Forças Distribuídas e Centros de Gravidade

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MECÂNICA GERAL
Aula 05 – Forças distribuídas
Prof(a) M.a Lorrany M. Yoshida
UNIVERSIDADE CEUMA
ENGENHARIA CIVIL
FORÇAS DISTRIBUÍDAS
• Introdução
• Centro de gravidade, centro de massa e centroide
• Corpos compostos
• Teorema de Pappus
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5.1. INTRODUÇÃO
• Dos capítulos anteriores... “as forças eram tratadas como uma
força concentrada sobre sua linha de ação em seus pontos de
aplicação.”
• Como é na realidade:
INTRODUÇÃOMECÂNICA GERAL
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FORÇAS DISTRIBUÍDAS
• Introdução
• Centro de gravidade, centro de massa e centroide
• Corpos compostos
• Teorema de Pappus
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5.2. CENTRO DE GRAVIDADE, CENTRO DE
MASSA E CENTROIDE
5.2.1. CENTRO DE GRAVIDADE
Um corpo é composto de uma série
infinita de partículas de tamanho
diferenciado, e assim, se o corpo estiver
localizado dentro de um campo
gravitacional, então cada uma das
partículas terá um peso dW.
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CENTRO DE MASSA, CENTRO DE GRAVIDADE E CENTROIDE
5.2.1. CENTRO DE GRAVIDADE
Esses pesos formarão um sistema de
forças aproximadamente paralelas, e o
resultante desse sistema é o peso total do
corpo, que passa por um único ponto
chamado centro de gravidade, G.
CENTRO DE MASSA, CENTRO DE GRAVIDADE E CENTROIDEMECÂNICA GERAL
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5.2.1. CENTRO DE GRAVIDADE
• Corpo tridimensional qualquer suspenso
pelos pontos A, B e C.
• Permanece sempre em equilíbrio (força
de tração na corda colinear com a
resultante W das forças gravitacionais
atuando em todas as partículas do corpo)
• Onde as linhas de ação da força
resultante (linha de ação de A, de B e de
C) se encontram chamamos de centro de
gravidade
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CENTRO DE MASSA, CENTRO DE GRAVIDADE E CENTROIDE
5.2.1. CENTRO DE GRAVIDADE
Para se determinar
matematicamente a localização
do centro de gravidade de
qualquer corpo aplicamos o
princípio dos momentos.
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CENTRO DE MASSA, CENTRO DE GRAVIDADE E CENTROIDE
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Substituindo W por mg e dW por
gdm e cancelando g, por ser
constante, temos:
5.2.2. CENTRO DE MASSA
O centro de massa coincide com o centro de gravidade de um corpo
quando a gravidade atua sobre ele. Se ele for retirado da terra não
haverá gravidade atuando sobre ele
CENTRO DE MASSA, CENTRO DE GRAVIDADE E CENTROIDE
5.2.3. CENTROIDE
Centroide ou centro geométrico: esse termo é usado apenas quando
os cálculos lidam com a forma geométrica.
O cálculo dos centroides caem em 3 categorias distintas,
dependendo de como modelamos a forma do corpo envolvido:
• Centroide de volume;
• Centroide de massa e
• Centroide de linha.
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CENTRO DE MASSA, CENTRO DE GRAVIDADE E CENTROIDE
5.2.3.1 CENTROIDE DE UM VOLUME
Se um corpo é composto de um material homogêneo, então sua
densidade 𝜌 (massa por unidade de volume) será constante.
Substituindo m por 𝜌V e o elemento diferencial 𝑑𝑚 por 𝜌𝑑𝑉,
podemos cancelar 𝜌. Assim, temos:
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CENTRO DE MASSA, CENTRO DE GRAVIDADE E CENTROIDE
5.2.3.1 CENTROIDE DE UM VOLUME
Se o volume possui dois planos de simetria, então seu centroide
precisa estar ao longo da linha de interseção desses dois planos. Se
ele possui uma linha simetria, o centroide precisa estar localizado
nessa linha.
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CENTRO DE MASSA
5.2.3.2 CENTROIDE DE ÁREA
• Quando um corpo de massa
específica 𝜌 tem uma espessura
t pequena e constante,
podemos modelá-la como uma
área de superfície A. A massa
do elemento será 𝑑𝑚 =
𝜌. 𝑡. 𝑑𝐴. Novamente, se 𝜌 e t
são constantes por toda a área,
temos:
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CENTROIDES DE LINHAS ÁREAS E VOLUMES
5.2.3.3. LINHAS
Para uma barra esbelta ou um fio de comprimento
L, área da seção transversal A e massa específica ρ,
𝑑𝑚 = 𝜌. 𝐴. 𝑑𝐿, em que ρ e A são constantes ao
longo do comprimento da barra, as coordenadas
do centroide serão iguais às coordenadas do centro
de massa:
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CENTROIDES DE LINHAS ÁREAS E VOLUMES
O centroide representa o centro geométrico do corpo. Esse ponto
coincide com o centro de massa ou centro de gravidade somente se
o material compondo o corpo for uniforme ou homegêneo.
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CENTRO DE MASSA
CENTROIDE
≠
CENTRO DE MASSA 
≠
CENTRO DE GRAVIDADE
Pontos importantes
Em alguns casos, o centroide está localizado em um ponto que não
está no objeto, como no caso de um anel, onde o centroide está no
seu centro.
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CENTRO DE MASSA
FORÇAS DISTRIBUÍDAS
• Introdução
• Centro de massa
• Centroides de linhas, áreas e volumes
• Corpos compostos
• Teorema de Pappus
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5.3. CORPOS COMPOSTOS
• Quando um corpo ou uma
figura pode ser
convenientemente dividido
em diversas partes, cujos
centros de massa são
facilmente determinados,
usamos o princípio dos
momentos e tratamos cada
parte como um elemento
finito do todo
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CENTROIDES DE LINHAS ÁREAS E VOLUMES
𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 𝑋 = 𝑚1𝑥1 + 𝑚2𝑥2 + 𝑚3𝑥3
5.3. CORPOS COMPOSTOS
Procedimento para análise
• Divida o objeto em um número finito de partes compostas que
possuem formas mais simples e posições do centro de massa
definidos;
• Aplique a fórmula vista anteriormente para encontrar a posição do
centro de massa do corpo composto.
• Se um corpo composto tem um furo, ou uma região geométrica sem
material, então considere o corpo composto sem o furo e considere
o furo como uma parte composta adicional de peso ou dimensão
negativo.
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CENTROIDES DE LINHAS ÁREAS E VOLUMES
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CENTROIDES DE LINHAS ÁREAS E VOLUMES
Centroides de 
superfícies planas 
de formatos usuais
FORÇAS DISTRIBUÍDAS
• Introdução
• Centro de massa
• Centroides de linhas, áreas e volumes
• Corpos compostos
• Teorema de Pappus
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5.4. TEOREMA DE PAPPUS
Utilizado para calcular a área superficial gerada pela revolução de
uma curva em relação a um eixo que não intercepte o plano da curva.
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TEOREMA DE PAPPUS