CÁLCULO E DETALHAMENTO DE MUROS DE ARRIMO

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO E DETALHAMENTO DE MUROS DE ARRIMO EM 
CONCRETO ARMADO E FUNDAÇÃO SUPERFICIAL 
 
 
 
 
André de Melo Xavier 
 
 
 
 
Trabalho de Conclusão de Curso 
apresentado ao Departamento de 
Engenharia Civil da Universidade 
Federal de São Carlos como parte dos 
requisitos para a conclusão da 
graduação em Engenharia Civil 
 
 
Orientador: Jasson R. Figueiredo Filho 
 
 
 
 
 
São Carlos 
2011 
 
 
 
DEDICATÓRIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A minha Mãe que me guia de outro lugar e sempre está 
comigo. 
 
Ao meu Pai que há um tempo é Pai e Mãe. 
 
AGRADECIMENTOS 
 
 
 
 
A Érika Leonhardt Esquitini por paciência, amor, atenção e dedicação. 
Ao meu orientador Jasson R. F. Filho pelos ensinamentos durante a faculdade. 
Aos meus irmãos Felipe e Vinícius por todos os anos juntos. 
Aos amigos Vinícius Verdecanna e Felipe Ronchini pela amizade inigualável. 
 
 
 
 
 
 
RESUMO 
 
 
 
Este trabalho visa à orientação no projeto de um muro de arrimo em concreto armado com 
fundação superficial, desde a escolha de se executar um muro de arrimo até a definição da 
armadura resistente. 
Neste trabalho, define-se o carregamento do muro pelos métodos de Rankine e de Poncelet, 
posteriormente é feita uma análise do pré-dimensionamento do muro de arrimo. Em seguida 
são verificadas as condições de estabilidade do conjunto solo-muro, então, são 
determinados os esforços solicitantes nos elementos do muro para posteriormente ser 
calculado a armadura resistente. 
É desenvolvido um exemplo detalhado do cálculo de um muro de arrimo. 
Por fim, algumas observações são feitas quanto à drenagem do aterro de um muro de 
arrimo e de algumas patologias pertinentes aos muros de arrimo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Palavras-chave: muro, arrimo, concreto. 
 
ABSTRACT 
 
 
ABSTRACT 
 
 
 
This work aims to guide the design of a retaining wall in reinforced concrete with shallow 
foundations, from the choice of running a retaining wall to the definition of resistant armor. 
In this paper, we define the load of the wall by the methods of Rankine and Poncelet, then an 
analysis is made of pre-sizing of the retaining wall. Then the conditions are checked for 
stability of soil-wall, then, are certain structural strain in the wall elements to be calculated 
later resistant armor. 
It developed a detailed example of calculation of a retaining wall. 
Finally, some remarks are made about the drainage of the landfill and a retaining wall in 
certain conditions pertaining to retaining walls. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Key-words: wall, backer, concrete. 
 
 
 
LISTA DE ILUSTRAÇÕES 
 
 
Figura 1: Perfis de muros de arrimo por gravidade (Moliterno) ................................................2 
Figura 2: Perfis de muros de arrimo em concreto armado (Moliterno)......................................2 
Figura 3: Elementos constituintes de um muro de arrimo..........................................................8 
Figura 4: Muros de arrimo com gigantes e vigas intermediarias (Moliterno)............................9 
Figura 5: Drenagens usuais em muros de arrimo .....................................................................10 
Figura 6: Empuxo: a) passivo b) ativo .....................................................................................11 
Figura 7: Condições para aplicação da teoria de Kankine. Caso ativo e passivo (Bueno).......12 
Figura 8: Distribuição de esforços laterais e empuxo pela teoria de Rankine (Bueno) ...........14 
Figura 9: Representação do método gráfico de Poncelet .........................................................17 
Figura 10: Representação do ponto de aplicação do empuxo ..................................................17 
Figura 11: Pré-dimensionamento segundo Huntington (Domingues)......................................19 
Figura 12: Pré-dimensionamento segundo Moliterno ..............................................................21 
Figura 13: Dentes de ancoragem (Domingues) ........................................................................24 
Figura 14: Centro de pressão e excentricidade ........................................................................26 
Figura 15: Tensões atuantes no solo.........................................................................................28 
Figura 16: Distribuição dos carregamnetos atuantes no tardoz................................................30 
Figura 17: Distribuição dos carregamnetos atuantes na sapata ................................................31 
Figura 18: Condições de engastamento da ponta e do talão da sapata .....................................32 
Figura 19: Deformada do muro de arrimo (Ftool)....................................................................33 
Figura 20: Corte e diferença de níveis do terreno ....................................................................35 
Figura 21: Muro de arrimo com sobrecarga .............................................................................36 
Figura 22: Determinação do empuxo por Poncelet ..................................................................38 
Figura 23: Determinação do ponto de aplicação do empuxo ...................................................38 
Figura 24: Pré-dimensionamento do muro de arrimo...............................................................40 
Figura 25: Gráfico dos esforços solicitantes no muro (Ftool) ..................................................41 
Figura 26: Carregamento atuante na sapata..............................................................................45 
Figura 27: Gráfico dos esforços solicitantes na sapata (Ftool).................................................46 
Figura 28: Armação do muro de arrimo ...................................................................................57 
Figura 29: Esquema de drenagem usual em muros de arrimo..................................................60 
Figura 30: Alternativa de drenagem de muros de arrimo.........................................................60 
 
 
 
 
 
 
 
 
 SUMÁRIO 
 
1. I�TRODUÇÃO...................................................................................................................1 
1.1 Tipos de muros de arrimo...........................................................................................1 
1.1.1 Muros de arrimo por gravidade ..............................................................................1 
1.1.2 Muros de arrimo de concreto armado.....................................................................2 
1.2 Projeto de um muro de arrimo....................................................................................3 
2. OBJETIVOS........................................................................................................................4 
3. JUSTIFICATIVA.................................................................................................................5 
4. METODOLOGIA................................................................................................................6 
5. MUROS DE ARRIMO ........................................................................................................7 
5.1 Considerações gerais ..................................................................................................7 
6. EMPUXO DE TERRA ......................................................................................................116.1 O empuxo .................................................................................................................11 
6.2 Método de Rankine...................................................................................................12 
6.2.1 Determinação do empuxo.....................................................................................12 
6.2.2 Determinação do ponto de aplicação do empuxo.................................................15 
6.3 Método de Poncelet ..................................................................................................15 
6.3.1 Determinação do empuxo.....................................................................................15 
6.3.2 Determinação do ponto de aplicação do empuxo.................................................17 
7. PRÉ-DIME�SIO�AME�TO DO MURO DE ARRIMO ..................................................19 
8. ESTABILIDADE DO CO�JU�TO SOLO-MURO...........................................................22 
8.1 Verificação da estabilidade quanto ao tombamento .................................................23 
8.2 Verificação da estabilidade quanto ao deslizamento................................................23 
8.3 Verificação da capacidade suporte do solo...............................................................25 
8.3.1 Posição do centro de pressão e excentricidade.....................................................25 
8.3.2 Determinação das tensões máximas e mínimas....................................................26 
9. CÁLCULO DOS ESFORÇOS SOLICITA�TES ...............................................................29 
9.1 Determinação dos esforços solicitantes no muro .....................................................29 
9.2 Determinação dos esforços solicitantes na sapata ....................................................31 
 
9.3 Deformada da estrutura ............................................................................................33 
10. CÁLCULO DA ARMADURA............................................................................................34 
11. EXEMPLO DE CÁLCULO DE MURO DE ARRIMO EM CO�CRETO ARMADO .......35 
11.1 Cálculo do empuxo de terra......................................................................................36 
11.1.1 Método de Rankine...............................................................................................36 
11.1.2 Método de Poncelet ..............................................................................................37 
11.2 Pré-dimensionamento do muro de arrimo ................................................................39 
11.3 Verificação da estabilidade do conjunto solo-muro .................................................41 
11.3.1 Verificação quanto a rotação ................................................................................41 
11.3.2 Verificação quanto ao deslizamento.....................................................................42 
11.3.3 Verificação quanto a capacidade suporte do solo.................................................43 
11.4 Determinação dos esforços solicitantes....................................................................44 
11.4.1 Esforços solicitantes no muro ...............................................................................44 
11.4.2 Esforços solicitantes na sapata .............................................................................45 
11.5 Cálculo da armadura.................................................................................................46 
11.5.1 Armação do tardoz ...............................................................................................46 
11.5.2 Armação da sapata ...............................................................................................50 
11.5.3 Definição das bitolas, espaçamentos e emendas por traspasse ............................54 
12. DRE�AGEM DOS MUROS DE ARRIMO.......................................................................59 
12.1 Detalhes de drenagem...............................................................................................59 
13. PATOLOGIAS EM MUROS DE ARRIMO.......................................................................61 
13.1 Solo do aterro mal compactado ................................................................................61 
13.2 Falta de junta de movimentação e junta de dilatação ...............................................61 
13.3 Recalque do solo de fundação em edificações vizinhas ...........................................62 
14. CO�CLUSÃO...................................................................................................................63 
REFER�CIAS BIBLIOBRAFICAS.........................................................................................64 
BIBLIOGRAFIAS COMPLEME�TARES ................................................................................65 
 
Anexo 1 ... .................................................................................................................................66 
 
 
 
 1 
1. INTRODUÇÃO 
 
Com o avanço da ocupação do solo, e pela cultura da população de se locarem uns 
juntos aos outros em centros urbanos, por diversas vezes há a necessidade de execução de 
uma obra em locais de difícil acesso, junto de encostas ou muito próximas a elas, sendo 
essencial a execução de estruturas de contenção: os muros de arrimo. Os muros de arrimo 
são executados quando não há espaço suficiente para que as diferenças de cotas de 
terrenos sejam mantidas pela inclinação natural do talude, o que perfaz a solução mais 
barata. 
Muros de arrimo são estruturas destinadas a conter massas de solo, provenientes do 
corte de um talude ou do aterro de um terreno, evitando que o solo assuma a sua inclinação 
natural. Os muros são solicitados através de um empuxo passivo ou ativo. Passivo quando o 
muro atua sobre a terra (escoramento de valas e galerias) e ativo quando a terra atua sobre 
o muro. 
1.1 TIPOS DE MURO DE ARRIMO 
 
1.1.1 MUROS DE ARRIMO POR GRAVIDADE 
Neste tipo de muro, o muro, de grande espessura, equilibra as pressões laterais que 
provocam o empuxo com o próprio peso. São normalmente utilizados onde o solo apresenta 
elevada capacidade de suporte. 
Segundo DOMINGUES (1997), o muro de arrimo por gravidade deve ser 
dimensionado de forma a não apresentar tensões de tração. Neste tipo de muro, os 
materiais comumente empregados são: concreto ciclópico, alvenaria de pedra e solo-
cimento ensacado. 
Os perfis mais usuais neste tipo de muro são: retangular, trapezoidal e escalonado. 
Segundo MOLITERNO (1982), os muros de perfil retangular são geralmente 
concebidos para alturas de até 2,0m e feitos de concreto ciclópico. 
 2 
Os muros de perfil trapezoidal são utilizados para alturas superiores a 2,0m e o 
paramento inclinado deve sempre que possível ser o externo, fazendo com que o centro de 
gravidade do muro fique voltado para o lado do terreno. Também é comumente utilizado 
concreto ciclópico. 
Os muros com perfil escalonado são executados em alvenaria de pedra 
apresentando economia de material. A figura 1 mostra os perfis de muros por gravidade. 
 
Figura 1: Perfis de muros de arrimo por gravidade (Moliterno,1982) 
 
1.1.2 MUROS DE ARRIMO DE CONCRETO ARMADO 
Nos muros de arrimo de concreto armado, as solicitações de empuxo são 
equilibradas através da armadura da estrutura sendo a maior solicitação presente na base 
do muro. Neste caso, o próprio solo contribui para a estabilidade do muro devido sua 
geometria. 
“São compostos basicamente de duas lajes de concreto armado. A laje vertical é 
considerada engastada na base com o extremo superior em balanço.A laje horizontal se 
apóia no terreno, com finalidade estrutural de equilibrar o empuxo e servir de sapata.” 
DOMINGUES (1997). 
MOLITERNO (1982) diz que muros com perfil “L”, são recomendados para altura até 
2,0m. Muros de perfil clássico, para alturas de 2,0m a 4,0m. Para alturas de 4,0m a 6,0m 
são recomendados muros atirantados ou cortinas atirantadas. Para muros de 6,0m a 9,0m 
são utilizados muros com gigantes ou contrafortes. 
 
Figura 2: Perfis de muros de arrimo em concreto armado (Moliterno, 1982) 
 3 
1.2 PROJETO DE UM MURO DE ARRIMO 
 
O projeto de um muro de arrimo se desenvolve pelos seguintes passos: 
A. Determinação do empuxo 
B. Pré-dimensionamento do muro de arrimo 
C. Verificação da estabilidade do conjunto solo-muro (verificação quanto ao 
deslizamento, rotação e capacidade suporte do solo). 
D. Determinação dos carregamentos e dos esforços solicitantes na estrutura 
E. Cálculo da armadura resistente 
As dimensões são determinadas pela experiência do projetista ou por fórmulas 
empíricas. 
Para o estudo da estabilidade deve-se ter conhecimento do peso específico do solo, 
ângulo de atrito interno e coesão e do muro características e peso específico do material 
constituinte. 
Para a segurança do ‘muro de arrimo quanto ao tombamento, o momento do peso do 
muro deve ser maior do que o momento do empuxo total, ambos tomados a extremidade 
externa. 
A segurança quanto ao escorregamento é assegurada fazendo com que a soma das 
forças resistentes ao deslizamento seja no mínimo 50% maior do que a soma das forças 
atuantes deve-se ter conhecimento da tensão de resistência ao cisalhamento na base e na 
área da base do muro por metro linear. 
Para muros de arrimo com fundação superficial, projetados em situações onde o 
soloapresenta elevada resistência superficial, a segurança quanto à deformação excessiva 
do terreno de fundação é satisfeita quando a maior das pressões atuantes for menor do que 
a pressão admissível do terreno. A resultante da soma das forças atuantes deve passar pelo 
núcleo central da base do muro para que o terreno esteja submetido somente à compressão 
e evitando esforços de tração no solo. 
 
 4 
2. OBJETIVOS 
 
 
 
 
O presente estudo tem como objetivo a análise dos procedimentos de cálculo de 
muros de arrimo em concreto armado, bem como o detalhamento da armadura e a 
execução do muro de arrimo bem como detalhes construtivos como os drenos que são 
fundamentais para que os muros funcionem de forma planejada, evitando uma solicitação 
não prevista na estrutura devido ao empuxo do solo saturado. 
Objetiva-se também a análise dos problemas e riscos que um muro de arrimo 
concreto armado pode apresentar devido a uma má execução da estrutura e provenientes 
de uma má compactação do terreno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
3. JUSTIFICATIVA 
 
 
 
Devido a não planicidade dos terrenos e aos arrojados projetos arquitetônicos, são 
muitas as obras que executam cortes e aterros do solo, figurando-se os muros de arrimo 
elementos de fundamental importância na contenção deste solo. 
Cada vez mais edifícios são concebidos com garagens subterrâneas onde o solo 
carrega a estrutura horizontalmente, surgindo a necessidade dos muros de arrimo. 
A ocupação do solo em encostas e a execução de estradas em trechos de serra 
também necessitam de muros de arrimo para a contenção do solo. 
Muros de arrimo calculados e executados de forma errada, sem a utilização 
adequada dos drenos, podem causar acidentes. Logo, surge a relevância deste estudo, 
visando um cálculo correto e um bom detalhamento dos muros de arrimo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
4. METODOLOGIA 
 
 
O presente estudo tem como meta o cálculo e detalhamento de muros de arrimo em 
concreto armado bem como detalhes de execução. Neste trabalho será exemplificado o 
cálculo de uma estrutura de contenção de terra. O estudo terá como base a NBR 6118 e 
análise de textos de vários autores. 
Para que a meta deste estudo seja alcançada, serão analisados: 
� Estudo e revisão bibliográfica de muros de arrimo em concreto armado, do 
empuxo de terra e dos elementos de um muro de arrimo. 
� Descrição dos métodos de cálculo do empuxo de terra. Método analítico de 
Rankine e método gráfico de Poncelet 
� Descrição das etapas de obtenção das dimensões dos elementos do muro de 
arrimo e do elemento de fundação 
� Verificação do conjunto: verificação da estabilidade do conjunto com as medidas 
pré-dimensionadas e com as cargas verticais e horizontais, definição da posição do centro 
de pressão e excentricidade. 
� Elaboração do cálculo dos esforços solicitantes no tardoz e na ponta e no talão 
da sapata de fundação. 
� Orientação para a determinação da armadura resistente aos esforços solicitantes 
no muro e na sapata. 
� Exemplificação da teoria de cálculo através do cálculo de um muro de arrimo de 
3,0m de altura: determinação do empuxo por Rankine e Poncelet, pré-dimensionamento do 
muro de arrimo, verificação da estabilidade solo-muro, determinação dos esforços 
solicitantes no muro e na sapata, determinação das armaduras resistentes e detalhamento 
da armação do muro. 
� Orientação para um projeto de muro de arrimo quanto a drenagem do aterro. 
� Citação de patologias pertinentes a muros de arrimo. 
� Conclusão de modo a orientar futuros projetistas de muros de arrimo em concreto 
armado. 
 7 
5. MUROS DE ARRIMO 
 
 
5.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS 
 
 
Muros de arrimo são estruturas concebidas com a finalidade de conter a 
movimentação do solo em cortes ou aterro de terrenos. Os muros de arrimo comumente são 
de elevado valor e muitas vezes, para edificações de pequeno e médio porte têm seu valor 
maior do que o custo da edificação. O projeto de terraplenagem de um terreno deve ser 
realizado de forma a minimizar os cortes e conseqüentemente dispondo do mínimo de 
estruturas de contenção com as dimensões mínimas necessárias. 
Segundo MOLITERNO (1982), ao engenheiro cabe definir qual a solução à 
contenção do solo que desprenda o menor custo. Para isto o engenheiro deve conhecer a 
natureza do solo a ser contido e analisar as construções parecidas perto do muro de arrimo 
a ser construído. É de bom proveito verificar se o solo em questão apresenta fissuras e se a 
vegetação apresenta-se inclinada devido a movimentações lentas da encosta. 
Dentre as diversas seções de muros de arrimo existentes, a figura 3 mostra uma das 
seções mais usuais e seus elementos constituintes onde: 
• Trecho AB – muro propriamente dito (cortina ou tardoz); 
• Trecho CF – sapata de fundação; 
• Trecho CD – ponta da sapata, que é a parte que se projeta fora da terra 
(talude); 
• Trecho EF – talão da sapata, que é a parte que se projeta do lado da terra 
(talude); 
• Trecho DG – dente de ancoragem 
 8 
 
Figura 3: Elementos constituintes de um muro de arrimo 
 
Dentre os diversos fatores pertinentes a concepção do projeto de um muro de arrimo 
pode-se agrupá-los quanto às propriedades físicas e mecânicas do solo, quanto às 
condições naturais e climáticas da região, os dependentes do elemento vertical (tardoz) e os 
dependentes do elemento horizontal (sapata). 
Relacionando-se ao solo temos: o peso específico natural, os parâmetros de 
resistência do solo (coesão e ângulo de atrito interno) e recalques. 
Os relacionados às condições naturais: umidade, chuvas, lençóis freáticos, 
trepidações e cargas no terrapleno. 
Quanto ao elemento horizontal temos: rotação e translação. 
Relacionado ao elemento vertical temos: altura,rugosidade, deformabilidade e 
inclinação. 
Como principal carregamento do muro de arrimo tem-se o empuxo de terra, passivo 
ou ativo, tendo como causa desse empuxo os cortes e os aterros do terreno. É de suma 
importância para o cálculo de uma estrutura de contenção de terra o cálculo deste empuxo 
que se da pela tendência do solo de voltar a sua declividade natural. Para que o solo não 
tenda a se reacomodar, o ângulo de atrito entre os grãos deve ser maior do que o ângulo de 
inclinação do talude. 
Como outro carregamento pertinente a estrutura de arrimo tem-se a sobrecarga 
referente à utilização do terreno adjacente. Seessa sobrecarga se apresentar de forma 
distribuída, o seu efeito é considerado acrescentando uma altura de terra equivalente ao 
carregamento. Se essa sobrecarga se der sobre uma carga pontual, deve-se analisar o seu 
ponto de atuação analisando se ela esta sobre o aterro e analisar se o bulbo de pressões 
gerado pela carga pontual carrega a estrutura de contenção. 
 9 
Para solos coesivos ocorre uma pressão negativa no solo que alivia a estrutura 
porém esse alívio não é considerado a favor da segurança, tendo em vista uma imprecisão 
quanto a natureza do solo no futuro, que pode ser alterada pelo homem. 
Para o cálculo do empuxo pode-se determiná-lo analiticamente por diversos métodos 
tais como o Método de Coulomb ou o Método de Rankine ou graficamente pelo método de 
Poncelet. Como vantagem do método de Poncelet, tem-se que esse método nos fornece 
uma indicação da cunha de terra que poderá deslizar e provocar o empuxo, podendo assim 
postergar a execução do muro para o fim da obra em questão. 
Quando for preciso muros com altura maior que 4 m, é conveniente o emprego de 
gigantes, também chamados de contrafortes, com ou sem vigas intermediárias. A figura 4 
mostra contrafortes sem vigas (figura 4 a), com vigas (figura 4 b). Podem ser colocados do 
lado da terra a ser contida ou do lado externo do muro (figura 4 c). 
 
Figura 4a Gigantes do lado da terra Figura 4b Gigantes/vigas do lado da terra Figura 4c Gigantes do lado externo 
Figura 4 Muros de arrimo com gigantes e vigas intermediarias (Moliterno, 1982) 
 
A função das vigas intermediárias é de aliviar o momento na base do muro de arrimo 
dividindo a porção de terra que gera o empuxo em duas ou mais partes além de 
proporcionar maior rigidez. 
DOMINGUES (1997) diz que para o cálculo do muro de arrimo devemos fazer um 
pré-dimensionamento da estrutura onde, o único dado conhecido é a altura do muro 
delimitado pelas cotas inferior e superior co terreno e as demais dimensões são 
determinadas com a experiência do projetista e, posteriormente devem ser confirmadas na 
verificação das resistências das seções e se preciso,alterá-las. 
Uma vez realizado o pré-dimensionamento, inicia-se a verificação da estabilidade do 
conjunto quanto ao tombamento e ao deslizamento. 
 10 
DOMINGUES (1997) diz que para realizar os cálculos de armadura, é necessário 
primeiramente obter as ações horizontais (empuxo) e as ações verticais (peso próprio da 
estrutura) e os respectivos momentos, bem como a componente tangencial e normal 
atuantes no muro. 
GUERRIN ( ), diz que como fator de segurança quanto a estabilidade estática do 
muro, é utilizado 1,5 sendo que o momento devido as ações verticais deve ser 1,5 o 
momento devido as forças atuantes. Se, o coeficiente de segurança não for alcançado, faz-
se uso de alguns artifícios como inclinação da sapata, criação de dentes na fundação que 
tem a finalidade de aumentar a resistência quanto ao deslizamento ou até mesmo aumentar 
as dimensões da sapata. 
As águas do lençol freático que porventura ocorram a montante do muro de arrimo 
devem ser controladas através de projetos específicos de drenagem, evitando assim que o 
solo fique saturado e acabe por aumentar consideravelmente o empuxo. Usualmente são 
projetados dispositivos de drenagem denominados barbacãs ou torneiras figura 5a, 
dispostos uniformemente ao longo do muro, ou pode ser feito somente com uma saída 
inferior como mostra a figura 5b. 
 
Figura 5a Drenos e Barbacãs ( Guerrin) Figura 5b Saida na parte inferior (Moliterno, 1982) 
Figura 5 Drenagens usuais em muros de arrimo 
 
O mau planejamento dos drenos, bem como a sua má execução são os principais 
fatores de patologias e do colapso das estruturas de contenção. 
 
 11 
6. EMPUXO DE TERRA 
 
 
6.1 O EMPUXO 
 
Empuxo de terra é a solicitação exercida em uma estrutura de contenção que 
interage com o maciço terroso gerado por uma porção de terra que tende a voltar a sua 
inclinação natural. 
Ao se implantar uma obra, muitas vezes é necessária a intervenção no terreno 
formando platôs e taludes. Para os taludes, a opção mais barata é deixá-los com um ângulo 
de inclinação menor ou igual a φ, que é o ângulo de atrito interno dos grãos. Quando por 
ventura, temos cortes ou aterro do terreno formando com a horizontal um ângulo de 
inclinação maior que φ, surge o empuxo de terra que carrega a estrutura. 
GUERRIN ( ) diz que para a cunha de terra que solicita o muro de arrimo, temos uma 
infinidade de estados de equilíbrio possíveis. É certo falar em incertezas de cálculo e, 
portanto, seu corolário imediato: a necessidade de não sacrificar a segurança, é preciso 
fazer grandes suposições. 
O empuxo de terra pode ser presente de duas formas: o empuxo passivo e empuxo 
ativo (ou simplesmente empuxo). Para o empuxo passivo, temos a estrutura carregando o 
solo, o que gera esforços de compressão no solo (verificado em dentes de ancoragem), 
para o empuxo ativo, o solo é quem carrega a estrutura que ao se deformas gera esforços 
de tração no solo (ocorre no tardoz do muro), representado na figura 6. 
 
Figura 6: Empuxo passivo e ativo (Marangon, ) 
 12 
 
Tem-se então, como interface com o muro, o solo. Passivo ou ativo, vem do solo o 
carregamento da estrutura que em grande parcela, gera uma solicitação considerável. 
Porém, o solo está sujeito a chuvas, que preenchem os vazios do solo aumentando 
consideravelmente o valor do empuxo, agora composto por solo e água. Os muros de 
arrimo, se calculados para tal solicitação, seriam de tal robustez e economicamente 
inviáveis que em muitos casos custaria tanto quanto a edificação em si. Logo, é de senso 
comum projetá-los considerando apenas o empuxo de terra e muní-los de drenos, seja 
composto de areia na interface solo-muro seja por mantas geotêxtil, de forma que não 
ocorra o empuxo gerado pela água. 
Quanto a estrutura do solo, se coesivos ou não, as teorias de cálculo circundam os 
solos não coesivos. Para solos coesivos, muitos autores o consideram não coesivos, isto a 
favor da segurança pois os solos coesivos podem gerar esforços de tração que aliviam o 
carregamento do muro e, após executado, devido a utilizações futuras, a natureza do solo 
pode vir a ser alterada. 
Neste estudo, o empuxo será calculado pelo método de Rankine que se apóia nas 
equações de equilíbrio interno do maciço onde uma cunha de terra tenta deslocar-se da 
parte fixa do maciço e sobre ela são aplicadas as análises de equilíbrio dos corpos rígidos 
(Bueno, 1985). Este valor do empuxo será comparado com o empuxo calculado através do 
método gráfico de Poncelet. 
6.2 MÉTODO DE RANKINE 
6.2.1 DETERMINAÇÃO DO EMPUXO 
O método de Rankine fundamenta-se na do maciço ser homogêneo de extensão 
infinita e de superfície plana 
 
Figura 7 Condições para aplicação da teoria de Rankine. Caso ativo, 45°+ φ/2 e 
caso passivo, 45° - φ/2. (Bueno e Vilar, 1985). 
 13 
BUENO (1985) diz que a relação entre tensões efetivas horizontaise verticais 
constitui o coeficiente de empuxo. 
Para o empuxo ativo temos como o coeficiente do empuxo ativo: 
 
 
 
Onde: é a resultante da tensão horizontal do empuxo ativo e, 
 é a resultante da tensão vertical. 
A teoria de Rankine, através do círculo de Mohr fornece: 
 
 
 
 
Onde: φ é o ângulo de atrito interno do solo 
Analogamente para o empuxo passivo temos como o coeficiente do empuxo 
passivo: 
 
 
 
Dá-se então: 
 
 
 
 
Segundo Bueno, para a teoria de Rankine, a variação das tensões horizontais é 
linear com a profundidade ( sendo γ o peso específico do 
solo e h a altura do maciço no ponto de atuação do empuxo). O diagrama resultante será 
triangular e o empuxo consistirá na integração das tensões laterais ao longo da altura, 
 14 
mostrada pela figura 8. 
Portanto: 
 
 
 
 
 
Figura 8 Distribuição de esforços laterais e empuxo pela teoria de Rankine e ponto de 
aplicação da resultante (Bueno e Vilar, 1985) 
 
Para terrenos que possuem a superfície inclinada de Ѳ temos as mesmas 
considerações porém com coeficientes de empuxo passivo e empuxo ativo valendo: 
 
 
 
 
 
6.2.2 DETERMINAÇÃO DO PONTO DE APLICAÇÃO DO EMPUXO 
Para terrapleno sem sobrecarga, a altura y do ponto de aplicação do empuxo é dado 
 15 
por: 
 
 
 
Para terraplenos com sobrecarga q(tf/m²), esta é considerada como uma altura de 
solo equivalente a carga distribuída. 
 Logo: 
 
 
 
Nesta situação, o ponto de aplicação do empuxo y é dado por: 
 
 
 
6.3 MÉTODO GRÁFICO DE PONCELET 
6.3.1 DETERMINAÇÃO DO EMPUXO 
MOLITERNO (1982) detalha o método gráfico de Poncelet como: 
 1. Grandeza do empuxo: 
 - é o ângulo do talude natural; 
 - é o peso específico do solo; 
 H - é a altura do talude; 
 - é a inclinação do terreno adjacente ao muro; 
 - é a direção do empuxo, que é o ângulo de atrito entre a terra e o muro. 
A. Determina-se , que é o ângulo que a direção do empuxo faz com a 
vertical. 
 16 
B. Marca-se o ângulo a partir da horizontal que passa pelo pé do talude, e 
traçamos com a direção , a reta AC, sendo C um ponto de intersecção com 
o terreno adjacente ao muro. A reta AC é denominada de linha de talude 
natural, pois, se o terreno tivesse essa inclinação, estaria em repouso e, 
portanto sem possibilidade de deslizamento. 
C. Marca-se a partir da linha de talude natural AC, o ângulo , e tem-se a reta 
AR, chamada de linha de orientação. 
D. A partir do ponto B, intersecção do topo do muro com o terreno, traça-se BD, 
paralela a linha de orientação AR, ficando o ponto D sobre a linha AC. 
E. Com centro no ponto M, meio da linha AC, traça-se o semicírculo AC. 
F. Do ponto D, tira-se uma perpendicular a linha AC, até encontrar o semicírculo 
no ponto E. 
G. Com o centro no ponto A, transfere-se o ponto E para a linha AC, obtendo o 
ponto F. 
H. Do ponto F, traça-se uma reta paralela a linha de orientação AR até 
encontrar a superfície do terreno, achando o ponto G. 
I. Com o centro no ponto F, transfere-se o ponto G para a linha de talude 
natural AC, tendo o ponto L sobre a mesma. 
J. Nestas condições, a área do triangulo FGL multiplicado pela massa 
específica do solo, representa a grandeza do empuxo. 
Logo: 
 
 
 
 
 17 
 
Figura 9 Representação do método gráfico de Poncelet 
 
6.3.2 DETERMINAÇÃO DO PONTO DE APLICAÇÃO DO EMPUXO 
Para definir o ponto de aplicação do empuxo, deve-se construir um triângulo de área 
equivalente ao triângulo FGL com: d a altura medido graficamente e b a base. 
A reta AS é uma reta paralela a inclinação do terreno, I é o baricentro do triângulo de 
área equivalente. Paralelo a reta AS, a partir do ponto I traçamos uma reta até o muro 
sendo este ponto o ponto de aplicação do empuxo e, a partir da perpendicular ao muro no 
ponto de aplicação do empuxo, aplica-se um ângulo φ tendo então a direção do empuxo 
conforme a figura 10. 
 
Figura 10 Representação do ponto de aplicação do empuxo 
 18 
O método de Poncelet tem como vantagem nos apresentar a porção de solo que 
pode vir a desbarrancar que é o plano de ruptura, permitindo que o muro de arrimo seja 
construído posteriormente ao inicio da obra, deixando-o temporariamente desprotegido 
porém com inclinação inferior ao plano de ruptura. 
BUENO E VILAR (1985) dizem que para o cálculo do empuxo em terrenos que 
possui sobrecarga, seguimos a mesma seqüência citada cima porém o carregamento 
distribuído é considerado como uma altura de solo equivalente e de mesma massa 
específica. 
Para uma carga uniformemente distribuída paralela ao muro, devemos acrescentá-la 
sobre o peso da cunha determinada no método gráfico, isto se a carga estiver sobre a 
cunha. 
O empuxo devido a água deve ser considerado separadamente porém, exercendo 
igual pressão em todas as direções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 19 
7. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DO 
MURO DE ARRIMO 
 
 
No pré-dimensionamento do muro de arrimo, através de experiências anteriores, 
determinamos as dimensões prévias dos elementos que constituem o muro, onde a única 
dimensão já conhecida é a altura do muro H. A altura do muro é dada pela diferença das 
cotas do terreno onde o muro será viabilizado. As demais dimensões são funções da altura 
H. 
Huntington citado por DOMINGUES (1997) sugere que a espessura tanto da parede 
quanto da sapata (h), deve estar compreendida entre os seguintes valores: 
 
 
 
Onde H é a altura do muro. 
A largura da sapata (b), preferencialmente deve estar entre: 
 
 
 
 
Figura 11 Pré-dimensionamento segundo Huntington (Domingues, 1997) 
 20 
MOLITERNO (1982) diz que para o pré-dimensionamento e posteriormente o 
dimensionamento da armadura, devemos tomar o muro como uma laje vertical, em balanço, 
e engastada na sapata, sugerindo que: 
• Para pré dimensionar a base do muro ( ), devemos saber o valor do empuxo 
(E) e do ponto de aplicação do empuxo (y), donde obtemos: 
 
 
 
De acordo com a NBR 6118 - artigo 6.3.3, item c adotando um cobrimento de 
concreto de 3 cm temos: 
 
 
 
• Para determinar a dimensão do topo do muro ( , segundo a NBR 6118 – 
art.8, inciso 8.1.2.3, devemos tomar como quatro vezes o diâmetro do 
agregado graúdo. 
Por medidas práticas temos que para brita n° 2, e para brita n° 3, 
. 
• Para a largura da sapata ( , adotemos valores entre 50% e 60% da altura 
do muro. 
Usualmente: 
 
 
 
• Para a ponta (r) e o talão (t) da sapata temos: 
Ponta, valores compreendidos entre 1/8 a 1/6 de H. 
Usualmente: 
 
 
 21 
Talão: 
 
 
 
• Como condição de engastamento do muro na sapata, devemos ter: 
 
 
 
• As espessuras das extremidades devem estar entre 10 e 30cm, havendo um 
chanfro suave na face superior da sapata. 
 
 
Figura 12 Pré-dimensionamento segundo Moliterno 
 22 
8. ESTABILIDADE DO CONJUNTO 
SOLO-MURO 
 
 
 
Após o pré-dimensionamento da estrutura, é necessário verificar a estabilidade do 
conjunto solo-muro, verificando assim a estabilidade quanto a: 
• Tombamento 
• Deslizamento 
• Capacidade suporte do solo 
Para tais verificações, deve-se ter em mãos as ações verticais e horizontais e seus 
respectivos momentos. 
Como ações verticais temos o peso do muro, o peso da sapata, o peso do parapeito 
no topo do muro (se houver), o peso da terra sobre o talão da sapata e o peso da terra 
sobre a ponta da sapata. Como ações horizontais têm o empuxo de terra. 
Os braços de alavanca são as distâncias da linha de atuação das ações até aextremidade inferior da ponta da sapata. 
Logo: 
A. → peso próprio do muro 
 → braço de alavanca do peso do muro 
B. → peso próprio do parapeito 
 → braço de alavanca do peso do parapeito 
C. → peso próprio da terra sobre o talão da sapata 
 →braço de alavanca do peso da terra sobre o talão da sapata 
D. → peso próprio da sapata 
 → braço de alavanca do peso da sapata 
E. → peso próprio da terra sobre a ponta da sapata 
 23 
 → braço de alavanca do peso da terra sobre a ponta da 
sapata 
F. → empuxo de terra 
 → braço de alavanca do empuxo de terra 
 
Se o empuxo não se apresentar na horizontal, deve-se calcular suas componentes 
normal e tangencial, acrescentando-as no cálculo da estabilidade. 
Uma quarta verificação, quanto a ruptura geral do conjunto solo-muro deve-se ser 
verificada, porém, neste trabalho, não será verificada pois a mesma foge do escopo desse 
tema. 
 
8.1 VERIFICAÇÃO DA ESTABILIDADE QUANTO AO TOMBAMENTO 
Para a estabilidade quanto ao tombamento (rotação) do muro em torno do ponto 
extremo inferior da ponta da sapata, GUERRIN ( ) fornece um coeficiente de segurança FS 
de 1,5. 
Desta forma, é garantida a estabilidade estática do muro. 
Logo: 
 
 
 
Sendo assim: 
 
 
 
 24 
8.2 VERIFICAÇÃO DA ESTABILIDADE QUANTO AO DESLIZAMENTO 
Para a verificação da estabilidade quanto ao deslizamento, temos a força de atrito 
entre o solo e a sapata resistindo a componente tangencial do empuxo de terra. 
BUENO E VILAR (1985) diz que, para solos arenosos, o coeficiente de segurança 
quanto ao deslizamento deve ser maior ou igual a 1,5. Já para solos argilosos, o coeficiente 
de segurança deve ser maior ou igual a 2,0. 
Como componentes normais têm-se: 
 
 
 
A componente tangencial (T): 
 
 
 
Sendo assim: 
 
 FS = α ≥ [ 1,5 (solo arenoso); 2,0 (solo argiloso)] (7.2) 
 
Onde α é o coeficiente de atrito entre o solo de fundação e a sapata. 
Se após a verificação quanto ao deslizamento, a mesma não for atendida de acordo 
com a estrutura do solo, uma alternativa é aumentar as dimensões da sapata o que, na 
maioria dos casos, figura uma solução não econômica. 
Outra solução, e a mais corriqueira, é a utilização de dentes na sapata. Com o dente 
de ancoragem, o muro com o carregamento do solo tende a deslizar e o dente comprime a 
porção de solo na região do dente gerando assim um empuxo passivo que eleva o 
somatório nas forças resistentes e atendendo assim a verificação da estabilidade quanto ao 
deslizamento. 
 25 
 
Figura 13 Dentes de ancoragem (Domingues) 
 
Figura-se como outra alternativa para garantir o coeficiente de segurança quanto ao 
deslizamento, inclinar a base da sapata, aumentando assim a ação da resultante normal e 
conseqüentemente a resistência contra o deslizamento. 
 
8.3 VERIFICAÇÃO DA CAPACIDADE SUPORTE DO SOLO 
CARVALHO E FIGUEIREDO ( ) dizem que para a verificação da capacidade suporte 
do solo, verifica-se as tensões atuantes sob a base do muro de arrimo. Para o equilíbrio 
elástico, as máxima tensão de compressão deve ser menor que a capacidade resistente do 
solo. Já a tensão mínima deve ser tal que não produza tensões de tração no solo. 
 Se, porventura, a tensão mínima do solo for negativa ( < 0 ), haverá tensões 
de tração no solo. Para as verificações pertinentes, a região da sapata sobre o solo 
tracionada deverá ser desprezada. 
 
8.3.1 POSIÇÃO DO CENTRO DE PRESSÃO E EXCENTRICIDADE 
A posição do centro de pressão (CP) que é o ponto de aplicação das resultantes. É o 
comprimento (u) a partir da extremidade da ponta da sapata e é dado por: 
 
 
 
Onde: M é a resultante dos momentos atuantes e N é a resultante das forças 
normais de compressão. 
 26 
Sendo assim, a excentricidade (e) é dada por: 
 
 
 
Onde é a largura da sapata. 
A figura 14 mostra a posição do centro de pressão e excentricidade a partir do ponto 
A. 
 
 
Figura 14 Centro de pressão e excentricidade 
 
Se o valor da excentricidade for menor que , a resultante normal e o centro de 
pressão estarão dentro do núcleo central da sapata e a tensão mínima será maior que zero. 
Se, o valor da excentricidade for maior que , a resultante normal e o centro de 
pressão estarão fora do núcleo central da sapata e a tensão mínima será menor do que zero 
e haverá tração no solo. A região tracionada do solo deve compreender no máximo um terço 
da areada sapata 
 
8.3.2 DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES MÁXIMAS E MÍNIMAS 
Para a determinação das tensões que atuam no solo, temos as seguintes 
 27 
possibilidades: 
• Se a resultante das forças verticais estiver dentro do núcleo central, não 
haverá tração no solo sob a sapata. Sendo assim: 
Quando: 
 
 
Temos: 
 
 
 
 
 
 
 
A verificação quanto a capacidade suporte do solo será atendida quando: 
 
 
 
• Se, a resultante das forças verticais estiver fora do núcleo central, haverá 
tração no solo sob a sapata. Sendo assim: 
Quando: 
 
 
 
Temos: 
 
 28 
 
 
Neste caso, a reação à resultante da força normal estará a uma distância d/3 do 
extremo da ponta da sapata onde: 
 
 
 
 
 
Neste caso, a verificação quanto a capacidade suporte do solo será atendida 
quando: 
 
 
 
 
A figura 15 apresenta as duas possibilidades quanto a execntricidade. 
 
Figura 15a tensões no solo quando e<bs/6 Figura 15b tensões no solo quando e>bs/6 
Figura 15 Tensões atuantes no solo 
 29 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. CÁLCULO DOS ESFORÇOS 
SOLICITANTES 
 
 
 
Para a determinação dos esforços solicitantes, o muro de arrimo é composto de dois 
elementos: o muro ou tardoz e a sapata. Para o cálculo do muro, deve-se considerá-lo como 
uma laje em balanço. MOLITERNO ( ) sugere que calculemos os esforços do tardoz de 
metro em metro. 
O muro recebe as ações do maciço terroso caracterizado pelo empuxo de terra e a 
transfere para a sapata de fundação. 
A sapata por sua vez, recebe o carregamento do muro acrescido de seu peso próprio 
e os transfere para o solo. 
 
9.1 DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES NO MURO 
Sendo o empuxo distribuído linearmente, os esforços ocasionados por ele têm a 
forma de uma parábola. A ação de sobrecarga é considerada como uma altura de solo 
equivalente. “Para o caso de haver sobrecarga sobre o maciço de terra acima da parede, 
seja sobrecarga de pedestre ou veículos, a distribuição será trapezoidal. Isto ocorre porque 
 30 
a sobrecarga é transformada em uma altura e acrescida á altura total h. Assim, a altura 
final será H = h + .” DOMINGUES (1997). A figura 16 mostra a distribuição dos 
carregamentos que solicitam o muro. 
 
Figura 16 Distribuição dos carregamentos solicitantes no tardoz 
 
Para calcular o momento fletor em uma seção genérica S ( , situada a uma 
distância x do topo do muro, podemos usar a seguinte expressão: 
 
 
 
Onde: 
 
 
 
 
 
A força cortante em uma seção genérica S ( , situada a uma distância x do topo 
do muro é determinada pela expressão: 
 31 
 
 
 
9.2 DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES NA SAPATA 
Para a determinação do carregamento que atua na sapata da estrutura de contenção 
soma-se os diagramas dos carregamentos da sapata. Este é um processo usual figurando-
se como uma solução prática. “A solução, teoricamente exata, seria considerar a sapata 
como placa ou mesmo viga, sobre base elástica, porém tal solução é bastante trabalhosa.” 
MOLITERNO (1982 ). 
Como carregamento na sapata tem-se a reação do solo ( e , 
carregamento estedistribuído na vertical, orientado de baixo para cima,constante ou não, 
dependendo da excentricidade e as cargas verticais e ) referente ao peso da 
porção de terra sobre a ponta e o talão, também na vertical porém orientado de cima para 
baixo. 
Para simplificação, considerar a sapata de espessura constante. 
A figura 17 representa o carregamento na sapata. 
 
 32 
 
Figura 17 Distribuição dos carregamentos solicitantes na sapata 
 
Onde: 
 
 
 
Temos também: 
 
 
 
 
 
 
 33 
Para o cálculo do momento flertor e da força cortante, consideremos a ponta e o 
talão independentes e ambos engastados na região do tardoz (ponto B) como mostra a 
figura 18. 
 
Figura 18 Condições de engastamento da ponta e do talão da sapata 
 
Sendo assim: 
• Para a ponta da sapata: 
 
 
 
 
 
 
• Para o talão da sapata: 
 
 
 
 
 34 
9.3 DEFORMADA DA ESTRUTURA 
A estrutura de contenção: o muro de arrimo em concreto armado com os 
carregamentos acima determinados se deforma da seguinte maneira: 
 
 
Figura 19 Deformada do muro de arrimo (Ftool) 
10. CÁLCULO DA ARMADURA 
 
 
 
 
O cálculo da armadura é feito considerando o tardoz como uma laje em balanço 
engastado na sapata. O cálculo é realizado por metro de muro ao longo de seu comprimento 
e a cada metro de muro ao longo de sua altura. 
Será utilizado o Método de Cálculo na Ruptura (ou dos Estados-Limite) para o 
cálculo e detalhamento de elementos fletidos, método este semiprobabilistico, com base na 
NBR 6118:2003 em que devem ser atendidas as condições analíticas de segurança. As 
solicitações correspondentes a cargas devem ser menores que as solicitações últimas e, 
para o cálculo da armadura, as resistências são minoradas e as ações majoradas. 
Neste trabalho, a determinação da armadura do muro de arrimo será exemplificada e 
 35 
detalhada no capítulo 11 “EXEMPLO DE CÁLCULO DE MURO DE ARRIMO EM 
CONCRETO ARMADO”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11. EXEMPLO DE CÁLCULO DE 
MURO DE ARRIMO EM CONCRETO 
ARMADO 
 
 
 
Projetar um muro de arrimo isolado, com fundação em sapata, para um talude 
vertical de 3,0m de diferença entre os níveis com terreno natural conforme mostra o corte 
da figura 20. 
 36 
 
 
Figura 20 Corte e diferença de níveis do terreno 
 
Para o muro de arrimo a ser projetado, prever uma carga de utilização sobre o 
terrapleno de 8 kN/m² e sobre o muro, um parapeito de 1,2m de altura feito de tijolo 
cerâmico de peso específico de 12 kN/m³ e espessura de 0,1m. 
Para o solo considerar: 
• Peso específico do solo: γ = 18 kN/m³ 
• Ângulo de atrito interno do solo: φ = 30° 
• Tensão admissível do solo: = 200 kN/m² 
• Ângulo de inclinação do terreno adjacente: ω = 10° 
A figura 21 mostra o muro de arrimo a ser calculado: 
 
Figura 21 Muro de arrimo com sobrecarga 
 37 
 
11.1 CÁLCULO DO EMPUXO DE TERRA 
 
11.1.1 MÉTODO DE RANKINE 
Sendo o terrapleno carregado de uma força de 8 kN/m² e o peso específico do solo 
de 18 kN/m³ tem-se uma altura equivalente de solo , referente a sobrecarga de: 
 
 
 
Pelo método de Rankine, sendo o empuxo passivo e o terreno adjacente com uma 
inclinação de 10° obtém , portanto: 
 
 
 
 
 
Com o coeficiente , o peso específico do solo γ, e a altura do muro H (altura do 
muro somado com a altura de terra equivalente a sobrecarga) tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 38 
 
 
Ponto de aplicação do empuxo ( y ), a partir da base do muro: 
 
 
 
 
 
 
11.1.2 MÉTODO DE PONCELET 
Seguindo o roteiro do método gráfico de determinação do empuxo de Poncelet, 
descrito no item 5.3.1 obtém a seguinte figura: 
 
Figura 22 Determinação do empuxo por Poncelet 
 
Sendo o triângulo FGL de base igual a 2,05959 e altura de 2,02781 e o peso 
específico do solo valendo 18 kN/m³ tem-se: 
 39 
 
 
 
Ponto de aplicação do empuxo ( y ), a partir da base do muro: 
 
Figura 23 Determinação do ponto de aplicação do empuxo 
Sendo a solicitação maior obtida pelo método de Poncelet (37,58 1,15 > 38 
1,12), para este exemplo será considerado o empuxo calculado por Poncelet e, apesar 
do método de Poncelet fornecer o empuxo como um carregamento pontual, ele será 
considerado como um carregamento distribuído conforme o método de Rankine. 
11.2 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DO MURO DE ARRIMO 
No item 6 detalha-se o processo para o pré-dimensionamento do muro de arrimo. 
Logo: 
• Base do muro ( 
Altura útil da seção de concreto (d): 
 
 → d = 10 * = 21cm 
 
 Adotando, segundo a NBR 6118:2003, um cobrimento de 3cm: 
 
 40 
 + 3 = 24 → 
 
• Topo do muro ( 
Segundo a NBR 6118:2003, 
Para brita n°2: 
 
 
 
• Largura da sapata( : 
Usualmente: 
 
 → 
 
• Ponta da sapata (r): 
Usualmente: 
→ 
 
• Talão da sapata (t): 
 
 = 1,5 – (0,5 + 0,25) → 
 
• Espessura da sapata ( 
Para a condição do muro engastado na sapata: 
 
 
 
 41 
• Espessura das extremidades da sapata: 
Adotar valor entre 10 e 30 cm 
No exemplo: 20 cm 
A figura 24 representa o pré-dimensionamento do muro de arrimo. 
 
Figura 24 Pré-dimensionamento do muro de arrimo 
11.3 VERIFICAÇÃO DA ESTABILIDADE DO CONJUNTO SOLO-MURO 
 
11.3.1 VERIFICAÇÃO QUANTO A ROTAÇÃO 
De acordo com o item 7.1 tem-se: 
 
 
 
Sendo assim: 
 
• = = = 13,125 kN/m 
 
 42 
 = = 0,5 + = 0,5928 ≅ 
0,59m 
 
• = = 1,44 kN/m 
 
 = = 0,5 + = 0,55m 
 
• = 
 
 = 
 
• = 
 
 
 = 
 = 
1,09m 
• = 0 → = 0 
 
• = 37,58 kN/m → = 1,15m 
 
Logo: 
 
 43 
 
 
Como: 
 
FS = 1,52 > 1,50: a verificação quanto ao tombamento do muro de arrimo está 
atendida. 
 
11.3.2 VERIFICAÇÃO QUANTO AO DESLIZAMENTO 
De acordo com o item 7.2 tem-se: 
FS = α ≥ [ 1,5 (solo arenoso); 2,0 (solo argiloso)] 
Sendo assim: 
 
• 
 
 = (13,125 + 1,44 + 11,25 + 44,55 + 0 + 6,53 ) ≅ 77,0 
 
• = 37,58 0,984 = 36,97 
 
α = 0,75 (coeficiente de atrito do concreto sobre a terra) 
Logo: 
 
 
 
 44 
Como: 
FS = 1,56 > 1,50 ,a verificação quanto ao deslizamento do muro de arrimo esta 
atendida. 
 
 
11.3.3 VERIFICAÇÃO QUANTO ACAPACIDADE SUPORTE DO SOLO 
De acordo com o item 7.3 tem-se: 
 
 
 
Sendo assim: 
Determinação da excentricidade ( e ): 
 
 
 
Determinação das tensões atuantes no solo 
Sendo: 
 
 
 
Resulta em: 
 
 
 
Também tem-se: 
 
 45 
 
 
Como: 
→ a verificação quanto a capacidade suporte do 
solo esta atendida. 
 
11.4 DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES 
 
11.4.1 ESFORÇOS SOLICITANTES NO MURO 
De acordo com o item 8.1, para o muro os esforços serão calculados a cada metro 
de muro considerando-o como uma laje engastada. 
Sendo assim, de acordo com as equações do item 9.1, a tabela1 mostra os valores 
da força cortante e do momento flertor de metro em metro. 
 
 
Distancia do topo do 
muro (m) 
Cortante Q 
(kN) 
Momento Flertor M 
(kN.m) 
1 6,1 2,5 
2 18,5 14,3 
3 37,4 41,7 
 
Tabela 1 Esforços solicitantes do muro 
 
 
 46 
 
Figura 25 Gráfico dos esforços solicitantes no muro (Ftool) 
 
11.4.2 ESFORÇOS SOLICITANTES NA SAPATA 
De acordo com o item 10.2 tem-se o seguinte carregamento: 
 
 
Figura 26 Carregamento atuante na sapata 
 47 
De tal modo, segundo as equações do item 9.2 têm-se:Cortante 
( kN) 
Momento flertor 
(kN.m) 
Ponta 59,30 16,95 
Talão 57,10 33,24 
Tabela 2 Esforços solicitantes na sapata 
 
 
 
 
Figura 27 Gráfico dos esforços solicitantes na sapata (Ftool) 
 
11.5 CÁLCULO DA ARMADURA 
Para dimensionar a armadura do muro de arrimo, usar concreto de 20 MPa e aço 
CA-50. Adotar um cobrimento de 4,0cm. O muro será considerado como uma laje em 
balanço engastada na sapata. 
 
11.5.1 ARMAÇÃO DO TARDOZ 
Calcula-se as respectivas áreas de aço para as seções que foram determinados os 
esforços solicitantes. 
De tal modo, segundo CARVALHO E FIGUEIREDO FILHO: 
 48 
 
A. ARMADURA PRINCIPAL 
1. Seção 1 (localizada a 1m do topo do muro): 
 
• 
 
 
 ; 
 
• 
 
 De acordo com a tabela do anexo 1: 
 
 
• 
 
• 
 
 � 
 
2. Seção 2 (localizada a 2m do topo do muro): 
 
• 
 49 
 
 
 ; 
 
• 
 
 De acordo com a tabela do anexo 1: 
 
 
• 
 
• 
 
 � 
 
3. Seção 1 (localizada a 1m do topo do muro): 
 
• 
 
 
 ; 
 
• 
 50 
 
 De acordo com a tabela do anexo 1: 
 
 
• 
 
• m 
 � 
 
B. ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO 
De acordo com a NBR 6118:2003, a armadura de distribuição deve ser 20% da 
armadura principal. 
Sendo assim: 
 
 
 
Portanto: 
 
(por metro de muro vertical) 
 
C. ARMADURA DE CISALHAMENTO 
“Para facilitar a execução, convém projetar o muro com espessuras tais, de modo a 
não haver necessidade de ser colocada armadura transversal, para se combater as tensões 
de cisalhamento.” MOLITERNO (1982). Para tal, a força cortante de cálculo , deve ser 
menor do que a força resistente de projeto ao cisalhamento . 
 51 
Sendo assim: 
 
 
 
Em que: 
 
 = 
 
Onde: 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 = 107 kN 
 
 (calculado para a seção mais solicitada) 
 
� Como , a armadura transversal de cisalhamento não se 
faz necessária. 
 
D. ARMADURA SUPLEMENTAR 
MOLITERNO (1982) diz que tem a finalidade de amenizar os efeitos da diferença de 
temperatura entre as faces interna e externa e da retração do concreto, embora seja 
teoricamente desnecessária sob o ponto de vista de resistência. 
 52 
A armadura suplementar deve estar entre 0,1% e 0,3% da seção transversal, 
distribuída ao longo da altura. A mesma área de aço, também ao longo do comprimento. 
Portanto: 
 
 (em cada 
direção) 
 
11.5.2 ARMAÇÃO DA SAPATA 
Calcula-se as respectivas áreas de aço para a ponta e para o talão da sapata 
Segundo CARVALHO E PINHEIRO, uma sapata é rígida quando: 
 
 
Onde: é a altura da sapata; 
 é a dimensão da sapata em uma determinada direção; 
 é a dimensão do pilar na mesma direção. 
Logo: 
 
 
 
Como a condição de sapata rígida não foi atendida, a sapata é considerada flexível e 
é calculada como um elemento flertido, sendo as verificações as mesmas decorridas ao 
tardoz. 
 
A. ARMADURA PRINCIPAL 
1. Talão: 
 
 53 
• 
 
 
; 
 
• 
 
 De acordo com a tabela do anexo 1: 
 
 
• 
 
• 
� 
 
 2. Ponta: 
 
• 
 
 
; 
 
 54 
• 
 
 De acordo com a tabela do anexo 1: 
 
 
• 
 
• 
 
� 
 
B. ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO 
De acordo com a NBR 6118:2003, a armadura de distribuição deve ser 20% da 
armadura principal. 
Sendo assim: 
 
 
 
Portanto: 
 
(por metro de sapata corrida) 
 
C. ARMADURA DE CISALHAMENTO 
“Para facilitar a execução, convém projetar o muro com espessuras tais, de modo a 
 55 
não haver necessidade de ser colocada armadura transversal, para se combater as tensões 
de cisalhamento.” MOLITERNO (1982). Para tal, a força cortante de cálculo , deveser 
menor do que a força resistente de projeto ao cisalhamento . 
Sendo assim: 
 
 
 
Em que: 
 
 = 
 
Onde: 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 = 122 kN 
 
 (calculado para a seção mais solicitada) 
 
� Como , a armadura transversal de cisalhamento não se 
faz necessária. 
 
D. ARMADURA SUPLEMENTAR 
 56 
Recomenda-se que a armadura suplementar deve estar entre 0,1% e 0,3% da 
seção transversal, distribuída ao longo da largura. A mesma área de aço, também ao longo 
do comprimento. 
Porém, devido a praticidade de execução será utilizada como armação suplementar, 
a mesma armação principal e de distribuição. 
 
 
11.5.3 DEFINIÇÃO DAS BITOLAS, ESPAÇAMENTOS E EMENDAS POR TRASPASSE 
 
1. TARDOZ: 
 
 
 A. ARMADURA PRINCIPAL 
 
 Seção 1: → 7 8 c/15 
 
 Seção 2: → 7 8 c/15 
 
 Seção3: → 7 12.5 c/15 
 
 
 
 Comprimento da emenda por traspasse : 
 
 Seção 2 e 3: 
 
 
 
 57 
B. ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO 
 
(por metrode muro vertical) 
 
 → 4 8 c/25 
 
C. ARMADURA SUPLEMENTAR 
 
 (em cada direção) 
 
 → 4 8 c/25 ( ) armadura horizontal/m 
 
 → 4 8 c/25 ) armadura vertical/m 
 
2. SAPATA: 
 
 
 A. ARMADURA PRINCIPAL 
 
 Ponta: → 7 10 c/15 
 
 
 Talão: → 7 12,5 c/15 
 
 
 B. ARMADURA DE DISTRIBUIÇÃO E SUPLEMENTAR 
 
 58 
(por metro de sapata corrida) 
 
 → 7 8 c/22,5 
 
 
A figura 28 mostra o muro de arrimo em questão considerando-o com extensão de 
10 metros. 
A tabela 3 mostra a quantidade de aço necessária para a execução do muro 
calculado no item 11. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 59 
 
Figura 28 Armação do muro de arrimo 
 60 
 
 
 
Tabela 3 Tabela de ferro 
 
 
Relação teórica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 61 
12. DRENAGEM DOS MUROS DE 
ARRIMO 
 
 
Muros de arrimo são estruturas destinadas a receber o empuxo provocado pelo solo. 
Na grande maioria dos projetos, o solo é considerado não saturado e o muro não é 
dimensionado a resistir o empuxo hidrostático. “Raramente, são projetados para resistir ao 
empuxo hidrostático, na hipótese de acumular-se água ao longo do muro, pois, quando isso 
acontece, acaba ocorrendo acréscimo ao valor do empuxo que chega a ser da ordem de 
100%, encarecendo demasiadamente o projeto.” LOBO E FERREIRA (2003). 
A pressão hidrostática provocada pela água pode vir a causar ruptura do muro de 
arrimo. Como expressão dos engenheiros tem-se a seguinte frase: “O que derruba muro é 
água”. 
Para o muro de arrimo ser economicamente viável, deve-se projetá-lo munido de um 
sistema de drenagem das águas que porventura possam saturar o solo e elevar a ação do 
empuxo. 
12.1 DETALHES DE DRENAGEM 
A estrutura de drenagem mais usual de um muro de arrimo é composta por uma 
camada drenante disposta na vertical, junto a face interna do muro. Esta camada drenante é 
composta de areia ou pedra britada. Junto a intersecção do muro com a sapata, no 
comprimento do muro, deve-se dispor uma tubulação previamente furada para coletar a 
água do dreno e, através de barbacãs dispostos de 1,50m a 2,0m a água é conduzida para 
o outro lado do muro. Se a situação permitir, deve-se ligar os barbacãs a tubulação de 
águas pluviais existente. Na interface do muro com a camada drenante, deve-se aplicar uma 
camada de pintura asfáltica ou outro impermeabilizante. Para elevar a eficiência do dreno, 
convém colocar na interface do dreno de areia ou brita com o solo, uma manta geotêxtil, 
feita de fios de poliéster (Bidim). Quando possível,convém munir a superfície do aterro com 
uma canaleta coletora de águas pluviais evitando assim que o aterro fique saturado. 
A figura 29 mostra o esquema de um dreno usual. 
 62 
 
Figura 29 Esquema de drenagem usual em muros de arrimo 
 
Outra opção de drenagem para muros de arrimo é a utilização de tapete drenante ao 
longo do talude virgem com manta impermeável na base do muro conforme mostra a figura 
29. 
 
 
Figura 30 Alternativa de drenagem de muros de arrimo 
 63 
13. PATOLOGIAS EM MUROS DE 
ARRIMO 
 
 
 
13.1 SOLO DO ATERRO MAL COMPACTADO 
 
Diversas são as obras de muros de arrimo em que o aterro que carrega o muro não é 
devidamente compactado. O solo apenas é lançado no local tendo como compactação 
apenas a movimentação de caminhões que fazem o transporte da terra. 
LOBO at al. (2003) dizem que um aterro mal compactado deixa o solo com elevado 
índice de vazios e excessivamente compressível. 
Um elevado índice de vazios, em uma chuva, pode acumular uma elevada 
quantidade de água e, em um muro sem dreno ou com um dreno mau projetado, pode vir a 
carregar a estrutura com um empuxo hidrostático. 
LOBO E FERREIRA (2003) dizem que este solo mal compactado, altamente 
compressível, no decorrer do tempo, sofre um processo natural de compactação devido ao 
peso próprio e a carga de utilização. Devido a este processo, o solo gera na face do muro, 
um esforço que carrega o muro podendo ultrapassar sua capacidade de carga acarretando 
em excessivos recalques no muro. 
13.2 FALTA DE JUNTA DE MOVIMENTAÇÃO E JUNTA DE DILATAÇÃO 
Quando o muro de arrimo faz divisa com uma edificação vizinha, obrigatoriamente 
deve-se deixar uma folga da ordem de centímetros entre o muro e a edificação, esta folga é 
a junta de movimentação. 
Esta junta se faz necessária, pois, o muro se tratando de uma estrutura com 
armadura passiva, só terá a sua armadura tracionada e trabalhando conforme o projetado 
se a estrutura tentar se deformar. Pela lei de Hooke, quando uma barra é tracionada, ela 
 64 
também sofre um alongamento. 
LOBO E FERREIRA (2003) diz que muitos construtores tem ignorado esta junta de 
movimentação usando a edificação vizinha como forma para a concretagem do muro. Dessa 
forma, a estrutura projetada para trabalhar flertida não é carregada pelo empuxo, que se 
distribui na edificação vizinha. A edificação vizinha recebe o carregamento até se deformar. 
Só após a deformação da edificação vizinha é que a estrutura do muro de arrimo começa a 
trabalhar absorvendo o empuxo. 
MOLITERNO (1982) diz que em muros de arrimo com grande extensão deve-se 
deixar a cada 25,0m uma junta de dilatação de no mínimo 2,5cm com a finalidade de 
combater os esforços provenientes da variação de temperatura, evitando assim trincas e 
fissurações excessivas. A junta deve ser preenchida com massa a base de silicone e 
mastique. A armadura suplementar posicionada na face externa do muro também tem a 
finalidade de combater os esforços causados pela variação de temperatura. 
13.3 RECALQUE DO SOLO DE FUNDAÇÃO EM EDIFICAÇÕES VIZINHAS 
Muros de arrimo construídos junto a edificações vizinhas geram consideráveis bulbos 
de tensões que por sua vez, são transmitidos a estrutura da edificação vizinha ocasionando 
excessivos recalques. LOBO E FERREIRA (2003) diz que muros de arrimo de 4,0m de 
altura, por exemplo, gera um acréscimo de pressão da ordem de 68 kPa no solo subjacente. 
Muitas são as obras que ignoram este fato e projetam e executam o muro de arrimo 
a sobrecarregar a estrutura vizinha. 
“O solo de fundação, ao sofrer recalque, acaba “arrastando” consigo o solo adjacente 
sob a fundação da edificação vizinha, provocando recalques das paredes e do piso e, como 
conseqüência, originando trincas e rachaduras na alvenaria.” LOBO E FERREIRA (2003). 
 
 
 
 
 
 
 65 
14. CONCLUSÃO 
 
 
 
Muros de arrimo são estruturas de grande importância. Logo o projeto de um muro 
de arrimo deve ser muito bem realizado assim como a sua execução, apesar de não ser o 
que acontece em grande parcela dos muros executados, onde os engenheiros projetistas e 
engenheiros de obras acabam por deixá-lo em segundo plano, muitas vezes colocando a 
vida de pessoas em risco. 
Este trabalho, composto pela sua parte teórica e pelo exemplo de cálculo e 
detalhamento de um muro de arrimo em concreto armado e fundação superficial visa auxiliar 
estudantes de engenharia civil e profissionais já formados a projetar, calcular e detalhar um 
muro de arrimo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 66 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS 
 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS.; NBR-6118: Projeto e execução 
de obras de concreto armado. Rio de Janeiro, ABNT, 2003. 
 
BUENO B. S.; VILAR O. M.: Mecânica dos solos. V.2. Universidade de São Paulo, Escola 
de Engenharia de São Carlos, Departamento de Geotecnia. São Carlos, 1985. 
 
CARVALHO R.C.; FIGUEIREDO J.R.; Muros de Arrimo 
 
CARVALHO R.C.; FIGUEIREDO J.R.; Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de 
Concreto Armado. V.1. São Carlos, 2006. Editora: EDUFSCAR 
 
DOMINGUES, P.C.; Indicações para projetos de muros de arrimo em concreto armado. São 
Carlos, 1997. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos da 
Universidade de São Paulo 
 
GUERRIN A.; LAVAUR R.C.; Tratado de Concreto Armado: Muros de Arrimo e Muros 
de Cais. V.6. Editora: Hemus Editora Limitada. 
 
LOBO A.S.; FERREIRA C.V.; RENOFIO A.; Muros de arrimo em solos colapsíveis 
provenientes do arenito Bauru: problemas executivos e influência em edificações 
vizinhas em áreas urbanas. Maringá: UNESP/Departamento de Engenharia Civil, 2003. P 
169-177 Trabalho de Conclusão de Curso. 
 
MOLITERNO A.; Caderno de Muros de Arrimo. São Paulo. Editora Edgard Blucher, 
 
 
 
 
 
 67 
BIBLIOGRAFIAS 
COMPLEMENTARES 
 
 
 
CARVALHO R.C.; PINHEIRO L.M.; Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de 
Concreto Armado. V.2. São Carlos, 2009. Editora: PINI Ltda. 
 
HUNTINGTON, W.C. Earth pressure ande reataining walls. New York, John Wiley & 
Sons, 1957. 
 
GERSCOVICH D.M.S.; Estruturas de contenção - Muros de arrimo. Rio de Janeiro: 
UERJ/Departamento de Estruturas e Fundações. Notas de Aula. 
 
MALUF, D.R.; Estudo de painéis de alvenaria estrutural sujeitos a ações perpendiculares ao 
plano. São Carlos, 2007. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de São Carlos 
 
CARDOSO F.F.;Sistemas de contenção. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. 
São Paulo, 2002. 
 
ALBUQUERQUE P.; Engenharia civil – Fundações e obras de terra. Sorocaba, 2003 
FACENS. Notas de aula. 
 
MARANGON M.; Empuxo de terra, Mecânica dos solos II. Faculdade de engenharia – 
NuGeo/Núcleo de Geotécnica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 68 
Anexo 1 
 
 
 
KMD KX KZ εεεεχχχχ εεεεσσσσ KMD KX KZ εεεεχχχχ εεεεσσσσ 
0,0100 0,0148 0,9941 0,1502 10,0000 0,2050 0,3506 0,8597 3,5000 6,4814 
0,0200 0,0298 0,9881 0,3068 10,0000 0,2100 0,3609 0,8556 3,5000 6,1971 
0,0300 0,0449 0,9820 0,4704 10,0000 0,2150 0,3714 0,8515 3,5000 5,9255 
0,0400 0,0603 0,9759 0,6414 10,0000 0,2200 0,3819 0,8473 3,5000 5,6658 
0,0500 0,0758 0,9697 0,8205 10,0000 0,2250 0,3925 0,8430 3,5000 5,4170 
0,0550 0,0836 0,9665 0,9133 10,0000 0,2300 0,4033 0,8387 3,5000 5,1785 
0,0600 0,0916 0,9634 1,0083 10,0000 0,2350 0,4143 0,8343 3,5000 4,9496 
0,0650 0,0995 0,9602 1,1056 10,0000 0,2400 0,4253 0,8299 3,5000 4,7297 
0,0700 0,1076 0,9570 1,2054 10,0000 0,2450 0,4365 0,8254 3,5000 4,5181 
0,0750 0,1156 0,9537 1,3077 10,00000,2500 0,4479 0,8208 3,5000 4,3144 
0,0800 0,1238 0,9505 1,4126 10,0000 0,2550 0,4594 0,8162 3,5000 4,1181 
0,0850 0,1320 0,9472 1,5203 10,0000 0,2600 0,4711 0,8115 3,5000 3,9287 
0,0900 0,1403 0,9439 1,6308 10,0000 0,2650 0,4830 0,8068 3,5000 3,7459 
0,0950 0,1485 0,9406 1,7444 10,0000 0,2700 0,4951 0,8020 3,5000 3,5691 
0,1000 0,1569 0,9372 1,8611 10,0000 0,2750 0,5074 0,7970 3,5000 3,3981 
0,1050 0,1654 0,9339 1,9810 10,0000 0,2800 0,5199 0,7921 3,5000 3,2324 
0,1100 0,1739 0,9305 2,1044 10,0000 0,2850 0,5326 0,7870 3,5000 3,0719 
0,1150 0,1824 0,9270 2,2314 10,0000 0,2900 0,5455 0,7818 3,5000 2,9162 
0,1200 0,1911 0,9236 2,3621 10,0000 0,2950 0,5586 0,7765 3,5000 2,7649 
0,1250 0,1998 0,9201 2,4967 10,0000 0,3000 0,5721 0,7712 3,5000 2,6179 
0,1300 0,2086 0,9166 2,6355 10,0000 0,3050 0,5858 0,7657 3,5000 2,4748 
0,1350 0,2175 0,9130 2,7786 10,0000 0,3100 0,5998 0,7601 3,5000 2,3355 
0,1400 0,2264 0,9094 2,9263 10,0000 0,3150 0,6141 0,7544 3,5000 2,1997 
0,1450 0,2354 0,9058 3,0787 10,0000 0,3200 0,6287 0,7485 3,5000 2,0672 
0,1500 0,2445 0,9022 3,2363 10,0000 0,3300 0,6590 0,7364 3,5000 1,8100 
0,1550 0,2536 0,8985 3,3391 10,0000 0,3400 0,6910 0,7236 3,5000 1,5652 
0,1600 0,2630 0,8948 3,5000 9,8104 0,3500 0,7249 0,7100 3,5000 1,3283 
0,1650 0,2723 0,8911 3,5000 9,3531 0,3600 0,7612 0,6955 3,5000 1,0983 
0,1700 0,2818 0,8873 3,5000 8,9222 0,3700 0,8003 0,6799 3,5000 0,8732 
0,1750 0,2913 0,8835 3,5000 8,5154 0,3800 0,8433 0,6627 3,5000 0,6506 
0,1800 0,3009 0,8796 3,5000 8,3106 
0,1850 0,3106 0,8757 3,5000 7,7662 
0,1900 0,3205 0,8718 3,5000 7,4204 
0,1950 0,3305 0,8678 3,5000 7,0919 
0,2000 0,3405 0,8638 3,5000 6,7793 
cd
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