aplicação EDO (Decaimento Radioativo)

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UNIVESIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO 
 CAMPUS MOSSORÓ 
 CURSO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
 EQUAÇÕES DIFERENCIAS E ORDINÁRIAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAS DE PRIMEIRA 
ORDEM 
 
 
 
 
 
 
 
 ANTONIO ALLYSON ALVES PEREIRA 
CAIO MARTINS PALÁCIO 
VITOR LEÃO RODRIGUES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mossoró – RN 
Dezembro, 2018 
 
 
DECAIMENTO RADIOATIVO 
APLICAÇÃO EM FÍSICA, QUÍMICA, ENGENHARIA NUCLEAR, 
ARQUEOLOGIA, GEOLOGIA, ETC. 
 
Equações diferenciais tem uma vasta variedade de aplicações nas ciências 
naturais e exatas, sabendo que muitos conceitos matemáticos acabam envolvendo 
taxas de variações, ou seja, derivadas. Logo é necessário resolver a equação diferencial 
com objetivo de encontrar uma função que descreve ou satisfaça a ED. 
Decaimento radioativo baseia-se no fato de que os elementos radioativos 
decaem a uma taxa que é proporcional em dado instante a quantidade de elementos 
presente no seu interior (átomos), ou seja, quanto mais núcleo houver, decompondo-
se por unidade de tempo, mais decaimento ocorrera, e quanto mais longo também for 
o período de tempo mais núcleos decaem (ALVES, 2009). 
 
 Matematicamente podemos formular da seguinte formula: 
−𝑑𝑄 ∝ 𝑄𝑑𝑡 
−𝑑𝑄 = 𝐾𝑄𝑑𝑡 
 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= − 𝐾𝑄 (1) 
Onde 𝑄 = 𝑄(𝑡) é a quantidade presente de certo elemento radioativo no instante 
t, (K) é uma constante positiva (𝐾 > 0) chamada de constante de desintegração, 
sendo dependente do elemento, por exemplo, para radio o valor aproximado é de 𝐾 =
 1,4 𝑥 10−11. 
A constante (K) pode ser determinada através do tempo de “meia vida” do 
elemento, basicamente tempo de meia vida é o tempo necessário para desintegrar 
metade do material, exemplo para carbono 14 leva cerca de 5.730 anos para metade 
de seu núcleo decair. 
Com base na equação diferencial (1) modelada, encontraremos uma solução 
que satisfaça a equação: 
 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
= − 𝐾𝑄 
 
 
 
 
Está equação é separável sendo transformada em, 
𝑑𝑄
𝑄
 = −𝐾𝑑𝑡 
Integrando ambos lados: 
∫
𝑑𝑄
𝑄
 = ∫ −𝐾𝑑𝑡 
ln|𝑄| = −𝐾𝑡 + 𝐶 
 
Através da definição de logaritmo vem: 
 
𝑒ln 𝑄 = 𝑒−𝐾𝑡 +𝐶 
𝑄(𝑡) = 𝑐𝑒−𝐾𝑡 
 
Sendo assim, como sabemos a sua concentração inicial 𝑄(0) = 𝑄𝑖 podemos escrever 
a equação da seguinte forma: 
 
𝑄𝑖 = 𝐶𝑒
−𝐾0 
𝑄𝑖 = 𝐶 
 
Chegando na função que descreve o decaimento radioativo: 
 
𝑄(𝑡) = 𝑄𝑖𝑒
−𝐾𝑡 
 
Quando não se conhece o material radioativo deve-se determinar a constante 
de desintegração primeiro, através do tempo de meia vida citado mais acima aqui nesse 
trabalho. 
Para ilustrar isso usaremos o tempo de meia vida do carbono 14 que é 
exatamente 5.730 anos. 
 
Para 𝑡 = 5730 anos segue que, 𝑄(5730) = 
1
2
𝑄𝑖 pela definição de tempo de “meia 
vida” metade da sua concentração inicial cair pela metade ao longo de 5730 anos. 
 
1
2
𝑄𝑖 = 𝑄𝑖𝑒
−5730𝐾 
𝑒−5730𝐾 = 
1
2
 
 
 
 
Aplicando o logaritmo natural em ambos lados: 
ln 𝑒−5730𝐾 = ln
1
2
 
𝐾 =
 − ln(0,5)
5730
 
 
𝐾 = 0,00012097 𝑎𝑛𝑜𝑠−1 
 
 
 Constante de desintegração para carbono 14 
 
 
 Logo a função que descreve o decaimento radioativo para carbono 14 é: 
 
𝑄(𝑡) = 𝑄𝑖𝑒
−0,00012097𝑡 
 
EXEMPLO 
 
Um isótopo radioativo tem uma meia-vida de 16 dias. Você deseja ter 30 g do isótopo 
no final de 30 dias. Calcule a quantidade inicial do isótopo. 
Solução: Seja a 𝑄(𝑡) quantidade presente no instante t e 𝑄(0) = 𝑄𝑜 a quantidade 
inicial. Resolvendo a equação 
𝑑𝑄
𝑄
= −𝐾𝑑𝑡 
Temos que 
Q(t) = Qo 𝑒−𝑘𝑡 
e para t = 16 
Q(16) = ½Qo 
Logo 
𝑒−16𝑘 =
1
2
. 
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da igualdade, obtemos 
 
k =
[ln(2)]
16
= 0,0433dias-1 
E dessa forma temos a função que determina a quantidade de isótopo radioativo em 
qualquer instante: 
Q(t) = Qo 𝑒0,0433𝑡 
Pata t = 30 dias e 
Q(30) = 30 g: Qo = 30/e − 0,0433(30) ≅ 110 g. 
CONCLUSÃO 
 
 Logo, a partir do estudo feito neste trabalho é possível verificar a aplicação de 
uma equação diferencial de primeira ordem no decaimento radioativo, sendo possível 
a partir desse, identificar uma função que descreva o decaimento radioativo de 
qualquer elemento, além disso, como no exemplo visto, estipular também a quantidade 
inicial de uma substancia, para que em um determinado tempo seja obtido a quantidade 
final desejada. 
 A partir dos exemplos e das aplicações vistas é verificável que o estudo das 
equações diferenciais é de extrema importância, devido a sua vasta aplicação. 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
[1] ALVES, W. Datação por decaimento radioativo. Disponível em: http: 
//tinyurl.com/c3kltx6 Acesso em: 10 de dezembro de 2018.