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Dois Erros Graves Cometidos Pelos Matema´ticos Gentil, o iconoclasta∗ 15 de dezembro de 2018 A matema´tica esta´ longe de ser esta´tica e perfeita; ela esta´ cons- tantemente evoluindo, mudando a todo instante e plasmando-se em no- vas formas. Novos conceitos continuamente transformam a matema´tica e criam novos campos, novos pontos de vista, novas eˆnfases e novas questo˜es para serem respondidas. (Gregory Chaitin/Metamat!) Resumo Este artigo tem por objetivo apontar − e corrigir − dois erros graves cometidos pelos matema´ticos ha´ se´culos. Este e´ o que podemos denominar de um artigo acachapante. Introduc¸a˜o: No nosso entendimento existem dois equ´ıvocos que veˆm sendo cometi- dos pelos matema´ticos ha´ se´culos, quais sejam: 1o ) Ambiguidades nas Representac¸o˜es Decimais; 2o ) Representac¸o˜es decimais de nu´meros reais sa˜o nu´meros reais. Nota: No Google e no YouTube o leitor encontrara´ dezenas e dezenas de artigos e v´ıdeos sobre estes temas. Por exemplo, digite 0, 999 . . . = 1 Em se tratando de um tema delicado, “abstrato”, estaremos delibera- damente escrevendo um longo e detalhado artigo, para que “qualquer crianc¸a do Ensino Fundamental” entenda onde reside o erro crasso dos matema´ticos − ja´ que os pro´prios se recusam a enxergar. Ou na˜o se coloca vinho novo em odres velhos?. Nota: Este artigo foi escrito para a palestra anunciada a seguir. ∗gentil.iconoclasta@gmail.com / Mestre em matema´tica / Professor do Departamento de Matema´tica da UFRR. (65 pa´ginas)/Download: www.goo.gl/DVWQxz 1 CICLO DE PALESTRAS DO DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA DA UFRR 2018 T´ITULO: DOIS ERROS GRAVES COMETIDOS PELOS MATEMA´TICOS UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA CENTRO DE CIEˆNCIAS E TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA CICLO DE PALESTRAS 2018 Prof. Me. Gentil, o iconoclasta Contato: gentil.iconoclasta@gmail.com Resumo: Existem dois erros de interpretac¸a˜o que os ma- tema´ticos veˆm cometendo ha´ se´culos, quais sejam: 1 o ) Ambiguidades nas Representac¸o˜es Decimais; 2 o ) Representac¸o˜es Decimais sa˜o nu´meros reais. No livro “Meu Professor de Matema´tica” (5 a Edic¸a˜o) o Prof. Elon Lages Lima trata das representac¸o˜es decimais. O leitor Sun Hsien Ming lhe dirige a seguinte pergunta: “O fato de a mesma frac¸a˜o ordina´ria poder ter duas representac¸o˜es decimais distintas, por exemplo 2 5 = 0, 4000 . . . = 0, 3999 . . . na˜o apresenta inconveniente nem origina paradoxos?” Vamos argumentar no sentido de provar por que a res- posta do Prof. Elon esta´ errada. Ademais, uma outra “igualdade” que o Prof. Elon, e (quase) todos os outros matema´ticos, na˜o entenderam e´ esta 0, 999 . . . = 1 Sugesta˜o: Na˜o perca esta palestra a final de contas na˜o e´ todo se´culo que se tem a oportunidade de apontar dois er- ros grav´ıssimos (de matema´tica elementar) cometidos pelos matema´ticos − de todo o mundo. Local: UFRR/Audito´rio do CCT/Anexo Bloco 5 Data e hora´rio: 29/11/2018 a`s 15hs Adendo: As origens deste artigo As origens deste artigo remontam ha´ cerca de 15 anos atra´s. Na ocasia˜o eu estudava a construc¸a˜o da Curva de Peano (Ver p. 50 deste pdf) p 0 1 1 2 s χ p p p p 0 11 3 2 3 1 3 2 3 1 s A Curva de Peano pertence a um ramo da matema´tica conhecido como Topologia e tem aplicac¸o˜es em com- pressa˜o de imagens digitais. pelo livro de Espac¸os Me´tricos do Prof. Elon Lages Lima, no qual se ler: “a representac¸a˜o decimal de um nu´mero real x ∈ [ 0, 1 ] e´ u´nica, exceto por ambigu¨idades do tipo 0, 47999 . . . = 0, 48000 . . . ” (p. 231) Para contornar as supostas ambiguidades o Prof. Elon lanc¸a ma˜o de alguns artif´ıcios, como por exemplo, o conjunto de Cantor e a representac¸a˜o de um nu´mero em base 3; pois bem, achei que a referida construc¸a˜o po- deria ser consideravelmente simplificada se as supostas ambiguidades na˜o existissem, fossem apenas um mito. Na e´poca consegui formular alguns ar- gumentos contra as ambiguidades, cheguei ate´ a trocar alguns email´s com um matema´tico do IMPA (Gugu/ver p. 62) colega do Prof. Elon. Meus argumentos de 15 anos atra´s na˜o foram suficientemente claros para me fazer entender. Deixei de lado a questa˜o (neste ı´nterim escrevi alguns livros, em um deles de fato consegui simplificar a construc¸a˜o da Curva de Peano, e fui mais longe), mais recentemente retomei os argumentos contra as ambigui- dades e agora consegui lapidar a pedra outrora bruta, transformando-a em um diamante cristalino (este artigo), agora creio que “qualquer crianc¸a do Ensino Fundamental” e´ capaz de entender meus argumentos. Ademais, tive a oportunidade de constatar que alguns matema´ticos (falo de doutores) chegam ate´ a desdenhar do tema representac¸o˜es decimais por tratar-se de “matema´tica elementar”, isto na˜o e´ digno de suas atenc¸o˜es, seria perda de tempo. Farei treˆs observac¸o˜es. Primeira: eles teˆm raza˜o trata-se de matema´tica elementar, contudo, esquecem que esta “matema´tica elementar” reverbera em a´reas importantes da matema´tica, como a Topolo- gia, por exemplo. Segunda: mesmo doutores tropec¸am nesta “matema´tica elementar”, como estaremos provando neste artigo. A terceira observac¸a˜o fundamenta-se nesta citac¸a˜o: E´ poss´ıvel que os mitos matema´ticos sejam fonte do que Bachelard chama de “obsta´culos epistemolo´gicos”, pois aqueles, na sua condic¸a˜o de “verdades” matema´ticas consolidadas, seriam obsta´culos para o surgimento de outras verdades (interpretac¸o˜es) que as substituam. ([2]) Os dois erros graves objeto deste artigo sa˜o exemplos de mitos ma- tema´ticos que “sa˜o obsta´culos para o surgimento de outras verdades (interpretac¸o˜es) que as substituam.” − Ver Gregory Chaitin, p. 1. 3 1 Geˆnios tambe´m cometem erros elementares Dissemos que (quase) todos os matema´ticos na˜o entenderam a equac¸a˜o 0, 999 . . . = 1 Parece mentira. Para atenuar um poss´ıvel cepticismo do leitor − quanto ao t´ıtulo desta secc¸a˜o − afirmamos que isto ja´ aconteceu pelo ao menos uma vez na histo´ria da matema´tica. Com efeito, na˜o foram poucos os geˆnios da matema´tica que sucumbiram, intelectualmente falando, frente a` seguinte “equac¸a˜o elementar” (−1) · (−1) = 1 Dentre eles, destacamos: − Leonhard Euler (1707-1783); − Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855); − Rene´ Descartes (1596-1650); − Pierre Simon Laplace (1749-1827); − Pierre Fermat (1601-1665); − Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716); − Isaac Newton (1643-1727). Apenas para citar alguns dos mais eminentes. Reiteramos, nenhum destes matema´ticos entendeu a equac¸a˜o acima − entendeu significa provou. Processar s´ımbolos na˜o e´ o mesmo que processar significado Veja bem, o fato de que eventualmente um aluno do ensino fundamental saiba que (−1) · (−1) = 1 isto na˜o significa que ele compreenda o porqueˆ deste produto. Dizemos que ele foi apenas programado para isto, tipo: “o inimigo do meu inimigo e´ meu amigo”, etc. Uma “simples” calculadora como a HP Prime tambe´m “sabe” que (−1) · (−1) = 1, perguntamos, ela entende isto?. De igual modo a grande maioria de estudantes foi apenas programada para lidar com a matema´tica, a efetiva compre- ensa˜o na˜o e´ maior que a da calculadora. O ce´rebro humano e´ programa´vel. 4 Foi precisamente a possibilidade de dar diversas interpretac¸o˜es aos nu´meros negativos que fez com que eles fossem aceitos aos poucos na co- letividade matema´tica. Pore´m, desde seu aparecimento, esses nu´meros suscitaram du´vidas quanto a` sua legitimidade. Em 1543 Stieffel ainda os chamava de nu´meros absurdos, e Cardano, contemporaˆneo de Stieffel, denominava-os soluc¸o˜es falsas de uma equac¸a˜o. ([5]) Descartes (1596 -1650) chamava de falsas as ra´ızes negativas de uma equac¸a˜o; Viete (1540 -1603) era mais radical: simplesmente rejeitava os nega- tivos − bem como D’Alembert(1767-1783). Em um livro cla´ssico da matema´tica “O Que e´ Ma- tema´tica?” (Richard Courant & Herbert Robbins)/Rio de janeiro: Editora Cieˆncia Moderna., 2000. Lemos: (p. 65/Grifo nosso) Por exemplo, a regra (3) (−1) (−1) = 1, definida para a multiplicac¸a˜o de inteiros negativos, e´ uma consequ¨eˆncia do nosso desejo de preservar a lei distributiva a (b + c) = a b + a c. Por que se tive´ssemos determinado que (−1) (−1) = −1, enta˜o, ao definirmos a = −1, b = 1, c = −1, dever´ıamos ter tido −1 (1 − 1) = −1 − 1 = −2, enquanto que, por outro lado, temos efetivamente, −1 (1 − 1) = −1 · 0 = 0. Os matema´ticos levaram muito tempo para compreender que a “regra de sinais” (3), juntamente com todas as outras definic¸o˜es que se referem aos inteiros negativos e frac¸o˜es na˜o pode ser “provada”. Elas sa˜o criadas por no´s para alcanc¸armos liberdade nas operac¸o˜es, preservando ao mesmo tempo as leis fundamentais da aritme´tica. O que pode − e deve − ser provado e´ apenas que, com base nestas definic¸o˜es, as leis comutativa, associatiava e distributiva da Aritme´tica sa˜o preservadas. Inclusive o grande Euler lanc¸ou ma˜o de um racioc´ınio absolutamente na˜o convincente para demonstrar que (−1) (−1) “deve” ser igual a +1. Isto porque, argumentava ele, deve ser +1 ou −1, e na˜o pode ser −1, uma vez que −1 = (+1) (−1). O malabarismo apresentado por Euler para justificar a regra de sinais demonstra que ele na˜o tinha ainda co- nhecimentos suficientes para esclarecer convincentemente os pontos obscuros apresentados pelas regras de sinais. Na mesma obra, segundo Glaeser (1981), Euler concebe o nu´mero nega- tivo como sendo uma letra precedida com o sinal − (menos). Euler na˜o consegue estabelecer uma ideia para a formac¸a˜o do conceito de nu´mero negativo, nem muito menos concebeˆ-los como sendo quan- tidades menores que zero. ([5]) 5 1.1 Explicitando melhor o erro de Euler O argumento ja´ admite como conhecido que (+1) (−1) = −1, ok. Euler argumenta “Mas como (+1) (−1) vale −1, na˜o resta mais como u´nica pos- sibilidade que (−1) × (−1) = +1”. Ou seja, Euler afirma que na˜o se pode ter simultaneamente (+1) (−1) = −1 e (−1)× (−1) = −1 o que e´ um erro assaz pueril uma vez que uma operac¸a˜o sobre um conjunto E e´ uma aplicac¸a˜o (func¸a˜o) f : E×E → E e na˜o e´ obrigatoriamente injetiva. Por exemplo, seja E = {−1, 1 } e a operac¸a˜o ∗ : E×E → E, dada por a ∗ b = ab Por exemplo, temos (+1) ∗ (−1) = (−1) (+1) = −1 e (−1) ∗ (−1) = (−1) (−1) = −1 1.2 Como se resolveu um impasse de 1600 anos? Depois de 16 se´culos de lutas inglo´rias na tentativa de se compreender os nu´meros negativos e, em particular (−1) · (−1) = 1, a questa˜o comec¸ou a se iluminar pela con- tribuic¸a˜o majorita´ria de dois matema´ticos Hermann Hankel (1839-1873) e George Pea- cock (1791-1858). Peacock inicialmente admite a possibilidade de que tenhamos (−1) · (−1) = −1 se fosse este o caso vejamos no que daria: substituindo a = −1, b = 1, c = −1 em a · (b+ c) = ab+ ac, temos −1 · ( 1 + (−1) ) = −1 · 1 + (−1) · (−1) Vamos substituir −1 · 1 = −1, logo (1 elemento neutro) −1 · ( 1 + (−1) ) = −1 + (−1) = −2 Por outro lado, temos efetivamente −1 · ( 1 + (−1) ) = −1 · ( 0 ) = 0 6 Numa ana´lise apressada poderiamos concluir que o argumento estabelece a seguinte contradic¸a˜o: 0 = −2 e que, portanto, a hipo´tese inicial (−1) · (−1) = −1 so´ pode ser falsa, logo estaria provado que: (−1) · (−1) = 1. Na verdade na˜o e´ isto o que acontece∗ , o que na realidade foi provado e´ Se a · (b+ c) = ab+ ac e (−1) · (−1) = −1 enta˜o 0 = −2 O contrapositivo deste teorema e´ Se 0 6= −2 enta˜o a · (b+ c) 6= ab+ ac ou (−1) · (−1) 6= −1 Certamente 0 6= −2, mas na˜o existe nada, logicamente falando, que nos obrigue a escolher entre a · (b+ c) 6= ab+ ac ou (−1) · (−1) 6= −1 No per´ıodo compreendido entre Diofanto e Hankel, muitos matema´ticos se propuseram a construir uma demonstrac¸a˜o para a regra de sinais pautada em exemplos pra´ticos. Pore´m, Hankel em 1867, demonstra que a u´nica das regras poss´ıveis e´ aquela que preserva a distributividade a` esquerda e a` direita, isso porque ele aborda a ideia de nu´mero relativo numa outra dimensa˜o, que na˜o aquela procurada na natureza. Hankel, diferentemente de Laplace, que acreditava na existeˆncia de uma explicac¸a˜o para a multiplicac¸a˜o dos relativos na natureza, aborda a questa˜o numa outra dimensa˜o, os nu´meros na˜o sa˜o descobertos, sa˜o imaginados e a regra de sinais e´ pura invenc¸a˜o da mente humana, uma convenc¸a˜o. ([5]) Nota: Diofanto de Alexandria, matema´tico Grego nascido entre 201 e 214. Temos, 1867− 214 = 1653 anos de tentativas para se provar (−1) (−1) = 1. Observem a fundamental mudanc¸a de perspectiva: “Os nu´meros na˜o sa˜o descobertos − como acreditava Laplace, e muitos outros −, sa˜o invenc¸o˜es humanas”. “Levou muito tempo para que os matema´ticos percebessem que a ‘regra dos sinais’, junto com todas as outras definic¸o˜es governando os inteiros negativos e frac¸o˜es na˜o podem ser ‘provadas’ ” (Hermann Hankel). Sugesta˜o: O v´ıdeo Histo´ria da Matema´tica para Professores 16 - Nu´meros negativos e Complexos https://www.youtube.com/watch?v=xjG2Z5XgS4o exibe uma tosca tentativa de provar que (−1) · (−1) = 1, efetuada pelo matema´tico Jean-Robert Argand (1768-1822). Hoje a “prova” de Argand pode ser enviada para a lixeira − na˜o tem nenhum valor matema´tico. Nota: A quem interessar possa, na refereˆncia [5] damos outros detalhes sobre este tema, inclusive citando a bibliografia consultada. ∗Lembre-se que a` e´poca de Peacock os inteiros ainda na˜o existiam, isto e´, na˜o possuiam legitimidade matema´tica − Ou ainda, na˜o haviam sido construidos, operava-se com eles de modo informal, intuitivamente, sem o necessa´rio rigor. 7 2 Meu Professor de Matema´tica No livro “Meu Professor de Matema´tica” (5 a Edic¸a˜o) o Prof. Elon Lages Lima, trata das representac¸o˜es decimais. Na pa´gina 162, consta: 7.Du´vidas sobre d´ızimas A transformac¸a˜o de frac¸o˜es ordina´rias em decimais, dando origem ao fenoˆmeno curioso das chamadas d´ızimas per´ıodicas, e´ sem du´vida um assunto que pro- voca questo˜es, suscita controve´rsias e gera problemas. Alguns colegas teˆm escrito com perguntas sobre o assunto. Duas das mais interessantes entre essas perguntas foram feitas por Sun Hsien Ming, de Sa˜o Paulo, SP. Elas sa˜o: 1 a ) Existe alguma frac¸a˜o ordina´ria tal que, dividindo-se o numerador pelo denominador, obtenha-se a d´ızima perio´dica 0, 999 . . .? 2 a ) O fato de a mesma frac¸a˜o ordina´ria poder ter duas representac¸o˜es de- cimais distintas (como 2/5 = 0, 4000 . . . = 0, 3999 . . .) na˜o apresenta incon- veniente nem origina paradoxos? De momento vamos considerar a segunda pergunta acima. Vamos nos ater ao seguinte trecho da resposta do professor Elon: (p. 164) “Seria bom que a correspondeˆncia entre nu´meros racionais e frac¸o˜es decimais perio´dicas (d´ızimas) fosse biun´ıvoca. Mas na˜o e´. Caso insista- mos muito em ter sua biunivocidade, vamos ter que fazer um sacrif´ıcio para obteˆ-la. Um sacrif´ıcio poss´ıvel seria abster-se de considerar decimais ‘exa- tas’, substituindo sempre todas as frac¸o˜es do tipo 5, 183 por 5, 182999 . . . (por exemplo). O outro seria excluir as d´ızimas que terminam com uma fi- leira de noves, substituindo-as sempre pela decimal exata obtida suprimindo os nove e somando 1 ao u´ltimo algarismo que os precede; isto corresponde- ria a escrever sempre 0, 7 em vez de 0, 6999 . . . Nenhuma dessas escolhas e´ muito natural. Por isso me parece mais razoa´vel que nos resignemos com a falta de biunivocidade. Ha´ coisas piores no mundo.” Segundo entendemos, ha´ um equ´ıvoco por parte do professor Elon, na verdade na˜o existe falta de biunivocidade, pelo contra´rio, existe excesso − como provaremos. Mas na˜o apenas isto . . . “Nenhuma dessas escolhase´ muito natural.” Ao contra´rio, mostrare- mos que qualquer uma das escolhas e´ muito natural, e deve ser feita. 8 Cuidado! . . . na matema´tica nem sempre uma “igualdade” e´ de fato uma igualdade Antes fac¸amos mais um interregno necessa´rio. Vamos exemplificar no sentido de mostrar que devemos ter muito cuidado ao interpretar certas “igualdades matema´ticas”. Vejamos treˆs exemplos: 1 o ) Frac¸o˜es equivalentes. Ha´ muitos anos atra´s corrigimos o gabarito de uma prova de cursinho. A questa˜o era: Problema: Encontrar a frac¸a˜o x y tal que a soma do numerador com o denomindor seja 16 e o produto seja 48. Soluc¸a˜o: x+ y = 16 x · y = 48 Alternativas: a) 313 b) 5 11 c) 7 9 d) 13 e) NRA→ A resposta dada pelo gabarito foi a letra d). Acontece que a frac¸a˜o 1 3 na˜o satisfaz ao enunciado da questa˜o, isto e´, o sistema acima. A resposta correta e´ dada pela frac¸a˜o 4 12 , veja: x y = 4 12 = 1 3 Resumindo, frac¸o˜es equivalentes na˜o sa˜o frac¸o˜es iguais! 2 o ) Um resultado bizarro. Na secc¸a˜o 10 demonstramos a seguinte igualdade (p. 43) 0, 999 . . . = 9 10 + 9 102 + 9 103 + · · · = 0 3 o ) Ademais, pode ser provado que (p. 43) 0, 4999 . . . = 4 10 + 9 102 + 9 103 + · · · = 0 9 Na˜o raro, na matema´tica uma “igualdade” na˜o e´ uma igualdade abso- luta, mas relativa, isto e´, deve ser interpretada dentro de um certo contexto. Ou ainda: e´ o contexto que legitima a igualdade. E´ precisamente o que acontece com a “igualdade” 0, 999 . . . = 1 ou com a dupla “igualdade”: 2 5 = 0, 4000 . . . = 0, 3999 . . . A nossa tese, reiteramos, e´ que os matema´ticos na˜o esta˜o sabendo in- terpretar adequadamente estas “igualdades”. A dupla igualdade acima e´ um exemplo do que os matema´ticos denominam de “ambiguidades nas re- presentac¸o˜es decimais ”. Pra comec¸ar, ha´ um sentido em que esta dupla igualdade e´ verdadeira e ha´ um sentido em que ela e´ falsa. Ela e´ verdadeira no sentido de con- vergeˆncia de se´ries, assim: 2 5 = 4 10 + 0 102 + 0 103 + 0 104 + · · · = 3 10 + 9 102 + 9 103 + 9 104 + · · · Ela e´ falsa no sentido de representac¸o˜es decimais (como veremos). Fui programado para detectar fissura nas estruturas. (o iconoclasta) No livro A Matema´tica do Ensino Me´dio (Vol. 1) 9 a edic¸a˜o, pa´gina 67, o professor Elon escreve: “Uma expressa˜o decimal e´ um s´ımbolo da forma α = a0 , a1 a2 . . . an . . . , onde a0 e´ um nu´mero inteiro ≥ 0 e a1 , a2 , . . . , an , . . . , sa˜o d´ıgitos, isto e´, nu´meros inteiros tais que 0 ≤ an ≤ 9. Para cada n ∈ N, tem-se um d´ıgito an , chamado o n-e´simo digito da expressa˜o decimal de α. O nu´mero natural a0 chama-se parte inteira de α. Exemplo 1. α = 13, 42800 . . ., β = 25, 121212 . . ., pi = 3, 14159265 . . . sa˜o expresso˜es decimais.” 10 Resumindo: uma expressa˜o decimal e´ uma sequeˆncia, dada assim: α = a0 , a1 a2 . . . an . . . Por exemplo, vamos obter a representac¸a˜o decimal do nu´mero real α = 47200 Isto e´, vamos obter a sequeˆncia denotada por .a1 a2 a3 . . . o ponto antes dos a i ’ s e´ para lembrar que estaremos considerando apenas a representac¸a˜o decimal de nu´meros do intervalo [ 0, 1 [ − a parte inteira e´ 0. Para que “qualquer crianc¸a do Ensino Fundamental” entenda onde reside o erro dos matema´ticos faremos um tratamento geome´trico das repre- sentac¸o˜es decimais. Primeiramente vamos situar α geometricamente no intervalo unita´rio: 0 1 t α Para obter o primeiro termo da sequeˆncia, a1 , dividamos o intervalo unita´rio em dez partes iguais, assim: 0 1 s α 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 10 a1 → 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 p p p p p p p p p p Os subintervalos em sucessivas diviso˜es a serem efetuadas sera˜o sempre numerados de 0 a 9, como acima. Como na primeira divisa˜o α caiu no subintervalo de nu´mero 2 este e´ o valor de a1 , portanto, ate´ o momento, podemos escrever 47 200 = .2 a2 a3 . . . Vamos dividir o (sub)intervalo ao qual α pertence novamente em dez partes iguais, assim: 11 0 1 s α 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 10 a1 = 2 → 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 p p p p p p p p p p 0 1 s α 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 p p p p p p p p p p Vamos aplicar um zoom nesta figura, assim: 0 1 s α 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 10 a2 → 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 p p p p p p p p p p s α 20 100 21 100 22 100 23 100 24 100 25 100 26 100 27 100 28 100 29 100 30 100 a2 → 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 p p p p p p p p p p p Como na segunda divisa˜o α caiu no subintervalo de nu´mero 3 este e´ o valor de a2 , portanto, ate´ o momento, podemos escrever 47 200 = .2 3 a3 . . . Dividamos novamente em dez partes o subintervalo ao qual α pertence s α 20 100 21 100 22 100 23 100 24 100 25 100 26 100 27 100 28 100 29 100 30 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 p p p p p p p p p p p 12 Vamos aplicar um zoom nesta figura, assim: s α 20 100 21 100 22 100 23 100 24 100 25 100 26 100 27 100 28 100 29 100 30 100 a3 → 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 p p p p p p p p p p p t α 230 1000 231 1000 232 1000 233 1000 234 1000 235 1000 236 1000 237 1000 238 1000 239 1000 240 1000 a3 → 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 p p p p p p p p p p p Como se veˆ, α caiu exatamente em uma das diviso˜es, qual o valor de a3?: 47 200 = .2 3 a3 . . . Atenc¸a˜o!: Precisamente neste ponto surge o que os matema´ticos acreditam ser uma “ambiguidade”, mas na˜o e´ assim, como veremos. Prosseguindo, temos duas alternativas a considerar: ou conside- ramos α fazendo parte do extremo esquerdo do subintervalo 5, ou conside- ramos α fazendo parte do extremo direito do subintervalo 4, assim: − Primeira alternativa: Devemos abrir o extremo direito e fechar o extremo esquerdo de cada subintervalo, veja: s α 230 1000 231 1000 232 1000 233 1000 234 1000 235 1000 236 1000 237 1000 238 1000 239 1000 240 1000 a3 → 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 p p p p p p p p p p p −→ α 230 1000 231 1000 232 1000 233 1000 234 1000 235 1000 236 1000 237 1000 238 1000 239 1000 240 1000 a3 → 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 p p p p p p p p p p p t Nesta alternativa teremos 47 200 = .2 3 a3 . . .⇒ 47 200 = .2 3 5 . . .⇒ 47 200 = .2 3 5 0 0 0 . . . 13 − Segunda alternativa: Devemos abrir o extremo esquerdo e fechar o ex- tremo direito de cada subintervalo, veja: s α 230 1000 231 1000 232 1000 233 1000 234 1000 235 1000 236 1000 237 1000 238 1000 239 1000 240 1000 a3 → 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 p p p p p p p p p p p −→ α 230 1000 231 1000 232 1000 233 1000 234 1000 235 1000 236 1000 237 1000 238 1000 239 1000 240 1000 a3 → 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 p p p p p p p p p p pt Nesta alternativa teremos 47 200 = .2 3 a3 . . .⇒ 47 200 = .2 3 4 . . .⇒ 47 200 = .2 3 4 9 9 9 . . . Resumindo, trata-se de uma escolha, uma vez feita a escolha, como deve ser feita, as supostas ambiguidades desaparecem! Na˜o existem! 47 200 .235000 . . . .234999 . . . 2 5 = 0, 4000 . . . = 0, 3999 . . . (Sun Hsien Ming) 2 5 .4000 . . . .3999 . . . O asno de BuridanO Asno de Buridan e´ um pa- radoxo (paro´dia) em filosofia sobre o conceito de livre arb´ıtrio. O Asno de- cidiu tomar apenas deciso˜es estrita- mente racionais.Como estava exata- mente a` mesma distaˆncia de dois montes de feno ideˆnticos, ele na˜o tinha justificativa racional para escolher entre os dois . . . morreu de fome. Exatamente como o asno de Buridan procedem os matema´ticos que defendem as ambiguidades nas representac¸o˜es decimais: “Nenhuma dessas escolhas e´ muito natural. Por isso me parece mais razoa´vel que nos resigne- mos com a falta de biunivocidade. Ha´ coisas piores no mundo.” 14 Nota: Oportunamente veremos de uma outra perspectiva por que a es- colha deve obrigatoriamente ser feita − as “ambiguidades” conduzem a contradic¸o˜es. Preferimos chamar as representac¸o˜es decimais de nu´meros reais de co- dificac¸a˜o de nu´meros reais, e´ algo ana´logo a` codificac¸a˜o de um caracter do teclado do computador (ou celular). Neste caso temos muitas alternati- vas para codificar um caracter, escolhendo uma na˜o existem “ambiguidades”. De outro modo: dentre 28 = 256 alternativas para se codificar um carac- ter, os fabricantes de computador fixaram (concordaram em) uma delas, sendo assim onde fica a “ambiguidade”? − o mesmo deveria ser feito pelos matema´ticos! E´ poss´ıvel que os mitos matema´ticos sejam fonte do que Bachelard chama de “obsta´culos epistemolo´gicos”, pois aqueles, na sua condic¸a˜o de “verda- des” matema´ticas consolidadas, seriam obsta´culos para o surgimento de ou- tras verdades (interpretac¸o˜es) que as substituam. O conceito de “ruptura epistemolo´gica” tambe´m foi introduzido por Bachelard. Faz-se necessa´ria uma ana´lise mais aprofundada desses conceitos. Os mitos matema´ticos, enta˜o, sa˜o mitos no interior da pro´pria matema´tica e fazem parte do conhe- cimento matema´tico sistematizado. ([2]) Nota: Citamos como exemplos de mitos matema´ticos os dois erros graves tratados neste artigo, por exemplo: 2 5 = 0, 4000 . . . = 0, 3999 . . . e 0, 999 . . . = 1 Enfatizamos: E´ poss´ıvel que os mitos matema´ticos sejam fonte do que Bachelard chama de “obsta´culos epistemolo´gicos”, pois aqueles, na sua condic¸a˜o de “verdades” matema´ticas consolidadas, seriam obsta´culos para o surgi- mento de outras verdades (interpretac¸o˜es) que as substituam. 15 Tabela de Co´digos (ASCII) Caracter Co´digo Caracter Co´digo < 00111100 > 00111110 ! 00100001 ∑ 11100100 # 00100011 $ 00100100 % 00100101 & 00100110 ( 00101000 ) 00101001 ∗ 00101010 [ 01011011 ] 01011101 + 00101011 − 00101101 / 00101111 0 00110000 1 00110001 2 00110010 3 00110011 4 00110100 5 00110101 6 00110110 7 00110111 8 00111000 9 00111001 A 01000001 B 01000010 C 01000011 D 00100100 E 01000101 F 01000110 G 01000111 H 01001000 I 01001001 J 01001010 K 01001011 L 01001100 M 01001101 N 01001110 O 01001111 P 01010000 Q 01010001 R 01010010 S 01010011 T 01010100 U 01010101 V 01010110 W 01010111 X 01011000 Y 01011001 Z 01011010 28 =256 O co´digo alfanume´rico mais comumente usado em sistemas de micro- computador e´ o AMERICAN STANDARD Code for Information Interchange (Co´digo Americano Padra˜o para Troca de Informac¸o˜es) Por exemplo, segundo este co´digo, temos A = 01000001, 9 = 00111001, ∑ = 11100100 Nota: Obviamente que estas “igualdades” na˜o sa˜o absolutas, devem ser interpretadas dentro de um contexto. Enfatizamos: De modo ana´logo os nu´meros reais sa˜o codificados por sequeˆncias decimais. 16 3 O Professor Djairo Guedes corrobora nossa tese Em seu livro Ana´lise I (2 a Edic¸a˜o) o profes- sor Djairo trata das repre- sentac¸o˜es decimais. Inicialmente ele considera o conjunto (p. 41) { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }∞ = D de todas as decimais. Em seguida define a func¸a˜o f : D → R, dada por f(.a1 a2 a3 . . .) = ∞∑ n=1 an 10n Em seguida observa que f esta´ bem definida mas que na˜o e´ injetiva, pois f ( .a1 . . . aj−1 (aj − 1) 9 9 . . . ) = f(.a1 . . . aj 0 0 . . .) Por exemplo, considerando 2/5 = 0, 4000 . . . = 0, 3999 . . . temos f(0, 3999 . . .) = f(0, 4000 . . .) = 2 5 pois f(0, 3999 . . .) = 3 10 + 9 102 + 9 103 + 9 104 + · · · = 2 5 e f(0, 4000 . . .) = 4 10 + 0 102 + 0 103 + 0 104 + · · · = 2 5 ∗ ∗ ∗ Adendo: Na pa´gina 42 do seu livro Ana´lise I o Prof. Djairo escreve: “De modo mais rigoroso, podemos proceder assim. Uma decimal e´ uma func¸a˜o f : N→ { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }” Ou seja, segundo o Prof. Djairo, “de modo mais rigoroso” uma decimal e´ uma sequeˆncia. Para o propo´sito que temos em mente isto e´ muito impor- tante! − Esta definic¸a˜o coincide com a do Prof. Elon, p. 10. 17 Mais a` frente o professor Djairo escreve: (p. 42) “Se definirmos D∗ como o subconjunto de D formado por decimais que na˜o teˆm todos os elementos iguais a 9, a partir de uma certa ordem, enta˜o a func¸a˜o f , definida acima, restrita a D∗ e´ injetiva. Mostraremos agora que f e´ sobre [ 0, 1 [ e, portanto, temos a seguinte correspondeˆncia biun´ıvoca” D∗ ↔ [ 0, 1 [ .a1 a2 . . .↔ ∞∑ n=1 an 10 n Considerando nossos dois exemplos vistos 47 200 .235000 . . . .234999 . . . X ւ 2 5 .4000 . . . .3999 . . . X ւ − O Professor Djairo escolheu as representac¸o˜es indicadas pelas setas Lembrando a resposta do Prof. Elon a` pergunta de Sun Hsien Ming: “Seria bom que a correspondeˆncia entre nu´meros racionais e frac¸o˜es decimais perio´dicas (d´ızimas) fosse biun´ıvoca. Mas na˜o e´. Caso insista- mos muito em ter sua biunivocidade, vamos ter que fazer um sacrif´ıcio para obteˆ-la. Um sacrif´ıcio poss´ıvel seria abster-se de considerar decimais ‘exa- tas’, substituindo sempre todas as frac¸o˜es do tipo 5, 183 por 5, 182999 . . . (por exemplo). O outro seria excluir as d´ızimas que terminam com uma fi- leira de noves, substituindo-as sempre pela decimal exata obtida suprimindo os nove e somando 1 ao u´ltimo algarismo que os precede; isto corresponde- ria a escrever sempre 0, 7 em vez de 0, 6999 . . . Nenhuma dessas escolhas e´ muito natural. Por isso me parece mais razoa´vel que nos resignemos com a falta de biunivocidade. Ha´ coisas piores no mundo.” O que o professor Djairo fez acima foi fazer “naturalmente” uma escolha, como o Prof. Elon afirma: “Nenhuma dessas escolhas e´ muito natural.” ? Ainda destacamos mais dois erros na resposta do Prof. Elon, veja: “Por isso me parece mais razoa´vel que nos resignemos com a falta de biunivocidade. Ha´ coisas piores no mundo.” 18 1 o ) Na˜o existe “falta de biunivocidade”, pelo contra´rio, existe “excesso de biunivocidade”, posto que existem duas aplicac¸o˜es biu´nivocas. Com efeito, existe a escolhida pelo Prof. Djairo, ou seja: f : D∗ → [ 0, 1 [ .a1 a2 . . .→ ∞∑ n=1 an 10 n Em conformidade com a primeira das alternativas da pa´gina 13 s α 230 1000 231 1000 232 1000 233 1000 234 1000 235 1000 236 1000 237 1000 238 1000 239 1000 240 1000 a3 → 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 p p p p p p p p p p p −→ α 230 1000 231 1000 232 1000 233 1000 234 1000 235 1000 236 1000 237 1000 238 1000 239 1000 240 1000 a3 → 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 p p p p p p p p p p p t e existe esta outra: f˜ : D˜ → ] 0, 1 ] .a1 a2 . . .→ ∞∑ n=1 an 10n (O asno de Buridan) onde D˜ e´ o subconjunto de D = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }∞ formado por decimais que na˜o teˆm todos os elementos iguais a 0, a partir de uma certa ordem. Em conformidade com a segunda das alternativas da pa´gina 13 α 230 1000 231 1000 232 1000 233 1000 234 1000 235 1000 236 1000 237 1000 238 1000 239 1000 240 1000 a3 → 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 p p p p p p p p p p pt 19 Temos aqui um exemplo do cla´ssico “copo meio cheio ou meiova- zio”. O pessimista ver o copo meio va- zio: “Por isso me parece mais razoa´vel que nos resignemos com a falta de biunivocidade. Ha´ coisas piores no mundo.” O otimista ver o mesmo copo meio cheio: “na˜o existe falta de biunivocidade, pelo contra´rio, existe excesso”. 2 o ) O Prof. Elon acredita no mito das ambiguidades, ou seja, que a dupla igualdade 2 5 = 0, 4000 . . . = 0, 3999 . . . e´ verdadeira sob o ponto de vista das representac¸o˜es decimais. Vamos mos- trar que e´ falsa, inconsistente, na˜o se sustenta. Com efeito, segundo a de- finic¸a˜o do pro´prio Prof. Elon (p. 10), e do Prof. Djairo (p. 17), uma representac¸a˜o decimal e´ uma sequeˆncia do conjunto { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }∞ = D lembrando da definic¸a˜o de igualdade de sequeˆncias: (a1 , a2 , . . . , an , . . .) = (b1 , b2 , . . . , bn , . . .) ⇐⇒ ai = bi , ∀ i ∈ N temos a seguinte contradic¸a˜o: 2 5 = 0, 4000 . . . = 0, 3999 . . . 4 = 3 ↓ A = 01000001 = 00111001 1 = 0 − Co´digo ASCII Se um caracter fosse codificado de dois modos distintos →← Lembramos a pergunta de Sun Hsien Ming: O fato de a mesma frac¸a˜o ordina´ria poder ter duas representac¸o˜es de- cimais distintas (como 2/5 = 0, 4000 . . . = 0, 3999 . . .) na˜o apresenta incon- veniente nem origina paradoxos? Como vimos, a resposta deve ser: sim, mais que inconveniente e para- doxo gera contradic¸o˜es. O correto e´: (Adendo, p. 65) 2/5 = 0, 4000 . . . , se escolhermos D∗ ou 2/5 = 0, 3999 . . . , se escolhermos D˜. 20 Mais um autor corrobora nossa tese No livro a seguir Nu´meros Reais/Jorge Aragona. − Sa˜o Paulo: Editora Livraria da F´ısica, 2010. o autor constro´i a representac¸a˜o decimal para todos os reais, ele − tal como o professor Djairo − tambe´m faz uma escolha: exclui as decimais que conte´m 9 a partir de uma certa ordem. Vamos reproduzir aqui a definic¸a˜o do Aragona: (p. 92) Definic¸a˜o 1.6.10 “Chama-se desenvolvimento decimal ilimitado a qualquer s´ımbolo do tipo β0 , β1 β2 . . . , βm . . . (1.6.10.1) determinado por uma sequeˆncia (βm)m∈N em Z tal que 0 ≤ βm ≤ 9 para cada m ∈ N∗, e, neste caso, para cada m ∈ N∗, βm e´ chamado m-e´sima casa decimal de (1.6.10.1). O desenvolvimento decimal ilimitado (1.6.10.1) e´ dito pro´prio se conte´m uma infinidade de casas decimais βm diferentes de 9 (ou equivalentemente, se na˜o existe ν ∈ N tal que a sequeˆncia truncada (βm)m>ν seja constante e igual a 9). Indicamos com o s´ımbolo D o conjunto de todos os decimais ilimitados pro´prios.” (Grifo nosso) Sendo assim, Aragona naturalmente faz uma escolha − “o conjunto de todos os decimais ilimitados pro´prios” −, por sinal coincidindo com a escolha do Prof. Djairo, como o Prof. Elon afirma “Nenhuma dessas escolhas e´ muito natural ” ? Ademais, Aragona corrobora nossa afirmac¸a˜o de que uma representac¸a˜o decimal e´ u´nica (sem ambiguidades), vejamos: (Aragona, p. 92/(Grifo nosso)) A expressa˜o “nu´mero decimal” tambe´m e´ frequentemente utilizado para indicar um desenvolvimento decimal ilimitado (pro´prio ou na˜o). Ja´ observamos, [. . . ], que e´ poss´ıvel associar a cada α ∈ R o seu desenvolvi- mento decimal ilimitado J(α) := α0 , α1 α2 . . . αm . . . que e´ determinado por α (isto e´, cada α ∈ R tem um u´nico desenvolvi- mento decimal ilimitado). 21 4 Adendo: Uma escolha hipernatural O Prof. Elon afirmou “Nenhuma dessas escolhas e´ muito natural”, no´s afirmamos “Qualquer uma das escolhas e´ muito natural”. Pensando melhor, vamos mostrar que existe uma escolha que e´ hipernatural e que de certo modo se impo˜e. Essa escolha esta´ fundamentada em um teorema que encontramos no livro∗: (p. 60) Teorema 7. Dados inteiros a e b com a ≥ 0 e b > 1, existem inteiros c0 , c1 , . . . , cn , . . ., univocamente determinados pelas seguintes condic¸o˜es: (i) Existe um natural m tal que cn = 0 para todo n ≥ m; (ii) Para todo n, temos que 0 ≤ cn < b; (iii) a = c0 + c1 · b+ · · ·+ cn · bn + · · · Mais a` frente: (p. 61) A expressa˜o a = c0+c1 ·b+ · · ·+cn ·bn com 0 ≤ ci < b para i = 0, . . . , n, e´ chamada de expansa˜o b−a´dica do inteiro a. Um pouco mais a` frente: (p. 62) O sistema de numerac¸a˜o de base b > 1 obte´m-se escolhendo um con- junto com b s´ımbolos S = { s0 , . . . , sb−1 } com s0 = 0, que representam os inteiros de 0 a b− 1 e representando um inteiro na˜o negativo s como s = xnxn−1 . . . x0 , com x i ∈ S, i = 0, . . . , n. Ainda nesta mesma pa´gina: A justificativa da validade da representac¸a˜o acima se apoia no Teo- rema 7 que nos garante ser uma bijec¸a˜o a func¸a˜o Z+b −→ Z+ xn . . . x0 −→ c0 + · · · + cn · bn onde Z+b e´ o conjunto dos elementos da forma xn . . . x0 , com xn 6= 0 se n > 1 e onde para cada i, tem-se que c i e´ o inteiro correspondente ao s´ımbolo x i . Por exemplo vamos ver qual a escolha hipernatural para a representac¸a˜o decimal da frac¸a˜o 47200 . Inicialmente obtemos a expansa˜o de 47, assim: 47 = 4 · 101 + 7 · 100 Pelo teorema 7 esta expansa˜o e´ u´nica. Agora dividamos a equac¸a˜o anterior por 200, veja 47 200 = 4 · 101 + 7 · 100 2 · 102 ∗Hefez, Abramo. Curso de A´lgebra, Volume 1. Rio de Janeiro: IMPA - CNPq, 1993. 22 Vamos reescrever esta equac¸a˜o em conformidade com a se´rie D∗ ↔ [ 0, 1 [ .a1 a2 . . .↔ ∞∑ n=1 an 10n Enta˜o 47 200 = 4 · 101 2 · 102 + 7 · 100 2 · 102 Logo 47 200 = 2 10 + 6 2 · 102 + 1 2 · 102 · 5 5 Finalmente 47 200 = 2 10 + 3 102 + 5 103 ⇒ 47 200 = .235 Que coincide com a escolha do Prof. Djairo. Portanto, podemos con- cluir que o Teorema 7 nos fornece uma escolha natural, ao contra´rio do que o Prof. Elon afirma. Ademais, podemos concluir pelo teorema 7 que esta representac¸a˜o e´ u´nica, o que depo˜e contra as supostas ambiguidades. No caso da frac¸a˜o do Sun Hsien Ming 2 5 = 0, 4000 . . . = 0, 3999 . . . temos 2 = 2 · 100 Pelo teorema 7 esta expansa˜o e´ u´nica. Agora dividamos a equac¸a˜o anterior por 5, veja 2 5 = 2 · 100 5 Enta˜o 2 5 = 2 · 100 5 · 2 2 = 4 101 ⇒ 2 5 = 4 101 = .4 E esta representac¸a˜o e´ u´nica. Podemos denominar de “unicidade induzida”. Vejamos um fenoˆmeno interessante. Considere a “ambiguidade”: 2 10 + 3 102 + 5 103 = 47 200 = 2 10 + 3 102 + 4 103 + 9 104 + 9 105 + 9 106 + · · · 23 Multiplicando estas igualdades por 200, temos 2 · 102 ( 2 10 + 3 102 + 5 103 ) = 200 · 47 200 (1) Logo 4 · 10 + 6 + 1 = 200 ⇒ 47 = 4 · 10 + 7 Por outro lado 200 · 47 200 = 2 · 102 ( 2 10 + 3 102 + 4 103 + 9 104 + 9 105 + 9 106 + · · · ) resulta 47 = 4 · 10 + 6 + 8 101 + 18 102 + 18 103 + 18 104 + · · · No primeiro caso − equac¸a˜o (1) − voltamos “naturalmente” para a expansa˜o do inteiro 47, por isso dizemos que 2 10 + 3 102 + 5 103 = 47 200 ⇒ 47 200 = .235 e´ uma escolha natural. Como se veˆ, fundamentados no teorema 7 podemos exorcizar para sempre o fantasma das ambiguidades. Ademais, observe que a representac¸a˜o (codificac¸a˜o) de um inteiro esta´ fundamentada em uma bijec¸a˜o entre dois conjuntos Z+b −→ Z+ xn . . . x0 −→ c0 + · · · + cn · bn o conjunto dos inteiros e um conjunto de sequeˆncias, neste caso finitas. No caso dos nu´meros reais deve acontecer o mesmo, isto e´, a representac¸a˜o (codificac¸a˜o) deve estar fundamentada em uma bijec¸a˜o, e´ o que o Prof. Djairo faz. E´ para obter esta bijec¸a˜o que na figura da pa´gina 13 a escolha deve ser feita. Ao contra´rio da representac¸a˜o de um inteiro, no caso da representac¸a˜o de um nu´mero real temos duas alternativas. Nota Importante: Observe que a sequeˆncia xn . . . x0 e´ a representac¸a˜ode um nu´mero inteiro, e na˜o um nu´mero inteiro. 24 5 O Segundo Erro Grave E que nossas perspectivas, mesmo nas questo˜es de matema´tica ba´sica e mais aprofundada, se desloca, amiu´de, de maneira surpreendente e inesperada. (Gregory Chaitin/Metamat!) X ← 1 o ) Ambiguidades nas Representac¸o˜es Decimais; 2 o ) Representac¸o˜es decimais sa˜o nu´meros reais. No livro A Matema´tica do Ensino Me´dio (Vol. 1) 9a edic¸a˜o, pa´gina 69, o professor Elon escreve: (Grifo nosso) “Comecemos com o caso mais simples, que e´ tambe´m o mais intrigante. Trata-se da expressa˜o decimal, ou seja, do nu´mero real α = 0, 999 . . . = 9 10 + 9 100 + 9 1000 + · · · Afirmamos que α = 1.” Mais a` frente lemos: (p. 70/Grifo nosso) “A igualdade que 1 = 0, 999 . . . costuma causar perplexidade aos menos experientes. A u´nica maneira de dirimir o aparente aparadoxo e´ esclarecer que o s´ımbolo 0, 999 . . . na realidade significa o nu´mero cujos valores aproximados sa˜o 0, 9, 0, 99, 0, 999 etc. E, como vimos acima, esse e´ o nu´mero 1. Ademais, na refereˆncia∗ lemos: “[· · · ] voceˆ deve ter concluido que 0, 999 . . . = 1. Esse sinal de igual e´ igual mesmo! Na˜o se trata de aproximac¸a˜o: 0, 999 . . . e 1 sa˜o duas formas diferentes de representar o mesmo nu´mero”. (grifo nosso) Segundo entendo, os matema´ticos esta˜o considerando 0, 999 . . . igual ao nu´mero 1 (mesmo!). Ademais, existe um lo´gico (Prof. Adonai Sant’Anna/ UFPR) que tambe´m defende o mesmo, diz ele concordando com o Prof. Elon: “Lima tem raza˜o. A d´ızima 0, 999 . . . e´ apenas outra forma para representar o nu´mero real 1”. Precisamente neste ponto discordamos do prof. Elon e de (quase) to- dos os outros matema´ticos. Sendo mais expl´ıcito: ate´ prova em contra´rio, afirmamos que 0, 999 . . . na˜o e´ um nu´mero real. (p. 64) ∗Brolezzi, Antonio Carlos/Monteiro, Martha Salerno, Matema´tica: Nu´meros para queˆ? Universidade de Sa˜o Paulo, Publicac¸a˜o eletroˆnica. 25 Ora, como vimos, 0, 999 . . . e´ uma sequeˆncia e, a princ´ıpio, uma sequeˆncia na˜o e´ igual a um nu´mero. Sa˜o objetos de naturezas distintas. Observe onde cada um destes objetos mora: f˜ : D˜ → ] 0, 1 ] .a1 a2 . . .→ ∞∑ n=1 an 10n ↓ 0, 999 . . . ↓ 1 Desde este ponto de vista, so´ acrescentaremos que, quando se perde ta˜o completamente o sentido de uma notac¸a˜o, e´ muito fa´cil passar do uso leg´ıtimo e va´lido desta a um uso ileg´ıtimo, que ja´ na˜o corresponde efetivamente a nada, e que a`s vezes pode ser inclusive completamente ilo´gico; isto pode parecer bastante ex- traordina´rio quando se trata de uma cieˆncia como as matema´ticas, que deveria ter com a lo´gica lac¸os parti- cularmente estreitos, e, no entanto, e´ muito certo que se podem assinalar mu´ltiplos ilogismos nas noc¸o˜es matema´ticas tais como se consideram comumente em nossa e´poca. (Rene´ Gue´non (1886-1951)/Princ´ıpios do Ca´lculo Infinitesimal) onde D˜ e´ o subconjunto de D = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }∞ formado por decimais que na˜o teˆm todos os elementos iguais a 0, a partir de uma certa ordem. O verdadeiro sentido da “igualdade” 0, 999 . . . = 1 e´ este: f˜(0, 999 . . .) = 9 10 + 9 100 + 9 1000 + · · · = 1 0, 999 . . . = 1 e´ uma identidade oriunda desta bijec¸a˜o. Neste momento po- der´ıamos dar o assunto por encerrado, no entanto vamos continuar argu- mentando com o objetivo de lanc¸ar mais luz sobre a questa˜o, observa´-la de outras perspectivas. Uma representac¸a˜o decimal e´ uma codificac¸a˜o dos nu´meros reais por sequeˆncias − e´ o que nos diz a bijec¸a˜o f˜ −, segundo entendemos, tomar a identidade 0, 999 . . . = 1 como sendo literal e´ o mesmo que na Tabela ASCII (p. 16) tomar as codificac¸o˜es A = 01000001, 9 = 00111001, ∑ = 11100100 como sendo absolutas, o que e´, evidentemente, absurdo: uma letra e´ uma letra, uma sequeˆncia bina´ria e´ uma sequeˆncia bina´ria. Nota: Temos conscieˆncia de que os matema´ticos sabem do que estamos fa- lando, eles apenas “perderam ta˜o completamente o sentido de uma notac¸a˜o”, em consequeˆncia “e´ muito certo que se podem assinalar mu´ltiplos ilogismos nas noc¸o˜es matema´ticas tais como se consideram comumente em nossa e´poca”. 26 6 Adendo: Existe um pol´ıgono de infinitos lados? Operac¸o˜es no dom´ınio finito, quando estendidas ‘ate´ o infinito’ se esboroam. (O iconoclasta) Na refereˆncia [2] lemos: PA=princ´ıpio de Arquimedes. Ademais (e) a sequeˆncia {1/n} (onde n e´ um inteiro) tende a zero para n tendendo a ∞; Do ponto de vista intuitivo, a versa˜o (e) do PA reflete a ideia de que a sequeˆncia {1/n}, pensada como uma colec¸a˜o discreta de pontos da reta, pode “pular” para zero no infinito. Elaborei a seguinte versa˜o ana´loga: considere a sequeˆncia (αn) dada por αn = 1− 1 10n por exemplo: α1 = 0, 9; α2 = 0, 99; α3 = 0, 999 ; . . . ; αn = 0, 999 . . . 9 Temos lim n→∞ αn = 1 (2) Do ponto de vista intuitivo o limite (2) reflete a ideia de que a sequeˆncia (αn), pensada como uma colec¸a˜o discreta de pontos pode “pular” para 1 no infinito. Escrever o limite (2) da seguinte forma α ∞ = 0, 999 . . . = 1 e´ apenas, e ta˜o somente, uma notac¸a˜o. Para fins dida´ticos, fac¸amos uma analogia geome´trica (“visual”). Considere a sequeˆncia (pn) de pol´ıgonos . . . → . . . →p3 p4 p5 . . . p11. . . σ {pn} converge para o c´ırculo σ, isto e´, limn→∞ pn = σ. Observe a analogia lim n→∞ pn = σ lim n→∞ αn = 1 ⇒ p ∞ = pol´ıgono de infinitos lados = σ α ∞ = 0, 999 . . . = 1 Acontece que um pol´ıgono de infinitos lados na˜o faz sentido. Na˜o e´ rigoroso. Observe que n =∞ na˜o e´ um nu´mero natural. Considerar 0, 999 . . . (ou √ 2 = 1, 41421356237 . . .) como um nu´mero real e´ ta˜o “rigoroso” quanto um pol´ıgono de infinitos lados. Por opor- tuno, algum matema´tico consegue me provar que uma decimal infinita e´ um nu´mero real? 27 6.1 E´ meramente uma estenografia matema´tica No livro∗ lemos (p. 76): Vamos dividir o intervalo unita´rio em duas metades, a segunda metade novamente em duas partes iguais, a segunda metade destas em duas outras partes iguais, e assim por diante, ate´ que os menores intervalos assim obtidos tenham um comprimento de 2−n, onde n e´ escolhido arbitrariamente grande, por exemplo, n = 100, n = 100.000, ou qualquer nu´mero que quisermos. Enta˜o, adicionando os comprimentos de todos os intervalos exceto o u´ltimo, obtemos um comprimento igual a (3) sn = 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + · · · + 1 2n . Observamos que sn difere de 1 por ( 1 2) n, e que esta diferenc¸a torna-se ar- bitrariamente pequena, ou “tende a zero” a` medida que n aumenta inde- finidamente. Na˜o faz qualquer sentido afirmar que a diferenc¸a e´ zero se n for infinito. O infinito entra somente no procedimento sem fim e na˜o como uma quantidade efetiva. Descrevemos o comportamento de sn dizendo que a soma sn aproxima-se do limite 1 a` medida que n tende para o infinito, escrevendo (4) 1 = 1 2 + 1 22 + 1 23 + 1 24 + . . . , onde temos, a` direita, uma se´rie infinita. Esta “igualdade” na˜o significa que tenhamos efetivamente de adicionar infinitos termos; trata-se apenas de uma expressa˜o abreviada para o fato de que 1 e´ o limite da soma finita sn a` medida que n tende para o infinito (de forma alguma e´ infinito). As- sim, a igualdade (4) com seu s´ımbolo incompleto “+ . . .” e´ meramente uma estenografia matema´tica para a afirmac¸a˜o precisa 1 = limite a` medida que n tende para o infinito da quantidade (5) 1 = 1 2 + 1 22 + 1 23 + · · · + 1 2n . Adaptando ao nosso contexto: Temos 1 = 0, 999 . . . = 9 10 + 9 100 + 9 1000 + · · · (3) Esta “igualdade” na˜o significa que tenhamos efetivamente de adicionarinfinitos termos; trata-se apenas de uma expressa˜o abreviada para o fato de que 1 e´ o limite da soma finita αn = 1 − 110n a` medida que n tende para o infinito (de forma alguma e´ infinito). Assim, a igualdade (3) com seu s´ımbolo incompleto “+ . . .” e´ meramente uma estenografia matema´tica . . . Nota: A afirmac¸a˜o de Brolezzi (0, 999 . . . = 1, igual mesmo!, p. 25) contra- diz Courant. Aqui continua valendo a nota da pa´gina 26. ∗O Que e´ Matema´tica? (Richard Courant & Herbert Robbins), p. 5. 28 7 Salto arquimediano e ruptura epistemolo´gica Retomemos novamente as afirmac¸o˜es: (p. 25) “Comecemos com o caso mais simples, que e´ tambe´m o mais intri- gante. Trata-se da expressa˜o decimal, ou seja, do nu´mero real α = 0, 999 . . . = 9 10 + 9 100 + 9 1000 + · · · Afirmamos que α = 1.” Ademais, de um outro autor: “[· · · ] voceˆ deve ter concluido que 0, 999 . . . = 1. Esse sinal de igual e´ igual mesmo! Na˜o se trata de aproximac¸a˜o: 0, 999 . . . e 1 sa˜o duas formas diferentes de representar o mesmo nu´mero”. Nosso objetivo nesta sec¸a˜o sera´ visualizarmos geometricamente as im- plicac¸o˜es por por tra´s destas afirmac¸o˜es. Consideremos a sequeˆncia (αn) dada por αn = 1− 110n , veja: α1 = 0, 9; α2 = 0, 99; α3 = 0, 999 ; . . . ; αn = 0, 999 . . . 9 Aqui temos a velha questa˜o da passagem do infinito potencial ao infinito atual, veja: (n → ∞ significa n arbitrariamente grande) αn = 0, 999 . . . 9→ − Infinito potencial (n→∞) α ∞ = 0, 999 . . . − Infinito atual (n = ∞) Lembramos Richard Courant (p. 28): a igualdade α ∞ = 0, 999 . . . com seu s´ımbolo incompleto “. . . ” e´ meramente uma estenografia matema´tica. Adendo: Insisto: algum matema´tico conseguiria me provar que as repre- sentac¸o˜es decimais infinitas, tais como 0, 999 . . . ou √ 2 = 1, 41421356237 . . ., sa˜o nu´meros reais? Sugesta˜o: Pra comec¸ar defina multiplicac¸a˜o de decimais infinitas em se- guida prove que 1, 41421356237 . . . × 1, 41421356237 . . . = 2 Posso ser um pouco mais enfa´tico (acachapante): representac¸o˜es decimais infinitas na˜o sa˜o nu´meros reais e de nenhuma outra espe´cie. Com efeito, como vai-se considerar nu´meros s´ımbolos que sequer podem ser multiplica- dos? Ademais, veja cr´ıtica de Dedekind pa´gina 54. 29 Vamos plotar no intervalo [ 0, 1 ] alguns termos da sequeˆncia (αn) αn = 1− 1 10n ∴ α1 = 0, 9; α2 = 0, 99; α3 = 0, 999 ; . . . 0 1 s α1 s α2 s → y p1 2 − Salto arquimediano e ruptura epistemolo´gica Do ponto de vista intuitivo o limite lim n→∞ αn = 1 ⇒ α∞ = 0, 999 . . . = 1 reflete a ideia de que a sequeˆncia (αn), pensada como uma colec¸a˜o discreta de pontos pode “pular” para 1 no infinito. Substituindo n =∞ em αn = 1− 1 10n ⇒ α ∞ = 1− 1 10∞ ⇒ 1 10∞ = 0 Ou seja, realizamos algumas operac¸o˜es espu´rias∗ (proibidas) com o objetivo de mostrar a ilegitimidade de se considerar 0, 999 . . . = 1 (mesmo!). Nota: O sentido de 10∞ e´ o mesmo que comparece na se´rie: ∞∑ n=1 an 10n = a1 101 + a2 102 + a3 103 + · · ·+ a∞ 10∞ Ver p. 17, ver Rene´ Gue´non 26, ver Courant p. 28, ver Gauss p. 31. Salto arquimediano se refere a` passagem do infinito potencial ao infinito atual, quando enta˜o ocorre uma “ruptura espistemolo´gica” − em nosso contexto significa algo que a rigor e´ falso; de outro modo, se aplicarmos um “zoom lo´gico” encontraremos fissuras. αn = 0, 999 . . . 9→ − Infinito potencial (n→∞) α ∞ = 0, 999 . . . = 1− 1 10∞ − Infinito atual (n = ∞) ∗Pra comec¸ar n = ∞ na˜o e´ um nu´mero natural. Na˜o pode ser substitu´ıdo em α n . Lembramos Courant: n tende para o infinito (de forma alguma e´ infinito), p. 28. 30 7.1 Mais um exemplo de ruptura epistemolo´gica A propo´sito, atrave´s da conhecida identidade 1 12 + 1 22 + 1 32 + 1 42 + 1 52 + 1 62 + · · · = pi 2 6 (4) podemos exibir mais um exemplo de salto arquimediano e consequente ruptura epistemolo´gica. Com efeito, uma leitura apressada desta identidade afirma que a soma de infinitos racionais produz um irracional. Seja sn = 1 12 + 1 22 + 1 32 + · · ·+ 1 n2 Temos s1 = 1 12 s2 = 1 12 + 1 22 s3 = 1 12 + 1 22 + 1 32 · · · · · · · · · · · · · · · · · · Como um exemplo de ruptura epistemolo´gica afirmamos: o “u´ltimo ra- cional desta sequeˆncia e´ um nu´mero irracional”, isto e´: s ∞ = ∞∑ n=1 1 n2 = 1 12 + 1 22 + 1 32 + 1 42 + 1 52 + · · · + 1∞2 = pi2 6 Esta´ certo isto?. Na˜o foi sem raza˜o que o matema´tico Gauss afirmou∗ “Eu contesto o uso de um objeto infinito como um todo com- pleto; em matema´tica, essa operac¸a˜o e´ proibida; o infinito e´ so´ um modo de dizer”. O que concorda com Richard Courant: (para´frase) “Assim, a igualdade (4) com seu s´ımbolo incompleto “+ . . .” e´ mera- mente uma estenografia matema´tica . . . ” Escrevemos: “Operac¸o˜es no dom´ınio finito, quando estendidas ‘ate´ o infi- nito’ se esboroam.”, entram em colapso; isto equivale a` ruptura epistemolo´gica de Bachelard. Na identidade (4) e´ como se consegu´ıssemos atingir o transcen- dente por ‘passos racionais’, simplesmente ilo´gico. Infelizmente a perspicaz e acachapante observac¸a˜o de Rene´ Guenon (p. 26) ainda continua verdadeira em nossos dias . . . E´ precisamente isto que ocorre quando consideramos de- cimais infinitas (p. ex., 0, 999 . . . ou 0, 4999 . . . ou √ 2 = 1, 41421356237 . . .) como nu´meros reais e tentamos operar com elas . . . E´ proibido! ∗Scientific American, Edic¸a˜o Especial, No 15. As diferentes faces do infinito, 2006. 31 8 Os matema´ticos na˜o sabem o que e´ um nu´mero Vimos anteriormente que os matema´ticos levaram mais de 1600 anos para compreenderem os nu´meros negativos, para compreenderem os nu´meros complexos precisaram de bem menos tempo, “apenas” cerca de treˆs ou quatro se´culos. Novamente Euler Ja´ chamamos a atenc¸a˜o para o fato de que uma coisa e´ processar s´ımbolos, outra bem distinta e´ processar significado. Na citac¸a˜o a seguir temos mais uma comprovac¸a˜o da veracidade deste fato∗ A ambivaleˆncia dos matema´ticos do Se´culo XVIII em relac¸a˜o aos nu´meros complexos pode mais uma vez ser evidenciada em Euler. Apesar de seus trabalhos em que ensinava a operar com eles, afirma “Como todos os nu´meros conceb´ıveis sa˜o maiores ou menores do que zero ou iguais a zero, fica enta˜o claro que as ra´ızes quadradas de nu´meros negativos na˜o podem ser inclu´ıdas entre os nu´meros poss´ıveis [nu´meros reais]. E esta circunstaˆncia nos conduz ao conceito de tais nu´meros, os quais, por sua pro´pria natureza, sa˜o imposs´ıveis, e que sa˜o geral- mente chamados de nu´meros imagina´rios, pois existem somente na ima- ginac¸a˜o.” Observe que, na mente de Euler, “todos os nu´meros conceb´ıveis sa˜o maiores ou menores do que zero ou iguais a zero”; o que prova que Euler e, por extensa˜o os demais matema´ticos, na˜o havia ainda atinado com uma compreensa˜o necessa´ria (satisfato´ria) do conceito de nu´mero. O que e´ con- firmado pela citac¸a˜o a seguir Na˜o constituira´ enta˜o uma vergonha para a Cieˆncia estar ta˜o pouco elucidada acerca do seu ob- jeto mais pro´ximo, o qual deveria, aparentemente, ser ta˜o simples? Menos prova´vel ainda e´ que se seja capaz de dizer o que o nu´mero e´. Se um conceito que esta´ na base de uma grande cieˆncia oferece dificuldades, inves- tiga´-lo com mais precisa˜o com vista a ultrapassar essas dificuldades e´ bem uma tarefa inescapa´vel. (Frege/Os Fundamentos da Aritme´tica) Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848-1925) foi um matema´tico, lo´gico e filo´sofo alema˜o. Trabalhando na fronteira entre a filosofia e a matema´tica, Frege foi um dos principais criadores da lo´gica matema´ticamoderna. ∗Fonte: Carmo, Manfredo Perdiga˜o do, et alii, Trigonometria/Nu´meros complexos. Rio de Janeiro − IMPA/VITAE, 1992. 32 Mas Frege faleceu em 1925, e hoje, os matema´ticos sabem o que e´ um nu´mero? No artigo O que e´ um nu´mero? do Professor Adonai Sant’Anna (UFPR) ele escreve: “Na˜o existe, em matema´tica, uma definic¸a˜o universalmente aceita para esclarecer o que e´, afinal, um nu´mero.” Isto implica dizer que os matema´ticos ainda hoje na˜o sabem o que e´ nu´mero. Em particular o professor Elon na˜o sabe o que e´ um nu´mero. A propo´sito, os bio´logos tambe´m na˜o sabem o que e´ vida − se e´ que isto serve de algum consolo. 8.1 Com vista a ultrapassar essas dificuldades . . . Pouco a pouco, procuro liberar suavemente o esp´ırito dos alunos de seu apego a imagens privi- legiadas. Eu os encaminho para as vias da abs- trac¸a˜o, esforc¸ando-me para despertar o gosto pela abstrac¸a˜o. (Gaston Bachelard/A formac¸a˜o do esp´ırito cient´ıfico) Com vista a ultrapassar essas dificuldades a respeito do que seja um nu´mero vamos contribuir com algumas informac¸o˜es. Primeiro, um nu´mero na˜o e´ um objeto que se encontre na natureza − como grandes matema´ticos pensaram por se´culos∗ −, e tambe´m na˜o e´ ape- nas um s´ımbolo (“imagens privilegiadas”), tais como N = { 0, 1, 2, 3, . . . }. A inerente tendeˆncia humana a apegar-se ao “concreto”, conforme exemplificado pelos nu´meros naturais, foi responsa´vel por esta lentida˜o em dar um passo inevita´vel. Somente na esfera do abstrato um sistema satis- fato´rio de aritme´tica pode ser criado. (Richard Courant) “concreto”, por exemplo, veja Laplace, p. 7. Observe que o que caracte- riza (define) o jogo de xadrez na˜o sa˜o as pec¸as propriamente, mas sim as regras − o “software”, con- junto de instruc¸o˜es. ∗Como, por exemplo, Laplace, ver p. 7. 33 Suponhamos que desejamos jogar xadrez mas na˜o dispomos das pec¸as, apenas do tabuleiro. Na˜o ha´ o menor problema podemos substituir as pec¸as por cereais. feija˜o → Rei arroz → peo˜es milho → torres ... ... ... Por exemplo, um caroc¸o de feija˜o fara´ o papel de rei, os peo˜es sera˜o substi- tuidos por gra˜os de arroz, as torres por caroc¸os de milho, etc. Observe que e´ a estrutura (jogo, regras) que confere a identidade de um elemento: um mero caroc¸o de feija˜o de repente veˆ-se promovido a “rei” ao participar da estrutura xadrez. ≡ (equivalentes) ... ... ≡ Adendo: Estive refletindo melhor . . . afirmo − ate´ prova em contra´rio − que apenas a afirmac¸a˜o do Prof. Djairo (p. 17), qual seja: “De modo mais rigoroso, podemos proceder assim. Uma decimal e´ uma func¸a˜o [sequeˆncia] f : N→ { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }” e´ suficiente para refutar os “dois erros graves”. Enfatizamos: qualquer definic¸a˜o de representac¸a˜o decimal que comporte o mito das ambigbuidades esta´ errada, por ser inconsistente com essa definic¸a˜o do Prof. Djairo. 34 Retomando, de modo ana´logo acontece com o “jogo” nu´meros; por exem- plo, podemos “jogar o jogo dos naturais N” com estes s´ımbolos N = { 0, 1, 2, 3, 4, . . . } ou ate´ com os ideogramas chineses { { N= ... { 0 ... { 1 ... { 2 ... { 3 ... { 4 , , , , , . . . o que chamamos de nu´meros naturais vermelhos. A questa˜o e´: por que os ideogramas chineses sa˜o nu´meros naturais? A resposta e´: na˜o eram, entretanto, em 2015 publicamos um livro ([4]) no qual tornamos estes s´ımbolos nu´meros naturais, agora sa˜o. Os nu´meros naturais sa˜o caracterizados (definidos) pelo seguinte conjunto de regras: A1 ) (a+ b) + c = a+ (b+ c) A2 ) ∃ 0 ∈ N : a+ 0 = 0 + a = a A3 ) a+ b = b+ a M1 ) (a · b) · c = a · (b · c) M2 ) ∃ 1 ∈ N : a · 1 = 1 · a = a M3 ) a · b = b · a D) a · (b+ c) = a · b+ a · c • Ordenado PBO) : Princ´ıpio da Boa Ordem. (Manual Ba´sico) N Pois bem, para transformar os ideogramas chineses { { N= ... { 0 ... { 1 ... { 2 ... { 3 ... { 4 , , , , , . . . em nu´meros naturais tivemos que definir, entre estes s´ımbolos, duas operac¸o˜es − uma chamada de adic¸a˜o e outra de multiplicac¸a˜o − e provar todas as re- gras que definem os naturais, constantes no quadro amarelo acima. 35 A propo´sito, atrave´s da seguinte identificac¸a˜o 1 yang 0 yin 0 1 os ideogramas chineses transformam-se em sequeˆncias bina´rias, assim: 0 0 0 0 0 0 0 0 . . . = 0 10 0 0 0 0 0 0 . . . = 1 01 0 0 0 0 0 0 . . . = 2 11 0 0 0 0 0 0 . . . = 3 00 1 0 0 0 0 0 . . . = 4 10 1 0 0 0 0 0 . . . = 5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · { { N= ... { 0 ... { 1 ... { 2 ... { 3 ... { 4 , , , , , . . . O que chamamos de nu´meros naturais azuis N = { 0, 1, 2, 3, 4, . . . } Portanto, sequeˆncias bina´rias agora sa˜o nu´meros naturais. Ao leitor interessado na construc¸a˜o dos “nu´meros coloridos” consulte a refereˆncia [4]. Enfatizamos: Antes as sequeˆncias bina´rias eram consideradas apenas representac¸o˜es dos nu´meros naturais em base 2 (p. 22); agora cons- truimos sobre o conjunto das sequeˆncias bina´rias a estrutura de nu´meros naturais (quadro amarelo, p. 35); portanto, sequeˆncias bina´rias tornaram-se nu´meros naturais. Algo ana´logo deve acontecer com as expresso˜es decimais para que elas se tornem nu´meros reais. De passagem, observamos que com o modelo dos naturais azuis podemos realizar operac¸o˜es que na˜o sa˜o poss´ıveis de se definir com os “velhos natu- rais”. Por exemplo, dadas duas sequeˆncias bina´rias a operac¸a˜o de multi- plexac¸a˜o consiste em entrelac¸ar seus bits, assim: x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 . . . y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 . . . x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 . . . Nota: Uma sugesta˜o e´ utilizar a multiplexac¸a˜o em criptografia de dados. Podemos multiplexar um nu´mero arbitra´rio de sequeˆncias. 36 9 Um desafio aos matema´ticos Uma questa˜o que surge de imediato e´: se uma sequeˆncia bina´ria pode ser um nu´mero natural por que uma sequeˆncia decimal na˜o poderia ser um nu´mero real? Veja so´: o que caracteriza (define) os nu´meros reais e´ o quadro a seguir A1 ) (a+ b) + c = a+ (b+ c) A2 ) ∃ 0 ∈ R : a+ 0 = 0 + a = a A3 ) a+ b = b+ a A4 ) ∀ a ∈ R, ∃ − a ∈ R : a+ (−a) = 0 M1 ) (a · b) · c = a · (b · c) M2 ) ∃ 1 ∈ R : a · 1 = 1 · a = a M3 ) a · b = b · a M4 ) ∀ a ∈ R∗, ∃ a−1 ∈ R : a · a−1 = 1 D) a · (b+ c) = a · b+ a · c • Ordenado • Completo R Qualquer objeto (s´ımbolo) que possa ser manipulado segundo as regras desta estrutura, sera´ um nu´mero real! Em analogia com o xadrez dizemos que este e´ o “Manual Ba´sico” dos nu´meros reais. Pois bem, para que os s´ımbolos do professor Elon α = a0 , a1 a2 . . . an . . . se tornem nu´meros reais, ele deve definir entre os mesmos duas operac¸o˜es − uma chamada de adic¸a˜o e a outra de multiplicac¸a˜o − e provar que valem as propriedades do quadro acima. Ou ainda, implementar o quadro acima. ≡ • Afirmar que 0, 999 . . . = 1 (como nu´meros)e´ o mesmo que afirmar que um caroc¸o de feija˜o e´ um rei. Perguntamos, isso e´ verdade? 0, 999 . . . 1 37 9.1 Construc¸o˜es dos nu´meros reais “Euler concebe o nu´mero negativo como sendo uma letra precedida com o sinal − (menos)” . “Ora, isso na˜o faz sentido . . .Na˜o se estabelece um conceito a partir de uma notac¸a˜o”. ( Prof. Adonai Sant’Anna (UFPR) ) Na˜o e´ suficiente defininir o que seja uma sereia. Para que uma definic¸a˜o seja de alguma utilidade em matema´tica e´ necessa´rio exibirmos pelo ao memos um exemplar da coisa definida. Da´ı a necessidade da cons- truc¸a˜o dos sistemas nume´ricos, em particular dos nu´meros reais. (ver Brouwer, p. 42) Assumindo a existeˆncia dos nu´meros racionais (Q) existem duas cons- truc¸o˜es cla´ssicas dos nu´meros reais, a dos Cortes de Dedekind e a das Classesde Equivaleˆncias de Sequeˆncias de Cauchy, por Georg Cantor; os objetos (s´ımbolos, nu´meros reais) em cada uma dessas construc¸o˜es sa˜o distintos. Na construc¸a˜o de Dedekindo os nu´meros reais sa˜o certos subconjuntos de nu´meros racionais, chamados cortes. A t´ıtulo de curiosidade enfatizamos o fato de que √ 2 e´ apenas uma notac¸a˜o para o nu´mero real x que tem a propriedade de que x2 = 2. En- tretanto, a bem da verdade, o s´ımbolo da “verdadeira” raiz quadrada de 2 difere do s´ımbolo √ 2, tanto quanto um caroc¸o de feija˜o difere de um rei. ≡ (equivalentes no xadrez) Por exemplo, na construc¸a˜o do modelo dos reais pelo me´todo de Dede- kind (cortes de Dedekind), observe a “cara” da raiz quadrada de 2. √ 2 = { x ∈ Q : x < 0 ou x2 < 2} Geometricamente temos p0 p1 − 1 2 1 2 − 5 2 p2 p3 p4 . . . Qp−1p−2p−3p−4. . . p0 p1 − 1 2 1 2 − 5 2 ← √2p−1p−2p−3p−4. . . 38 Por exemplo, apenas por curiosidade, o triaˆngulo retaˆngulo com catetos unita´rios − Pita´goras na˜o sabia quanto media a diagonal de um quadrado unita´rio. d =? 1 1 Os dia´logos de Plata˜o mostram que (...) a comunidade ma- tema´tica grega fora assombrada por uma descoberta que praticamente demolia a base da fe´ pitago´rica nos inteiros. Tratava-se da descoberta que na pro´pria geometria os inteiros e suas razo˜es eram insuficientes para descrever mesmo simples propriedades ba´sicas. (BOYER) na construc¸a˜o de Dedekind fica assim: { x ∈ Q : x < 0 ou x 2 < 2 } {x ∈ Q : x < 1 } { x∈ Q : x < 1} − Dedekind mediu a diagonal de um quadrado unita´rio. Nota 1: Dedekind atrave´s de sua construc¸a˜o dos cortes conseguiu provar todas as propriedades dos reais, isto e´, implementou o quadro amarelo da pa´gina 37. O mesmo acontecendo com a construc¸a˜o de Georg Cantor. O que estamos insinuando e´: para que os s´ımbolos (expresso˜es decimais) do Prof. Elon sejam considerados nu´meros reais ele deve fazer o mesmo. Em resumo: construir sobre D uma estrutura de Corpo, ordenado, completo. Nota 2: Mais precisamente deve-se tomar D como definido por Aragona na pa´gina 21. 39 Pois bem, afirmamos que enquanto o “triaˆngulo de Dedekind” e´ va´lido matematicamente falando, por outro lado, o “triaˆngulo de Elon” − O triaˆngulo do Prof. Elon na˜o tem validade matema´tica, e´ espu´rio. 1, 41 42 13 56 23 7 . . . 1 1 na˜o tem validade matema´tica, uma vez que a representac¸a˜o decimal da raiz quadrada de dois na˜o e´ um nu´mero real. √ 2 = 1, 41421356237 . . .. Por exemplo, Dedekind consegue demonstrar que o seu triaˆngulo sa- tisfaz ao teorema de Pita´goras, o Prof. Elon conseguiria o mesmo? − sem praticar o “salto arquimediano”, ruptura epistemolo´gica. (p. 30) Nota: Estamos apenas tomando o Prof. Elon como um representante da classe de equivaleˆncia formada pelos matema´ticos que defendem que as re- presentac¸o˜es decimais sa˜o nu´meros reais − ou seja, quase todos os ma- tema´ticos. Resumindo, o Desafio que deixamos a todos os matema´ticos da classe de equivaleˆncia a que pertence o Prof. Elon e´: Construir os nu´meros reais a partir de sequeˆncias do conjunto das representac¸o˜es decimais D. Mais precisamente, definir sobre D duas operac¸o˜es − adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o − e implementar o quadro amarelo que consta na pa´gina 37. Lembramos que na pa´gina 24 observamos que a representac¸a˜o de um nu´mero inteiro na˜o e´ um nu´mero inteiro. Por que a representac¸a˜o de um nu´mero real deveria ser um nu´mero real? − a menos que se prove, claro. Nota 1: Procuramos na internet a construc¸a˜o dos reais via representac¸o˜es decimais, na˜o encontramos − apenas promessas. Caso algum leitor conhec¸a essa construc¸a˜o me envie por favor, se isto acontecer metade deste artigo tera´ que ir para a lixeira. Enquanto isto na˜o acontecer meus argumentos estara˜o de pe´. Em resumo: representac¸o˜es decimais na˜o sa˜o nu´meros reais. Nota 2: No livro do Aragona lemos: (p. 83/Grifo nosso) “Neste para´grafo vamos introduzir os nu´meros decimais que va˜o se cons- tituir na melhor aproximac¸a˜o, para fins pra´ticos, dos nu´meros reais.” Achamos a denominac¸a˜o “nu´meros decimais” apropriada, pois nos per- mite diferencia´-los de “nu´meros reais”. Ver Desafio. 40 9.2 Mais um exemplo de ruptura epistemolo´gica A propo´sito, em igualdades tais como √ 2 = 1, 41421356237 . . . (5) temos exemplos de saltos arquimedianos e rupturas epistemolo´gicas. Por opor- tuno em um outro trabalho do Prof. Jose´ Carlos Cifuentes lemos∗ Ainda, no caso das sequeˆncias, a aceitac¸a˜o da “existeˆncia” de uma sequeˆncia infinita como coisa terminada, e´ tambe´m resultado de um re- curso de simplicidade como o e´ a aceitac¸a˜o do infinito em ato. O esta- tuto ontolo´gico dos nu´meros irracionais baseia-se nisso, por exemplo, o nu´mero irracional √ 2 so´ existe na medida em que sua expressa˜o decimal for admitida completa e terminada na sua infinitude. (p. 13) Vale a pena lembrar Gauss novamente: “Eu contesto o uso de um objeto infinito como um todo com- pleto; em matema´tica, essa operac¸a˜o e´ proibida; o infinito e´ so´ um modo de dizer”. O que concorda com Richard Courant: “Assim, a igualdade (5) com seu s´ımbolo incompleto “. . .” e´ meramente uma estenografia matema´tica . . . ” √ 2 = ( 2 · 2 1 · 3 )( 6 · 6 5 · 7 )( 10 · 10 9 · 11 ) · · · − No triaˆngulo do Prof. Elon na˜o se demonstra o teorema de Pita´goras. 1, 41 42 13 56 23 7 . . . 1 1 ∗O MITO DA ANA´LISE REAL: CONTRIBUIC¸O˜ES PARA A FORMAC¸A˜O CON- CEITUAL DO PROFESSOR DE MATEMA´TICA SOBRE OS NU´MEROS REAIS E A ANA´LISE MATEMA´TICA 41 Para finalizar, uma observac¸a˜o: na˜o obstante as pec¸as do xadrez serem arbitra´rias ... ... ≡ na˜o dizemos que existem diversos jogos de xadrez, na˜o, existe apenas um; de modo ana´logo na˜o dizemos que existem va´rios conjuntos de nu´meros reais (ou naturais, etc.), na˜o, existe apenas um; embora as pec¸as possam ser de diversos “formatos”. − Dizemos que todos os poss´ıveis modelos sa˜o Isomorfos, pois todos implementam o “manual ba´sico”. Consideramos a citac¸a˜o a seguir uma das mais relevantes em matema´tica Brouwer∗ tem como norma que toda definic¸a˜o seja construtiva, isto e´, indique a maneira de obter os objetos definidos. [. . . ] Deste modo o intuicionismo afirma-se como uma forma de construtivismo de objetos matema´ticos, onde a existeˆncia destes somente e´ poss´ıvel se for indicado um racioc´ınio mental que efetivamente nos permita aceder a eles. Portanto, o intuicionismo e´ tambe´m uma forma de anti-realismo. (Publicac¸a˜o eletroˆnica) Na˜o e´ suficiente defininir o que seja uma sereia. Para que uma definic¸a˜o seja de alguma utilidade em matema´tica e´ necessa´rio exibirmos pelo ao memos um exemplar da coisa definida. Da´ı a necessidade da cons- truc¸a˜o dos sistemas nume´ricos, em particular dos nu´meros reais. “Na˜o e´ dif´ıcil “definir” uma estrutura alge´brica por um conjunto de axiomas de tal forma que na˜o exista nenhum exemplo da tal estrutura.” (Jorge Aragona/Nu´meros Reais/p. 127) ∗L.E.J. Brouwer (1881-1966), matema´tico holandeˆs, um dos expoentes da escola de pensamento intuicionista − uma derivac¸a˜o dos construtivistas, que defendem que os obje- tos matema´ticos devem ser constru´ıdos, e na˜o meramente assumidos como existentes. Em contraposic¸a˜o aos realistas. 42 10 A me´trica quaˆntica Esta secc¸a˜o e´ para aqueles que ja´ estudaram a teoria dos espac¸os me´tricos na graduac¸a˜o de matema´tica. Para quem e´ autodidata e pretende conhecer esta teoria recomendamos o livro [3], e´ neste livro que encontra-se desenvol- vido mais detalhadamente o tema desta secc¸a˜o. Enta˜o, provaremos que 0, 999 . . . = 0 na˜o, na˜o trata-se de um erro de digitac¸a˜o, e´ isto mesmo leitor!. Consideremoso intervalo unita´rio [ 0, 1 [ e a seguinte aplicac¸a˜o k : [ 0, 1 [× [ 0, 1 [−→ R definida por: k(x, y) = min {|x− y|, 1− |x− y|}. Podemos provar (exerc´ıcio) que k e´ uma me´trica (distaˆncia) em [ 0, 1 [ . Como funciona a me´trica quaˆntica? Funciona de modo bem simples, na˜o e´ necessa´rio nenhum manual de instruc¸a˜o, veja: dados dois pontos x e y, ambos no intervalo [ 0, 1 [, entre chaves obteremos dois valores, escolhemos o menor deles como sendo a distaˆncia entre os pontos x e y. Por exemplo k(0; 0, 4) = min {|0− 0, 4|, 1− |0− 0, 4|} = min{0, 4; 0, 6} = 0, 4 k(0; 0, 6) = min {|0− 0, 6|, 1− |0− 0, 6|} = min{0, 6; 0, 4} = 0, 4 k(0; 0, 8) = min {|0− 0, 8|, 1− |0− 0, 8|} = min{0, 8; 0, 2} = 0, 2 Observe a localizac¸a˜o geome´trica destes pontos: q 0 12 1 t t t 0, 4 0, 6 0, 8տ Origem Por oportuno, observe que k (0; 0, 4) = k (0; 0, 6) > k (0; 0, 8). E´ isto mesmo que o leitor testemunha!: os dois primeiros pontos (0, 4 e 0, 6) esta˜o a uma mesma distaˆncia da origem, e, como se na˜o bastasse, o terceiro ponto (0, 8) esta´ mais pro´ximo da origem que os dois primeiros . . . pasme´m! Quando o esp´ırito se apresenta a` cultura cient´ıfica, nunca e´ jovem. Alia´s e´ bem velho, porque tem a idade de seus preconceitos. Aceder a` cieˆncia e´ rejuvenescer espiritualmente, e´ aceitar uma brus- ca mutac¸a˜o que contradiz o passado. (Gaston Bachelard/grifo nosso) 43 Pois bem, consideremos a sequeˆncia (αn) dada por αn = 1− 1 10n Por exemplo: α1 = 0, 9; α2 = 0, 99; α3 = 0, 999 ; . . . ; αn = 0, 999 . . . 9 Provaremos que lim n→∞ αn = 0 (6) Com efeito, utilizando k(x, y) = min {|x− y|, 1− |x− y|} temos k(αn , 0) = min {|αn − 0|, 1− |αn − 0|} isto e´ k(αn , 0) = min { 1− 1 10n , 1− ( 1− 1 10n )} logo k(αn , 0) = 1 10n → 0 Isto prova (6). Observe que lim n→∞ αn = 0 ⇒ α∞ = 0, 999 . . . = 0 Utilizando os mesmos argumentos que Richard Courant, p. 28. No livro do Prof. Elon citado na pa´gina 25 ele prova que lim n→∞ αn = 1 ⇒ α∞ = 0, 999 . . . = 1 E conclui que o nu´mero real 0, 999 . . . e´ igual a 1. Apenas pergunto: das considerac¸o˜es acima por que na˜o posso concluir que “o nu´mero real” 0, 999 . . . e´ igual a 0 ?. Lembramos o outro autor (Brolezzi): “[· · · ] voceˆ deve ter concluido que 0, 999 . . . = 1. Esse sinal de igual e´ igual mesmo! Na˜o se trata de aproximac¸a˜o: 0, 999 . . . e 1 sa˜o duas formas diferentes de representar o mesmo nu´mero”. Se fosse assim eu poderia afirmar: “[· · · ] voceˆ deve ter concluido que 0, 999 . . . = 0. Esse sinal de igual e´ igual mesmo! Na˜o se trata de aproximac¸a˜o: 0, 999 . . . e 0 sa˜o duas formas diferentes de representar o mesmo nu´mero”. E agora? como estes matema´ticos resolveriam esse impasse? 44 10.1 Descubra onde se encontra o erro “Na˜o ha´ mais, para os teoremas, verdade separada e, por assim dizer, atoˆmica: sua verdade e´ apenas sua integrac¸a˜o no sistema; e e´ por isso que teoremas incompat´ıveis entre si podem ser igualmente verdadeiros, contanto que os relacionemos com sistemas diferentes.” (Curso Moderno de Filosofia/Por Denis Huisman e Andre´ Vergez) Inicialmente observe que em nosso universo [ 0, 1 [ na˜o esta˜o definidas operac¸o˜es aritme´ticas − adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o −, raza˜o porque na˜o pode- mos sair operando a esmo. Entretanto, observando que se 0 ≤ x < 1 e 0 ≤ y < 1 ⇒ 0 ≤ x · y < 1 significa que a operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o (usual): · : [ 0, 1 [× [ 0, 1 [−→ [ 0, 1 [ em nosso universo e´ uma operac¸a˜o perfeitamente l´ıcita. Consideremos a seguinte sequeˆncia de somas parciais 0, 1; 0, 11; 0, 111; . . . , βn , . . . a expressa˜o de βn e´ dada por βn = 1 9 · (1− 1 10n ) Esta sequeˆncia converge para 1/9, tanto na me´trica usual quanto na me´trica quaˆntica. Sendo assim, temos: 0, 111 . . . = 1 10 + 1 100 + 1 10n + · · · = 1 9 . (7) Consideremos a identidade demonstrada anteriormente 0, 999 . . . = 0 Multiplicando esta equac¸a˜o por 1/9, resulta 1 9 · 0, 999 . . . = 1 9 · 0 ⇒ 0, 111 . . . = 0 Comparando com (7) concluimos que 19 = 0, donde 1 = 0. Onde encontra-se o erro? − e´ o t´ıtulo desta (sub)secc¸a˜o. 45 10.2 Algumas patologias quaˆnticas Tudo isso, que a` primeira vista parece excesso de irraza˜o, na ver- dade e´ o efeito da finura e da extensa˜o do esp´ırito humano e o me´todo para encontrar verdades ate´ enta˜o desconhecidas. (Voltaire) Com a me´trica quaˆntica obtive alguns resultados bizarros∗ e interessantes (relevantes), creio que ine´ditos na literatura matema´tica, raza˜o porque decidi incluir aqui um resumo, para os detalhes − e outras aplicac¸o˜es − veja nosso livro citado na refereˆncia [3]. Os resultados a seguir valem no Universo (espac¸o me´trico) ( [ 0, 1 [, k ) . Ao mesmo tempo que deixamos como exerc´ıcio, a quem interessar possa. 1 o ) Seja M = [ 0, 1 [, seja X = [ 12 , 1 [⊂M e seja p = 0 ∈M . Veja M 0 1 s 0 1 2 1 X A distaˆncia do ponto p = 0 ao subconjunto X e´ zero. 2 o ) Seja M = [ 0, 1 [, considere X = [ 0, 13 ] e Y = [ 2 3 , 1 [ . M 0 1 0 1 3 2 3 1X Y A distaˆncia de X a Y e´ zero. 3 o ) Mostre que a aplicac¸a˜o k : [ 0, 1/2 [× [ 0, 1/2 [ −→ R, dada por k(x, y) = min { |x− y|, 1/2− |x− y|} e´ uma me´trica sobre [ 0, 1/2 [ . Ademais, prove que: 0,4999. . . =0. ∗ Patologia na matema´tica tem sentido diferente da medicina, significa um resultado contraintuitivo, que, na˜o raro, agride o senso comum. 46 Um objeto em va´rios lugares ao mesmo tempo 4 o ) Necessitaremos de uma definic¸a˜o: Diremos que um objeto p (um ponto) encontra-se em uma regia˜o R con- tida em um universo∗, se e so´ se sua distaˆncia para essa regia˜o for nula. Consideremos no quadrado da esquerda [ 0, 1 [ 2 0 1 1 0 1 3 2 3 1 1 3 2 3 1 s R1 R2 R3R4 a origem juntamente com as quatro regio˜es em destaque na figura da direita. Afirmamos que a origem encontra-se em todas essas quatro regio˜es. E mais: a distaˆncia da origem para essas regio˜es e´ nula em qualquer das me´tricas produto. 5 o ) Existe uma Curva de Peano no quadrado acima, com propriedades to- polo´gicas totalmente distintas da curva original de Peano − Por exemplo, veja o ı´tem 7 o ) a seguir. Creio que com essa curva o pro´prio Peano jamais sonhou. 6 o ) Considere a seguinte sequeˆncia de pontos do intervalo [ 0, 1 [ : (xn) = ( n n+ 1 ) = ( 1 2 , 2 3 , 3 4 , . . . ) s r r r r r r r rrr 0 r 11 2 2 3 3 4 4 5 . . . → Essa sequeˆncia converge para zero. Em s´ımbolos lim n→∞ ( 1 1 + 1n ) = 0 7 o ) 0, 999 . . . = 9 10 + 9 102 + 9 103 + · · · = 0 ∗Para os nossos propo´sitos sera´ suficiente considerar como universo o hipercubo [ 0, 1 [n. Ou seja o cubo unita´rio em qualquer dimensa˜o: Intervalo, quadrado, cubo, etc. 47 8 o ) As quatro sequeˆncias dadas a seguir xn = ( 1 n+1 , 1− 1 n+1 ) → zn = ( 1 n+1 , 1 n+1 ) → ← tn = ( 1− 1 n+1 , 1− 1 n+1 ) ← yn = ( 1− 1 n+1 , 1 n+1 ) 0 1 1 r r r r r x2 x3 r r r r y2 y3 r r r r z2 z3 r r r r t2 t3 pertencem todas a`s diagonais do quadrado unita´rio [ 0, 1 [×[ 0, 1 [. O centro do quadrado ( 1 2 , 1 2 ) e´ o primeiro termo de todas elas. Estas quatro sequeˆncias convergem para a origem. 9 o ) A func¸a˜o f : ([ 0, 1 ], µ) −→ ([ 0, 1 [, k) dada por f(x) = 1 6 (1− 2x), se 0 ≤ x ≤ 12 ; 1 6 (7− 2x), se 12 < x ≤ 1. cujo gra´fico esta´ plotado a seguir x f(x) p p p p p p p p 0 1 2 1 1 6 3 6 5 6 1 ◦ e´ cont´ınua em todos os pontos do seu domı´nio. Nota: µ e´ a me´trica usual,
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