Aula 03 Convenção do Ponto, Resolução de Circuitos com Acoplamento Magnético

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09/08/2018
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Universidade Federal de Itajubá
ISEE – Instituto de Sistemas Elétricos e Energia
ELE 401 – CIRCUITOS MAGNÉTICOS
1º Semestre 2018
1. Convenção do Ponto, Resolução de Circuitos com 
Acoplamento Magnético
Prof. Gustavo Paiva Lopes
1. Conceitos Básicos
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1.8 Convenção do Ponto (Regra do Ponto)
 Considere os circuitos com as bobinas a seguir:
 Nestas bobinas há uma indutância mútua e sua polaridade (-M ou +M)
definirá o sentido da corrente i2. Na prática, o sentido da corrente i2
depende de aspectos construtivos e nem sempre é possível determinar a
polaridade visto que a parte física não está acessível.
߶ଵ ൌ ߶ଵଵ ൅ ߶ଶଵ
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1. Conceitos Básicos
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1.8 Convenção do Ponto (Regra do Ponto)
 Como determinar então a polaridade da indutância mútua?
 Considere o circuito magnético a seguir:
 Qual a tensão induzida em cada uma das bobinas?
N1 N2
i1(t)
e1
Φ21
Φ11 e2
i2(t)
Φ12
݁ଵ஺ ൌ െ ଵܰ ݀߶ଵଵ݀ݐ ൌ െ
݀ሺ ଵܰ߶ଵଵሻ
݀ݐ ൌ െ
݀ߣଵଵ
݀ݐ ߣଵଵ ൌ ܮଵ݅ଵ
1. Conceitos Básicos
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1.8 Convenção do Ponto (Regra do Ponto)
 Então, a queda de tensão devido a auto indutância é dada por:
 Porém temos um fluxo mútuo que enlaça a bobina (1):
 Então, a queda de tensão devido a indutância mútua é dada por:
݁ଵ஺ ൌ െܮଵ ݀݅ଵ݀ݐ
݁ଵெ ൌ െ ଵܰ ݀߶ଵଶ݀ݐ ൌ െ
݀ሺ ଵܰ߶ଵଶሻ
݀ݐ ൌ െ
݀ߣଵଶ
݀ݐ ߣଵଶ ൌ ܯ݅ଶ
݁ଵெ ൌ െܯ݀݅ଶ݀ݐ
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1. Conceitos Básicos
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1.8 Convenção do Ponto (Regra do Ponto)
 Portanto:
 Para a bobina (2), temos:
 Então, a queda de tensão devido a auto indutância é dada por:
 Novamente temos um fluxo mútuo que enlaça a bobina (2):
݁ଵ ൌ ݁ଵ஺ ൅ ݁ଵெ ൌ െ ܮଵ ௗ௜భௗ௧ ൅ ܯ
ௗ௜మ
ௗ௧
݁ଶ஺ ൌ െ ଶܰ ݀߶ଶଶ݀ݐ ൌ െ
݀ሺ ଶܰ߶ଶଶሻ
݀ݐ ൌ െ
݀ߣଶଶ
݀ݐ ߣଶଶ ൌ ܮଶ݅ଶ
݁ଶ஺ ൌ െܮଶ ݀݅ଶ݀ݐ
݁ଶெ ൌ െ ଶܰ ݀߶ଶଵ݀ݐ ൌ െ
݀ሺ ଶܰ߶ଶଵሻ
݀ݐ ൌ െ
݀ߣଶଵ
݀ݐ ߣଶଵ ൌ ܯ݅ଵ
1. Conceitos Básicos
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1.8 Convenção do Ponto (Regra do Ponto)
 Então, a queda de tensão devido a indutância mútua é dada por:
 Portanto:
 Resumindo:
 L1 e L2 são as indutâncias próprias e
M é a indutância mútua no circuito
magnético.
݁ଶெ ൌ െܯ݀݅ଵ݀ݐ
݁ଶ ൌ ݁ଶ஺ ൅ ݁ଶெ ൌ െ ܮଶ ௗ௜మௗ௧ ൅ ܯ
ௗ௜భ
ௗ௧
݁ଵ ൌ െ ܮଵ ݀݅ଵ݀ݐ ൅ ܯ
݀݅ଶ
݀ݐ
݁ଶ ൌ െ ܯ݀݅ଵ݀ݐ ൅ ܮଶ
݀݅ଶ
݀ݐ
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1. Conceitos Básicos
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1.8 Convenção do Ponto (Regra do Ponto)
 Se a bobina (2) estiver aberta, ou seja, sem corrente, temos:
 Portanto, o termo indutância mútua representa a tensão induzida no
circuito da bobina (2) devido uma corrente alternada aplicada no circuito
da bobina (1).
 Observa-se no circuito magnético que os fluxos ϕ1 e ϕ2 produzidos pelas
correntes i1 e i2 estão ambos em sentido horário, de maneira que o
acoplamento mútuo aumenta a intensidade da tensão induzida total.
݁ଵ ൌ െ ܮଵ ݀݅ଵ݀ݐ
݁ଶ ൌ െ ܯ݀݅ଵ݀ݐ
1. Conceitos Básicos
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1.8 Convenção do Ponto (Regra do Ponto)
 Então, os sinais dos termos de indutâncias próprias e mútua devem ser os
mesmos, ou seja, positivos.
 Vamos considerar agora um circuito acoplado no qual o sentido da bobina
(2) é invertido.
N1 N2
i1(t)
e1
Φ21
Φ11 e2
i2(t)Φ12
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1. Conceitos Básicos
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1.8 Convenção do Ponto (Regra do Ponto)
 De Maneira análoga, podemos escrever as equações para a tensão
induzida em cada uma das bobinas, considerando que os fluxos ϕ1 e ϕ2
possuem sentido contrários.
݁ଵ஺ ൌ െܮଵ ݀݅ଵ݀ݐ ݁ଵெ ൌ െ െܯ
݀݅ଶ
݀ݐ
݁ଶ஺ ൌ െܮଶ ݀݅ଶ݀ݐ ݁ଶெ ൌ െ െܯ
݀݅ଵ
݀ݐ
݁ଵ ൌ െ ܮଵ ݀݅ଵ݀ݐ െ ܯ
݀݅ଶ
݀ݐ
݁ଶ ൌ െ െܯ݀݅ଵ݀ݐ ൅ ܮଶ
݀݅ଶ
݀ݐ
1. Conceitos Básicos
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1.8 Convenção do Ponto (Regra do Ponto)
 Conclusão: como os dois fluxos ϕ1 e ϕ2 estão em sentidos opostos, o
acoplamento mútuo diminui a intensidade da tensão induzida total, de
maneira que os termos própria e mútua possuem sinais contrários.
 Neste caso e no anterior, os termos de auto indutância (própria) são
sempre positivos, o que obriga os termos de indutância mútua a serem
negativos (troca de sinal).
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1. Conceitos Básicos
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1.8 Convenção do Ponto (Regra do Ponto)
1.8.1 Sentido Relativo dos Enrolamentos e Polaridade
 Efetuando um corte A-A’ no primeiro circuito, temos:
 Nota-se que as bobinas estão enroladas em sentidos opostos.
 Neste caso o termo de indução mútua é positivo.
 Assim, conclui-se que a polaridade aditiva (+M) corresponde a fluxos
concordantes.
N1 N2
i1 e1
Φ1
i2e2
Φ2
1. Conceitos Básicos
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1.8 Convenção do Ponto (Regra do Ponto)
1.8.1 Sentido Relativo dos Enrolamentos e Polaridade
 Analogamente, efetuando um corte B-B’ no segundo circuito, temos:
 Nota-se que as bobinas estão enroladas no mesmo sentido.
 Para este caso, o termo de indução mútua é negativo.
 Assim, conclui-se que a polaridade subtrativa (-M) corresponde a fluxos
discordantes (em oposição).
N1 N2
i1 e1
Φ1
i2e2
Φ2
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1. Conceitos Básicos
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1.8 Convenção do Ponto (Regra do Ponto)
1.8.1 Sentido Relativo dos Enrolamentos e Polaridade
 Do que for exposto, podemos enunciar a regra dos pontos:
1) Se ambas as correntes estiverem dirigidas para a extremidade adotada
como referência para a bobina (entram ou saem), os termos de auto
indução e indução mútua possuem o mesmo sinal (+M).
N1 N2
i1 e1
Φ1
i2e2
Φ2
Referência neste
caso: a bobina
começa a ser
enrolada pela
frente.
1. Conceitos Básicos
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1.8 Convenção do Ponto (Regra do Ponto)
1.8.1 Sentido Relativo dos Enrolamentos e Polaridade
 Do que for exposto, podemos enunciar a regra dos pontos:
2) Se uma corrente entra pela referência adotada enquanto a outra sai
no outro terminal também de referência, os termos de auto indução e
indução mútua possuem sinais opostos (-M).
N1 N2
i1 e1
Φ1
i2e2
Φ2
Referência neste
caso: a bobina
começa a ser
enrolada pela
frente.
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1. Conceitos Básicos
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1.8 Convenção do Ponto (Regra do Ponto)
1.8.1 Sentido Relativo dos Enrolamentos e Polaridade
 Geralmente marcamos o terminal de referencia adotado com um ponto (•).
 Verificando a regra dos pontos nos seguintes circuitos:
1º Caso
N1 N2
i1 i2
+M
i1 +M i2
1. Conceitos Básicos
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1.8 Convenção do Ponto (Regra do Ponto)
1.8.1 Sentido Relativo dos Enrolamentos e Polaridade
 Verificando a regra dos pontos nos seguintes circuitos:
2º Caso
i1 +M i2
N1 N2
i1 i2
+M
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1. Conceitos Básicos
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1.8 Convenção do Ponto (Regra do Ponto)
1.8.1 Sentido Relativo dos Enrolamentos e Polaridade
 Verificando a regra dos pontos nos seguintes circuitos:
3º Caso
i1 i2
-M
i1 -M i2
1. Conceitos Básicos
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1.8 Convenção do Ponto (Regra do Ponto)
1.8.1 Sentido Relativo dos Enrolamentos e Polaridade
 Verificando a regra dos pontos nos seguintes circuitos:
4º Caso
i1 i2
-M
i1 -M i2
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1. Conceitos Básicos
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1.8 Convenção do Ponto (Regra do Ponto)
1.8.1 Sentido Relativo dos Enrolamentos e Polaridade
 Como atribuir os pontos em um par de bobinas onde não se conhece a
polaridade da indutância mútua?
 Considere o circuito magnético a seguir:
a) Colocar um ponto onde a corrente adotada entra no enrolamento.
b) Desenhar o fluxo Φ gerado pela corrente adotada através da regra da
mão direita.
N1 N2
i1
e1
Φ
e2
i2Φ’
R
1. Conceitos Básicos
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1.8 Convenção do Ponto (Regra do Ponto)
1.8.1 Sentido Relativo dos Enrolamentos e Polaridade
c) Desenhar o fluxo Φ’ que se opõe ao fluxo original Φ através da Lei de
Lenz.
d) Com a regra da mão direita, determinar o sentido da corrente que circula
no segundo enrolamento.
e) Colocar o segundo ponto no terminal onde a corrente sai do enrolamento.
N1 N2
i1
e1
Φ
e2
i2Φ’
R
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1.8 Convenção do Ponto (Regra do Ponto)
1.8.1 Sentido Relativo dos Enrolamentos e Polaridade
 Idempara o caso a seguir onde a 2ª bobina está enrolada de maneira
diferente.
N1 N2
i1
e1
Φ
e2
i2
Φ’
R
1. Conceitos Básicos
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1.8 Convenção do Ponto (Regra do Ponto)
1.8.2 Bobinas Mutuamente Acopladas Conectadas em Série
a) Considere o seguinte circuito magnético:
 Qual o valor da indutância equivalente vista dos terminais deste circuito?
L1 L2
i
e1
Φ1
e2
Φ2
M
݁ଵ ൌ െ݀ߣଵ݀ݐ ߣଵ ൌ ܮଵ݅ ൅ ܯ݅ ݁ଵ ൌ െ ܮଵ ൅ܯ
݀݅
݀ݐ
݁ଶ ൌ െ݀ߣଶ݀ݐ ߣଶ ൌ ܮଶ݅ ൅ ܯ݅ ݁ଶ ൌ െ ܮଶ ൅ܯ
݀݅
݀ݐ
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1.8 Convenção do Ponto (Regra do Ponto)
1.8.2 Bobinas Mutuamente Acopladas Conectadas em Série
 A tensão total vale:
 Neste caso diz-se que as polaridades são aditivas.
L1 L2
i
e1
Φ1
e2
Φ2
M݁ ൌ ݁ଵ ൅ ݁ଶ
݁ ൌ െ ܮଵ ൅ܯ ݀݅݀ݐ ൅ െ ܮଶ ൅ܯ
݀݅
݀ݐ
݁ ൌ െ ܮଵ ൅ ܮଶ ൅ 2ܯ ݀݅݀ݐ
ܮ௘௤ ൌ ܮଵ ൅ ܮଶ ൅ 2ܯ
i
ML1 L2
1. Conceitos Básicos
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1.8 Convenção do Ponto (Regra do Ponto)
1.8.2 Bobinas Mutuamente Acopladas Conectadas em Série
b) Considere a outra forma de enrolar as bobinas:
 Neste caso, temos:
݁ଵ ൌ െ݀ߣଵ݀ݐ ߣଵ ൌ ܮଵ݅ െ ܯ݅ ݁ଵ ൌ െ ܮଵ െܯ
݀݅
݀ݐ
݁ଶ ൌ െ݀ߣଶ݀ݐ ߣଶ ൌ ܮଶ݅ െ ܯ݅ ݁ଶ ൌ െ ܮଶ െܯ
݀݅
݀ݐ
L1 L2
i
e1
Φ1
e2
Φ2
M
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1. Conceitos Básicos
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1.8 Convenção do Ponto (Regra do Ponto)
1.8.2 Bobinas Mutuamente Acopladas Conectadas em Série
 A tensão total vale:
 Neste caso diz-se que as polaridades são subtrativas.
݁ ൌ ݁ଵ ൅ ݁ଶ
݁ ൌ െ ܮଵ െܯ ݀݅݀ݐ ൅ െ ܮଶ െܯ
݀݅
݀ݐ
݁ ൌ െ ܮଵ ൅ ܮଶ െ 2ܯ ݀݅݀ݐ
ܮ௘௤ ൌ ܮଵ ൅ ܮଶ െ 2ܯ
L1 L2
i
e1
Φ1
e2
Φ2
M
i
ML1 L2
1. Conceitos Básicos
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1.8 Convenção do Ponto (Regra do Ponto)
1.8.2 Bobinas Mutuamente Acopladas Conectadas em Série
 Exemplo 1: obter o circuito equivalente com pontos para a configuração
mostrada a seguir e determinar a reatância indutiva equivalente.
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1. Conceitos Básicos
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1.8.3 Resolução de Circuitos com Acoplamento Magnético
 Após a apresentação da regra do ponto e os passos para a determinação
da polaridade da tensão mútua torna-se possível resolver circuitos com
acoplamento magnético.
 Considere o primeiro circuito a seguir no qual será aplicado a Lei de
Kirchhoff das Tensões (LKT).
1. Conceitos Básicos
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1.8.3 Resolução de Circuitos com Acoplamento Magnético
 Aplicando a LKT no domínio do tempo para as bobinas 1 e 2, tem-se:
 Passando para o domínio da frequência (formato fasorial), tem-se:
 Note que o sinal da mútua é positivo (+M) com base na regra dos pontos.
ݑଵ ൌ ܴଵ݅ଵ ൅ ܮଵ ݀݅ଵ݀ݐ ൅ ܯ
݀݅ଶ
݀ݐ
ݑଶ ൌ ܴଶ݅ଶ ൅ ܮଶ ݀݅ଶ݀ݐ ൅ ܯ
݀݅ଵ
݀ݐ
ଵܷሶ ൌ ܴଵ ൅ ݆߱ܮଵ ܫଵሶ ൅ ݆߱ܯ ܫଶሶ
ܷଶሶ ൌ ݆߱ܯ ܫଵሶ ൅ ܴଶ ൅ ݆߱ܮଶ ܫଶሶ
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1. Conceitos Básicos
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1.8.3 Resolução de Circuitos com Acoplamento Magnético
 Para o segundo circuito, aplicando a LKT no domínio da frequência para
as bobinas 1 e 2, tem-se:
 Note que o sinal da mútua é negativo (-M) com base na regra dos pontos.
ሶܷ ൌ ܼଵ ൅ ݆߱ܮଵ ܫଵሶ െ ݆߱ܯ ܫଶሶ
0 ൌ െ ݆߱ܯ ܫଵሶ ൅ ܼ௅ ൅ ݆߱ܮଶ ܫଶሶ
1. Conceitos Básicos
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1.8.3 Resolução de Circuitos com Acoplamento Magnético
 Na maioria das vezes, resolver circuitos mutuamente acoplados requer
que executemos duas ou mais etapas feitas de uma só vez sobre os sinais
e os valores das tensões mutuamente induzidas.
 Recomenda-se dividir a solução dos circuitos em duas etapas.
Primeiramente determinamos o módulo da tensão induzida e em seguida
o seu sinal, (+) ou (-).
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1. Conceitos Básicos
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1.8.3 Resolução de Circuitos com Acoplamento Magnético
 Para isto, considere o par de bobinas acopladas a seguir:
 Para a determinação do módulo da tensão induzida em cada bobina,
sabe-se que a corrente I1 induz uma tensão na segunda bobina de módulo
jωꞏMꞏI1, enquanto a corrente I2 induz uma tensão de módulo jωꞏMꞏI2 na
primeira bobina.
1. Conceitos Básicos
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1.8.3 Resolução de Circuitos com Acoplamento Magnético
 O efeito da tensão induzida em cada bobina é representado por uma fonte
de tensão controlada por corrente (jωꞏMꞏI1 e jωꞏMꞏI2).
 Marque a polaridade das quedas de tensão nas bobinas L1 e L2 com base
nos sentidos das correntes I1 e I2.
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1. Conceitos Básicos
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1.8.3 Resolução de Circuitos com Acoplamento Magnético
 Em seguida, coloque a polaridade nas fontes de tensão controladas com
base na regra dos pontos:
a) Neste exemplo temos um caso de mútua com polaridade subtrativa visto
que a corrente I1 entra na bobina L1 no terminal com ponto enquanto a
corrente I2 sai da bobina L2 no terminal com ponto.
b) Portanto, as quedas de tensão devido a auto indutância e devido a
indutância mútua possuem sinais contrários, conforme figura a seguir.
1. Conceitos Básicos
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1.8.3 Resolução de Circuitos com Acoplamento Magnético
 Neste ponto basta analisar o circuito com duas fontes dependentes visto
que o efeito da indutância mútua está devidamente contabilizado.
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1. Conceitos Básicos
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1.8.3 Resolução de Circuitos com Acoplamento Magnético
 Exemplo 1: calcule as correntes fasoriais I1 e I2 no circuito a seguir:
െ12 െ ݆4	ܫଵሶ ൅ ݆5	ܫଵሶ െ ݆3	ܫଶሶ ൌ 0
െ݆3	ܫଵሶ ൅ ݆6	ܫଶሶ ൅ 12	ܫଶሶ ൌ 0
݆	ܫଵሶ െ ݆3	ܫଶሶ ൌ 12
ܫଵሶ ൌ ሺെ݆4 ൅ 2ሻ	ܫଶሶ
1. Conceitos Básicos
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1.8.3 Resolução de Circuitos com Acoplamento Magnético
 Exemplo 2: determine a tensão U0 no circuito a seguir:
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1. Conceitos Básicos
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1.8.3 Resolução de Circuitos com Acoplamento Magnético
 Exemplo 3: determine as correntes de malha no circuito a seguir:
1. Conceitos Básicos
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1.8.3 Resolução de Circuitos com Acoplamento Magnético
 Exemplo 4: determine as correntes de malha no circuito a seguir: