Wooldridge cap 6- Folheto Resumo

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Econometria I (IS 211)
Modelo de Regressão Múltipla:
Problemas Adicionais
Lucas Siqueira de Castro
lucascastro@ufrrj.br
Referência
 WOOLDRIDGE, J. Introdução à 
econometria: uma abordagem 
moderna. São Paulo: Cengage
Learning, 6a edição, 2017, capítulo 
6.
Mudança de Escala
 Mudança de escala da variável y
 Provoca mudança na escala de todos os 
coeficientes estimados
 Exemplo 
 Se a variável dependente é multiplicada por 
um número c, todos os coeficientes e os seu 
erros-padrão são multiplicados também por 
c
 As estatísticas t e F ficam inalteradas
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Exemplo

Exemplo

Mudança de Escala
 Mudança de escala de uma variável 
explicativa x
 Se xj for multiplicado por um número c, 
seus coeficientes e os respectivos 
erros-padrão são divididos por c.
 As estatísticas t e F não se alteram 
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Exemplo

Quiz 1
 Na equação original sobre pesos dos 
recém-nascidos, suponha que 
faminc seja medida em dólares em 
vez de milhares de dólares. Desse 
modo, defina a variável 
fincdol=1000*faminc
 Como mudam os resultados MQO 
quando fincdol substitui faminc?
Mudança de Escala e Logaritmo

4
Mudança de Escala e Logaritmo

Forma Funcional
 MQO
 Uso de relações não-lineares entre y e 
x por adotar funções não lineares de y
e x
 Mas permanece a linearidade dos 
parâmetros
 Exemplos de funções não lineares de y
e x
 log(y) ou log(x)
 Formas quadráticas de x
 Interações de variáveis x
Interpretação de Modelos com Log
 Modelo log-log
ln(y) = b0 + b1ln(x) + u
 Interpretação
 b1 é a elasticidade constante de y com 
respeito a x
 Um aumento de Dx% em x provoca um 
aumento de b1Dx% em y
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Interpretação de Modelos com Log
 Modelo log-nível
ln(y) = b0 + b1x + u
 Interpretação
 b1 é a mudança percentual em y dada 
uma mudança de 1 unidade em x
 b1 é chamado de semielasticidade
 Um aumento de Dx provoca um aumento 
aproximado de (100.b1)Dx em y
 Um aumento de Dx provoca um aumento 
exato de 100[exp(b1Dx)-1] em y
Exemplo

Elasticidade constante
Semielasticidade
Exemplo
 Interpretação
 Um aumento de 1% em oxn faz cair o 
preço em 0,718%
 Elasticidade constante
 Quando comods aumenta em 1, o 
preço aumenta em aproximadamente
100*(0,306)=30,6% ou exatamente
100*[exp(0,306*1)-1]=35,8%
 Neste exemplo, Dx=Dcomods=1
 O ajuste não é tão crucial para pequenas 
mudanças percentuais
 Semielasticidade do preço em relação a 
comods
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Por Que Usar Modelos com Logs?
 Modelos em log são invariantes à 
escala das variáveis uma vez que 
medem variações percentuais
 Para y>0: 
 Distribuição condicional de y
 heterocedástica ou com cauda
 Distribuição condicional de log(y)
 Menos heterocedástica
 Menos cauda
 Às vezes, elimina a heterocedasticidade e 
a cauda ao mesmo tempo
Por Que Usar Modelos com Logs?
 Uso de log estreita a amplitude dos 
valores das variáveis
 Estimativas menos sensíveis a 
observações extremas (outliers) na 
variável dependente e nas variáveis 
independentes
 Indução de normalidade do termo de 
erro
Que Variáveis são Transformadas 
em Log?
 Quando a variável é um valor 
monetário positivo, costuma-se 
transformar em log
 Salários, vendas no comércio, valor de 
mercado das empresas
 Mas isso não é regra!
 Variáveis com valores muito grandes
 População
 Número de empregados
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Que Variáveis Costumam Não Ser 
Transformadas em Log?
 Variáveis com especificação em 
nível
 Variáveis medidas em anos
 Escolaridade
 Experiência
 Idade
 Variáveis que são proporção ou 
porcentagem
 Taxa de desemprego
 Taxa de estudantes aprovados
Que Variáveis São Transformadas 
em Log?
 Pode ser variáveis que são 
proporção ou porcentagem
 Mas cuidado com a interpretação!
 Variação em pontos percentuais versus 
Variação percentual
 desemp é variável de taxa de desemprego
 Quando desemp passa de 8 para 9, 
aumentou 1 pp
 Equivalente a 12,5% sobre o nível de 
desemprego original (1/8)
 Quando se usa log(desemp), se quer saber a 
variação percentual na taxa de desemprego:
 log(9) – log(8) ≈ 0,118 ou 11,8%
Problema de se Aplicar Log
 Não existe log de valores negativos 
ou zero
 Quando a variável y assume alguns
valores nulos, o que fazer?
 Solução 
 Aplicar log(1 + y)
 Interpretação ainda de elasticidade 
constante
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Modelos Quadráticos
 Modelo
 y = b0 + b1x + b2x2 + u
 b1 não pode ser interpretado como a 
única medida da influência de x sobre y
 b2 também mede uma parte da 
influência de x sobre y
Modelos Quadráticos
 Efeito sobre y
 Ou
  xxy DD 21 ˆ2ˆˆ bb
x
x
y
21
ˆ2ˆ
ˆ bb 
D
D
Modelos Quadráticos
 Suponha que o coeficiente de x
(b1>0) seja positivo e o coeficiente 
de x2 seja negativo (b2<0)
 y cresce primeiro chega a um máximo 
e depois decresce em relação a x
 O ponto de máximo é:
 21* ˆ2ˆ bbx
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Modelos Quadráticos
 Suponha que o coeficiente de x
(b1<0) seja negativo e o coeficiente 
de x2 seja positivo (b2>0)
 y decresce primeiro chega a um 
mínimo e depois cresce em relação a x
 O ponto de mínimo é:
 Note que o ponto de mínimo e o ponto de 
máximo são os mesmos x*
 21* ˆ2ˆ bbx
Exemplo

Exemplo
 Interpretação
 exper tem efeito de redução sobre 
salárioh
 O primeiro ano de experiência vale: 
US$0,298 por hora
 O segundo ano vale menos: 
 US$0,298 – 2(0,0061)(1)~0,286
 Aumentando de 10 para 11:
 US$0,298 - 2(0,0061)(10)~0,176
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Exemplo

Termos de Interação
 Modelo
 y = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x1x2 + u
 Medição do efeito de x1 sobre y
 papel de b1
 papel de b3
 Fórmula:
 Qual x2?
 x2 médio:
231
1
x
x
y bb 
D
D
2x
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Modelo Hedônico

Exemplo

Exemplo

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Ainda o R-quadrado
 Indicador de quanto da variação de 
y é explicada por x1, x2,..., xj
 Não é importante para se 
considerar se o estimador é justo 
(não-viesado)
 Superestimação de sua importância
Ainda o R-quadrado
 R2 alto
 s2u baixo
 O estimador pode ser viesado ou não
 Isso depende da hipótese de média 
condicional zero
 R2 baixo
 s2u alto
 Vários fatores não foram levados em 
conta no lado direito da regressão
R-Quadrado Ajustado
 R2 sempre aumenta à medida que 
se inserem variáveis no lado direito 
do modelo de regressão
 R2 ajustado leva em conta o número 
de variáveis no modelo
 Ou
  
  1
112


nSQT
knSQRR
  1
ˆ
1
2
2


nSQT
R s
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R-Quadrado Ajustado
 R2 ajustado como medida de ajuste 
da regressão
 Imposição de uma penalidade à 
inclusão de variáveis independentes 
adicionais
 Comparação entre dois modelos que 
tenham a mesma var. dependente
 Não se usa para comparar modelos com 
variáveis dependentes diferentes
 Exemplo: um modelo com y e o outro com 
log(y)
R-Quadrado Ajustado
 R2 ajustado em função do R2:
 Exemplo
 R2=0,30; n=51 e k=10
)1(
)1)(1(1
2
2


kn
nRR
125,0
40
)50(70,012 R
R-Quadrado Ajustado
 R-quadrado ajustado pode ser 
negativo!!!
 Exemplo
 R2=0,10, n=51, k=10
 R-quadrado ajustado negativo indica 
ajuste ruim da regressão aos dados
125,0
40
)50(90,012 R
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Ajuste da Regressão
 Não se deve supervalorizar o R2 ou 
R2 ajustado
 Olhar a teoria e o bom senso
 A não inclusão de uma variável que 
influencie y no modelo não invalida 
o efeito ceteris paribus dos 
coeficiente das outras variáveis
 A não ser que haja omissão de variável 
relevante
Adição de Regressores na 
Regressão
 1º caso: 
 Inclusão de regressores que afetam y e 
estão correlacionados comoutros 
regressores
 Redução da variância do erro
 Multicolinearidade
 Efeito sobre o erro-padrão indefinido
𝑒𝑝 𝛽መ௝ =
𝜎ො
𝑆𝑄𝑇௝ 1 − 𝑅௝ଶ
Adição de Regressores na 
Regressão
 2º caso: 
 Inclusão de regressores que afetam y e 
não estão correlacionados com outros 
regressores
 Redução da variância do erro
 Menor erro-padrão das estimativas
 Maior eficiência
 Maior precisão 
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Intervalos de Confiança de 
Previsões
 Considere a equação estimada
𝑦ො = 𝛽መ଴ +𝛽መଵ𝑥ଵ + 𝛽መଶ𝑥ଶ + ⋯+ 𝛽መ௞𝑥௞
 Quando se inserem valores específicos 
das variáveis explicativas nesta 
equação, obtém-se uma previsão para 
a variável dependente y
Intervalos de Confiança de 
Previsões
 Sejam c1, c2,..., ck valores 
particulares de cada uma das 
variáveis explicativas
𝐸 𝑦 𝑥ଵ = 𝑐ଵ, 𝑥ଶ = 𝑐ଶ, … , 𝑥௞ = 𝑐௞
 Em outros termos:
𝜃෠଴ = 𝛽መ଴ +𝛽መଵ𝑐ଵ + 𝛽መଶ𝑐ଶ + ⋯+ 𝛽መ௞𝑐௞
 𝜃෠଴: valor previsto de y
Intervalos de Confiança de 
Previsões
 Como construir um intervalo de 
confiança de 𝜃෠଴?
 Ou seja, construir um indicador de 
incerteza nesse valor previsto de y
 Para construir um IC de 95% de 
confiança para 𝜃෠଴, é preciso um 
erro-padrão de 𝜃෠଴:
𝜃෠଴ ± 2 ȉ 𝑒𝑝 𝜃෠଴
 Note que esse IC é aproximado!
 Válido para tamanho de amostra (n) grande
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Intervalos de Confiança de 
Previsões
 Vamos usar um truque para obter o 
desconhecido 𝑒𝑝 𝜃෠଴
 Escreva:
𝛽଴ = 𝜃଴ − 𝛽ଵ𝑐ଵ − 𝛽ଶ𝑐ଶ − ⋯− 𝛽௞𝑐௞
 E junte isso à equação:
 𝑦 = 𝛽଴ + 𝛽ଵ𝑥ଵ + 𝛽ଶ𝑥ଶ + ⋯+ 𝛽௞𝑥௞ + 𝑢
 Obtendo:
 𝑦 = 𝜃଴ + 𝛽ଵ 𝑥ଵ − 𝑐ଵ + 𝛽ଶ 𝑥ଶ − 𝑐ଶ + ⋯+
𝛽௞ 𝑥௞ − 𝑐௞ + 𝑢
Intervalos de Confiança de 
Previsões
 De modo prático, subtrai-se o valor 
cj de cada observação de xj, e 
depois computa-se a seguinte 
regressão:
 Rodar yi contra uma constante, (xi1-
c1),..., (xik - ck) 
para i=1,2,...,n
 O valor previsto de y e seu erro-padrão
são obtidos da constante desta regressão
Análise de Resíduos
 Resíduos:
 Informação útil pode ser obtida, 
observando-se os resíduos
 Exemplo: modelo de preços hedônicos
 Regressão dos preços das residências 
contra um conjunto de características 
dessas residências
 Resíduos negativos indicam boas 
oportunidades de compra
 Resíduos positivos indicam maus negócios
iii yyu ˆˆ 
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Quiz 2
 Como você usaria a análise de 
resíduo para determinar quais 
jogadores de futebol estão sendo 
pagos demais ou estão sendo mal 
pagos com relação aos seus 
desempenhos?
Resíduo de Solow
 Seja o modelo de Solow:
𝑦 = 𝐴𝐾ఉభ𝐿ఉమ𝑒௨
 Linearizando (aplicando ln):
𝑙𝑛𝑦 = 𝑙𝑛𝐴 +𝛽ଵ 𝐾 +𝛽ଶ 𝐿 + 𝑢
 𝑢ො: “resíduo de Solow”
 Medida de produtividade total de fatores 
(PTF)
Erro de Medida Infantil…