Medidas de Posição

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MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
 Consiste em encontrar um único número que represente o que é 
“médio” ou “típico” naquele conjunto particular de dados, onde a maior 
parte dos dados tende a concentrar-se. 
 
Observação Importante! 
 
Os conceitos de média e mediana devem ser muito bem entendidos. 
Especificamente, devem ser bem conhecidos os métodos para se encontrar 
os valores da média e da mediana. Devemos saber, também que o valor da 
média pode ser dramaticamente afetado pela presença de um outlier, mas a 
mediana já não é tão sensível a um outlier. (Um outlier é um valor bem 
afastado de quase todos os demais valores.) 
 
 
Média 
 
A Média Aritmética de um conjunto de valores é a medida de centro 
encontrada pela adição dos valores e divisão do total pelo número de 
valores. 
 
 
I) Dados não-agrupados: 
 
 
 
 
 
 
 ( 1 ) 
 
II) Dados agrupados: 
 
II.I. Sem intervalos de classe 
 
 ̅ 
 
 
 ( 2 ) 
 
II.II. Com intervalos de classe 
 
 ̅ 
 
 
 onde xi é o ponto médio da classe. ( 3 ) 
 
 
 
Notação 
∑ denota a soma de um conjunto de valores. 
x é a variável geralmente usada para representar os valores individuais 
dos dados. 
n representa o número de valores em uma amostra. 
N representa o número de valores em uma população. 
 ̅ 
 
 
 é a média de um conjunto de valores amostrais. 
 
 
 
 é a média de todos os valores em uma população. 
 
 
 
 
EXEMPLO Monitoração de Chumbo no Ar Sabe-se que o chumbo tem 
alguns adversos à saúde. Abaixo estão listadas as medidas das quantidades 
de chumbo (em microgramas por metro cúbico, ou ug/m
3
) no ar. A Agência 
de Proteção Ambiental americana estabeleceu um padrão de qualidade do 
ar para o chumbo: um máximo de 1,5 ug/m
3
. As medidas mostradas abaixo 
foram registradas no local do Edifício 5 do World Trade Center, em dias 
diferentes, logo após a destruição causada pelos ataques terroristas de 11 de 
setembro de 2001. Ache a média para essa amostra de medidas de níveis de 
chumbo no ar. 
 
5,40 1,10 0,42 0,73 0,48 1,10 
 
 
 
 
SOLUÇÃO A média é calculada usando-se a fórmula (1). Primeiro some 
os valores e a seguir divida pelo número de valores: 
 
 ̅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O nível médio de chumbo é 1,538 ug/m
3
. Independentemente do valor da 
média, é também de se notar que o conjunto de dados contém um valor 
(5,40) que está bem afastado dos demais. Seria interessante investigar tal 
“outlier”. Nesse caso, o nível de chumbo de 5,40 ug/m3 foi medido um dia 
após o desmoronamento das torres do World Trade Center, e havia níveis 
elevados de poeira e fumaça. Também, alguma quantidade de chumbo 
poderia ser proveniente do grande número de veículos que se dirigiram 
para o local. Esses fatores fornecem uma explicação razoável para um tal 
valor extremo. 
 
Mediana 
 
A mediana de um conjunto de dados é a medida de centro que é o valor 
do meio quando os dados originais estão arranjados em ordem crescente 
(ou decrescente) de magnitude. A mediana é, em geral, representada por 
 ̃ (pronuncia-se “x til”). 
 
 
I) Dados não-agrupados: 
 
Para encontrar a mediana, primeiro ordene os valores e depois siga um dos 
dois procedimentos seguintes: 
 
1°caso: Distribuição com número ímpar de dados. 
 A mediana será o dado que cai exatamente no meio da 
distribuição. 
 
Exemplo: Assim, 16 é o valor mediano na distribuição 11, 12, 13, 16, 17, 
20, 25; em outras palavras, 16 é o valor que divide a distribuição de tal 
forma que, de ambos os lados, há igual quantidade de dados. 
 
 2°caso: Distribuição com número par de dados. 
A mediana será encontrada pelo cálculo da média dos dois números 
do meio. 
 
Exemplo: 11, 12, 13, 16, 17, 20, 25, 26 
 O ponto central dessa distribuição vai, então, ser 16,5, uma vez 
que ele fica precisamente no meio de 16 (4° valor) e 17 (5° valor). 
 
II) Dados agrupados: 
 
 
 
 ( 4 ) 
 
II.I. Sem intervalos de classe: 
 Neste caso, é o bastante identificar a freqüência acumulada 
imediatamente superior à metade da soma das freqüências. A 
mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal 
freqüência acumulada. 
 
II.II. Com intervalos de classe: 
1. Determinamos as freqüências acumuladas. 
2. Calculamos 
 
 
 
3. Marcamos a classe correspondente à freqüência acumulada 
imediatamente superior à 
 
 
 - classe mediana - e, em 
seguida, empregamos a fórmula: 
 
 
[
 
 
 ] 
 
 ( 5 ) 
na qual: 
l
*
 é o limite inferior da classe mediana; 
F (ant) é a freqüência acumulada da classe anterior à classe 
mediana; 
f
*
 é a freqüência simples da classe mediana; 
h
*
 é a amplitude do intervalo da classe mediana. 
 
EXEMPLO Monitoração de Chumbo de Ar Abaixo, estão listadas as 
quantidades medidas de chumbo no ar (em ug/m
3
). Ache a mediana para 
essa amostra. 
5,40 1,10 0,42 0,73 0,48 1,10 
 
SOLUÇÃO Primeiro ordene os valores: 
0,42 0,48 0,73 1,10 1,10 5,40 
Como o número de valores é um número par (6), a mediana é encontrada 
pelo cálculo da média dos dois valores do meio, 0,73 e 1,10 
Mediana = 
 
 
 
 
 
 
 
Como o número de valores é um número par (6), a mediana é a média dos 
dois valores do meio, de modo que a mediana é 0,915 ug/m
3
. Note que a 
mediana é muito diferente da média de 1,538 ug/m
3
 que encontramos para 
o mesmo conjunto de dados amostrais no exemplo anterior. A razão para 
essa grande discrepância é o efeito que 5,40 tem sobre a média. Se esse 
valor extremo fosse reduzido para 1,20, a média cairia de 1,538 ug/m
3 
para 
1,838 ug/m
3
, mas a mediana não se alteraria. 
 
Observação Importante! 
Deve estar claro que a média é drasticamente afetada por valores extremos, 
enquanto a mediana não o é. Pelo fato de a mediana não ser tão sensível a 
valores extremos, ela é, em geral, usada para conjuntos de dados com um 
número relativamente pequeno de valores extremos. 
 
Moda 
 
Escore ou categoria, que numa distribuição, ocorre com mais 
freqüência. 
 
I) Dados não-agrupados 
 
 Quando dois valores ocorrem com a mesma maior freqüência, cada 
um é uma moda, e o conjunto de dados é bimodal. 
Exemplo: 27, 27, 27, 55, 55, 55, 88, 88, 1,10 
moda = 27 e 55 
 
 Quando mais de dois valores ocorrem com a mesma maior 
freqüência, cada um é uma moda, e o conjunto de dados é 
multimodal. 
Exemplo: 1, 1, 1, 1, 5, 4, 7, 7, 7, 7, 8, 3, 10, 10, 10, 10 
moda = 1, 7 e 10 
 
 Quando nenhum valor se repete, dizemos que não há moda. 
Exemplo: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 
não há moda, porque nenhum valor se repete 
 
II) Dados agrupados 
 
II.I. Sem intervalos de classes 
 
 Uma vez agrupados os dados, é possível determinar 
imediatamente a moda: basta fixar o valor da variável de maior 
freqüência. 
 
II.II. Com intervalos de classe 
 
 A classe que apresenta a maior freqüência é denominada 
classe modal. 
 
 Temos, então: 
 
 
 
 Onde: l
* 
é o limite inferior da classe modal; 
 L*
 é o limite superior da classe modal. 
 
Ponto Médio 
Ponto médio = 
 
 
 
 
Observação Importante! 
O ponto médio raramente é usado. Como ele usa apenas o valor mínimo e 
máximo, é muito sensível a esses extremos. 
 
 
RESUMO DAS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
 
POSIÇÃO RELATIVA DA MÉDIA, MEDIANA E MODA 
 
Quando uma distribuição é simétrica, as três medidas coincidem. Porém, a 
assimetria torna-as diferentes e essa diferença é tanto maior quanto maior é a assimetria. 
Assim, em uma distribuição em forma de sino, temos: 
 
 
 ̅ 
 ̅ 
 ̅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Os dados abaixo representam a produção diária em toneladas de uma 
máquina durante um período de 60 dias. Obs.: Use duas casas 
decimais nos seus cálculos. 
 
22,7302 26,542 27,237 28,029 29,219 30,268 30,719 31,349 32,611 34,395 
24,0993 26,583 27,232 28,102 29,663 30,435 30,838 31,522 32,626 34,486 
24,1828 26,662 27,268 28,231 29,812 30,464 30,968 31,556 32,877 34,702 
25,6412 26,694 27,514 28,533 30,012 30,523 31,048 31,669 33,075 34,873 
26,3536 26,782 27,605 28,624 30,049 30,627 31,295 32,089 33,956 35,168 
26,5023 27,213 27,729 29,182 30,152 30,715 31,313 32,446 34,367 36,662 
 
 
a) Construa uma tabela de freqüências contendo freqüências simples, 
relativas, percentual e acumulada para a produção diária desta 
máquina usando 6 classes. 
 
Resposta: 
 
AT = Xmáx – Xmín = 36,66 – 22,73 = 13,93 
 
H = AT / hc = 13,93 / 6 = 2,32 
 
Classes Frequencia 
simples 
Frequencia 
relativa 
Frequencia 
percentual 
Frequencia 
acumulada 
Xi Xifi 
22,73I--- 25,05 3 0,05 5% 0,05 23,89 71,67 
25,05I--- 27,37 12 0,20 20% 0,25 26,21 314,52 
27,37I--- 29,69 11 0,18 18% 0,43 28,53 313,83 
29,69I--- 32,01 20 0,33 33% 0,76 30,85 617,00 
32,01I--- 34,33 6 0,10 10% 0,86 33,17 199,02 
34,33I--- 36,65 8 0,13 13% 0,99 35,49 283,92 
Total 60 1 100% 1.799,96 
 
 
b) Determine o menor valor que seja superior aos 15 piores resultados. 
 
Resposta: 27,514 
 
 
c) Qual a pior produção dos 10% melhores resultados? 
 
 
Resposta: 34,367 
 
 
d) Qual a produção média diária de máquina? 
 
Resposta: ̅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) O dono de um bar deseja atrair mais clientes para o seu 
estabelecimento. Para isso precisa analisar as idades dos seus clientes 
para escolher atrações mais compatíveis com a faixa etária. As 
idades dos clientes estão apresentadas a seguir: 
25, 19, 31, 20, 20, 30, 35, 28, 22, 30, 32, 23, 24, 32, 28, 19, 23, 24, 28, 36, 
26, 38, 31, 33, 27. 
1. Organize esses valores em uma distribuição de frequência de cinco 
classes. 
2. Qual a idade média dos clientes? E a idade mais frequente? 
3. Qual a idade acima da qual estão os 50% mais velhos? 
4. O que é mais provável ocorrer clientes com idade inferior a 27 anos 
ou clientes com idades maior ou igual a 27 e inferior a 34? 
Justifique. 
 
 
Solução: 
1º Passo: Colocar os valores em ordem crescente: 
19, 19, 20, 20, 22, 23, 23, 24, 24, 25, 26, 27, 28, 28, 28, 30, 30, 31, 31, 32, 
32, 33, 35, 36, 38 
 
2º Passo: 
Amplitude da classe = (Xmáximo – Xmínimo) / Número de classes = (38 - 19) / 
5 = 3,8 ≈ 4 
 
1. 
INTERVALOS fi 
19 I--- 23 5 
23 I--- 27 6 
27 I--- 31 6 
31 I--- 35 5 
35 I--- 39 3 
 Ʃfi = 25 
 
 
2. 
INTERVALOS fi Xi fiXi 
19 I--- 23 5 21 105 
23 I--- 27 6 25 150 
27 I--- 31 6 29 174 
31 I--- 35 5 33 165 
35 I--- 39 3 37 111 
 Ʃfi = 25 ƩXifi = 705 
 
Idade média dos clientes: ̅ 
 
 
 
 
 
 
A idade mais freqüente: 28 anos 
3. 
INTERVALOS fi Xi fa 
19 I--- 23 5 21 5 
23 I--- 27 6 25 11 
27 I--- 31 6 29 17 
31 I--- 35 5 33 22 
35 I--- 39 3 37 25 
 Ʃfi = 25 
 
 
 
 
 
 
 
  a classe mediana superior é 27 I--- 31 
 
[
 
 ] 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, a idade acima da qual estão os 50% mais velhos é 28. Ou seja, 
50% abaixo são os clientes mais novos. 
 
É provável ocorrer as duas situações, pois as freqüências simples para os 
dois casos são iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÕES EXTRAS 
 
1. Um estudo sobre tainhas nos estuários do Rio Mamanguape em 
determinada época do ano coletou 80 peixes e anotou o peso, o qual 
está apresentado no quadro abaixo. 
 
390,97 1121,09 1286,30 1431,65 1520,56 1661,04 1845,83 2055,81 
766,88 1124,24 1299,55 1434,70 1523,13 1668,99 1867,59 2106,69 
895,14 1138,05 1306,95 1435,51 1540,91 1684,46 1892,77 2171,89 
954,71 1154,02 1333,92 1448,21 1545,33 1702,77 1893,34 2195,26 
990,08 1173,30 1358,11 1454,71 1580,85 1746,27 1897,68 2215,22 
1005,29 1176,85 1378,58 1475,87 1595,49 1749,00 1941,98 2226,13 
1020,42 1195,76 1412,71 1484,33 1622,64 1750,60 1959,96 2274,08 
1075,78 1206,23 1413,53 1494,01 1632,12 1792,82 2010,37 2407,51 
1106,35 1211,94 1416,71 1498,45 1648,52 1795,64 2019,79 2509,64 
1114,43 1255,54 1423,30 1505,91 1654,16 1802,91 2045,15 2680,25 
 
a) Construa uma distribuição de freqüências com 06 classes (use duas 
casas decimais) para freqüências simples, relativa e percentual. 
 
 
Amplitude da classe = (Xmáximo – Xmínimo) / Número de classes = 
(2680,25 – 390,97) / 6 = 381,55 
 
Classes Frequencia 
simples 
Frequencia 
relativa 
Frequencia 
percentual 
390,97 I--- 772,52 2 0,025 2,5% 
772,52 I--- 1154,07 12 0,15 15% 
1154,07 I--- 
1535,62 
28 0,35 35% 
1535,62 I--- 
1917,17 
23 0,2875 28,75% 
1917,17 I--- 
2298,72 
12 0,15 15% 
2298,72 I--- 
2680,27 
3 0,0375 3,75% 
Total 80 1 100% 
 
b) Construa um histograma. 
 
 
c) Qual o peso modal e mediano das tainhas observadas? 
Resposta: 
Peso modal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Peso mediano: 
CLASSES fi Xi fa Xifi 
390,97 I--- 772,52 2 581,75 2 1163,50 
772,52 I--- 1154,07 12 963,30 14 11559,60 
1154,07 I--- 1535,62 28 1344,85 42 37655,80 
1535,62 I--- 1917,17 23 1726,40 65 39707,20 
1917,17 I--- 2298,72 12 2107,95 77 25295,40 
2298,72 I--- 2680,27 3 2489,50 80 7468,50 
 Ʃfi = 80 122850,00 
 
 
2 
12 
28 
23 
12 
3 
0
5
10
15
20
25
30
 
 
 
 
 
 
  a classe mediana é 1154,07 I--- 1535,62 
 
 
[
 
 
 ] 
 
 
 
 
 
 1153,78 
 
d) Qual o peso médio? 
 
 ̅