Lista de Exercícios sobre Curtos circuitos em Sistemas de Energia Eléetrica Fujio Sato

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Universidade Estadual de Campinas
Faculdade de Engenharia Ele´trica e de Computac¸a˜o
Departamento de Sistemas de Energia Ele´trica
Lista de Exerc´ıcios sobre Curtos-circuitos em Sistemas de Energia Ele´trica
Prof. Fujio Sato
Campinas, julho de 2007
1
1. Treˆs transformadores monofa´sicos teˆm os seus enrolamentos prima´rio e secunda´rio liga-
dos em triaˆngulo/estrela respectivamente. A relac¸a˜o de espiras de cada transformador
e´
√
3:10. Sendo a tensa˜o de linha no secunda´rio 138 kV e a poteˆncia nominal de cada
transformador 16,667 MVA, determine:
a. a tensa˜o de linha do prima´rio.
b. a tensa˜o de fase do prima´rio e do secunda´rio.
c. as correntes nominais de linha e de fase no prima´rio.
d. as correntes nominais de linha e de fase no secunda´rio.
2. Treˆs transformadores monofa´sicos de 13,8 - 345/
√
3 kV, 63,0 MVA e 15,5 % formam
um banco trifa´sico ligado em Delta/Estrela. Determine a reataˆncia em Ω referida ao
lado de baixa e alta do banco.
3. O fabricante submeteu um transformador trifa´sico de 15 MVA, 60 Hz aos ensaios
de curto-circuito e sem carga (vazio) no tap 138 kV / 11,95 kV e mediu os seguintes
valores:
Curto-circuito Vazio
11.980 V 11.950 V
52.070 W 21.050 W
62,80 A 2,07 A
Determine os paraˆmetros se´rie e shunt e indique no circuito equivalente do transfor-
mador em valores % (ANEXO 3 - Relato´rio de Ensaios).
4. Em um sistema de poteˆncia os valores de base sa˜o 138 kV e 100 MVA. O sistema e´
representado num analisador de rede, tendo como valores de base 50 V e 100 ohms. Se
no elemento que representa uma linha de transmissa˜o fluir 150 mA qual sera´ o fluxo
de corrente na linha real para as condic¸o˜es simuladas no analisador?
5. A Figura 1 mostra o diagrama unifilar de um sistema radial de sub-transmissa˜o. A
tensa˜o na carga (barra D) devera´ ser mantida em 30,0 kV. Pede-se o valor da tensa˜o
na fonte (barra A).
.
B
∆ Y
A
50 MVA
x% = 10,0 %
C D
∆ Y
40 MVA
132,0/33,0 kV
x% = 12,0 %
13,8/138,0 kV
Carga
20,0 + j 50,0 ohm 30 MVA
fp = 0,92
Figura 1: Diagrama unifilar de um sistema de energia ele´trica
2
6. No sistema de energia ele´trica representado pelo diagrama unifilar da Figura 2, a tensa˜o
na barra E e´ mantida em 13,8 kV. Para essa situac¸a˜o, calcule as tenso˜es nas barras D,
C, B e A.
.
x% = 8,96 %
r% = 0,34 %
C D
∆
131,1/13,8 kV
fp = 0,85
r% = 0,5 %
Y
15 MVA
x% = 8,0 %
EB
∆ Y
13,8/138 kV
0,8 km
30 MVA
A
10,0 km
0,1902 + j 0,4808 ohm/km 10 MVA
Carga
0,1908 + j 0,3715 ohm/km
Figura 2: Diagrama unifilar de um sistema de energia ele´trica
7. Demonstrar que a impedaˆncia em pu e´ a mesma qualquer que seja o lado do transfor-
mador.
8. No sistema de energia ele´trica radial representado pelo diagrama unifilar da Figura 3,
calcule as correntes de curto-circuito trifa´sico nas barras C, D e E.
∆ y
D1 D2
D3
LT
TR1
C#3
TR2
A
Curto−circuito trifásico = 4.808 MVA −80
Curto−circuito monofásico = 4.109 MVA −80
z+ = 0,1902 + j0,4808 ohm/km
138,0/11,95 kV − 15 MVA − 8,68 %
z+ = 0,1903 + j0,3922 ohm/km
zo = 0,4359 + j1,8540 ohm/km
11,950/0,220−0,127 kV − 500 kVA − 5,0 %
o
o
zo = 0,4414 + j1,7452 ohm/km
138 kV R1 R2
TC1 TC2
800 m
10 km
LT
TR2
11,95 kV
C#3
C#1
C#2
Sb = 100 MVA
11,95 kV
R3
TC3
220 V
f
138 kV
EQU.
SI
TR1
f: curto−circuito próximo à barra C
A B
C
D
E
Figura 3: Diagrama unifilar de um sistema de energia ele´trica radial
9. Repita o Exerc´ıcio anterior, desprezando-se a parte resistiva dos componentes e monte
uma Tabela comparativa.
10. No sistema de energia ele´trica interligado representado pelo diagrama unifilar da Figura
4 , calcule as correntes de curto-circuito trifa´sico na barra D, atrave´s do:
a. teorema de The´venin
3
b. teorema da superposic¸a˜o
138 kV
A
10 km
LT
TR2Curto−circuito monofásico = 4.109 MVA −80
z+ = 0,1902 + j0,4808 ohm/km
zo = 0,4414 + j1,7452 ohm/km
138,0/11,95 kV − 15 MVA − j8,68 %
z+ = 0,1903 + j0,3922 ohm/km
zo = 0,4359 + j1,8540 ohm/km
11,95/11,95 kV − 2,5 MVA − j5,0 %
A
LT
TR1
C#3
GER
TR2
Curto−circuito trifásico = 4.808 MVA −80o
o
TR1
800 m
11,95 kV
E
D
GER
B
C#3
C#2
C#1
Sb = 100 MVA
138 kV
11,95 kV
C
11,95 kV − 10,0 MVA − xd’ = j20,0 % 
EQ
Sistema
f
Figura 4: Diagrama unifilar de um sistema de energia ele´trica interligado
11. No circuito da Figura 5 a fonte de corrente e´ ajustada para que uma corrente unita´ria
seja “injetada” na barra 0 e “retirada” da barra 3. Calcule as quedas de tenso˜es entre
a barra 0 e as barras i (i = 1,2,3 e 4).
Obs.: trabalhe com 4 casa decimais.
1
0
43
2
j20,0% j30,0%
j80,0%
j80,0% j100,0%
j60,0%
1,0
Figura 5: Diagrama unifilar de um sistema de 4 barras e 6 ramos
12. No circuito da Figura 6 a fonte de corrente e´ ajustada para que uma corrente unita´ria
seja “injetada” na barra 0 e “retirada” da barra 5. Calcule as quedas de tenso˜es entre
a barra 0 e as barras i (i = 1,2,3,4 e 5).
Obs.: trabalhe com 4 casa decimais.
13. Aplicando os algoritmos, formar a matriz Z+BARRA do sistema da Figura 7.
Obs.: trabalhe com 4 casa decimais.
4
3
0
2
j20,0% j30,0%
1
j80,0% j100,0%
j60,0%
5
1,0
4
1,0
j80,0%1
0
43
2
j20,0% j30,0%
j80,0%
j80,0% j100,0%
j60,0%
5
j60,0%
Figura 6: Diagrama unifilar de um sistema de 5 barras e 7 ramos
1
0
43
2
j20,0% j30,0%
j80,0%
j80,0% j100,0%
j60,0%
Figura 7: Diagrama unifilar de um sistema de 4 barras e 6 ramos
14. Dados o sistema - Figura 8, os paraˆmetros dos ramos e a matriz ZBARRA em pu, calcule:
a. a corrente de curto-circuito trifa´sico na barra 7, em ampe`res
b. as tenso˜es de fase nas barras 1,4 e 5, em kV
c. os fluxos de corrente nas linhas 1-6 e 8-7, em amperes
De – Para —- r+ + j x+
0 —– 1 —- 0,000 + j 0,010
0 —– 2 —- 0,000 + j 0,015
1 —– 2 —- 0,000 + j 0,084
0 —– 3 —- 0,000 + j 0,005
2 —– 3 —- 0,000 + j 0,122
2 —– 4 —- 0,000 + j 0,084
3 —– 5 —- 0,000 + j 0,037
1 —– 6 —- 0,000 + j 0,126
6 —– 7 —- 0,000 + j 0,168
4 —– 7 —- 0,000 + j 0,084
5 —– 8 —- 0,000 + j 0,037
7 —– 8 —- 0,000 + j 0,140
5
Vb = 138 kV
Sb = 100 MVA
7
0
2
8
5
3
4
6
1
Figura 8: Diagrama unifilar de um sistema de 8 barras e 12 ramos


0, 00889104 0, 00132842 0, 00011167 0, 00204268 0, 00056903 0, 00626215 0, 00275695 0, 00102639
0, 00132842 0, 01134623 0, 00055371 0, 00833387 0, 00137805 0, 00303974 0, 00532152 0, 00220239
0, 00011167 0, 00055371 0, 00475959 0, 00120070 0, 00425613 0, 00085568 0, 00184769 0, 00375267
0, 00204268 0, 00833387 0, 00120070 0, 06620613 0, 00792254 0, 01834370 0, 04007839 0, 01464439
0, 00056903 0, 00137805 0, 00425613 0, 00792254 0, 03662437 0, 00652532 0, 01446703 0, 03199261
0, 00626215 0, 00303974 0, 00085568 0, 01834370 0, 00652532 0, 08999879 0, 03364765 0, 01219496
0, 00275695 0, 00532152 0, 00184769 0, 04007839 0, 01446703 0, 03364765 0, 07483526 0, 02708638
0, 00102639 0, 00220239 0, 00375267 0, 01464439 0, 03199261 0, 01219496 0, 02708638 0, 06023255


(1)
15. Represente as seguintes expresso˜es na forma polar:
a. a2 - 1
b. 1 - a - a2
c. 2a2 + 3 + 2a
d. ja
16. Represente fasorialmente:
a. Vˆx = 220,0 e
j600 (2,0a
2+3,0+2,0a
1,0−a−a2 )
b. Iˆx = 5,0 e
j300 (a
2+1,0+a
1,0−a−a2 ) +
√
3 11,0 e−j60
0
(a−1,0+a
2
a−a2 )
17. Determine analiticamente as tenso˜es de fase, Vˆan, Vˆbn e Vˆcn em um circuito onde Vˆan+
= 50 ej0
0
, Vˆan− = 10 ej90
0
e Vˆano = 10 e
j1800 .
18. Para um curto-circuito monofa´sico numa barra de 13,8 kV (tensa˜o de linha) as tenso˜es
de sequeˆncias calculadas em pu foram: vˆa+ = 0,6420 e
j0,60, vˆa−= 0,3581 ej179,0
0
e vˆao
= 0,2843 e−j177,5
0
. Calcule as tenso˜es de fase Vˆan, Vˆbn e Vˆcn.
19. Determine as componentes sime´tricas da corrente trifa´sica, Iˆa = 10 e
j00 , Iˆb = 10 e
j2500
e Iˆc = 10 e
j1100 .
6
20. Num curto-circuito bifa´sico as correntes de fase sa˜o, Iˆa = 0,0 e
j00 , Iˆb = 4.658,7 e
−j176,50
e Iˆc = 4.658,7 e
j3,50 . Calcule as correntes de sequeˆncias Iˆa+, Iˆa− e Iˆao.
21. Determine analiticamente as correntes de fase Iˆa, Iˆb e Iˆc em ampe`res, sabendo-se que
as correntes de componentes sime´tricas sa˜o iˆa+ = 0,5472 pu 6 −90o, iˆa− = 0,5472 pu
6 −90o e iˆao = 0,5472 pu 6 −90o e tendo-se como valores de base Sbase = 100 MVA e
Vbase = 11,95 kV. (Resp.: Iˆa = 7.928, 3 6 − 900 e Iˆb = Iˆc = 0, 0 6 00)
22. Determine analiticamente as correntes de fase IˆA, IˆB e IˆC em ampe`res, sabendo-se que
as correntes de componentes sime´tricas sa˜o: iˆA+ = 0,5472 pu 6 −60o, iˆA− = 0,5472 pu
6 −120o e iˆAo = 0,000 pu 6 0, 0o e tendo-se como valores de base Sbase = 100 MVA e
Vbase = 138 kV. (Resp.: IˆA = 396, 4 6 − 900, IˆB = 0, 0 6 00 e IˆC = 396, 4 6 900)
23. Determine analiticamente as correntes de componentes sime´tricas iˆa+, iˆa− e iˆao em
valores pu, sabendo-se que as correntes de fase sa˜o: Iˆa = 0,0 A 6 0, 0o, Iˆb = 6701,0 A 6
180, 0o e Iˆc = 6701,0 A 6 0, 0o e tendo-se como valores de base Sbase = 100 MVA e Vbase
= 11,95 kV. (Resp.: iˆa+ = 0, 8008 6 − 900, iˆa− = 0, 8008 6 − 900 e iˆa0 = 0, 0 6 00)
24. Determine analiticamente as correntes de componentes sime´tricas iˆA+, iˆA− e iˆAo em
valores pu, sabendo-se que as correntes de fase sa˜o: IˆA = 335,0 A 6 0, 0o, IˆB = 670,0
A 6 180, 0o e IˆC = 335,0 A 6 0, 0o e tendo-se como valores de base Sbase = 100 MVA e
Vbase = 138,0 kV. (Resp.: iˆA+ = 0, 8008 6 − 600, iˆA− = 0, 8008 6 00 e iˆA0 = 0, 0 6 00)
25. Determine analiticamente as tenso˜es de fase Vˆa, Vˆb e Vˆc em kV, sabendo-se que as
ten soes de componentes sime´tricas sa˜o vˆa+ = 0,6583 pu 6 0, 0o, vˆa− = 0,3417 pu 6
−180o e vˆao = 0,3167 pu 6 −180o e tendo-se como valor de base Vbase = 11,95 kV.
(Resp.: Vˆa = 0, 0 6 00, Vˆb = 6, 81 6 − 118, 740 e Vˆc = 6, 81 6 − 118, 740)
26. Determine analiticamente as tenso˜es de fase VˆA, VˆB e VˆC em kV, sabendo-se que as
ten soes de componentes sime´tricas sa˜o vˆA+ = 0,975 pu 6 30, 0o, vˆA− = 0,025 pu 6
150, 0o e vˆAo = 0,000 pu 6 0, 0o e tendo-se como valor de base Vbase = 138 kV. (Resp.:
VˆA = 76, 70 6 31, 290, VˆB = 79, 67 6 − 900 e VˆC = 76, 70 6 148, 710)
27. Determine analiticamente as tenso˜es de componentes sime´tricas vˆa+, vˆa− e vˆao em valores
pu, sabendo-se que as tenso˜es de fase sa˜o: Vˆa = 6,9 A 6 0, 0o, Vˆb = 3,45 A 6 180, 0o e Vˆc =
3,45 A 6 180, 0o e tendo-se como valor de base Vbase = 11,95 kV. (Resp.: vˆa+ = 0, 50 6 00,
vˆa− = 0, 50 6 00 e vˆa0 = 0, 0 6 00)
28. Determine analiticamente as tenso˜es de fase VˆA, VˆB e VˆC em kV, sabendo-se que as
ten soes de componentes sime´tricas sa˜o vˆA+ = 0,9634 pu 6 30, 0o, vˆA− = 0,0366 pu 6
−30, 0o e vˆAo = 0,000 pu 6 0, 0o e tendo-se como valor de base Vbase = 138 kV. (Resp.:
VˆA = 78, 20 6 28, 180, VˆB = 73, 86 6 − 900 e VˆC = 78, 20 6 151, 820)
29. No sistema representado na Figura 9 calcule:
a. os valores de curtos-circuitos trifa´sico e monofa´sico (A-terra), em ampe`res, nas barra
P e S;
b. os valores de curtos-circuitos trifa´sico e monofa´sico (A-terra), em ampe`res, na barra
T;
c. os fluxos de correntes nas fases A, B e C, em ampe`res, do autotransformador para a
barra P, para um curto-circuito fase A-terra na barra P.
d. a corrente no enrolamento tercia´rio para um curto-circuito fase A-terra na barra P.
7
.
13,8 kV
Equ_138
Equ_69
138 kV
69 kV
H
L
T
ATr
Figura 9: Diagrama unifilar de um sistema com autotransformador
Dados:
a. Impedaˆncias equivalentes do lado de 138 kV (na base de 100MVA)
• Z+eq = j8,0 %
• Z0eq = j16,0 %
b. Impedaˆncias equivalentes do lado de 69 kV (na base de 100MVA)
• Z+eq = j40,0 %
• Z0eq = j80,0 %
c. Autotransformador (ATr)
• ZPS = j6,07 % (na base de 25 MVA)
• ZPT = j5,99 % (na base de 8,75 MVA)
• ZST = j3,70 % (na base de 8,75 MVA)
30. Sa˜o dados, o diagrama unifilar de um sistema de poteˆncia e a forma de armazena-
mento das matrizes (Figura 10), os dados das barras e das linhas e as as matrizes de
impedaˆncias Z+BARRA e Z0BARRA:
a. Calcule os curtos-circuitos trifa´sico e monofa´sico na barra 7.
b. Considerando o item a. calcule os fluxos de correntes de fase nas linhas 7-6, 6-1 e
0-1.
c. Considerando o item a. calcule as tenso˜es de fase nas barras 7, 6 e 2.
d. Na barra 7 foi instalado um transformador Dy 1 com as caracter´ısticas dadas no
Exerc´ıcio 3. Calcule os curtos-circuitos trifa´sico e monofa´sico na barra de 13,8 kV.
e. Considerando o item d. calcule os fluxos de correntes de fase no lado de 138,0 kV
do transformador.
8
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
15
17
18
19
20
21
24
25
27
29
32
33
34
36
1 16 22
23 30
31
14
26
28 35
2 3 4 5 6 7 81
1
2
3
4
5
6
7
8
Sb = 100 MVA
Vb = 138 kV
1 2 3
4 5
6 87
Figura 10: Diagrama unifilar e o armazenamento das matrizes de impedaˆncias de um sistema de 8
• Dados das barras
1 - UM
2 - DOIS
3 - TRES
4 - QUATRO
5 - CINCO
6 - SEIS
7 - SETE
8 - OITO
• Dados das linhas (valores %)
De - Para —- r+ + j x+ —— r0 + j x0
0 —- 1 —- 0,00 + j 5,29 —- 0,00 + j13,05
0 —- 6 —- 1,03 + j 5,84 —- 1,44 + j 8,15
1 —- 2 —- 3,71 + j 9,88 —- 10,07 + j35,21
0 —- 3 —- 2,02 + j23,06 —- 4,43 + j25,13
2 —- 3 —- 3,73 + j 9,44 —- 9,81 + j33,87
2 —- 4 —- 2,21 + j 5,85 —- 6,03 + j20,85
4 —- 7 —- 1,93 + j 5,11 —- 5,25 + j18,18
3 —- 5 —- 2,03 + j 5,39 —- 5,54 + j19,17
1 —- 6 —- 4,14 + j10,96 —- 11,28 + j39,03
6 —- 7 —- 3,05 + j 7,72 —- 8,02 + j27,69
5 —- 8 —- 0,73 + j 1,91 —- 1,91 + j 6,61
7 —- 8 —- 4,08 + j 9,21 —- 9,48 + j33,01
0 —- 5 —- 0,63 + j 3,47 —- 1,84 + j 9,65
2 —- 6 —- 4,77 + j11,04 —- 11,36 + j39,30
5 —- 7 —- 4,58 + j10,54 —- 10,85 + j37,52
9
• Matriz de impedaˆncia de sequeˆncia positiva (valores %)
Z+( 1) = 0,385681 + j3.398391
Z+( 2) = 0,110781 + j1.591402
Z+( 3) = 1,315499 + j4,411099
Z+( 4) = -0,023229 + j0,758462
Z+( 5) = 0,397383 + j2,035895
Z+( 6) = 1,238196 + j4,622544
Z+( 7) = 0,061218 + j1,249933
Z+( 8) = 0,857298 + j3,149817
Z+( 9) = 0,306553 + j1,773410
Z+( 10) = 1,922899 + j5,902931
Z+( 11) = -0,046367 + j0,467950
Z+( 12) = 0,129891 + j1,141081
Z+( 13) = 0,268193 + j1,732399
Z+( 14) = 0,199004 + j1,391829
Z+( 15) = 0,521662 + j2,466277
Z+( 16) = 0,013453 + j1,182843
Z+( 17) = 0,242242 + j1,674219
Z+( 18) = 0,052521 + j0,930848
Z+( 19) = 0,278390 + j1,684293
Z+( 20) = 0,026663 + j0,726873
Z+( 21) = 0,711978 + j3,077975
Z+( 22) = 0,017948 + j0,951664
Z+( 23) = 0,457153 + j2,048083
Z+( 24) = 0,227231 + j1,544129
Z+( 25) = 0,923495 + j3,197790
Z+( 26) = 0,259356 + j1,610858
Z+( 27) = 0,309963 + j1,693095
Z+( 28) = 1,330759 + j4,202066
Z+( 29) = -0,039047 + j0,549978
Z+( 30) = 0,178463 + j1,296396
Z+( 31) = 0,262658 + j1,700356
Z+( 32) = 0,308003 + j1,701613
Z+( 33) = 0,483667 + j2,320132
Z+( 34) = 0,067391 + j0,891852
Z+( 35) = 0,421127 + j2,055570
Z+( 36) = 1,095880 + j3,857703
10
• Matriz de impedaˆncia de sequeˆncia zero (valores %)
Z0( 1) = 0,755080 + j 8,867506
Z0( 2) = 0,215496 + j 3,409552
Z0( 3) = 3,249781 + j12,975730
Z0( 4) = 0,003378 + j 1,114757
Z0( 5) = 0,783226 + j 4,117803
Z0( 6) = 2,410116 + j10,708180
Z0( 7) = 0,123356 + j 2,463966
Z0( 8) = 2,057601 + j 8,632038
Z0( 9) = 0,612224 + j 3,431500
Z0( 10) = 4,952695 + j18,532050
Z0( 11) = -0,020303 + j 0,682563
Z0( 12) = 0,342760 + j 2,240779
Z0( 13) = 0,555416 + j 3,393154
Z0( 14) = 0,558214+ j 3,105134
Z0( 15) = 1,390170 + j 6,637319
Z0( 16) = 0,013599 + j 1,759068
Z0( 17) = 0,411445 + j 2,817482
Z0( 18) = 0,102635 + j 1,116764
Z0( 19) = 0,457234 + j 2,889847
Z0( 20) = 0,101381 + j 1,014002
Z0( 21) = 1,130128 + j 5,835394
Z0( 22) = 0,043351 + j 1,639532
Z0( 23) = 1,019711 + j 4,844615
Z0( 24) = 0,463374 + j 2,833094
Z0( 25) = 2,223339 + j 8,984296
Z0( 26) = 0,745758 + j 3,858790
Z0( 27) = 0,497130 + j 2,952954
Z0( 28) = 3,271282 + j12,593860
Z0( 29) = -0,009462 + j 0,842267
Z0( 30) = 0,456335 + j 2,675206
Z0( 31) = 0.539927 + j 3,299701
Z0( 32) = 0,837461 + j 4,085989
Z0( 33) = 1,281986 + j 6,173728
Z0( 34) = 0,167873 + j 1,337523
Z0( 35) = 1,169254 + j 5,316102
Z0( 36) = 2,852695 + j11,537840
31. A Figura 11 mostra o diagrama unifilar simplificado de um sistema 345 - 500 kV. Os
dados das barras e linhas sa˜o mostrados respectivamente nas Tabelas 1 e 2 assim como
as matrizes de impedaˆncias nodais Z+barra (1) e Z
o
barra (2), em % (Sbase = 100,0 MVA).
Calcule:
11
a. as correntes de curtos-circuitos trifa´sico e monofa´sico, em ampe`res, na SE Campinas
345 kV (barra 9).
b. as correntes, em ampe`res, nas fases a, b e c da linha SE Poc¸os de Caldas 345 kV
- SE Campinas 345 kV (linha 3− 9) para o curto-circuito trifa´sico calculado no
item a.
c. as tenso˜es das fases a, b e c, em kV, na SE Campinas 500 kV (barra 10) para o
curto-circuito trifa´sico calculado no item a.
Equ.
Equ.
Equ.
5
6
4
1
10
2
Equ.
312
7
14
13
11
9
8
1
2
3
4
Figura 11: Diagrama unifilar simplificado do sistema 345 - 500 kV de Furnas
NU´MERO NOME TENSA˜O
1 SE US. FURNAS 345,0
2 SE US. MASCARENHAS DE MORAES 345,0
3 SE POC¸OS DE CALDAS 345,0
4 SE US. L.C.BARRETO 345,0
5 SE US. VOLTA GRANDE 345,0
6 SE US. PORTO COLOMBIA 345,0
7 SE US. MARIMBONDO 345,0
8 SE GUARULHOS 345,0
9 SE CAMPINAS 345,0
10 SE CAMPINAS 500,0
11 SE CACHOEIRA PAULISTA 500,0
12 SE POC¸OS DE CALDAS 500,0
13 SE ARARAQUARA 500,0
14 SE US. MARIMBONDO 500,0
Tabela 1: Dados das barras
12
DE PARA x+ % xo % xm %
1 2 j3,26 j13,25
1 3 j4,10 j15,68
1 3 j4,10 j15,68 j8,66
1 4 j4,12 j17,87
2 4 j1,03 j 4,53
3 4 j6,14 j26,38
3 4 j6,14 j26,38 j15,27
4 5 j3,50 j15,28
5 6 j1,38 j 6,03
6 7 j2,44 j10,66
3 8 j5,73 j21,80
3 8 j5,73 j21,80 j12,16
3 9 j3,93 j17,09
8 9 j2,75 j12,01
10 11 j3,06 j13,04
10 12 j2,47 j10,63
10 13 j2,42 j10,40
11 12 j2,68 j11,48
12 13 j2,47 j10,63
13 14 j2,71 j11,70
13 14 j2,71 j11,70 j7,06
Tabela 2: Dados das linhas


0, 9934 0, 5293 0, 3181 0, 4480 0, 2330 0, 1899 0, 1412 0, 1208 0, 1529 0, 1228 0, 0617 0, 1531 0, 1144 0, 0886
0, 5293 1, 4021 0, 2677 0, 8209 0, 4146 0, 3285 0, 2239 0, 1027 0, 1326 0, 1140 0, 0564 0, 1385 0, 1188 0, 1108
0, 3181 0, 2677 0, 6262 0, 2848 0, 1648 0, 1469 0, 1367 0, 2365 0, 2959 0, 2273 0, 1153 0, 2883 0, 1950 0, 1256
0, 4480 0, 8209 0, 2848 1, 0399 0, 5231 0, 4128 0, 2777 0, 1095 0, 1425 0, 1253 0, 0617 0, 1510 0, 1349 0, 1315
0, 2330 0, 4146 0, 1648 0, 5231 1, 9870 1, 5389 0, 9705 0, 0713 0, 1123 0, 1547 0, 0704 0, 1622 0, 2518 0, 3554
0, 1899 0, 3285 0, 1469 0, 4128 1, 5389 2, 2577 1, 4169 0, 0689 0, 1204 0, 1939 0, 0864 0, 1955 0, 3429 0, 5071
0, 1412 0, 2239 0, 1367 0, 2777 0, 9705 1, 4169 2, 4122 0, 0748 0, 1523 0, 2914 0, 1273 0, 2830 0, 5537 0, 8491
0, 1208 0, 1027 0, 2365 0, 1096 0, 0713 0, 0689 0, 0748 0, 8932 0, 4112 0, 1967 0, 0790 0, 1615 0, 1327 0, 0811
0, 1529 0, 1326 0, 2959 0, 1425 0, 1123 0, 1204 0, 1523 0, 4112 1, 2758 0, 5278 0, 1888 0, 3357 0, 3161 0, 1869
0, 1228 0, 1140 0, 2273 0, 1252 0, 1547 0, 1939 0, 2914 0, 1967 0, 5278 1, 2410 0, 4120 0, 6545 0, 6881 0, 3970
0, 0617 0, 0564 0, 1153 0, 0617 0, 0704 0, 0864 0, 1273 0, 0790 0, 1888 0, 4120 0, 8158 0, 4072 0, 2967 0, 1716
0, 1531 0, 1385 0, 2883 0, 1510 0, 1622 0, 1955 0, 2830 0, 1615 0, 3357 0, 6545 0, 4072 1, 1477 0, 6515 0, 3776
0, 1145 0, 1188 0, 1950 0, 1349 0, 2518 0, 3426 0, 5537 0, 1327 0, 3161 0, 6881 0, 2967 0, 6515 1, 3657 0, 7819
0, 0886 0, 1108 0, 1256 0, 1315 0, 3554 0, 5071 0, 8491 0, 0811 0, 1869 0, 3970 0, 1716 0, 3776 0, 7819 1, 2192


(2)


0, 8743 0, 1286 0, 1200 0, 0634 0, 0070 0, 0039 0, 0033 0, 0116 0, 0262 0, 0341 0, 0115 0, 0828 0, 0324 0, 0037
0, 1286 1, 7252 0, 0394 0, 2868 0, 0310 0, 0146 0, 0037 0, 0038 0, 0086 0, 0113 0, 0038 0, 0272 0, 0109 0, 0018
0, 1200 0, 0394 1, 0527 0, 0699 0, 0091 0, 0100 0, 0237 0, 1018 0, 2294 0, 2992 0, 1010 0, 7260 0, 2836 0, 0312
0, 0634 0, 2868 0, 0699 0, 7863 0, 0849 0, 0399 0, 0094 0, 0068 0, 0153 0, 0201 0, 0067 0, 0484 0, 0198 0, 0038
0, 0070 0, 0310 0, 0091 0, 0849 1, 6518 0.7695 0, 1536 0, 0010 0, 0042 0, 0073 0, 0016 0, 0097 0, 0209 0, 0347
0, 0039 0, 0146 0, 0100 0, 0399 0, 7695 3, 1674 0, 6319 0, 0016 0, 0115 0, 0223 0, 0042 0, 0210 0, 0786 0, 1418
0, 0033 0, 0037 0, 0237 0, 0094 0, 1536 0, 6319 2, 2525 0, 0047 0, 0384 0, 0762 0, 0137 0, 0668 0, 2769 0, 5053
0, 0116 0, 0038 0, 1018 0, 0068 0, 0010 0, 0016 0, 0047 0, 8935 0, 1566 0, 1178 0, 0196 0, 0886 0, 0574 0, 0063
0, 0262 0, 0086 0, 2294 0, 0153 0, 0042 0, 0115 0, 0384 0, 1566 1, 8844 1, 2785 0, 1567 0, 4097 0, 4716 0, 0517
0, 0341 0, 0113 0, 2292 0, 0201 0, 0073 0, 0223 0, 0762 0, 1178 1, 2785 2, 6192 0, 3100 0, 7318 0, 9365 0, 1027
0, 0115 0, 0038 0, 1010 0, 0067 0, 0016 0, 0042 0, 0137 0, 0196 0, 1567 0, 3100 1, 2295 0, 2929 0, 1675 0, 0184
0, 0828 0, 0272 0, 7260 0, 0484 0, 0097 0, 0210 0, 0668 0, 0886 0, 4097 0, 7318 0, 2929 2.2253 0, 8169 0, 0897
0, 0324 0, 0109 0, 2836 0, 0198 0, 0209 0, 0786 0, 2769 0, 0574 0, 4716 0, 9365 0, 1675 0, 8169 3, 4078 0, 3736
0, 0037 0, 0018 0, 0312 0, 0038 0, 0347 0, 1418 0, 5053 0, 0063 0, 0517 0, 1027 0, 0184 0, 0897 0, 3736 0, 6823


(3)
Obs.:
i. as linhas e as colunas da matriz obedecem a numerac¸a˜o das barras
ii. a matriz Zobarra foi formada sem considerar os acoplamentos mu´tuos
13
32. No sistema mostrado na Figura 12, em virtude da falha do sistema de protec¸a˜o da
SUBESTAC¸A˜O 138/69 kV nenhum rele´ operou para um curto-circuito monofa´sico (A-
terra) na barra de 69 kV (F). Assim sendo, a falta foi isolada pela abertura do disjuntor
na USINA pela atuac¸a˜o do rele´ de sobrecorrente terra, cuja caracter´ıstica e´ dada no
ANEXO 32b.
a. determine o tempo de atuac¸a˜o do rele´, baseando-se no resultado do ca´lculo de curto-
circuito.
b. calcule a corrente no enrolamento tercia´rio do ATr para esta falta.
.
Eq.
13,8 kV
13,8 kV
Z+% = j5,29 %
Z0% = j13,05 %
(*) 13,8/79,6743
Z0 = 0,44139 + j1,75964 ohm/km
13,8 kV
138 kV
69 kV
138 kV
G1
G2
T1
T2
ATr
G1 e G2 T1 e T2 ATr
800/5
Dial = 4
39 km
(na base de 100 MVA)
F
SUBESTAÇÃO 138/69 kV
USINA
MVA 50 50/3
kV 13,8 (*)
Xd"% 29,70
Xps% 13,8
ANEXO
Tap = 1,5
50/51 N
z+ = 0,19014 + j0,49931 ohm/km
32a
(ANEXO 32b)
Figura 12: Diagrama unifilar
33. No ANEXO 33 sa˜o dados os resultados de ensaios de um transformador de poteˆncia de
treˆs enrolamentos com ligac¸a˜o Yyd 1 e cujas caracter´ısticas principais sa˜o: 25,0/33,3
MVA e 138,0/13,8/7,967 kV. O diagrama unifilar da Figura 13 mostra o referido trans-
formador conectado no sistema de poteˆncia e alimentando circuitos radiais Os valores
das impedaˆncias equivalentes esta˜o na na base de 100 MVA.
Para curto-circuito fase A-terra na barra de 138 kV e na de 13,8 kV, calcule:
a. As correntes de curto-circuito, em ampe`res
b. As correntes nos neutros, em ampe`res
c. As correntes que circulam dentro do ∆, em ampe`res
d. As correntes de linha nos lados de alta e de baixa, em ampe`res
Indique os fluxos das correntes (mo´dulo e sentido) nos diagramas trifilares (ANEXO
33b).
14
YY
∆ 
13,8 kV
138 kV
7,967 kV
Equ.
Zeq+ = j8,79 %
Zeq0 = j19,56 %
Figura 13: Diagrama unifilar
34. No sistema dadona Figura 14, para um curto-circuito monofa´sico na fase A no lado de
138 kV, tem-se:
• IA+ = IA− = IAo = 207,52 A 6 −900;
• vA+ = 0,568 pu 6 00;
• vA− = 0,431 pu 6 −1800;
• vAo = 0,137 pu 6 −1800.
�
�
�
���
����
�
��
���
����
�
���	 
�
�
�
�
�
��
����
��
����
����
��
���ff
fi�fi
fi�fifl
fl
ffi�ffi
ffi�ffi�
�
 � !
a
c
b
A B C
TC
TP
3Io
Sn = 50,0 MVA
TC = 2.000−5
TP = 79.674,34−115/fase
3Vo
13,8−138 kV
Figura 14: Diagrama trifilar
Calcule:
15
a. a corrente 3Io, em ampe`res
b. tensa˜o 3Vo, em volts;
c. as correntes de linha em ambos os lados do transformador, em ampe`res;
d. as tenso˜es de fase no local do curto-circuito, em kV.
35. Um transformador trifa´sico de 34,5/13,8 kV com conexa˜o ∆/y - 1 alimenta cargas re-
sistivas equilibradas ligadas em ∆ cuja resisteˆncia por fase e´ de 120,0 Ω, como mostrado
na Figura. Calcule e apresente os respectivos diagramas fasoriais:
a. As correntes de linha em ambos os lados do transformador;
b. As correntes de linha em ambos os lados do transformador, considerando o fus´ıvel
da fase A interrompido;
c. A tensa˜o no rele´ 59N, considerando o fus´ıvel da fase A interrompido, sabendo-se que
o TP possui a relac¸a˜o de tensa˜o de 34.500√
3
-115 V/fase.
��
��
��
�� �	
�
�
��
��
���
���
A
B
C
c
a
R
R
R
b
59N
− fusivel
Figura 15: Transformador ∆/y - 1 com carga resistiva
36. Resolva a Questa˜o anterior utilizando Matlab/SimPowerSystems.
16
37. Ca´lculos de curtos-circuitos utilizando programa computacional curto.
Obs.: os dados dos sistemas ja´ esta˜o devidamente preparados.
a. Calcule o curto-circuito trifa´sico no sistema da Figura 8, utilizando os dados exerc 14,
e compare com os resultados obtidos no Exerc´ıcio 14.
b. Calcule os curtos-circuitos trifa´sico e monofa´sico nas barras P, S e T do sistema da
Figura 9, utilizando os dados exerc 29, e compare com os resultados obtidos no
Exerc´ıcio 29.
c. Calcule os curtos-circuitos trifa´sico e monofa´sico no sistema da Figura 10, utilizando
os dados exerc 30, e compare com os resultados obtidos no Exerc´ıcio 30.
d. Calcule o curto-circuito monofa´sico na barra de 69 kV do sistema da Figura 12,
utilizando os dados exerc 32, e compare com o resultado obtido no Exerc´ıcio 32.
e. Calcule o curto-circuito monofa´sico nas barras de 138 kV e de 13,8 kV do sistema
da Figura 13, utilizando os dados exerc 33, e compare com o resultado obtido no
Exerc´ıcio 33.
f. Calcule curtos-circuitos na linhas SE Jacare´ (1003) - SE Ema (1007), dividindo-a em
4 trechos iguais, no sistema de transmissa˜o mostrado na Figura 16, cujos dados sa˜o
fornecidos em it603dat.
SE IPE
1011
EQ. 1
EQ. 3
EQ. 2
AT1
1001
T4
345 kV
1014 1013
SE TATU 
1010
G7
G8
1007
1006
1005
1004
SE JAU
138 kV
SE JACARE
1003
U.H. JACARE
U.H. ARARA
SE DOURADO SE TUCANO
U.T. PEROBA
138 kV138 kV
69 kV
345 kV
138 kV138 kV
G6
AT3
AT2
AT4
T3
T2
T1
G5
G4
G3
G1
G2
SE EMA
11,95 kV
T6
11,95 kV
T5
Figura 16: Diagrama unifilar
g. Calcule e analise os curtos-circuitos no sistema EAT da Figura 11 com os dados:
17
• ehv x: considerando so´ as reataˆncias das linhas
• ehv xm: considerando so´ as reataˆncias das linhas e as reataˆncias mu´tuas em
linhas paralelas
• ehv z: considerando as resisteˆncias e as reataˆncias das linhas
• ehv zm: considerando as resisteˆncias e as reataˆncias das linhas e as impedaˆncias
mu´tuas em linhas paralelas
(a) compare os valores obtidos com os dados ehv x com os valores obtidos no
Exerc´ıcio 31.
h. Calcule os fatores de sobretensa˜o nas SEs 138 kV Jacare´ (1003), Ema (1007) e
Ipeˆ (1011) dos sistemas com neutros aterrados (it603sa) e com neutros isolados
(it603si).
18
Respostas dos exerc´ıcios da Lista
1a. 13,8 kV
1b. 138√
3
kV
1c. 2.091,9 A e 1.207,8 A
1d. 209,2 A e 209,2 A
2. 0,15618 Ω e 97,61310 Ω
3. 0,347% + j 8,670%, 71.259,0% e j40.312,0%
4. 125,51 A
5. 14,16 kV 6 12, 36o
6. 14,04 kV 6 4, 5o (barra A)
7. vide deduc¸a˜o na apostila
8. e 9. .
Barra r + jx jx
C 7.736,0 A 6 −88, 75o j 7.738,0 A
D 5.667,0 A 6 −81, 90o j 5.724,0 A
E 24.199,0 A 6 −89, 36o j24.200,0 A
10a. e 10b. -j6.932,0 A (desprezando a parte resistiva)
11. j12,7273%, j10,9091%, j65,4545% e j45,0000%
12. j12,7273%, j10,9091%, j65,4545%, j45,0000% e 125,4545%
13. (vide formac¸a˜o passo a passo apo´s as respostas)


j16, 3636 j5, 4545 j12, 7273 j10, 0000
j5, 4545 j21, 8182 j10, 9091 j15, 0000
j12, 7273 j10, 9091 j65, 4546 j45, 0000
j10, 0000 j15, 0000 j45, 0000 j71, 2500

 (4)
14a. -j5.590,5 A
14b. 76,73 kV, 37,00 kV e 64,27 kV
14c. -j1.370,6 A e -j1.906,7 A
15a.
√
3 6 −150o
15b. 2,0 6 0o
15c. 1,0 6 0o
15d. 1,0 6 210o
16a. 110,0 6 60o V
19
16b. 22,0 6 30o A
17. 41,23 6 14, 04o kV, 64,11 6 −131, 11o kV e 46,48 6 124, 52o kV
18. 0,0 6 0, 0o kV, 7,82 6 −115, 67o kV e 7,55 6 116, 71o kV
19. 9,8987 6 0, 0o A, 0,9519 6 −180, 0o A e 1,0532 6 0, 0o A
20. 2.689,7 6 −86, 5o A, 2.689,7 6 93, 5o A e 0,0 6 0, 0o A
21. a 28. respostas apo´s o enunciado.
29a. .
Trifa´sico: 5.880,5 6 −90o A (barra P)
Monofa´sico: 4731,1 6 −90o A (barra P)
Trifa´sico: 4.684,0 6 −90o A (barra S)
Monofa´sico: 4.843,4 6 −90o A (barra S)
29b. .
Trifa´sico: 6.836,9 6 −90o A (barra T)
Monofa´sico: 0,0 6 0, 0o A (barra T)
29c. IA = -j4.017,3 A, IB = j190,2 A e IC = j190,2 A
29d. Iter = -j325,6 A
30a. Trifa´sico: 9.491,7 6 −72, 43o A - Monofa´sico: 5.752,1 6 −74, 22o A
30b. .
Linha 7-6:
Trifa´sico: 3.097,0 6 106.99o A - Monofa´sico: 1.918,6 6 105.43o A
Linha 6-1:
Trifa´sico: 645,6 6 106.77o A - Monofa´sico: 326,4 6 104.54o A
Linha 0-1:
Trifa´sico: 1.707,8 6 −73, 51o A - Monofa´sico: 931,0 6 −75, 42o A
30c. .
Barra 7:
Trifa´sico: 0,0 6 0, 0o pu - Monofa´sico: 0,0 6 0, 0o pu, 1,2578 6 −135, 29o pu e 1,2214 6
136, 54o pu
Barra 6:
Trifa´sico: 0,615 6 −4, 57o pu - Monofa´sico: 0,7067 6 −2, 4o pu, 1,0359 6 −122, 55o pu
e 1,0233 6 123, 00o pu
Barra 2:
Trifa´sico: 0,527 6 −4, 50o pu - Monofa´sico: 0,5822 6 −2, 57o, 1,0793 6 −125, 75o pu e
1,0630 6 126, 38o pu
30d. Trifa´sico: 6.604,5 6 −88, 80o A - Monofa´sico: 6.754,7 6 −89, 18o A
30e. Trifa´sico: 660,5 6 −58, 80o A - Monofa´sico: 390,0 6 −89, 18o A
20
31a. .
Trifa´sico: 13.117,0 6 −90o A, 13.117,0 6 150o A e 13.117,0 6 30o A
Monofa´sico: 11.317,5 6 −90o A, 0,0 6 0o A e 0,0 6 0o A
31b. .
Ia = 3.270,6 6 −90o A
Ib = 3.270,6 6 150o A
Ic = 3.270,6 6 30o A
31c. .
Va = 169,25 6 0o V
Vb = 169,25 6 −120o V
Vc = 169,25 6 120o V
32a. t = 2,4 s
32b. Io = 727,33 6 −89.46o A
33a. 3.852,5 6 −90o A e 11.254,5 6 −90o A
33b. 898, 4 A e 10.993,3 A
33c. 2.998,5 A e 2.880,7 A
34a. 3Io = 1,56 A
34b. 3Vo = 47,27 V
34c. .
IA = 622,56 6 −90o A
Ia = 3.594,4 6 −90o A
Ic = 3.594,4 6 90o A
34d. .
VA = 0,0 6 0o kV
VB = 70,85 6 −103, 36o kV
VC = 70,85 6 103.36o kV
35a. .
Ia = 199,19 6 60o A
Ib = 199,19 6 −60o A
Ic = 199,19 6 180o A
IA = 79,68 6 90o A
IB = 79,68 6 −30o A
IC = 79,68 6 −150o A
21
35b. .
Ia = 99,59 6 0o A
Ib = 99,59 6 0o A
Ic = 199,19 6 180o A
IA = 0,0 6 0o A
IB = 69,0 6 0o A
IC = 69,0 6 180o A
35c. 172,5 V
22
36b. .
0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
40
60
80
100
tempo (s)
c
o
r
r
e
n
t
e
 
(A
)
Correntes no lado de 34,5 kV, com fusível da fase A interrompido
IA
IB
IC
0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05
−300
−200
−100
0
100
200
300
tempo (s)
co
rr
e
n
te
s 
(A)
Correntes no lado de 13,8 kV, com fusível da fase A interrompido
Ia
Ib
Ic
23
36c. .
0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
x 104
tempo (s)
t
e
n
s
ão
 (
kV
)
 Tensão 3Vo na barra de 34,5 kV, com fusível da fase A interrompido
42,21 kV
24
Formac¸a˜o da matriz Z+BARRA - Exerc´ıcio 13.
1
0
Tipo 1
2
1
0
Tipo 1
1
0
2
3
Tipo 2
4
0,2z
0,1z
0,1z
0,1z
0,1z
0,2z
0,1z
0,1z
0,2z
0,2z
0,1z
0,1z 1,3z+
0,1z 1,3z+
0,2z
0,2z 2,4z
1
0
2
3
Tipo 2
1
1
1
1
2
2
1
1
2
2
3
3
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
+
1
1
2
2 3
3
4
4
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,1 z
25
1
0
2
3 4
1,0 −1,0
0,1
z
0,2z
0,1
z
0,1
z
0,2z
0,1
z
0,1
z
0,1
z
0,1
z
0,1
z
0,2z
0,2z
0,1
z
0,1
z
1,3
z+
0,2z 2,4z+
0,2z 2,4z+
0,1
z−z
−z
 0,2
−z
 0,2
−z
 0,2
−z
 0,2
0,1
z
0,1
z
0,1
z
0,1
z
0,1
z
0,2z
0,2z 0,2z 2,4z+
0,1z 1,3z+
0,1z 1,3z+
−z
 0,2
+ +0,2 2,4 1,2zzz
+ +0,2 2,4 1,2zzz
0,1
z
0,1
z
−z
 0,2
−z
 0,2
0,1
z
0,1
z−z
 0,2
−z
 0,2
1
0
2
3 4
Tipo 3
1
1
2
2 3
3
4
4
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
1,0
−1,0
0,0
0,0
=
1
1
2
3
3
4
4
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
2 l
l
−z0,20,2z
 0,2
1
1
2
3
3
4
4
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
2
1,0
Aplicando a redução de Kron:
−
Z1,1 = z0,1 -
(z0,1)(z0,1)
(z0,1+z0,1+z1,2)
= j16,9231 %
Z1,2 = Z2,1 = 0,0 -
(z0,1)(−z0,2)
(z0,1+z0,1+z1,2)
= j4,6154 %
Z1,3 = Z3,1 = z0,1 -
(z0,1)(z0,1)
(z0,1+z0,1+z1,2)
= j16,9231 %
Z1,4 = Z4,1 = 0,0 -
(z0,1)(−z0,2)
(z0,1+z0,1+z1,2)
= j4,6154 %
Z2,2 = z0,2 -
(−z0,2)(−z0,2)
(z0,1+z0,1+z1,2)
= j23,0769 %
Z2,3 = Z3,2 = 0,0 -
(−z0,2)(z0,1)
(z0,1+z0,1+z1,2)
= j4,6154 %
Z2,4 = Z4,2 = z0,2 -
(−z0,2)(−z0,2)
(z0,1+z0,1+z1,2)
= j23,0769 %
Z3,3 = (z0,1 + z1,3) -
(z0,1)(z0,1)
(z0,1+z0,1+z1,2)
= j96,9231 %
Z3,4 = Z3,4 = 0,0 -
(z0,1)(−z0,2)
(z0,1+z0,1+z1,2)
= j4,6154 %
Z4,4 = (z0,2 + z2,4) -
(−z0,2)(−z0,2)
(z0,1+z0,1+z1,2)
= j123,0769 %
26
Z1,3 Z1,4−Z1,1 Z1,2 Z1,3 Z1,4
Z2,1 Z2,2 Z2,3 Z2,4
Z3,1 Z3,2 Z3,3 Z3,4
Z4,1 Z4,2 Z4,3 Z4,4
1
1
2
3
4
2 3 4
−Z3,3 Z3,4
Z4,3 Z4,4−
Z2,4Z2,3 −1
0
2
3 4
1,0 −1,0
=
0,0
1,0
−1,0
0,0
Numericamente:


j16, 9231 j4, 6154 j16, 9231 j4, 6154
j4, 6154 j23, 0769 j4, 6154 j23, 0769
j16, 9231 j4, 6154 j96, 9231 j4, 6154
j4, 6154 j23, 0769 j4, 6154 j123, 0769

 .


0
0
1, 0
−1, 0

 =


j16, 9231− j4, 6154
j4, 6154− j23, 0769
j96, 9231− j4, 6154
j4, 6154− j123, 0769


(5)
Z1,3 Z1,4−
−Z3,3 Z3,4
Z4,3 Z4,4−
Z2,4Z2,3 −
Z1,1
Z2,1
Z4,1
Z3,1
Z1,2
Z2,2
Z3,2
Z4,2
Z1,3
Z2,3
Z3,3
Z4,3
Z1,4
Z2,4
Z3,4
Z4,4
Zl.lZ3,1 Z4,1 Z3,2 Z4,2 Z3,3 Z4,3 Z3,4 Z4,1
Zl.l Z3,3 Z4,4 2Z 3,4
1
0
2
3 4
Tipo 3
l1 2 3 4
1
2
3
4
l − − − −
+= − + 3,4z
Numericamente:


j16, 9231 j4, 6154 j16, 9231 j4, 6154 j12, 3077
j4, 6154 j23, 0769 j4, 6154 j23, 0769 −j18, 4615
j16, 9231 j4, 6154 j96, 9231 j4, 6154 j92, 3077
j4, 6154 j23, 0769 j4, 6154 j123, 0769 −j118, 4615
j12, 3077 −j18, 4615 j92, 3077 −j118, 4615 j270, 7696


(6)
Aplicando a reduc¸a˜o de Kron:
Z
′
i,j = Zi,j −
(Zi,3 − Zi,4)(Z3,j − Z4,j)
Z3,3 + Z4,4 − 2Z3,4 + z3,4
(7)
sendo:
i = 1,2,3 e 4 e j = 1,2,3 e 4
A matriz Z+BARRA do sistema completo sera´:


j16, 3636 j5, 4545 j12, 7273 j10, 0000
j5, 4545 j21, 8182 j10, 9091 j15, 0000
j12, 7273 j10, 9091 j65, 4546 j45, 0000
j10, 0000 j15, 0000 j45, 0000 j71, 2500

 (8)