Lista Algebra Linear - Espacos com produto interno, endomorfismos simetricos, matrizes ortogonais, teorema espectral

Prévia do material em texto

1
A´lgebra linear
Espac¸os com produto interno, endomorfismos sime´tricos,
matrizes ortogonais, teorema espectral
1. Determine os valores de h e k para os quais ϕ : R2×R2 → R definida por
ϕ(x, y) = 2x1y1 + hx1y2 + 4(h+ k)x2y2
e´ um produto interno. Estabelec¸a enta˜o para quais valores, entre os assim
determinados, o endomorfismo f de R2 definido por
f
(
x1
x2
)
=
(
2x1 + 5x2
x1
)
e´ sime´trico.
2. Seja
J =
(
In−1 O
O −1
)
.
Prove que J ∈ O(n) \ SO(n).
Prove que, para todas A ∈ O(n), e´ A ∈ SO(n) ou A = BJ , com B ∈ SO(n).
3. Determine uma base ortonormal de autovalores da matriz(
1 −2√3
−2√3 3
)
.
4. Determine (para os valores de k para os quais e´ poss´ıvel) uma base
ortonormal de autovetores de 2 0 1 + k0 4 0
3− k 0 2
 .
2
5. Seja V um espac¸o vetorial com produto interno e seja S ⊆ V um subcon-
junto. O complemento ortogonal de S e´ definido por
S⊥ = {v ∈ V : v ⊥ w ∀w ∈ S}.
Prove que:
• S⊥ e´ um subespac¸o de V ;
• S⊥ = 〈S〉⊥;
• S ∩ S⊥ = {0};
• se S ⊆ T , enta˜o T⊥ ⊆ S⊥;
• 〈S〉 ⊆ (S⊥)⊥;
• se dimV <∞, 〈S〉 = (S⊥)⊥;
• se dimV <∞ e W e´ um subespac¸o de V , V = W ⊕W⊥.
6. Seja V um espac¸o vetorial com produto interno de dimensa˜o 4 e seja
A = {u, v, w, z} uma base ortonormal. Seja f ∈ End(V ) um endomor-
fismo sime´trico com autovalores 1 simples e −1 triplo. Seja f(u+ v) = u+ v.
Prove que tal f e´ u´nico, que e´ um automorfismo e encontre µA (f).
7. Prove que se A ∈ O(n), cada raiz λ de χA (em C) tem mo´dulo 1.
8. Prove que cada rotac¸ao de R3 com centro na origem possui um eixo de
rotac¸ao, ou seja uma reta pela origem cujos pontos permanecem fixos.
Equivalentemente, prove que para cada R ∈ SO(3) existe uma base ortonor-
mal A de R3 na qual
µA (R) =
 cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
 .
9. A partir da base de R3
B =

 −10
1
 ,
 01
0
 ,
 10
1

,
3
determine uma base ortonormal por meio do processo de Gram-Schmidt.
10. A partir da base de R3
B =

 11
1
 ,
 01
1
 ,
 00
1

,
determine uma base ortonormal por meio do processo de Gram-Schmidt.
11. A partir da base de R3
B =

 20
0
 ,
 12
0
 ,
 0−1
−1

,
determine uma base ortonormal por meio do processo de Gram-Schmidt.
12. Seja W o subespac¸o de R4 (com o produto escalar canoˆnico) gerado
pelos vetores 
1
1
0
1
 ,

1
−2
0
0
 ,

1
0
−1
2
 .
Encontre uma base ortonormal de W . Encontre uma base do complemento
ortogonal de W .
13. Em R4 com o produto interno canoˆnico, considere os vetores
v =

2
−1
0
1
 , v =

.1
2
0
2
 .
Calcule o aˆngulo entre os dois vetores e determine a projec¸a˜o ortogonal de v
sobre w.
4
14. Encontre uma base ortonormal de autovetores da matriz
A =
 1 0 00 4 4
0 4 12
 .
15. Encontre uma base ortonormal de autovetores da matriz
A =
 0 0 30 0 4
3 4 0

e escreva uma matriz que diagonaliza A.
16. Encontre uma base ortonormal de autovetores da matriz
A =
 1 1 01 1 0
0 0 2

e escreva uma matriz que diagonaliza A.