Unidade 5 Corrente Resistência e Circuitos

Prévia do material em texto

1
Unidade 5: Corrente, Resistência e Circuitos
Unidade 5 – Corrente, Resistência e Circuitos
5.1. Corrente elétrica;
5.2. Densidade de corrente;
5.3. Resistência e resistividade;
5.4. Lei de Ohm;
5.5. Potência em circuitos elétricos;
5.6. Trabalho, energia e força eletromotriz;
5.7. Cálculo da corrente em um circuito de uma malha;
5.8. Outros circuitos de uma malha;
5.9. Diferença de potencial entre dois pontos;
5.10. Circuitos com mais de uma malha;
5.11. Circuitos RC.
2
Estrutura do conteúdo 
3
 Corrente elétrica é o movimento de partículas carregadas, que produz um fluxo
líquido de cargas através de um superfície.
 Nesta unidade vamos nos limitar ao estudo de correntes elétricas (constantes)
referentes ao movimento de elétrons de condução em condutores metálicos, como
fios de cobre, por exemplo.
 No circuito fechado da figura (a), todos os pontos no interior do condutor possuem o
mesmo potencial. Não existe campo elétrico no interior do material ou paralelo à
superfície. Os elétrons de condução, não estão sujeitos a uma força elétrica e,
portanto, não existe corrente.
 No circuito fechado da figura (b), o potencial não é mais o mesmo em todos os
pontos no interior do condutor. Existe campo elétrico no interior do material,
exercendo uma força elétrica sobre os elétrons de condução, fazendo os mesmo se
moverem em uma certo sentido e, portanto, existe corrente.
 Após a bateria ser ligada, o movimento dos elétrons atinge um valor constante,
depois de um pequeno intervalo de tempo, e a corrente entra no regime estacionário
(deixa de variar com o tempo).
5.1. Corrente elétrica
4
5.1. Corrente elétrica
 A figura abaixo mostra uma seção reta de um condutor, parte de um circuito no qual
existe uma corrente.
 Se uma carga 𝑑𝑑𝑑𝑑 passa por um plano hipotético (como 𝑎𝑎𝑎𝑎′) em um intervalo de
tempo 𝑑𝑑𝑑𝑑, a corrente 𝑖𝑖 nesse plano é definida como:
𝑖𝑖 = 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
.
 Podemos determinar por integração a carga que passa pelo plano no intervalo de
tempo de 0 a 𝑑𝑑:
𝑑𝑑 = ∫0𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = ∫0𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑,
Onde a corrente 𝑖𝑖 pode variar com o tempo.
 No regime estacionário a corrente é a mesma nos planos 𝑎𝑎𝑎𝑎′, 𝑏𝑏𝑏𝑏′ e 𝑐𝑐𝑐𝑐′ e em
qualquer outro plano que intercepte totalmente o condutor, seja qual for sua
localização ou orientação.
5
5.1. Corrente elétrica
 A unidade de corrente no 𝑆𝑆𝑆𝑆 é o coulomb por segundo, ou ampere, representado
pelo símbolo 𝐴𝐴:1 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 1 𝐴𝐴 = 1 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑎𝑎𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠𝑑𝑑𝑐𝑐 = 1 𝐶𝐶/𝑠𝑠.
 As figuras abaixo mostram um condutor percorrido por uma corrente 𝑖𝑖0 se dividindo
em dois ramos.
 Como a carga é conservada, a soma das correntes nos dois ramos é igual à
corrente inicial:
𝑖𝑖0 = 𝑖𝑖1 + 𝑖𝑖2,
mesmo que os fios sejam retorcidos.
6
5.1. Corrente elétrica
 O Sentido da Corrente:
 Desenhamos as setas que indicam a corrente no sentido em que partículas
positivamente carregadas seriam forçadas pelo campo elétrico a se mover no
circuito.
 No entanto, no caso do fio de cobre, são os elétrons de condução que agem como
portadores de carga ao se movimentar pelo efeito da força elétrica.
 Por razões históricas, porém, usamos a seguinte convenção:
 A seta da corrente é desenhada no sentido em que portadores de carga positivos se
moveriam, mesmo que os portadores sejam negativos e se movam no sentido
oposto.
7
5.1. Corrente elétrica
Exemplo 26-1: A vazão da água em uma mangueira, 𝑑𝑑𝑑𝑑/𝑑𝑑𝑑𝑑, é 450 𝑐𝑐𝑎𝑎3/𝑠𝑠. Qual é a
corrente de cargas negativas?
8
5.2. Densidade de Corrente
 Usamos a densidade de corrente ⃗ para descrever o fluxo de cargas através da
seção reta de um condutor em um certo ponto de um circuito.
 ⃗ tem a mesma direção e o sentido oposto da velocidade das cargas negativas.
 Para cada elemento de área 𝑑𝑑 ⃗ da seção reta do condutor, o módulo 𝐽𝐽 da densidade
de corrente é igual à corrente dividida pela área do elemento.
 Podemos escrever a corrente que atravessa a área do elemento como ⃗ � 𝑑𝑑 ⃗, em
que d ⃗ é o vetor área do elemento, perpendicular ao elemento. A corrente total que
atravessa a superfície da seção reta é, portanto,
𝑖𝑖 = ∫ ⃗ � 𝑑𝑑 ⃗,
 Se a corrente é uniforme em toda a superfície e paralela a 𝑑𝑑 ⃗, ⃗ também é uniforme
e paralela a 𝑑𝑑 ⃗. Nesse caso, a equação anterior se torna:
𝑖𝑖 = ∫ ⃗ � 𝑑𝑑 ⃗ = 𝐽𝐽 ∫ 𝑑𝑑𝐴𝐴 = 𝐽𝐽𝐴𝐴, e portanto 𝐽𝐽 = 𝑖𝑖
𝐴𝐴
,
onde onde 𝐴𝐴 é a área total da superfície.
• De acordo com as duas equações anteriores, a unidade da densidade de corrente
no 𝑆𝑆𝑆𝑆 é o ampere por metro quadrado (𝐴𝐴/𝑎𝑎2).
9
5.2. Densidade de Corrente
 A figura baixo mostra que a densidade de corrente pode ser representada por um
conjunto de linhas, conhecidas como linhas de corrente.
 A corrente faz uma transição de um condutor mais largo, à esquerda, para um
condutor mais estreito, à direita.
 Como a carga é conservada na transição, a quantidade de carga e, portanto, a
quantidade de corrente não pode mudar.
 O que muda é a densidade de corrente, que é maior no condutor mais estreito.
 O espaçamento das linhas de corrente é inversamente proporcional à densidade de
corrente. Quanto mais próximas as linhas de corrente, maior a densidade de
corrente.
10
5.2. Densidade de Corrente
 Velocidade de Deriva.
 Quando existe uma corrente os elétrons de condução devem mover-se, de duas
formas:
 Aleatoriamente, com uma velocidade da ordem 106 𝑎𝑎/𝑠𝑠, igualmente no caso em que
não existe corrente.
 No sentido oposto ao do campo elétrico que produziu a corrente, com uma
velocidade de deriva 𝑣𝑣𝑑𝑑 da ordem de 10−5 ou 10−4 𝑎𝑎/𝑠𝑠, nos condutores de cobre da
fiação elétrica residencial.
 Para relacionar a velocidade de deriva 𝑣𝑣𝑑𝑑 dos elétrons de condução em um fio ao
módulo 𝐽𝐽 da densidade de corrente no fio, vamos partir da figura abaixo, supondo:
 Que todos os portadores de carga positivos se movam com a mesma velocidade de
deriva 𝑣𝑣𝑑𝑑 e que a densidade de corrente 𝐽𝐽 é a mesma em toda a seção reta 𝐴𝐴 do fio.
 A seção reta do fio é constante. Nesse caso, o número de portadores em um pedaço
do fio de comprimento 𝐿𝐿 é 𝑠𝑠𝐴𝐴𝐿𝐿, onde 𝑠𝑠 é o número de portadores por unidade de
volume.
11
5.2. Densidade de Corrente
 Como cada portador possui uma carga 𝑎𝑎, a carga total dos portadores nesse pedaço
do fio é dada por
𝑑𝑑 = 𝑠𝑠𝐴𝐴𝐿𝐿 𝑎𝑎.
 Como os portadores estão todos se movendo com velocidade 𝑣𝑣𝑑𝑑, essa carga 𝑑𝑑
atravessa uma seção reta do fio em um intervalo de tempo
𝑑𝑑 = 𝐿𝐿
𝑣𝑣𝑑𝑑
.
 A corrente 𝑖𝑖 é a taxa de variação com o tempo do fluxo de carga em uma seção reta.
Assim, temos:
𝑖𝑖 = 𝑑𝑑
𝑑𝑑
= 𝑛𝑛𝐴𝐴𝐿𝐿𝑛𝑛
𝐿𝐿/𝑣𝑣𝑑𝑑 = 𝑠𝑠𝐴𝐴𝑎𝑎𝑣𝑣𝑑𝑑 .
 Explicitando 𝑣𝑣𝑑𝑑 e lembrando que 𝑖𝑖/𝐴𝐴 = 𝐽𝐽, temos:
𝑣𝑣𝑑𝑑 = 𝑖𝑖𝑛𝑛𝐴𝐴𝑛𝑛 = 𝐽𝐽𝑛𝑛𝑛𝑛 ou, em forma vetorial, ⃗= (𝑠𝑠𝑎𝑎)�⃗�𝑣𝑑𝑑.
 No caso de portadores positivos 𝑠𝑠𝑎𝑎 é positivo e, portanto, ⃗ e �⃗�𝑣𝑑𝑑 têm o mesmo
sentido. No caso de portadores negativos 𝑠𝑠𝑎𝑎 é negativo e ⃗ e �⃗�𝑣𝑑𝑑 têm sentidos
opostos.
12
Exemplo 26-2: (a) A densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio 𝑅𝑅 = 2,0𝑎𝑎𝑎𝑎 é
uniforme ao longo de uma seção reta do fio é igual a 2,0 × 105 𝐴𝐴/𝑎𝑎2. Qual é a corrente
na parte externa do fio, entre as distâncias radiais 𝑅𝑅/2 e 𝑅𝑅?
(b) Suponha que, em vez de ser uniforme, a densidade de corrente varie com a
distância radial 𝑎𝑎 de acordo com a equação 𝐽𝐽 = 𝑎𝑎𝑎𝑎2, onde 𝑎𝑎 = 3,0 × 1011 𝐴𝐴/𝑎𝑎4 e 𝑎𝑎 está
em metros. Nesse caso, qual é a corrente na mesma parte do fio?
5.2. Densidade de Corrente
13
Exemplo 26-3: Qual é a velocidade de deriva dos elétrons de condução em um fio de
cobre deraio 𝑎𝑎 = 900 𝜇𝜇𝑎𝑎 percorrido por uma corrente 𝑖𝑖 = 17𝑎𝑎𝐴𝐴? Suponha que cada
átomo de cobre contribua para a corrente com um elétron de condução e que a
densidade de corrente é uniforme ao longo da seção reta do fio.
5.2. Densidade de Corrente
14
5.3. Resistência e resistividade
 Resistência elétrica é a propriedade de um objeto qualquer de se opor à passagem
de corrente elétrica, mesmo quando não existe uma diferença de potencial aplicada
entre suas extremidades.
 Medimos a resistência entre dois pontos de um objeto condutor aplicando uma
diferença de potencial 𝑑𝑑 entre esses pontos e medindo a corrente 𝑖𝑖 resultante.
 A resistência 𝑅𝑅 é dada por
𝑅𝑅 = 𝑉𝑉
𝑖𝑖
.
 Para uma mesma diferença de potencial, quanto maior a resistência (à passagem de
corrente) menor a corrente.
 De acordo com a equação anterior, a unidade de resistência no 𝑆𝑆𝑆𝑆 é o 𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑 por
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎.
 Esta combinação ocorre com tanta frequência que uma unidade especial, o 𝑐𝑐𝑜𝑎𝑎 (Ω),
é usada para representá-la.
 Assim, 1 𝑐𝑐𝑜𝑎𝑎 = 1Ω = 1 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑑𝑑
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛
= 1 𝑉𝑉
𝐴𝐴
.
15
5.3. Resistência e resistividade
 Um objeto condutor cuja função em um circuito é introduzir uma certa resistência (á
passagem de corrente) é chamado de resistor.
 Nos diagramas dos circuitos elétricos um resistor é representado pelo símbolo
• A figura abaixo mostra resistores variados. As faixas coloridas indicam o valor da
resistência e de sua tolerância através de um simples código de cores.
16
5.3. Resistência e resistividade
 A resistência de um objeto condutor depende do modo como a diferença de
potencial é aplicada.
 A figura abaixo, mostra a mesma diferença de potencial aplicada, de duas formas
diferentes, ao mesmo objeto condutor.
 Como mostram as linhas de corrente, as correntes nos dois casos são diferentes e,
portanto, as resistências também são diferentes.
 A resistência é maior no arranjo da figura (a), em que os contatos se estendem
apenas a uma pequena região das extremidades do condutor, do que no arranjo da
figura (b), em que os contatos cobrem toda a superfície das extremidades do
condutor.
17
5.3. Resistência e resistividade
 Se concentramos nossa atenção no campo elétrico 𝐸𝐸 que existe em um ponto de um
material resistivo e a densidade de corrente ⃗ no ponto em questão, podemos definir
a resistividade 𝜌𝜌 de um material:
𝜌𝜌 = 𝐸𝐸
𝐽𝐽
.
 Combinando as unidades de 𝐸𝐸 e 𝐽𝐽 no 𝑆𝑆𝑆𝑆, obtemos, para a unidade de 𝜌𝜌, o ohm-
metro: 1 𝑐𝑐𝑜𝑎𝑎 −𝑎𝑎𝑎𝑎𝑑𝑑𝑎𝑎𝑐𝑐 = 1Ω𝑎𝑎 = 1 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑑𝑑/𝑎𝑎
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛/𝑎𝑎2.
 Podemos escrever a equação anterior em forma vetorial:
𝐸𝐸 = 𝜌𝜌 .⃗
 As duas equações anteriores são válidas apenas para materiais isotrópicos, ou seja,
materiais cujas propriedades elétricas são as mesmas em todas as direções.
18
5.3. Resistência e resistividade
 A tabela abaixo mostra a resistividade de alguns materiais.
19
5.3. Resistência e resistividade
 Também podemos falar da condutividade 𝜎𝜎 de um material, que é simplesmente o
recíproco da resistividade:
𝜎𝜎 = 1
𝜌𝜌
.
 A unidade de condutividade no 𝑆𝑆𝑆𝑆 é o ohm-metro recíproco, Ω𝑎𝑎 −1. Esta unidade é
às vezes chamada de mho (ohm escrito ao contrário).
 Usando a definição de 𝜎𝜎, podemos escrever
⃗= 𝜎𝜎𝐸𝐸.
20
5.3. Resistência e resistividade
 Cálculo da Resistência a Partir da Resistividade
 Quando conhecemos a resistividade de um material, como o cobre, por exemplo.
não é difícil calcular a resistência de um fio feito desse material.
 Seja 𝐴𝐴 a área da seção reta, 𝐿𝐿 o comprimento e 𝑑𝑑 a diferença de potencial entre as
extremidades do fio (veja figura abaixo).
 Se as linhas de campo elétrico são uniformes ao longo do comprimento 𝐿𝐿 e as linhas
de corrente são uniformes ao longo de toda a seção reta 𝐴𝐴, o campo elétrico e a
densidade de corrente são iguais em todos os pontos do fio e têm os valores,
respectivamente:
𝐸𝐸 = 𝑉𝑉
𝐿𝐿
e 𝐽𝐽 = 𝑖𝑖
𝐴𝐴
.
21
5.3. Resistência e resistividade
 Podemos combinar as duas equações anteriores com a equação 𝜌𝜌 = 𝐸𝐸
𝐽𝐽
para obter
𝜌𝜌 = 𝐸𝐸
𝐽𝐽
= 𝑉𝑉/𝐿𝐿
𝑖𝑖/𝐴𝐴 = 𝑉𝑉𝐴𝐴𝑖𝑖𝐿𝐿 .
 Como 𝑑𝑑/𝑖𝑖 é a resistência 𝑅𝑅, a equação anterior pode ser escrita na forma
𝜌𝜌 = 𝑅𝑅 𝐴𝐴
𝐿𝐿
ou 𝑅𝑅 = 𝜌𝜌 𝐿𝐿
𝐴𝐴
.
 As grandezas macroscópicas 𝑑𝑑, 𝑖𝑖 e 𝑅𝑅 são de grande interesse quando estamos
realizando medidas elétricas em condutores específicos. São essas as grandezas
que lemos diretamente nos instrumentos de medida.
 Por outro lado, quando estamos interessados nas propriedades elétricas dos
materiais usamos as grandezas microscópicas 𝐸𝐸, 𝐽𝐽 e 𝜌𝜌.
22
5.3. Resistência e resistividade
 Variação da Resistividade com a Temperatura
 Os valores da maioria das grandezas físicas variam com a temperatura, e a
resistividade não é exceção.
 A figura abaixo, por exemplo, mostra a variação da resistividade do cobre com a
temperatura.
 A relação entre temperatura e resistividade para o cobre (e para os metais em geral)
é quase linear em uma larga faixa de temperaturas.
 Isso nos possibilita escrever uma fórmula empírica que é adequada para a maioria
das aplicações práticas:
𝜌𝜌 − 𝜌𝜌0 = 𝜌𝜌0𝛼𝛼 𝑇𝑇 − 𝑇𝑇0 ,
Onde 𝛼𝛼 é coeficiente de temperatura da resistividade, 𝑇𝑇0 é uma temperatura de
referência e 𝜌𝜌0 é a resistividade a essa temperatura.
23
Exemplo 26-4: Uma amostra de ferro em forma de paralelepípedo tem dimensões1,2 𝑐𝑐𝑎𝑎 × 1,2 𝑐𝑐𝑎𝑎 × 15 𝑐𝑐𝑎𝑎. Uma diferença de potencial é aplicada à amostra entre faces
paralelas de tal forma que as faces são superfícies equipotenciais. Determine a
resistência da amostra se as faces paralelas forem (1) as extremidades quadradas (de
dimensões 1,2 𝑐𝑐𝑎𝑎 × 1,2 𝑐𝑐𝑎𝑎); (2) as extremidades retangulares (de dimensões 1,2 𝑐𝑐𝑎𝑎 ×15 𝑐𝑐𝑎𝑎).
5.3. Resistência e resistividade
24
Exemplo 26-5: A figura abaixo mostra um homem e uma vaca, ambos a uma distância
𝐷𝐷 = 60,0𝑎𝑎 do local onde um relâmpago de corrente 𝑆𝑆 = 100 𝑘𝑘𝐴𝐴 atingiu o solo. A
corrente se espalha pelo solo de modo a preencher uniformemente um hemisfério com
centro no ponto em que o relâmpago atingiu o solo. Os pés do homem estão separados
por uma distância ∆𝑎𝑎ℎ= 0,50𝑎𝑎; as patas dianteiras e as patas traseiras da vaca estão
separadas por uma distância ∆𝑉𝑉= 1,50𝑎𝑎. A resistividade do solo é ρ = 100 Ω𝑎𝑎. A
resistência do homem, entre o pé direito e o pé esquerdo, e a resistência da vaca, entre
os cascos dianteiros e os cascos traseiros, são iguais: 𝑅𝑅 = 4 𝑘𝑘Ω.
(a) Qual é a corrente 𝑖𝑖𝑏𝑏 que atravessa o corpo do homem?
(b) Qual é a corrente 𝑖𝑖𝑉𝑉 que atravessa o corpo da vaca?
5.3. Resistência e resistividade
25
5.4. Lei de Ohm
 A lei de Ohm é a afirmação de que a corrente que atravessa um dispositivo é
sempre diretamente proporcional à diferença de potencial aplicada ao dispositivo.
 Um dispositivo obedece à lei de Ohm se a resistência do dispositivo não depende do
valor absoluto nem da polaridade da diferença de potencial aplicada.
 A figura abaixo mostra o gráfico de 𝑖𝑖 em função de 𝑑𝑑 para um dispositivo que
obedece a lei de Ohm. Como o gráfico é uma linha reta que passa pela origem, a
razão 𝑖𝑖/𝑑𝑑 é a mesma para qualquer valor de 𝑑𝑑.
 Isso significa que a resistência 𝑅𝑅 = 𝑑𝑑/𝑖𝑖 do dispositivo é independente do valor
absoluto e da polaridade da diferença de potencial aplicada 𝑑𝑑.
26
5.4. Lei de Ohm
 A figura abaixo mostra o gráfico de 𝑖𝑖 em função de 𝑑𝑑 para um dispositivo que não
obedece a lei de Ohm.
 Nesse caso só existe corrente quando a polaridade de 𝑑𝑑 é positiva e a diferença de
potencial aplicadaé maior que 1,5 𝑑𝑑.
 Além disso, no trecho do gráfico em que existe corrente a razão entre 𝑖𝑖 e 𝑑𝑑 não é
constante, mas depende do valor da diferença de potencial aplicada 𝑑𝑑.
27
5.4. Lei de Ohm
 Podemos expressar a lei de Ohm de modo mais geral se nos concentrarmos nos
materiais, e não nos dispositivos.
 Nesse caso, a relação relevante passa a ser equação
𝐸𝐸 = 𝜌𝜌⃗
Em vez de
𝑑𝑑 = 𝑅𝑅𝑖𝑖.
 Assim, um material obedece à lei de Ohm se a resistividade do material não
depende do módulo nem da direção e sentido do campo elétrico aplicado.
28
5.5. Potência em Circuitos Elétricos
 A figura abaixo mostra um circuito formado por uma bateria 𝐵𝐵 ligada por fios de
resistência desprezível a um componente não-especificado que pode ser um
resistor, uma bateria recarregável, um motor ou qualquer outro dispositivo elétrico.
 A bateria mantém uma diferença de potencial de valor absoluto 𝑑𝑑 entre os terminais
do componente, com um potencial mais elevado no terminal 𝑎𝑎 do componente que
no terminal 𝑏𝑏.
 Como a diferença de potencial produzida pela bateria é constante, uma corrente
constante 𝑖𝑖 atravessa o circuito fechado no sentido do terminal 𝑎𝑎 para o terminal 𝑏𝑏.
29
5.5. Potência em Circuitos Elétricos
 A quantidade de carga 𝑑𝑑𝑑𝑑 que atravessa o circuito em um intervalo de tempo 𝑑𝑑𝑑𝑑 é
igual a 𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑.
 Ao completar o circuito a carga 𝑑𝑑𝑑𝑑 tem seu potencial reduzido de 𝑑𝑑 e, portanto, sua
energia potencial é reduzida de um valor dado por
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑.
 De acordo com a lei de conservação da energia, a redução da energia potencial
elétrica no percurso de 𝑎𝑎 a 𝑏𝑏 deve ser acompanhada por uma conversão da energia
potencial para outra forma qualquer.
 A taxa de conversão da energia potencial 𝑑𝑑𝑑𝑑/𝑑𝑑𝑑𝑑, corresponde a potência 𝑃𝑃 que, de
acordo com a última equação, pode ser expressa na forma
𝑃𝑃 = 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝑖𝑖𝑑𝑑.
 Além disso, 𝑃𝑃 é a taxa com a qual a energia é transferida da bateria para o
componente (resistor, bateria recarregável, motor, etc).
 A unidade de potência elétrica é o volt-ampere (𝑑𝑑𝐴𝐴), mas a potência elétrica também
pode, ser escrita na forma
1𝑑𝑑𝐴𝐴 = 1 𝐽𝐽
𝐶𝐶
1 𝐶𝐶
𝑠𝑠
= 1 𝐽𝐽
𝑠𝑠
= 1𝑊𝑊.
30
5.5. Potência em Circuitos Elétricos
 No caso de um resistor ou outro dispositivo de resistência 𝑅𝑅, podemos combinar a
equação anterior com a equação 𝑅𝑅 = 𝑑𝑑/𝑖𝑖 para obter, para a taxa de dissipação de
energia elétrica devida à resistência, as seguintes expressões
𝑃𝑃 = 𝑖𝑖2𝑅𝑅
ou
𝑃𝑃 = 𝑉𝑉2
𝑅𝑅
.
• As duas equações anteriores são equivalentes e se aplicam apenas à transferência
de energia elétrica para energia térmica em um dispositivo com resistência.
31
5.5. Potência em Circuitos Elétricos
Exemplo 26-7: Um pedaço de fio resistivo, feito de uma liga de níquel, cromo e ferro
chamada Nichrome, tem uma resistência de 72 Ω. Determine a taxa com a qual a
energia é dissipada nas seguintes situações: (1) uma diferença de potencial de 120 𝑑𝑑 é
aplicada às extremidades do fio; (2) o fio é cortado pela metade e diferenças de
potencial de 120 𝑑𝑑 são aplicadas às extremidades dos dois pedaços resultantes.
32
5.6. Trabalho, energia e força eletromotriz
 A figura abaixo mostra um circuito formado por uma fonte (uma bateria, por exemplo)
e uma única resistência 𝑅𝑅.
 A fonte produz uma força eletromotriz 𝜉𝜉 que, ao realizar trabalho sobre os portadores
de carga, funciona como uma “bomba” de cargas, de forma a manter a diferença de
potencial entre os dois terminais e, portanto, a corrente estável no circuito.
 Quando uma fonte é ligada a um circuito, a energia (força eletromotriz) que existe no
interior da fonte faz com que portadores de carga negativos sejam transferidos: Do
terminal negativo para o positivo através dos condutores do circuito e do terminal
positivo para o negativo no interior da fonte.
 A energia pode ser química, como nas baterias e nas células de combustível, ou
mecânica, como nos geradores. Essa energia pode então ser transferida dos
portadores de carga para outros dispositivos do circuito, como, por exemplo, o
filamento de uma lâmpada.
33
5.6. Trabalho, energia e força eletromotriz
 Portanto, podemos analisar o circuito da figura anterior do ponto de vista do trabalho
e da energia.
 Em um intervalo de tempo 𝑑𝑑𝑑𝑑 uma carga positiva 𝑑𝑑𝑑𝑑 passa por todas as seções retas
(𝑎𝑎𝑎𝑎′) do circuito.
 A mesma carga entra no terminal de menor potencial da fonte e sai do terminal de
maior potencial. Para que a carga 𝑑𝑑𝑑𝑑 se mova, no interior da fonte, a fonte deve
realizar sobre a carga um trabalho 𝑑𝑑𝑊𝑊.
 Definimos a força eletromotriz da fonte através desse trabalho:
𝜉𝜉 = 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
. 
 Em palavras, a força eletromotriz de uma fonte é o trabalho por unidade de carga
que a fonte realiza para transferir cargas positivas do terminal de menor potencial
para o terminal de maior potencial (ou cargas negativas do terminal de maior
potencial para o terminal de menor potencial), no seu interior.
 A unidade de força eletromotriz no 𝑆𝑆𝑆𝑆 é o joule por coulomb; que já foi definida,
anteriormente, como o 𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑.
34
5.6. Trabalho, energia e força eletromotriz
 Uma fonte de ideal, por definição, é aquela que não apresenta nenhuma resistência
ao movimento das cargas de um terminal para o outro.
 A diferença de potencial entre os terminais de uma fonte ideal é igual à força
eletromotriz da fonte. Assim, por exemplo, uma bateria ideal com uma força
eletromotriz de 12,0 𝑑𝑑 mantém uma diferença de 12,0 𝑑𝑑 entre os terminais.
 Uma fonte real possui uma resistência interna que se opõe ao movimento das
cargas.
 Quando uma fonte real não está ligada a um circuito e, portanto, não conduz uma
corrente elétrica a diferença de potencial entre os terminais é igual à força
eletromotriz. Quando a fonte conduz uma corrente, porém, a diferença de potencial é
menor que a força eletromotriz.
35
5.7. Cálculo da corrente em um circuito de uma malha
 Vamos discutir dois métodos diferentes para calcular a corrente no circuito simples
de uma malha (veja figura abaixo), formado por uma fonte ideal 𝐵𝐵, com uma força
eletromotriz 𝜉𝜉, um resistor de resistência 𝑅𝑅 e dois fios de ligação, que supomos
possuir resistência desprezível.
 Método da Energia.
 De acordo com a equação 𝑃𝑃 = 𝑖𝑖2𝑅𝑅, em um intervalo de tempo 𝑑𝑑𝑑𝑑 uma energia dada
por 𝑃𝑃𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑖𝑖2𝑅𝑅𝑑𝑑𝑑𝑑 é transformada em energia térmica no resistor (lei de conservação
da energia).
 Durante o mesmo intervalo uma carga 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑 atravessa a fonte 𝐵𝐵 e o trabalho
realizado pela fonte sobre essa carga é dado por
𝜉𝜉𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑊𝑊 = 𝜉𝜉𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑.
36
5.7. Cálculo da corrente em um circuito de uma malha
 De acordo com a lei de conservação da energia, o trabalho realizado pela fonte
(ideal) é igual à energia térmica que aparece no resistor:
𝜉𝜉𝑖𝑖𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑖𝑖2𝑅𝑅𝑑𝑑𝑑𝑑.
 Isso nos dá
𝜉𝜉 = 𝑖𝑖𝑅𝑅.
 Explicitando 𝑖𝑖, obtemos
𝑖𝑖 = 𝜉𝜉
𝑅𝑅
.
 A força eletromotriz 𝜉𝜉 é a energia por unidade de carga, transferida da fonte para as
cargas que se movem no circuito.
 A grandeza 𝑖𝑖𝑅𝑅 é a energia por unidade de carga, transferida das cargas móveis para
o resistor e convertida em calor.
37
5.7. Cálculo da corrente em um circuito de uma malha
 Método do Potencial.
 Suponha que começamos em um ponto qualquer de um circuito e nos deslocamos
mentalmente ao longo do circuito em um sentido arbitrário, somando,
algebricamente, as diferenças de potencial que encontramos no caminho.
 Ao voltarmos ao ponto de partida, teremos voltado também ao potencial inicial, de
forma que a diferençade potencial entre o ponto final e inicial deve ser zero.
 Este fato dar origem a REGRA DAS MALHAS: A soma algébrica das variações de
potencial encontradas ao percorrer uma malha fechada é sempre zero.
 Aplicando a regra das malhas ao circuito anterior, começamos no ponto 𝑎𝑎, cujo
potencial é 𝑑𝑑𝑎𝑎, e nos deslocamos mentalmente no sentido horário até estarmos de
volta ao ponto a, anotando as mudanças de potencial que ocorrem no percurso.
 Como percorremos todo o circuito, o potencial inicial, depois de modificado pelas
variações de potencial ocorridas ao longo do caminho, deve ser igual ao potencial
final, ou seja,
𝑑𝑑𝑎𝑎 + 𝜉𝜉 − 𝑖𝑖𝑅𝑅 = 𝑑𝑑𝑎𝑎 .
38
5.7. Cálculo da corrente em um circuito de uma malha
 Subtraindo 𝑑𝑑𝑎𝑎, de ambos os membros da equação, obtemos,
𝜉𝜉 − 𝑖𝑖𝑅𝑅 = 0.
 Explicitando 𝑖𝑖 nesta equação, obtemos o mesmo resultado, do método da energia:
𝑖𝑖 = 𝜉𝜉
𝑅𝑅
.
 Se aplicarmos a regra das malhas a um percurso no sentido anti-horário, o resultado
será:
−𝜉𝜉 + 𝑖𝑖𝑅𝑅 = 0
e mais uma vez encontraremos 𝑖𝑖 = ⁄𝜉𝜉 𝑅𝑅. Assim, o sentido no qual percorremos o circuito
ao aplicar a regra das malhas é arbitrário.
39
5.8. Outros circuitos de uma malha
 Resistência Interna.
 A figura abaixo mostra uma fonte real, de resistência internar 𝑎𝑎, ligada a um resistor
externo de resistência 𝑅𝑅.
 A resistência interna da fonte é a resistência elétrica dos materiais condutores que
existem no interior da fonte e, portanto, é parte integrante da fonte.
 Na figura, a fonte foi desenhada como se pudesse ser separada em uma fonte ideal
de força eletromotriz 𝜉𝜉 e um resistor de resistência 𝑎𝑎.
 Aplicando a regra das malhas no sentido horário, a partir do ponto 𝑎𝑎, as variações do
potencial nos dão:
𝑑𝑑𝑎𝑎 + 𝜉𝜉 − 𝑖𝑖𝑎𝑎 − 𝑖𝑖𝑅𝑅 = 𝑑𝑑𝑎𝑎.
 Subtraindo 𝑑𝑑𝑎𝑎, de ambos os lados, e explicitando a corrente 𝑖𝑖, obtemos, 𝑖𝑖 = 𝜉𝜉𝑎𝑎+𝑅𝑅.
40
5.8. Outros circuitos de uma malha
 A figura abaixo mostra, graficamente, as variações de potencial elétrico ao longo do
circuito.
41
5.8. Outros circuitos de uma malha
 Resistências em Série.
 A figura abaixo mostra três resistências ligadas em série a uma fonte ideal de força
eletromotriz 𝜉𝜉.
 Quando uma diferença de potencial 𝑑𝑑 é aplicada a resistências ligadas em série, a
corrente 𝑖𝑖 é a mesma em todas as resistências, e a soma das diferenças de
potencial das resistências é igual à diferença de potencial aplicada 𝑑𝑑.
 Resistências ligadas em série podem ser substituídas por uma resistência
equivalente 𝑅𝑅𝑛𝑛𝑑𝑑 percorrida pela mesma corrente 𝑖𝑖 e com a mesma diferença de
potencial total 𝑑𝑑 que as resistências originais.
42
5.8. Outros circuitos de uma malha
 Aplicando a regra das malhas aos dois circuitos anteriores, determinamos o valor da
resistência 𝑅𝑅𝑛𝑛𝑑𝑑. Começando no ponto 𝑎𝑎 e percorrendo o primeiro circuito no sentido
horário, temos:
𝑑𝑑𝑎𝑎 + 𝜉𝜉 − 𝑖𝑖𝑅𝑅1 − 𝑖𝑖𝑅𝑅2 − 𝑖𝑖𝑅𝑅3 = 𝑑𝑑𝑎𝑎.
 Subtraindo 𝑑𝑑𝑎𝑎, de ambos os lados, e explicitando a corrente 𝑖𝑖, obtemos,
𝑖𝑖 = 𝜉𝜉
𝑅𝑅1+𝑅𝑅2+𝑅𝑅3
.
 Começando no ponto 𝑎𝑎 e percorrendo o segundo circuito no sentido horário, temos:
𝑑𝑑𝑎𝑎 + 𝜉𝜉 − 𝑖𝑖𝑅𝑅𝑛𝑛𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑎𝑎.
 Subtraindo 𝑑𝑑𝑎𝑎, de ambos os lados, e explicitando a corrente 𝑖𝑖, obtemos, 𝑖𝑖 = 𝜉𝜉𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒.
 Como as correntes são, necessariamente, iguais, podemos igualar as duas
equações obtidas para corrente, para obter:
𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅2 + 𝑅𝑅3 = 𝑅𝑅𝑛𝑛𝑑𝑑.
 A extensão para 𝑠𝑠 resistores é imediata e nos dá: 𝑅𝑅𝑛𝑛𝑑𝑑 = ∑𝑗𝑗=1𝑛𝑛 𝑅𝑅𝑗𝑗.
43
5.9. Diferença de potencial entre dois pontos
 Para determinar a diferença de potencial entre dois pontos de um circuito,
começamos em um dos pontos e percorremos o circuito até o outro ponto, somando
todas as diferenças de potencial encontradas no percurso.
 Percorrendo o circuito da figura abaixo, no sentido horário, descobrimos a diferença
de potencial, 𝑑𝑑𝑏𝑏 − 𝑑𝑑𝑎𝑎 entre os pontos 𝑎𝑎 e 𝑏𝑏:
𝑑𝑑𝑎𝑎 + 𝜉𝜉 − 𝑖𝑖𝑎𝑎 = 𝑑𝑑𝑏𝑏,
ou 𝜉𝜉 − 𝑖𝑖𝑎𝑎 = 𝑑𝑑𝑏𝑏 − 𝑑𝑑𝑎𝑎 .
 Podemos aplicar a regra das malhas, para obter a corrente no circuito 𝑖𝑖 = 𝜉𝜉
𝑎𝑎+𝑅𝑅
.
 Substituindo o valor da corrente, obtemos:
𝑖𝑖𝑅𝑅 = 𝜉𝜉
𝑎𝑎+𝑅𝑅
𝑅𝑅 = 𝜉𝜉 − 𝜉𝜉
𝑎𝑎+𝑅𝑅
𝑎𝑎 = 𝑑𝑑𝑏𝑏 − 𝑑𝑑𝑎𝑎,
44
5.9. Diferença de potencial entre dois pontos
 Diferença de Potencial de uma Fonte Real.
 Na figura anterior os pontos 𝑎𝑎 e 𝑏𝑏 estão situados nos terminais da fonte; assim, a
diferença de potencial 𝑑𝑑𝑏𝑏 − 𝑑𝑑𝑎𝑎 é a diferença de potencial entre os terminais da fonte.
𝜉𝜉 − 𝑖𝑖𝑎𝑎 = 𝑑𝑑𝑏𝑏 − 𝑑𝑑𝑎𝑎 .
 Observe que o resultado 𝑑𝑑𝑏𝑏 − 𝑑𝑑𝑎𝑎 depende da corrente que atravessa a fonte real.
 De acordo com a equação anterior, se a resistência internar da fonte fosse zero,
𝑑𝑑𝑏𝑏 − 𝑑𝑑𝑎𝑎 seria igual à força eletromotriz 𝜉𝜉 da fonte.
45
5.9. Diferença de potencial entre dois pontos
 Aterrando um Circuito.
 As figuras abaixo mostram o mesmo circuito anterior, exceto pelo fato de que o
ponto 𝑎𝑎, ou ponto 𝑏𝑏, está diretamente ligado à Terra.
 Aterrar um circuito pode significar ligar o circuito à superfície da Terra.
 No diagrama das figuras, porém, o símbolo de terra significa apenas que o potencial
é definido como sendo zero no ponto indicado pelo símbolo.
46
5.9. Diferença de potencial entre dois pontos
 Potência, Potencial e Força Eletromotriz.
 A potência 𝑃𝑃 fornecida pela fonte aos portadores de carga é dada por:
𝑃𝑃 = 𝑖𝑖𝑑𝑑 = 𝑖𝑖(𝑑𝑑𝑏𝑏 − 𝑑𝑑𝑎𝑎),
onde 𝑑𝑑 é a diferença de potencial entre os terminais da fonte. De acordo com resultado
anterior, podemos fazer 𝜉𝜉 − 𝑖𝑖𝑎𝑎 = 𝑑𝑑𝑏𝑏 − 𝑑𝑑𝑎𝑎 para obter
𝑃𝑃 = 𝑖𝑖 𝜉𝜉 − 𝑖𝑖𝑎𝑎 = 𝑖𝑖𝜉𝜉 − 𝑖𝑖2𝑎𝑎.
 Examinando a equação anterior, reconhecemos o termo 𝑖𝑖2𝑎𝑎 como a potência 𝑃𝑃𝑎𝑎,
dissipada no interior da fonte.
𝑃𝑃𝑎𝑎 = 𝑖𝑖2𝑎𝑎.
 Nesse caso, a potência fornecida pela força eletromotriz (𝑃𝑃𝑓𝑓𝑛𝑛𝑎𝑎) é a soma da
potência transferida para os portadores de carga (𝑃𝑃) com a potência dissipada (𝑃𝑃𝑎𝑎)
pela fonte.
𝑃𝑃𝑓𝑓𝑛𝑛𝑎𝑎 = 𝑖𝑖𝜉𝜉 = 𝑃𝑃 + 𝑃𝑃𝑎𝑎 .
47
Exemplo 27-1: As forças eletromotrizes e as resistências do circuito da figura abaixo
têm os seguintes valores: 𝜉𝜉1 = 4,4 𝑑𝑑, 𝜉𝜉2 = 2,1 𝑑𝑑, 𝑎𝑎1 = 2,3 Ω, 𝑎𝑎2 = 1,8 Ω e 𝑅𝑅 = 5,5 Ω.
(a) Qual é a corrente 𝑖𝑖 no circuito?
(b) Qual é a diferença de potencial entre os terminais da fonte 1?
5.9. Diferença de potencial entre dois pontos
48
 A Figura abaixo mostra um circuito com três malhas: A malha da esquerda 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑑𝑑𝑑𝑑𝑏𝑏, a
malha da direita 𝑏𝑏𝑐𝑐𝑑𝑑𝑏𝑏 e a malha externa 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑑𝑑𝑐𝑐𝑏𝑏.
 Existem dois nós no circuito, nos pontos 𝑏𝑏 e 𝑑𝑑 e três ramos ligando esses nós: o
ramo da esquerda (𝑏𝑏𝑎𝑎𝑑𝑑), o ramo da direita (𝑏𝑏𝑐𝑐𝑑𝑑) e o ramo central (𝑏𝑏𝑑𝑑).
 A corrente 𝑖𝑖1 tem o mesmo valor em todos os pontos do ramo 𝑏𝑏𝑎𝑎𝑑𝑑, 𝑖𝑖2 tem o mesmo
valor em todos os pontos do ramo 𝑏𝑏𝑐𝑐𝑑𝑑 e 𝑖𝑖3 tem o mesmo valor em todos os pontos
do ramo 𝑏𝑏𝑑𝑑.
 Considere o nó 𝑑𝑑: As cargas entram nesse nó através das correntes 𝑖𝑖1 e 𝑖𝑖3 e deixam
o nó através da corrente 𝑖𝑖2. Como a carga total não pode mudar (lei de conservação
das cargas), a corrente total que chega tem que ser igual à corrente total que sai:
𝑖𝑖1 + 𝑖𝑖3 = 𝑖𝑖2.
5.10. Circuitos com mais de uma malha
49
 REGRA DOS NÓS: A soma das corrente que entram em um nó é igual à soma das
correntes que saem do nó:
𝑖𝑖1 + 𝑖𝑖3 = 𝑖𝑖2.
 Para determinar os valores das três correntes precisamos de mais duas equações
independentes que envolvam as mesmas variáveis.
 Podemos obtê-las aplicando duas vezes a regra das malhas. A escolha é arbitrária:vamos optar pela malha da esquerda e a malha da direita.
 Percorrendo a malha da esquerda no sentido anti-horário, a partir do ponto 𝑏𝑏, temos:
𝑑𝑑𝑏𝑏 + 𝜉𝜉1 − 𝑖𝑖1𝑅𝑅1 + 𝑖𝑖3𝑅𝑅3 = 𝑑𝑑𝑏𝑏 ou 𝑖𝑖1𝑅𝑅1 − 𝑖𝑖3𝑅𝑅3 = 𝜉𝜉1.
 Percorrendo a malha da direita no sentido anti-horário, a partir do ponto 𝑏𝑏, temos:
𝑑𝑑𝑏𝑏 − 𝑖𝑖3𝑅𝑅3 − 𝑖𝑖2𝑅𝑅2 − 𝜉𝜉2 = 𝑑𝑑𝑏𝑏 ou 𝑖𝑖2𝑅𝑅2 + 𝑖𝑖3𝑅𝑅3 = −𝜉𝜉2.
• Agora dispomos de três equações, tendo como incógnitas as três correntes; esse
sistema de equações pode ser resolvido por várias técnicas.
5.10. Circuitos com mais de uma malha
50
 Resistências em Paralelo.
 A figura abaixo mostra três resistências ligadas em paralelo a uma fonte ideal de
força eletromotriz 𝜉𝜉.
 O termo em paralelo significa que se um dos terminais de todas as resistências é
ligado a um certo ponto, o outro terminal de todas as resistências é ligado a um
segundo ponto e uma mesma diferença de potencial 𝑑𝑑 é aplicada entre esses dois
pontos.
 Resistências ligadas em paralelo podem ser substituídas por urna resistência
equivalente 𝑅𝑅𝑛𝑛𝑑𝑑 submetida a mesma diferença de potencial 𝑑𝑑 e a soma das
correntes das resistências originais.
5.10. Circuitos com mais de uma malha
51
 Para determinar o valor da resistência 𝑅𝑅𝑛𝑛𝑑𝑑 da figura anterior, escrevemos as
correntes nas resistências na forma
𝑖𝑖1 = 𝑉𝑉𝑅𝑅1, 𝑖𝑖2 = 𝑉𝑉𝑅𝑅2 e 𝑖𝑖3 = 𝑉𝑉𝑅𝑅3,
onde 𝑑𝑑 é a diferença de potencial entre 𝑎𝑎 e 𝑏𝑏.
• Aplicando a regra dos nós ao ponto 𝑎𝑎 da figura anterior e substituindo as correntes
por seus valores, temos:
𝑖𝑖 = 𝑖𝑖1 + 𝑖𝑖2 + 𝑖𝑖3 = 𝑑𝑑 1𝑅𝑅1 + 1𝑅𝑅2 + 1𝑅𝑅3 .
 Para o circuito equivalente, obtido substituindo as resistências em paralelo pela
resistência equivalente 𝑅𝑅𝑛𝑛𝑑𝑑, temos:
𝑖𝑖 = 𝑉𝑉
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒
.
5.10. Circuitos com mais de uma malha
52
 Comparando as duas equações anteriores, obtemos:
1
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒
= 1
𝑅𝑅1
+ 1
𝑅𝑅2
+ 1
𝑅𝑅3
.
 Generalizando este resultado para o caso de 𝑠𝑠 resistências, temos:
1
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒
= ∑𝑗𝑗=1𝑛𝑛 1𝑅𝑅𝑗𝑗.
5.10. Circuitos com mais de uma malha
53
Exemplo 27-2: A figura abaixo mostra um circuito com mais de uma malha formado por
uma fonte ideal e quatro resistências com os seguintes valores: 𝜉𝜉 = 12 𝑑𝑑, 𝑅𝑅1 = 20 Ω,
𝑅𝑅2 = 20 Ω, 𝑅𝑅3 = 30 Ω e 𝑅𝑅4 = 8 Ω.
(a) Qual é a corrente na fonte?
(b) Qual é a corrente 𝑖𝑖2 em 𝑅𝑅2?
(c) Qual é a corrente 𝑖𝑖3 em 𝑅𝑅3?
5.10. Circuitos com mais de uma malha
54
Exemplo 27-3: A figura abaixo mostra um circuito cujos elementos têm os seguintes
valores: 𝜉𝜉1 = 3 𝑑𝑑, 𝜉𝜉2 = 6 𝑑𝑑, 𝑅𝑅1 = 2 Ω e 𝑅𝑅2 = 4 Ω. As três fontes são ideais. Determine o
valor absoluto e o sentido das correntes nos três ramos.
5.10. Circuitos com mais de uma malha
55
Exemplo 27-4: Os peixes elétricos são capazes de gerar correntes elétricas com o
auxílio de células chamadas eletroplacas, que são fontes de tensão biológicas. No
peixe elétrico conhecido como poraquê as eletroplacas estão dispostas em 140 linhas,
cada linha se estendendo horizontalmente ao longo do corpo do animal e contendo5000 eletroplacas. O circuito correspondente aparece na figura abaixo; cada eletroplaca
tem uma força eletromotriz 𝜉𝜉 de 0,15 𝑑𝑑 e uma resistência interna 𝑎𝑎 de 0,25 Ω. A água em
torno da enguia completa o circuito entre as extremidades do arranjo de eletroplacas,
uma na cabeça do animal e a outra na cauda.
(a) Se a água em torno da enguia tem uma resistência 𝑅𝑅𝑎𝑎 = 800 Ω, qual é o valor da
corrente que o animal é capaz de produzir na água?
(b) Qual é corrente 𝑖𝑖𝑣𝑣𝑖𝑖𝑛𝑛ℎ𝑎𝑎 em cada linha da figura?
5.10. Circuitos com mais de uma malha
56
 Carga de um Capacitor.
 O capacitor de capacitância 𝐶𝐶 da figura abaixo está inicialmente descarregado. Para
carregá-lo colocamos a chave 𝑆𝑆 na posição 𝑎𝑎.
 Isso completa um circuito 𝑅𝑅𝐶𝐶 série formado por um capacitor, uma fonte ideal de
força eletromotriz 𝜉𝜉 e uma resistência 𝑅𝑅.
 Estamos interessados em saber como variam com o tempo a carga 𝑑𝑑, a diferença de
potencial 𝑑𝑑𝐶𝐶 e a corrente 𝑖𝑖 enquanto o capacitor está sendo carregado.
 Começamos por aplicar a regra das malhas ao circuito, percorrendo-o, no sentido
horário, a partir do terminal negativo da fonte. Temos:
𝑑𝑑𝑏𝑏 + 𝜉𝜉 − 𝑖𝑖𝑅𝑅 − 𝑑𝑑𝐶𝐶 = 𝑑𝑑𝑏𝑏 .
 A diferença de potencial (𝑑𝑑𝐶𝐶 = 𝑑𝑑𝐶𝐶) entre as placas do capacitor é negativa porque a
placa de cima do capacitor, tem um potencial mais alto que a placa de baixo.
5.11. Circuitos RC
57
 A equação anterior tem duas variáveis, 𝑖𝑖 e 𝑑𝑑, que estão relacionadas através da
equação:
𝑖𝑖 = 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
.
 Combinando as duas equações anteriores, obtemos:
𝑅𝑅
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
+ 𝑑𝑑
𝐶𝐶
= 𝜉𝜉.
 Esta equação diferencial descreve a variação com o tempo da carga 𝑑𝑑 no capacitor.
 Para resolvê-la precisamos encontrar a função 𝑑𝑑(𝑑𝑑) que satisfaz essa equação na
condição de que o capacitor está inicialmente descarregado, ou seja, de que 𝑑𝑑 = 0
no instante 𝑑𝑑 = 0.
 A função 𝑑𝑑(𝑑𝑑) que satisfaz essa equação é
𝑑𝑑 𝑑𝑑 = 𝐶𝐶𝜉𝜉 1− 𝑎𝑎−𝑑𝑑/𝑅𝑅𝐶𝐶 .
 Observe que, para 𝑑𝑑 = 0, o termo 𝑎𝑎−𝑑𝑑/𝑅𝑅𝐶𝐶 é igual a 1 e, portanto, 𝑑𝑑 = 0. Quando 𝑑𝑑
tende ao infinito (ou seja, após um longo período de tempo), o termo 𝑎𝑎−𝑑𝑑/𝑅𝑅𝐶𝐶 tende a
zero e, portanto, 𝑑𝑑 = 𝐶𝐶𝜉𝜉.
5.11. Circuitos RC
58
 A derivada de 𝑑𝑑(𝑑𝑑) é a corrente de carregamento do capacitor:
𝑖𝑖 = 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
= 𝜉𝜉
𝑅𝑅
𝑎𝑎−𝑑𝑑/𝑅𝑅𝐶𝐶 .
 Observe que o valor inicial da corrente é ⁄𝜉𝜉 𝑅𝑅 e que a corrente tende a zero quando 𝑑𝑑
tende ao infinito e a carga do capacitor tende para o valor final.
 Combinando as equações 𝑑𝑑 = 𝐶𝐶𝑑𝑑𝐶𝐶 e 𝑑𝑑 𝑑𝑑 = 𝐶𝐶𝜉𝜉 1 − 𝑎𝑎−𝑑𝑑/𝑅𝑅𝐶𝐶 , descobrimos que a
diferença de potencial 𝑑𝑑𝐶𝐶(𝑑𝑑) entre as placas do capacitor durante o processo de
carregamento é dada por
𝑑𝑑𝐶𝐶 = 𝑑𝑑𝐶𝐶 = 𝜉𝜉 1− 𝑎𝑎−𝑑𝑑/𝑅𝑅𝐶𝐶 .
 De acordo com a equação anterior, 𝑑𝑑𝐶𝐶 = 0 no instante 𝑑𝑑 = 0, em que o capacitor está
totalmente descarregado, e 𝑑𝑑𝐶𝐶 → 𝜉𝜉 quando 𝑑𝑑 → ∞ e a carga do capacitor tende para
o valor final.
5.11. Circuitos RC
59
 A Constante de Tempo.
 O produto 𝑅𝑅𝐶𝐶, que aparece nas equações anteriores, tem dimensão de tempo e é
chamado de constante de tempo capacitiva do circuito, sendo representado pela
letra grega 𝜏𝜏:
𝜏𝜏 = 𝑅𝑅𝐶𝐶.
 No instante t = 𝜏𝜏 = 𝑅𝑅𝐶𝐶 a carga do capacitor, inicialmente descarregado, aumentou
de zero para
𝑑𝑑 𝑑𝑑 = 𝐶𝐶𝜉𝜉 1− 𝑎𝑎−1 = 0,63𝐶𝐶𝜉𝜉.
 Em palavras, durante a primeira constante de tempo 𝜏𝜏 a carga aumentou de zero
para 63% do valor final C𝜉𝜉.
5.11. Circuitos RC
60
 Descarga de um Capacitar.
 Suponha que o capacitor da figura abaixo esteja totalmente carregado, ou seja, com
um potencial 𝑑𝑑0 igual à força eletromotriz 𝜉𝜉 da fonte.
 Em um novo instante 𝑑𝑑 = 0, a chave 𝑆𝑆 é deslocada da posição 𝑎𝑎 para 𝑏𝑏, fazendo
com que o capacitor comece a descarregar através da resistência 𝑅𝑅.
 A equação diferencial que descreve a variação de 𝑑𝑑 com o tempo é dada por
𝑅𝑅
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
+ 𝑑𝑑
𝐶𝐶
= 𝜉𝜉 = 0.
 A função 𝑑𝑑(𝑑𝑑) que satisfaz essa equação diferencial é
𝑑𝑑 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑0𝑎𝑎−𝑑𝑑/𝑅𝑅𝐶𝐶 ,
onde 𝑑𝑑0(= 𝐶𝐶𝑑𝑑0) é a carga inicial do capacitor. No instante 𝑑𝑑 = 𝜏𝜏 a carga do capacitor
diminuiu para 𝑑𝑑0𝑎𝑎−1, ou aproximadamente 37% do valor inicial 𝑑𝑑0.
5.11. Circuitos RC
61
 Derivando a equação anterior, obtemos a corrente 𝑖𝑖(𝑑𝑑):
𝑖𝑖 = 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
= − 𝑑𝑑0
𝑅𝑅𝐶𝐶
𝑎𝑎−𝑑𝑑/𝑅𝑅𝐶𝐶 = −𝑖𝑖0𝑎𝑎−𝑑𝑑/𝑅𝑅𝐶𝐶 .
 De acordo com a equação anterior, a corrente também diminui exponencialmente
como tempo a uma taxa dada por 𝜏𝜏.
 O sinal negativo da equação anterior indica que a corrente muda de sentido quando
a carga 𝑑𝑑 do capacitor está diminuindo.
5.11. Circuitos RC
62
Exemplo 27-5: Quando um carro está em movimento, elétrons passam do piso para os
pneus e dos pneus para a carroceria. O carro armazena essa carga em excesso como
se a carroceria fosse uma das placas do capacitor e o piso a outra o placa. Quando o
carro para, descarrega o excesso de carga através dos pneus, da mesma forma que
um capacitor se descarrega através de um resistor. Se um objeto condutor se aproxima
do carro, antes que esteja totalmente descarregado, a diferença de potencial, associada
ao excesso de cargas, pode produzir uma centelha entre carro e o objeto. Suponha que
o objeto condutor seja o bico de uma mangueira de combustível. Nesse caso, a
centelha não inflamará o combustível, produzindo um incêndio se sua energia foi menor
que o valor crítico 𝑑𝑑𝑓𝑓𝑣𝑣𝑓𝑓𝑣𝑣 = 50𝑎𝑎𝐽𝐽 . Quando o carro da para, no instante 𝑑𝑑 = 0 , a
diferença de potencial entre o carro e o piso é 𝑑𝑑0 = 30 𝑘𝑘𝑑𝑑. A capacitância do sistema
carro-piso é 𝐶𝐶 = 500 𝑎𝑎𝑝𝑝, e a resistência de cada pneu é 𝑅𝑅𝑎𝑎𝑛𝑛𝑛𝑛𝑝𝑝 = 100 𝐺𝐺Ω. Quanto tempo
é necessário para que a energia associada às cargas do carro caia abaixo do valor
crítico 𝑑𝑑𝑓𝑓𝑣𝑣𝑓𝑓𝑣𝑣?
5.11. Circuitos RC
Bibliografia Básica
 KNIGTH, Randall D. Física uma abordagem estratégica. Eletricidade e Magnetismo 
Volume 3 2ª edição. Porto Alegre: Bookman, 2009;
 TIPLER, Paul A; MOSCA, Gene. Física para Cientistas e Engenheiros: Eletricidade 
e Magnetismo Vol.2 6ª edição. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
 SERWAY, R.A. e JEWETT JR., J.W., Princípios de Física: Eletromagnetismo Vol. 3. 
Editora Pioneira, 1ª ed., 2009.
Bibliografia Complementar
 WALKER, J.R.; RESNICK, R.; HALLIDAY, D. Fundamentos de Física, 
Eletromagnetismo. Vol. 3, 8ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2009.
 YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física III: Eletromagnetismo. Vol. 3, 12ª 
edição. São Paulo: Addison Weslley, 2008.
 NUSSENZWEIG, Moisés. Curso de Física Básica: Eletromagnetismo. Vol. 3, 4ª ed., 
Edgard Blücher Editora, 2002.
63
	Número do slide 1
	Número do slide 2
	Número do slide 3
	Número do slide 4
	Número do slide 5
	Número do slide 6
	Número do slide 7
	Número do slide 8
	Número do slide 9
	Número do slide 10
	Número do slide 11
	Número do slide 12
	Número do slide 13
	Número do slide 14
	Número do slide 15
	Número do slide 16
	Número do slide 17
	Número do slide 18
	Número do slide 19
	Número do slide 20
	Número do slide 21
	Número do slide 22
	Número do slide 23
	Número do slide 24
	Número do slide 25
	Número do slide 26
	Número do slide 27
	Número do slide 28
	Número do slide 29
	Número do slide 30
	Número do slide 31
	Número do slide 32
	Número do slide 33
	Número do slide 34
	Número do slide 35
	Número do slide 36
	Número do slide 37
	Número do slide 38
	Número do slide 39
	Número do slide 40
	Número do slide 41
	Número do slide 42
	Número do slide 43
	Número do slide 44
	Número do slide 45
	Número do slide 46
	Número do slide 47
	Número do slide 48
	Número do slide 49
	Número do slide 50
	Número do slide 51
	Número do slide 52
	Número do slide 53
	Número do slide 54
	Número do slide 55
	Número do slide 56
	Número do slide 57
	Número do slide 58
	Número do slide 59
	Número do slide 60
	Número do slide 61
	Número do slide 62
	Bibliografia Básica