n
A
nnn
n
n
n
A
nnnn
n
n
n
mm
n
aa
aa
aaa
aaaa
aaa
aaa
aaa
aaaa
a
a
a
a
aa
aa
aaa
aaaa
aaa
aaa
aaa
aaaa
a
a
a
a
n





































































































+ 
Sumário Decomposição LU 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  





  
  





  





  





  






  





U
nn
n
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
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
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
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

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0001
100
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1
0
0001
100
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00
0010
0001
333
21322
1131211
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1
)(
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Sumário Decomposição LU 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  





  





  





  





1)2()2(
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1
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0001
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



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

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



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







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
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
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Sumário Decomposição LU 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
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

  

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


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Sumário Decomposição LU 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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
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
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


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

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

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
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
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  
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  


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
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  






  


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

  





1)1(1)2(1)2(1)1(
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2
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21
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00
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0001
100
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001
0001
)(
1)1(
1)2(1)1(
Sumário Decomposição LU 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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
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

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
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
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

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

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
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
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

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
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








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


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








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
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
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
  


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

  





  






  


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

  


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

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1)1(1)2(1)2(1)1(
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)1(21
2)1(1)1(
21
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1
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0001
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01
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0010
0001
100
010
001
0001
Sumário Decomposição LU 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   

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

L
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1
01
00
001
0001
)1(21
2)1(1)1(
21
Como se percebe, a matriz U é toda de zeros abaixo da diagonal principal e a 
matriz L é toda de zeros acima da unitária diagonal principal . Computacionalmente, 
para economizar memória, a matriz L e U são armazenadas em uma só matriz e 
um vetor K com registro das trocas de linhas feitas durante a decomposição LU. 
Sumário Decomposição LU 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
  



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  
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01
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0001
333
21322
1131211
)1(21
2)1(1)1(
21

K
n
LeUmatrizesdasntoArmazename
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n
n
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k
k
k
k
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ulll
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

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

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
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
  





3
2
1
321
3333231
2132221
1131211
Ki é o índice da k-
ésima linha original 
A. 
Sumário Decomposição LU 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 


















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


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

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

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


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

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






3121
)0()1()0()0(
3
1
3
2
321
132
123
1
2
3
123
132
321
3
2
1
mm
AK
pivô
maior
AK
+ 
Sumário Decomposição LU 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  




L
L
UA
K
m
pivô
maior
A
K
mm
m
















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








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
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
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


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






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

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











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






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

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
























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1
5
4
3
1
01
3
2
001
1
01
001
5
12
00
3
1
3
5
0
123
1
2
3
3
5
/
3
4
3
8
3
4
0
3
1
3
5
0
123
1
2
3
3231
21
5
4
)3(
)3(
23
)2(
)2(


UeL
K 















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








5
12
5
4
3
1
3
1
3
5
3
2
123
,
1
2
3
A
rm
a
z
e
n
a
m
e
n
to
 d
e
 L
 e
 U
 
Sumário Decomposição LU 
  

sistemadosolução
X
b
LU
XK
LULU
x
x
x

  
      





























































































































4
11
4
17
4
37
26
34
39
12
5
3
1
12
1
12
1
3
2
12
5
12
1
3
1
12
7
1
2
3
12
5
3
1
12
1
12
1
3
2
12
5
12
1
3
1
12
7
1
5
4
5
1
01
3
2
001
12
5
00
12
1
5
3
0
12
1
5
2
3
1
11
1111
3
2
1
Sumário 
28 
Métodos Iterativos É bastante comum encontrar sistemas lineares que envolvem uma grande 
porcentagem de coeficientes nulos. 
 
 Esses sistemas são chamados de sistemas esparsos. 
 
 Para esses tipos de sistemas, o método de Eliminação de Gauss não é o mais 
apropriado, pois ele não preserva essa esparsidade, que pode ser útil por 
facilitar a resolução do sistema. 
 
 Método mais apropriado para esse tipo de sistema métodos iterativo de 
Gauss-Seidel. 
 
Sumário 
29 
Métodos Iterativos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 É bastante comum encontrar sistemas lineares que envolvem uma grande 
porcentagem de coeficientes nulos. 
 
 Esses sistemas são chamados de sistemas esparsos. 
 
 Para esses tipos de sistemas, o método de Eliminação de Gauss não é o mais 
apropriado, pois ele não preserva essa esparsidade, que pode ser útil por 
facilitar a resolução do sistema. 
 
 Método mais apropriado para esse tipo de sistema métodos iterativo de 
Gauss-Seidel. 
 
Sumário 
30 
Métodos Iterativos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 partem de um vertor de com uma solucão inicial 
 i.e. valor inicial para todas as variáveis 
 a cada iteracão: 
obtem-se um outro vetor de solucões “melhoradas”, obtido por substituicão no 
sistema de equacões (modificado para o método)‏ 
 calcula-se o erro de todas as variáveis 
até que todos os erros sejam menores que Epsilon 
 dependendo de “certas” condicões o método irá convergir para a solucão do 
sistema de equacões 
 
Sumário 
31 
Métodos Iterativos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Outra vantagem destes métodos :não são tão suscetíveis ao acúmulo de erros 
de arredondamento como o método de Eliminação de Gauss. 
 
 É importante lembrar que: 
 
Como todo processo iterativo, estes métodos sempre apresentarão um 
resultado aproximado, que será tão próximo do resultado real conforme o 
número de iterações realizadas. 
 
Além disso, também é preciso ter cuidado com a convergência desses 
métodos. 
 
Sumário 
32 
Métodos Iterativos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Métodos Iterativos 
 
 Transforma o sistema linear Ax=b em x = Cx +g 
 
A: matriz dos coeficientes, n x m 
x: vetor das variáveis, n x 1; 
b: vetor dos termos constantes, n x 1. 
 
 Métodos utilizados: 
Gauss-Jacobi 
Gauss-Seidel 
Sumário 
33 
Método de Gauss-
Jacobi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Método de Gauss-Jacobi 
 
 Conhecido x(0) (aproximação inicial) obtém-se consecutivamente os vetores: 
 De um modo geral, a aproximação x(k+1) é calculada pela fórmula: 
 
x(k+1) = C x(k)+g, k=0, 1, ... 
Sumário 
34 
Método de Gauss-
Jacobi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método de Gauss-Jacobi 
 Da primeira equação do sistema 
 a11 x1 + a12 x2 + ... +a1n xn = b1 
 
obtém-se x1 = (1/a11) (b1 - a12 x2 - ... -a1n xn)‏ 
De forma similar x2 = (1/a22) (b2 - a21 x1 - ... -a2n xn)‏ 
 . . 
 . . 
 xn = (1/ann) (bn - an1 x1 - ... - an,n-1 xn-1 )‏ 
Sumário 
35 
Método de Gauss-
Jacobi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Desta forma para x = C x + g 
 
 0 - a12 /a11 ... - a1n /a11 
 
 
 
 
 
 
 
 
C = 
g = ( b1 /a11 b2 /a22 . . . bn /ann ) -1 
 - a21 /a22 0 ... - a2n /a22 
 . . . 
 - an1 /ann - an2 /ann 0 
Sumário 
36 
Método de Gauss-
Jacobi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Distância entre duas iterações 
 d(k) = max xi
(k) - xi
(k-1)  
 Critério de parada 
 dr
(k) = d(k)/ (max xi
(k) ) <  
Sumário 
37 
Método de Gauss-
Jacobi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C = 
0 - 2/10 - 3/10 
-1/5 0 - 1/5 
-1/5 – 3/10 0 
g = 
 
 
 
 
 
 
 
 
7/10 
-8/5 
6/10 
 Seja o sistema : 10 x1 + 2x2 + 3x3 = 7 
 x1 + 5x2 + x3 = -8 
 2x1 + 3x2 +10x3 = 6 
Sumário 
38 
Método de Gauss-
Jacobi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C = 
0 - 2/10 - 1/10 
-1/5 0 - 1/5 
-1/5 – 3/10 0 
g = 
 
 
 
 
 
 
 
 
7/10 
-8/5 
6/10 
Com x0 = 
 0,7 
-1,6 
0,6 
 
 
 
 
 
 
 
 
e  = 0,05 
Sumário 
39 
Método de Gauss-
Jacobi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
obtemos 
x(1) = Cx(0) + g = 
 0,96 
-1,86 
0,94 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 0,05 
|x1
(1) – x1
(0)| = 0,26 
|x2
(1) – x2
(0)| = 0,26 
|x3
(1) – x3
(0)| = 0,34 
dr
(1) = 0,34/ (max xi(1) ) 
 
 = 0,1828 >  
Sumário 
40 
Método de Gauss-
Jacobi 
x(2) = 
 0,978 
-1,98 
0,966 
 
 
 
 
 
 
 
 
dr
(1) = 0,12/ 1,98 = 0,0606 >  
x(3) = 
 0,9997 
-1,9888 
0,984 
 
 
 
 
 
 
 
 
dr
(1) = 0,0324/ 1,9888 = 0,0163 <  
Sumário 
41 
Método de Gauss-
Seidel 
 Método de Gauss-Seidel 
 
Conhecido x(0) (aproximação inicial) obtém-se x1, x2, ...xk. 
 
Ao se calcular usa-se todos os valores 
x j
k +1
x 1
k +1 , . . . ,x j−1
k +1
x j+ 1
k , . . . ,x n
k
 que já foram calculados e os valores 
 restantes. 
 
Sumário 
42 
Método de Gauss-
Seidel 
nnnn1n1nn3n2n1n
3n13n1n13n333232131
2n12n1n12n323222121
1n11n1n11n313212111
b .xa .xa ... .xa .xa .xa
 
 
b .xa .xa ... .xa .xa .xa
b .xa .xa ... .xa .xa .xa
b .xa .xa ... .xa .xa .xa
1321









Sumário 
43 
Método de Gauss-
Seidel 
É semelhante ao método de Gauss-Jacobi, com a diferença de utilizar , 
para o cálculo de Desta forma, as equações recursivas ficam: 
pix
k
i 

1,
1
1k
px
 
 
 
 1n1nn2n21n1n
nn
n
n3n1n13n2322313
33
3
n2n1n12n3231212
22
2
11113132121
11
1
.xa....xa.xab
a
1
x
 
.xa.xa.xa.xab
a
1
x
.xa.xa.xa.xab
a
1
x
....
1









nnnn xaxaxaxab
a
x
Sumário 
44 
Método de Gauss-
Seidel 
 
 
 
 111,1221111
311,3
1
232
1
1313
33
1
3
211,2323
1
1212
22
1
2
111,13132121
11
1
1
......
1
.......
1
.......
1
.......
1













k
nnn
k
n
k
nn
nn
k
n
k
nn
k
nn
kkk
k
nn
k
nn
kkk
k
nn
k
nn
kkk
xaxaxab
a
x
xaxaxaxab
a
x
xaxaxaxab
a
x
xaxaxaxab
a
x
Sumário 
45 
Método de Gauss-
Seidel 
• Critério de Parada 
 
• Diferença relativa entre duas iterações consecutivas. 
• Define-se por diferença relativa a expressão:• Fim do processo iterativo - valor de MR
k+1 pequeno o bastante para 
a precisão desejada. 





























 
 
 se 1 
0 
 
 
 
 
 
 
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
k
i
k
i
k
i
k
i
k
ik
i
k
i
k
i
x
x
xxse
xse
x
xx
M
Máx
ni
k
R
.
Sumário 
46 
Método de Gauss-
Seidel 
.10.5 
0633
643
55
2



k
RMcom
zyx
zyx
zyx
 
 
   yxzyxz
zxy
zyx



2
1
33
6
1
36
4
1
5
5
1
Exemplo: Resolva: 
 
Solução: 
Sumário 
47 
Método de Gauss-
Seidel 
kx
 
k
xM
 ky k
yM
 kz k
zM
 
k
RM
 
-1 - 0 - 1 - - 
0,8 2,25 0,65 1 -0,725 2,379 2,379 
1,015 0,212 0,92 0,293 -0,967 0,250 0,293 
1,009 0,006 0,985 0,066 -0,997 0,030 0,066 
1,002 0,007 0,998 0,0013 -1 0,003 0,0013 
 
 x = 1,002 y = 0,998 z = -1 
 
Verificação (substituição no sistema): 
 
5.(1,002) + (0,998) + (-1) = 5,008  5 
3.(1,002) + 4.(0,998) + (-1) = 5,998  6 
3.(1,002) + 3.(0,998) + 6.(-1) = 0