Livro - Calculo Diferencial e Integral I

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CÁLCULO DIFERENCIAL 
E INTEGRAL I
Faculdade Educacional da Lapa (Organização)
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Curitiba
2015
Calculo 
Diferencial e 
Integral I
á
Faculdade Educacional da Lapa (Organização)
Ficha Catalográfica elaborada pela Fael. Bibliotecária – Cassiana Souza CRB9/1501
C144 Cálculo diferencial e integral / Organização da Faculdade
Educacional da Lapa. - Curitiba: Fael, 2015 
160 p.: il.
ISBN 978-85-60531-48-6
1. Cálculo 2. Diferencial (Matemática) 3. Integral (Matemática) I. 
Faculdade Educacional da Lapa
CDD 515.33 
Direitos desta edição reservados à Fael.
É proibida a reprodução total ou parcial desta obra sem autorização expressa da Fael.
FAEL
Direção Acadêmica Francisco Carlos Sardo
Coordenação Editorial Raquel Andrade Lorenz
Revisão e organização Maria Eugênia de Carvalho e Silva
Projeto Gráfico Sandro Niemicz
Capa Vitor Bernardo Backes Lopes
Imagem da Capa Shutterstock.com/Vasilius
Arte-Final Evelyn Caroline dos Santos Betim
Apresentação
Os conceitos de Cálculo Diferencial e Integral foram desen-
volvidos no século XVII, para resolver problemas da Física. Apesar 
disso, como as funções matemáticas são usadas para modelar pro-
blemas de vários campos do conhecimento, o Cálculo tem aplicação 
em muitas outras áreas, por causa do próprio significado da derivada 
como taxa de variação. Isso ocorre porque, em muitos problemas, a 
relação entre as variáveis é descrita de maneira mais adequada através 
da taxa de variação de uma variável em relação à outra.
Este livro explora a necessidade e a utilidade de se aprender 
matemática, especialmente o cálculo diferencial e integral, em todo o 
texto, com problemas contextualizados e aplicações em várias áreas.
Os conceitos de limites e continuidade são apresentados de 
modo intuitivo e claro, através da análise do domínio e do gráfico 
da função e seu comportamento. Apesar disso, o livro aborda estes 
conceitos com o rigor matemático necessário, através de teoremas e 
definições. De maneira não rigorosa, funções contínuas são aquelas 
que podem ser desenhadas sem que se tire o lápis do papel. É impor-
– 4 –
Cálculo Diferencial e Integral I
tante saber se uma função é contínua em determinado ponto, principalmente 
quando está envolvida em uma aplicação.
A derivada é uma das mais importantes ferramentas da matemática, indis-
pensável para a resolução de problemas não triviais de várias áreas profissionais. 
O conceito de derivada é introduzido através da análise da inclinação da reta 
tangente em um ponto, levando o aluno a construir os conceitos de forma 
gradual e satisfatória. Os exercícios foram desenvolvidos para que o aluno possa 
dominar o uso das regras práticas de derivação e suas propriedades. São apre-
sentadas aplicações de derivadas, especialmente em problemas de otimização, 
em várias áreas.
A integral é apresentada como a operação inversa da diferencial. É repre-
sentada pela letra S alongada, usada para lembrar que estamos lidando com o 
limite de uma sequência de somas. As fórmulas básicas de integração podem 
ser obtidas a partir das regras de derivação, já estudadas. São vistas algumas téc-
nicas de integração, como integração por substituição ou mudança de variável, 
integração por partes, integração por substituição trigonométrica e integração 
por frações parciais.
Dentre as várias aplicações, está o cálculo de áreas de superfícies que 
não poderiam ser obtidas apenas através das fórmulas da geometria plana. 
O cálculo de áreas não se restringe a problemas geométricos, pois muitos 
problemas de outras áreas podem ser resolvidos a partir da representação 
gráfica da área de uma superfície, como na economia, ao se calcular o lucro 
total, por exemplo. 
Através da integral definida, também se pode calcular o volume de sóli-
dos de revolução, obtidos quando uma superfície gira ao redor de um eixo. 
Os conhecimentos adquiridos permitem, através da modelagem mate-
mática, resolver problemas de várias áreas, como engenharias, economia, 
física, biologia, medicina e outras. 
Professora Maria Eugênia de Carvalho e Silva
Sumário
 Apresentação | 3
1 Estudos de Limites | 7
2 Formas indeterminadas e limites no infinito | 23
3 A diferencial | 47
4 Regras básicas para diferenciação | 59
5 Determinação da monotocidade de uma função 
através do teorema do valor médio | 69
6 Ponto de inflexão e concavidade de uma função | 81
7 Aplicações de derivadas | 89
8 Definição de integral | 95
9 Integração por substituição e por partes | 105
10 Integração de potências da função seno e cosseno | 113
11 Cálculos de áreas | 121 
– 6 –
Cálculo Diferencial e Integral I
12 Integração por substituição trigonométrica | 133
13 Integração por frações parciais I e II | 143
14 Volume de sólidos de revolução e aplicação de integrais à física | 151
 Referências | 159
1
Na atualidade, o desenvolvimento científico e tecnológico nos 
remete, cada vez mais, a conhecimentos de conceitos matemáticos 
que se consorciam com teorias paralelas de outras áreas correlatas.
O conhecimento e os conceitos das teorias clássicas do cálculo 
diferencial e integral servem como ferramentas indispensáveis à evo-
lução da ciência no mundo contemporâneo. São amplamente difun-
didos e usados em física, química, engenharia, economia, e, em espe-
cial, na área das novas tecnologias da informática e da comunicação.
Estudos de Limites
– 8 –
Cálculo Diferencial e Integral I
Visivelmente, as necessidades dos conhecimentos matemáticos crescem 
conjuntamente com a demanda tecnológica e educacional, consolidando o 
trânsito em disciplinas subsequentes da estrutura curricular para ampliar e con-
solidar o campo da visão matemática.
1.1 Definição Indutiva de Limite
Seja uma função f definida pela equação
22x 5x 3 (2x 1) (x 3)
f (x)
x 3 x 3
− − + ⋅ −
= =
− −
Dividindo o numerador e o denominador por x- 3, resulta na expressão
f (x) = 2x + 1, para x ≠ 3
Vamos verificar o comportamento da função, à direita e à esquerda, pró-
ximo ao ponto x = 3.
À direita:
x 3,5 3,2 3,1 3,01 3,001
f (x) = 2x + 1, x≠3 8,0 7,4 7,2 7,02 7,002
À esquerda:
x 2,5 2,7 2,9 2,99 2,999
f (x) = 2x + 1, x≠3 6,0 6,4 6,8 6,98 6,998
Concluímos que quanto mais o valor de x se aproxima de 3, tanto mais 
o valor da f(x) se aproxima de 7; essa observação vale para valores de x, à 
direita ou a esquerda de x = 3.
Nas duas tabelas, tomando valores para x de 2,99 e 3,01, observamos 
que os valores para f(x) correspondem, respectivamente, a 6,98 e 7,02, dis-
tando de ± 0,02 de 7.
Então, f (x) 7 0,02 quando 0 x 3 0,01− < < − <
– 9 –
Estudos de Limites
Essa condição 0 x 3< − nos leva a uma análise nos valores de f ( x ) nas 
proximidades de 7, ou seja, para valores extremamente próximos de x = 3, e 
isso pode ser melhor demonstrado pela figura 1 a seguir.
Figura 1: Gráfico da função 
− −
=
22x 5x 3
f(x)
x -3
�
�
Assim, podemos então concluir que não interessa o comportamento da 
função no ponto a; no caso x = 3, temos que:
x 3
lim 2x 1 7
→
+ =
1.2 Definição Formal de Limite
Seja f uma função definida em todos os pontos de um intervalo aberto 
contendo a, com exceção do próprio ponto a. O limite de f(x) quando x se 
aproxima de a é L , expresso por x aLim f (x) L→ = , para todo número positivo ε, 
exista um número positivo δ tal que ( )f x L− < ε para todo 0 x a< − <δ .
– 10 –
Cálculo Diferencial e Integral I
Figura 2: Gráfico representando a definição formal de limite
x
y
L
a
Logo, temos que:
x a
lim f (x) L 0, 0, tal que : 0 x a f (x) L
→
= ⇔∀ε > ∃δ > < − < δ⇒ − < ε
Exemplo 1
Tomando como exemplo a função f(x) = 2x + 1 já estudada anterior-
mente, podemos determinar um valor para δ > 0 para o valor dado de ε, 
utilizando a definição formal de limites:
x 3
lim (2x 1) 7
→
+ = ε = 0,002
Pela definição temos que:
f (3x 4) L , com, 0,002 e L 7+ − < ε ε = =
⇓
Assim: f (x) 70,002− < ⇒
Obs : Pela definição módulo, temos que :
0,002 f (x) 7 0,002
x a, se somente se, a x a, log o:
6,998 f (x) 7,002

− < − <
 < − < <
 < <
– 11 –
Estudos de Limites
Como f(x) = 2x +1, podemos determinar o valor de δ através de:
6,998 2x 1 7,002
5,998 2x 6,002
2,999 x 3,001
< + <
< <
< <
Assim, se x → 3 e x está compreendido no intervalo 2,999 < x < 3,001 
podemos afirmar que δ = 0,001
1.3 Teoremas Fundamentais
Para facilitar alguns cálculos envolvendo os conceitos de limites, pode-
mos utilizar alguns teoremas, demonstrados a seguir.
Teorema 1
Se m e c são constantes quaisquer,
x a
Lim (mx c) ma c
→
+ = +
Exemplo: 
x 2
Lim (3x 4) 3 2 4 10
→
+ = ⋅ + =
Teorema 2
Se c é uma constante, então para qualquer número a,
x a
Lim c c
→
=
Exemplo: 
x 2
Lim 17 17
→
=
Teorema 3
x a
Lim x a
→
=
Exemplo: 
x 5
Lim x 5
→
=
Teorema 4
x a x a
Lim f (x) L e Lim g(x) Q , então
→ →
= =
[ ]
x a
Lim f (x) g(x) L Q
→
+ = +
– 12 –
Cálculo Diferencial e Integral I
Exemplo: 
x 3 x 3 x 3
Lim (3x 7) Lim 3x Lim 7 3 3 7 2
→ → →
− = − = ⋅ − =
Teorema 5
1 1 2 2 n nx a x a x a
Se Lim f (x) L , Lim f (x) L ,......., Lim f (x) L então
→ → →
= = =
1 2 n 1 2 nx a
Lim [f (x) f (x) .....f (x)] L L ..... L
→
± ± = ± ± ±
Teorema 6
x a x a
Lim f (x) L e Lim g(x) Q , então
→ →
= =
x a x a
Lim f (x) Lim (x) L Q
→ →
⋅ = ⋅
Exemplo: 
x 3 x 1
Lim(3x 7) 2 e Lim x 8 7
→ →
− = − = −
 x 1x 3
Lim (3x 7) Lim x 8 2 ( 7) 14
→→
− ⋅ − = ⋅ − = −
Teorema 7
1 1 2 2 n nx a x a x a
Se Lim f (x) L , Lim f (x) L ,......., Lim f (x) L , então,
→ → →
= = =
1 2 n 1 2 nx a
Lim [f (x) f (x) ..... f (x)] L L ..... L
→
⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅
Teorema 8
x a
Se Lim f (x) L, e "n" é um número inteiro positivo, então
→
=
n n
x a
Lim[f (x)] L
→
=
Exemplo: [ ]
3
33
x 2 x 2
Lim(x 3) Lim(x 3) 5 125
→ →
 + = + = = 
Teorema 9
x a x a
Lim f (x) L e Lim g(x) Q , então
→ →
= =
– 13 –
Estudos de Limites
x a
f (x) L
Lim se, Q 0
g(x) Q→
= ≠
x 4 x 4
Lim (3x 7) 5 e Lim x 8 4
→ →
− = − = −
x 4
x 4
x 4
Lim (3x 7) (3x 7) 5 5
Lim
Lim (x 8) (x 8) 4 4
→
→
→
− −
= = = −
− − −
Teorema 10
x a
Lim f (x) L, então,
→
=
nn
x a
Lim f (x) L Se L 0 e n , ou se L 0 e n e ímpar.∗ ∗
→
= ≥ ∈Ν ≤ ∈Ν
Exemplo: 3 3
3 3x 3 x 3
64 64 4
Lim Lim
x x 3→ →
= =
Esses teoremas explicam detalhadamente o processo do cálculo dos limites. 
Podemos, agora, calcular, de maneira mais objetiva, os limites, fazendo 
uma simples substituição do valor da tendência na variável da função.
Exemplos
22
x 3
3 4 3 5x 4x 5 2 1 1 3 3 3
1. lim
3x 3 3 3 3 6 3 33 3 9→
− ⋅ +− +
= = = = ⋅ = =
− ⋅ −
3 2 3 2
x 3
2. lim (2x x 13) (2 3 3 13) 32
→
− − = ⋅ − − =
2
x 4
3. lim 4x 64
→−
=
1.4 Limites Laterais
Verificaremos, agora, o comportamento das funções quando analisadas 
e estudadas, e poderemos, assim, encontrar inúmeras conclusões, visto que, 
em nosso curso, necessitamos avaliar algebricamente e graficamente o com-
– 14 –
Cálculo Diferencial e Integral I
portamento das funções para entendermos o problema dos limites laterais na 
continuidade de funções, abordaremos mais adiante, nesta aula.
Assim, seja uma função f, cujo limite está assim definido: 
x a
lim f (x)
→
, 
estamos interessados em analisar o valor de x em todo o intervalo aberto que 
contém a, mas não o próprio a.
Assim, uma f (x) x 2= − não existe para x < 2 e f não está definida 
para nenhum intervalo aberto contendo 2. Logo, 
x 2
lim x 2
→
− não tem 
significado.
Porém, se x estiver definido para valores maiores que 2, a expressão 
x 2− passa a ter significado. Agora com essas colocações, vamos falar em 
limite lateral a direita de 2.
Definição
Seja f uma função definida em todo um intervalo aberto (a,c). Então, o 
limite de f(x) quando x tende a a pela direita é L, e escrevemos
x a
lim L
+→
=
 
se para todo ε> 0, existir um δ > 0 tal que Se 0 < x – a < δ, então 
f (x) L− < ε
.
Analogamente, podemos considerar na existência de um limite lateral à 
esquerda de a onde a função não esteja definida para valores de x à direita de a.
Diante disso, seja f uma função definida em todo um intervalo aberto 
(a,c). Então, o limite de f (x) quando x tende a a pela esquerda é L, e escreve-
mos ( )
x a
Lim f x L
−→
= se para todo ε> 0, existir um δ> 0 tal que Se 0 < a – x < 
δ então
 
f (x) L− < ε
.
Exemplo 2:
 
 
1 se x 0
f (X) 0 se x 0
1 se x 0
− <
= =
 >
– 15 –
Estudos de Limites
Gráfico
y
x
1
–1
Solução
x 0 x 0 x 0 x 0
lim f (x) lim 1 1 e lim f (x) lim 1 1
1 1
+ + − −→ → → →
= = = − = −
= = −
1.5 Teorema da Unicidade do Limite
Seja f(x) uma função com domínio nos reais e a pertencente ao seu 
domínio, temos pelo teorema da unicidade de limite que;
O 
x a
lim f (x)
→
 existe e será igual a “L” se e somente se
x a x a
lim f (x) lim f (x) L
+ −→ →
= =
isto é, existirem e forem iguais a L.
Exemplo 3
Seja f definida por 
x se x 0
f (x)
2 se x 0
 ≠= 
=
y
x
1
1 2 3–1
–1
–3 –2
2
3
4
Esboce o gráfico e 
encontre o limite da f ( x ) 
quando x tende a zero.
– 16 –
Cálculo Diferencial e Integral I
Solução
x 0 x 0 x 0 x 0
lim f (x) lim (x) e lim f (x) lim ( x)
0 0
+ + − −→ → → →
= = = − =
= =
Como os limites laterais são iguais a zero, portanto finito, concluímos 
assim que o limite existe.
Exemplo 4
+ ≤ −
=  − > −
x 4, se x 4
f (x)
4 x, se x 4
x 4 x 4 x 4 x 4
lim f (x) lim 4 t e lim f (x) lim t 4
8 0
+ + − −→− →− →− →−
= − = = + =
= =
Não existe limite, pois os limites de f(x) com x tendendo a –4, pela 
direita e pela esquerda, são diferentes.
1.6 Continuidade de Funções
No estudo de limites de funções, um problema relevante é o de con-
tinuidade de funções. Diante disso, estudaremos, agora, o comportamento 
das funções, com o auxílio dos conceitos de limites já vistos nesta aula e, 
consequentemente, verificando se uma função é contínua ou descontínua 
em pontos distintos do domínio das funções.
O estudo de continuidades de funções é importante para a aplicabili-
dade das funções em diferentes campos do conhecimento como na econo-
mia, engenharia, física, matemática e outras.
No início desta aula, introduzimos o conceito de limites por meio da 
função 
22x 5x 3
f (x)
x 3
− −
=
−
 que não está definida para x = 3. Isso significa
que no ponto x = 3, a função não existe. 
Logo, a função é descontínua no ponto x=3, como já vimos no gráfico.
– 17 –
Estudos de Limites
Definição
Uma função é contínua em algum ponto a do domínio se, e somente se:
x a x a
f (a) Lim f (x) Lim f (x)
+ −→ →
= =
Considerando que os limites devem existir e serem finitos.
Obs.: Se uma ou duas condições acima citadas não forem verificadas no 
ponto a, a função f será descontínua no ponto.
Exemplo 5
Seja a função f definida por
 
2x 3 se x 1
f (x)
2 se x 1
+ ≠
=  =
. Verificar se a 
mesma é contínua em x =1.
Determinar:
f (1) 2=
x 1
Lim 2x 3 2 (1) 3 5
+→
+ = ⋅ + =
x 1
Lim 2x 3 2 (1) 3 5
−→
+ = ⋅ + =
Graficamente
– 18 –
Cálculo Diferencial e Integral I
Como:
f (1) 2=
x 1
x 1 x 1
x 1
Lim f (x)
Lim f (x) Lim f (x) 5, Logo Lim f (1)
Lim f (x)
+
+ −
−
→
→ →
→
= = ≠ 

A função é descontínua em x = 1.
1.7 Continuidade em um intervalo
Uma função definida em um intervalo fechado [a ; b] será contínua em 
[a; b], se e somente se ela for contínua no intervalo aberto (a; b), isto é, con-
tínua à direita de a e à esquerda de b.
Exemplo 6
Seja 2f (x) 9 x= − . Mostre que essa função é contínua no intervalo 
fechado [ -3; 3 ].
Devemos mostrar que a função f(x) é contínua em x = -3 e também em 
x = 3.
2f ( 3) 9 ( 3 ) 0+− = − − =
2
x 3
lim f (x) 9 ( 3 ) 0
+
+
→−
= − − =
Diante dessa igualdade, concluímos que a f(x) é contínua à direita de x = – 3
2f (3) 9 ( 3 ) 0+= − − =
2
x 3
lim f (x) 9 (3 ) 0
−
−
→
= − =
Como
 x 3
f (3) lim f (x)
−→
= , a função f(x) é continua a esquerda de x = 3.
– 19 –
Estudos de Limites
Logo, a função f(x) é contínua no intervalo fechado [-3; 3 ], e isso pode 
ser melhor visualizado através do gráfico a seguir.
Definição 1
Umafunção definida em um intervalo semi-aberto [a,b) será contínua 
em [a; b), se ela for contínua no intervalo (a,b) e contínua à direita de a.
Definição 2
Uma função definida em um intervalo semi-aberto (a; b] será contínua 
em (a; b] se ela for contínua no intervalo (a,b) e contínua à esquerda de b.
Exemplo 7
Verificar se a 2f (x) x 9= − é contínua em [3; + ∞)
2f (3) x 9= −
2f (3) 3 9 0= − =
2 2
x 3
Lim x 9 (3 ) 9 0
+
+
→
− = − =
Logo a f(x) é contínua à direita de x = 3. Vamos verificar no outro 
extremo do intervalo: 2f ( ) 9+∞ = +∞ − = +∞
Como não existe a f (+ ∞), a f(x) é descontínua no intervalo [3; + ∞).
– 20 –
Cálculo Diferencial e Integral I
Atividades
1. Dada a função f(x), e sabendo que lim ( )x a f x L→ = , usando a definição de 
limites, encontre um valor para δ > 0 para o valor dado de ε a seguir:
3
lim 2 5 1, 0,01
x
x
→
− = ε =
2. Verifique se a função
 
2
2
4 2
( ) 4 2
24
x se x
f x se x
se xx
 − <

= =
 >− 
é uma função con-
tínua em x = 2.
3. Sejam f(x) e g(x) funções contínuas em seus domínios, com ( )
x a
lim f x L
→
= 
e lim ( )
x a
g x Q
→
= , e m e n constante pertencentes aos reais. De acordo 
com as propriedades de limites, podemos afirmar que a assertiva correta 
para a sentença 
( )
( )
x a
g x
lim m f x
n→
 ⋅ +  
 é igual a:
a) ( ) lim ( )
x ax a
lim m f x n g x
→→
   ⋅ + ⋅   
b) ( ) ( )
x a x a
m lim f x n lim g x
→ →
⋅ + ⋅
c) 1( ) ( )
x a x a
m lim f x lim g x
n→ →
⋅ +
d) 1( ) ( ) ( )
x a
m lim f x g x
n →
 + + 
4. Sejam 
2, 1
( )
2 5, 1
x se x
f x
x se x
− ≤
=  − >
 e 
2 , 2
( )
2, 2
x se x
g x
x se x
 <=  + ≥
, pode-
mos afirmar que:
a) f(x) e g(x) são descontínuas para x =1 e x = 2 respectivamente.
– 21 –
Estudos de Limites
b) f(x) e g(x) são contínuas para x =1 e x = 2 respectivamente.
c) f(x) é contínua para x =1 e g(x) é descontínua para x = 2.
d) f(x) é descontínua para x =1 e g(x) é contínua para x = 2.
Comentário das atividades
Para resolver a atividade um, você terá que utilizar os conceitos de 
definição de limites como vimos no exemplo 1, e terá como resposta δ = 
0,005. 
Nas atividades dois e quatro, você terá que rever os conceitos de função 
contínua que estudamos no exemplo 5, onde será possível verificar que na 
atividade dois, a mesma é descontínua para x = 2, já a atividade quatro terá 
como resposta a assertiva a letra (d).
Para a atividade três, você deverá rever os teoremas 1 e 4 e terá com 
resposta a assertiva (c).
2
Formas indeterminadas 
e limites no infinito
Na resolução de limites de funções, muitos problemas não 
apresentam soluções imediatas.
A solução para esses limites consiste na busca de alternativas, 
usando artifícios e ferramentas da matemática fundamental. A 
solução se faz muito importante em função desses limites serem 
ferramentas essenciais para o desenvolvimento do cálculo diferencial 
e integral.
– 24 –
Cálculo Diferencial e Integral I
O estudo do cálculo diferencial e integral apresenta um comportamento 
seqüencial lógico, construído a partir dos conceitos básicos da matemática fun-
damental, até se chegar às ferramentas mais complexas que são utilizados em 
diferentes áreas do conhecimento como na física, química, engenharia e outras.
2.1 Forma indeterminada 
0
0
 (com x→a, com a ≠ 0)
Procedimentos:
 2 se for possível, fatora-se a expressão, e após simplifica-se;
 2 ou dividem-se o numerador e o denominador se possível.
Exemplo 1
→
−
−
2
x 7
x 49
1) lim
x 7
Aplica-se a tendência
→
−
=
−
2
x 7
7 49 0
1) lim
7 7 0
 em seguida, aplica-se
→ →
+ ⋅ −−
⇒
−
2
x 7 x 7
(x 7) ( x 7x 49
lim lim
7 7 −
)
x 7 →
⇒ + =
x 7
lim(x 7) 14
Exemplo 2
( )→
− − − −
= =
− −
2 2
22x 5
2x 9x 5 2.(5) 9.(5) 5 0
lim indeterminado;
3x 75 03. 5 75
→ →
   − + − +   
   =
− − +2x 5 x 5
1 1
2(x 5) x 2(x 5) x
2 2lim lim
3(x 25) 3(x 5)(x 5)
→
 + 
 = =
+x 5
1
2 x
112lim
3(x 5) 30
– 25 –
Formas indeterminadas e limites no infinito
2.2 Forma indeterminada 
0
0
 (com x → 0)
Procedimento:
 2 dividir o numerador e o denominador pela menor potência de x 
se possível.
2.3 Forma Indeterminada ∞
∞
, (com x → ± ∞)
Procedimento:
 2 dividir todos os termos do numerador e do denominador pela 
maior potência de x em módulo, ou colocarmos a variável x de 
maior expoente em evidência.
Exemplo 3
→+∞
−
+x
3x 2
lim
2x 1
Aplicando a tendência
→+∞
− ∞
=
+ ∞x
3x 2
lim
2x 1
dividindo todos os termos do numerador e do denominador pela maior 
potência de x em módulo.
→+∞
−
+x
3x 2
x x
lim 2x 1
x x
→+∞
−
=
+x
3 0 3
lim
2 0 2
– 26 –
Cálculo Diferencial e Integral I
Exemplo 4
→+∞
+
+x
5x 7
lim
9x 3
Colocando a variável x de maior expoente em evidência temos:
( )
( )→+∞ →+∞ →+∞
     + + +      ++ ∞     = = = = =
+ +     + + +     ∞     
x x x
7 7 7
x 5 5 5
5 05x 7 5x xlim lim lim
3 3 39x 3 9 0 9x 9 9 9
x x
Obs.: quando temos uma fração do tipo 
n
k
x
 , com k ∈ R o 
→+∞ nx
k
lim
x
 e 
→−∞ nx
k
lim
x
 tende a ser zero respectivamente, e essa definição será utilizada 
nas atividades a seguir.
Exemplo 5
→−∞ →−∞
 + − + + − +  =
+ + + +  + + + + 
 
5
5 4 3 2 5
5 3 2x x 5
2 3 4 5
1 8 3
x 3
3x x 8x 3 x x xlim lim
1 1 1 24x x x x 2 x 4
x x x x
→−∞
= =
x
3 3
lim
4 4
2.4 Forma indeterminada ∞ – ∞ 
(para funções polinomiais)
Procedimento:
 2 reduzir ao mesmo denominador a expressão.
– 27 –
Formas indeterminadas e limites no infinito
Exemplo 6
→
 − =∞−∞ + 2x 0
1 1
1. lim
x x x
2 2 2x 0 x 0 x 0
1 (x 1) 1 x 1 x 0
lim lim lim ,
x x x x x x 0
indeterminado, mas:
→ → →
− + − − −     = = =    + + +     
indeterminado, mas:
→ →
 −
 
−   = = −   + +  
 
2x 0 x 0
x
x 1
lim lim 1
x x x 1
x x
Obs.: você pode também resolver por fatoração utilizando o fator 
comum.
→ → →
 − − −   = = = −    + + +    
2x 0 x 0 x 0
x x 1
lim lim lim 1
x x x(x 1) x 1
Exemplo 7
± ± ±→ → →
   + − − − − − − − = =     − − − −     
2 2
2 2 2x 2 x 2 x 2
x x 1 x x 3x 2 x 2x 2
lim lim lim
x 4 x 2 x 4 x 4
Para x → 2– temos que, se utilizamos valores para x que se aproxima de 
2 pela esquerda,
−→
 − − −
+∞ − 
2
2x 2
x 2x 2
o lim tende a ser .
x 4
Para x → 2+ temos que, se utilizamos valores para x que se aproxima de 
2 pela direita, 
+→
 − − −
−∞ − 
2
2x 2
x 2x 2
o lim tende a ser .
x 4
– 28 –
Cálculo Diferencial e Integral I
2.5 Forma indeterminada 1∞
Procedimento:
aplicar logaritmos em ambos os membros para eliminar o expoente.
Exemplo 8
−
→
−
2 x
x 4
x 4
1. lim x 3( )
Aplicando a tendência, teremos 1∞
Fazendo: −
→
= −
2 x
x 4
x 4
y lim x 3( )
Aplicando ln em ambos os membros teremos:
−
→
= −
2 x
x 4
x 4
ln y ln [lim (x 3) ]
-
- →
= ⋅
x 4
2x
ln y ln [lim (x 3)]
x 4
-
- →
= ⋅
x 4
2x
ln y ln [lim (4 3)]
x 4
-
= ⋅
2x
ln y ln 1]
x 4
=ln y 0
= ⇒0y e 1
Então,
--
→
=
2 x
x 4
x 4
lim(x 3) 1
– 29 –
Formas indeterminadas e limites no infinito
Exemplo 9
−
→
+ =
1
cos x 1
x 0
lim(sen 2x 1)
−
→
 
= + 
  
1
cos x 1
x 0
ln y ln lim(sen 2x 1)
→
 = ⋅ + − x 0
1
ln y ln lim(sen 2x 1)
cosx 1
= ⋅
−
1
ln y ln 1
cosx 1
= ⋅
−
1
ln y 0
cosx 1
=ln y 0
= 0y e
−
→
= = + =
1
cos x 1
x 0
y 1 log o, y lim(sen 2x 1) 1
2.6 Limites fundamentais
2.6.1 Limite fundamental trigonométrico
→
=
x 0
sen x
lim 1
x
Demonstração:
Representando o ciclo trigonométrico das funções sen, cos e tg, para 
uma arco comum x, iremos obter a figura 2.1 a seguir:
– 30 –
Cálculo Diferencial e Integral I
De acordo com o a figura acima, é possível observar que: sen x < x < tg x. 
Dividindo a sentença por sen x, temos:
< <
sen x tg xx
sen x sen x sen x
< <
x 1
1
sen x cos x
aplicando 
→x 0
lim a todos membros da sentença;
→ → →
< <
x 0 x 0 x 0
x 1
lim1 lim lim
sen x cos x
→
< <
x 0
x
1 lim 1
sen x
Logo, podemos concluir que 
→
=
x 0
sen x
lim 1.
x
Exemplo10
→x 0
sen 4x
lim
2x
– 31 –
Formas indeterminadas e limites no infinito
Aplicando a tendência
→
=
x 0
sen 4x 0
lim
2x 0
Como o arco da função trigonométrica que compõe o limite é igual a 4x 
e o valor da função no denominador é igual a 2x, devemos procurar artifícios 
matemáticos que nos proporcionam a igualdade do arco da função no nume-
rador com a função do denominador. Assim, multiplicando o numerador e 
denominador por 2 temos:
→ → →
= ⋅ = ⋅ = ⋅ =
⋅x 0 x 0 x 0
sen 4x sen 4x sen 4x
lim lim 2 2 lim 2 1 2
2x 2 2x 4x
Exemplo 11
→x 0
sen 5x
lim
x
Aplicando a tendência
→
=
x 0
sen 5x 0
lim
x 0
Vamos multiplicando o numerador e o denominador por 5. Teremos
→ → →
⋅
= = ⋅ = ⋅ =
⋅x 0 x 0 x 0
sen 5x 5 sen 5x sen 5x
lim lim 5 lim 5 1 5
x 5 x 5x
2.6.2 Limite fundamental exponencial
→∞
 + = ≅ 
 
x
x
1
lim 1 e onde, e 2,7182818
x
Para verificarmos se a sentença acima é verdadeira, basta atribuirmos 
valores para x, na função que tende ao infinito, ou seja,(x → ∞) e que os 
valores encontrados também tendem ao valor de e ≅ 2,7182818, e isso pode 
ser comprovado através da tabela a seguir.
– 32 –
Cálculo Diferencial e Integral I
x  + 
 
x1
1
x
1 2
2 2,25
3 2,3703
10 2,5937
100 2,7048
1000 2,7169
10000 2,7181
100000 2,7182
Assim, podemos concluir que 
→∞
 
+ 
 
px
k
x
k
lim 1
px
 para todo k, p e x ∈ IR* 
tende a ser igual a e e ≅ 2,7182818, logo temos que, 
→∞
 
+ = 
 
px
k
x
k
lim 1 e
px
Exemplo 12
→∞ →∞
     + = + =   
     
7x
x
7 7
x x
7 7
lim 1 lim 1 e
x x
Exemplo 13
→∞ →∞
     + = + =   
     
3
5x 5x 3
3
5
x x
3 3
lim 1 lim 1 e
5x 5x
2.7 Limites infinitos
Em cálculo diferencial e integral, os comportamentos das funções osci-
lam entre o finito e o infinito.
– 33 –
Formas indeterminadas e limites no infinito
Diante disso, é necessária uma compreensão mais abrangente de vários 
conceitos estudados em níveis anteriores, como teoria de conjuntos numé-
ricos, gráficos de funções e álgebra, para discernir determinadas tendências 
de gráficos das funções em situações financeiras, para citar pelo menos uma 
aplicação ao longo do tempo.
Então, essa necessidade se faz presente para prever situações e fenômenos 
a médio e longo prazo, buscamos suporte para encontrarmos as soluções para 
esses problemas nos conceitos de limites infinitos.
Seja f uma função definida pela equação =
− 2
3
f (x)
(x 3)
.
A função está definida para todos os reais exceto x = 3. Vamos agora 
estudar o comportamento da função f (x) no entorno de x =3.
À direita de x = 3.
x =
− 2
3
f (x)
(x 3)
4 3
3,5 12
 3,1 300
3,01 30.000
3,001 3.000.000
+→
= +∞
− 2x 3
3
Então, lim
(x 3)
À esquerda de x = 3
x =
− 2
3
f (x)
(x 3)
2 3
2,5 12
2,9 300
2,99 30.000
2,999 3.000.000
−→
= +∞
− 2x 3
3
Então, lim
(x 3)
– 34 –
Cálculo Diferencial e Integral I
Observamos que, à medida em que fazemos os valores de x se aproxima-
rem de 3, tanto pelo lado direito como pelo lado esquerdo, mais os valores da 
função f(x) crescem. Portanto, tendem para o mais infinito.
Obs.: a reta tracejada é denominada assíntota vertical.
Definição 1
Seja f uma função definida em um intervalo aberto que contém a 
exceto o a. Quando x tende a a, f(x) cresce indefinidamente e temos 
→
= +∞
x a
lim f (x)
Se para qualquer número N > 0, existir um δ > 0 tal que 0 < |x – a| < δ, 
então, f(x) > N.
Seja f uma função definida pela equação 
−
=
− 2
3xf ( )
(x 3)
.
A função está definida para todos os reais exceto x = 3. Vamos agora 
estudar o comportamento da função f(x) no entorno de x =3.
– 35 –
Formas indeterminadas e limites no infinito
À direita de x = 3.
x
−
=
− 2
3
f (x)
(x 3)
4 –3
3,5 –12
3,1 –300
3,01 –30.000
3,001 –3.000.000
+→
−
= −∞
− 2x 3
3
Então, lim
(x 3)
À esquerda de x = 3.
x
−
=
− 2
3
f (x)
(x 3)
2 –3
2,5 –12
2,9 –300
2,99 –30.000
2,999 –3.000.000
−→
−
= −∞
− 2x 3
3
Então, lim
(x 3)
– 36 –
Cálculo Diferencial e Integral I
Definição 2
Seja f uma função definida em um intervalo aberto que contém a 
exceto o a. Quando x tende a a , f(x) decresce indefinidamente e temos 
→
= −∞
x a
lim f (x) .
Se para qualquer número N > 0, existir um δ > 0 tal que
0 < |x – a|< δ então f(x) < N
Podemos estabelecer situações semelhantes sob uma nova ótica:
+ −→ →
= −∞ = −∞
x a x a
lim f (x) e lim f (x)
Seja a função f definida por =
−
3x
f (x)
x 1
. Então, o gráfico será definido assim
Calculando os limites laterais:
– 37 –
Formas indeterminadas e limites no infinito
+→
= +∞
−x 1
3x
lim
x 1
−→
= −∞
−x 1
3x
lim
x 1
Comentários:
 2 quando x se aproxima de 1 pelo lado direito, ou seja, para valores 
próximos a 1, como por exemplo 1,000001, o valor correspon-
dente da imagem para esse valor tende a um valor extremamente 
grande, ou seja, mais infinito;
 2 quando x se aproxima de 1 pelo lado esquerdo, ou seja, para valo-
res próximos a 1 como por exemplo 0,999999, o valor correspon-
dente da imagem para esse valor tende a um valor extremamente 
pequeno, ou seja, menos infinito.
Teorema 1
Seja k um número real qualquer e n um número inteiro positivo, então, 
teremos dois desdobramentos:
+→
= +∞nx 0
k
1. lim e
x
−→
−∞
= +∞
nx 0
se "n" for ímpark
2. lim
se "n" for parx
Exemplo 14
Desdobramento 1:
+→
= +∞5x 0
1
lim e
x
+→
= +∞6x 0
1
lim
x
– 38 –
Cálculo Diferencial e Integral I
Desdobramento 2:
−→
= −∞5x 0
1
lim e
x
−→
= +∞6x 0
1
lim
x
Teorema 2
Seja f uma função racional, onde o limite do denominador é nulo e o 
limite do numerador diferente de zero. Então podemos escrever:
→ →
∈ = = ≠
x a x a
Se "a" R e lim f (x) 0 e lim g(x) q , onde q 0
1. Se q > 0 e se f(x) → 0 para valores maiores que zero então
→
= +∞
x a
g(x)
lim
f (x)
2. Se q > 0 e se f(x) → 0 para valores menores que zero então
→
= −∞
x a
g(x)
lim
f (x)
3. Se q > 0 e se f(x) → 0, para valores maiores que zero então
→
= +∞
x a
g(x)
lim
f (x)
4. Se q > 0 e se f(x) → 0, para valores negativos de f(x)
→
= −∞
x a
g(x)
lim
f (x)
Obs.: o teorema também vale para os limites laterais.
Exemplo 15
−
−
−→
⋅
= = −∞
− −x 1
3 (1 )3x
1. lim
x 1 (1 ) 1
– 39 –
Formas indeterminadas e limites no infinito
+
+
+→
⋅
= = +∞
− −x 1
3 (1 )3x
2. lim
x 1 (1 ) 1
+
+ +
+ + +→
+ ⋅ ++ +
= = = +∞
− − − ⋅ −
22
2 2x 3
(3 ) 2 (3 ) 5x 2x 5 20
3. lim
x 2x 3 (3 ) 2 (3 ) 3 0
−
− −
− − −→
+ ⋅ ++ +
= = = −∞
− − − ⋅ −
22
2 2x 3
(3 ) 2 (3 ) 5x 2x 5 20
4. lim
x 2x 3 (3 ) 2 (3 ) 3 0
Teorema 3
→ →
= +∞ =
x a x a
Se lim f (x) e lim g(x) q , onde q é uma constan te qualquer, então,
→
+ = +∞
x a
lim [f (x) g(x)] e
→ →
= −∞ =
x a x a
Se lim f (x) e lim g(x) q , onde q é uma constan te qualquer, então,
x a
lim [f (x) g(x)]
→
+ = −∞
Obs.: a validade do teorema também é estendida aos limites laterais.
Exemplo 16
x 3 x 3
1 5 5
lim e lim
x 3 x 4 7+ +→ →
= +∞ =
− +
x 3
1 5
lim
x 3 x 4+→
 + = +∞ − + 
Teorema 4
→ →
= +∞ =
x a x a
Se lim f (x) e lim g(x) q , onde q é uma constan te qualquer, então,
→
> ⋅ = +∞
x a
Se q 0, lim [f (x) g(x)] e
– 40 –
Cálculo Diferencial e Integral I
→
< ⋅ = −∞
x a
Se q 0, lim [f (x) g(x)]
Obs.: a validade do teorema também é estendida aos limites laterais.
Exemplo 17
+ +→ →
+
= +∞ =
− −2 2x 4 x 4
7 x 5
lim e lim 9
(x 4) (x 5)
+→
 +
⋅ = +∞ − − 
2 2x 4
7 x 5
lim
(x 4) (x 5)
Teorema 5
x a x a
Se limf (x) e limg(x) q, onde q é uma constante qualquer, então,
→ →
= −∞ =
x a
Se q 0, lim [f (x) g(x)] e
→
> ⋅ = −∞
x a
Se q 0, lim [f (x) g(x)]
→
< ⋅ = +∞
Obs.: a validade do teorema também é estendida aos limites laterais.
Exemplo 18
2 2x 3 x 3
7 x 5
lim e lim 2
(x 3) (x 5)+ +→ →
− +
= −∞ =
− −
2 2x 3
7 x 5
lim
(x 3) (x 5)+→
 − +
⋅ = −∞ − − 
2.8 Limites no infinito
Vamos considerar uma função f e considerar o limite dessa função quando 
o x tende a valores infinitamente grandes ou infinitamente pequenos.
– 41 –
Formas indeterminadas e limites no infinito
Seja 
2
23x
f (x)
x 1
=
+
. Vamos considerar valores de x variando de zero até 
valores bem maiores que zero.
x
2
2
3x
f (x)
x 1
=
+
0 0
1 1,5
3 2,7
5 2,88
10 2,97
100 2,9997
1000 2,999997
Graficamente
À medida que o valor atribuído a x cresce, o valor de f(x) tende a 3.
Definição
Seja f a função definida para x ≥ 0. Então o 
x
lim f (x) L
→+∞
= , se para todo 
ε > 0, tão pequeno quanto se queira, existir um número N > 0 tal que se 
x > N, então,
– 42 –
Cálculo Diferencial e Integral I
|f ( x ) ‑ L| < ε. Na tabela a seguir, vamos observar:
2
2x
3x
lim 3
x 1→+∞
=
+
x
2
2
3x
f (x)
x 1
=
+
–1 1,5
–2 2,4
–3 2,7
–5 2,88
–10 2,97
–100 2,9997
–1000 2,999997
Graficamente
Definição
Seja f a função definida para x ≤ 0. Então o 
x
lim f (x) L
→−∞
= quando x 
decresce indefinidamente, se para todo ε > 0, tão pequeno quanto se queira, 
existir um número N < 0 tal que se x > N, então, |f ( x ) – L| < ε.
– 43 –
Formas indeterminadas e limites no infinito
2
2x
3x
lim 3
x 1→−∞
=
+
Vamos mostrar o comportamento do gráfico para o domínio completo 
de x, isto é, para todo o conjunto dos reais.
Exemplo 19
Calcule o limite
→+∞
−
+x
5x 7
1. lim
10x 4
Para resolvê-lo, precisamos colocar x em evidência, no numerador e no 
denominador.
x x
7 7x 5 5 15x1. lim lim 44 10 210x 10
x
→+∞ →+∞
 − − 
  ∞⇒ = =
  ++  ∞ 
– 44 –
Cálculo Diferencial e Integral I
Gráfico
Atividades
1. De acordo com os conceitos de limites fundamentais temos que 
0
(3 )
x
sen x
lim
x→
 é igual a:
2. Aplicando os conceitos de limites, determine o valor de 22
1lim
4x x±→ −
:
3. O lucro de uma empresa varia de acordo com o número de horas x traba-
lhadas por seus funcionários. Sabendo que a função que define esse lucro 
é 
2 64( )
8
x
L x
x
−
=
−
, aplicando os conceitos de limites, determine o lucro 
máximo em milhões de reais, quando o número de horas trabalhadas 
pelos funcionários dessa empresa tender a 8 horas diárias.
– 45 –
Formas indeterminadas e limites no infinito
a) R$ 16 000 000,00
b) R$ 8 000 000,00
c) R$ 48 000 000,00
d) R$ 64 000 000,00
4. Utilizando os conceitos de limites tendendo ao infinito, o valor do limite 
da questão abaixo vale respectivamente:
2
2
4 3 1lim
5 9 7x
x x
x x→+∞
− +
+ +
a) 
4
3
b) 5
4
c) 
4
5
−
d) 
4
5
Comentário das atividades
Para resolver a atividade um, você terá que utilizar os conceitos de 
limites fundamentais trigonométricos, como vimos no exemplo 10, e terá 
como resposta 3. Na atividade dois, você terá que rever os conceitos sobre 
limites infinitos que estudamos nos exemplos 14 à 16, nos quais será possível 
verificar que a solução encontrada será igual a 2quando x ++∞ → e 
2quando x −−∞ → .
Na atividade três, é necessário revermos os conceitos de fatoração, vistos 
em fundamentos I, e, em seguida, substituirmos a tendência na função fato-
rada, obtendo como resposta a assertiva a. Já na atividade quatro, você deverá 
utilizar os conceitos de limites com sua variável de domínio tendendo ao 
infinito, colocando a variável de maior expoente em evidência e fatorando se 
possível, obtendo assim sua solução igual a 4/5.
3
A diferencial
No cálculo diferencial e integral, especificamente no 
estudo das funções derivadas e as suas aplicações, alguns elementos 
da geometria, como o ponto e a reta, são indispensáveis.
O conhecimento sobre a reta tangente e normal se faz necessá-
rio para análises dos comportamentos das funções, quanto ao cres-
cimento e decrescimento das funções e nos estudos dos máximos e 
mínimos que são relevantes na área da matemática aplicada, enge-
nharia, física, química, economia, etc.
– 48 –
Cálculo Diferencial e Integral I
Assim, quando desejamos conhecer a inclinação de uma curva em um de 
seus pontos, estamos diante de um conceito fundamental do Cálculo Dife-
rencial, a noção de derivada. A inclinação da curva em um de seus pontos é 
a mesma inclinação de uma reta tangente à curva nesse ponto. Então conhe-
cendo a inclinação da reta tangente, conhecemos o ângulo de inclinação 
da curva nesse ponto, ou seja, a derivada da função no ponto determinado.
3.1 Equação geral da reta
Chegamos à equação geral da reta r, partindo de uma reta que apresenta 
dois pontos distintos, A (xa; ya) e B (xb; yb), com coordenadas conhecidas e um 
terceiro ponto P(x; y) qualquer.
Segundo o conceito de alinhamento de três pontos, vamos trabalhar com 
determinantes para chegarmos à equação geral da reta.
a a
b b
x 1 1
x y 1 0
x y 1
=
Fazendo o cálculo do determinante, chegaremos a:
a x + b y + c = 0
– 49 –
A diferencial
3.2 Coeficiente angular de uma reta
No sistema cartesiano ortogonal, a reta r, não vertical, forma sempre com 
o eixo Ox um ângulo.
A tangente desse ângulo determina um coeficiente que denominaremos 
de coeficiente angular ou declividade da reta.
y
x
� = 0º
y
x
0º < < 90º�
�
y
x
90º < < 180º�
�
– 50 –
Cálculo Diferencial e Integral I
Obs.: para o ângulo de 90o, temos que a tg 900 não está definida no 
conjunto de reais.
 2 Quando o coeficiente angular for positivo, significa que a reta é 
crescente (reta com a inclinação voltada para a direita).
 2 Quando o coeficiente angular for negativo, significa que a reta é 
decrescente (reta com a inclinação voltada para à esquerda).
 2 Quando o coeficiente angular for igual a zero, significa que a reta é 
paralela ao eixo Ox.
 2 Quando o coeficiente angular não existir, significa que a reta é per‑
pendicular ao eixo Ox.
Para a determinação do coeficiente angular, podemos proceder das 
seguintes formas:
a) quando conhecemos a direção da reta, basta calcular a tangente do 
ângulo.
Exemplo:
α = ⇒ = =o o
3
30 m tg 30
3
– 51 –
A diferencial
b) quando conhecemos dois pontos.
b a
b a
b a
y _ y
m tg , x x
x _ x
= α = ≠
partindo da equação b a
b a
y _ y
m
x _ x
= , chegaremos à expressão, 
b a b ay y m(x x )− = − e generalizando, teremos, a ay y m(x x )− = − que 
representa a equação da reta r no espaço.
Soubemos que m é o coeficiente angular da reta tangente à curva em 
um ponto qualquer. Podemos dizer então que m = f ’(x), sendo f ’(x) a 
primeira derivada da função f(x).
Portanto, podemos reescrever a equação acima como sendo
y – ya = f ’(x) (x – xa)
Exemplo 1
1. Escrever a equação da reta tangente à curva f ( x ) = x2 + 1 no ponto A 
(2, 5) com f ̀ ( x ) = 2 x. (obs.: estaremos ainda neste capítulo, demons-
trando os cálculos para se obter o valor de f`(x) = 2x). Substituindo 
a coordenada x = 2 do ponto na primeira derivada, vamos obter:
– 52 –
Cálculo Diferencial e Integral I
m = f ` ( x ) = 2 . (2) = 4
y – ya = f `( x ) ( x – xa )
y – 5 = 4 ( x – 2 )
y – 5 = 4 x – 8 então, y = 4x – 3
O gráfico de y = x2 + 1
x y
0 1
1 2
2 5
-1 2
-2 5
3.3 Retas perpendiculares
Duas retas r1 e r2 de coeficientes angulares m1 e m2, respectivamente, são 
perpendiculares se, e somente se, 1
2
1
m
m
= − .
– 53 –
A diferencial
Assim, equação da reta normal é expressa da forma y – y a= t
1
m
 ( x – xa).
No exemplo anterior, o valor determinado pela declividade é 4. Então, o 
valor do m t = –1/4 e a equação da reta normal ficam assim:
x 1
y 5
4 2
− = − +
4 y 20 x 2− = − +
x 22
y
4
− +
=
3.4 Derivada
Seja f uma função definida num intervalo aberto ]a,b[ e x0 um ponto desse 
intervalo. O limite 
-0 0
x 0 x 0
y f (x x) f (x )
lim lim
x x∆ → ∆ →
∆ +∆
=
∆ ∆
, quando existe, isto é, 
quando é um número real, recebe o nome de derivada da função f no ponto x0.
– 54 –
Cálculo Diferencial e Integral I
Exemplo 2
Determinar a derivada 2 0f (x) x , no ponto x 2.= =
2
0 0
x 0x 0
22
x 0 x 0 x 0
f (2 x) f (2)f (x x) f (x ) limy '(2) lim
xx
4 x ( x) x(4 x)4 4 x ( x) 4
lim lim lim 4 x 4
x xx
∆ →∆ →
∆ → ∆ → ∆ →
+ ∆ −+∆ −
= = =
∆∆
∆ + ∆ ∆ +∆+ ∆ + ∆ −
= = +∆ == =
∆ ∆∆
Exemplo 3
Determinar a derivada de 0f (x) 2x 1, no ponto x 1.= − =
0 0 0 0
x 0 x 0
f (x x) f (x ) [2(x x) 1] f (x )
y '(1) lim lim ,
x x∆ → ∆ →
+∆ − +∆ − −
= =
∆ ∆
como x0 = 1 temos que;
x 0 x 0 x 0
[2.1 2x 1] 1 2 x
lim lim lim 2 2
x x∆ → ∆ → ∆ →
+ ∆ − − ∆
= = = =
∆ ∆
Exemplo 4
Determinar a derivada de 0f (x) x , no ponto x 4.= =
00 0
x 0 x 0
f ( x x ) f (4) (4 x) 2f (x x) f (x )
y '(4) lim lim
x x x∆ → ∆ →
+∆ − +∆ −+∆ −
= = = =
∆ ∆ ∆
∆ → ∆ →
+ ∆ − ⋅ + ∆ + +∆ −
= =
+∆ + +∆ +x 0 x 0
[ (4 x) 2] [ (4 x) 2] 4 x 4
lim lim
[ (4 x) 2] [ (4 x) 2]
x 0
1 1 1
lim
2 2 4(4 x) 2∆ →
= = =
++∆ +
3.5 Continuidade e diferenciação
Se uma função f é derivada em um ponto x0, então, a função é contínua 
em x0.
– 55 –
A diferencial
Exemplo 5
Considere a função definida por 
 
2x se x 1
f (x)
2x 1 se x 1
 <=  − ≥
. Como o 
x 1lim f (x) 1 f (1),→ = = segue que f é continua em 1. Determinando seu 
limites laterais quando ∆x tende a zero, à direita e à esquerda, temos:
x 0 x 0 x 0
f (x x) f (x) [2(1 x) 1] 1 2 x
lim lim lim 2
x x x+ + +∆ → ∆ → ∆ →
+ ∆ − +∆ − − ∆
= = =
∆ ∆ ∆
2 2
x 0 x 0 x 0
f (1 x) f (1) [(1 x) 1] 2 x x
lim lim lim 2
x x x− − −∆ → ∆ → ∆ →
+ ∆ − +∆ − ∆ +∆
= = =
∆ ∆ ∆
Como os limites laterais à direita e à esquerda do quociente da diferença 
são iguais, segue que o limite do quociente da diferença existe, logo a derivada 
f ’(1) existe.
Exemplo 6
Considere a função f definida por: 
3 2x se x 2
f (x)
x 3 se x 2
− <
=  − ≥
. Como o 
x 2
lim f (x) 1 f (2)
→
= − = , segue que f é contínua em 2. No entanto, se formar-
– 56 –
Cálculo Diferencial e Integral I
mos o quociente de diferença f (2 x) f (2) f (2 x) 1
x x
+∆ − +∆ +
=
∆ ∆
 e quando 
calcularmos seus limites, ∆x tender a dois, à direita e à esquerda, temos:
2 2 2x x x
f (2 x) f (2) [(2 x) 3] 1 x
lim lim lim 1
x x x
+ + +∆ → ∆ → ∆ →
+ ∆ − +∆ − + ∆
= = =
∆ ∆ ∆
x 2 x 2 x 2
f (2 x) f (2) [3 2(2 x)] 1 2 x
lim lim lim 2
x x x
− − −∆ → ∆ → ∆ →
+∆ − − +∆ + − ∆
= = = −
∆ ∆ ∆
Como os limites laterais à direita e à esquerda são diferentes, segue que 
o limite não existe, logo a derivada f ’(2) não existe. Podemos antecipar a 
não-existência da derivada de f em 2, através do gráfico.
Desde que o gráfico não tem continuidade em x = 2. A função f(x) não 
é derivável no ponto 2.
3.6 Interpretação geométrica da derivada
Estudaremos, agora, a interpretação geométrica da derivada. Essa inter-
pretação servirá para compreendermos o significado da diferenciação e suas 
– 57 –
A diferencial
propriedades, onde, com esse aprendizado, poderemos futuramente fazer 
aplicações em outras áreas do conhecimento.
Definição:
Quando os dois pontos P e M, pertencentes a uma curva, se aproximam 
indefinidamente, a reta secante que passa por P e M acaba por transformar-se 
na tangente à curva no ponto M, ou seja, calculamos o limite da razão incre-
mental ∆x, quando a distância entre os dois pontos P e M tende a zero.
y
x
f(x)
0 x x + x�
x�
secante
P
P1
P2
PM
M �
f(x + x)�
Geometricamente, a derivada é o declive da reta no ponto quando ∆x 
tende para zero. Por outras palavras: calcular a derivada de uma função em 
um ponto a é determinar a inclinação da reta tangente a curva nesse ponto.
Atividades
1. Encontre a equação da reta tangente à curva no seguinte caso:
– 58 –
Cálculo Diferencial e Integral I
y = x2 + x – 2 no ponto A( 1, 0 )
2. A derivada da função ( ) 3 2f x x x= + , é expressa por:
3. Utilizando a definição de derivada
( ) ( )
0
lim
x
f x x f x
x∆ →
+ ∆ −
∆
, determine a 
função f`(x) de 2( ) 4 2f x x= + é.
a) 4x + 2 c) 2x2 + 2
b) 8x + 2 d) 8x
4. A declividade da reta que passa pelos pontos A (2;3) e B (1;-4) é igual a:
a) 7 c) –5
b) 11 d) 4
Comentário das atividades
Nas atividades um a quatro, você deverá aplicar os conceitos da equação 
da reta tangente e da reta normal, esses conceitos foram trabalhados no 
exemplo 1, onde você terá como resposta para a atividade um (y = 3x – 3) e 
para a atividade quatro você terá como solução m = 7.
Obs.: na atividade quatro, você poderá também utilizar a definição 
de coeficiente angular conhecendo dois pontos, através da equação 
,b a b a
b a
y y
m tg x x
x x
−
= α = ≠
−
. 
As atividades dois e três, têm o objetivo de compreender a diferencial, 
utilizando os limites laterais e a definição de derivada para determinar se uma 
função é contínua em um determinado intervalo. Para melhor compreender 
e facilitar o calculo das derivadas, observe a fórmula que se encontra no enun-
ciado da atividade três, obtendo assim como solução para a atividade dois, 
f`(x) = 3x2 + 2x e para atividade três, a assertiva (d). 
4
Regras básicas para 
diferenciação
Quando estudamos a diferenciação, utilizando apenas sua 
definição, os cálculos se tornam cada vez mais complexos e traba-
lhosos; para facilitar esses cálculos, usaremos algumas regras ou con-
ceitos sobre derivadas que possibilitaram o calculo da derivada de 
algumas funções com mais facilidade. Portanto, observe com bas-
tante atenção as regras e os exemplos, aplicando as regras para os 
casos a seguir. Estudaremos também, neste capítulo, as derivadas de 
funções trigonométricas. Para aplicação das regras nas funções tri-
gonométricas, temos que lembrar as definições de funções trigono-
métricas estudadas em Fundamentos II e as relações que envolvem 
essas funções. Estudaremos as derivadas das funções: seno, cosseno, 
tangente, cotangente, secante e a cossecante. Concluindo essa parte 
da derivada, estudaremos também a regra de diferenciação da função 
exponencial, do logaritmo e do logaritmo natural (neperiano).
– 60 –
Cálculo Diferencial e Integral I
4.1 Regras de derivação
Seja f(x), g(x) e h(x) f(x) funções deriváveis e k uma constante com k ∈ 
ℜ. Temos:
4.1.1 Regra da função constante
A derivada de uma função constante é a função nula. Se k é uma cons-
tante, então:
xD k 0=
Se f (x) 3, então f '(x) 0= =
4.1.2 Regra da identidade
A derivada da função identidade f(x) = x, é a função constante 1.
xD x 1 ou f (x) x então f '(x) 1.= = =
4.1.3 Regra da potência
-n 1n
xD x nx=
Exemplo
Se 3 2f (x) x , então f '(x) 3 x= = ⋅
4.1.4 Regra da homogeneidade
x xD kg kD g=
Exemplo
5 15 4g(x) 3x ,temos g '(x) 3 5x 15x⋅= = ⋅ =
4.1.5 Regra da soma
x x xD (g h) D g D h+ = +
– 61 –
Regras básicas para diferenciação
Se f (x) g(x) h(x), implica que f '(x) g '(x) h'(x),= + = +
Exemplo
5 2 4 4f (x) 3x 2x , temos: f (' x) 3 5x 2 2x 15x 4x= + = ⋅ + ⋅ = +
4.1.6 Regra da multiplicação, regra 
do produto ou regra de Leibniz
x x xD (g h) g(D h) (D g) h sendo f g h, temos f ' g h ' g ' h⋅ = + ⋅ = ⋅ = ⋅ + ⋅
Exemplo
Seja:
2 2
3 2 3x x 2xf (x) (7 x ) 2 , logo f '(x) (3x ) 2 (7 x )
3 3 3
     = + + = ⋅ + + + =         
4 4 4 2 4 4 2
23x 14x 2x 3x 18x 14x 2x 5x 18x 14x6x
3 3 3 3
  + + + + + +
= + + = = 
 
4.1.7 Regra da inversa aritmética
x
x 2
D g1
D
g g
 
= − 
 
Exemplo
Seja 
2 2 4
3 6 6 4
1 6x 3x 3 3x
f (x) , logo f '(x)
2x 4x 2x 2x 2
−
= = = = =
4.1.8 Regra do quociente
x x
x 2 2
h g ' g h 'g h(D g) g(D h) g
D sendo f , temos f '
h h h h
⋅ − ⋅−  = = = 
 
– 62 –
Cálculo Diferencial e Integral I
Exemplo
Se:
 
2 2 33 4 2 4
2 2 2 2 2
(x 3) 3x (x 2) 2x(x 2) 3x 9x 2x 4x
f (x)
(x 3) (x 3) (x 3)
+ − −− + − +
= = = =
+ + +
4 2
2 2
x 9x 4x
(x 3)
+ +
=
+
4.1.9 Regra da cadeia
-n n 1
x xD g ng D g= , onde g é uma função diferenciavel em x.
Exemplo
Se 3 5 3 4 2 2 3 4g(x) (x 1) , então g '(x) 5(x 1) 3x 15x (x 1)= − = − ⋅ = ⋅ −
4.1.10 Regra do seno
x xD sen u cos u D u= ⋅
Exemplo
2 2f (x) sen x temos f '(x) 2xcosx= =
4.1.11 Regra do cosseno
x xD cos u sen u D u= − ⋅
Exemplo
f (x) cos2x temos f '(x) 2 sen 2x.= = − ⋅
4.1.12 Regra da tangente
2
x xD tg u sec u D u= ⋅
– 63 –
Regras básicas para diferenciação
Exemplo
2f (x) tg 3x temos f '(x) 3 sec 3x= =
4.1.13 Regra da cotangente
2
x xD cotg u cossec u D u= −
Exemplo
2f (x) co g5x f '(x) 5cos sec 5x= = −
4.1.14 Regra da secante
x xD sec u sec u ta ng u D u= ⋅
Exemplo
3 2 3 3f (x) sec x temos f '(x) 3x sec x tgx= = ⋅
4.1.15 Regra da cossecante
x xD cossec u cossec u cotg u D u= − ⋅ ⋅
Exemplo
3 2 3 3f (x) cossec 2x temos f '(x) 6x cossec 2xcotg 2x= = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
4.1.16 Regra da exponencial
u u
x xD a a ln a D u= ⋅
Exemplo
2 x 2 xf (x) 5 temos f '(x) 2 5 ln 5= = ⋅
u u
x xD e D u e= ⋅
– 64 –
Cálculo Diferencial e Integral I
Exemplo
2 x 2 xf (x) e temos f '(x) 2 e= =
4.1.17 Regra do logaritmo
x
x a
D u
D log u
u ln a
=
⋅
Exemplo
3
5
f (x) log 5x temos f '(x)
5x ln3
= =
⋅
4.1.18 Logaritmo natural (Neperiano)
x
x
D u
D ln u
u
=
2
2
4x 2
f (x) ln 2x temos f '(x)
2x x
= = =
4.2 Funções trigonométricas inversas
Como você viu em Fundamentos II, as funções trigonométricas possuem 
suas funções inversas, e a seguir demonstraremos suas derivadas.
4.2.1 Regra do arc seno
-
1 x
x 2
D u
D sen u
1 u
− =
Exemplo
2
4
2x
f (x) arcsen x temos f '(x)
1 x
= =
−
– 65 –
Regras básicas para diferenciação
4.2.2 Regra do arc co‑seno
11
x x2
D cos u D u
1 u
− −= ⋅
−
Exemplo
2
3
f (x) arccos 3x temos f '(x)
1 9x
−
= =
−
4.2.3 Regra do arc tangente
1 x
x 2
D u
D tg u
1 u
− =
+
Exemplo
2
2 2
2x
f (x) arc tg (x 1) temos f '(x)
1 (x 1)
= + =
+ +
4.2.4 Regra do arc cotangente
11
x x2D cot g u D u1 u
− −= ⋅
+
Exemplo
2
2
f (x) arcco tg 2x temos f '(x)
1 4x
−
= =
+
4.2.5 Regra do arc secante
-
1 x
x 2
D u
D sec u
u u 1
− =
Exemplo
2
2 4
6x
f (x) arcsec 3x temos f '(x)
3x 9x 1
= =
−
– 66 –
Cálculo Diferencial e Integral I
4.2.6 Regra do arc co‑secante
11
x x2
D cossec u D u
u u 1
− −= ⋅
−
Exemplo
2
3
3 6
3x
f (x) arccossec x temos f '(x)
x x 1
−
= =
−
Atividades
Utilizando as regras de diferenciação, determine a derivada das funções nas 
atividades um e dois.
1. y = arc tg(sem x).
2. y = senx . cos.
3. Derivando a função log3 tg 3x ,temos:
a)
 
( )
23sec 3'
3 ln3
x
f x
tg x
= c) ( ) 3'
3 ln3
tg x
f x
tg x
=
b)
 
( ) 3'
3 ln3
tg x
f x = d) ( )
2
2
3 3
'
3sec 3 ln3
tg x
f x
x
=
4. Se ( ) 3f x tg x sen x x= ⋅ + , sua derivada é
a) ( )' sec 4cos 3f x x x x= ⋅ −
b) ( ) 2 2' sec cos 3f x x sen x tg x x x= ⋅ + ⋅ +
c) ( ) 2' 4 sec cos 4 3f x x x x= ⋅ −
d) ( )' 4 sec cos 3f x x x x= ⋅ +
– 67 –
Regras básicas para diferenciação
Comentário das atividades
As atividades um a quatro têm o objetivo de ajudar-lhe a compreender 
e determinar a derivada, mediante as regras de diferenciação. Para conseguir 
resolver as atividades, é preciso identificar qual propriedade se deve utilizar 
na resolução. Em caso de dúvida, volte um pouco e observe os exemplos 
com as aplicações das propriedades e terá como solução 
2
cos'
1 ( )
x
y
senx
=
+
 e 
( ) ( )2 2' cosy senx x= − . para as atividades um e dois respectivamente e asser-
tiva (a) para a ativida três e assertiva (b) para à atividade quatro.
5
Determinação da 
monotocidade de 
uma função através do 
teorema do valor médio
As propriedades básicas de crescimento e decrescimento das 
funções são usualmente discutidas nos cursos de nível médio. Mas 
para maior compreensão, será necessário o conhecimento de cál-
culo. O conceito de função crescente ou decrescente pode ser ini-
ciado considerando os gráficos de f(x) = 3 –1 e g(x) = –x3. Os valores 
da função f(x) crescem à medida que os valores de x aumentam, ou 
seja: se x1 < x2, temos f(x1) < f(x2).
– 70 –
Cálculo Diferencial e Integral I
Mas, se analisarmos o gráfico de g(x), os valores da função decrescem à 
medida que os valores de x aumentam, ou seja: se x1 < x2, temos f(x1) > f(x2).
A função é crescente no intervalo, quando para x1 < x2, temos f(x1) < f(x2). 
É dita decrescente, quando x1 < x2, temos f(x1) > f(x2). Vamos testar o cresci-
mento e decrescimento de uma função, aplicando a derivada.
I. se f ’(x) > 0, ∀ x pertencente todo o intervalo definido a função é 
crescente.
II. se f ’(x) < 0, ∀ x pertencente todo o intervalo definido a função é 
decrescente.
Uma ferramenta importante no estudo sobre a monotocidade de uma 
função é o Teorema do valor médio.
– 71 –
Determinação da monotocidade de uma função através do teorema do valor médio
5.1 Teorema do valor médio
O teorema do valor médio no cálculo diferencial e integral é uma das 
principais ferramentas para o desenvolvimento da matemática aplicada na 
aplicação dos máximos e mínimos de funções. O comportamento das fun-
ções oscila entre o finito e o infinito.
É necessária uma compreensão mais abrangente de vários conceitos 
estudados em níveis anteriores, como teoria de conjuntos numéricos, gráfi-
cos de funções e álgebra, para discernir determinadas tendências de gráficos 
das funções em situações financeiras, para citar pelo menos uma, ao longo 
do tempo.
Então, essa necessidade se faz presente para prever situações e fenômenos 
a médio e longo prazo.
Teorema 1
Seja f, uma função contínua em todo o [a,b] e derivável em ]a,b[. Então, 
existe um ponto c pertencente ao ]a, b[ tal que a reta tangente ao gráfico da 
função traçada pelo ponto (c,f(c)) é paralela à reta que passa por (a,f(a)) e 
(b,f(b)), isto é, f (b) f (a)f '(c)
b a
−
=
−
.
– 72 –
Cálculo Diferencial e Integral I
Demonstração:
Consideremos, inicialmente, a reta que passa pelos pontos (a, f(a)) e 
(b, f ( b )), isto é:
f (b) f(a)
y f (a) (x a)
b a
−
− = ⋅ −
−
Essa reta é o gráfico da função
f (b) f (a)
t(x) (x a) f (a)
b a
−
= ⋅ − +
−
Seja g a função que é a diferença entre f e t, isto é g(x) = f (x) – t(x).
Assim, 
f (b) f (a)
g(x) f (x) (x a) f (a)
b a
− = − ⋅ − + − 
quando x = a, temos:
f (b) f (a)
g(a) f (a a) f (a) f (a) f (a) 0
b a
− = − ⋅ − + = − = − 
e, quando x = b, temos:
f (b) f (a)
g(b) f (b) (b a) f (a) f (b) f (b) f (a) f (a) 0
b a
− = − ⋅ − + = − − + = − 
Além disso, como g é a diferença entre as duas funções contínuas do 
intervalo [a, b] e deriváveis no intervalo aberto ]a, b[, ela própria é contínua 
em [a, b] e derivável em ]a, b[.
Então, podemos usar o teorema de Rolle para a função g, concluindo 
que existe um número real c no intervalo ]a, b[, tal que:
g’ (c) = 0
Ou, com o f (b) f (a)g '(x) f '(x)
b a
− = − − 
 temos que,
f (b) f (a)
f '(x) 0
b a
− − = − 
– 73 –
Determinação da monotocidade de uma função através do teorema do valor médio
isto é,
f (b) f (a)
f '(c)
b a
− − − 
 como queríamos demonstrar.
5.2 Consequências do teorema do valor médio
Seja f(x) uma função contínua em um intervalo qualquer, então:
a) se f ‘(x) > 0 para todo x interior ao intervalo, então f será estrita-
mente crescente no intervalo
b) se f ‘(x) < 0 para todo x interior ao intervalo, então, f será estrita-
mente decrescente no intervalo.
Demonstração
Precisamos provar que, para quaisquer que sejam x1 e x2 em um intervalo, 
com x1< x2, teremos f(x1) < f(x2).
Sejam então x1 e x2 no intervalo, com x1< x2: por hipótese, f é contínua, 
no intervalo [x1; x2], e derivável em todo ponto interior a esse intervalo. Logo, 
pelo TVM, existe c.
2 1
1 2
2 1
f (x ) f (x )
c ]x ; x [ / f '(c)
x x
− 
∈ − − 
Logo, como f ‘(c) > 0, temos:
2 1
2 1
f (x ) f (x )
0
x x
 −
> − 
e, como x1 < x2, temos 2 1x x 0− >
e, portanto, f2 1f (x ) (x ) 0− >
Assim,
2 1f (x ) f (x )>
– 74 –
Cálculo Diferencial e Integral I
Exemplo 1
Seja a função definida por 
2x
f (x)
6
= .
I. Verifique a hipótese de teorema do valor médio para a função no 
intervalo [6,2].
II. Ache um valor para c no intervalo (2,6) tal que f (6) f (2)f '(c)
6 2
−
=
−
.
Solução
I. Como a função é polinomial, ela é contínua em [2,6] e diferençável 
em (2,6).
II. Se 
x 2
f '(x) , f (6) 6 e f (2) , teremos
3 3
= = = :
2 16
6c c3 3 4c 16 c 4. Portanto, c (2,6).
3 6 2 3 4
−
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ∈
−
5.3 Aplicando o teorema do valor médio
Sejam x1 e x2 pontos quaisquer do intervalo [a,b], com x1 < x2. O teorema 
do valor médio, aplicado no intervalo [x1, x2], garante-nos a existência de um 
ponto c em (x1, x2) tal que f(x2) f(x1) = f ‘(c)(x2 –x1). Daí conclui-se que f ‘(c) 
> 0 em (a, b), f(x2) – f(x1) > 0 ou f(x1) < f(x2) é uma função crescente, caso 
contrário a função será decrescente.
Exemplo 2
Seja a função f(x) = x2 – 6x + 7 em 0 ≤ x ≤ 5.
Portanto, f ‘(x)= 2x – 6), quando x = 3, a função se anula que é o único 
valor crítico. Os valores de f(x) no ponto crítico e nos extremos de seu 
domínio é:
– 75 –
Determinação da monotocidade de uma função através do teorema do valor médio
2
2
2
f (0) 0 6 0 7 7
f (3) 3 6 3 7 2
f (5) 5 6 5 7 2
= − ⋅ + =
= − ⋅ + = −
= − ⋅ + =
Concluímos que a função tem o ponto crítico x = 3. Diz-se que um 
ponto é crítico para uma função, quando a função é definida nesse ponto, 
mas não é diferenciável nele, ou seja, a derivada é nula.
Portanto, a função é decrescente para x < 3 e crescente para x > 3.
Exemplo 3
Se 3 2f (x) x 2x x 1,= − + + para determinar o crescimento ou decresci-
mento da função é preciso determinar a derivada da função. Portanto, 
2f '(x) 3x 4x 1 (x 1)(3x 1)= − + = − − , (fatorando o polinômio do 
segundo grau) com isso temos dois pontos críticos 
1
x 1 e x
3
= = , pois 
são raízes de f ’(x) = 0.
3 2
3 2
3 2
3 2
f ( 1) ( 1) 2( 1) ( 1) 1 3
1 1 1 1 31
f 2 1 1,1481
3 3 3 3 27
f (1) 1 2.1 1 1 1
f (2) 2 2.2 2 1 3
− = − − − + − + = −
     = − + + = =     
     
= − + + =
= − + + =
– 76 –
Cálculo Diferencial e Integral I
Concluímos que a função tem dois pontos críticos 
1
x
3
= e o ponto crí-
tico x =1. Portanto, a função é crescente para 
1
x ou x 1
3
< > e decrescente 
para 
1
x 1
3
< < .
Vimos, nesta aula, com a ajuda do teorema do valor médio o intervalo 
onde as funções crescem ou decrescem. A partir de agora determinaremos 
os valores máximos e mínimos de uma função. Esses valores são determina-
dos com o uso da reta tangente, com a diferenciação e com o crescimento e 
decrescimento de funções.
5.4 Máximos e mínimos de funções
O estudo dos valores máximos e mínimos é relevante para várias áreas 
do conhecimento, como Administração, Ciência Contábil, Física, Ciência 
Biológica e outras. Nesse caso, vamos aprender a determinar esses valo-
res para compreender sua aplicação. Freqüentemente, usamos as palavras 
máximas e mínimas, para significar máximo e mínimo local. Usaremos a 
expressão máximos e mínimos absoluto para definir o máximo e o mínimo 
de uma função em todo seu domínio. Uma função pode não ter máximo 
– 77 –
Determinação da monotocidade de uma função através do teorema do valor médio
nem mínimo, como foi visto em limites. A função 
1
f (x)
x
= no intervalo 
(0,2) não tem máximo nem mínimo. Porém se considerarmos o intervalo 
(0,2], ela admitira o valor máximo no extremo x = 2. Portanto, toda vez que 
uma função for contínua e seu domínio for um intervalo fechado, ela terá 
máximo e mínimo.
Se uma função f possui um máximo ou um mínimo em um ponto, 
dizemos que f possui um extremo relativo nesse ponto. Chamaremos o 
ponto máximo ou mínimo de ponto crítico. Logo, esse ponto crítico será um 
máximo ou mínimo da função.
Exemplo 4
Seja a função 2f (x) x 6x 5 em 0 x 5= − + ≤ ≤ . Calculando a derivada 
de f(x), encontraremos como solução f`(x) 2x 6= − , tendo como zero 
o valor x = 3, que é o ponto crítico da função. Determinando os valores 
de f(x) nos extremos, nesse ponto crítico teremos:
2
2
2
f (0) 0 6 0 5 5
f (5) 5 6 5 5 0
f (3) 3 6 3 5 4
= − ⋅ + =
= − ⋅ + =
= − ⋅ + = −
– 78 –
Cálculo Diferencial e Integral I
Podemos verificar que a função tem máximo absoluto igual a 5 e extremos 
x = 0 e mínimo absoluto igual a – 4 no ponto crítico x = 3. Observe o gráfico.
5.5 Aplicação na geometria
Os valores de máximos e mínimos são aplicados na geometria em vários 
aspectos como: área, perímetro, volume.
Exemplo 5
Pedro tem 100m de grade com os quais ele pretende construir um 
pequeno cercado retangular para um pequeno animal. Quais as dimen-
sões do cercado retangular para que a área seja máxima?
– 79 –
Determinação da monotocidade de uma função através do teorema do valor médio
Como o perímetro é P = 2x + 2y, temos que sua área é S = x . (50 – x) 
ou a área S = 50x – x2. Portanto, temos que S = f(x). Agora nosso problema 
é encontrar o valor de x que dá o máximo de f(x) no intervalo de 0 ≤ x ≤ 50. 
f ’(x) = 50 – 2x. Temos que x = 25, é o ponto crítico no intervalo (0,50), como 
f ’(x) > 0 para x < 25 e f‘(x) < 0 para x > 25. Concluímos que f atinge o valor 
máximo, quando x = 25 metros. Observe que a maior área que determinamos 
é de um quadrado.
Atividades
Nas atividades um e dois, determine os extremos absolutos, das funções dadas.
1. 2( ) 5 4 [0;5]f x x x em= − + − .
Logo a função possui:
 2 Máximo absoluto em 9/4 para x = 5/2;
 2 Mínimo absoluto em –4 para x = 0 e x = 5.
2. 
2
2x 1 se x 2
f (x) em [ 3;4]
2x 5 se x 2
− ≤= − − >
Logo a função possui:
 2 Máximo absoluto em 27 para x = 4
 2 Mínimo absoluto em –7 para x = –3
3. O intervalo(s) em que a função 
2x 3, se x 4
f (x)
10 3x se x 4
 − <=  − ≥
 é decres-
cente pode ser:
a) ]0 ; 2[ c) (-∞ ; 4]
b) [0 ; 4] d) [4 ; +∞) 
4. Um projétil é lançado para cima com um percurso de acordo com a 
função f(x) = –2x2 + 18x no intervalo 0 ≤ x ≤ 10. A altura máxima atin-
gida por este projétil em metros foi de:
– 80 –
Cálculo Diferencial e Integral I
a) y = 90 c) y = 40,5
b) y = 70 d) y = 25
Comentário das atividades
Essas questões vêm acrescentar a compreensão sobre crescimento e 
decrescimento de funções usando a derivada, bem como a determinação 
de seus máximos ou mínimo se existirem, utilizando como ferramenta o 
Teorema do Valor Médio. Diante disso, você deverá obter como soluções 
(máximo absoluto em 9/4 para x = 5/2 e mínimo absoluto em –4 para x = 0 
e x = 5) para atividade um e (máximo absoluto em 27 para x = 4 e mínimo 
absoluto em –7 para x = –3) para atividade dois. Já para as atividades três e 
quatro, terá como respostas as assertivas b e c respectivamente.
.
6
Ponto de inflexão 
e concavidade de 
uma função
Muitas funções, quando representadas graficamente, apre-
sentam um comportamento heterogêneo, em qual é possível verificar 
que, em determinados intervalos de seu domínio, seu gráfico pos-
sui concavidade voltada para baixo ou para cima. Diante disso, neste 
capítulo, definiremos os comportamentos dessas funções.
– 82 –
Cálculo Diferencial e Integral I
6.1 Concavidade de uma função
Seja f uma função, se o gráfico de f for côncavo para cima no ponto (k, 
f(k)), se f ’(k) existir e se houver um intervalo aberto I contendo k, tal que 
para todos os valores de x ≠ k em I, o ponto (x,f(x)) do gráfico estará acima 
da reta tangente ao gráfico.
Seja f uma função, se o gráfico de f for côncavo para baixo no ponto 
(k, f(k)), se f ’(k) existir e se houver um intervalo aberto I contendo k, tal que 
para todos os valores de x ≠ k em I, o ponto (x,f(x)) do gráfico estará abaixo 
da reta tangente ao gráfico.
Se f é uma função diferenciavel em algum intervalo aberto contendo k, 
então:
I. se f ’’(k) > 0, o gráfico de f é côncavo para cima em (k, f(k));
II. se f ’’(k) < 0, o gráfico de f é côncavo para baixo em (k, f(k)).
– 83 –
Ponto de inflexão e concavidade de uma função
Exemplo 1
Determine na função abaixo, o intervalo onde a função f(x) = 2x3 – 
2
1
2x
 – 7x + 2, possui o gráfico com concavidade voltada para baixo ou 
para cima.
f(x) = 2x3 – 
2
1
2x
 –7x + 2
Gráfico de f(x)
f`(x) = 6x2 – x –7
f``(x) = 12x –1
f``(x) = 0 , temos como raiz de f``(x) = 1
12
.
Atribuindo valores menores que 
1
12 em f``(x) temos que:
 2 f``(x) < 0 → Concavidade para baixo para x < 1
12
Atribuindo valores maiores que 1
12
 em f``(x) temos que:
 2 f``(x) > 0 → Concavidade para cima para x > 1
12
.
– 84 –
Cálculo Diferencial e Integral I
6.2 Ponto de inflexão
Como vimos no exemplo anterior, existem funções que podem ter con-
cavidade voltada para cima em um intervalo de seu domínio e concavidade 
voltada para baixo em outro intervalo também pertencente ao seu domínio. 
Assim, o ponto no gráfico de uma função diferençável f(x), no qual a conca-
vidade muda, é chamado de ponto de inflexão.
 
Observe que o gráfico de uma função muda sua concavidade no ponto 
onde a reta tangente cruza esse gráficono ponto de inflexão.
Determinando os pontos de inflexão
I. Calcule f ’’(x), ou seja, a segunda derivada de f(x).
II. Determine os pontos no domínio de f para os quais f ’’(x) = 0 ou 
f (x) não existe.
III. Determine o sinal de f ’’(x) à esquerda e à direita de cada ponto x 
= c, encontrado no ponto II. Caso haja uma mudança de sinal de 
f ’’’(x), quando passamos pelo ponto x = c, então, ( c, f(c)) é um 
ponto de inflexão de f.
Exemplo 2
Determine os pontos de inflexão da função f(x) = x3.
A primeira derivada de f ’(x) = 3x2. Portanto, a segunda derivada é f ’’(x) 
= 6x. Como f‘’’ é contínua em toda parte e é zero se x = 0. Temos que 
(0,0) é um ponto de inflexão da função f.
– 85 –
Ponto de inflexão e concavidade de uma função
6.3 O Teste da segunda derivada
I. Determine f ’(x) e f ’’(x).
II. Determine os pontos críticos de f nos quais f ’(x) = 0.
III. Determine f ’’(k) para cada um dos pontos críticos k.
a) Se f ’’(k) < 0, então f tem um máximo relativo em k.
b) Se f ’’(k) > 0, então f tem um máximo relativo em k.
c) Se f ’’(k) = 0, o teste falha, isto é, é inconclusivo.
Caso a derivada de segunda ordem não chegue a uma conclusão, isto 
é, se f ’’(k) = 0, ou seja, se f ’’(k) não existe. Portanto, x = k pode ser 
um extremo relativo ou um ponto de inflexão. Nesses casos, deveremos 
recorrer ao teste da primeira derivada.
Exemplo 3
Determinando os extremos relativos da função usando o teste da segunda 
derivada, para a função:
3 2 21f (x) x 3x 5x 3 f`(x) x 6x 5 (x 5) (x 1)
3
= − + + ⇒ = − + = − ⋅ −
Para f ’(x) = 0 resulta em x = 1 e x = 5, que são os pontos críticos de f . A 
seguir, vamos determinar f ’’.
f ''(x) 2x 6 2(x 3)= − = − .
– 86 –
Cálculo Diferencial e Integral I
Agora, temos que
f ''(1) 2(1 3) 4 0= − = − < .
Como o teste da segunda derivada implica que 
16
f (1)=
3
 é um máximo 
relativo de f. Além disso f ''(5) 2(5 1) 8 0= − = > e o teste da segunda 
derivada implica que 
16
f (5) 
3
= − é um mínimo relativo de f, o que 
confirma os resultados obtidos. Observe o gráfico:
Atividades
Determine em cada função das atividades um e dois os intervalos onde o 
gráfico das funções é côncavo para cima ou para baixo.
1. f(x) = 2x4 – 20x3 +21.
2. 
5
f (x) x
x
= − .
– 87 –
Ponto de inflexão e concavidade de uma função
3. Seja a função g(x) = 4x3 + 6x + 14, o ponto de inflexão de g(x) é:
a) (0; 14) c) não possui ponto de inflexão
b) (0; 0) d) (2; 14)
4. O intervalo onde o gráfico da função f(x) = x3 – 6x2 + 3x – 2 possui 
concavidade para cima é:
a) (-∞ ; 2[ c) [-2 ; ∞+)
b) ]2 ; ∞+) d) (-∞ ; -2]
Comentário das atividades
Essas questões têm o objetivo de compreender a posição da concavidade 
de uma função aplicando-a à derivação. No entanto, você precisa usar as 
propriedades da derivada e verificar onde a função admite valores maiores ou 
menores que zero. Em todas as quatros atividades, você deverá determinar a 
2° derivada ( derivada de 2ª ordem), e assim poderemos determinar o ponto 
de inflexão e, conseqüentemente, os intervalos em que as funções possuem 
concavidade voltada para cima ou para baixo, encontrando como resposta 
Concavidade para baixo para 0 < x < 5 e Concavidade para cima para x < 0 e x > 5 
na atividade um, concavidade para baixo para x > 0 na atividade dois e nas 
atividade três e quatro terá como respostas as assertivas a e b respectivamente.
7
Aplicações de derivadas
Neste capítulo, apresentaremos as aplicações de derivadas 
em algumas áreas do conhecimento. Essas aplicações se darão nas 
áreas da Engenharia, Administração, Ciências Biológicas e na Física. 
Aplicaremos as propriedades da diferenciação vistas anteriormente. 
Assim sendo, este capítulo tem como objetivo compreendermos a 
aplicação do estudo das derivadas e suas propriedades.
– 90 –
Cálculo Diferencial e Integral I
7.1 Aplicação na engenharia
Um fabricante de caixa de papelão deseja fazer caixas abertas, a partir de 
pedaços de papelão com 12 cm2, cortando quadrados iguais dos quatros can-
tos e dobrando os lados para cima. Para determinarmos uma caixa com maior 
volume possível, precisamos encontrar o comprimento do lado do quadrado 
que será cortado.
O volume da caixa é dado pela expressão: 2 3V(x) 144x 48x 4x= − + .
Para determinarmos o volume máximo, devemos encontra os pontos 
críticos de V no intervalo [0,6], ou seja, precisamos calcular V’(x) e, então, 
encontraremos os valores de x para que V’(x) = 0 ou V’(x) não existe.
2V(x) 144 96x 12x= − + . Portanto, os valores de x para que V’ exista 
é x = 6 e x = 2. Então os pontos críticos são 2 e 6. Como V é limitado entre 
[0,6], temos V(0) = 0 e V(6) = 0, e, por outro lado, V(2) = 128. O valor 
máximo absoluto de V em [0,6] é 128. Isso só ocorre quando x = 2.
– 91 –
Aplicações de derivadas
7.2 Aplicação na biologia
Um grupo de estudantes de Biologia verificou que a reprodução de uma 
bactéria durante a próxima década é de aproximadamente B(x) = 3x3 + 2x2 
– 10x + 600 e (0 ≤ x ≤ 10), onde B(x) denota a população no fim do ano x. 
Determine a taxa de crescimento da bactéria, quando x = 2 e x = 6. Qual será 
o tamanho da população de bactérias, 8 anos após esse estudo?
Como a taxa de crescimento da população de bactérias em qualquer 
instante x é dada por B’(x), temos:
2B`(x) 9x 4x 10= + − , em particular x = 2 e x = 6 temos:
2 2B'(2) 9 2 4.2 10 34 e B'(6) 9 6 4 6 10 338= ⋅ + − = = ⋅ + ⋅ − =
Portanto, a taxa de crescimento de bactérias será igual a 34 bactérias por 
ano, após 2 anos, e de 338 bactérias por ano, após 6 anos. A população de bacté-
rias, após o oitavo ano, será igual a 2 2B(8) 3 (8) 2 (8) 10 (8) 600 2184= ⋅ + ⋅ − ⋅ + = 
bactérias.
7.3 Aplicação na administração
Exemplo 1
O crescimento de uma empresa de plano de Saúde aberta há algumas 
semanas, e de seus associados é dado aproximadamente pela função S(x) 
= 100(64 + 4x)2/3 onde ( 0 ≤ x ≤ 52). S(x) expressa o número de asso-
ciados no início da semana x. Determinar a rapidez com que aumenta 
o número de associados, com que rapidez o número de associados do 
plano de saúde está aumentando, no início da 40a semana, e qual é o 
número de associados quando foi aberto o plano.
1
3
1
3
2 800
S(x) 100 (64 4x) 4
3
3 (64 4x)
−
= ⋅ ⋅ + ⋅ =
⋅ +
 determinar a razão 
segundo a qual o número de associados estava aumentando quando o plano 
foi aberto. Logo essa razão é representada por 1
3
800
S`(0) 66,7
3 (64 4 0)
= ≅
⋅ + ⋅
 , 
– 92 –
Cálculo Diferencial e Integral I
ou seja, aproximadamente 67 pessoas. A razão segundo a qual o número 
de associados está aumentando, no início da 40a semana é determi-
nada por 1
3
800
S`(40) 43,9
3 (64 4 40)
= ≅
⋅ + ⋅
, ou seja, de aproximada- 
mente 44 pessoas.
Exemplo 2
Suponha que o custo total semanal incorrido pela Empresa S & 
A para a fabricação de x maquinas seja dado pela função custo total 
2C(x) 800 200x 0,2x (0 x 400)= + − ≤ ≤ . Determine o custo total envol-
vido na fabricação da 251-ésima máquina, a taxa de variação da função 
custo total com a relação a x = 250.
2C(x) 800 200x 0,2x (0 x 400)= + − ≤ ≤ o custo atual envolvido na 
produção da 251-ésima da maquina é igual à diferença entre o custo de 
produção de 251 e 250 maquinas.
C(251) – C(250) = [8000 +200.(251) – 0,2.(251)2] – [8000+200.(250) 
– 0,2(250)2 = 99,80.
A taxa de variação do custo total C com relação a x é dada pela deri-
vada de C, isto é, C'(x) 200 0,4x= − , assim para a produção de 
250 temos:
C'(250) 200 0,4 (250) 100= − ⋅ = .
7.4 Aplicação na física
Um ponto material move-se ao longo de uma reta horizontal, de acordo 
com a equação 3 2S 2t 4t 2t 1= − + − . Determine os intervalos de tempo nos 
quais a partícula se move para a direita e para a esquerda. Determine também 
o instante no qual ela inverte o seu sentido.
A derivada da equação do espaço S’(t) determina a equação da veloci-
dade V(t).
3 2S 2t 4t 2t 1= − + − 
– 93 –
Aplicações de derivadas
2 2S'(t) 6t 8t 2 S'(t) 2(3t 4t 1) 2(3t 1)(t 1)= − + = = − + = − −
Portanto, a velocidade instantânea é zero quando: 
1
t e t 1
3= = . Com 
isso, concluímos que o ponto material está em repouso. E o ponto mate-
rial move-se para a direita, quando v é positivo, e move-se para a esquerda, 
quando v é negativo. Observe a tabela:
3t – 1 t –1 Conclusão
1
t
3
< – – V é positivo, o ponto material move‑se para a direita
1
t
3
= 0 – V é zero, o ponto material está mudando 
de sentido da direita para a esquerda
1
t 1
3
< < + – V é negativo, o ponto mate‑
rial move‑se para a esquerda
t = 1 + 0
V é zero, o ponto material está mudando 
de sentido da esquerda para a direita
1 < t + + V é positivo, o ponto material move‑se para a direita
Atividades
De acordo com a situação problema a seguir, determine a solução das ativi-
dades um e dois.
Uma bola é atirada verticalmente para cima a partir do solo, com uma veloci-
dade inicial de 32 m/s. Se o sentido positivo da distância do ponto de partida 
for para cima, a equação do movimento será S(t) = - 8t2 + 32t. Onde t é o 
número de segundos decorridos, desde que a bola foi atirada, e S o número 
de metros da distância percorrida pela bola.
1. A velocidade instantânea da bola depois de 3 seg.
– 94 –
Cálculo Diferencial e Integral I
2. Quantos segundos a bola leva para atingir o seu ponto mais alto.
3. O dono de uma fazenda plantou 30 macieiras. Cada macieira produz 
100 maças em média. Pretendendo aumentar o número de macieiras, 
o fazendeiro sabe que cada macieira nova plantada fará diminuir 
em 2 maçãs o número médio produzido. O número de macieiras 
que o fazendeiro deverá plantar para que ele possa obter a máxima 
produção de maçãs será.
a) 40 c) 50
b) 25 d) 70
4. Em uma cidade, foi constatada uma epidemia de febre amarela e o 
número de pessoas atingidas, após um determinado tempo t é dado por 
E(t) = 32t – t3/3. Diante desses dados, a razão de desenvolvimento da 
epidemia por pessoas em t = 4 será:
a) 25 pessoas c) 10 pessoas
b) 16 pessoas d) 15 pessoas
Comentário das atividades
As atividade propostas nesta aula têm o objetivo de compreender a apli-
cabilidade dos estudos das derivadas das funções. Como vimos, elas estão 
presentes em diversos campos do dia-a-dia de diversas áreas do conhecimento, 
como Economia, Engenharias, Física, Química. Portanto, para resolver essas 
atividades será necessário relembrar conceitos e propriedades das derivadas 
tais como teorema do valor médio, ponto de inflexão e intervalos de cresci-
mento e decrescimento de uma função. Revendo esses conceitos, você estará 
encontrando como soluções para as atividades propostas, 16 m/s para a 
atividade um e 32 m de altura na atividade dois, e para as atividades três e 
quatro você encontrará como solução as assertivas (a) e (b) respectivamente.
8
Neste capítulo, veremos as noções das funções derivadas e 
a relação entre essas funções e suas primitivas. Na Matemática, toda 
operação possui sua inversa, (adição e subtração, multiplicação e 
divisão, logaritmo e exponencial). Agora, vamos estudar a inversa da 
derivada, que é a integral. Definiremos, também, alguns teoremas e 
aplicações de suas propriedades operatórias para facilitar os cálculos 
com as Integrais indefinidas e definidas.
Definição de integral
– 96 –
Cálculo Diferencial e Integral I
8.1 Antiderivação
Uma função F será chamada de antiderivada de uma função f num 
intervalo I se F’(x) = f(x) para todo x no intervalo I.
Se F(x) = 3x2 + 2x –1 então F’(x) = 6x + 2. Portanto se f for definida por 
f(x) = 6x + 2, teremos que f é a derivada de F(x) e que F(x) é uma antideri- 
vada de f.
Sendo G uma função, será chamada de antiderivada de uma função G 
num intervalo I se G’(x) = g(x) para todo x no intervalo I. Se G(x) = x3 – 2x2 
+ 3x – 5, então g(x) = 3x2 – 4x + 3. Portanto termos que g é a derivada de 
G(x) e que G(x) é uma antiderivada de g.
De um modo geral, se uma função H for antiderivada de uma função 
h num determinado intervalo I e se a função P for definida por P (x) = H(x) 
+ c, em que c é uma constante arbitrária, então P’(x) = H’(x) = h(x).
8.1.1 Teorema I
Se f e g forem duas funções, tais que f ’(x) = g’(x) para todo x no intervalo 
I, então haverá uma constante c, tal que f(x) = g(x) + c para todo x em I.
8.1.2 Teorema II
Se G for uma antiderivada particular de g em um intervalo I, então 
toda antiderivada de g no intervalo I será dada por G(x) + c, em que c é uma 
constante arbitrária.
Exemplo
A antiderivada, ou seja, a função primitiva de cada função a seguir é:
a) f(x) = 3x2 – 5x + 6
F x x x x C
F x x x x C
( )
( )
= − + +
= − + +
3
3
5
2
6
5
2
6
3 2
3
2
– 97 –
Definição de integral
b) g(x) = 2x – 1
= +
= +
2
2
xG(x) 2 –x C
2
G(x) x –x C
c) h(x) = –2x + 5
H x x x C
H x x x C
( )
( )
= − + +
= − + +
2
2
5
5
2
2
8.2 Integral
Para iniciarmos os estudos sobre integral de uma função f em um inter-
valo [a, b], será interessante relembrarmos alguns conceitos sobre áreas, sabe-
mos que a área de um polígono pode ser determinada pela soma das áreas 
dos retângulos que o compõem. Podemos provar que a área assim obtida 
independe de como o polígono é decomposto. Quando decompomos um 
polígono em retângulos de bases ∆x e alturas f(x), onde o produto entre ∆x 
e f(x) definem as áreas desses retângulos. O conceito de “integral definida” 
parte desse princípio e representa a soma de todas as áreas formada por uma 
curva limitada por uma função, assim, para determinarmos a área sob a curva 
delimitada pelo gráfico de uma função positiva f, e pelo eixo dos x em um 
intervalo fechado [a, b], (figura seguinte). Dividindo o intervalo [a, b] em N 
sub-intervalos iguais, com comprimentos iguais a ∆x
b a
N
=
−
.
– 98 –
Cálculo Diferencial e Integral I
A soma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais definidas 
no intervalo [a, b], fornece a área total abaixo da curva. Mais precisamente, 
pode-se dizer que a integral acima é o valor limite da soma:
S f x x f x x f x x f x xn
i
N
i N= = + + +
=
∑
1
1 2( ) ( ) ( ) ... ( )∆ ∆ ∆ ∆
O que se espera é que quando N for muito grande o valor da soma acima 
se aproxime do valor da área abaixo da curva e, portanto, da integral de f(x) 
no intervalo. Ou seja, que o limite
lim ( )
x ii
N
f x x
→∞
=
∑ ∆
1
Devido a dificuldade de representar em linguagem matemática este 
raciocínio intuitivo, utilizaremos outra forma de representar a somatória das 
áreas desses infinitesimais retãngulos através da integral da função f(x) em um 
intervalo fechado [a, b] dada por,
S f x dxN a
b
= ( )∫
Ou seja, onde os números a e b são chamados de limites inferiores e 
superiores respectivamente.
O símbolo ∫ é devido a Leibniz: é uma antiga grafia da letra S de “soma” 
usada para lembrar que estamos lidando com o limite de uma seqüência de 
somas (ÁVILA, 1994, p. 272).
Se a < b, o limite da soma das áreas nesse intervalor será
f x dx F b F a
a
b
( ) = −∫ ( ) ( )
Se a > b, o limite da soma das áreas nesse intervalo será
f x dx f x dx F b F a
b
a
a
b
( ) = − ( ) = − −[ ]∫∫ ( ) ( )
Se a = b, o limite da soma das áreas nesse intervalo será
f x dx f x dx
a
a
b
b
( ) = ( ) =∫ ∫ 0
– 99 –
Definição de integral
8.2.1 Exemplos
a) 4 4 5 3 4 8 32
3
5
dx = − −( )  = =−∫ .
b) xdx x= = − = − =∫
2
1
3
1
3 2 1
2
3
2
3
2
9
2
3
2
3[
c) 
d) 1
4 4
1
65
5
4 4
4x
dx x dx x c x c
x
c= =
−
+ = − + = − +∫ ∫ −
− −
e) 5 5 5
5
11
5
25
11
5
1
5
6
5
11
5 2 5
x x dx x x dx x dx
x
c
x x
c= = = + = +∫ ∫∫ .
8.3 Propriedades das integrais
Após termos estudado as antiderivadas, vamos conhecer quais são os teo-
remas e aplicações de suas propriedades operatórias para facilitar os cálculos 
com as Integrais indefinidas.
8.3.1 Teorema
Se f(x) = 1, temos que:
I. ∫ 1 . dx = x + c
8.3.2 Teorema
II. Se k é uma constante, temos:
kf x dx k f x dx( ) = ( )∫∫
Exemplo
3 3 3
2
2
xdx xdx x C= = +∫∫
– 100 –
Cálculo Diferencial e Integral I
8.3.3 Teorema
III. Se f1, f2, f3, ...fn são funções e estão definidas no mesmo intervalo, 
e C1, C2, C3... Cn constantes então:
[ ]∫ ( )+ ( )+ ( )+ + ( ) =c f x c f x c f x c f