02 17-03-2015 Fund.Matematica - Prof. Silvano Reis (2)

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L5 
Lecture 2: Propositional Equivalences 1 
Definição e Operações com 
Conjuntos 
Prof. Silvano Reis (www.matematicanaweb.com.br) 
A noção de Conjunto 
 
Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos. 
 
Exemplos: 
•Conjunto dos estados da região Centro-Oeste: C = {Goiás, Mato 
Grosso, Mato Grosso do Sul e Distrito Federal} 
•Conjunto dos números primos: B = {2, 3, 5, 7, 11, 13,…} 
•Conjunto dos quadriláteros: A = {quadriláteros} 
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Lecture 2: Propositional Equivalences 2 
A noção de Conjunto 
Um conjunto é formado por elementos. 
 
Exemplos: 
•Conjunto dos estados da região Centro-Oeste: 
C = {Goiás, Mato Grosso, Mato Grosso do Sul e Distrito 
Federal} 
•Conjunto dos números primos: B = {2, 3, 5, 7, 11, 13,…} 
•Conjunto dos quadriláteros: A = {quadriláteros} 
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Igualdade de conjuntos 
Dois conjuntos A e B são considerados 
iguais quando tem a mesma quantidade de 
elementos e esses elementos são os 
mesmos. 
Em termos de símbolos, temos: 
Sendo A = B , temos que se x A x B. 
 
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Lecture 2: Propositional Equivalences 3 
Universo de Referência 
Quando falamos de um conjunto, é 
necessário especificar um universo de 
referência (conjunto universo - U). 
Mesmo quando um conjunto é definido 
pelos elementos que ele contém, esses 
elementos não podem ser arbitrários. 
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Operações sobre conjuntos 
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Lecture 2: Propositional Equivalences 4 
Operações sobre conjuntos 
Operações sobre conjuntos nos permitem construir 
novos conjuntos a partir de conjuntos dados, do 
mesmo modo que conectivos lógicos nos 
permitem construir novas fórmulas a partir de 
fórmulas mais simples. 
Dados conjuntos A e B, definimos novos conjuntos 
por: 
 União () 
 Interseção () 
 Diferença (-) 
 Complemento (“—”) 
obtendo A B, A  B, A -B eA . 
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Operações sobre conjuntos 
 
 União () 
 
 Interseção () 
 
 Diferença (-) 
 
 Complemento (“—”) 
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Lecture 2: Propositional Equivalences 5 
Operações entre conjuntos 
União ( ): Sendo A e B dois conjuntos não 
vazios,definimos a união de A com B da 
seguinte maneira: 
 
Exemplo: 
Considere A = { 1, 2, 3, 5 } e B = { 0, 4, 5 }, 
então podemos dizer que: 
 

}BxouAx/x{BA 
}5,4,3,2,1,0{BA 
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União 
A  B = { x | x  A ou x  B } 
A B 
U AB 
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Lecture 2: Propositional Equivalences 6 
Intersecção ( ): Dados dois conjuntos A e B 
não vazios, definimos a intersecção de A com B 
da seguinte forma: 
 
A intersecção é formada por elementos que 
pertencem simultaneamente aos dois conjuntos 
A e B. 
Exemplo: Considerando os conjuntos A e B tais que 
A = { -1, 0 , 2, 3, 4, 5 } e B = { 1, 2, 3, 4, 6 }, 
podemos dizer que: 
 
 

}BxeAx/x{BA 
}4,3,2{BA 
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Interseção 
A  B = { x | x  A e x  B } 
A B 
U 
A  B 
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Lecture 2: Propositional Equivalences 7 
Diferença ( - ): São aqueles elementos que são 
exclusivos de um determinado conjunto. Sendo 
A e B dois conjuntos não vazios, definimos a 
diferença entre A e B da seguinte forma: 
 
 
Exemplo: Considerando A = { 0,1, 2, 4, 6 } e 
B = { 1, 3, 4, 5, 7 }, temos que: 
A – B = { 0, 2, 6 } e B – A = { 3, 5, 7 } 
 
{ / }A B x x A e x B-   
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Diferença entre conjuntos 
A-B = { x | x  A e x  B } 
A 
B 
U 
A-B 
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Lecture 2: Propositional Equivalences 8 
Propriedades das operações: 
 
 
 
 
I)
II)
III) 
IV) = 
V) = 
VI) =
VII) = 
A A A
A A A
A A
A
A A
A A
A

 


 
 
 
 

-
-
-
VIII) 
 qdo 
IX)
X) A
A B B A
A B
A B B A
A B B
-  -

  
  
Onde A e B são 
considerados conjuntos 
quaisquer e não vazios. 
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Complemento 
Dado um conjunto A, subconjunto de um certo 
conjunto Universo U, chama-se complementar 
de A em relação a U o conjunto formado pelos 
elementos de U que não pertencem a A. 
 
 
 
{ / }C AUA A C x x U e x A U A      -
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Lecture 2: Propositional Equivalences 9 
Complemento 
A 
U 
A 
{ / }A x x U e x A U A    -
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Exercícios: 
1) Sendo dados os conjuntos abaixo, determine o resultado 
de cada uma das operações a seguir. 
A = { -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 }, B = { 0,1, 3, 6, 7 } e 
C = { -1, 0, 3, 4 }. 
 
-

-


)CB(A)e
CA)d
BA)c
CBA)b
CBA)a
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Lecture 2: Propositional Equivalences 10 
2) Lembrando da definição das operações entre conjuntos, 
determine em cada um dos desenhos abaixo, qual é a 
região correspondente à operação indicada: 
 
 
 
 
 
 
 
)CB(A -
)CB(A -
A
B
C
A
B
C
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3) Sendo A = { 2, 3, 4, 5, 6, 8 } e B = { x / x é natural e x 
< 10 }, determine então o conjunto resultante de cada 
operação abaixo: 
)
)
)
)
) ( )
)
a A B
b B A
c A B
d A B
e A B A
f A 
- 
- 
 
 
-  
- 
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Lecture 2: Propositional Equivalences 11 
É correto afirmar que: 
( )
 (Lei de DeMorgan)
A B A A B
A B A B
A B A B
 -  - 
   
   
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Identidades via Venn 
Muitas vezes é mais simples entender essas 
identidades por meio de Diagramas de 
Venn-Euler. Por exemplo, a Lei de 
DeMorgan: 
 
 
 pode ser visualizada do seguinte modo: 
BABA 
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Lecture 2: Propositional Equivalences 12 
DeMorgan Visual 
A: B: 
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DeMorgan Visual 
A: B: 
AB : 
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Lecture 2: Propositional Equivalences 13 
DeMorgan Visual 
A: B: 
AB : 
:BA
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A: B: 
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Lecture 2: Propositional Equivalences 14 
DeMorgan Visual 
A: B: 
A: B: 
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A: B:A: B: 
:BA
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Lecture 2: Propositional Equivalences 15 
DeMorgan Visual 
 
 
 = 
BA
BA
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Importante: 
 
/ 
 
 
 
 
Pertence
Não Pertence
Tal que
Está Contido
Não Está Contido
Contém
Não Contém
Para Todo







 
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