prova1c2011 - Calculo III

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Universidade Federal de Lavras
1
a
Prova de GEX108 - Cálculo III
Nome:
N
o
	
de matrícula: Turma:
Data: 05.09.2011
Questões Notas
1
a
2
a
3
a
4
a
5
a
Total
Observações:
• Verifique se sua prova contém 5 (cinco) questões;
• Leia com atenção cada questão;
• Justifique todas as suas respostas.
1. Seja ~r(t) = cos(t)~i+ sin(t)~j + t~k. Encontre lim
t→0
(
~r(t)× d
dt
[~r(t)]
)
.
2. Encontre uma função vetorial ~r(t) tal que
d
dt
[~r(t)] = cos(t)~i+ sin(t)~j e ~r(0) =~i−~j.
3. Seja ~r(t) = 4 cos(t)~i+ 4 sin(t)~j + 3t~k.
(a) Obtenha a parametrização por comprimento de arco da curva que tenha a mesma
orientação que a curva dada e t = 0 como ponto de referência.
(b) Encontre
~T (t), ~N(t) e ~B(t) quando t = pi/4.
(c) Encontre a curvatura e o raio de curvatura no ponto t = pi/2 .
4. Calcule o div ~F e o rot ~F , onde F (x, y, z) = exy~i− cos(y)~j + sin2(z)~k.
5. Calcule a integral de linha
∫
C
e−z
x2 + y2
ds em relação a s ao longo da curva C : ~r(t) =
2 cos(t)~i+ 2 sin(t)~j + t~k.
Obs:
1.
~T (t) =
d
dt
[~r(t)]
|| d
dt
[~r(t)]|| . 2.
~N(t) =
d
dt
[~T (t)]
|| d
dt
[~T (t)]|| . 3. κ(t) =
|| d
dt
[~T (t)]||
|| d
dt
[~r(t)]|| .
4.
~B(t) = ~T (t)× ~N(t).
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