AP1 2018 2 gabarito

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CURSOS DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA, FÍSICA E QUÍMICA
PRÓ-LICENCIATURA/UAB
1
a
AVALIAÇÃO PRESENCIAL - AP1 � DATA:06/10/2018 � VALOR: 40 PONTOS
DISCIPLINA: Equações Diferenciais e Aplicações
PROFESSOR(A): GRIGORI CHAPIRO
ALUNO(A): N
o
DE MATRÍCULA:
POLO:
Informações: Esta prova contém quarto questões. A prova deve ser feita sem consulta a qualquer material.
Não é permitido usar rascunhos ou calculadoras. A resolução das questões pode ser feita a lápis.
Questões sem desenvolvimento não serão corrigidas.
Questão 1: Analise as equações a seguir
(a) y′ = 3x2 y + x2, y(0) = 0,
(b)
cos(y) y′
x
= sin2(y) exp(x2),
(c) yy′ = 2x,
(d) y′ = exp(x),
(e) xyy′ = x2 + y2.
De acordo com os cinco tipos de EDO que nós estudamos classifique estas equações.
Dica: As categorias são: fundamental, linear homogênea e não homogênea, Bernoulli, Riccati, variáveis separáveis.
Uma equação pode entrar em mais de uma categoria.
Solução: (a) Linear não homogênea, variáveis separáveis;
(b) Variáveis separáveis;
(c) Variáveis separáveis;
(d) Fundamental, Linear não homogênea, Variáveis separáveis;
(e) Coeficientes homogêneos.
Pontuação: Cada ítem 5 pts. Citou apenas um dos tipos nas letras (a) e (b) 3 pts.
Além da correta citou outro tipo -3 pts por erro. Erro de algum tipo 0 pts.
Questão 2: Encontre a solução do seguinte PVI:
y′ = 3x2 y + x2, y(0) = 0.
Solução: Na questão 1 já identificamos esta equação como linear não homogênea. (OBS: É possível resolver como
var. separáveis também)
1. Reescrevemos a equação na forma geral de equações lineares da apostila y′ + p(x)y = q(x), onde p(x) = −3x2 e
q(x) = x2.
2. Encontramos a função auxiliar
µ(x) = exp
[∫
p(x)dx
]
= exp
[∫
−3x2dx
]
= exp(−3x3/3 + k1) = k2 exp(−x3),
onde k2 = e
k1 6= 0.
3. Agora encontramos a solução (note que x0 = 0 e y0 = 0):
y(x) =
1
µ(x)
[
µ(x0)y0 +
∫ x
x0
µ(t)q(t)dt
]
=
exp(x3)
k2
[
k2 exp(−x30)y0 +
∫ x
x0
k2 exp(−t3)(t2)dt
]
=
1
exp(x3)
[
0 +
∫ x
0
exp(−t3)t2dt
]
= exp(x3)
[− exp(−x3)/3 + 1/3] = 1
3
[−1 + exp(x3)] .
Pontuação: 25 pts. Erro de conta -5pts. Muitos erros -10 pts. Contas sem sentido 0 pts.
Questão 3: Encontre a solução geral da seguinte equação:
cos(y) y′
x
= sin2(y) exp(x2).
Solução: Esta é uma equação de variáveis separáveis. Dividimos os dois lados por sen
2(y), multiplicamos por x e
integramos dos dois lados:
cos(y) y′
sen
2(y)
= exp(x2)x =⇒
∫
cos(y) y′
sen
2(y)
=
∫
exp(x2)xdx; =⇒
=⇒ −1
sen(y)
=
exp(x2) +K
2
=⇒ y = arcsen
( −2
exp(x2) +K
)
.
Pontuação: 25 pts. Erro de conta -5pts. Muitos erros -15 pts.
Questão 4: Considere seguinte EDO yy′ = 2x.
(a) Encontre o lugar geométrico dos pontos definido pela solução dessa EDO.
(b) Faça um esboço da família de curvas que representam estas soluções.
Solução: (a) Na questão 1 já identificamos esta equação como de variáveis separáveis. Integrando obtemos:∫
ydy =
∫
2xdx =⇒ y
2
2
= x2 + k =⇒ y2 − 2x2 = 2k,
onde k é uma constante. Portanto o lugar geométrico dos pontos definido pela solução da EDO é
{(x, y) ∈ R2|y2 − 2x2 = k},
onde k é uma constante.
(b) A última igualdade representa uma família de hipérboles para k > 0 e k < 0; para k = 0 representa um par de
retas.
Figura 1: Família de curvas da Questão 4 para k > 0 (esquerda), k < 0 (centro) e k = 0 (direita).
Pontuação: (a) 10 pts. (b) 15 pts. Erro de conta -5 pts. Contas sem sentido 0 pts. Cada figura 5 pts.
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