CIRCUITOS ELÉTRICOS I

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federa/
I960
CIRCUITOS ELÉTRICOS I
ELC1026
DEPTO. DE PROCESSAMENTO DE ENERGIA ELÉTRICA
DPEE
Prof. Douglas Schirmer Scharamm
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
ÍNDICE
UNIDADE 1- CIRCUITOS CONCENTRADOS E LEIS DE KIRCCHOFF - 3
1.1. Circuitos Concentrados 3
1.2. Elementos Concentrados 3
1.3. Sentido de referência 4
1.3.1. Sentido de referência para tensão de braço 4
1.3.2. Sentido de referência para corrente de braço 5
1.3.3. Sentido de referência associado 5
1.4. Corrente Elétrica e Tensão 6
1.5. Leis de Kircchoff 7
1.5.1Leis das Correntes de Kircchoff 7
1.5.2 Leis das Tensões de Kircchoff 8
UNIDADE 2 - ELEMENTOS DE CIRCUITOS - 14
2.1. Resistores 14
2.2. Fontes Independentes de tensão e corrente 16
2.3. Equivalente Thevenin e Norton 18
2.4. Divisão de corrente 18
2.5. Divisão de tensão 20
2.6. Ligação Y - A (estrela -triângulo) 23
2.7. Formas de ondas típicas 27
2.8. Capacitores 32
2.9. Indutores 35
2.10. Potência e Energia 41
2.11. Componentes físicos x elementos de circuitos 45
UNIDADE 3 -CIRCUITOS SIMPLES - 48
3.1. Ligação série de elementos 48
3.2. Ligação paralela de elementos 53
UNIDADE 4 - CIRCUITOS LINEARES INVARIANTES NO TEMPO - 63
4.1. Definições e propriedades dos circuitos 63
4.2. Análise nodal 63
4.3. Análise nodal com fontes de tensão ou fontes dependentes no circuito 66
4.4. Análise por malhas 69
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UNIDADE 5 - TEOREMA DE REDES - 74
5.1. Teorema de Thevenin 74
5.2. Teorema de Norton 76
5.3. Teorema da superposição 77
5.4. Teorema da máxima transferência de potência 80
UNIDADE 6 - CIRCUITOS DE 1§ ORDEM - 85
6.1. Circuito Linear Invariante no Tempo de Primeira Ordem 85
6.1.1. Resposta a excitação zero 85
6.1.2. Resposta ao estado zero 91
6.1.3. Resposta completa: Transitório + Regime permanente 97
6.1.4. Resposta ao Degrau Unitário 98
UNIDADE 7 - CIRCUITOS DE 2a- ORDEM - 104
7.1. Resposta a Excitação Zero 104
7.1.1. Circuito RLC paralelo 104
7.1.2. Circuito RLC série 111
7.2. Resposta ao Estado Zero 114
7.2.1. Excitação por fonte de corrente constante 114
7.2.2. Excitação por fonte de tensão constante 116
7.3. Resposta Completa 117
UNIDADE 8 - APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE 120
9. AULAS PRÁTICAS 122
9.1 1° AULA PRÁTICA -CIRCUITOS 1 122
9.2 2o AULA PRÁTICA -CIRCUITOS I 129
10. BIBLIOGRAFIA 132
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UNIDADE 1- CIRCUITOS CONCENTRADOS E LEIS DE KIRCCHOFF -
1.1. Circuitos Concentrados
É qualquer ligação de elemento concentrado, de tal forma que as dimensões sejam
pequenas comparadas com o comprimento de onda da mais alta frequência de interesse. Se
esta relação existir, são válidas as leis de Kircchoff.
EXEMPLO
a) Circuito de áudio
/ = 25KHz
c 3.IO8
A = / = 2sZP = 12km
b) Circuitos de computador
/ = 500MHz
c 3.108
i= T = 5õõÃ&=°*m
- Não é um circuito concentrado-
1.2. Elementos Concentrados
A corrente elétrica circula através de um elemento e a diferença de potencial
entre os terminais do mesmo é bem definida. A partir destas considerações, obtemos
um elemento concentrado.
(+)
JL
ít)
VAB e i—quantidades bem definidas
• Principais elementos concentrados
SResistoresCapacitoresIndutores
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{TTC17197 St(IVT r jTransformaaor
DEFINIÇÕES
• Braço - Elemento concentrado de dois terminais;
• Nós -São os terminais dos braços;
• Tensão de braço -Tensão entre nós;
• Corrente de braço-Corrente que flui entre os braços
1.3.Sentido de referência
1.3.1. Sentido de referência para tensão de braço
Dada a polaridade da tensão, por convenção, a tensão de braço num instante t
é positiva sempre que o potencial elétrico no ponto A for maior que o potencial no
ponto B, sendo medidas no mesmo plano de referência.
Vba
(+)
lAB
>
<-IBA
(")
Vab
VA(t) - VB(t) > 0 -> VAB > 0 e VAB = -VBA
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1.3.2. Sentido de referência para corrente de braço
Dado o sentido de referência para a corrente de braço, por convenção, ela é
positiva num instante t, sempre que um fluxo de cargas elétricas entrar num terminal
(+) e sair num (-).
1.3.3. Sentido de referência associado
Se uma corrente i positiva (+) entrar no terminal positivo e sair no terminal
negativo (-), a potência entregue ao circuito é POSITIVA.
Iab(0 > 0 < 0
(+)
A
*P(+), P(-)
(-)
A
P(+), *P(-)
EXEMPLO:
P = +50W
+ +
P = -50W
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1.4. Corrente Elétrica e Tensão
• Corrente elétrica
A proporção básica de um circuito é a de mover ou transferir cargas de um
percurso fechado específico. Este movimento de cargas é a corrente elétrica denotada
pelas letras:
Formalmente a corrente é a taxa de variação de carga no tempo
• Tensão elétrica
As cargas em um condutor podem mover-se aleatoriamente, entretanto, se
quisermos um movimento orientado, como no caso da i, devemos aplicar uma f.e.m.
Portanto, um trabalho foi realizado sobre as cargas. Definimos a tensão sobre um
elemento como o trabalho realizado para mover uma quantidade de carga através dos
terminais de um elemento.
i= corrente instantânea
I= corrente constante
dW JV=jQ=C = V°'tm
EXEMPLO:
+5V
(+)
-5V
(") > <+>
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1.5. Leis de Kircchoff
1.5.1Leis das Correntes de Kircchoff
Para qualquer circuito concentrado, para qualquer de seus nós, em qualquer
instante de tempo, a soma algébrica de todas as correntes de braço que chegam a um
nó e saem desse nó é zero.
ÿ in = 0
Convenção
• Corrente chegando no nó-> negativa (-)
• Corrente saindo do nó -> positiva (+)
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nó 1:íi— i2 — Í3 — Í5 = 0 íx = í2 + Í3 + Í5
nó 2: i2 + i4 — ii= 0 -» íí = í2 + t4
nó 3: í3 — i4 — í6 = 0
nó 4: i5 + i6 = 0 -> i5 = -í6
NOTAS
• A LCK, impõe uma dependência linear entre as correntes de braço e as equações são
lineares e homogéneas;
• A LCK, se aplica a qualquer circuito elétrico concentrado, isto é, independe da natureza
do elemento;
• A LCK expressa a conservação da carga em todos os nós. Não há nem acúmulo nem
perda de carga.
1.5.2 Leis das Tensões de Kircchoff
Para qualquer circuito elétrico concentrado, para qualquer um de seus
percursos fechados, em qualquer instante de tempo, a soma algébrica das tensões de
braço ao redor de qualquer malha fechada é zero.
Vn = 0
OBS.:
1) Percurso fechado - É o caminho percorrido a partir de um nó passando por
outros nós e voltando ao mesmo nó inicial.
2) Malha Fechada - É um percurso fechado que não contém braços no seu
interior.
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EXEMPLO
+
VI
NOTAS
• A LTK, impõe uma dependência linear entre as tensões de braço de uma malha;
• A LTK, se aplica a qualquer circuito elétrico concentrado, não importando se os
elementos do circuitos são lineares, não-lineares, ativas, passivos, etc...
• A LTK é independente da natureza dos elementos.
EXEMPLOS
1) Algumas das correntes de braço do circuito abaixo são conhecidas, tais
como:i2 = 2 A, i3 = 1A, i7 = 2 A e i8 = 3 A. É possível determinar todas as
correntes de braço restantes?
V5
V3
V2 V6
V4
malha I:
—V1 — V2 = 0
malha //:
—V3 — V4 + V2 = 0
malha III:
—V$ + V6 + V3 — 0
Usa-se o sentido horário para percorrer o percurso fechado
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©
nó 1: it + i2 — 0 -» i2 = —h = —2A
nó 2: i3 — ÿ — i4 — í5 = 0 -»i5 =i3 — i1— r4 = 1— 2 — 3 = —4.4
no 3: iy i2 Í3 íg — 0 ÿ íg — iy Í3 = 2 2 1— 1.4
nó 4: i4 — í8 = 0 -> i4 = i8 = 3.4
?ió 5: i5 + í6 + i8 + i9 = 0
nó 6: — i7 — i9 = 0 -> i9 = —i7 = —2A
2) Suponhamos que no exemplo 1, nós empregamos sentido de referência
associado para a tensão e corrente de braço, com as seguintes tensões:!ÿ =
V3 = V6 = Vg = 1V. É possível determinar as demais tensões de braço?
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malha /:
-Vx - V2 - V3 = 0 -> V2 = -Vx - V3 = -2V
malha II:+V4 + Vs + V8 — 0
malha III:
-V5 + V6 + V3 = 0 ÿ V5 = V6 - V3 = OV
malha IV: V7 + V9 + V6 = 0 -» V7 = -V9 - V6 = -2V
Como V4 e V8 não podem ser calculados, é impossível de se resolver pois o número de
incógnitas é maior que o número de variáveis.
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EXERCÍCIOS
1) No circuito abaixo usando os sentidos de referência associados para as direções
de referência das variáveis de braço
Vi,
ta
a) Aplicar a LCK aos nós 1, 2, 3 e 4. Demonstre que a LCK aplicada ao nó 4 é
uma consequência das outras 3 equações.
b) Escreva a LTK para as 3 malhas do circuito. Escreva a LTK para os percursos
fechados; afe, abdf, acde, bcfe. Demonstre que estas equações são
consequência das 3 equações de malhas.
2) Calcule ie Vab
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3) Dado o circuito onde Vx = 107,72 = 57, V4 = -37,76 = 27, 77 =
—37 e 712 = 87. Determine as outras tensões de braço possíveis.
V7
V5 V6 V12 +
V3VI V2 V4
Vil + V8
11
+ V10 -
4) Com o mesmo circuito anterior, onde ix = 221, i7 = —5.4, i4 = 521, i10 =
— 321 e i3 = 1í4. Determine as outras correntes de braço possíveis.
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UNIDADE 2 -ELEMENTOS DE CIRCUITOS -
2.1. Resistores
Um elemento com dois terminais, que possuem resistência, é chamado de resistor e
se, a qualquer tempo t a sua tensão u(t) e sua corrente i(t) satisfazem uma relação definida
como uma curva no plano vxi. Além disso, é necessário que exista uma relação entre a
corrente instantânea e a tensão instantânea.
• Símbolo:
• Classificação:
o Linear: resistor
o Não linear: diodo, mosfet, etc.
o Não variável no tempo
Em circuitos I, vamos estudar apenas os resistores lineares e invariantes no tempo.
• Resistor invariável no tempo e linear: é um elemento com dois terminais cuja
característica é uma reta passando pela origem no plano vxi.
R
+
v(t)
—Wv
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r = inclinação da reta = tg a = —
v
—
tg a.i
v = r.i
v(t) = fl.i(t) (t) = G.y(t)
G = — = condutância
Unidades:
o R = ohm (O)
o G = Siemens (S)
o V = volt (V)
o i = ampere (/4)
• Casos particulares:
a) Circuito aberto:
É chamado o elemento de dois terminais que a qualquer valor de tensão nos seus
terminais (tensão de braço), e corrente (corrente de braço) é igual a zero.
i
R
v(t) I
i(t) 0
G=ÿ = 0
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b) Curto circuito:
É chamado o elemento de dois terminais que a qualquer valor de corrente (corrente
de braço), sua tensão (tensão de braço) é igual a zero.
ÿ+-V
i
v(t) 0
R =
-TT = T = 0í(t) /
G = — = ooR
2.2. Fontes Independentes de tensão e corrente
a) Fonte de tensão:
Um elemento de dois terminais é chamado de fonte de tensão ideal ou independente,
se ele mantém uma tensão especificada vs(t) nos terminais do circuito ao qual está ligado,
independente da corrente através do circuito (carga).
,_, i
-»
Vs(t)
_
Potência (-): fornecida
Circuito genérico Potência (+): absorvida
• É conveniente usar direções de referência para a tensão e a corrente de uma fonte
independente.
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Vs(t)
OBS.: A fonte de tensão real pode ficar em circuito aberto, mas não em curto, pois a corrente
vai a CD.
b) Fonte de corrente:
É o elemento de dois terminais que mantém uma corrente especificada ts(í) em seus
terminais, independente da tensão aplicada.
OBS.: A fonte de corrente pode ficar em curto circuito, mas não pode ficar em circuito aberto,
pois sua tensão vai a 00.
Is(t)
+
Circuito genérico ÿ>
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2.3. Equivalente Thevenin e Norton
Vs(t)
+ <i(t)
+
V(t)<—> v(t) (t)ls(t)
Equivalente Thevenin
-> fonte de tensão Equivalente Norton -> fonte de corrente
v(t)~ vs(t) + R- i(t) — 0 i(t) + ii(t) - is(t) = 0
v(t) = vs(t)- R.i(t) v(t) vs(t)í(t) + K " R = °
u(t) = vs(t)- fí.i(t)
• A equivalência só é válida nos terminais, ou seja, produz a mesma tensão e corrente
nos terminais. As potências envolvidas no interior do circuito não são equivalentes.
A relação entre os equivalentes Thevenin e Norton é dada por:
RTh = Rn
Vth — R-
2.4. Divisão de corrente
Seja o circuito com dois terminais abaixo:
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• Aplicando:
Lei das Correntes de Kircchoff (LCK):
i = h + i2
Lei das Tensões de Kircchoff (LTK):
V = V1= V2
Pela Lei de Ohm:
Vi . v2
h = — e i2 = —Ri 2 R2
Resolvendo para V:
i 1 1
V = 7;- G1 =— e G2 = —Gi+ G2 R\ R2
Gp — G!+ G2
R' = h
1
v = T~Gp
Logo:
V = Rp- i
_
Ri • R2
v Ri + R2 V -
Ri-R2
Ri + R2-.1
li =
Rp
~R,-,i = hRi + R2-.1 l7 —
Rp
R,
Ri
Ri + R2
ÿa
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Circuito com n resistores em paralelo:
Vl = V2=...= V n = V
i = ti + i? + ...+ t„
Rp . Rp Rp .
h = TT-C l2 = -T- e ln = — .1Kl K2 Kn
G
Tl
= - = f-R> kR<
2.5. Divisão de tensão
Seja o circuito abaixo:
I + Rl
v(t)
Vl
{2> V9
Aplicando:
LTK:
LCK:
Pela Lei de Ohm:
Resolvendo para I:
V = + V2
I= i1= i2
Vr = Ri-l V2 = R2.I
I= Vi = V,Ri R2
I=
V vx + v2
Ri + R2 Ri + R2
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Logo:
V
~ fíl
V Rs
R1 RiVi = TT-V -» Vi = --L—Rs Ri + R2
Ri R2
v2 = —.V -> v2 =---2 R* 2 Ri + R7
-.V
.V
Para um circuito com n resistores em série:
V = 'YJVi :ÿ ii= i2 = ÿÿÿ = in
k=1
71
Rs =ÿíRl
Ri R2 RnVi =y-v> y2 =~rt'V) Vn =
~R~'vKs tis r\s
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Exercícios:
1) Calcule a Req vista pela fonte e encontre i,ÿ eV:
i 3n
->MA-
80V 80<; 560
r*
2) Uma carga requer 321 e absorve 48W. Se apenas uma fonte de 4i4 está disponível,
calcule o valor da resistência a ser colocada em paralelo com a carga.
3) Calcule a Req vista pela fonte e calcule i.
20V 22Q T 80
4) Encontre os valores de /, V1 e Vab.
200
vW
30V
300
-vw-
+ v, -
20V
b 50Q
-*-ÃA/V
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5) Calcule i,v e a potência entregue pela fonte.
30V
6) Calcule V e a potência entregue pela fonte.
12A
100
-VvVÿ-
20
-v\AA-
40 60 3O v 60 >20
2.6. Ligação Y - A (estrela -triângulo)
A B
R2RI
R3
C
OBS.: Para esta relação ser válida, é necessário que seja respeitada a posição dos resistores no
circuito, caso contrário, a transformação não valerá.
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a) Transformação de Y - A:
Quando temos o circuito em estrela (Y) e necessitamos transformar para triângulo (A),
usamos as seguintes relações de resistências:
Ra =
Rb =
Rr =
R±-R 2 ~i~ Ri,R3 d" R2~ R3
R3
Ri-R 2 + R1.R3 + R3m R3
r2
R1.R 2 + Ri-R3 + r3- r3
c R1
b) Transformação de A - Y:
Quando temos o circuito em triângulo (A), e necessitamos transformar paraestrela (Y)
usamos as seguintes relações de resistências:
Ra d" Rb d" Rc
Ra-Rc
Ra + Rb + Rc
Rb-Rc
Ra d- Rb d- Rc
Dica: Para facilitar a transformação e a localização dos resistores corretamente,
desenha-se o Y dentro do A, assim é possível ter uma visualização exata da posição dos
resistores.
Exercícios:
1) Determinar a resistência equivalente entre A e B.
a)
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30
40
7.60
-VW1-
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2) Quando Vab = 90P, a potência será de 270WC Determine fte(? e o valor de
3) Determine as correntes indicadas:
6A
Ml8A100 60
4) Calculei:
40
.A A /
1 V
10V 20
>
2A
* >
J
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5) Calcule e R:
ACí 2A
I—vW—>1
6) Calcule R e V aplicando as LTK e LCK:
15V -
2.7. Formas de ondas típicas
a) Constante:
f(t) = K, para qualquer tempo t.
f«)
b) Função seno (ou cosseno):
/(t) = A.sen(a)t + cp)
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Onde:
A = amplitude da senóide
a) = frequência angular (rd/s)
2n 1
cp = faseT = — ÿÿÿco = 2.n.f ÿ•ÿ f = —
c) Função degrau unitário:
u(t) é definida como: u{t) =
> q
,f(t)
1
{
d) Função degrau unitário defasado:
(0, t - t0 < 0u(t t0) - (1; t _ tQ > o
•
1
10 1
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e) Função de pulso:
ÍO.t< 00 < t < A0, t > A
A = largura do pulso
1
— = amplitude do pulso
1
E umpulso de largura A e altura A
t ftffi
il 2 1
OBS.: a área de um pulso é sempre 1.
Pa(í) u(t) - u(t -A)ÿ, para todo £.A
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m
-ufl)
V
;
i
i
i
i
Iÿfato;
i
1
1
A [
f) Função impulso unitário:
ô(t) — í 0,tÿ0ÿ
'
~ {singular,t — 0
1 5(t)
1
Relação entre õ(t) e u(t):
á(t) = õ(.t)dt = 1, parat > 0
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g) Função rampa unitária:
"(0 = ÿ r(t) = u(t)dt
a) Faça os seguintes gráficos:
a) 3.ô(t - 2)
b) ô(t) + S(t- 1) + S(t + 2)
c) u(2t)
d) u(t).cos(2t + 60°)
e) u(—t)
f) u(3 - 21)
g) u(t).e-t
h) u(t)- 2,u(t - 1)
i) r(t).sen(t)
D Pl/2-(t" 2)
k) S-PaiCt)- 3.P0.i(t - 0,1) +P0.2(t- 3)
1) r(t) - u(t - 1) - r(t - 1)
p(o= =
õ(t)
Relação entre r(t) e u(t):
Exercícios:
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2.8. Capacitores
Um elemento de dois terminais é chamado capacitor se, a qualquer instante de t sua
carga e sua tensão satisfazem uma relação definida por uma curva q(t)xv(t). Esta curva é
chamada de curva característica do capacitor.
• Símbolo:
• Classificação:
o Linear
o Não linear: capacitância em MOSFETs, diodos, etc.
o Variável com o tempo
o Invariante no tempo
• Capacitores lineares e invariáveis no tempo:
1» q(t)
q(t) = tg a.v(t)
tg a = C = inclinação da curva
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q(t) = C.v(t)
• Unidades:
q(t) = Coulomb (C)
C = Farad (F)
• Parâmetros:
a) Carga no capacitor:
q{t) = C.v(t)
b) Corrente no capacitor:
dQ
dQ = C.dv(t),pois Q(t) = C.v(t)
dv{t)
ic{t) = C.- dt
c) Tensão no capacitor:
ic(t)
du(t) = dt
JdHt)=f íc(t)
1 rt
v(t) = F0 + -J i(t)dt
V0 = condição inicial de tensão no capacitor
• Características do capacitor:
a) Se a tensão num capacitor não variar com o tempo, então a corrente nele será
nula.
.c(t) = C.—
Como a tensão não varia com o tempo a derivada em relação ao tempo será nula:
dv(t)
—7ÿ =
°dt
Obs.: Um capacitor é um circuito aberto para corrente contínua.
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Ex.: Capacitor carregado 1/(0) = V0.
b) Um capacitor pode armazenar energia, mesmo quando a corrente através dele
seja nula.
Ex.: Capacitor carregado com tensão constante.
1
E = -.C.V2
2
c) É impossível alterar instantaneamente a tensão nos terminais de um capacitor,
pois a corrente tenderia ao infinito.
Temos que:
di7(t)
l = C.—r-dt
Se alterarmos a tensão, instantaneamente, temos:
dv{t)
dt —>
oo e i -» oo
d) Os capacitores nunca dissipam energia ativa, apenas armazenam energia em seu
campo elétrico.
e) Um capacitor carregado 1/(0) = V0 é equivalente a ligação série de um capacitor
descarregado em t = O e uma fonte constante E = VQ.
1 flv(t) = V0 + J i{t)dt
V0 é a condição inicial de tensão no capacitor em t = 0.
fg i(t)dt é a tensão no capacitor se, em t = 0 -» 1/(0) = 0.
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v(t) C V(0) = V0
Lz
v(t) c v(o) = o
E = V0
2.9. Indutores
Símbolo:
i(t)
J Y Y Y V
Comparação do indutor com o capacitor:
/ OC
Fluxo no L <=> Carga no C
Corrente no L <%>Tensão no C
0(t).í(t)Oq(t).v(t)
0(t)
0
L = tga = —
0{t)
—
L.i(t)
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35
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
• Parâmetros:
f v(t)d(t)Jo
• Classificação:
° Linear
° Não linear
° Invariante no tempo
° Variável no tempo
A grande maioria dos indutores são não lineares, mas, dependendo da aplicação,
podemos aproximar a curva BxH por uma reta. Então, se o indutor for projetado para trabalhar
nesta região, teremos um indutor linear.
Esta região no indutor é linear
-'%
H
Obs.: Se não há variação de corrente, a tensão nos terminais do indutor é zero.
Não variando t, é zero, portanto v(£) = 0.
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36
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Obs.: Um indutor, para corrente contínua é um curto circuito.
VL = 0
-t ) loÿconstante
a) Energia armazenada:
E = -.LA22
b) Quando a chave é aberta, a corrente l0 cai a zero num tempo muito curto, fazendo
com que haja uma sobre tensão na chave.
->í-
\]/ ) 'c
di(t)
dt
di{t)
V
—
L.—-
--
> co, tensão na chavedt
i= I0 + v{t)dtf
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37
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Exercícios:
1) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da tensão nos seguintes casos:
a) ís(t) = ix(t)
ò)is(t) = ô(t)
c) ís(t) = A.cos(cot + cp)
2) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da corrente no capacitor nos
seguintes casos:
V(0) = 0
V(0) = 0
a) Ks(t) = ií(t)
b) Vs{t) = S(t)
c) lAs(t) = A.cos(a)t + cp)
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38
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
3) Assumir que a forma de onda da corrente no capacitor é a seguinte, calcule e esboce a
forma de onda da tensão:
is(t)
.
ti(t)
-3> C=2F
4) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da tensão no indutor para os
seguintes casos:
+ L
i(0) = 0
a) is(t) = u(t)
b) is(t) = 8(t)
c) ís(t) = A.cos(oòt + cp)
5) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da corrente no indutor para os
seguintes casos:
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39
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
a) Ps(t) = u(t)
b)Vs(t) = S(t)
c) Vs(t) = A.cos(cot + cp)
6) Seja o circuito abaixo, calcular e esboçar a forma de onda de vr,vl e v na fonte de
corrente.
+ vr
20
+
is(t)©v
7) Seja o circuito abaixo, calcule i(t),ir(t) e ic(t):
i(t)
v(t)
ir(t)
0,5Q
,'c(t)
:2mF
-v(n
i 2 3
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40
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
8) A corrente no capacitor é dada pela forma de onda abaixo e percorre o capacitor com
C = 2 pF. Calcular e esboçar a forma de onda de Pc(t) para t > 0 e a potência
instantânea e média entregue pela fonte.
ú(t)
ÿ
.Oil-
200 500 t(|is)
-0.02L-
2.10. Potência e Energia
• R - não armazena energia, mas dissipa.
* C— armazena energia em seu campo elétrico.
• L - armazena energia em seu campo magnético.
J
' i(t)
Circuito Gerador v t) Carga
iit)
Corrente que entra igual a corrente que sai.
a) Potência instantânea:
p(t) = 17(t).É(t)
b) Energia: é a integral da potência instantânea a partir de t0 até t.
W(t0,t)= f p(t)dt
Jtn
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41
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c) Potência média e ativa:
H'P = — . p(t)dt
Obs.: A expressão Pmédia = Vmédia -Imédia s° é válida para corrente cotínua. Para corrente
I2
'eficaz-alternada, a potência média em um resistor, por exemplo, é dado por P = R.Ig
Desenvolvendo:
1 rT
P = — I v(t). i{t)dt —> v(t) = R. i(t)
•'O
P = R
1 rrÿA'1(t)dt
leficaz (t)dt
í-eficaz Umédio h +2ÿn
Indutor:
1 frP=ÿ-J v(t).i(t)dt
di(t)
vL = L.- dt
--ÿí'
T
di(t)
P = — . I L.—-— ,i{t)dtdt
i r/coí f
1 JKo)
P =
i (0 /(T)
/(O)
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Obs.: Num sistema periódico. 1(0) — I(T),portanto P = 0.
Obs.: O capacitor tem um comportamento igual ao do indutor.
Exercícios:
1) Seja o seguinte circuito:
5H
+
i(t)( 1ÿVI
Esboce a tensão, potência instantânea e média para:
a) i(t) = 0,5.cos(2t + 7t/4)
b) t(t) = e~°'5t
c)
d)
:(t)
0,1F
vr
"V\AA"
10Q
il(0) = 0
vc(0) = 0
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43
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
2) Calcular e esboçar a forma de onda de cada elemento abaixo, a tensão v(t) é dada
por:
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44
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2.11. Componentes físicos x elementos de circuitos
Elementos de circuitos (Modelos de circuitos): Estes modelos são indispensáveis na análise
e síntese de circuitos físicos.
a) Faixa de operação: Qualquer elemento ou componente físico é especificado pela faixa
de operação, como:
• í ' •1máximo
• P ' •rmáximo
• V ' ÿv máximo
* fmáximo
Ex.: Um resistor de % W, 10D, pode ter circulando no máximo a seguinte corrente:
P = R.l2
p y4
/ = — = — = 160?ni4
,10
Então, a tensão máxima aplicada deverá ser:
V = R.l
V =
M
%
-.10 = 1,67
b) Efeito da temperatura: Diodos, mosfets, resistores, capacitores, entre outros, são
sensíveis à temperatura. Esta variação de temperatura acarreta na variação dos
parâmetros dos dispositivos.
c) Efeito parasita:
-
*
-\/\AA
Resistência do fio
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45
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Nos transformadores, além da resistência do fio, existe uma indutância de dispersão.
d) Valores típicos dos componentes físicos:
• Resistores: rn/2 - Mil, valores múltiplos de: 1,1.2,1.5,1.8,2.2,2.7,3.3, 3.9,
4.7,5.6, 6.2,6.8,8.2,10.
• Capacitores: pF - pF.
• Indutores: nFI,pH,mFI e H.
Exercícios:
1) Seja o circuito abaixo:
Esboçar a tensão, potência instantânea e média em cada elemento, nos seguintes
casos:
a) ís(t) = sen(10t + 45Q)
b) is(t) = 10.u{t)
c)
is(t)
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
d)
4
is(t;
/V
2 4 t
2) Repetir o exercício anterior para o seguinte circuito:
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
UNIDADE 3 -CIRCUITOS SIMPLES
3.1. Ligação série de elementos
a) Resistores
+ •-LS>-
+
ri<:vi
R2<> v2
LTK:
LCK:
v = vx + v2
i = 11= i2
Obs.: Ri e R2 são percorridos pela mesma corrente.
v = i1.R1 + i2.R2
v = i.(R1 + R2)
Req = + R2
Característica da curva v xi:
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
ÿ2 > ÿ1
b) Fontes de tensão: Considerando nfontes de tensão em série:
•—> ( + • = * > ( +
vl v2 v3 vn veq
LTK:
LCK:
v = v1 + v2 + v3 H
-----
F vn
l — í i— Í2 — 13 — in
Todas as fontes de tensão são percorridas pela mesma corrente.
Veq =ÿ Vk
k=1
c) Fontes de corrente: Considerando n fontes de corrente em série:
+ I
il i2 i3 in
LTK:
v = vt + v2 + v3 + —F vn
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49
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Para não violar a LCK, esta ligação só é possível se as fontes de correntes forem iguais.
I — l1 — l2 — Í3 — ln — leq
V ieq
d) Capacitores: Considerando n capacitores ligados em série:
vl v2 v3
+ i + , , - +
Cl
vn
+ i +
C2 C3 Cn Ceq
LTK:
LCK:
v = v1 + v2 +v3
-----
h vn
i — 11— i2 — 13 — in
Obs.: Todos os capacitores são percorridos pela mesma corrente.
1 1 1 r 1 r
=
—J íx dt +— J i2dt +— J i3 dt + + in dt
/111 1\ fVc-k+ÿ+Q + '"+ÿ)Tdt
n
i=yiA Q
1111
—
—
——F ——h ——FCs 1 C2 C3 ('<>
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50
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
e) Indutores: Considerando n indutores em série:
+ i
LI
_/ V Y Y Y_
L2
y y y i_
L3
Y Y Y i_9
Ln
LTK:
LCK:
Veq = V! + V2 + V3 + + Vn
l — li— l2 — I3 — ln
Obs.: Todos os indutores são percorridos pela mesma corrente.
di(t) di{t) di(t)
v = Li-ÿr+L2-ÿr+'"+Ln-ÿr
Leq ~ Li + L2 + L3 + + Ln
di(t)
v = leq-~dT
f) Resistor e fonte de tensão:
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51
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LTK:
V = V1 + v2
v 1= i.Rí
V = i.Rx+ V2
ÿ
Y
J
Equação Característica
Se Rx e v2 são conhecidos, a equação relaciona tensão e corrente.
Para:
v = 0, í =
-v2
Ri
i= 0,v = v2
i= — -
g) Resistor e diodo:
+ •-
+
R1<T vl
vd
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Para:
i < 0, v = —vd »vd = —v
i > 0,v = i — i.R1
/- vd
díodo
v idsal
3.2. Ligação paralela de elementos
a) Resistores:
+
* >
—T
V'2
V + +
LCK:
i = ii+ i2
LTK:
V = V1 = v2
Como vxe v2 são submetidos à mesma tensão, temos:
v v
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53
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v
l= R,7q
1
_
1 1
Req Rl Ri
Para n resistores:
1
_
1 1 1
Req R\ Rl Rr
n
—=fLReq Ri
Req
R2 > R±
Obs.: A Req é sempre menor do que a menor das resistências ligadas em paralelo.
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b) Fontes de corrente:
+ •
V in
v
LCK:
LTK:
+ • >
ieq
i
—
i1+ i2 + i3 + —F in
V = v1 = v2 = ÿÿÿ = vn
Obs.: Todas as fontes estão submetidas a mesma ddp
Tl
1 = Zík
k=1
c) Fontes de tensão:
vl
+ I
•->
i2
—í»
v2
v3
+ •-ÿ
veq
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
LCK:
LTK:
Í — Í i+ Í2 + Í3 + "' + in
V = v1 — v2 = v3 = ÿÿÿ = vn
Obs.: Para a ligação das fontes de tensão em paralelo todas as fontes devem ser iguais.
• Princípio de paralelismo de transformadores: = v2 no secundário.
d) Indutores:
1 .Li2
LI L2
3
in
'Leq
m-•
LCK:
LTK:
í = i1+ i2
V = V1 = v2
k=1
Todos os indutores estão submetidos a mesma tensão, então temos:
v(t)d(t)+ —.f v(t)dt + —h — . í v(t)d(t)J0 Jo
1 rt
i= -— . I v(t)dtLeq J0
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
ll
—=y~
Leq
e) Capacitores:
+ » > -
il
=ÿC1
i2v \f \f
•-é-é-
:C2
i3
C3 :Cn Ceq
LCK:
LTK:
i — í i+ i2 + i3 + —F in
V = v1 = v2 = v3 = ••ÿ = vn
Todos os capacitores estão submetidos ao mesmo potencial, então temos:
dv(t) dv{t) dv{t)
i= Ci-ÿr+C2-ÿr+'"+Cn-ÿr
i= C,eq-
dv(t)
dt
1Ceq = > Ck
k=l
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f) Resistor e fonte de corrente:
LTK:
+ •-—>-*
V 2
II
LCK:
V = V1 = v2
Í = Í !+ Í2
i = ii+ /i
ll= íT
V = Í.R-l — I±.Rt = (í — li),i?!
ÿf V
i= II
V =-Il.Ri
Para:
i— 0, v —
—Iv R1
v = 0,i= lx
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g) Resistor e diodo:
•-> « i-\ ''i \ ,*2
Ri <> 3 r
•-( i-
Para:
v > 0,i — id
v < 0,v = i.R-i
h) Resistor, diodo e fontes de corrente:
+ •-->
Se:
V 2
Dl'
v > 0 e i> I± j .id = i~Ilí - U +h
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59
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Se:
v < 0 e i<
v = i.R1 — 1-i.Rx
v = (i-lí).R1
-Ii.R]
Conclusões:
1) Para ligação de elementos em série, a corrente é a mesma em todos os elementos e a
tensão é a soma algébrica das tensões em cada elemento.
2) Numa ligação de elementos em paralelo, é válido o princípio da dualidade, aplicado
no item 1.
Obs.: Caso singular:
sw
+
VI ÿC1
+
V2 ÿC2
VI
*
V2
Vci(O) = Vi
VC2(0) = o
Ceq ~ Cl d" ÿ2
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60
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Qo- = Qo+
Qo+ = Ceq- V
Qo~ = ÿi- Vi + c2.v2
c1. v1 + c2.v2 = ceq.v
C1. V1 + c2. v2V = Cl + c2
Exercícios:
1) Determine as resistências equivalentes e a corrente em cada resistor.
V12 = íov
2) Determine Vx e Ix:
a)
10 20
VvV-
Vx(/(v)7A . RI
Ix T 3A .
40
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
100 V 80
60
vVA
Vx '
5010
40
3) Para os circuitos abaixo:
>-vW
2' •
a) Determine a característica v x inos pontos 1- 1'e 2 - 2'.
b) Descrever a característica no plano v xi.
c) Obter o equivalente Thevenin.
d) Obter o equivalente Norton.
4) Descrever analítica e graficamente a característica v xi do circuito abaixo:
10Q
+ •—->—AAA-
íov
*
D(ideal)
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62
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
UNIDADE 4 - CIRCUITOS LINEARES INVARIANTES NO TEMPO -
4.1. Definições e propriedades dos circuitos
Componentes: R,L e C podem ser:
• Lineares
• Não lineares
• Variantes no tempo
• Invariantes no tempo.
Circuitos com:
• Componentes lineares -> circuitos lineares
• Componentes lineares invariantes -> circuitos lineares e invariantes no tempo.
4.2. Análise nodal
Nesta seção consideremos métodos de análise de circuitos nos quais as tensões são
incógnitas.
(V1-V2)
Temos:
V12 = (Vi - V2)
v13 = (Vi - V3)
V23 = (V2 - v3)
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Passos para a análise nodal:
a. Contar o número de nós
Pela LTK o somatório das tensões em qualquer percurso fechado é zero. A LTK
obriga uma dependência linear entre as tensões de braço.
b. Escolher uma referência (nesse caso, nó 3)
Como o nó 3 foi adotado como referência (zero Volt), temos:
Em geral, escolhemos um nó como referência e chamamos as tensões dos outros nós
em relação a esta referência.
Concluímos que em um circuito com n nós, teremos n- 1equações e n- 1incógnitas.
V13 = V1 e V23 = V2
Exemplos:
1)
v\AA
Pela LCK:
Nó 1:
0,5. V1 + 0,2(V1-Vz)-3 = 0
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Nó 2:
Logo:
2)
Nó 1:
Nó 2:
Nó 3:
Logo
1.V2 + 0.2(V2 - Ví) - 2 = 0
0,7. V1 - 0,2. V2 = 3
— 0,2. V1 + 1,2.V2 = 2
V1 = 5VeV2 = 2,5V
ÿ3A
1, JW 1® Ãy©,™ t VV t v v4a zisn
-3A
ÿ5s
li -IW
©
4. (Vi - V3) + 3(Vi- V2) + 3 + 8 = 0
- 3 + P2 + 2(V2 - V3) + 3(V2 - Vi) = 0
-25 + 5.y3 + + 2(V3 - V2) = 0
7.V1- 3. V2 - 4.I/3 = -11
-3.17! + 6.V2 - 2.V3 = 3
-4.I/1- 2.1/2 + II.I/3 = 25
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
V1 = IV,V2 = 2V e V3 = 3V
Obs.: Para circuitos que não tenham fontes de tensão ou fontes dependentes, o determinante
pode ser escrito como forma de matriz, e definido como matriz de condutância do circuito.
Características da matriz condutância:
• É simétrica em relação à diagonal principal quando no circuito só tiver fontes de
corrente.
• Os elementos da diagonal são positivos e os outros negativos.
4.3. Análise nodal com fontes de tensão ou fontes dependentes no circuito
4s
w\a
Evitamos o uso do ramo com fonte de tensão, tratando os nós 2 e 3 como super nó.
Super nó: Como o somatório das correntes que chegam no nó 2 e 3 são zero, quando
tratarmos de corrente, o nó 2 e 3 será um super nó.
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
LCK:
Nó 1:
4(Vi - V3) + 3ÿ - V3~) + 8 + 3 = 0
Super nó:
3(V2 -Vi) + V2- 3 + 4(I/3 - Vi) + 5. 1/3 - 25 = 0
Equação do super nó:
V3- V2 = 22
Logo:
—7. Vj + 4.F2 + 9.V3 = 28
7. Vj. - 3. V2 - 4. 1/3 = -11
0.Vx- V2+ V3 = 22
-7 4 9 \ íVl\ 1( 287 -3
-4).ÿ r2 H-110 -1 1/ W V 22
Vi = -4,5V, V2 = -15,51/ eV3 = 6,51/
Equação do super nó: como temos três incógnitas e dois nós (duas equações são
obtidas pela LCK), temos que obter mais uma equação para termos o número de equações
igual ao número de incógnitas.
Procedimentos práticos para a análise nodal:
a) Fazer um diagrama claro e simples do circuito, indicando todos os valores das fontes e
elementos.
b) Se o circuito possuir n nós, escolher um como referência e escrever as tensões dos
n- 1nós em ralação a referência.
c) Se o circuito possuir somente fontes de corrente, aplique a LCK e forme a matriz
condutância.
d) Se o circuito possuir fontes de tensão, substitua-a por um curto circuito criando um
super nó.
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67
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Exercícios:
1) Encontrar as tensões nos nós 1,2,3 e 4.
(ix/s v
25A
2) No circuito abaixo, usar análise nodal para determinar Va, Vb e Vc.
BAMMva >2s
4s • vc(1V)24A
0,8s Vb | 8A
3) Substituir a fonte de 24A por uma fonte de corrente dependente com seta para cima
com valor de —6.ib, onde ib é a corrente dirigida para baixo na condutância de 0.8S.
Determine Va, Vb e Vc.
4) Substituir a fonte de 24-ÿ4 por uma fonte de tensão de 22V com referência positiva
dirigida para cima. Determine Va, Vb e Vc.
5) Substituir a fonte de 244 por uma fonte de tensão dependente, referência positiva
dirigida para baixo e definida como 0,6. Vb. Determine Va, Vb e Vc.
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
4.4. Análise por malhas
• Só é possível se o circuito for uma superfície plana.
• Somente malhas, não percursos fechados.
• n malhas, n equações
• Corrente de malha no sentido horário.
• Na malha que estamos trabalhando, a corrente é positiva em relação às outras.
Exemplos:
1)
42Vé I10V
Ml M2
LTK:
Malha 1:
— 42 + 6. í-l + 3(íÿ — í2) — 0
Malha 2:
3(í2 — ii) + 4. i2 + 10 — 0
Logo:
9. ix — 3. t2 = 42
— 3. í-l + 7. í2 — — 10
it — 6A e i2 - 4A
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
2)
3)
20
> 20
Como criamos uma super malha, temos 3 incógnitas e somente 2 equações. Para
conseguirmos a terceira equação, teremos que conseguir através da fonte de corrente.
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70
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
4)
7V
IO -2Q
+ vx -
-WA
30
(vx/9)A ; , 1Q
20
5)
15A
+ vx
(vx/9)A
6) Use a análise de malhas para determinar ia,ib e ic.
3KQ
-A/W
12KQ
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71
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
7) Use análise de malhas para determinar ia,ib e ic.
3KQ
-AAV
ibj 2100.ib
6KQ
T 12KQ(+ O-
*
-vWÿ
a.
ic
8) Use análise de malhas para determinar ia, ib e ic.
12KQ
V\AA
9) Use análise de malhas para determinar ia, ib e ic.
12KO
ÿvW
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72
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Procedimentos práticos para análise de malhas:
a) Só é aplicada a uma rede de circuito planar.
b) Atribuir uma corrente a cada malha, arbitrando sentido horário, aplicando a LTK.
c) Emprega-se valores de resistência ao invés de condutância.
d) Se o circuito tiver apenas fonte de tensão, a matriz resultante (matriz resistência) é
simétrica em relação diagonal principal, sendo a diagonal principalpositiva e o resto
dos elementos negativos.
e) Se o circuito houver fontes de corrente:
1) Fonte de corrente em paralelo com resistor, aplicar equivalente Thevenin.
2) Fonte de corrente em série com resistor, substituir por um circuito aberto.
Página
73
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
UNIDADE 5 - TEOREMA DE REDES -
5.1. Teorema de Thevenin
Estabelece que uma rede linear ativa com qualquer número de fontes pode ser
substituída em parte ou totalmente por uma única fonte de tensão em série com uma
resistência de Thevenin, onde VThevenin é a tensão A e B em circuito aberto e a Rriievenin é a
resistência equivalente vista pelos terminais A e B, com todas as fontes internas do circuito
zeradas.
Obs.: As fontes de tensão são substituídas por um curto circuito.
•A
Rth
VW-*A
Circuito Qualquer
•B •B
Exemplo: Encontre o equivalente Thevenin do circuito abaixo:
10V(
IMA MB ÿ B
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74
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Primeiramente, substituímos a fonte de tensão por um curto circuito. Depois calculamos o
Km-
-•A
Rth; 1,2 Q
2 2
R = -1— = WTh 2 + 2
2.3ÿTh — õ—õ — 1,2/2In 2 + 3
Rjh
—
1,2 Í2
Através da análise por malhas podemos achar o valor de VTh.
MA:
MB:
Então:
-10 + 2. ia + 2(ia — ib) — 0
ía) + íft + 3. tf, 0
4. ia — 2. ib = 10
—2. ia + 6. ib = 0
ia = 3A e ib = IA
Vab = VTh = ib.3íl = 1.3 = 3F
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1,2Q
vW-•A
«B
5.2. Teorema de Norton
Estabelece que uma rede linear ativa com qualquer número de fontes pode ser
substituída em parte ou totalmente por uma única fonte de corrente em paralelo com uma
resistência de Norton, onde a fonte de corrente é a corrente nos terminais A e B em curto
circuito e Norton é a resistência vista pelos terminais A e B com todas as fontes zeradas.
Obs.: As fontes de corrente são substituídas por um circuito aberto.
Exemplo: Encontre o equivalente Norton do circuito abaixo:
Rn — RTh — 1,2/3
Curto circuitando os terminais A e B, temos a resistência equivalente:
2Q IO
7\AA-vw
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Com isso, podemos calcular o INorton.
10 30
i=
-5- = — = 3,75ÿ4
In — '
30
2 + 1
= 2.5A
ÿ A
5.3. Teorema da superposição
Para redes lineares é válido o princípio da superposição, que estabelece: A resposta de
I ou V em qualquer trecho de um circuito linear que possui mais de uma fonte independente
de corrente ou tensão, ou ainda, de ambos os tipos, pode ser obtida somando-se
algebricamente as respostas nesses ramos produzidas pela ação de cada uma das fontes
atuando isoladamente, isto é, estando as demais fontes zeradas.
Obs.: Cuidar as polaridades das fontes de tensão e de corrente.
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Exemplo 3:
il 2on
»—Wv 12
ip.q
100V(
-<t—>—
Í3 \
s f _
10Q$>>
1
-w
2A ' + \Í50V
T
1) Para fonte de 1007,a fonte de 501/ é um curto e a de 2/1 é um circuito aberto.
100V
Logo:
= 4A
í2=2A
í3 = 2A
2) Para a fonte de 501/, a fonte de 1007 é um curto e a de 2A é um circuito
aberto.
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12 100
—v\AA-
10Q,>
50V
Logo:
ix = -14
i2 = —34
i3 = 2A
3) Para a fonte de 2A, a fonte de 1007 e 507 são um curto circuito.
100
*
—AAA
2A
10O
i1= —0,44
i2 = 0,84
t3 — 0,84
Temos então:
i1= 4 + (-1) + (-0,4) = 2,64
i2 = 2 + (-3) + 0,8 = -0,24
t3 = 2 + 2 + 0,8 = 4,84
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5.4. Teorema da máxima transferência de potência
Um teorema muito útil sobre a potência pode ser desenvolvido com referência a uma
fonte de tensão ou corrente.
Rth
Vth(
•B
A potência fornecida para VL é:
Sendo:
ÿ _ ÿTh
rl+ RTh
Portanto:
Vj\.Rl
L (Rl + Rth)2
Para obter a máxima transferência de potência, faz-se:
dPL
dR, = 0
V?Th' (Rl+ 2.RL-Rrh + Rth Th- (2-Rl + 2.Rl.Rrh) — 0
Rl = R2m
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Rl — Rtii
Para verificar se a função é de máximo ou de mínimo:
d2PL d2Ph
-t <0 -> é de máximo e -T >0 -* é de mínimo.dRl dRf
d2PL Vi
dRl RL=RTh 8" RTh
Th . rt / j r
< 0 e de máximo.
Portanto:
V2V ThPímáx ~ T~R~ ' Rl ~ RTh
Exercícios:
1) Encontre o equivalente Thevenin e Norton dos seguintes circuitos:
a)
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b)
son ion
10Q240VÍ
<A
10Q
12A
100500
d)
20 ion
20o
10AlOfi
60VSOV
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e)
2kQ
vW-
3kQ
ÿww-
4V Vx/4000 vx
2) Determine Kxaplicando análise nodal:
2.Vx
10Q
Vÿ-
0,2V
—t-l
50 4A@
100
W\A
0,5V Mÿ:i4A
200
3) Determine a corrente em todos os elementos, empregando análise nodal:
60
wvÿ-
24V@
40
-VV\A-
10
V#-
30 60 20' ) 18A
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4) Determine Ix usando:
a) Análise nodal.
b) Análise de malhas.
5) Determine Vx empregando o princípio da superposição e a potência gerada pelas
fontes.
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UNIDADE 6 - CIRCUITOS DE 1ÿ ORDEM -
6.1. Circuito Linear Invariante no Tempo de Primeira Ordem
Estudaremos nesta unidade o comportamento de certa grandeza no circuito. Esta
poderá ser tensão, corrente ou a combinação das duas. Além disso, os circuitos de primeira
ordem são caracterizados por possuírem apenas um elemento capaz de armazenar energia,
podendo ser a carga num capacitor ou fluxo de corrente num indutor. Isto irá resultar, em
uma equação diferencial de primeira ordem com os coeficientes constantes, já que está sendo
considerados circuitos lineares invariantes no tempo. A resposta destas grandezas no circuito
será devido a:
• Fontes independentes, que são as entradas ou excitações;
• Condições iniciais do circuito.
6.1.1. Resposta a excitação zero
Ocorrerá num circuito que não possui entradas ou excitações. O comportamento de tal
circuito será função somente das condições iniciais, ou seja, a energia armazenada no circuito
no instante de tempo t=0. Estudaremos então dois circuitos de primeira ordem:
• Circuito RC
• Circuito RL
6.1.1.1. Circuito RC (Resistor- Capacitor)
V0 C vf
Figura 6.1- Circuito RC
• Para t<0, a chave SI fechada e S2 aberta, o capacitor está carregado com tensão
VO, dado pela fonte VO;
• Em t=0, a chave SI é aberta e S2 é fechada (simultaneamente);
• Fisicamente, devido a carga inicial do capacitor (Q = CVO), aparecerá uma
corrente na malha RC. A carga vai decrescendo gradualmente até zero.
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calor.
Durante este processo a energia no capacitor será dissipada no resistor na forma de
Analisando o circuito para t > 0:
ic,
+
C ÿ V0
Figura 6.2- Circuito RC para t > 0
LTK: vc(t) = vr(t) LCK: ic(t) + ir(t)
As duas equações de braços dos dois elementos serão:
Capacitor
= 0
vc(t) = V0 + — .J ic(t).dt
ic(t) = C dvc(t)
Quando Vc(t) -> 0
• Resistor
dt
vc(0) = V0
vr(t) = R. ir(t)
vr(t)
ir(t) = R
Temos, portanto, quatro equações para quatro incógnitas. Supondo que queiramos a
tensão no capacitor como resposta:
dvc(t)
.
d=
A expressão das correntes será:
ir(t) vr(t) —vc(t)
R
dvc(t) vc(t)
C. - +ÿtÿ = 0dt R
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Observando a equação das correntes chegamos podemos observar que esta será uma
equação diferencial, linear, de primeira ordem, homogénea, com os coeficientesconstantes.
Então chegamos que a solução para a equação das correntes é dada pela seguinte equação:
vc(t) = Kl.eSoX
Onde:
• Kl é uma constante determinada pelas condições iniciais do circuito;
• So é a frequência de amortecimento dada pela expressão:
1
So = -—RC
RC=x=constante de tempo
No instante de tempo t = 0 temos que:
vc(0) = iro
K0 = Kl.e°
Kl = V0
OBS.: Quanto menor for o capacitor, mais rápido será a descarga.
A resposta geral será da seguinte forma:__
t_
vc(t) = VO.e RC = vr(t)
Pelas equações obtidas pela LKC obtemos:
ir(t) = — ic(t)
Logo:
-1/0 _1_
íc(t) = RC
+V0 _±_
iKt) = RC
Com as expressões da ,ic(t), ir(t) e vc(t) obteremos os seguintes gráficos:
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ic(t) VO _J_
ic(t) =
--
.e «c
-
ic(t)
-VO/R
Figura 6.3 -Gráfico da corrente no capacitor.
ir(t)
vo <
VO/R ir(t) =— .e RCR
-ir(t)
t
Figura 6.4- Gráfico da corrente no resistor.
vc(t) = VO.e bc = vr(t)
-
vc(t), vr(t)
Figura 6.5 -Gráfico da tensão no capacitor.
A figura 6.5(gráfico da tensão do capacitor) mostra o comportamento do capacitor, ou seja, a
descarga do mesmo ao longo do tempo. Podemos observar que a curva característica é uma
exponencial, e desta forma, pode ser caracterizada por duas condições:
• A ordem da curva em t — 0 é a condição inicial;
• A constante de tempo dependerá exclusivamente dos parâmetros do circuito (R, L, C)
e da forma como os mesmos estão conectados.
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Figura 6.6- Gráfico da tensão do capacitor.
6.1.1.2. Circuito RL (Resistor - Indutor)
Si
ÿ-4-
Figura 6.7 -Circuito RL
Para t < 0, a chave SI está ao terminal b e o indutor está carregado com a corrente Io;
• Para t = 0, SI é conectada ao terminal c, pois a fonte de corrente não pode ficar
em circuito aberto;
O indutor fica conectado ao resistor (R) e a fonte de corrente fica curto circuitada e a
energia armazenada no campo magnético do indutor é dissipada no resistor na forma de calor.
• Analisando o circuito para t > 0 (figura 6.8)
v .
VL
-<J
V.
Vr K
Figura 6.8 -Circuito RL para t > 0
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LTK
LCK
Portando obtemos
vl(t) — vr(t) — 0
ír(t) + í/(t) = 0
ir(t) = —il(t)
A energia armazenada no indutor (fluxo) vai descarregar gradualmente até zero.
Durante este processo, a energia armazenada no campo magnético do indutor é dissipada na
forma de calor pelo resistor.
As equações de braços serão:
• Indutor
dil(t)
ilÇt) = Io + — .Jvl(t).dt
• Resistor
vr(t) = R. ir(t)
vr(t)
ir(t) =
Como queremos if(t) como resposta e sabemos que:
vr(t) = vl(t)
Então obtemos
dilít)
L.—ÿ-+ Ril(t) = 0dt
Onde esta equação corresponde a uma equação diferencial linear, homogénea, de
primeira ordem com os coeficientes constantes então a solução para a equação será da
seguinte forma:
íZ(t) = Kl.eSo.t
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Onde:
• Kl é uma constante determinada pelas condições iniciais do circuito;
No instante de tempo t = 0 temos que:
il(0) = Io
Io = Kl.e0
Io = Kl
• So é a frequência de amortecimento dada pela expressão:
R
So =
-T
£
-= T = constante de tempo
OBS.: Todos estes cálculos valem somente para t > 0
Com a análise exponencial obtemos o seguinte comportamento para o indutor:
il(t)
L/R
t
Figura 6.9- Gráfico da corrente no indutor.
6.1.2. Resposta ao estado zero
6.1.2.1. Circuito RC
• Para t < 0, SI é fechada. Obtemos então;
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C __ V, R
Figura 6.10 -Circuito Rc em resposta ao estado zero
vc(0)
—
0
ic(0) = 0
Em t = 0, SI abre, e a fonte de corrente é conectada ao circuito RC;
Para t > 0
Após um pequeno intervalo com a chave aberta obtemos:
Pois
Figura 6.11-Circuito RC com SI aberta.
ir(0+) = 0,
vr(0+) = 0
ic(0+) = 1fonte
Pela LTK:
v. i= vc(t) = vr(t) = v(t)
A partir disto, obteremos as seguintes considerações:
• Com a fonte de corrente, a tensão no capacitor não varia instantaneamente;
• izcparte de zero (valor inicial) e sobe gradativamente. Portanto:
Em t = 0+
vc(0+) = 0
vr(0+) = 0
ir(t) = 0
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Ou seja, a corrente fluirá toda pelo capacitor
• À medida que vccresce, vr cresce, aplicando uma ir(t) e diminuindo a ic(t)
LCK:
ic(t) + tr(t) = /
Quando deixarmos o circuito ligado, vc cresce até um valor e fica estável
vc
—
— Ifonte
O capacitor carregado é um circuito aberto e toda a corrente I passará pelo resistor.
Isto ocorrerá quando:
vc
-R=I
Considerando a tensão do capacitor como a resposta almejada, temos:
íc(t) + ir(t) = /
dvc(t) vc(t)
C.—-ÿ+—ÿ = /dt R
vc(0) = 0
Quando analisamos o circuito para t = 0+, a tensão no capacitor permanece nula, e a
corrente no resistor também. A corrente flui então somente pelo capacitor. Logo após, com a
corrente fluindo pelo capacitor, ocorre um aumento na tensão vc.
dvc{t) | /
0+=C
Então teremos um vr ÿ 0, e ir tende a crescer diminuindo assim, ic, pois:
íc(t) + ir(t) = /
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OBS.:
• Para t »0, o capacitor estará carregado, e será considerado um circuito aberto
quando toda a corrente da fonte fluir pelo resistor.
vc
— =Ifonte
Quando isto ocorrer, o capacitor será um circuito aberto.
Note que para determinarmos a resposta da tensão do capacitor ao estado zero,
dependemos dos parâmetros do circuito e ainda da função de entrada que no nosso caso será
Ifonte. Esta resposta é denominada solução em regime permanente (solução particular) e
representa a solução do circuito para um tempo infinitamente grande t -> oo e é conhecida
como solução em regime permanente, ou solução para o estado zero do circuito. Então a
expressão para a solução particular será determinada exclusivamente a partir da forma da
função de entrada (Ifonte).
Com estas considerações podemos definir que a solução geral para a equação da
tensão no capacitor será do tipo:
17(t) — Vhomogénea "f" vparticular
Onde a vhomogènea depende além dos parâmetros do circuito, das condições iniciais
no circuito no instante de tempo t = 0
vc(t) = Kl.eSot
Onde Klé determinado pelas condições iniciais.
Já a vparticuiar que dependerá dos parâmetros do circuito e ainda da função de
excitação de entrada.
vc(t) = R.I
A partir disto podemos obter a equação da solução geral pela seguinte expressão:
vc(t) = Kl.eSoX + R.I
Mas para obtermos Klserá realizado pela expressão geral:
t -» 0, vc(0) = 0
0 = Kl+ R.I
Kl = -R.I__
t_
vc(t)
—
—R.I.e RC + R.I
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vc(t) = R.I.(1— e~Rõ)
E as correntes serão dadas pelas equações
dvc(t)
ic(t) = C.- dt
ic(t) C.R.l
R.C -.e
So.t
Logo
ic(t) = I.e RC
Podemos obter então a corrente no resistor ir(i).Sabemos que:
ir(t) =I— ic(t)
Então __
t_
ir(t) = 1.(1— e RC)
R.I
Figura 6.12- Gráfico da corrente e da tensão do capacitor.
6.1.2.2. Resposta ao estado zero com fonte de corrente senoidal
Considerando o circuito abaixo ao qual é excitado por uma fonte de corrente
is(t) = Al. cos(o). t + 01)
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Onde
c v,. v„:>r
Figura 6.13 -Circuito RC alimentado por uma fonte senoidal.
Al =Amplitude;
(o =Frequencia angular= 2nf;
01= Fase
A solução geral para o circuito será da seguinte forma:
f (0 — VhomogêneaO0 ~h ÿparticular (0
Onde a solução homogénea será
-J-r
vc(t) = Kl.e R-C
E a solução particular
vs{t) = A2. cos(m. t + 02)Onde as constantes Al e 02 são as constantes a serem determinadas
cdvparticuiar{t) + vvarticÿlar{t) = Alcos{(út + (j)V)dt R
A2 =
Al
(ÿy + Cu.C)2
Solução geral
02 = 01— arctg(a>. R.C)
vc(t) = Kl.e R-C'1 + A2. cos(a). t + 02)
Para determinar Kl, faz-se:
t -» 0, vc(0) = 0
0 = Kl+A2.cos(cp2)
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Kl = -A2.cos{<p2)
_ t
vc(t) = —A2. cos(02). e Rc + A2. cos(a). t + 02)
6.1.3. Resposta completa: Transitório + Regime permanente
Sl
Figura 6.14 -Circuito RC para resposta completa.
vc(0) = V0
• Para t < 0, a chave curto-circuita a fonte;
• Em t = 0, vale a seguinte equação:
dvc(t) vc(t)
C.—rÿ+—— =Idt R
• Para t > 0:
vr = vc = vi = v(t)
Temos aqui a resposta à excitação e ao estado zero onde:
vi — Resposta a excitação zero;
Vo =Resposta ao estado zero.
Solução para Vo\
V = VO.e~~ècx
Solução para vl\ __
t_
vi = R.I.(1-e RC)
Solução geral:
i t t
v(t) = VO.e R.c1+ R.l.(l-e RC)
Onde:
v(t) = Resposta completa
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PO.e rcx =Resposta à excitação zero
R.I.(l— e~Rcj =Resposta ao estado zero__
t
Isolando e rc
i t
v(t) = (VO-R.I).e R-C + R.I
• (VO — R.Iÿ.e'ÿc'1ÿ Dependerá das condições iniciais e repetina aplicação da
excitação que em t » 0 tende a desaparecer e por causa disto, é chamado de
TRANSITÓRIO;
• R.I -» Esta parcela continua conforme o transitório vai se esgotando, sendo, portanto,
chamado de regime permanente e é ligado a forma de onda da excitação
Figura 6.15 -Gráfico da tensão em resposta completa.
6.1.4. Resposta ao Degrau Unitário
• Para t < 0, u(t) = 0;
• Para t > 0,u(t) = 1.
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l.u(t)O)
Sl
Circuito genérico
-> '
Circuito genérico Circuito genérico
Circuito genérico
Figura 6.16 -Analogia entre a função degrau e uma chave no circuito.
Obs.: u(t) é análogo a uma chave que atua em t=0
Exemplo:
Vr
V.u(t)
VvV-->
R 'lW +
vL
Figura 6.17 -Exemplo do circuito utilizando a função degrau.
Para t < 0,
Para t > 0,
LTK:
il{0) = 0
-V + VR + VL = o
dil(t)
L.—rÿ-+ R- il(t) = V.u(t)
at
u(t) = 1
il(t) dfl0m0gÿnea + ilparticiilar
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Solução homogénea:
--ÿtil(t)homogénea ~ Kl.e L
Solução particular (t » 0)
O indutor carregado é um curto circuito
Para t — 0,
Para t = 0,
Para t »0
V
il(t) = Ã
_K. V
il(t) = Kl.e L +-
-Rt V0 = Kl.e t +-t\
V
Kl=--
v
-Rt V
'
=
_
R
6
''
+ij
iZ(0) = 0
K R,
Página
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EXERCÍCIOS
1) Determine i(0 +),t>(0 +), i(t)e v(t)
200Q
-vwÿ
120V 1K0 < Vcÿ 2mF 500Q
2)
3k0
-w\a-
Si 4kn
*
90V- 6k0 ' IOuF
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5)
AW-
50
Vv\A-
40
.1.20
10 10H
18.u(t)
-i 1-
6)
-W\A-
1200
6on
180V
Sl
->í-
900
lmH 50Q
WA-
2mH 3mH
7)
ÍOOV-
-VW-
30Q
S2 V
- 20Q -
-MA-
40
)
8) Determine rZ(t)
50.u t)V
WAA-
20
50V 60 ; 3H
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9) Determine i/(t) para o circuito abaixo
50.ii
200Q lOmH20.u t mA
10) Obter ií(t).
60.u(t) (
-»— —>—
iL(t)
3Q <
-)
60 2H 1
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UNIDADE 7 - CIRCUITOS DE 2ÿ ORDEM -
7.1. Resposta a Excitação Zero
7.1.1. Circuito RLC paralelo
ir\|
+
vr(t) R
ic,
+
vc(t)=ÿC
vl t L
figura 7.1- Circuito de segunda ordem paralelo
Pelas equações de braço podemos obter:
• Resistor
• Capacitor
• Indutor
Aplicando a LTK
Pela LCK temos
vr(t) = R. ir(t)
vr(t)ír(t) = R
(t) = V0+-.J ic(t)dt
dvc(t)
dt
dil(t)
dt
ic(t) = C.-
vl(t) = L.-
il(t) = /0 +j.j vl(t)dt
vr(t) = vi(t) = uc(t)
ir(t) + i/(t) + tc(t) = 0
i/(0) = I0
vc(0) = 70
Com isso, podemos perceber que temos 6 incógnitas, duas em cada equação
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vc(t) dvc(t)
+ C.-7ÿ + /o +— .j vc(t)dt = 0R dt
Derivando e dividindo por C obtemos:
d.2vc(t) 1 dvc(t) vc(t)
dt2 + RC' dt + LC
Por conveniência, vamos definir dois parâmetros:
• Constante de amortecimento:
1
a =
2RC
Frequência angular ressonante:
1
(ÚQ = Vlc
Por quem definimos a e o)0?
Eles nos ajudam a caracterizar o comportamento do circuito RLC, que hora nos dá
uma resposta exponencial, hora senoidal
Substituindo na equação
d2vc(t) dvc{t) vc(t)
——~z
--
F 2. a.—r
--
1
--
7dt2 dt o)0 2
Substituindo dVCÿ por S chegamos na equação característica
S2 + 2. a. S + a)02 = 0
Raízes: S12 — —a ± ÿ/a2 — co02
• Os zeros do polinómio, ou suas raízes, são chamadas de frequências naturais
do circuito;
• As raízes deste polinómio nos dizem o tipo de comportamento do circuito;
De acordo com os valores de a e de &)0, teremos quatro tipos de comportamento
• Circuito superamortecido;
• Circuito criticamente amortecido;
_
Página
_
105
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• Circuito subamortecido;
• Circuito sem perdas.
7.1.1.1Circuito superamortecido (a > a)0)
As frequências naturais são raízes reais e negativas, cuja resposta é o somatório de
duas exponenciais.
Onde Kl e K2 são determinadas pelas condições iniciais do circuito. Isto pode ser percebido a
partir da resposta quando t=0
vc(t) = tf1.esl,t + K2 .es2X
vc(0) = tf1+ tf2
Derivando vc(t)
íc(0+)
C = K1.S1+K2.S2
Plano Complexo lm(S)(raízes) f
Re(S]
vc(t)
-
vc(t]
t
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106
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7.1.1.2 Circuito Criticamente Amortecido (« = o)0)
As frequências naturais são reais, negativas e iguas.
SI = S2 = — a
Plano Complexo írfl(S)(raízes)
Si= S2 Re(S]
Resposta:
vc(t) = (Kl + K2 ,t).e at
vc(t)
// i V
—
vc(!|
AP- Surge devido à descarga de corrente I0do indutor sobre o capacitor aumentando sua
tensão.
7.1.1.3 Circuito Subamortecido (a < 6>0)
As frequências naturais são raízes imaginárias, complexas, conjugadas.
Si 2 = -a±jWd
Wd = Vÿo2 -cc2
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107
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Plano Complexo lm(S)(raízes)
PI
Re(S)
m
Cuja resposta é:
vc(t) = K.e~ at.cos (Wd. t + 9)
Onde Ke d dependem das condições iniciais
7.1.1.4 Circuito sem perdas (a = 0)
As frequências naturais são imaginárias.
Sl,2 = ±jWd
Wd = U)0
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108
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Plano Complexo lm[S)(raízes)
lii Re(S)
Resposta
vc(t) = K.cos (Wd.t + 8)
Exemplo:
Dado o circuito abaixo determinar ir(t),ic{t),il(t) e vc(t) para a resposta à excitação
zero para cada caso.
a) í/(0) = 10,vc(0)
—
0
b) i/(0) = 10,vc(0) = 10
c) iZ (0) = 0,vc(0) = 30
ic,
vr(t) 6Q vc(t)z) 1/42F vl(t) 7H
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a)
• Cálculo de a e ío0
1 1
a "Yrx ~ 77T"3,5
' 42
1 1
co0 - -
-
- 2,45VTc [7T
42
a > <o0 - Circuito superamortecido
i;c(t) = /Cl.eslt + K2.es2t
• Cálculo das frequências naturais
5-ÿ 2 — iÿccÿ co
51 = -1
52 = -6
• Determinação de Kl e K2
A tensão no capacitor para t = 0 é
vc(0) = V0 = 0
/Cl + K2 = 0
Derivando vc(t) em t = 0
dvc(t) tc(0 )
dt
~
C
dvcCt)
— = /Cl. 51. e + /C2. 52.es2tdt
dvc(t) ic(0+) ir(0) + i/(0)
dt C
Como uc(O) = 0 ,ir(0) = 0, temos
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Logo
10
— = Kl.SI + K2.S2
42
420 = K1.S1+ K2.S2
(K1.S1+K2S2 = 420l Kl+ K2 = 0
Kl = 84 e K2 = -84
íc(t) = C. dvc(t)
cLt
vc(t) = 84. e 1— 84. e -6.t
ic(t) 1 d(84.e-c -84.e~b t)
42 dt
ic(t) = —2. e-t + 12.e~bX
ir(t) = — uc(t)
ir(t) = — 14(e + e )
iZ(t) = ic(t) — ir(t)
t/(t) = 12.e_t - 2. e_6í
7.1.2. Circuito RLC série
vc
vr SR
+
1 vl
LTK
LCK
Figura 7.2- Circuito RLC série
vr + vl + vc = 0
il — ic
—
ir
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di(t) 1 fRi(t) + L.——
--
F Vq + — . I i(t)dt = 0dt L J
Derivando a equação e dividindo por L
d2i(t) R di(t) i(t)
dt2 L' dt LC
R 1
a = — e cú0 = ÿ2L u VZC
d2i(t) di(t)
_+2.ÍI._r+<„o2..(t) = o
Substituindo por Sdt r
S + 2.a.5 + <w0
Equação característica
As raízes deste polinómio nos dão o comportamento do circuito, em relação ao
amortecimento.
Raízes
S12 = —a ±Ja2 — oj02
Da mesma forma que o circuito RLC paralelo, os valores de a e o)0 são os valores que
determinam o tipo de amortecimento do sistema.
• Circuito superamortecido la > u)n)
il(t) = Kl.esl t + K2 .es2 t
• Circuito criticamente amortecido (a = to»)
il(t) = (K1+ K2.t).e~at
• Circuito subamortecido ta < ú)n)
il(t) = K.e~ a~t. cos (Wd.t + d)
Wd = Jcú02 -a2
Circuito criticamente amortecido la = 0)
il(t) = K.cos (Wd. t + 9)
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EXERCÍCIOS
1) Seja o circuito
10Q
-A/VV
t=o t=0
il(t) + 1H
'
Y V
-100V
[ic(t)
í/21?
Determine vc(t), ic{t) e ir(t) e esboçar a forma de onda.
2) Seja o circuito
irÿ
+
ic
+
15Q 1/42F
ih
7H
ir(t)
+
* 50
Determine vc(0+),vc(O ),il(0+), il(O ), ir(t),ic(t),íZ(t) e vc(t), para
a) ZZ(0) = 0(4), vc(0) = 50 (V)
b) £1(0) = 0(4), i7c(0)
-
0 (V)
c) iZ(0) = 10(4), vcÇ0) = 0 (V)
d) il(0) = 10(4), vc(0) = 50 (V)
3) Seja o circuito
10H
10u(-t) mA _0.000250F 500Q
Determine vc(0+),vc(0 ),il(0+), il(0 ),vc(t) e il(t)
4) Repita o exercício 2 para R
—
8,6Í1
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5) No circuito abaixo, a chave indicada estava fechada a bastante tempo, sendo
aberta em t = 0. Calcular a tensão v(t) a partir deste instante
t=0
>í-
>20
>
'>25O
12V
1/300 F
lo
3H
v(t)
7.2. Resposta ao Estado Zero
7.2.1. Excitação por fonte de corrente constante
LTK
LCK
vr(t) R
ic,
+
vc(t)zÿc
+
vl(t) A
Figura 7.3- Circuito RLC paralelo excitado por uma fonte de corrente
il(0) = 0
vc(0) = 0
vr(t) = vL{t) = vc(t) = vl(t)
ir(t) + t(t) + il(t) = I
d2vc(t) 1 cLvc(t) vc(t) 1 dl
dt2 + RC' dt + LC Cdt
Polinómio
S2 + 2.CC.S + (úq2 = 0
Solução geral
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Vc(t) VhomogêneaQ-) "f" Vparticular (0
Onde Vhomogênea(.t) são os quatro casos de amortecimento e VvarticuiariP) é para t
tendendo para o infinito, regime permanente.
Supondo que o sistema seja superamortecido a Vhomogênea(t) pode ser expressa por
vc(t) = Kl.eslx + K2.eS2x
Já a V-particuiarit) é igual a zero, pois num tempo muito grande o indutor é um curto
circuito, então a tensão no capacitor será igual a zero.
Solução Geral
vc(t) = Kl.esix + K2.eS2X
• Determinação das constantes Kl e K2
t = 0, vc(0) = 0, logo
Kl+ K2 = 0
Derivando vc(t) em função do tempo para t = 0
íc(0)
Kl.SI + K2.S2 =—ÿ
ic(0) = /
/
K1.S1+ K2.S2 =-
Onde SI e S2 são as raízes do polinómio
S2 + 2.CC.S + o)02 = 0
EXEMPLO
il(0) = 0 e vc(0) = 0
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7.2.2. Excitação por fonte de tensão constante
+ vl
L
+
vc
- + vrII-AAA-
c R
LTK
LCK
Figura 7.4- Circuito RLC serie excitado por uma fonte de tensão
il{0) = 0 e vc{0) = 0
vc{t) + vl{t) + vr{t) = V
ir(t) = il{t) = ic{t)
di(t) 1 fRi{t) +L.-ÿ+V0+-.j i(t)dt = V
Derivando e dividindo por L
Solução geral
d2i(t) R di(t) i(t)
dt2 + L' dt + LC
R 1 di(t)
a — — e o)n = —=e S — —-—2L 0 VIC dt
S2 + 2..CC.S + coq2 = 0
ic(t)
— lhomogèneaÿd) d" Iparticularid)
Iparticular (0) — 0
Como
t(0) = 0,t?r(0) - 0 e vc(0) = 0 {dada)
Então toda tensão da fonte é aplicada no indutor
dil{0) vl{0) V — vr(0) — vc{0) V
dt L L L
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7.3. Resposta Completa
É determinada pela resposta transitória mais a resposta em regime permanente.
+
5H
vl + vc - + vrHl-vV\A
1/45F 50O
O10V
Figura 7.5- Circuito RLC série
i/(0) = 10Ae vc (0) = 50K
vc(t) + vl(t) + vr(t) = 10V
ir(t) = ic(t) = ZZ(t)
A equação de segundo grau que descreve este circuito é
d2i(t) R di(t) í(t)
dt2 + L ' dt + LC
S2 + 2.a.S + u)02 = 0
R 50
a ~ 2Í ~ Z5 ~ 5
1 1
Como a > co0 logo é um sistema superamortecido.
Ihomogêneait) = Kl.eSlt +K2.eS2t
Pela equação característica
Sl = -leS2 = -9
LTK
LCK
= 3
ÿ(0
— Ihomogènea(t) "F IparticulariP)
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Iparticularity 0
/(t) = Kl.e-t + K2.e_9,t
• Determinação de Kl e K2
Como t = 0, iZ (0) = 10 A
Kl+ K2 = 10
Derivando ZZ(t) para t = 0
di(t)
_
vl{0)
_
V -vc(0) -vr(0)
_
10- 50 - 500
dt L L 5
Portanto
EXERCÍCIOS
1) Considere a = 0, refaça o exercício anterior para R = 0
2) Encontre rr(t), il(tye vc(t)
f Kl+ K2 = 10
—Kl — 9.K2 = -108
Logo
Kl = —2,25 e K2 = 12,25
Resposta completa
7(t) = —2,25. e-t + 12,25e_9-t
24mF
íZ(0) = 0
vc(0) = 0
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3) Determine i/(t)
-MA
son
íov
1/45F Vc(0) = 50V
11(0) = 10A
4) Determine £Z(t)
tZ(0) = 10A
ucÇO) = 50 V
x vl
-W\A-
100Q
10V
2H j| 1/80F
9.vl
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
UNIDADE 8 - APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Figura 7.6- Circuito RL
Equação
Aplicando Laplace
dil(t)
L.—3— + R- il(t) = Vat
V(S)
L. [5.7(5) -1(0)] + R.I(S) = —
1/(5)
I(S).[L.S+R] =-y-+L.I(0)
V(S) L.1(0)
I(S) = nri r nl + -S[L.S + R] [L.S + R]
Resolvendo porfrações parciais
1 A B
= T7 + 'S[L.S + R] 5 L.S + R
1 -L
A = — e B = —R R
1 V(5) KS)./(5)
--
R S L.S +
Pela tabela das transformadas de Laplace terr
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V
il(t) =-. 1-e l + I0.e L
EXERCÍCIOS
1) Resolver por Laplace
ll IH
10V 1F '
ic
t
+
-vc
'2/5Q
2) Refazer o exercício anterior com R = 500H
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
9. AULAS PRÁTICAS
9.1 Io AULA PRÁTICA- CIRCUITOS I
Tempo de descarga do capacitor
A principal característica do capacitor é a propriedade de armazenar energia na
forma de campo elétrico. Ao aplicarmos em um capacitor uma tensão contínua, esse
se carrega com uma tensão cujo valor depende do intervalo de tempo em que
se desenvolverá o processo.
2
Figura 1
No circuito da figura 1, uma fonte de tensão de 30 volts é ligada em série com um
capacitor para t<0, assim deixando o capacitor carregado com tensão 30 V. Em t=0 o
capacitor é ligado em série com a resistência e esta começa a dissipar a tensão
carregada no capacitor transformado-a em calor.
Ao observar a tensão no capacitor consegue-se notar o decaimento da mesma de
forma exponencial, segundo a fórmula abaixo:
V(t) = Vmax.e-íTc
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Tarefa pratica 1
Completar a tabela abaixo utilizando a montagem descrita na figura 1respondendo
as questões abaixo:
a) Calcule o tempo de descarga do capacitor para cada valor de capacitância;
b) Esboce a curva de descarga para as três capacitâncias (Vxt);
Valor de
capacitor
Tempo de
descarga
calculado*
Tempo de
descarga no
experimento*
Esboço
da curva
i
30 V-
V
, à
30 V-
V
k i
30 V-
V
tmax tmax tmax
*lnterprete como tensão final 1.2 V
c) Compare e discuta a diferença entre os valores de tempo obtidos nos três casos.
Explique o por quê.
10. Qual o valor de resistência escolhido pelo grupo? Qual a influência deste valor
na experiência?
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Retificadores
Um exemplo da utilização de capacitores é como filtro na saída de pontes
retificadoras de onda completa (Figura 2).
Figura 2- Ponte retificadora de onda completa com filtro capacitivo.
Tarefa prática 2.
2.1. Montar o circuito da figura 3, retificador de onda completa, e desenhar a
forma de onda de tensão obtida na saída da ponte retificadora utilizando o
osciloscópio.
C = F
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124
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Figura 3- Ponte retificadora de onda completa
2.2. Montar o circuito da figura 2, retificador de onda completa com filtro
capacitivo, e desenhar a forma de onda de tensão obtida na saída da ponte
retificadora alternando a capacitância. Utilize o osciloscópio.
Valor de
capacitor
Esboço
da curva
i
30 V-
V
i à
30 V-
V
i i
30 V-
V
tmax tmax tmax
a) Qual é a diferença da forma de onda da tensão com e sem capacitor?
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
b) O valor do capacitor interfere na forma de onda de saída? Por quê?
Utilização do capacitor como filtro
Devido ao seu comportamento quando submetido a tensões em determinadas
frequências o capacitor é muito utilizado em circuito de filtros. Um exemplo simples da
utilização dele como filtro é na alimentação de microcontroladores.
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
VDD
T
X
10 HF | C9Y
MC9RS08KA2
ÿÿD
VSS
Figura 5 - Retirada da folha de especificação do microcontrolador KA2 da
Freescale®
Fora utilização para filtro de ruídos em alta frequência, o capacitor é utilizado
para sinais conhecidos tais como onda quadrada, dente de serra, senoidal, pois
dependendo da frequência da onda conseguem-se sinais específicos e úteis para a
eletrônica em geral.
Tarefa de casa
Repita a tarefa um, utilizando um indutor em série com uma fonte de corrente.
Utilize um simulador de circuitos, por exemplo, LTspice
(http://www.ufsm.br/materiais) . Obtenha o gráfico da corrente em função do tempo
(Ixt) para três valores diferentes de indutância.
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127
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Osciloscópio
8 7
• Botões
Botões de seleção: utilizados para interagir com as opções dos menus do
osciloscópio;
Regulador de níveis de medida: utilizado para selecionar as faixas de escala do
osciloscópio no momento em que se faz a análise da medida obtida;
Medidas: Seleciona quais medidas que irão ser mostradas no momento de
aquisição da medida;
Auto set: Calcula e mostra a escala adequada à forma de onda;
Run/Pause: Pausa e continua o processo de leitura;
Trigger menu: seleciona se irá ser feita uma interpretação da amplitude do sinal ou
da diferenças de tempos (utiliza o botão 1para regulagem);
SEC/Div: Seleciona a base para a escala de tempo;
VOLTS/Div: Seleciona a base para a escala de tensão.
Modo de utilização do osciloscópio:
Ligue a ponteira do osciloscópio no local aonde deve ser feita a medida;
Ligue o osciloscópio;
Selecione auto set;
Selecione a base de tempo ideal da amostra (depende do valor do capacitor e do
resistor) selecionando no botão 7;
Selecione a base de tensão ideal da amostra (íÿ2£) selecionando no botão 8;
* 10 '
Selecione Trigger Menu (6) e selecione a analise no tempo;
Selecione medidas, escolha os valores de aquisição e utilize o botão 2 para leitura
dos dados no tempo quando a curva estiver parada (5).
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128
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
9.2 2o AULA PRÁTICA- CIRCUITOS I
Circuito RLC
1. Introdução teórica:
O circuito RLC, onde: R é resistência, L indutância e C capacitância, é um circuito
elétrico oscilante.
Pela lei das malhas de Kircchoff temos:
vR + vL + vc= v(t) (1)
-Wv— -
R L
Assim:
vr = r.í vl=l.ÿ- vc = -cjmdt
Substituindo na equação (1), temos:
R.m+ L.ÿ+ V0 + (2)
Derivando a equação (2) e dividindo por L, temos:
d2i(t) R di(t) i(t)
-
ÿ+--— +—ÿ = 0dt2 L dt LC
Temos então:
R 1
a = — e íOn =
~f=2l u Vlc
a = coeficiente de amortecimento exponencial
o)0 = frequência angular de ressonância
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129
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Tipo de amortecimento Il(t)
Superamortecido (a > <r>0) ilÇt) = /q .e~SlX + k2.e~S2mt
Criticamente amortecido (a = oj0) il(t) = (Zq + k2.t).e~aX
Sub-amortecido (a < o)0) il(t) = k.e~aX.cos(ood.t + 0)
Md = ~ «2
Sem perdas (a = 0) iZ(t) = k.cos (cod. t + 9)
2. Laboratório
A partir do circuito abaixo obter:
-WV- v
R L
x
-
-A/W-írwv
R L
• Variando a capacitância obtenha os três tipos de amortecimento.
Dados
ÿinterna da fonte 50 (Q)
ÿdécada 40 (Q)
Osc iloecópb
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Frequência 80 (Hz)
Tensão de alimentação (V)
Indutor (H)
a) Sub-amortecido
C =
u>o =
a =
GRÁFICO
b) Super amortecido
C =
co0 =
a =
GRÁFICO
c) Criticamente amortecido
C =
0J0 =
a =
GRÁFICO
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131
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
10. BIBLIOGRAFIA
[1] - JOHNSON, D. E.; Hilburn, J. R. Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos. ed.
4, p. 542, LTC, 2001.
[2] - ORSINI, L. Q. Curso de Circuitos Elétricos. v. 1, p. 286, Edgard Bluncher, 2002.
[3] - MARIOTTO, P. A. Análise de Circuitos Elétricos. p. 400, Prentice Hall, 2002.
COLABORADORES-Programa de Educação Tutorial de Engenharia Elétrica (PET-EE)
O que é o programa?
O PET é desenvolvido por grupos de estudantes, com tutoria de um docente,
organizados a partir de cursos de graduação das Instituições de Ensino Superior do país, sendo
um grupo por curso orientados pelo princípio da indissociabilidade entre ensino, pesquisa e
extensão e da educação tutorial. A Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) possui
atualmente dez grupos PET ativos, os quais buscam atuar constantemente tanto na
comunidade académica quanto fora dos limites do campus da UFSM, promovendo atividades
integradas de ensino, pesquisa e extensão.
Os principais objetivos do programa são: contribuir para a elevação da qualidade de
formação académica dos alunos de graduação; estimular a formação de profissionais e
docentes de elevada qualificação técnica, científica, tecnológica e académica; formular novas
estratégias de desenvolvimento e modernização do ensino superior no país; e estimular o
espírito crítico, bem como a atuação profissional pautada pela ética, pela cidadania e pela
função social da educação superior.
Atividades do grupo - Programa de Apoio as Disciplinas (PAD)
O PAD foi criado para estimular a utilização de laboratórios e a motivação dos alunos e
professores através da solução de problemas práticos e auxílio na elaboração de atividades
práticas. Através do PAD o PET-EE vem contribuindo com a organização de planos de aulas e
material didático de apoio para realização de aulas práticas e utilização dos laboratórios.
Assim, busca-se atuar, positivamente, de forma direta na graduação, onde alunos e
professores trabalham em conjunto para o crescimento, desenvolvimento e integração do
curso como um todo.
Revisão 1
Programa de Educação Tutorial
Engenharia Elétrica
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132