Apostila Resumida de Geometria Descritiva II

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Professoras: Anelise Todeschini Hoffmann 
 Jocelise Jacques de Jacques 
Coordenador: Fábio Gonçalves Teixeira 
 
Porto Alegre, julho de 2008. 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL 
Faculdade de Arquitetura 
Departamento de Expressão Gráfica 
Departamento de Expressão Gráfica 
Faculdade de Arquitetura 
ARQ 03317 - Geometria Descritiva II A
 
 
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1. NOÇÕES DE UTILIZAÇÃO DOS INSTRUMENTOS DE DESENHO 
 
A utilização correta dos esquadros em geometria descritiva é de 
fundamental importância para a obtenção da precisão necessária na solução dos 
problemas. 
Estes são utilizados para o traçado de linhas horizontais e verticais e 
serve também como apoio, permitindo o traçado de linhas em ângulos 
determinados (30º, 45º, 60º e outros). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um recurso para o traçado de linhas com ângulos diferentes é a 
combinação dos esquadros, apoiados, como nos exemplos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O traçado de retas paralelas ou perpendiculares a determinada direção 
pode ser realizado movendo-se um esquadro apoiado sobre o outro que 
permanece fixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30º 
60º 
90º 
45º 
75º 
15º 
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2. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE GEOMETRIA DESCRITIVA 
 
 
No final do século XVIII, o Exército Francês era o único que dispunha de 
métodos de cálculo para determinar as melhores posições para escapar do fogo 
da artilharia inimiga. 
Para fugir dos complicados cálculos usualmente empregados nesse e em 
outros problemas da engenharia militar, o matemático Gaspar Monge (1746-
1818) desenvolveu uma técnica onde era possível representar as manobras 
militares, de tal forma que nada ficasse sob a mira do inimigo, porém ela era tão 
simples que não recebeu atenção dos superiores. 
Assim começou a Geometria Descritiva de Monge, que hoje é estudada 
nos primeiros anos de todas as áreas de engenharia e se aplica não somente a 
desenhos e projetos técnicos, mas também nas artes e na fotografia devido a 
sua aplicação no estudo das perspectivas (Kawano, 2003). Portanto é de 
enorme importância do ponto de vista tecnológico e, segundo Caldonazo (1999), 
sem ela a engenharia não teria progredido tanto no séc. XX. 
No método de Monge, todo objeto ou figura no espaço é representado por 
duas projeções em um plano só, colocando em uma folha de papel plana o que 
é visualizado no espaço de três dimensões (Kawano, 2003). 
A Geometria Descritiva é a ciência que permite representar sobre um 
plano os elementos do espaço, tornando possível a resolução de problemas 
referentes à sua forma, grandeza e posição, graficamente (Borges,Barreto & 
Martins, 1991). O esquema desenvolvido por Monge, facilita a visualização de 
relações espaciais e se constitui em método para a resolução gráfica de 
problemas (Caldonazo, 1999). 
 
 
 
 
Fonte: www.revistagalileu.globo.com 
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Para a representação de um objeto (3 dimensões) sobre um plano (2 
dimensões) utilizam-se os Sistemas Projetivos, que são compostos pelos 
seguintes elementos: 
 objeto, 
 plano de projeção, 
 projetantes, 
 centro de projeção, e 
 projeção do objeto. 
 
SISTEMA DE PROJEÇÃO CÔNICO 
 
As projetantes são convergentes ao centro de projeção. 
 
 
 
SISTEMA DE PROJEÇÃO CILÍNDRICO OBLÍQUO 
 
As projetantes são paralelas entre si e oblíquas ao plano de projeção. 
 
 
 
 
 
 
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SISTEMA DE PROJEÇÃO CILÍNDRICO ORTOGONAL 
 
As projetantes são paralelas entre si e perpendiculares ao plano de 
projeção. 
 
 
A Geometria Descritiva une a compreensão do espaço tridimensional e os 
conceitos do Sistema de Projeções Cilíndrico Ortogonal através do método 
idealizado por Gaspar Monge no século XVIII. 
 
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3. SISTEMA MONGEANO 
 
Monge imaginou dois planos que se interceptam perpendicularmente 
dividindo o espaço em quatro diedros, numerados de forma anti-horária (no 
sentido trigonométrico). Nestes planos os objetos estudados são projetados 
ortogonalmente e então, o sistema é planificado. 
 
 
 
 
 
 
 
Que objeto está sendo 
projetado nos planos 
horizontal e frontal de 
projeção? 
Inserção de mais um 
plano de projeção – plano 
auxiliar ou π0. 
Assim, através da análise 
conjunta das três projeções 
é possível determinar a 
forma, a grandeza e a 
posição dos elementos do 
espaço. 
 
 
O emprego do plano auxiliar é, muitas vezes, indispensável à solução de 
problemas. 
 
 
1o Diedro 
4o Diedro 
3o Diedro 
2o Diedro 
y 
z 
x 
 
 
Linha de terra
Plano frontal 
de projeção 
Plano 
horizontal de 
projeção 
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4. PLANIFICAÇÃO DO SISTEMA MONGEANO 
 
Para que este método alcançasse o objetivo de analisar os objetos 
tridimensionais obtendo as facilidades da geometria plana tornou-se necessária 
a transposição destes conceitos para um meio bidimensional, decorrendo a 
planificação do Sistema Mongeano. Para tanto, faz-se girar o plano horizontal 
em torno da linha de terra de modo que a parte posterior do mesmo coloque-se 
sobre a parte inferior do plano frontal. 
 
 
Assim, tem-se a épura, a qual é o sistema de representação criado por 
Monge, obtida através do rebatimento do plano horizontal de projeção sobre o 
plano frontal de projeção. A épura apresenta diferentes projeções de um mesmo 
objeto, portanto, a épura é a planificação do sistema X,Y,Z. 
 
 
 
É importante ressaltar que no Brasil a épura é a planificação do 1o Diedro, 
enquanto em outros países trabalham com a planificação do 3o Diedro. 
 
 
X 
Z 
Y 
Y 
Z 
X Y 
Y 
Y X
Z 
Y
Y
Z
X 
Z 
X 
Y 
Y
Y
Y 
Z
X 
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Planificação simplificada do Sistema Mongeano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Convenções (BORGES, BARRETO & MARTINS, 1991) 
 
NOTAÇÃO 
PONTOS Letras latinas maiúsculas A, B, C, D, ... 
RETAS Letras latinas minúsculas a, b, c, r, s, ... 
PLANOS Letras gregas minúsculas α, β, λ, µ, ... 
PROJEÇÕES HORIZONTAIS Índices ímpares A1, r1, α1, ... 
PROJEÇÕES FRONTAIS Índices pares A2, r2, α2, ... 
TRAÇADO 
LINHA TIPO EMPREGO 
grossa Soluções 
média Linha de terra 
Linhas não visíveis 
fina Linhas de chamada e auxiliares 
Eixos de simetria 
 
Importante: Deve-se arbitrar as espessuras de forma que fiquem nitidamente distintas entre si. 
Uma vez escolhida a espessura da linha grossa, a linha média é fixada como a metade da 
primeira e a fina a metade da segunda, aproximadamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Z 
Y 
X 
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5. ESTUDO DO PONTO 
 
Para determinarmos a posição de um ponto no espaço, é necessário 
projetá-lo sobre os dois planos de projeção ortogonais – plano de projeção 
horizontal (X,Y) e plano de projeção frontal (X,Z). O ponto é representado por 
suas coordenadas descritivas. 
 
 
 
 
 
 
P (x, y, z) 
 
 
 
 
P1 (x, y) – projeção de P no plano horizontal 
 
P2 (x, z) – projeção de P no plano frontal 
 
P0 (y, z) – projeção de P no plano auxiliar 
 
 
LINHA DE TERRA – interseção do plano horizontal e frontal de projeção 
PROJEÇÕES ORTOGONAIS DE P P1, P2, P0 
PROJETANTE - é a perpendicular traçada do ponto do espaço à sua projeção 
ortogonal ( PP2, PP1, PP0) 
P 
P2 
P1 
P0 
x 
y 
z 
Af
as
ta
m
en
to
Z 
C
ot
a 
Abscissa 
X 
Y 
P2 
P1 
P0 
Y
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LINHA DE PROJEÇÃO OU LINHA DE CHAMADA- é toda linha perpendicular a 
linha de terra, que une as projeções de um mesmo ponto, ou seja, é a projeção 
das projetantes. 
 
Coordenadas descritivas do ponto: P (x, y, z) 
 
Abscissa (X) 
 
é a distância do ponto 
(objeto) ao plano auxiliar de 
projeção. Ou seja, o quanto o 
ponto se afasta da origem do 
sistema. 
 
Afastamento (Y) 
 
é a distância do ponto 
(objeto) ao plano frontal de 
projeção. Ou seja, o quanto 
o ponto se afasta do plano 
frontal. 
Cota (Z) 
 
é a distância do ponto (objeto) 
ao plano horizontal de 
projeção. Ou seja, é a altura 
do ponto em relação ao plano 
horizontal. 
Estas coordenadas descritivas dos elementos na geometria descritiva 
correspondem a largura, profundidade e altura de um objeto. 
 
 
 
x 
z 
y
A
DC 
B 
-y 
-z 
0 
1º Diedro 
2º Diedro 
3º Diedro 
4º Diedro 
x
z 
y
H 
F 
T
P
-y
-z 
0 
1º Diedro 
2º Diedro
3º Diedro 
4º Diedro 
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C1
C2 
x 
y
z
D2 
D1 
A1 
A2 
B2 
B1 
 
T1 
T2 
x
y
z
F2 
F1 
H1 
H2 
P2
P1
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6. ESTUDO DA RETA 
 
Uma reta é determinada pelo 
deslocamento de um ponto em uma 
determinada direção. Pode-se representá-la por 
dois pontos e é identificada por letras latinas 
minúsculas. 
 
Uma reta no espaço pode ocupar três posições distintas em relação a um 
plano de projeção, sendo que cada uma delas resulta em um tipo de projeção 
particular: 
 
reta paralela ao plano de 
projeção ( // ) 
reta perpendicular ao 
plano de projeção (⊥) 
reta oblíqua ao plano de 
projeção ( ∠ ) 
 
 
 
projeção em verdadeira 
grandeza (VG) 
a projeção é igual a reta 
projeção acumulada 
 (PA) 
a projeção da reta é um ponto 
projeção reduzida 
(PR) 
projeção é menor que a reta 
 
De acordo com o método mongeano, determina-se a posição de uma reta 
no espaço através de suas projeções sobre dois planos de projeção ortogonais: 
plano de projeção horizontal, plano de projeção frontal. 
A reta pode ocupar 7 posições distintas com relação aos planos horizontal 
e frontal de projeção. 
 Reta fronto-horizontal 
 Reta horizontal 
 Reta frontal 
 Reta vertical 
 Reta de topo 
 Reta de perfil 
 Reta oblíqua ou qualquer 
 
r 
A B 
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7. POSIÇÕES DA RETA EM RELAÇÃO AOS PLANOS HORIZONTAL E 
FRONTAL DE PROJEÇÃO 
 
 
RETA FRONTO-HORIZONTAL 
 
 
 
 
 Paralela ao plano 
horizontal e frontal de 
projeção: (VG) 
 Perpendicular ao plano 
auxiliar: (PA) 
 Possui cotas (z) e 
afastamentos (y) iguais. 
 
 
RETA HORIZONTAL 
 
 
 
 Paralela ao plano 
horizontal de projeção: (VG) 
 Oblíqua ao plano frontal 
e auxiliar de projeção: (PR) 
faz ângulo com estes planos 
de projeção. 
 Possui cotas (z) iguais e 
afastamentos (y) diferentes 
 
 
RETA FRONTAL 
 
 
 Paralela ao plano frontal 
de projeção: (VG) 
 Oblíqua ao plano 
horizontal e auxiliar de 
projeção:(PR) 
faz ângulo com estes planos 
de projeção. 
 Possui cotas (z) 
diferentes e afastamentos 
(y) iguais. 
Z
Y
X
Z
Y
X
Z
Y
X
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RETA DE TOPO 
 
 
 
 Paralela ao plano 
horizontal e auxiliar de 
projeção: (VG) 
 Perpendicular ao plano 
frontal de projeção :(PA) 
 Possui cotas (z) iguais e 
afastamentos (y) diferentes. 
 
 
RETA VERTICAL 
 
 
 
 Paralela ao plano frontal 
e auxiliar de projeção: (VG) 
 Perpendicular ao plano 
horizontal de projeção :(PA) 
 Possui cotas (z) 
diferentes e afastamentos 
(y) iguais. 
 
 
 
 
RETA DE PERFIL 
 
 
 
 Paralela ao plano auxiliar 
de projeção: (VG) 
 Oblíqua ao plano 
horizontal e frontal de 
projeção:(PR) 
 faz ângulo com estes 
planos de projeção. 
 Possui cotas (z) e 
afastamentos (y) diferentes. 
Z
Y
X
Z
Y
X
Z
Y
X
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RETA OBLÍQUA
 
 
 
 Oblíqua ao plano 
horizntal, frontal e 
auxiliar de 
projeção:(PR) 
Projeção Reduzida 
 Faz ângulo com estes 
planos de projeção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. PERTINÊNCIA - PONTO E RETA 
 
Um ponto pertence a uma reta quando suas projeções coincidem com as 
projeções de mesmo nome da reta. 
 
 
 
 
Z
Y
X
 
a1 
a2 
b1 
b2
c1
c2
FRONTO-HORIZONTAL FRONTAL HORIZONTAL 
 g2 
 
e1 
e2 
d1 
d2 
f1
f2 
g1 
DE TOPO VERTICAL DE PERFIL OBLÍQUA 
Z 
Y 
X 
Z
Y
X
Z
Y
X
Z
Y
X 
Z
Y
X
Z
Y
X
Z
Y
X
 
f2 
f1 B1 
A1 
A2 ≡ B2 
u2 
u1 ≡ C1 
C2 
h2 D1 
D2 h1 
Z
Y
X
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9. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS 
 
Duas retas no espaço podem estar contidas em um mesmo plano, sendo 
chamadas de coplanares, ou podem estar contidas em planos diferentes, sendo 
chamadas de não coplanares. 
As retas coplanares podem ser: coincidentes, paralelas ou 
concorrentes. E as retas não-coplanares são chamadas reversas. 
 
 
RETAS COINCIDENTES 
 
 São coplanares 
 Possuem mesma direção 
 São retas de mesmo nome (horizontal, frontal,...) 
 Possuem dois ou mais pontos em comum 
 
 
 
 
 
 
 
 
f2=g2 
f1=g1 
Z
Y
X
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RETAS PARALELAS 
 São coplanares 
 Possuem mesma direção 
 São retas de mesmo nome 
(horizontal, topo,...) 
 
 Não possuem ponto em comum 
 Mantêm distância constante 
entre sí 
 
 
Projeções de 
mesmo nome 
são paralelas 
 
 
 
Duas 
projeções de 
mesmo nome 
são 
coincidentes 
e as outras 
duas são 
paralelas 
 
 
 
 
 
Duas 
projeções de 
mesmo nome 
são paralelas 
e as outras 
duas são 
acumuladas 
 
 
 
Obs: a verificação de paralelismo entre retas de perfil é feita por intermédio da 
projeção no plano auxiliar. 
r2
s2
r1 s1
r0 
s0 
s2
s0 
r2
r0 
s1
r1
r2 ≡ s2
r1 
s1
r0 ≡ s0 
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RETAS CONCORRENTES 
 
 São coplanares 
 Não possuem mesma direção 
 Podem ou não serem retas de 
mesmo nome 
 
 Possuem ponto em comum 
 Poderão ser perpendiculares ou 
oblíquas 
 
As projeções de 
mesmo nome se 
cortam, e as 
projeções deste 
ponto de 
interseção 
pertencem a 
mesma linha de 
chamada. 
 
 
 
 
As projeções de 
mesmo nome são 
concorrentes e as 
do outro plano de 
projeção são 
coincidentes. 
 
 
 
As projeções de 
um plano são 
concorrentes e as 
do outro, são 
coincidentes, 
sendo que uma 
delas é um ponto. 
 
 
 
 
 
s2 
s0 
r2 r0 
s1 r1 
s2 s0 ≡ r0
r2
s1 ≡ r1 
s2 ≡ r2 s0 ≡ r0
s1 r1 
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RETAS REVERSAS 
 
 Não são coplanares 
 Fazem entre si um ângulo 
qualquer 
 Não possuem ponto em 
comum (ponto de 
concorrência) 
 Não mantêm distância 
constante entre sí 
 Poderão ser ortogonais ou 
oblíquas (jamais serão 
perpendiculares) 
Quando as retas formam ângulos de 90º : 
 
RETAS ORTOGONAIS 
 
 São retas reversas que fazem entre sí um ângulo de 90o. 
 
RETAS PERPENDICULARES 
 
 São retas concorrentes que fazem um ângulo de 90o entre sí. 
 
s1
r1
s0 r0 
s2
r2
s1
r1
s0 
r0 
s2
r2
s1
r1
s0 
r0 
s2
r2
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10. ESTUDO DO PLANO 
 
 
Um plano é gerado a partir do deslocamento 
de uma reta em uma determinada direção e é 
representado por letras gregas. 
 
Um plano pode ser definido através dos seguintes elementos: 
 
Três pontos 
não-colineares 
Uma reta e umponto 
não pertencente a 
mesma 
Duas retas 
paralelas 
Duas retas 
concorrentes 
 
Um plano no espaço pode ocupar três posições distintas em relação a um 
plano de projeção, sendo que cada uma delas resulta em um tipo de projeção 
particular: 
 
Plano paralelo Plano perpendicular Plano oblíquo 
 
 
 
 
 
Verdadeira Grandeza (VG) 
É a situação de eqüidistância 
entre planos. 
 
 
Projeção Acumulada (PA) 
É a situação em que os 
planos formam um ângulo de 
90º entre si. 
 
 
Projeção Reduzida (PR) 
É a situação em que os 
planos formam ângulos, 
diferentes de 90º, entre si. 
 
 
r 
β 
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 20 
Traço de um plano: Traço de um plano são as interseções deste plano com os 
planos horizontal e frontal de projeção. O traço de um plano é uma reta e é 
designado por uma letra do alfabeto grego que caracteriza o plano considerado e 
o índice do plano de projeção em que o mesmo se projeta (1- horizontal e 2- 
frontal). 
 
Exemplo de traço vertical 
 
Exemplo de traço horizontal 
 
O plano pode ocupar 7 posições distintas com relação aos planos 
horizontal e frontal de projeção. 
 Plano horizontal 
 Plano frontal 
 Plano de topo 
 Plano vertical 
 
 Plano de perfil 
 Plano de de rampa 
 Plano oblíqua ou qualquer 
 
 
Plano horizontal (ou de nível) 
 
• paralelo ao plano horizontal 
de projeção - VG 
• perpendicular aos planos 
frontal e auxiliar de projeção - PA
As retas que podem estar contidas 
em um plano horizontal são: 
- fronto – horizontal; 
- horizontal; 
- de topo.
Representação do plano horizontal: 
 
 
 
 
 
 
 
 3 pontos 1ponto + 1 reta retas paralelas retas concorrentes traço do plano 
A2 B2 C2 
A1 
C1 
B1 
 B2 s2 
B1 
s1
r2 ≡ s2
r1 s1
t2 h2
t1 h1
α2 
 Z
Y
X 
Departamento de Expressão Gráfica 
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 21 
 
Plano Frontal 
 
• paralelo ao plano frontal de 
projeção - VG 
• perpendicular aos planos 
horizontal e auxiliar de projeção - 
PA 
As retas que podem estar contidas 
em um plano frontal são: 
- vertical; 
- fronto – horizontal; 
- frontal.
Representação do plano frontal: 
 
 
 
 
 retas retas traço 
 3 pontos 1ponto + 1 reta paralelas concorrentes do plano 
 
 
Plano de Topo 
 
 
• perpendicular ao plano frontal de 
projeção - PA 
• oblíquo aos planos horizontal e 
auxiliar de projeção - PR 
As retas que podem estar contidas 
em um plano de topo são: 
- frontal; 
- topo; 
- oblíqua. 
 
Representação do plano de topo: 
 
 
 
 
 
 
 retas retas traço 
 3 pontos 1ponto + 1 reta paralelas concorrentes do plano 
A2 
s1 B1 
B2 
A1 B1 C1 
C2 
B2
s2 
r1 ≡ s1
r2 
 
s2 t2 h2
t1 h1
α1 
 Z
Y
X 
B2 
 A2 
 
 C2 
B1 
A1 
C1 
 B1 
B2 s2
r2 ≡ s2
r1 
 
s1 
t2 
 h2 
t1 h1
α2 
 
s1
Z 
Y 
X 
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 22 
 
Plano Vertical 
 
 
• perpendicular ao plano horizontal 
de projeção - PA 
• oblíquo aos planos frontal e 
auxiliar de projeção - PR 
As retas que podem estar contidas 
em um plano vertical são: 
- vertical; 
- horizontal; 
- oblíqua. 
Representação do plano vertical:
 
 
 
 
 
 
 
 retas retas traço 
 3 pontos 1ponto + 1 reta paralelas concorrentes do plano 
 
 
Plano de Perfil 
 
• perpendicular aos planos 
horizontal e frontal de projeção - 
PA 
• paralelo ao auxiliar de projeção - 
VG 
As retas que podem estar contidas 
em um plano de perfil são: 
- perfil; 
- vertical; 
- topo. 
 
Representação do plano de perfil: 
 
 
 
 
 
 
 
 3 pontos 1ponto + 1 reta retas paralelas retas concorrentes traço do plano 
 
t1 
 h1 
 B2 
 
 
 A2 
 
 C2 
B1 
A1 
C1 
 B1 
B2
s2
r1 ≡ s1
r2 
 
s2 
t2 
 h2 
α1 
s1
Z
Y
X 
B1 
A1 
C1 
 B1 
B2
s2
r1 ≡ s1
r2 
 
s2 
t2 
 
 h2 
h1 
 
t1 
α2 
 
 B2 
 
 A2 
 
 C2 
s1
α1 
Z 
Y 
X 
Departamento de Expressão Gráfica 
Faculdade de Arquitetura 
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 23 
 
Plano de Rampa 
 
• oblíquo aos planos horizontal e 
frontal de projeção - PR 
• perpendicular ao plano auxiliar de 
projeção - PA 
As retas que podem estar contidas 
em um plano de rampa são: 
- perfil; 
- fronto - horizontal; 
- oblíqua. 
Representação do plano de rampa:
 
 
 
 
 
 
 
 retas retas traço 
 3 pontos 1ponto + 1 reta paralelas concorrentes do plano 
 
 
Plano Oblíquo 
 
• oblíquo aos planos horizontal, 
frontal e auxiliar de projeção - PR 
As retas que podem estar contidas 
em um plano oblíquo são: 
- perfil; 
- horizontal; 
- frontal; 
- oblíqua. 
Representação do plano oblíquo:
 
 
 
 
 
 
 
 3 pontos 1ponto + 1 reta retas paralelas retas concorrentes 
B1 
A1 
C1 
 B1 
B2
s2
r2 
 
 
s2 
r1 
 
s1 
t2 
 
 h2 
t1 
 
 h1 
α2 
 
A2 
 
 
 
B2 C2 
s1 α1 
Z
Y
X 
 
A2 B2 
 
 
 
 C2 
B1 
A1 
C1 
 B1 
B2
s2 r2 
 
s2 
r1 
 
s1 
t2 
 
h2 
t1 
 
h1 s1
Z
Y
X 
A2 B2 
 
 
 
 C2 
B1 
A1 
C1 
 B1 
B2
s2 r2 
 
s2 
r1 
 
s1 
t2 
 
h2 
t1 
 
h1 s1
Z
Y
X 
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 24 
11. PERTINÊNCIA 
 
PONTO E PLANO 
Um ponto pertence a um plano quando 
pertencer a uma reta contida no plano. 
RETA E PLANO 
Uma reta pertence a um plano quando 
dois pontos da reta pertencerem ao 
plano. 
 
 
 
 
B1
C1
C2
B2
A2
A1
 
P2
P1
A2
 
A1
B1
C1
C2
B2
X
Z
Y
X 
Z
Y
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 25 
12. MÉTODOS DESCRITIVOS 
 
Em alguns casos, a solução de problemas em geometria descritiva é 
possível somente com a utilização de métodos descritivos. Estes são 
procedimentos que tornam possível trabalhar com aqueles elementos 
geométricos oblíquos aos planos de projeção. Estes métodos são utilizados, por 
exemplo, quando houver a necessidade de obtenção da verdadeira grandeza ou 
projeção acumulada de retas, ângulos, de figuras planas, de distâncias. 
Estes métodos descritivos correspondem à modificação da posição da figura 
em relação ao sistema em que a representamos, seja deslocando a figura, seja 
substituindo um dos planos de projeção. 
Existem dois métodos descritivos e cada um deles corresponde a uma 
maneira de alterar a posição relativa da figura e do sistemaprojetivo: 
 Método de Mudança de Sistema de Referência - Consiste em conservar 
o objeto imóvel e substituir um dos planos de projeção (ou ambos, em 
seqüência). 
 Método das Rotações - Consiste em conservar o sistema de projeção, 
girando o objeto em torno de um eixo convenientemente escolhido. 
 
 
13. MUDANÇA DE SISTEMA DE REFERÊNCIA 
 
Consiste na substituição de um dos planos de projeção (horizontal e/ ou 
frontal), de um dado sistema ou mesmo substituir sucessivamente os dois planos 
a fim de obter posição favorável à resolução do problema. 
Neste método ocorre o deslocamento do observador para posições ideais 
de observação sobre os novos planos de projeção, sem alterar a posição dos 
objetos que nele se projetam. 
A interseção do plano horizontal de projeção com o novo plano frontal de 
projeção, ou do plano frontal de projeção com o novo plano horizontal de 
projeção, gera uma nova linha de terra acompanhada de um novo sistema de 
eixos x’, y’, z’. Caso o problema exija duas mudanças de sistema de referência, a 
segunda gera uma nova linha de terra acompanhada de um novo sistema de 
eixos x”, y”, z”. 
 
MSR FRONTAL MSR HORIZONTAL 
 A COTA é transportada 
para o NOVO plano de projeção 
frontal. 
 O AFASTAMENTO é 
transportado para o NOVO plano 
de projeção horizontal. 
 
 
 
 
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 26 
14. MUDANÇA DE SISTEMA DE REFERÊNCIA DE RETAS 
 
Para se efetuar uma mudança de sistema de referência da reta, arbitra-se 
sobre ela dois pontos, A e B. Escolhe-se uma nova posição para a linha de terra 
de acordo com o problema a ser solucionado e efetua-se a mudança de sistema, 
para cada ponto, transferindo para o novo plano de projeção as cotas dos pontos 
ou os afastamentos, conforme o caso. 
 
Obtenção da VG de uma reta oblíqua - (Exemplo a seguir de MSR frontal) 
 O novo plano de projeção deve ser posicionado PARALELO (ou coincidente) 
à reta, para que, assim, ela se projete em verdadeira grandeza (VG). 
 
 
 
 
 
Este é o aspecto final da épura na qual se 
obteve a verdadeira grandeza de uma reta 
oblíqua através de uma mudança de 
sistema de referência frontal. 
 
 Mudança de Sistema de Referência 
frontal a nova linha de terra será 
paralela ou coincidente à projeção 
horizontal da reta. 
 Mudança de Sistema de Referência 
Horizontal a nova linha de terra será 
paralela ou coincidente com a projeção 
frontal da reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X 
Z 
Y 
Z’ 
Y’ 
X’ 
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 27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obtenção da projeção 
acumulada de uma reta: 
a PA de uma reta só pode ser 
obtida a partir da VG da reta.
Posiciona-se a nova linha de 
terra PERPENDICULAR a VG 
da reta para que, assim, ela se 
projete acumulada no novo 
plano de projeção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MSR Frontal: 
 
Transporte de COTAS (z) 
para o novo plano de 
projeção frontal. 
MSR Horizontal: 
 
Transporte de 
AFASTAMENTOS (y) 
para o novo plano de 
projeção horizontal. 
X 
Z
Y
B2 
 
 
yB 
(VG) 
A2’’ ≡ B2’’(PA) 
F 
 
F 
θ 
H 
A2 
yB 
yA
A1
A1’
B1 
yA
 
H 
zB ≡ zA
zA
zB 
B1’ 
X’’ 
Z’’ 
Y’’ 
X’ 
Y’ 
Z’ 
zA 
B2’ 
 
 
F 
θ 
H 
(VG) 
A2 
 
B2
zB 
B1
A1 
A2' 
F 
zA 
zB
X
Z
Y
X’ 
Y’ 
Z’ 
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 28 
 
 
15. MUDANÇA DE SISTEMA DE REFERÊNCIA - FIGURAS PLANAS 
 
A mudança de sistema de referência de figuras planas pode ter diferentes 
objetivos e é freqüentemente aplicada na solução de diversos problemas em 
geometria descritiva. Na explicação do método considerou-se que o objetivo da 
mudança de sistema de referência é encontrar a verdadeira grandeza das figuras 
oblíquas em relação ao sistema original. 
Para se obter a verdadeira grandeza de figuras planas através da 
mudança de sistema de referência (MSR) deve-se levar em conta as seguintes 
situações: 
 - figuras planas que possuem PA no plano de projeção horizontal ou 
frontal: 
A obtenção da VG é direta, para isso, posiciona-se a nova linha de terra de forma 
que fique PARALELA a PA da figura e, após posicioná-la, transporta-se o valor 
dos afastamentos (MSRH) ou das cotas (MSRF) da figura plana. 
 - figuras planas que possuem PR no plano de projeção horizontal e 
frontal: 
Neste caso deve-se realizar duas MSR; a primeira é para obtenção da PA da 
figura plana, e a partir desta, faz-se a segunda MSR, PARALELA a PA da figura, 
obtendo-se assim sua VG. 
 
 
Existem duas situações de figuras planas com PR sistema original: 
 
Figuras que possuem uma reta em 
VG 
Figuras que não possuem uma reta 
em VG 
 A primeira mudança de 
sistema deve partir da projeção da 
figura onde está a VG da reta. A 
nova linha de terra deve ser posi-
cionada de forma que fique 
PERPENDICULAR a VG da reta 
da figura plana, para que se 
obtenha sua PA. 
 Na segunda mudança de 
sistema, a nova linha de terra deve 
ser posicionada de forma que fique 
PARALELA a PA da figura e 
então, transporta-se as cotas 
(MSRF) ou os afastamentos 
(MSRH) em relação à linha de 
terra anterior, encontrando-se a 
VG da figura. 
 Será necessário traçar uma 
reta em VG, que pertença à figura 
plana. 
 Depois de traçada essa reta 
em VG, recaímos no caso anterior, 
em que, a partir da projeção da 
figura onde está a reta em VG, se 
obtém a PA da figura e, através de 
uma segunda mudança de plano, a 
VG da figura plana. 
 
 
 
 
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 29 
Exemplo de MPP de uma figura plana com reta em VG: 
 
 
 
MSR Frontal – é a substituição do plano 
frontal de projeção. Deve-se posicionar 
o novo plano de projeção perpendicular 
a uma reta em VG do plano e encontrar 
a PA do plano. 
 
* Para o novo plano frontal de projeção 
são transportadas as COTAS (z) do 
antigo plano frontal. 
 
 
 
MSR Horizontal – é a substituição do 
plano horizontal de projeção. Deve-se 
posicionar o novo plano de projeção 
paralelo a PA do plano e encontrar a VG 
do plano. 
* Para o novo plano horizontal os 
AFASTAMENTOS (y) são transportados 
do antigo plano horizontal. 
 
OBS: afastamentos transportados são em 
relação à linha de terra do sistema de 
referência anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 30 
 
 MSR – Planos com PA MSR – Planos com reta em VG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MSR – Planos sem reta em VG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A1 
 
 
 
h2 
h1 
(PA) 
(VG) 
A2 
B2 
B1 
A1 
C1
C2 C1’
 
 
A2’
B2’ 
C2’ 
X Y 
Z 
X’
Y’Z’
X’’ 
Y’’ 
Z’’ 
B1’
A1’
 
 
(PA) 
(VG) 
B1 
C1 
B2’ 
C2’ 
 A2 
 
 
 
 B2 
 
 
 
 
 C2 
A2’ 
X Y 
Z 
X’ 
Y’ 
Z’ 
 
 
 
h2 
h1 
(PA) 
(VG) 
 B2 
B1 B2’
 
H1’ 
B1’ 
X Y 
Z 
X’’ 
Y’’ 
Z’’ 
h2’ 
X’ 
Y’ 
Z’ 
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 31 
 
16. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS E PLANOS 
 
PARALELISMO: Para que exista paralelismo entre retas e planos ou entre 
planos é necessário que exista eqüidistância entre os mesmos. 
 
PARALELISMO ENTRE RETA E PLANO: 
 
 
Para que uma reta (r) não 
pertencente ao plano (α) 
seja paralela a ele, é 
necessário que ela seja 
paralela a uma reta (s) do 
mesmo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a reta AB é // a h a reta AC é // a h 
 
PARALELISMO ENTRE PLANOS: 
 
 
 
 
Para que dois planos (α e β) 
sejam paralelos é necessário 
que um deles contenha duas 
retasconcorrentes (r e s) 
paralelas ao outro (m e n). 
 
 r // m e s // n 
 
 
 
 
α
α1
α2 ≡ s2 
α0 
r2 
r1 
r0 
r 
 
s0 
s 
s1 
 
α 
s2 
β 
r2 
r1 
s 
 r 
s1 
n2 
m2 
m1 
m 
n1 
n 
 
h2 
h1 
A2 
B2 
B1 
A1 
C1 
C2 
 
h2 
h1 
A2 
B2
B1
A1
C1 
C2 
X Y 
Z 
X Y 
Z 
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 32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a reta AB é // a reta DF e 
 a reta AC é // a reta DE 
 
 
 
 
 
PERPENDICULARISMO: Para que exista perpendicularismo entre retas e planos 
ou entre planos têm-se ângulos adjacentes congruentes formando 90o. 
 
PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO 
 
 
 
Uma reta é perpendicular a 
um plano quando é 
perpendicular ou ortogonal a 
duas retas concorrentes do 
plano. 
 
 
Obs: só existe uma posição de reta 
perpendicular a um determinado plano: 
Plano Reta perpendicular 
Horizontal Vertical 
Frontal Topo 
Vertical Horizontal 
Topo Frontal 
Perfil Fronto-horizontal 
Rampa Perfil 
Oblíquo Oblíqua 
 
 
 
 
 α
r2 
r1 
r0 
r s0 s2 
s1 
r2 
r1 
E1
F2
E2
F1
 
D2 
D1 
A2 
B2 
B1 
A1 
C1 
C2 
X Y 
Z 
C1
h1 
 
h2 
A2 
B2 
B1 
A1
C2 
X Y 
Z 
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 33 
 a reta h é ⊥ ao plano ABC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a reta t é ⊥ ao plano ABC a reta r é ⊥ ao plano ABC 
 
 
 
PERPENDICULARISMO ENTRE PLANOS : 
 
 
Dois planos (β e α) são 
perpendiculares quando 
cada um deles possui 
uma reta perpendicular 
ao outro. 
 
r ∈ β 
m e n ∈ a α 
m e n são concorrentes 
r é ⊥ a m e n 
 
 
 
 
 
 
 
O plano formado pelas retas f e r é 
perpendicular ao plano α , pois 
basta que uma reta seja 
perpendicular ao plano para que os 
planos que a contenham sejam 
perpendiculares ao outro. 
 
 
r2 
B1 
r1 
P1 
P2 
 α1
α2
f2 
f1 
 
 
α
r2 
n1 
β 
r 
n2 
m1 
m2 
r1 
h2 
h1 
r2 
B2 
B1 
r1
C1
C2
 A1
A2
f2 
f1 
 
X Y 
Z 
X Y 
Z 
 
t2 
t1 
A2 
B2 
B1 
A1 C1 
C2 
 
A1’ ≡ C1’
B1’
t1’ 
X Y 
Z 
X’
Y’ 
Z’ 
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 34 
17. DISTÂNCIA 
 
 É sempre determinada pela perpendicular comum entre os elementos. 
 Deve ser representada sempre em VG. 
 
 
Entre dois pontos: segmento de reta 
que une os dois pontos 
 
Entre ponto e reta: medida sobre a 
perpendicular traçada do ponto à reta
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entre dois planos: somente quando os planos forem paralelos. 
A distância é medida sobre a perpendicular traçada entre os planos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
β2 
β1 
γ2 
γ1 d1 
d2 (VG) 
X Y 
Z 
d2’ (VG) 
d2 
d1 
 
 
 
A2 
B2
B1 
A1 
 
X’ 
Z’ 
Y’ 
B2’
A2’ 
X Y 
Z 
f2’ 
 
 
A2 
f2 
f1 
A1 
 
d2’ (VG) 
d1 
d2 
X Y 
Z 
X’
Y’ 
Z’ 
A2’ 
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 35 
 
Entre retas: é a menor distância existente entre as retas. 
 
Retas concorrentes: a distância 
é nula pois existe um ponto de 
interseção próprio. 
 
Retas paralelas: a distância é 
constante, medida sobre a 
perpendicular comum a elas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Retas reversas: a distância entre as retas é igual à distância entre os planos 
paralelos que passam pelas retas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I2 
 
r2 
f2 
f1 
r1 
I1 
r1 
X Y 
Z 
d2 
 
v2 t2 
v1 
t1 
d1(VG) 
X Y 
Z 
d1’(VG) 
d2 
d1 
r1’ 
 
 
r2 
s2 
s1 
 
X Y 
Z 
X’
Y’ 
Z’
s1’ 
r2’ 
 
 
r2 
s2 
r1 
s1 
s2’ 
d2’(VG) 
d1 
d2 
X Y 
Z 
X’
Y’ 
Z’ 
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 36 
 
Entre ponto e plano: a distância é medida sobre a perpendicular traçada do 
ponto ao plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P1 
 
P2 
α2 
α1 
d1(VG) 
d2 
X Y 
Z 
 
 
 
r2 
A2 
r1 
A1 
 
d1 
d2 
 
P1’ B2 
C1 
C2 
B1 
d1’(VG) 
P1 
P2 
X Y 
Z 
X’
Y’ Z’ 
B1’ 
A1’ 
C1’ 
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 37 
 
Entre reta e plano: somente quando a reta e o plano forem paralelos. A distância 
é medida sobre a perpendicular traçada da reta ao plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t2 
t1 
D1 
D2 
E1 
E2 
F2 
F2 
d2 (VG) 
d1 
X Y 
Z 
h2 
h1 A1 
B1 
B2 
B2’ 
A2 
 
C1 
C2 
r2 
r1 C2’ 
r2’ 
d2’ (VG) d1 
d2 
π1π2 
 
X Y 
Z 
X’
Y’ Z’
h2’≡A2’ 
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 38 
 
 
18. ROTAÇÃO 
 
É um método descritivo onde os planos de projeção são fixos e o objeto do 
espaço é que sofre o deslocamento. Este deslocamento é efetuado através de 
uma rotação em torno de uma reta (eixo) de modo que o objeto ocupe uma 
posição particular desejada. 
 
Elementos para a rotação: 
• Plano de movimento: perpendicular ao eixo passando por A 
• Centro do movimento: interseção do eixo com o plano de movimento 
• Raio do movimento: distância (em VG) do ponto A ao centro 
 
 
 
Para rotacionar uma figura em 
torno de um eixo, todos os pontos 
da mesma descrevem arcos de 
circunferência (A A’) de ângulos 
centrais iguais (θ), em planos 
perpendiculares ao eixo (β). 
 
 
 
 
ROTAÇÃO DE UM PONTO EM RELAÇÃO A UM EIXO 
 
 
• Eixo perpendicular ao plano horizontal de projeção (eixo reta vertical) 
 
 
 
A’ 
e
β 
A 
θ 
 
e2 
e1 
A1 
A’2 A2 A’’2 A’’’2 
A’1 
A’’1 
A’’’1 
X Y 
Z 
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 39 
 
 
 
• Eixo perpendicular ao plano frontal de projeção (eixo reta de topo) 
 
 
 
 
 
• Eixos paralelos ao plano horizontal ou frontal de projeção 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A2’ 
e2 
e1 
A2 
A1’’’ A1’’ A1 A1’’
A2’’ 
A2’’’ 
 
A2’ e2 
e1 
A2 
A’’2 
A2’’’ 
 
A1’ 
A1’’ 
A1 
A1’’’ 
A2’’ 
A2’’’ 
 
 
A2’iv
A1iv
A2iv
X Y 
Z 
X Y 
Z 
X’
Y’
Z’
A2’’’ A2’ 
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 40 
 
 
 
 
ROTAÇÃO DE UMA RETA EM RELAÇÃO A UM EIXO 
 
 Quando o eixo passa por um dos pontos extremos da reta (Ex.: Encontrar a 
VG da reta AB). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Quando o eixo passa por um ponto 
qualquer da reta: 
(Ex.: Tornar a reta AB vertical.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Quando o eixo está afastado da reta: 
(Ex.: Tornar a reta AB uma reta de topo.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e2 
B2 A2’≡B2’ 
e1 
A2 
A1 
A1’ 
B1 
B1’ 
d1’ 
d1 
d2 ≡ d2’ 
X Y 
Z 
+
 
e 1
A 1 
e2
B 1 
B 2 
B’ 2
A1’ ≡ B1’ 
A 2 
A2’ 
X Y 
Z 
+
 
e1 
A1 
e2 ≡A2 
B1 
B2 
B1’ 
B2’ 
X Y 
Z 
+ 
 
 
e2
A2 
e1 ≡A1 
B1 
B2 
B1’ 
B2’ B2’’ 
B1’’ 
X Y 
Z 
+
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Faculdade de Arquitetura 
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 41 
 
 
 
 
Rebatimento é o nome utilizado para a rotação de figuras planas quando se 
deseja obter sua verdadeira grandeza, e consiste em girar um plano (projeção 
acumulada) em torno de um eixo nele contido até que ocupe uma posição 
especial em relação aos planos de projeção. 
 
REBATIMENTO DE PLANOS 
COM PROJEÇÃO ACUMULADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REBATIMENTO DE PLANOS 
COM PROJEÇÕESREDUZIDAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e1 
e2 ≡ A2 
A1 
B2 
C2 
C2’ C2’’ B2’ B2’’ 
B1’’ 
C1’’ C1’ 
C1 
B1 B1’ 
 
X Y 
Z 
+
B2 
e1 
 
A1 
C2 A2 
B1’ 
 
C1 
 
 
B1 
 X Y 
Z 
X’
Y’ 
Z’ 
e2≡A2’≡C2’ 
B2’ 
B2’’ 
 
A2 
A1 
B2 
C1’≡f1’ 
C2’ 
C1’’ 
B2’ 
 
C2 
C1 
 
e2 
A1’≡e1’ 
 
f1 
f2 
X Y 
Z 
B1’ B1’’ 
X’
Y’
Z’
+
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 42 
 
 
 
 
 
 
ROTAÇÃO DE UM PLANO EM RELAÇÃO A UM EIXO 
 
 Ex.1: Determinar as projeções de um quadrado, pertencente ao plano ABC, 
utilizando dupla rotação e alçamento. 
 
 
 
 
f1 
f2 
A1’ A1’’ 
e2 C2 C2’ 
e1 
X Y 
Z 
B1’’ C1’’ A1 
C2’’ 
B2’’ 
A2’ A2’’ 
A2 
B2’ 
B2 
C1 C1’ B1’ B1 
Determinar as projeções de um 
quadrado pertencente a ABC 
1ª etapa: ROTAÇÃO 
Acumular o plano ABC 
Escolher uma reta em VG 
(B2C2) para acumular 
Escolher eixo (e) 
(Reta de topo que 
passa por C) 
Girar ponto B2 em 
relação a e2 até que 
C2B2 fique 
perpendicular ao 
plano horizontal de 
projeção 
Girar A2 o mesmo 
ângulo que B2 
Determinar A2’ e A1’ B1’ 
Encontrar a PA do plano ABC 
2ª etapa: REBATIMENTO 
Encontrar a VG do plano ABC 
Representar o 
quadrado na VG 
do plano 
Girar ponto C1’ e B1’ em relação a 
f1 até que a PA do plano fique 
paralela à linha de terra 
Determinar B1’’ e C1’’
Encontrar os pontos C2’’ e 
B2’’ - determinando a VG 
do plano ABC 
3ª etapa: ALÇAMENTO DO 
QUADRADO
Escolher eixo (f) 
(reta vertical que 
passa por A) 
Fazer o caminho 
inverso, levando 
os pontos por 
pertinência. 
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 43 
 
 Ex. 2: Encontrar a distância de Q ao triângulo ABC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Encontrar a distância de Q ao 
triângulo ABC 
Acumular o plano ABC 
Escolher uma reta em VG 
(A1C1 ou A2B2) no ex A2B2 
Escolher eixo 
(Reta de topo que 
passa por A) 
Girar ponto B2 em 
relação a e2 (B’2) 
(Até que A2B’2 fique 
perpendicular a π1) 
Encontrar B’1 
Girar ponto C2 em relação a e2 (C’2) 
(mesmo ângulo que B2) 
Encontrar C’1 
A1 B’1 C’1 
Plano 
Acumulado 
Girar ponto Q2 em relação a e2 
(Q’2) 
(mesmo ângulo que B2) 
Encontrar Q’1 
Distância de Q ao triângulo 
ABC em VG: segmento de 
reta perpendicular ao plano 
acumulado ABC até Q’1 (d1) 
Para d1 estar em VG d2 
deve ser paralela a L.T. 
(X2 Q’2) 
Onde d1 corta o 
plano acumulado 
(X1) 
 
 
e1 
C1’ ≡ C1 
e2 ≡A2 
B1 
B2 
B1’ ≡ A1 
B2’ 
C2 
C2’ 
Q2’ 
Q2 
X2 
X1 
Q1’ 
Q1 
d1 (VG) 
d2 
X Y 
Z 
+ 
+ 
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 44 
 
19. INTERSEÇÃO ENTRE RETA E PLANO 
 
A interseção entre reta e plano é um ponto (I), que pertence 
simultaneamente ao plano e à reta. Este ponto estabelece duas zonas de 
visibilidade para reta, a partir dele um lado da reta é visível, ou seja, está a frente 
do plano, e o outro lado é invisível, pois o plano esconde a reta. Na zona não 
visível dentro dos limites da figura plana, a representação da reta deve ser 
tracejada. Para identificar o ponto de interseção em épura, existem duas 
situações: 
 
PLANOS QUE POSSUEM PROJEÇÃO ACUMULADA 
Neste caso a solução é dita imediata e é encontrada diretamente na 
projeção acumulada (PA) do plano. E a outra projeção do ponto de interseção é 
encontrada através de uma linha de chamada ao outro plano de projeção, levando 
em consideração que a projeção do ponto de interseção sempre estará sobre a 
projeção da reta. 
Na verificação da visibilidade, basta analisar qual objeto tem maior cota (se 
a PA estiver no plano frontal de projeção) ou maior afastamento (se a PA estiver 
no plano horizontal de projeção), para que este seja visível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A2 
 
r2 
r1 
A1 
B2≡D2 
r2 
B2 
C1 
C2 
B1
I2 
α2 
I1 
α1 
r1 
I2 
I1 
I2
I1 ≡ r1 
B1 
D1 
A2 
A1 
r2 
 
X Y 
Z 
+
+
+
+
+
+
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 45 
PLANOS QUE POSSUEM PROJEÇÕES REDUZIDAS 
 
Neste caso a solução é dita genérica e pode ser encontrada através de métodos 
descritivos – mudança de sistema de referência ou rotação - ou do método dos 
planos auxiliares. 
 
Solução através de métodos descritivos: 
Para a solução através de métodos descritivos é necessário obter a PA da figura 
plana, para tanto, pode ser utilizado qualquer método descritivo, porém o mais 
indicado nos casos de interseção é a mudança do sistema de referência. Depois 
proceder como na solução anterior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A2 
 
 
 
r2 
r1 
A1 
 
r1’ 
I1’ 
B2 
C1 
C2 
B1
I2 
 
I1 
X Y 
Z 
X’
Y’ 
Z’
A1’
C1’
B1’
X Y 
Z 
X’
Y’ 
Z’ 
r1 I1 
A2’≡C2’ 
 
 
r2 
A2 
A1 
 
r2’ 
 
B2 
C1 
C2 
B1
I2 
I2’ 
B2’ 
Departamento de Expressão Gráfica 
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 46 
 
Solução através do método dos planos auxiliares: 
 
Neste caso utiliza-se um plano auxiliar (ω) que projeta-se coincidente a 
uma das projeções da reta r, e é , por conveniência, um plano com projeção 
acumulada. Da interseção de α e ω tem-se a reta i, que pertence aos dois planos. 
A interseção da reta i com a reta r é a procurada interseção do plano α com a reta 
r. 
 
 
 
r2 ≡ ω2 
α2 
α1 
r1 
I1 
I2 
 
X Y 
Z 
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 47 
20. INTERSEÇÃO ENTRE PLANOS 
 
A interseção entre planos é uma reta (i), que pertence simultaneamente 
aos dois planos. Esta reta determina duas zonas de visibilidade nos planos 
(visível e invisível) o que ira depender do elemento com maior afastamento ou 
maior cota. Nas representações em épura , considera-se as figuras planas que 
representam os planos, para fins de visibilidade, portanto os limites não visíveis 
das figuras aparecem tracejados e a visibilidade pode ser ressaltada através de 
hachura. 
 
Solução através de métodos descritivos: 
 
Para identificar a reta de interseção em épura, existem quatro situações: 
 
 
Os planos têm PA no mesmo plano de projeção 
 
 
 
 
Se os dois planos apresentam 
projeção acumulada no mesmo plano 
de projeção, a reta interseção 
aparece como um ponto. A outra 
projeção da reta interseção é 
encontrada através de uma linha de 
chamada. A visibilidade dependerá 
da maior cota ou afastamento que um 
plano apresenta em relação ao outro. 
 
 
 
 
 
 
Os planos têm PA em planos de projeção diferentes 
 
 
 
 
 
Se os dois planos apresentam 
projeção acumulada em planos de 
projeção diferentes, a reta interseção 
coincide com a projeção acumulada 
de cada plano. Não havendo parte de 
nenhum plano invisível. 
 
 
 
 
 
 
β1 
i2 
 
α2 
β2 
i1 
α1 
X Y 
Z 
α2 
β2 ≡ i2 
α1≡ i1 
β1 
 
X Y 
Z 
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Somente um dos planos tem PA 
 
 
 
 
Se um dos planos apresenta projeção 
acumulada, uma das projeções da 
reta interseção coincide com a 
projeção acumulada deste plano, e a 
outra projeção é encontrada por 
pertinência. A análise da visibilidade 
do plano com projeções reduzidas 
dependerá da parte do plano que 
apresentar maior cota ou maior 
afastamento, sendo sempre visível. 
 
 
 
 
 
Os planos têm PR 
 
 
 
 
 
Se os dois planos apresentam 
projeções reduzidas, torna-se 
necessário encontrar a projeção 
acumulada de um dos planos, o 
que pode ser feito utilizando-se 
qualquer método descritivo (MSR 
ou rotação), porém o mais 
indicado nestes casos é o de 
mudança de sistema de 
referência. A análise da 
visibilidade dependerá da parte do 
plano que apresentar maiorcota 
ou maior afastamento, sendo 
sempre visível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
β1 
 
α2 
i1 
α1 
β2 ≡ i2 
X Y 
Z 
β2’ 
α2’ 
i2 
α1 
β2 
α2 
β1 
 
 
 
i1 
i2’ 
X Y 
Z 
X’
Y’
Z’
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Solução através do método dos planos auxiliares: 
 
Neste caso utilizam-se dois planos auxiliares cortando os planos dados, com 
projeção acumulada e, de preferência, paralelos entre si, determinando dois 
pontos da reta de interseção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
φπ2 ≡ r2 ≡ s2 
ϕπ2 ≡ m2 ≡ n2 
β2 
α2 
α1 
 
β1 
n1
m1
r1
s1 
i2
i1
 
X Y 
Z 
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21 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
BORGES, G., BARRETO, D., MARTINS, E. Noções de Geometria Descritiva - 
teoria e exercícios. Ed. Sagra Luzzato, 2001. 
 
CALDONAZO, L. Educação artística desenho e geometria. In: 
www.colegiocatanduvas.com.br 
 
DI PIETRO, Geometría Descritiva, Alsin, 1989. 
 
KAWANO, C. O revolucionário projetista do exército de Napoleão. In: 
www.revistagalileu.globo.com 
 
MACHADO,A. Geometría Descritiva. Mc Graw Hill, 1983. 
 
MONTENEGRO, G. A. Geometria descritiva. V. 1 Ed. Edgard Blücher Ltda., 
1991. 
 
PRINCIPE JR., A. R. Noções de geometria Descritiva. V. 2, 1970. 
 
WELLMAN, B. L. Geometria descriptiva. V. 2, Editorial Reverté, SA. Espanha, 
1987.