Baricentros Inércia

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Resistência dos Materiais I
Aula Revisão: Superfícies Planas
Baricentros e Momentos de Inércia
Professor: MSc. Eng. Civil Maurílio Dias Cunha
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Momento Estático 
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Momento Estático de um elemento de 
superfície:
Momento estático segundo o eixo X:
𝒅𝑴𝒙 = 𝒚. 𝒅𝑨
Momento estático segundo o eixo Y
𝒅𝑴𝒚 = 𝒙. 𝒅𝑨
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Momento Estático de uma superfície:
Momento estático segundo o eixo X:
𝑴𝒙 = 
𝑨
𝒅𝑴𝒙 = 
𝑨
𝒚. 𝒅𝑨
Momento estático segundo o eixo Y
𝑴𝒚 = 
𝑨
𝒅𝑴𝒚 = 
𝑨
𝒙. 𝒅𝑨
Centro de Gravidade
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Centro de gravidade de uma superfície:
Momento estático segundo o eixo X:
 𝒙 =
𝟏
𝑨
𝑴𝒚 = 
𝑨
𝒙. 𝒅𝑨
Momento estático segundo o eixo Y
 𝒚 =
𝟏
𝑨
𝑴𝒙 = 
𝑨
𝒙. 𝒅𝑨
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1) Determinar a ordenada 𝑦 do centro de gravidade do 
triângulo da figura ao lado.
Solução:
 𝑦 =
1
𝐴
 
𝐴
𝑦. 𝑑𝐴 =
1
𝐴
 
0
ℎ
𝑦. 𝑎. 𝑑𝑦
Mas, por semelhança de triângulos:
𝑎 =
𝑏
ℎ
ℎ − 𝑦 daí que:
 𝑦 =
1
2𝑏. ℎ
 
0
ℎ
𝑦
𝑏
ℎ
ℎ − 𝑦 𝑑𝑦 =
2
ℎ2
 
0
ℎ
ℎ𝑦 − 𝑦2 𝑑𝑦
 𝑦 =
2
ℎ2
ℎ
𝑦2
2
0
ℎ
−
𝑦3
3
0
ℎ
 𝑦 =
2
ℎ2
ℎ3
2
−
ℎ3
3
=
𝒉
𝟑
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2) Determinar a ordenada 𝑦 do centro de gravidade do 
semicírculo da figura ao lado.
Solução:
 𝑦 =
1
𝐴
 
𝐴
𝑦. 𝑑𝐴 =
1
1
2 𝜋𝑟
2
 
0
𝜋
 
0
𝑥
𝜌. 𝑠𝑒𝑛𝑜𝜃 . 𝜌. 𝑑𝜃. 𝑑𝜌
 𝑦 =
2
𝜋𝑟2
 
0
𝜋 𝜌3
3
0
𝑟
𝑠𝑒𝑛𝑜 𝜃𝑑𝜃 =
2
𝜋𝑟2
𝑟3
3
 
0
𝜋
𝑠𝑒𝑛𝑜 𝜃 𝑑𝜃
 𝑦 =
2𝑟
3𝜋
− cos 𝜃 0
𝜋
 𝒚 =
𝟒
𝟑
𝒓
𝝅
Simetria em relação a y ⟹ 𝑥 = 0
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3) Determinar a ordenada 𝑦 do centro de gravidade da 
figura hachurada ao lado.
Solução:
Considerando que a área hachurada é a diferença das 
áreas do semicírculo maior pelo menor, teremos:
 𝑦 =
1
𝐴
 𝐴 𝑦. 𝑑𝐴 mas, 
 𝐴 𝑦. 𝑑𝐴 = momento estático da superfície hachurada
∴ 𝑦 =
2
𝜋 52 − 22
𝜋
2
52
4
3
5
𝜋
−
𝜋
2
22
4
3
2
𝜋
= 𝟐, 𝟑𝟔𝟓 𝒄𝒎
Novamente, por simetria, o centro de gravidade esta sobre o 
eixo y.
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4) Determinar o centro de gravidade da figura hachurada
ao lado.
Solução:
Considerando a simetria da figura, podemos afirmar que o 
centro de gravidade situa-se sobre o eixo y. Já a ordenada 𝑦
pode ser obtida considerando-se um retângulo maior do 
qual retiraremos dois retângulos menores:
 𝑦 =
8 𝑥 15 𝑥 7,5 − 4 𝑥 6 𝑥 10 − 4 𝑥 3 𝑥 3,5
8 𝑥 15 − 4 𝑥 6 − 4 𝑥 3
= 𝟕, 𝟑𝟔 𝒄𝒎
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5) Determinar o centro de gravidade da figura hachurada ao lado.
Solução:
Podemos considerar um retângulo do qual retiraremos um 
triângulo e um semicírculo:
 𝑦 =
12 𝑥 6 𝑥 3 − 0,5 𝑥 3 𝑥 6 𝑥 4 − 0,5𝜋 𝑥 22 𝑥 6 − 4 𝑥
2
3𝜋
12 𝑥 6 − 0,5 𝑥 3 𝑥 6 − 0,5 𝜋 𝑥 22
= 𝟐, 𝟔𝟎 𝒄𝒎
 𝑥 =
12 𝑥 6 𝑥 6 − 0,5 𝑥 3 𝑥 6 𝑥 1 − 0,5 𝜋 𝑥 22 𝑥 8
12 𝑥 6 − 0,5 𝑥 3 𝑥 6 − 0,5 𝜋 𝑥 22
= 𝟔, 𝟓𝟕 𝒄𝒎
Momento de Inércia
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Momento de Inércia de um Elemento de 
superfície:
Momento de inércia segundo o eixo X:
𝒅𝑰𝒙 = 𝒚
𝟐. 𝒅𝑨
Momento estático segundo o eixo Y
𝒅𝑰𝒚 = 𝒙
𝟐. 𝒅𝑨
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Momento de Inércia de uma superfície:
Momento de inércia segundo o eixo X:
𝑰𝒙 = 
𝑨
𝒅𝑰𝒙 = 
𝑨
𝒚𝟐 . 𝒅𝑨
Momento de inércia segundo o eixo Y
𝑰𝒚 = 
𝑨
𝒅𝑰𝒚 = 
𝑨
𝒙𝟐 . 𝒅𝑨
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6) Determinar o momento de inércia de um retângulo em 
relação à base, conforme figura ao lado.
Solução:
𝐼𝑥 = 
𝐴
𝑦2𝑑𝐴 = 
0
ℎ
𝑦2𝑏 𝑑𝑦 =
𝟏
𝟑
𝒃𝒉𝟑
Outra solução:
𝐼𝑥 = 𝐼𝑥𝐺 + 𝑦1
2𝐴 =
1
12
𝑏ℎ3 +
ℎ
2
2
𝑏ℎ =
𝟏
𝟑
𝒃𝒉𝟑
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7) Determinar o momento de inércia de um triângulo em 
relação à base.
Solução:
𝐼𝑥 = 
𝐴
𝑦2𝑑𝐴 = 
0
ℎ
𝑦2𝑠 𝑑𝑦
Mas 𝒔 =
𝒃
𝒉
𝒉 − 𝒚
Logo
𝐼𝑥 = 
0
ℎ
𝑦2
𝑏
ℎ
ℎ − 𝑦 𝑑𝑦 =
𝟏
𝟏𝟐
𝒃𝒉𝟑
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8) Determinar o momento de inércia da superfície 
hachurada ao lado em relação ao eixo baricêntrico 𝑥𝐺.
Solução:
Considerando a figura hachurada como sendo a subtração 
de dois retângulos determinados, teremos:
𝐼𝑥𝐺 =
1
12
8 𝑥 123 − 3 𝑥 83 = 𝟏𝟎𝟐𝟒 𝒄𝒎𝟒
Translação de Eixos
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Momento de Inércia segundo o eixo x:
𝑰𝒙 = 𝑰𝒙𝑮 + 𝑨. 𝒚𝟏
𝟐
Momento de Inércia segundo o eixo y:
𝑰𝒚 = 𝑰𝒚𝑮 + 𝑨. 𝒙𝟏
𝟐
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9) Determinar o momento de inércia da coluna treliçada da 
figura ao lado em relação ao eixo baricêntrico 𝑥𝐺.
Cantoneiras 100 x 1º alma.
Solução:
Transformar as medidas em mm para cm.
Distância do CG da cantoneira ao eixo 1 = 
60 𝑐𝑚
2
− 2,72 𝑐𝑚 =
27,28 𝑐𝑚
𝐼1 = 𝐼𝑥𝑐𝑎𝑛𝑡 + 𝐴 𝑥 2,72
2
𝐼1 = 4 114,6 𝑐𝑚
4 + 116,6 𝑐𝑚2 𝑥 27,28 𝑐𝑚 2
𝑰𝟏 = 𝟑𝟒𝟕. 𝟓𝟓𝟐, 𝟓𝟑𝟒 𝒄𝒎
𝟒
Por simetria, 
𝑰𝟏 = 𝑰𝟐 = 𝟑𝟒𝟕. 𝟓𝟓𝟐, 𝟓𝟑𝟒 𝒄𝒎
𝟒
Módulos Resistentes
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Também chamado de módulo de resistência, tem sua unidade ao cubo.
Obtido através da equação:
𝑊 =
4. 𝐼
ℎ
Onde:
𝑊 =módulo resistente
𝐼 =momento de inércia
h = altura total do perfil ou peça na direção considerada
Tomando como exemplo a peça ao lado, cujas medidas são 10 cm (base) x 40 cm (altura = 
h), teremos:
𝐼𝑥 =
10 𝑥 403
12
= 53.333,333 𝑐𝑚4 𝐼𝑦=
40 𝑥 103
12
= 3.333,333 𝑐𝑚4
𝑊𝑥 =
4∗53.333,333 𝑐𝑚4
40 𝑐𝑚
= 5.333,333 𝑐𝑚³ 𝑊𝑦 =
4∗3.333,333 𝑐𝑚4
10 𝑐𝑚
= 1.333,333 𝑐𝑚³
Dividindo o momento aplicado pelo módulo resistente, obtemos a tensão atuante na 
fibra mais solicitada.
Raio de Giro
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Raio de giro (raio de giração):
Não tem significado físico, mas é arma 
poderosa quando trabalhamos principalmente 
com peças comprimidas e em alguns casos 
comparativos:
𝒓 =
𝑰
𝑨
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10) Para a coluna do exercício 9, calcular o raio de 
giração em relação aos eixos 1-1 e 2-2.
Solução:
Área total = 4 x 116,6 cm² = 466,4 cm²
Inércia total = I1 = I2 = 347.552,534 cm
4
𝒓 =
𝑰
𝑨
𝒓 =
347.552,534 cm4
466,4 cm2
= 𝟐𝟕, 𝟐𝟗𝟖 𝒄𝒎
Exercícios Propostos
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Determine a área, CG, momentos de 
inércias, módulos resistentes, raios de 
giros das figuras apresentadas. 
Respostas em 𝒄𝒎𝒙.
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Propriedades Geométricas 
de algumas figuras
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Perfis Comerciais
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Fim
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