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MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Aula 4: REGRAS DE DERIVAÇÃO
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MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Conteúdo desta Aula
AULA 4: REGRAS DE DERIVAÇÃO
Derivada de uma Soma (ou Subtração) de Funções; 
Derivada do Produto de Duas Funções: a Regra do Produto;
Derivada da Divisão de Duas Funções: a Regra do Quociente;
Aplicação de Derivada para Determinação de Máximos e Mínimos. 
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Derivada de Função
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Algumas derivadas básicas
Nas fórmulas a seguir, u e v são funções da variável x.
a, b, c e n são constantes.
Derivada de uma constante:
Derivada da potência:
                                   
, portanto:
                       
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Soma / Subtração:
Produto por uma constante:
Derivada do produto:
Derivada de Função
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Derivada da divisão:
Potência de uma função:
Derivada de uma função composta:
Derivada de Função
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Função
Derivada
Função
Derivada
0
0
1
0
ax+b
a
xn
n xn-1
exp(x)
exp(x)
log(x)
1/x
sen(x)
cos(x)
cos(x)
-sen(x)
arcsen(x)
R[1/(1-x2)]
arccos(x)
-R[1/(1-x²)]
tg(x)
sec²(x)
cot(x)
-csc²(x)
sec(x)
sec(x) tg(x)
csc(x)
-csc(x) cot(x)
arctg(x)
1/(1+x²)
arccot(x)
---
onde R[z] representa a raiz quadrada de z>0.
Derivada de Função
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Determinação Pontos Mínimos e Máximos
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Para obter pontos de máximo ou de mínimo de uma função, basta construir o gráfico da função e identificar tais pontos. O difícil é construir os gráficos de muitas funções, razão pela qual, utilizamos as derivadas das funções para facilitar a nossa vida.
Ponto crítico de uma função derivável
Ponto crítico de uma função derivável f é um ponto x=c do domínio de f no qual f '(c)=0.
Exemplo: f(x)=x², definida sobre [-1,2], possui x=0 como ponto crítico, pois f '(0)=0.
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Determinação Pontos Mínimos e Máximos
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Observações:
1. Se x=c é um ponto de extremo local para f, a derivada de f se anula e passa uma reta tangente horizontal à curva y=f(x) no ponto (c, f(c)).
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2. Existem funções com um ponto crítico em x=c, que não é ponto de máximo nem de mínimo local para f, como a função f(x)=x³ definida sobre a reta, x=0 é ponto crítico mas este não é um ponto de extremo para f.
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3. Se os pontos de extremos locais para f estiverem nas extremidades do domínio de f, as derivadas laterais de f poderão existir e ser não nulas. A função f(x)=1-x², definida sobre S=[-1,2] possui três extremos. x=-1 e x=2 são pontos de mínimo local e x=0 é um ponto de máximo local, mas f '(-1)=2 
e f '(2)=-4.
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Determinação Pontos Mínimos e Máximos
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Existe um critério que faz uso da primeira derivada para identificar se um ponto localizado no interior do domínio da função, é ponto de extremo (máximo ou mínimo) local para f.
Esse critério se baseia nas seguintes ideias:
Se a função é crescente, as retas tangentes em cada ponto de seu gráfico possuem coeficientes angulares positivos. 
Se a função é decrescente, as retas tangentes em cada ponto de seu gráfico possuem coeficientes angulares negativos.
Se existe algum ponto de extremo local, a reta tangente ao gráfico neste ponto tem coeficiente angular zero.
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Determinação Pontos Mínimos e Máximos
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Critério da primeira derivada
Seja f uma função derivável sobre um conjunto S, possuindo um ponto crítico x=c no interior de S, isto é, f '(c)=0.
Se a derivada de f é positiva à esquerda de x=c e é negativa à direita de x=c, então x=c é um ponto de máximo para f.
Se a derivada de f é negativa à esquerda de x=c e é positiva à direita de x=c, então x=c é um ponto de mínimo para f.
Exemplos
(1) Seja a função f(x)=1-x² definida sobre S=[-1,2]. f '(x)=-2x, assim o único ponto crítico ocorre em x=0. f '(x)>0 se x<0 e f '(x)<0 se x>0, assim, x=0 é um ponto de máximo local para f.
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(2) Seja a função f(x)=x² definida sobre S=[-1,2]. g '(x)=2x, assim o único ponto crítico ocorre em x=0. g'(x)>0 se x<0 e g '(x)<0 se x>0, assim, x=0 é um ponto de mínimo local para f.
Determinação Pontos Mínimos e Máximos
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Por Meio da Segunda Derivada:
Intuitivamente, podemos notar que quando um ponto c, interior ao domínio, é de máximo ou de mínimo, a tangente ao gráfico da função f(x) correspondente é horizontal, e consequentemente f’(c) = 0 (desde que a função seja derivável no ponto).
Surge, porém, um problema: se soubermos que f’(c) = 0, como saber se c é ponto de máximo, de mínimo ou nem de máximo nem de mínimo?
Suponhamos que c0 e c1 sejam pontos de máximo e de mínimo, respectivamente. 
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Sendo c0 um ponto de máximo, então nas vizinhanças de c0 a função é côncava para baixo e portanto, f’’ (c) < 0.
Analogamente, sendo c1 um ponto de mínimo, então nas vizinhanças de c1 a função é côncava para cima e portanto, f’’ (c1) > 0.
Dessa forma, um ponto c tal que f’ (c) = 0 pode ser classificado como ponto de máximo ou de mínimo, de acordo com f’’ (c) < 0 ou f’’ (c) > 0.
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VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS?
 
Custo Marginal;
Receita Marginal;
Lucro Marginal.
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