Lista de algebra Linear Bases

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Universidade Federal do Oeste da Bahia-UFOB
Lista de Exercício de Álgebra Linear- Bases
1. Responda justificando V ou F .
a) Se dimW = 3 e B é um subconjunto de W com 4 vetores então B é L.D
b) Se dimW = 3 e B é um subconjunto de W com 2 vetores então B é L.I
c) Se dimW = 3 e B e v1, v2 ∈W , então [v1, v2] 6=W .
d) Se dimW = 3 e B e v1, v2, v3 ∈W , então [v1, v2, v3] =W .
2) Determine , em cada um dos casos seguintes, uma base e a dimensão do subespaço
W :
a) V =M3(R) e W = {A ∈M3(R);Aé a matriz triangular inferior}.
b) V = {(a, a, a, ..., a) ∈ Rn : a ∈ R}.
3) Quais são as coordenadas de v = (1, 0, 0) em relação à base B = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0,−1)}?
4) Sejam W1 = {(x, y, z, t) ∈ R4;x + y = 0, z − t = 0} e W2 = {(x, y, z, t) ∈
R4;x− y − z + t = 0} subespaço de R4.
a) Determine W1 ∩W2.
b) Exiba uma base para W1 ∩W2.
c) Determine W1 +W2.
d) W1 +W2 é soma direta? Justifique.
e) W1 +W2 = R4?
5) Sejam W1 = {
[
a b
c d
]
tais que a = d, b = c} e W2 = {
[
a b
c d
]
tais que a = c, b = d}
subespaço deM2(R).
a) Determine W1 ∩W2 e exiba uma base.
b) Determine W1 +W2. É soma direta? W1 +W2 =M2(R)?
1
6) Dados U = {A ∈ M2(R) : At = A} e W =
[ [1 1
0 1
]
]. em M2(R), encontre uma
base para U , W , U ∩W e U +W.
7) Sejam U = {p ∈ P2(R) : p′(t) = 0, ∀t ∈ R}, W = {p ∈ P2(R) : p(0) = p(1) = 0}
subespaço vetorial de V = P2(R). Encontre uma base para U,W,U ∩W e U +W .
8) Considere o seguinte subespaço deM2(R):
W = {
[
x y
z t
]
∈M2(R);x− y − z = 0}
a) Mostre que B dada pelas matrizes
B1 =
[
1 1
0 0
]
, B2 =
[
1 0
1 0
]
, B3 =
[
0 0
0 1
]
e C dada pelas matrizes
C1 =
[
1 0
1 0
]
, C2 =
[
0 −1
1 0
]
, C3 =
[
0 0
0 1
]
são bases de W .
b) Encontre as matrizes de mudança da base B para a base C e da base C para a
base B.
9) Sejam B = {(1, 0), (0, 1)}, B1 = {(−1, 1), (1, 1)}, B2 = {(
√
3, 1), (
√
3,−1)}, B3 =
{(2, 0), (0, 2)} bases ordenadas de R2.
a) Ache as matrizes de mudança de base:
i) [I]B1B .
ii)[I]BB1 .
iii) [I]BB2
iv) [I]BB3
b) Quais as coordenadas do vetor v = (3,−2) em relação à base:
i) B
ii) B1
2
iii) B2
iv)B3
c) As coordenadas de um vetor v em relação a base B1 são dadas por
[v]B1 =
[
4
0
]
Quais são as coordenadas de v em relação à base:
i) B
ii) B2
iii) B3.
10) Se [I]α
′
α =
1 1 00 −1 1
1 0 −1

ache
a) [v]α onde [v]α′ =
−12
3
 .
b) [v]α′ onde [v]α =
−12
3
 .
3