Trabalho cinética enzimática

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SIMULAÇÃO DE MODELOS CINÉTICOS ENZIMÁTICOS 
 
 
 
 
 
Acadêmicos: Bruna Pratto 
 Vanessa Molina de Vasconcellos 
 
 Docente: Cláudio Alberto Torres Suazo 
 
 
 
 
 
 
 
São Carlos – SP 
2013 
 
 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS 
 DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA 
 PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA 
 DISCIPLINA: REATORES BIOQUÍMICOS 
 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
As enzimas são pontos centrais nos processos bioquímicos, catalisando centenas 
de reações que degradam passo a passo as moléculas dos nutrientes, conservam e 
transformam a energia química, sintetizam as macromoléculas a partir de precursores 
simples e produzem uma interação harmoniosa entre as vias metabólicas. 
Elas são proteínas altamente especializadas que possuem um extraordinário 
poder catalítico, em alguns casos são melhores do que aqueles dos catalisadores 
inorgânicos ou sintéticos. São caracterizadas pelo alto grau de especificidade em relação 
a seus substratos, aceleram as reações químicas e funcionam em soluções aquosas sob 
condições moderadas de temperatura e pH. 
As reações catalisadas por enzimas são caracterizadas pela formação de um 
complexo entre o substrato e a enzima (complexo ES), a ligação do substrato ocorre em 
um bolsão chamado de sítio ativo. A função das enzimas é diminuir a energia de 
ativação para uma reação, sendo assim o equilíbrio de uma reação não é afetado e sim a 
velocidade da reação que é intensificada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. RESULTADOS E DISCUSSÃO 
 
Os valores fornecidos para a realização deste trabalho estão mostrados na Tabela 
1. 
 
Tabela 1- Valores fornecidos da concentração de 
enzima e substrato inicial, e das constantes cinéticas. 
Constantes Valor 
E0 (mol/L) 
5,00E-06 
5,00E-05 
S0 (mol/L) 5,00E-03 
k1 (mol.s/L)
-1 3,30E+05 
k-1 (s)
-1
 40 
k2 (s)
-1
 4,8 
 
O modelo de reação enzimática obedecido envolve uma etapa reversível e, em 
seguida, uma irreversível, mostrado nas duas equações abaixo: 
 
 
 
2.1. Efeito da concentração de E, ES, S e P pelo tempo reacional 
A partir dos dados fornecidos na Tabela 1, e com a ajuda do software COPASI, 
foi possível determinar a concentração de enzima (E), substrato (S), complexo enzima-
substrato (ES) e produto (P) ao longo do tempo reacional. 
Para que o COPASI gerasse os valores da solução exata, foi necessário inserir no 
programa as duas reações acima. Na Tabela 2, podem-se observar os valores de 
concentrações de E, ES, S e P ao longo do tempo de reação para concentração de 
enzima inicial (E0)= 5,00E-06 mol/L. 
 
 
 
Tabela 2- Valores de concentração de E, ES, S e P, ao longo da reação, para concentração de E0= 5,00E-06 mol/L. 
Tempo (s) E (mol/L) ES (mol/L) S (mol/L) P (mol/L) Tempo (s) E (mol/L) ES (mol/L) S (mol/L) P (mol/L) 
0 5,000E-06 0 5,000E-03 0 36 1,582E-07 4,842E-06 4,156E-03 8,390E-04 
2 1,335E-07 4,866E-06 4,948E-03 4,671E-05 38 1,599E-07 4,840E-06 4,110E-03 8,855E-04 
4 1,347E-07 4,865E-06 4,902E-03 9,342E-05 40 1,617E-07 4,838E-06 4,063E-03 9,320E-04 
6 1,360E-07 4,864E-06 4,855E-03 1,401E-04 42 1,635E-07 4,837E-06 4,017E-03 9,784E-04 
8 1,373E-07 4,863E-06 4,808E-03 1,868E-04 44 1,653E-07 4,835E-06 3,970E-03 1,025E-03 
10 1,386E-07 4,861E-06 4,762E-03 2,335E-04 46 1,672E-07 4,833E-06 3,924E-03 1,071E-03 
12 1,399E-07 4,860E-06 4,715E-03 2,802E-04 48 1,691E-07 4,831E-06 3,878E-03 1,118E-03 
14 1,413E-07 4,859E-06 4,668E-03 3,268E-04 50 1,711E-07 4,829E-06 3,831E-03 1,164E-03 
16 1,427E-07 4,857E-06 4,622E-03 3,734E-04 52 1,731E-07 4,827E-06 3,785E-03 1,210E-03 
18 1,441E-07 4,856E-06 4,575E-03 4,201E-04 54 1,752E-07 4,825E-06 3,739E-03 1,257E-03 
20 1,455E-07 4,854E-06 4,528E-03 4,667E-04 56 1,773E-07 4,823E-06 3,692E-03 1,303E-03 
22 1,470E-07 4,853E-06 4,482E-03 5,133E-04 58 1,795E-07 4,821E-06 3,646E-03 1,349E-03 
24 1,485E-07 4,852E-06 4,435E-03 5,598E-04 60 1,817E-07 4,818E-06 3,600E-03 1,396E-03 
26 1,500E-07 4,850E-06 4,389E-03 6,064E-04 62 1,840E-07 4,816E-06 3,553E-03 1,442E-03 
28 1,516E-07 4,848E-06 4,342E-03 6,530E-04 64 1,863E-07 4,814E-06 3,507E-03 1,488E-03 
30 1,532E-07 4,847E-06 4,296E-03 6,995E-04 66 1,887E-07 4,811E-06 3,461E-03 1,534E-03 
32 1,548E-07 4,845E-06 4,249E-03 7,460E-04 68 1,912E-07 4,809E-06 3,415E-03 1,580E-03 
34 1,565E-07 4,844E-06 4,203E-03 7,925E-04 70 1,937E-07 4,806E-06 3,369E-03 1,627E-03 
 
 
A partir da Tabela 2 plotou-se os valores de concentração de E, ES, S e P ao 
longo da reação. O gráfico pode ser visualizado na Figura 1. 
 
Figura 1- Concentração de E, ES, S e P em função do tempo de reação para E0= 5,00E-
06 mol.L. 
 
 
Para uma melhor visualização do comportamento de cada composto, foi plotado 
E e ES em escala diferente em relação ao gráfico de S e P. Os gráficos podem ser 
observados na Figura 2 e 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2- Comportamento de consumo e formação de E e ES ao longo do tempo de 
reação E0= 5,00E-06 mol.L. 
 
Figura 3- Comportamento de consumo de S e formação de P ao longo do tempo de 
reação E0= 5,00E-06 mol.L. 
 
De acordo com os dados da Tabela 1, tem-se que a concentração de substrato 
inicial é muito maior que a concentração de enzima inicial (1000 vezes maior), isto 
sugere que a enzima está em saturação, isto é, seus sítios ativos estão todos ocupados 
por moléculas de substrato, fato que justifica a queda brusca da concentração de 
 
 
substrato e um aumento rápido da formação de complexo enzima-substrato. Nesta 
condição, um aumento na concentração de substrato não afetará a taxa de reação porque 
os todos os sítios ativos já estão sendo utilizados. Desta forma, a velocidade de reação 
não é influenciada pela concentração de substrato. 
Outro fator a ser observado, é que pelo fato da concentração da enzima ser muito 
menor que a concentração de substrato, um equilíbrio entre E, S, ES se estabelece 
rapidamente, isso pode ser notado nas Figuras 2 e 3, no qual o final da reação é atingido 
em um tempo de aproximadamente 240 s. 
Pode-se observar que a primeira reação ocorre a velocidades muito 
maiores que a segunda reação , essa observação pode ser confirmada pelos 
valores das constantes cinéticas fornecidas na Tabela 1 ( k1= 3,30E+05 (mol.s/L)
-1
, k2= 
40 s
-1
 e k3= 4,8 s
-1
). De acordo com os valores das constantes de velocidade, nota-se que 
para a primeira reação o equilíbrio está mais deslocado para a direita, ou seja, para a 
formação do complexo enzima substrato. Já para a segunda reação, o valor da constante 
cinética é a menor entre as três constantes de velocidade, sendo assim, a velocidade de 
formação do produto é a etapa mais lenta e limitante do processo. 
Através da Figura 2, é possível notar que o fato de ES estar sendo consumido na 
formação de produto não provoca uma diminuição na sua concentração, uma vez que há 
um excesso de substrato para se combinar com a enzima liberada quando se forma o 
produto. A concentração de ES começa a cair somente quando está próximo de atingir o 
fim da reação, ou seja, quando praticamente todo o substrato se transformou em 
produto. 
 
O mesmo procedimento realizado para a concentração de enzima inicial de E0= 
5,00E-06 mol/L, foi feito para a concentração de E0= 5,00E-05 mol/L. 
Na Tabela 3, podem-se observar os valores de concentrações de E, ES, S e P ao 
longo do tempo de reação para concentração de enzima inicial (E0)= 5,00E-05mol/L. 
 
 
Tabela 3- Valores de concentração de E, ES, S e P, ao longo da reação, para concentração de E0= 5,00E-05 mol/L. 
Tempo (s) E (mol/L) ES (mol/L) S (mol/L) P (mol/L) Tempo (s) E (mol/L) ES (mol/L) S (mol/L) P (mol/L) 
0 5,000E-05 0 5,000E-03 0 18 6,725E-06 4,327E-05 8,729E-04 4,084E-03 
1 1,398E-06 4,860E-05 4,718E-03 2,333E-04 19 8,410E-06 4,159E-05 6,707E-04 4,288E-03 
2 1,469E-06 4,853E-05 4,485E-03 4,664E-04 20 1,102E-05 3,898E-05 4,794E-04 4,482E-03 
3 1,547E-06 4,845E-05 4,252E-03 6,992E-04 21 1,533E-05 3,467E-05 3,060E-04 4,659E-03 
4 1,633E-06 4,837E-05 4,020E-03 9,316E-04 22 2,263E-05 2,737E-05 1,630E-04 4,810E-03 
5 1,730E-06 4,827E-05 3,788E-03 1,164E-03 23 3,331E-05 1,669E-05 6,699E-05 4,916E-03 
6 1,838E-06 4,816E-05 3,557E-03 1,395E-03 24 4,301E-05 6,988E-06 2,154E-05 4,971E-03 
7 1,961E-06 4,804E-05 3,326E-03 1,626E-03 25 4,779E-05 2,207E-06 6,098E-06 4,992E-03 
8 2,100E-06 4,790E-05 3,096E-03 1,856E-03 26 4,938E-05 6,198E-07 1,655E-06 4,998E-03 
9 2,261E-06 4,774E-05 2,867E-03 2,086E-03 27 4,983E-05 1,678E-07 4,437E-07 4,999E-03 
10 2,447E-06 4,755E-05 2,638E-03 2,314E-03 28 4,996E-05 4,497E-08 1,186E-07 5,000E-03 
11 2,665E-06 4,733E-05 2,411E-03 2,542E-03 29 4,999E-05 1,202E-08 3,168E-08 5,000E-03 
12 2,925E-06 4,707E-05 2,184E-03 2,769E-03 30 5,000E-05 3,211E-09 8,461E-09 5,000E-03 
13 3,239E-06 4,676E-05 1,959E-03 2,994E-03 31 5,000E-05 8,573E-10 2,259E-09 5,000E-03 
14 3,625E-06 4,637E-05 1,736E-03 3,217E-03 32 5,000E-05 2,289E-10 6,033E-10 5,000E-03 
15 4,111E-06 4,589E-05 1,515E-03 3,439E-03 33 5,000E-05 6,113E-11 1,611E-10 5,000E-03 
16 4,736E-06 4,526E-05 1,297E-03 3,658E-03 34 5,000E-05 1,632E-11 4,302E-11 5,000E-03 
17 5,570E-06 4,443E-05 1,082E-03 3,873E-03 35 5,000E-05 4,360E-12 1,149E-11 5,000E-03 
*k = km para modelo de Michaelis-Menten e kBH para modelo de Briggs e Haldane 
 
De acordo com a Tabela 3, plotou-se os valores de concentração de E, ES, S e P 
ao longo do tempo reacional. O gráfico representando esses valores pode ser observado 
na Figura 4. 
 
Figura 4- Concentração de E, ES, S e P em função do tempo de reação para 
concentração de E0= 5,00E-05 mol/L. 
 
 
Para uma melhor visualização do comportamento de cada composto, foi plotado 
E e ES em escala diferente em relação ao gráfico de S e P. Os gráficos podem ser 
observados na Figura 5 e 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
*k = km para modelo de Michaelis-Menten e kBH para modelo de Briggs e Haldane 
 
Figura 5- Comportamento de consumo e formação de E e ES ao longo do tempo de reação para 
concentração de E0= 5,00E-05 mol/L. 
 
 
Figura 6- Comportamento de consumo de S e formação de P ao longo do tempo 
reacional para concentração de E0= 5,00E-05 mol/L. 
 
 
Para a condição de E0= 5,00E-05 mol/L, tem-se que a concentração de substrato 
inicial é maior que a concentração de enzima inicial (100 vezes maior), isto sugere que a 
*k = km para modelo de Michaelis-Menten e kBH para modelo de Briggs e Haldane 
 
enzima está em saturação, isto é, seus sítios ativos estão todos ocupados por moléculas 
de substrato, fato que justifica a queda brusca da concentração de substrato e um 
aumento rápido da formação de complexo enzima-substrato. Nesta condição, um 
aumento na concentração de substrato não afetará a taxa de reação porque os todos os 
sítios ativos já estão sendo utilizados. Desta forma, a velocidade de reação não é 
influenciada pela concentração de substrato. 
À medida que aumenta a concentração inicial de enzima, as velocidades de 
formação de produto e consumo de substrato se tornarão cada vez maiores. Isso pode 
ser comprovado através da Figura 6, na qual o fim da reação é atingido em 
aproximadamente 25 s, ao passo que para a concentração de enzima menor E0= 5,00E-
06 mol/L é atingido com tempo reacional de aproximadamente 240 s. 
De acordo com a Figura 5, nota-se que o fato de ES estar sendo consumido na 
formação de produto não provoca uma diminuição na sua concentração, uma vez que há 
um excesso de substrato para se combinar com a enzima liberada quando se forma o 
produto. A concentração de ES começa a cair somente quando está próximo a atingir o 
equilíbrio, ou seja, quando a praticamente todo o substrato foi consumido. 
 
2.2. Cinética enzimática 
Para obter os dados de velocidade de formação do produto em função da 
concentração de substrato para a solução exata, foram inseridas no COPASI as duas 
reações abaixo e as constantes da Tabela 1. 
 
 
Já para o modelo de Michaelis-Menten e Briggs Haldane foi escolhido no 
programa a função de Michaelis-Menten, utilizando a seguinte equação: 
 
 
 
Os modelos cinéticos de Michaelis Menten e Briggs Haldane apresentam a 
mesma equação de velocidade: 
 
 
 
 
 
O que diferencia os dois modelos é o cálculo que envolve a dedução da 
constante “k”, para Michaelis Menten é adotado a suposição de equilíbrio, no qual 
 
 
 
, para Briggs Haldane é adotado a suposição de estado estacionário, no 
qual 
 
 
. Como k2 + k-1 << k1 o modelo de Brigss Haldane assemelha-se 
ao modelo de Michaelis Menten, dessa forma o comportamento cinético de formação de 
produto será igual. 
O modelo exato fornecido pelo COPASI, em ambas as concentrações 
enzimáticas utilizadas, exibe uma dependência hiperbólica da velocidade em relação à 
concentração de substrato [S]. Todas as enzimas que apresentam essa dependência são 
ditas seguir a cinética de Michaelis Menten, assim pode-se afirmar que o modelo de 
Michaelis Menten representa bem os dados comparados com a solução exata. 
É possível visualizar a partir da comparação das curvas na Figura 7 que a 
velocidade da reação é diretamente proporcional à concentração de enzima, quanto 
maior a concentração maior a velocidade. 
Nas reações enzimáticas a concentração de substrato geralmente está em 
excesso, um aumento da concentração de enzima favorecerá a formação de ES, 
consequentemente haverá uma maior formação de produto. 
 
Figura 7– Velocidade de formação de produto em relação à concentração de 
substrato para E0=5,00E-05 mol/L e para E0=5,00E-06 mol/L. 
 
E0=5,00E-05 mol/L 
E0=5,00E-06 mol/L 
 
Outro fator que afeta a velocidade de uma reação enzimática é a concentração do 
substrato presente, em concentrações pequenas de substrato a velocidade aumenta quase 
linearmente com o aumento da [S], já em concentrações maiores de substrato a 
velocidade aumenta por incrementos menores em resposta ao aumento de [S], até que se 
alcança um ponto acima do qual o aumento de velocidade é insignificante, sendo esse 
ponto chamado de velocidade máxima (Vmáx). 
Em ambas as curvas identifica-se o efeito da saturação do substrato. Nessas 
circunstâncias o sistema tende a adquirir a velocidade máxima (Vmáx), grandeza que 
varia em função da concentração inicial de enzima livre (E0), obtendo-se Vmáx de 
0,000024 mol/L.s e 0,00024 mol/L.s para as concentrações E0=5,00.E-06 mol/L e 
E0=5,00.E-05 mol/L, respectivamente. 
Além disso, verifica-se que a velocidade de formação do produto é praticamente 
constante com a variação do substrato, o que indica a possibilidade da reação ser de 
ordem zero, visto que uma reação de ordem zero ocorre quando [S] >> km, considerando 
km desprezível a equação de velocidade se reduz a . 
 
2.3. Consumo do substrato em relação ao tempo 
Para a construção da curva da solução exata foi coletado os dados gerados pelo 
COPASI, já para o modelo de Michaelis – Menten e Briggs e Haldane, utilizou-se a 
equação integrada do modelo matemático de Michaelis-Menten, dada pela equação 
abaixo. 
 
 (
 
 
) ( ) 
 
Como auxílio da ferramenta “Solver”, foi possível determinar a concentração de 
substrato ao longo do tempo reacional. 
 Os valores obtidos para a solução exata e dos modelos de Michaelis-Menten e 
Briggs Haldane podem ser visualizados na Figura 8, para a concentração de E0= 5,00E-
06 mol/L e E0= 5,00E-05 mol/L. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8 – Concentração de substrato sobre concentração de substrato inicial em função 
do tempo para α = 0,001 e α = 0,01. 
 
 
A partir da Figura 8 percebe-se que o consumo de substrato em função do tempo 
é linear, esse comportamento é típico de reações de ordem zero, o qual a velocidade de 
formação do produto independe da concentração do substrato, portanto, a suposição 
relatada anteriormente de que a reação se comporta como de ordem zero, é confirmada. 
Observa-se também, que independente da concentração de enzima inicial, o 
comportamento do gráfico é o mesmo, a diferença entre as duas curvas é que para a 
maior concentração da enzima o fim da reação ocorre a partir do instante de 25 s, ao 
passo que para a concentração menor de enzima o fim da reação ocorre em 240 s. 
Para uma melhor visualização das divergências entre os modelos com a mudança 
do α, plotou-se os mesmos dados, porém em escala logarítmica, mostrado na Figura 9. 
 
 
 
 
 
 
α= 0,001 
α= 0,01 
 
 
Figura 9 – Concentração de substrato sobre concentração de substrato inicial em função 
do tempo para α = 0,001 e α = 0,01. 
 
De acordo com a Figura 9, fica claro que quanto maior o valor de α, maior é a 
discrepância dos modelos de Briggs - Haldane e Michaelis – Menten em relação à 
solução exata. Esse efeito é relatado por Bailey & Olllis, 1977, p. 97. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
α= 0,001 
α= 0,01 
 
3. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
BAILEY & OLLIS, Biochemical Engineering Fundamentals. Mc.Graw-Hill, 
1977. 
NELSON, D. L.; COX, M. Lehninger – Princípios de Bioquímica. 3ed. São 
Paulo: Sarvier, 2002. 
SHULER, M. L. AND KARGI, F., Bioprocess Engineering: Basic Concepts, 
Prentice Hall, Second Edition, 2001.