Apostila Contr Proc Parte 03

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190 
 
11 Métodos de sintonia convencionais: Métodos 
de Cohen-Coon e Zigler Nichols. Avaliação das 
performances da malha fechada usando Scilab. 
 
 
 
 
 
 
O desempenho de sistemas de controle pode ser julgado pela resposta transiente da saída a 
uma variação específica na entrada. A variação na entrada pode ser uma variação no setpoint 
ou na perturbação. 
 
A seleção dos ajustes de controladores PID é baseada em critérios de resposta transiente. 
 
11.1 Tipos de Entrada 
 
O termo resposta transiente significa a resposta de um sistema de controle a qualquer tipo de 
entrada, mas normalmente refere-se a uma variação degrau no setpoint ou na carga. A 
variação degrau é usada mais por conveniência; as soluções a essa entrada são mais fáceis de 
se obter do que para qualquer outro tipo de perturbação. A variação degrau também é o tipo 
mais severo de perturbação, e a resposta ao degrau mostra o erro máximo que ocorreria para 
uma eventual variação na perturbação. Se vários sistemas de controle ou ajustes de 
controlador são comparados, o sistema com a melhor resposta à variação na carga terá a 
melhor resposta a flutuações randômicas dessa carga. 
 
Quando a questão da estabilidade é analisada, não importa qual entrada é variada ou qual tipo 
de variação é feita, desde que o sistema seja linear. Um sistema em malha fechada instável a 
uma entrada, é instável a todas as entradas. 
 
 
11.2 Critérios de performance para sistemas em malha 
fechada 
 
Sistemas em malha fechada devem satisfazer os seguintes critérios de performance: 
 
1 - O sistema em malha fechada deve ser estável. 
2 - Os efeitos da perturbação devem ser minimizados (rejeição à perturbação). 
3 - Respostas rápidas e suaves a variações no setpoint. 
4 - Sem offset. 
5 - Evitar ações de controle excessivas (reduzir o desgaste na válvula de controle). 
6 - O sistema de controle deve ser robusto, isto é, insensível a variações nas condições do 
processo e erros no modelo do processo. 
 
Os processos reais raramente são lineares e invariantes no tempo, embora muitas vezes sejam 
modelados pela linearização em torno de um ponto de operação, assumindo que a variação no 
tempo seja “lenta”. Portanto, em operação normal, os parâmetros diferirão dos valores 
191 
 
nominais sobre os quais é baseado o projeto do processo. Idealmente o controlador deve ser 
robusto, isto é, operar satisfatoriamente na presença de variações nos parâmetros da planta. 
 
Em problemas típicos de controle, não é possível alcançar todas essas metas, pois elas 
envolvem conflitos inerentes e balanceáveis. Por exemplo, ajustes de controlador PID que 
minimizam os efeitos da perturbação tendem a produzir grandes overshoots para variações no 
setpoint. Por outro lado, se o controlador é ajustado para dar uma resposta rápida e suave a 
variações no setpoint, geralmente ele resulta em controle lento para perturbações. Assim, um 
balanceamento é requerido para selecionar os ajustes dos controladores de modo que sejam 
satisfatórios tanto para variações na carga como no setpoint. 
 
Um segundo balanceamento é requerido entre robustez e performance. Normalmente um 
sistema de controle pode ser feito robusto escolhendo-se valores conservativos (por exemplo, 
cK pequeno e Iτ grande), mas essa escolha resulta em respostas lentas a variações na carga e 
no setpoint, em outras palavras, controle de alta performance não é conseguido. 
 
Há diversas abordagens para a especificação dos ajustes de controladores: 
 
1 - Método da síntese direta 
2 - Controle com modelo interno 
3 - Relações de sintonia 
4 - Técnicas de resposta frequencial 
5 - Simulação em computador usando modelo 
6 - Sintonização de campo após instalação 
 
Os cinco primeiros são baseados em modelo do processo, e, portanto, podem ser usados para 
determinar os ajustes dos controladores antes que o sistema de controle esteja instalado. 
Entretanto, a sintonia de campo dos controladores após a instalação freqüentemente é 
requerida, pois o modelo do processo raramente é exato. Conseqüentemente, o objetivo dos 
cinco métodos é fornecer valores aproximados para os ajustes de controladores PID que serão 
usados como ponto de partida para a sintonia de campo. 
 
 
11.3 RELAÇÕES DE PROJETO PARA 
CONTROLADORES PID 
 
Nesta seção consideraremos algumas relações de projeto bastante conhecidas, baseadas em 
algum modelo específico, principalmente o modelo de primeira ordem com tempo morto 
 
1s
eK)s(G
std
+τ
=
−
 (11.1) 
 
mpf GGGG = (11.2) 
 
Os três parâmetros ( K , dt e τ ) do modelo podem ser facilmente determinados utilizando 
dados de resposta ao degrau. 
 
 
192 
 
11.3.1 Cohen-Coon 
 
Em 1953, Cohen e Coon publicaram algumas relações de projeto desenvolvidas 
empiricamente para se obter resposta em malha fechada com razão de declínio 1/4. O 
procedimento de Cohen e Coon também ficou conhecido como Método da curva de reação do 
processo. 
 
Considere o sistema de controle que foi “aberto” desligando o controlador do elemento final 
de controle (Figura 11.1). Introduz-se um degrau de amplitude A na variável c que atua 
sobre o elemento final de controle. Registra-se a resposta da saída com o tempo. A curva 
)t(ym é chamada de curva de reação do processo. 
 
)s(G)s(G)s(G)s(c
)s(y)s(G mpfmPRC == (11.3) 
 
 
 
Figura 11.1 Teste degrau para sistema de controle aberto. 
 
Cohen e Coon observaram que a resposta da maioria dos processos a uma variação degrau 
apresenta uma forma sigmoidal como a da Figura 11.2, que pode ser adequadamente 
aproximada pela resposta de um sistema de primeira ordem com tempo morto. 
 
193 
 
 
 
Figura 11.2 Curva de reação do processo e sua aproximação por um sistema de primeira 
ordem com tempo morto. 
 
1s
eK
)s(c
)s(y)s(G
st
m
PRC
d
+τ
≅=
−
 (11.4) 
 
que contem três parâmetros: ganho estacionário K , tempo morto dt e constante de tempo τ . 
 
O ganho estacionário pode ser facilmente determinado lendo-se o valor final de ym na Figura 
11.2, isto é, B)(ym =∞ . Assim 
 
A
B
entrada
saidaK =
∆
∆
= (11.5) 
 
SB=τ , em que S é a tangente no ponto de inflexão da resposta sigmoidal 
 
dt = interseção da tangente com a abcissa é tomada como o tempo morto aparente 
 
Com base no modelo aproximado, Cohen e Coon propuseram as relações de projeto 
sumarizadas na Tabela 11.1. 
 
Tabela 11.1 Relações de projeto de controladores por Cohen e Coon. 
Controlador Ajustes Cohen-Coon 
P cK 






τ
+
τ
3
t1
tK
1 d
d
 
PI 
cK 





τ
+
τ
12
t
10
9
tK
1 d
d
 
194 
 
 Iτ 
τ+
τ+
d
d
d t209
t330
t 
PD 
cK 






τ
+
τ
6
t
4
5
tK
1 d
d
 
 Dτ 
τ+
τ−
d
d
d t322
t26
t 
PID Kc 






τ
+
τ
4
t
3
4
tK
1 d
d
 
 Iτ 
τ+
τ+
d
d
d t813
t632
t 
 Dτ 
τ+ d
d t211
4
t 
 
Esse critério de performance (razão de declínio 1/4) apresenta algumas desvantagens 
 
1 - Respostas com razão de declínio 1/4 são consideradas muito oscilatórias pelos operadores. 
2 - O critério considera apenas dois pontos da resposta em malha fechada, os dois primeiros 
picos. 
 
Observação 
 
Para processos que apresentam atraso por transporte muito pequeno (tempo morto), isto é, dt 
próximo de zero, a curva de reação do processo se assemelha à da resposta de um sistema de 
primeira ordem simples. Os ajustes de Cohen e Coon indicarão valor extremamente elevado 
para o ganho proporcional cK . Na prática usa-se o maior valor possível para reduzir o offset 
seum controlador proporcional for empregado. Se for usado um controlador PI, o valor do 
ganho será determinado pelas características da resposta desejada. 
 
 
Exemplo 11.1 Ajuste de controladores feedback pelo método de Cohen 
e Coon. 
 
Processo 
 
Dois sistemas de primeira ordem em série 
 
( )( )1s1s
K)s(G
21
p
p +τ+τ
= (11.6) 
 
Medidor e válvula de controle têm dinâmicas de primeira ordem 
 
1s
KG
m
m
m +τ
= (11.7) 
 
195 
 
1s
KG
f
f
f +τ
= (11.8) 
 
( )( )( )( )1s1s1s1s
KKK
GGGG
m21f
mpf
mpfPRC +τ+τ+τ+τ
== (11.9) 
 
Temos quatro sistemas de primeira ordem em série, portanto curva sigmoidal. Para 
 
1K p = 1K f = 1K m = 
51 =τ 102 =τ 0f =τ 2m =τ 
 
A curva de reação do processo é mostrada na Figura 11.3. A figura mostra também a reta 
tangente no ponto de inflexão. 
 
 
 
Figura 11.3 Curva de reação do processo. 
 
A Figura 11.4 mostra a curva de reação do processo juntamente com a resposta aproximada 
por um sistema de primeira ordem com tempo morto. 
 
196 
 
 
 
Figura 11.4 Curva de reação do processo do exemplo e sua aproximação por um sistema de 
primeira ordem com tempo morto. 
 
Da curva de reação do processo, pode-se determinar os seguintes valores: 
 
Inclinação no ponto de inflexão 04755,0S = 
 
Resposta final 9992,0B = 
 
Constante de tempo efetivo 0122,21
04755,0
9992,0
S
B
===τ 
 
Tempo morto 5909,3t d = 
 
Ganho 9992,0
1
9992,0
A
BK === 
 
A rigor, a resposta final seria 1B = , mas esse valor só será atingido quando ∞→t . Com os 
valores acima, a função de transferência da curva de reação do processo fica 
 
1s0122,21
e9992,0G
s5909,3
PRC
+
=
−
 (11.10) 
 
Utilizando a Tabela 11.1, os ajustes de Cohen-Coon podem ser calculados 
 
Controlador P 1900,6K c = 
197 
 
Controlador PI 3542,5K c = , 8234,8I =τ 
Controlador PID 0588,8K c = , 2543,8I =τ , 2664,1D =τ 
 
Vamos examinar agora o desempenho de cada um desses controladores. As Figuras 11.5 a 
11.7 mostram as respostas a uma variação degrau unitário no setpoint usando os ajustes de 
Cohen-Coon. O controlador proporcional resultou em um erro em regime permanente. O 
controlador proporcional integral não apresenta esse erro, mas a resposta é bastante 
oscilatória, e o controlador proporcional integral derivativo amenizou bem as oscilações. 
 
 
 
Figura 11.5 Resposta em malha fechada a uma variação degrau unitário no setpoint com 
controle P. 
 
198 
 
 
 
Figura 11.6 Resposta em malha fechada a uma variação degrau unitário no setpoint com 
controle PI. 
 
 
 
Figura 11.7 Resposta em malha fechada a uma variação degrau unitário no setpoint com 
controle PID. 
 
199 
 
O método da tangente utiliza apenas um ponto para estimar a constante de tempo. Uma 
desvantagem desse método é a dificuldade em localizar o ponto de inflexão devido a ruídos 
nas medidas (erros). 
 
Sundaresan e Krishnaswamy (1977) propuseram a utilização de dois pontos da curva da 
resposta ao degrau correspondente a 35,3 e 85,3% do valor final da resposta e 1t e 2t são, 
respectivamente, os instantes em que ocorrem. O tempo morto e a constante de tempo são 
então calculados pelas equações 
 
21d t29,0t3,1t −= (11.11) 
 
( )12 tt67,0 −=τ (11.12) 
 
Esses valores de τ e dt minimizam aproximadamente a diferença entre a resposta medida e o 
modelo no sentido dos mínimos quadrados. 
 
Observação 
 
A estimativa de K , τ e dt de modelos aproximados de primeira ordem usando dados de 
resposta ao degrau pode variar consideravelmente dependendo das condições de operação do 
processo, da amplitude do degrau e da direção da variação. Normalmente, essas diferenças 
podem ser atribuídas à não linearidade nos processos. 
 
 
Exemplo 11.2 
 
É o mesmo Exemplo 11.1 só que o modelo aproximado é obtido usando o método de 
Sundaresan e Krishnaswamy. A Figura 11.8 mostra a curva de reação do processo e os dois 
pontos utilizados para aproximar a curva por uma curva de primeira ordem com tempo morto. 
 
200 
 
 
 
Figura 11.8 Curva de reação do processo. 
 
O ganho é obtido por 
 
9992,0
1
999,0
A
BK === 
 
Os dois pontos são obtidos diretamente da curva para os seguintes valores da saída: 
 
353,0y = ⇒ 0353,11t1 = 
 
853,0y = ⇒ 8853,27t 2 = 
 
Com as equações 11.11 e 11.12, calculamos os seguintes: 
 
2895,11=τ 
 
2592,6t d = 
 
Portanto, a função de transferência é dada por 
 
1s8853,27
e9992,0G
s2592,6
PRC +
=
−
 (11.13) 
 
A Figura 11.9 mostra as curvas da resposta real e da curva aproximada a uma variação degrau 
unitário na entrada. 
 
201 
 
 
 
Figura 11.9 Curva de reação do processo do exemplo e sua aproximação por um sistema de 
primeira ordem com tempo morto. 
 
De posse do modelo de primeira ordem com tempo morto, podemos utilizar a Tabela 11.1 e 
calcular os ajustes de Cohen-Coon, os quais são: 
 
Controlador P 1388,2K c = 
Controlador PI 7081,1K c = , 8656,9I =τ 
Controlador PID 6571,2K c = , 6819,12I =τ , 0676,2D =τ 
 
O desempenho de cada um desses controladores pode ser visualizado nas Figuras 11.10, 11.11 
e 11.12, para os controladores P, PI e PID, respectivamente. Percebe-se nitidamente que o 
melhor desempenho é do controlador PID. 
 
202 
 
 
 
Figura 11.10 Resposta em malha fechada a uma variação degrau unitário no setpoint com 
controle P. 
 
 
 
Figura 11.11 Resposta em malha fechada a uma variação degrau unitário no setpoint com 
controle PI. 
 
203 
 
 
 
Figura 11.12 Resposta em malha fechada a uma variação degrau unitário no setpoint com 
controle PID. 
 
 
11.3.2 Regras de Ziegler-Nichols 
 
Regras para determinação dos parâmetros do controlador PID baseadas nas características da 
resposta transitória de determinada planta. Foram dois os métodos publicados por Ziegler e 
Nichols (ZN) em 1942. Ambos os métodos foram desenvolvidos empiricamente visando à 
obtenção de uma de razão de declínio de 1/4. 
 
 
1o Método - Via oscilação limite 
 
Consiste em determinar experimentalmente o ganho último uK , isto é, o valor do ganho no 
qual a malha está no limite da estabilidade (marginalmente estável) com um controlador 
proporcional. O controlador é operado em malha fechada com o sistema a ser controlado. Os 
modos integral e derivativo (se existirem) são mantidos inoperantes ( ∞=τI , 0D =τ ), e o 
ganho proporcional é aumentado lentamente até atingir o valor em que começa a ocorrer a 
oscilação contínua das variáveis do sistema. Esse valor do ganho proporcional corresponde a 
uK do método Ziegler-Nichols. O período de oscilação resultante é chamado de período 
último, uP (minutos por ciclo). Os ajustes ZN são então calculados a partir de uK e uP 
usando as fórmulas dadas na Tabela 11.2 para os três tipos de controladores. Note que ganho 
menor é usado quando a ação integradora é incluída no controlador (PI) e a adição de ação 
derivativa permite um ganho maior e ajuste mais rápido. Se a saída não exibir oscilações 
sustentadas para nenhum valor que cK possa assumir, então este método não se aplica. 
204 
 
 
A maneira mais simples de introduzir um distúrbio é mover o setpoint durante um pequeno 
intervalo de tempo e então voltá-lo a seu valor original. Esse procedimento equivale a 
introduzir uma função pulso no erro, fazer com que o sistema responda e ainda permanecer 
dentro de uma faixa estreita em torno do ponto de operação normal do processo. 
 
Um tipo alternativo de distúrbio seria introduzirpequenas variações degrau no setpoint. Se 
forem usadas variações degrau para induzir transientes, as sucessivas variações degrau devem 
alternar em torno do ponto de operação normal do processo. É importante que o distúrbio seja 
o menor possível, especialmente quando o ganho do controlador é aumentado, assim a válvula 
e demais componentes não excedem seus limites físicos. 
 
 
 
Figura 11.13 Diagrama de blocos para a determinação experimental do ganho último. 
 
 
 
Figura 11.14 Oscilação contínua da variável do sistema. 
 
Tabela 11.2 Ajustes Ziegler-Nichols para controladores. 
Controlador 
cK Iτ Dτ 
P 2K u   
PI 2,2K u 2,1Pu  
PID 7,1K u 2Pu 8Pu 
 
As relações de sintonia ZN foram desenvolvidas empiricamente para dar uma razão de 
decaimento 1/4. Essas relações de sintonia têm sido largamente utilizadas na indústria e 
servem como um caso base conveniente para comparar esquemas de controle alternativos. 
Para algumas malhas de controle, o grau de oscilação associado com a razão de declínio ¼ e o 
grande overshoot correspondente para variação no setpoint são indesejáveis. Assim, ajustes 
mais conservativos são preferidos, tais como os ajustes ZN modificados. 
 
Tabela 11.3 Ajustes Ziegler-Nichols original e modificados para controlador PID. 
 
cK Iτ Dτ 
205 
 
Original (razão de declínio ¼) 
uK6,0 2Pu 8Pu 
Pequeno “overshoot” 
uK33,0 2Pu 3Pu 
Sem “overshoot” 
uK2,0 2Pu 3Pu 
 
 
2o Método – Via ensaio de resposta ao degrau 
 
O segundo método para ajustar o controlador é o método da curva de reação do processo. Este 
método é baseado em um teste experimental aplicado com o controlador no modo manual. É 
introduzida uma pequena perturbação degrau na saída do controlador registrando-se a curva 
da variável medida versus tempo. As perturbações devem ser suficientemente pequenas para 
assegurar a operação na faixa linear. A curva de saída é chamada de curva de reação do 
processo. Deve-se admitir que não ocorram variações de carga durante o teste. Uma curva de 
reação do processo típica é dada na Figura 11.15. Se a curva de reação do processo apresenta 
forma sigmoidal, usualmente o seguinte modelo pode fornecer um ajuste satisfatório: 
 
 
 
Figura 11.15 Levantamento da curva de reação do processo. 
 
1s
eK)s(G)s(G)s(G)s(c
)s(y st
mpf
m
d
+τ
≅=
−
 (11.14) 
 
Tabela 11.4 Relações de sintonia de Ziegler-Nichols (método da curva de reação do 
processo). 
Tipo de controlador 
cK Iτ Dτ 
P 





 τ
dtK
1
 
∞ 0 
PI 





 τ
dtK
9,0
 
dt33,3 0 
PID 





 τ
dtK
2,1
 
dt2 dt5,0 
 
Se a resposta não apresenta uma curva em forma de S, este método não se aplica. 
 
Na verdade, as relações de sintonia de Cohen-Coon foram desenvolvidas originalmente como 
uma modificação da abordagem da curva de reação do processo para os casos onde o processo 
não pode ser modelado adequadamente pela equação 11.14. 
 
 
206 
 
Exemplo 11.3 
 
Determine o ganho limite e o período limite para o modelo de processo 
 
( )31s
1)s(G
+
= (11.15) 
 
A equação característica à malha fechada é 
 
0)s(GK1 c =+ (11.16) 
 
( ) 01s
1K1 3c =+
+ (11.17) 
 
0K1s3s3s c
23
=++++ (11.18) 
 
Para a determinação de uK podemos usar o método da substituição, que consiste em 
substituir s por ωj (raízes sobre o eixo imaginário): 
 
ω= js ⇒ uc KK = (11.19) 
 
0K1j33j u23 =++ω+ω−ω− (11.20) 
 ( ) ( ) 03jK13 3u2 =ω+ω−+++ω− (11.21) 
 
A equação é satisfeita com 
 
0K13 u
2
=++ω− (11.22) 
 
e 
033 =ω+ω− (11.23) 
 ( ) 032 =+ω−ω (11.24) 
 
3±=ω (11.25) 
 
Substituindo na equação 11.22 tem-se 
 
8K u = (11.26) 
 
6276,32Pu =
ω
pi
= (11.27) 
 
Experimentalmente, o ganho-limite e o período-limite são determinados por tentativa e erro 
seguindo os passos a seguir. 
207 
 
 
Passo 1. ∞=τ I , 0D =τ 
Passo 2. cK pequeno 
Passo 3. Aumentar cK até que ocorram oscilações mantidas para pequenas variações no 
setpoint ou na carga. 
 
A Figura 11.16 mostra alguns resultados do procedimento experimental, em que foi variado o 
valor do cK . Note que para 8K c = a resposta apresenta oscilação contínua com período de 
oscilação de 3,60 unidades de tempo, portanto 8K u = e 60,3Pu = . O valor de uK obtido 
experimentalmente está de acordo com o valor obtido analiticamente. 
 
 
 
Figura 11.16 Resultados experimentais da resposta ao impulso para valores crescentes de cK . 
 
 
Exemplo 11.4 Sintonia do controlador PID usando as regras Z-N 
 
Para o modelo de processo 
 
1s7
e4)s(G
s5,3
+
=
−
 (11.28) 
 
Para obter o valor de uK analiticamente, podemos usar a aproximação de Padé 1/1 para o 
tempo morto 
 
208 
 
s75,11
s75,11
e s5,3
+
−
=
−
 (11.29) 
 
Com essa aproximação, a equação característica fica 
 
0
1s7
e4K1
s5,3
c =+
+
−
 (11.30) 
 
0eK41s7 s5,3c =++
−
 (11.31) 
 
0
s75,11
s75,11K41s7 c =+
−
++ (11.32) 
 
( )( ) ( ) 0s75,11K4s75,111s7 c =−+++ (11.33) 
 
0sK7K41s75,8s25,12 cc2 =−+++ (11.34) 
 
( ) ( ) 0K41sK775,8s25,12 cc2 =++−+ (11.35) 
 
Pelo critério de Routh, as condições necessárias para que o sistema seja estável são 
 
0K775,8 c >− ∴ 25,1K c < 
 
0K41 c >+ ∴ 25,0K c −> 
 
Usando o método da substituição para determinação de uK , temos que substituir s por ωj 
 
ω= js ⇒ uc KK = 
 
( ) ( ) 0K41jK775,825,12 uu2 =++ω−+ω− (11.36) 
 ( ) ( ) 0K775,8j25,12K41 u2u =ω−ω+ω−+ (11.37) 
 
025,12K41 2u =ω−+ (11.38) 
 
( ) 0K775,8K775,8 uu =−ω=ω−ω (11.39) 
 
A equação é satisfeita com 
 
0K775,8 u =− ∴ 25,1K u = 
 
Substituindo na equação 11.37, tem-se 
 
209 
 
6999,0±=ω ∴ 9773,82Pu =
ω
pi
= 
 
Um ambiente propício para simular sistemas em malha fechada é o Xcos. Uma das principais 
vantagens em usar o Xcos é que os tempos mortos são facilmente manuseados sem 
necessidade de usar aproximações. É recomendável que o leitor tenha algum conhecimento 
sobre este software que acompanha o Scilab. Kwong (2011) mostra aplicações de Xcos em 
controle de processos. O modelo em Xcos para simular o sistema de controle é pelo diagrama 
de blocos da Figura 11.17. Os parâmetros dos blocos Função de Transferência, Tempo Morto 
e do Controlador PID são mostrados na Figura 11.8. Para obter o ganho limite do controlador 
proporcional, podemos mudar o valor de cK do bloco PID e simular a resposta em malha 
fechada até que a saída oscile de forma sustentada como mostra a Figura 11.19. O valor de 
cK corresponde então ao ganho-limite uK . 
 
 
 
Figura 11.17 Modelo em Xcos para simular o sistema de controle. 
 
 
(a) 
 
 
210 
 
(b) 
 
 
(c) 
 
Figura 11.18 Parâmetros dos blocos do modelo em Xcos. (a) Bloco Função de Transferência; 
(b) bloco Tempo Morto; (c) bloco PID. 
 
 
 
Figura 11.19 Resposta da planta no ensaio de oscilação limite. 
 
Assim, os valores experimentais são 
 
95,0K u = 
12Pu = 
 
Com esses valores limites, os ajustes do controlador PID pelo método de Ziegler e Nichols via 
oscilação limite são 
211 
 
 
57,0K c = 
6I =τ 
5,1D =τ 
 
O quadro a seguir mostra os valores dos ajustes pelos diferentes métodos de Ziegler eNichols. 
 
 
cK Iτ Dτ 
Z-N original 0,57 6,0 1,5 
Pequeno overshoot 0,31 6,0 4,0 
Sem overshoot 0,19 6,0 4,0 
 
 
Exemplo 11.5 
 
Para o modelo de processo 
 
( )( )1s51s10
e2)s(G
s
++
=
−
 (11.40) 
 
a equação característica é 
 
( )( ) 01s51s10
e2K1
s
c =++
+
−
 (11.41) 
 
( )( ) 0eK21s51s10 sc =+++ − (11.42) 
 
0eK21s15s50 sc
2
=+++ − (11.43) 
 
Para obter o valor de uK analiticamente, podemos usar a aproximação de Padé 1/1 para o 
tempo morto 
 
0
s5,01
s5,01K21s15s50 c2 =+
−
+++ (11.44) 
 
( ) 0K21sK5,15s5,57s25 cc23 =++−++ (11.45) 
 
Fazendo a substituição de s por ωj 
 
( ) 0K21jK5,155,57j25 cc23 =++ω−+ω−ω− (11.46) 
 ( ) ( ) 0K5,1525jK215,57 c3c2 =ω−ω+ω−+++ω− (11.47) 
 
Essa equação é satisfeita com 
212 
 
 
0K215,57 c2 =++ω− (11.48) 
 
e 
 
0K5,1525 c3 =ω−ω+ω− (11.49) 
 ( ) 0K5,1525 c2 =−+ω−ω (11.50) 
 
0K5,1525 c2 =−+ω− (11.51) 
 
A solução das equações 11.48 e 11.51 é 
 
0581,8K u = 
 
5455,0±=ω ∴ 5182,112Pu =
ω
pi
= 
 
Os valores experimentais na oscilação limite são 
 
88,7K u = 
6,11Pu = 
 
e estão de acordo com o valores obtidos analiticamente. Assim, os ajustes do controlador PID 
pelo método de Ziegler e Nichols via oscilação limite são 
 
73,4K c = 
8,5I =τ 
45,1D =τ 
 
 
Exemplo 11.6 
 
Considere o sistema representado pela Figura 11.20. 
 
 
 
Figura 11.20 Diagrama de blocos. 
 
Para inativar os modos integral e derivativo, impomos 
 
213 
 
∞=τ I , 0D =τ 
 
A função de transferência global fica 
 
( )( ) c
c
sp K5s1ss
K
)s(y
)s(y
+++
= (11.52) 
 
A equação característica do sistema em malha fechada é 
 
0Ks5s6s c23 =+++ (11.53) 
 
O arranjo de Routh para essa equação é 
 
c
c
c
0
1
2
3
K
6
K30
K6
51
s
s
s
s
−
 
 
Se 
 
30K c = ⇒ oscilações mantidas ∴ 30K u = 
 
Para achar a freqüência de oscilação mantida, substituímos ω= js na equação característica 
 
030)j(5)j(6)j( 23 =+ω+ω+ω (11.54) 
 ( ) ( ) 05j56 22 =ω−ω+ω− (11.55) 
 
que é satisfeita com 
 
52 =ω ou 5=ω 
 
Portanto, 
 
81,2
5
22Pu =
pi
=
ω
pi
= 
 
Assim, os ajustes do controlador PID pelo método de Ziegler e Nichols via oscilação limite 
são: 
 
18K6,0K uc == 
405,1P5,0 uI ==τ 
35124,0P125,0 uD ==τ 
 
214 
 
 
Exemplo 11.7 Um resultado inesperado 
 
Para o sistema de controle mostrado na Figura 11.21, determine os ajustes do controle PI 
usando o método Z-N e o método C-C usando a curva de reação do processo. 
 
 
 
Figura 11.21 Diagrama de blocos. 
 
A resposta ao degrau unitário é dada por 
 
t23 e1tt
2
1
t
6
11)t(y −





+++−= (11.56) 
 
Para achar a reta tangente no ponto de inflexão, derivamos duas vezes )t(y com relação a t . 
 
t3 et
6
1)t(y −=ɺ (11.57) 
 
( )32t tt3e
6
1)t(y −= −ɺɺ (11.58) 
 
A localização do ponto de inflexão da resposta ao degrau )t(y pode ser obtida igualando a 
segunda derivada a zero. 
 
( )32t tt3e
6
10 −= − (11.59) 
 
Resolvendo para t encontramos 3t = , e a tangente neste ponto é 
 
224,0e3
6
1)3(y 33 == −ɺ (11.60) 
 
Assim 
 
224,0S = 
 
O valor de y no ponto de inflexão é 353,0)3(y = . O tempo morto corresponde ao instante t 
onde a reta tangente corta o eixo- t , e pode ser calculado por 
 
215 
 
224,0S
t3
0353,0
d
==
−
−
 ∴ 42,1t d = 
 
46,4
224,0
1
S
B
===τ 
 
A Figura 11.22 mostra a curva de reação do processo juntamente com a resposta aproximada 
por um sistema de primeira ordem com tempo morto. 
 
 
 
Figura 11.22 Curva de reação do processo do exemplo e sua aproximação por um sistema de 
primeira ordem com tempo morto. 
 
Utilizando a Tabela 11.1 obtém-se os seguintes parâmetros do controlador PI: 
 
91,2K c = 
86,2I =τ 
 
Um resultado inesperado 
 
Usando esses valores de cK e Iτ , a resposta ao degrau no setpoint e mostrada na Figura 11.23 
foi obtida. 
 
216 
 
 
 
Figura 11.23 Resposta ao degrau no setpoint pelo método de Cohen-Coon baseado na linha 
tangente no ponto de inflexão. 
 
Para nossa surpresa, o sistema é instável. Examinemos agora a estabilidade desse sistema de 
controle com os ajustes determinados pelas relações de Cohen-Coon. 
 
( ) 01s
1
s
11K1 4
I
c =
+






τ
++ (11.61) 
 
( ) 0KsKs4s6s4s cIcI2I3I4I5I =+τ+τ+τ+τ+τ+τ (11.62) 
 
091,2s18,11s44,11s16,17s44,11s86,2 2345 =+++++ (11.63) 
 
91,2
007353,3
91,207592,3
04551,103,14
91,244,1144,11
1826,1116,1786,2
−
 
 
Há duas inversões de sinal, o que indica a existência de duas raízes com partes reais positivas 
na equação característica; portanto, pelo critério de Routh, o sistema é instável, confirmando 
assim a resposta da Figura 11.23. Mas como isso é possível? Não vamos nos precipitar em 
julgar erroneamente as relações de Cohen-Coon. 
 
217 
 
Vejamos agora o uso do método de Sundaresan e Krishnaswamy. Os instantes 1t e 2t podem 
ser determinados pelas equações 
 
1t
1
2
1
3
11 e1tt2
1
t
6
11353,0)t(y −





+++−== (11.64) 
 
2t
2
2
2
3
22 e1tt2
1
t
6
11853,0)t(y −





+++−== (11.65) 
 
cujas soluções são dadas por 0010,3t1 = e 0477,6t 2 = . Assim, 
 
1475,2t29,0t3,1t 21d =−= (11.66) 
 
( ) 0412,2tt67,0 12 =−=τ (11.67) 
 
e o modelo aproximado é 
 
1s0412,2
e)s(G
1475,2
+
=
−
 (11.68) 
 
A Figura 11.24 compara a curva obtida pelo método de Sundaresan e Krishnaswamy com a 
curva de reação do processo. 
 
 
 
Figura 11.24 Curva de reação do processo do exemplo e sua aproximação por um sistema de 
primeira ordem com tempo morto obtida pelo método de Sundaresan e Krishnaswamy. 
 
218 
 
Utilizando as relações de Cohen-Coon (Tabela 11.1) obtêm-se os seguintes parâmetros do 
controlador PI: 
 
9389,0K c = 
3702,2I =τ 
 
Note que o valor de cK agora é bem menor do que o valor anterior, o que leva à expectativa 
de que a resposta será estável. Usando esses valores de cK e Iτ , a resposta ao degrau no 
setpoint mostrada na Figura 11.25 foi obtida. 
 
 
 
Figura 11.25 Resposta ao degrau no setpoint pelo método de Cohen-Coon usando modelo 
identificado pelo método de Sundaresan e Krishnaswamy. 
 
Um método mais sofisticado é a dos parâmetros do modelo via mínimos quadrados, onde uma 
rotina de otimização numérica selecionará a melhor combinação dos parâmetros de modo que 
minimize o erro do ajuste. O erro do ajuste é definido pelo escalar 
 
( )2
i
modeloexp yyJ ∑ −= …,3,2,1i = (11.69) 
 
O Scilab contém algumas funções que podem ser utilizadas para resolver problemas de 
otimização. Uma delas é a função fminsearch, que calcula o mínimo irrestrito de uma 
função pelo algoritmo de Nelder e Mead. A forma mais simples de usar é: 
 
x=fminsearch(costf,x0) 
 
219 
 
onde 
 
costf nome da função que contém a função objetivo 
x0 vetor com os chutes iniciais 
 
Programa 
 
//Curva de reação do processo ajustada por um sistema de primeira ordem 
//com tempo morto 
// 
clear 
clc 
clearglobal 
 
functionf=fopdt(x) 
 //Calcula a soma dos quadrados dos erros 
 global t 
 taup=x(1) 
 td=x(2) 
 for i=1:length(t) 
 yplant(i)=1-(1/6*t(i)^3+1/2*t(i)^2+t(i)+1)*exp(-t(i)) 
 if t(i)<=td 
 ymodel(i)=0 
 else 
 ymodel(i)=1-exp(-(t(i)-td)/taup) 
 end 
 end 
 e=yplant'-ymodel' 
 f=e*e' //escalar J 
endfunction 
 
global t 
t=0:0.1:20; 
 
//Estimativa inicial 
taup=1; 
td=1; 
 
//Minimiza a soma dos quadrados dos erros 
x0(1)=taup; 
x0(2)=td; 
x=fminsearch(fopdt,x0'); 
taup=x(1) 
td=x(2) 
for i=1:length(t) 
 yplant(i)=1-(1/6*t(i)^3+1/2*t(i)^2+t(i)+1)*exp(-t(i)); 
 if t(i)<=td 
 ymodel(i)=0; 
 else 
 ymodel(i)=1-exp(-(t(i)-td)/taup); 
 end 
end 
 
//Plota as curvas da resposta real e a resposta aproximada 
scf(1) 
clf 
plot(t,yplant,'k-',t,ymodel,'k:') 
xlabel('t') 
ylabel('y') 
220 
 
legend(['Planta','Modelo'],4) 
 
//Ganho do processo de primeira ordem aproximado 
Kp=ymodel($); 
 
//Imprime os parâmetros do modelo FOPDT 
disp('Parâmetros do modelo FOPDT') 
printf('\n') 
printf('Kp = %f\n',Kp) 
printf('taup = %f\n',taup) 
printf('td = %f\n',td) 
 
Aplicando a identificação mínimos quadrados, foram produzidos os resultados mostrados na 
janela de comandos do Scilab. 
 
 
 Parâmetros do modelo FOPDT 
 
Kp = 0.999589 
taup = 2.328674 
td = 1.841427 
 
 
Assim, o modelo identificado é dado por 
 
1s3287,2
e9996,0)s(G
s8414,1
p +
=
−
 (11.70) 
 
cuja curva é comparada com a curva de reação do processo na Figura 11.26. 
 
 
 
221 
 
Figura 11.26 Curva de reação do processo do exemplo e sua aproximação por um sistema de 
primeira ordem com tempo morto obtida por mínimos quadrados. 
 
Utilizando as relações de Cohen-Coon (Tabela 11.1), obtêm-se os seguintes parâmetros do 
controlador PI: 
 
2220,1K c = 
4022,2I =τ 
 
Usando esses valores de cK e Iτ , foi obtida a resposta ao degrau unitário no setpoint 
mostrada na Figura 11.27. 
 
 
 
Figura 11.27 Resposta ao degrau no setpoint pelo método de Cohen-Coon usando modelo 
baseado no ajuste por mínimos quadrados. 
 
 
Exercícios 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
 
11.1 Em uma malha de controle temos os seguintes elementos: 
 
( )( )1s31s20
e5)s(G
s4
p ++
=
−
 
222 
 
 
1s2
2)s(G v += 
 
1s
1)s(G m
+
= 
 
e pretendemos usar um controlador PI. Daí, pede-se: 
 
a) Usar o Scilab para obter a resposta ao degrau unitário da malha aberta sem o controlador. 
b) Usar o método da curva de reação para obter o modelo aproximado da forma 
 
1s
eK)s(G)s(G)s(G
p
st
p
mvp
d
+τ
=
−
 
 
c) Sintonizar o controlador usando os métodos de Cohen-Coon e Ziegler-Nichols. 
d) Comparar as respostas da malha fechada com os dois controladores considerando um 
degrau no setpoint. 
e) Comparar as respostas para uma variação no distúrbio, considerando que 
 
1s10
2)s(G d += 
 
Solução 
 
Como o processo contém tempo morto, vamos usar o Xcos para gerar a curva de reação do 
processo. 
 
 
 
Figura 11.27 Modelo em Xcos para simular a malha aberta. 
 
223 
 
 
 
Figura 11.28 Curva de reação do processo. 
 
 
 
Figura 11.29 Reta tangente à curva no ponto de inflexão. 
 
 
 
224 
 
0,10K p = 
50,29p =τ 
34,8t d = 
 
Usando a Tabela 11.1, podemos obter os ajustes de Cohen-Coon: 
 
326,0
12
t
10
9
tK
1K d
d
c =





τ
+
τ
= 
 
6,17
t209
t330
t
d
d
dI =
τ+
τ+
=τ 
 
Usando a Tabela 11.4, podemos obter os ajustes de Ziegler-Nichols: 
 
317,0
tK
9,0K
d
c =




 τ
= 
 
9,27t33,3 dI ==τ 
 
d) 
 
 
 
Figura 11.30 Modelo em Xcos para simular o sistema de controle. 
 
225 
 
 
 
Figura 11.31 Resposta ao degrau no setpoint pelo método de Cohen-Coon baseado na linha 
tangente no ponto de inflexão. 
 
 
 
Figura 11.32 Resposta ao degrau no setpoint pelo método de Ziegler-Nichols baseado na linha 
tangente no ponto de inflexão. 
226 
 
 
 
e) 
 
 
 
Figura 11.33 Resposta ao distúrbio degrau pelo método de de Cohen-Coon baseado na linha 
tangente no ponto de inflexão. 
 
227 
 
 
 
Figura 11.34 Resposta ao distúrbio degrau pelo método de Ziegler-Nichols baseado na linha 
tangente no ponto de inflexão. 
 
 
Exercícios propostos 
 
 
11.2 Na malha do exercício anterior, usar o método de Sundaresan e Krishnaswamy para 
obter o modelo aproximado do item b). Resintonizar os controladores do item c) e comparar 
as respostas da malha fechada com as respostas do exercício anterior. 
 
11.3 Na malha de controle do Exercício 11.1, usar o método da oscilação permanente de 
Ziegler-Nichols para sintonizar um controlador PI e outro PID. Comparar as respostas da 
malha com os dois controladores. 
 
11.4 Para o sistema do Exercício 11.1, usar o modelo aproximado para sintonizar os 
controladores PI e PID pelo método da oscilação permanente. Comparar as respostas da 
malha fechada. 
 
11.5 Pretende-se controlar um processo com resposta inversa representado por 
 
( )
( )( )1s21s10
s12)s(G p ++
−
= 
 
com um controlador PI, que é o mais comum para esse tipo de processo. Admitindo que 
1)s(G)s(G vm == , sintonizar o controlador pelos seguintes métodos: 
228 
 
 
a) Método de Ziegler-Nichols da oscilação permanente. 
b) Método da curva de reação. 
 
Comparar as respostas dos dois controladores. 
 
11.6 O controlador PID interativo tem os modos integral e derivativo em série, ou seja: 
 
( )( )
s
1s1sK)s(G
I
DI
cc
τ
+τ+τ
= 
 
ao contrário do PID convencional que tem os modos integral e derivativo em paralelo, ou 
seja: 
 






τ+
τ
+= s
s
11K)s(G D
I
cc 
 
Verificar se existe diferença no comportamento dos dois controladores para o sistema do 
Exercício 11.1, usando a sintonia obtida no Exercício 11.3. 
 
 
 
 
 
229 
 
12 Método de sintonia baseado em otimização 
com Scilab. Comparação com métodos 
convencionais. 
 
 
 
12.1 Relações de projeto baseadas em critério de erro 
integral 
 
As relações de projeto baseadas em critério de erro integral utilizam índices de performance 
que consideram a resposta toda da malha fechada ( 0t = até atingir o estado estacionário). 
 
Um índice de performance é um número que indica a qualidade da performance do sistema. O 
princípio é selecionar um determinado índice de desempenho, obtendo-se assim uma única 
solução de projeto correspondente. Vários índices de performance têm sido propostos na 
literatura. Três índices populares são 
 
 
Integral do valor absoluto do erro (IAE) 
 
dt)t(IAE
0∫
∞
ε= (12.1) 
 
onde o sinal erro )t(ε é a diferença entre o setpoint e a medida. 
 
)t(y)t(y)t( sp −=ε (12.2) 
 
A integração é de 0 a ∞ porque o término da resposta não pode ser fixado de antemão. 
 
Uma interpretação gráfica do índice de performance IAE é mostrada nas Figuras 12.1 e 12. 2. 
A área hachurada é o valor do IAE. 
 
 
 
Figura 12.1 Integral do erro absoluto (variação no setpoint). 
 
230 
 
 
 
Figura 12.2 Integral do erro absoluto (variação na perturbação). 
 
 
Integral do erro ao quadrado (ISE) 
 
dt)t(ISE
0
2
∫
∞
ε= (12.3) 
 
A integral de )t(2ε de 0 a ∞ é a área total abaixo da curva )t(2ε . Uma característica deste 
índice de performance é que ele dá peso maior para erros grandes e peso menor para erros 
pequenos. 
 
 
Integral do erro absoluto ponderado pelo tempo (ITAE)dt)t(tITAE
0∫
∞
ε= (12.4) 
 
Este critério tem como característica que, na resposta ao degrau unitário do sistema, um erro 
inicial grande é ponderado com peso menor, e erros que ocorrem mais tarde na resposta 
transitória são bastante penalizados. 
 
Em todos os critérios de performance definidos acima, o limite superior ∞ pode ser 
substituído por T , que é escolhido grande o suficiente para que )t(ε seja desprezível para 
Tt > . 
 
Note, que a menos que 
 
0)t(lim
t
=ε
∞→
 (12.5) 
 
os índices de performance tendem a infinito. Se )t(lim
t
ε
∞→
 não tende a zero, podemos definir 
 
)t(y)(y)t( −∞=ε (12.6) 
 
Com essa definição do erro, os índices resultarão em números finitos, se o sistema é estável. 
 
 
Exemplo 12.1 
231 
 
 
Considere o sistema da Figura 12.3. 
 
 
 
Figura 12.3 Diagrama de blocos. 
 
As funções de transferência dadas por 
 
1s
20)s(G p += (12.7) 
 
1s
1)s(G d += (12.8) 
 






τ
+=
s
11K)s(G
I
cc (12.9) 
 
1)s(G)s(G fm == (12.10) 
 
Em malha fechada temos 
 
)s(d)s(G)s(G)s(G)s(G1
)s(G)s(y)s(G)s(G)s(G)s(G1
)s(G)s(G)s(G)s(y
mcfp
d
sp
mcfp
cfp
+
+
+
= 
 
)s(d
s
11K
1s
201
1s
1
)s(y
s
11K
1s
201
s
11K
1s
20
)s(y
I
c
sp
I
c
I
c






τ
+
+
+
++






τ
+
+
+






τ
+
+
= (12.11) 
 
232 
 
)s(d
1s
K20
11s
K20
s
K20)s(y
1s
K20
11s
K20
1s)s(y
c
I
2
c
I
c
I
sp
c
I
2
c
I
I
+





+τ+
τ
τ
+
+





+τ+
τ
+τ
=
 (12.12) 
 
ou 
 
( ) )s(d
1s2s
sK20)s(y
1s2s
1s)s(y 22 cIsp22 I +ζτ+τ
τ
+
+ζτ+τ
+τ
= (12.13) 
 
em que 
 
c
I
K20
τ
=τ (12.14) 
 
( )c
c
I K201
K202
1
+
τ
=ζ (12.15) 
 
Para selecionar os melhores valores de Kc e τ I , podemos usar ISE, IAE ou ITAE como 
critério de performance. Além disso, podemos escolher se a variação é na perturbação ou no 
setpoint. Finalmente, mesmo que tenhamos escolhido variação no setpoint, precisamos decidir 
que tipo de variação iremos considerar (isto é, degrau, senoidal, impulso). 
 
Vamos usar ISE e variação degrau unitário no setpoint. Assim, 
 
s
1
1s2s
1s)s(y 22 I +ζτ+τ
+τ
= (12.16) 
 
(se 1<ζ ) 
 
















ζ
ζ−
+
τ
ζ−−





τ
ζ−
τ
τ
ζ−
+= −
τζ− 2
122I
2
t 1
tan
t1sent1sen
1
e1)t(y (12.17) 
 
resolve-se o seguinte problema de otimização: 
 
[ ] dt)t(yyISEMinimizar 2
0 sp
,
∫
∞
ζτ
−= (12.18) 
 
As condições de otimalidade são 
 
0ISEISE =
∂ζ
∂
=
∂τ
∂
 (12.19) 
 
que resulta em *τ e *ζ ótimos e, consequentemente, Iτ e cK ótimos. 
233 
 
 
Analogamente, podemos usar ITAE e variação degrau unitário no setpoint. 
 
dt)t(yytITAEMinimizar
0 sp
,
∫
∞
ζτ
−= (12.20) 
 
As condições de otimalidade são 
 
0ITAEITAE =
∂ζ
∂
=
∂τ
∂
 (12.21) 
 
que resulta em *τ e *ζ ótimos e, consequentemente, Iτ e cK ótimos. 
 
Considerando agora variação degrau unitário na perturbação: 
 
( )
s
1
1s2s
sK20)s(y 22 cI +ζτ+τ
τ
= (12.22) 
 
(se 1<ζ ) 
 
( )






τ
ζ−
ζ−τ
τ
=
τζ− t1sen
1
eK20)t(y 2
2
t
cI
 (12.23) 
 
Têm sido desenvolvidas relações de projeto para controladores PID que minimizam esses 
critérios de erro integral para modelos de processos simples e um tipo particular de variação 
na perturbação ou no setpoint. O critério ISE tende a penalizar mais os erros maiores do que 
os critérios IAE ou ITAE. Em geral, ITAE é o preferido dentre os critérios de erro integral, 
desde que resulte em ajustes mais conservativos para os controladores. 
 
A Tabela 12.1 apresenta algumas relações de projeto que minimizam o índice de performance 
ITAE. Essas relações foram obtidas usando modelo de primeira ordem com tempo morto e 
controlador PID. Note que os ajustes ótimos do controlador são diferentes dependendo se a 
resposta ao degrau é para variação na perturbação ou no setpoint. Para variação na 
perturbação, as funções de transferência da perturbação e do processo são assumidas 
idênticas, isto é, pd GG = . 
 
Tabela 12.1 Relações de projeto baseadas no índice de performance ITAE e um modelo de 
sistema de primeira ordem com tempo mortoa. 
 Distúrbio Setpoint 
Tipo de 
controlador 
Modo A B A B 
P P 0,490 -1,084 
PI P 0,859 -0,977 
 I 0,674 -0,680 
PID P 1,357 -0,947 
 I 0,842 -0,738 
 D 0,381 0,995 
234 
 
PI P 0,586 -0,916 
 I 1,03b -0,165b 
PID P 0,965 -0,855 
 I 0,796b -0,147b 
 D 0,308 0,929 
aRelação de projeto: ( )BdtAY τ= , em que cKKY = para o modo proporcional, Iττ para o 
modo integral e ττD para o modo derivativo. 
bPara variações no setpoint, a relação de projeto para o modo integral é ( )τ+=ττ dI tBA . 
 
Relações de projeto semelhantes também foram obtidas para os outros dois índices. Essas 
relações são mostradas nas Tabelas 12.2 e 12.3 para os índices IAE e ISE, respectivamente. 
 
Tabela 12.2 Relações de projeto baseadas no índice de performance IAE e um modelo de 
sistema de primeira ordem com tempo mortoa. 
 Distúrbio Setpoint 
Tipo de 
controlador 
Modo A B A B 
P P 0,902 -0,985 
PI P 0,984 -0,986 
 I 0,608 -0,707 
PID P 1,435 -0,921 
 I 0,878 -0,749 
 D 0,482 1,137 
PI P 0,758 -0,861 
 I 1,02b -0,323b 
PID P 1,086 -0,869 
 I 0,740b -0,130b 
 D 0,348 0,914 
aRelação de projeto: ( )BdtAY τ= , em que cKKY = para o modo proporcional, Iττ para o 
modo integral e ττD para o modo derivativo. 
bPara variações no setpoint, a relação de projeto para o modo integral é ( )τ+=ττ dI tBA . 
 
Tabela 12.3 Relações de projeto baseadas no índice de performance ISE e um modelo de 
sistema de primeira ordem com tempo mortoa. 
 Distúrbio Setpoint 
Tipo de 
controlador 
Modo A B A B 
P P 1,411 -0,917 
PI P 1,305 -0,959 
 I 0,492 -0,739 
PID P 1,495 -0,945 
 I 1,101 -0,771 
 D 0,560 1,006 
aRelação de projeto: ( )BdtAY τ= , onde cKKY = para o modo proporcional, Iττ para o 
modo integral e ττD para o modo derivativo. 
 
 
235 
 
Exemplo 12.2 
 
Use a abordagem da integral do erro para obter os ajustes do controlador PI para variação na 
perturbação do processo com a função de transferência: 
 
1s2
e10)s(G
s
+
=
−
 (12.24) 
 
Suponha que a escolha do índice seja o ITAE, então consultando a Tabela 12.1 com 
perturbação como tipo de entrada e PI como o tipo de controlador; a relação de projeto para o 
modo proporcional é 
 
B
d
c
tAKK 





τ
= ⇒ 69,1
2
1859,0K10
977,0
c =





=
−
 (12.25) 
 
portanto, 
 
169,069,1
10
1K c =





= (12.26) 
 
e a relação de projeto para o modo integral é 
 
B
d
I
tA 





τ
=
τ
τ
 ⇒ 08,1
2
1674,02
680,0
I
=





=
τ
−
 (12.27) 
 
portanto, 
 
85,1
08,1
2
I ==τ (12.28) 
 
Caso a escolha do índice seja o IAE, a tabela a ser consultada seria a Tabela 12.2.E no caso 
da escolha do índice ISE, seria a Tabela 12.3. 
 
O resultado final está sumarizado no quadro a seguir. 
 
 
cK Iτ 
ISE 0,245 2,44 
IAE 0,195 2,02 
ITAE 0,169 1,85 
 
 
Exemplo 12.3 
 
Para o modelo de processo: 
 
236 
 
1s7
e4)s(G
s5,3
+
=
−
 (12.29) 
 
calcule os ajustes do controlador PI e PID baseados nas relações de projeto ITAE para 
variações na perturbação e no setpoint. 
 
Da Tabela 12.1 e para o controlador PI, temos: 
 
Variação na perturbação 
 
O ganho é calculado por 
 
69,1
7
5,3859,0KK
977,0
c =





=
−
 (12.30) 
 
423,0
4
69,1K c == (12.31) 
 
O tempo integral é calculado por 
 
08,1
7
5,3674,0
680,0
I
=





=
τ
τ
−
 (12.32) 
 
48,6
08,1
7
I ==τ (12.33) 
 
Variação no setpoint 
 
106,1
7
5,3586,0KK
916,0
c =





=
−
 (12.34) 
 
276,0
4
106,1K c == (12.35) 
 
O tempo integral é calculado por 
 
9475,0
7
5,3165,003,1
I
=





−=
τ
τ
 (12.36) 
 
39,7
9475,0
7
I ==τ (12.37) 
 
Da Tabela 12.1 e para o controlador PID, temos 
 
Variação na perturbação 
 
237 
 
O ganho é calculado por 
 
616,2
7
5,3357,1KK
947,0
c =





=
−
 (12.38) 
 
654,0
4
616,2K c == (12.39) 
 
O tempo integral é calculado por 
 
404,1
7
5,3842,0
738,0
I
=





=
τ
τ
−
 (12.40) 
 
98,4
404,1
7
I ==τ (12.41) 
 
O tempo derivativo é calculado por 
 
1912,0
7
5,3381,0
995,0
D
=





=
τ
τ
 (12.42) 
 
34,1)7(1912,0D ==τ (12.43) 
 
Variação no setpoint 
 
O ganho é calculado por 
 
739,1
7
5,3965,0KK
855,0
c =





=
−
 (12.44) 
 
435,0
4
739,1K c == (12.45) 
 
O tempo integral é calculado por 
 
7228,0
7
5,31465,0796,0
I
=





−=
τ
τ
 (12.46) 
 
69,9
7228,0
7
I ==τ (12.47) 
 
O tempo derivativo é calculado por 
 
1618,0
7
5,3308,0
929,0
D
=





=
τ
τ
 (12.48) 
238 
 
 
13,1)7(1618,0D ==τ (12.49) 
 
 
Exemplo 12.4 
 
Para o sistema de controle da Figura 12.4, compare as respostas ao degrau unitário na 
perturbação e no setpoint quando o controlador PI é sintonizado para IAE distúrbio e IAE 
setpoint. 
 
 
 
Figura 12.4 Sistema de controle. 
 
A função de transferência do processo: 
 
( )( )1s51s10
2)s(G
++
= (12.50) 
 
pode ser aproximada por: 
 
1s2,11
e2)s(G~
s3.4
+
≅
−
 (12.51) 
 
pelo método de Sundaresan e Krishnaswamy. As respostas ao degrau estão mostradas na 
Figura 12.5. 
 
239 
 
 
 
Figura 12.5 Resposta do processo ao degrau e sua aproximação por um sistema de primeira 
ordem com tempo morto. 
 
 
cK Iτ 
Cohen Coon 1,2107 8,0148 
IAE distúrbio 1,2644 9,3622 
IAE setpoint 0,8642 12,5001 
 
A Figura 12.6 compara as respostas ao degrau na perturbação usando a sintonia do mínimo 
IAE e de Cohen Coon. Note o bom desempenho esperado do controlador PI sintonizado pelo 
IAE perturbação, enquanto que o controlador sintonizado pelo IAE setpoint não teve bom 
desempenho. 
 
240 
 
 
 
Figura 12.6 Comparação das respostas de controladores PI com ajustes IAE e Cohen Coon. 
 
A Figura 12.7 compara as respostas ao degrau no setpoint usando a sintonia do IAE mínimo e 
de Cohen Coon. Note que agora o melhor desempenho foi do controlador PI sintonizado pelo 
IAE setpoint, enquanto que o controlador sintonizado pelo IAE distúrbio teve um desempenho 
razoável. 
 
 
 
241 
 
Figura 12.7 Comparação das respostas de controladores PI com ajustes IAE e Cohen Coon. 
 
Das Figuras 12.6 e 12.7 podemos observar que o projeto de controladores IAE para variações 
na perturbação resulta overshoots maiores para variações no setpoint, enquanto que o projeto 
para variações no setpoint produz respostas mais lentas a distúrbios na perturbação. 
 
 
Exemplo 12.5 
 
Para o mesmo sistema de controle do Exemplo 12.4, compare as respostas ao degrau unitário 
na perturbação com o controlador PI sintonizado para os critérios ITAE, IAE e ISE mínimos 
para variações na perturbação. 
 
 
 
Figura 12.8 Comparação das respostas de controladores PI com ajustes ITAE, IAE e ISE. 
 
Nessa comparação, podemos verificar que o controlador ISE forneceu erros relativamente 
menores do que os outros dois controladores, uma vez que o ISE pondera mais os erros 
grandes e pondera menos os erros menores. 
 
 
Exemplo 12.6 
 
Neste exemplo, mostraremos a minimização do índice IAE para variação no setpoint 
diretamente sobre a planta e não sobre o modelo FOPDT. Para isso, consideremos o seguinte 
processo: 
 
( )41s
1)s(G
+
= 
242 
 
 
O controlador é o PI. Assim, cK e Iτ serão determinados por um procedimento de 
minimização do índice 
 
dt)t(IAE
0∫
∞
ε= 
 
que corresponde à função objetivo do problema de otimização. Os dois parâmetros 
correspondem às variáveis de otimização. Para tanto, podemos usar a função fminsearch 
que calcula o mínimo irrestrito de uma função. 
 
Programa 
 
//Ajuste de controlador minimizando IAE distúrbio 
// 
clear 
clearglobal 
clc 
clf 
 
function I=IAE(x) 
 global Gp Gd Gf Gm ysp t s 
 Kc=x(1) 
 tauI=x(2) 
 if Kc>=0 & tauI>=0 then 
 Gc=Kc*(1+1/(tauI*s)) 
 Gload=Gd/(1+Gp*Gf*Gc*Gm) 
 raizes=roots(denom(Gload)) 
 for i=1:length(raizes) 
 if real(raizes(i))>0 then 
 I=1e20 
 else 
 sl=syslin('c',Gload) 
 y=csim('step',t,sl) 
 e=abs(ysp-y) 
 I=sum(e) 
 end 
 end 
 else 
 I=1e20 
 end 
endfunction 
 
global Gp Gd Gf Gm ysp t s 
 
s=poly(0,'s'); //ou s=%s; 
 
//Processo 
Gm=1 //função de transferência do medidor 
Gf=1 //função de transferência do elemento final de controle 
Gp=1/(s+1)^4 //função de transferência do processo 
Gd=Gp //função de transferência do processo Gd 
tf=50 
step=0.01 
t=0:step:tf 
ysp=zeros(1,length(t)) //setpoint 
x0=[0.9367;3.4779] //estimativa inicial de Kc e de tauI 
x=fminsearch(IAE,x0) //busca do mínimo 
243 
 
 
//Simulação da malha com a sintonia encontrada 
Kc=x(1) 
tauI=x(2) 
Gc=Kc*(1+1/(tauI*s)) 
Gload=Gd/(1+Gp*Gf*Gc*Gm) 
sl=syslin('c',Gload) 
y=csim('step',t,sl) 
disp('Sintonia IAE distúrbio encontrada pela otimização da planta') 
printf('Kc = %f\n',Kc) 
printf('tauI = %f\n',tauI) 
plot(t,ysp,t,y) 
xlabel('t') 
ylabel('y') 
 
Resultados 
 
Aplicando a função fminsearch, foram produzidos os resultados mostrados na janela de 
comandos do Scilab. A Figura 12.9 mostra a resposta transiente em malha fechada a uma 
variação degrau unitário na perturbação com a sintonia obtida via minimização do índice IAE. 
 
 
 Sintonia IAE distúrbio encontrada pela otimização da planta 
Kc = 1.656804 
tauI = 4.160361 
 
 
 
 
Figura 12.9 Resposta transiente a uma variação degrau unitário na perturbação minimizando 
IAE. 
 
244 
 
Usando esse procedimento, foram obtidos os ajustes do controlador PI utilizando os outros 
dois índices, ISE e ITAE. O quadro a seguir mostra os resultados. 
 
 
cK Iτ 
IAEdistúrbio 1,6568 4,1604 
ISE distúrbio 2,4494 5,5058 
ITAE distúrbio 1,1741 3,2809 
IAE setpoint 1,0229 3,5295 
ISE setpoint a 1,6381 5,3884 
ITAE setpoint 0,7036 2,7019 
 
A aproximação deste processo por um modelo FOPDT pelo método de Sundaresan e 
Krishnaswamy foi obtida no Capítulo 11 e reproduzida aqui por comodidade. 
 
1s0412,2
e)s(G
1475,2
+
=
−
 
 
De acordo com este modelo, as sintonias IAE, ISE e ITAE são 
 
 
cK Iτ 
IAE distúrbio 0,9367 3,4779 
ISE distúrbio 1,2440 4,3047 
ITAE distúrbio 0,8181 3,1331 
IAE setpoint 0,7261 2,9998 
ITAE setpoint 0,5598 2,3830 
 
A Figura 12.10 traz uma comparação da resposta transiente com controle PI utilizando os 
ajustes IAE distúrbio da Tabela 12.2 e os ajustes obtidos pela minimização de IAE da própria 
planta controlada. A curva resposta IAE distúrbio mostra um comportamento menos 
oscilatório e mais lento, pois os ajustes IAE distúrbio são mais conservativos do que os 
ajustes via minimização de IAE. 
 
245 
 
 
 
Figura 12.10 Comparação de controladores PI com ajustes IAE distúrbio da Tabela 12.2 e 
IAE mínimo. 
 
 
 
Exercícios 
 
 
Exercícios resolvidos 
 
 
12.1 Em uma malha de controle onde: 
 
( )4
s
p 1s
e1)s(G
+
=
−
 
 
1)s(G v = 
 
1)s(G m = 
 
( )4d 1s
1)s(G
+
= 
 
e o controlador é PID. É dado o programa sintonia_PID em Scilab para ajustar 
parâmetros de controladores PID usando rotinas de otimização em processos que contêm 
tempo morto: Daí, pede-se 
246 
 
 
a) Sintonizar o controlador para: 1) otimizar o ISE para um degrau no setpoint; 2) otimizar o 
ISE para um degrau no distúrbio. 
b) Repetir o item anterior usando na otimização o IAE. 
 
Programa 
 
//Sintonia do PI por otimização 
//Índice ISE ou IAE para variação no setpoint ou no distúrbio 
// 
clear 
clc 
 
function J=IE(x) 
 global Ap Bp Cp Dp Ad Bd Cd Dd yp_ yd_ dt Nsim td ysp disturbance 
 Kc=x(1) 
 tauI=x(2) 
 [nrp,ncp]=size(Ap) 
 [nrd,ncd]=size(Ad) 
 //Closed loop response 
 t=0 
 xp=zeros(nrp,1) 
 xd=zeros(nrd,1) 
 em1=0 
 em2=0 
 u=0 
 J=0 
 for k=1:Nsim 
 e=ysp-(yp_($)+yd_($)) 
 t=t+dt 
 u=u+Kc*(e-em1)+Kc/tauI*e*dt 
 d=disturbance 
 em2=em1 
 em1=e 
 xp=xp+(Ap*xp+Bp*u)*dt 
 xd=xd+(Ad*xd+Bd*d)*dt 
 yp_=[Cp*xp yp_(1:$-1)] 
 yd_=[Cd*xd yd_(1:$-1)] 
 y(k)=yp_($)+yd_($) 
 //J=J+abs(e)*dt //<--IAE 
 J=J+e^2*dt //<--ISE 
 end 
endfunction 
 
global Ap Bp Cp Dp Ad Bd Cd Dd yp_ yd_ dt Nsim td ysp disturbance 
s=%s 
 
Gp=1/(s+1)^4 //<--função de transferência Gp(s) sem tempo morto 
tdp=1 //<--tempo morto 
slp=tf2ss(Gp) 
Ap=slp(2) 
Bp=slp(3) 
Cp=slp(4) 
Dp=slp(5) 
 
Gd=1/(s+1)^4 //<--função de transferência Gd(s) sem tempo morto 
tdd=1 //<--tempo morto 
sld=tf2ss(Gd) 
Ad=sld(2) 
Bd=sld(3) 
247 
 
Cd=sld(4) 
Dd=sld(5) 
 
t0=0 
tf=100 
dt=0.1 
yp_=zeros(1,round(tdp/dt)) 
yd_=zeros(1,round(tdd/dt)) 
 
Nsim=round(tf/dt) 
ysp=1 //<--setpoint 
disturbance=0 //<--disturbance 
//PID initial parameters 
Kc=0.9367 
tauI=3.4779 
x0=[Kc;tauI] 
opt=optimset("TolX",1e-
4,"MaxFunEvals",10000*length(x0),"MaxIter",1000*length(x0)) 
[x,J]=fminsearch(IE,x0,opt) 
Kc=x(1) 
tauI=x(2) 
disp('Parâmetros ótimos') 
printf('Kc = %f\n',Kc) 
printf('tauI = %f\n',tauI) 
printf('\nJ = %f\n',J) 
[nrp,ncp]=size(Ap) 
[nrd,ncd]=size(Ad) 
//Simulating the closed loop with optimum tuning 
t=0 
xp=zeros(nrp,1) 
xd=zeros(nrd,1) 
yp_=zeros(1,round(tdp/dt)) 
yd_=zeros(1,round(tdd/dt)) 
em1=0 
em2=0 
u=0 
for k=1:Nsim 
 e=ysp-(yp_($)+yd_($)) 
 t=t+dt 
 u=u+Kc*(e-em1)+Kc/tauI*e*dt 
 d=disturbance 
 em2=em1 
 em1=e 
 xp=xp+(Ap*xp+Bp*u)*dt 
 xd=xd+(Ad*xd+Bd*d)*dt 
 yp_=[Cp*xp yp_(1:$-1)] 
 yd_=[Cd*xd yd_(1:$-1)] 
 y(k)=yp_($)+yd_($) 
end 
//Ploting the results 
t=0:dt:tf 
scf(1) 
clf 
plot(t,ysp*ones(length(t),1),'b:',t,[0;y],'b-') 
xlabel('t') 
ylabel('y') 
legend(['ysp';'y']) 
title('PI-ISE Kc='+string(Kc)+' tauI='+string(tauI)+'') //<-- 
 
 
248 
 
Solução 
 
a) Otimização do ISE 
 
Mudança do setpoint. 
 
 
 Parâmetros ótimos 
Kc = 0.954627 
tauI = 4.664133 
 
J = 3.844742 
 
 
 
 
Figura 12.11 Resposta ao degrau unitário no setpoint. 
 
Distúrbio degrau unitário. 
 
 
 Parâmetros ótimos 
Kc = 1.210769 
tauI = 4.994344 
 
J = 2.046410 
 
 
249 
 
 
 
Figura 12.12 Resposta ao distúrbio degrau unitário. 
 
b) Otimização do IAE 
 
Mudança do setpoint. 
 
 
 Parâmetros ótimos 
Kc = 0.643683 
tauI = 3.328338 
 
J = 5.527160 
 
 
250 
 
 
 
Figura 12.13 Resposta ao degrau unitário no setpoint. 
 
Distúrbio degrau unitário. 
 
 
 Parâmetros ótimos 
Kc = 0.817241 
tauI = 3.691313 
 
J = 4.874878 
 
 
251 
 
 
 
Figura 12.14 Resposta ao distúrbio degrau unitário. 
 
 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
12.2 Considere o sistema do Exercício 11.5. Obtenha a sintonia do controlador PI otimizando 
o índice ISE para variações no setpoint. Compare a sintonia com a sintonia que foi obtida pelo 
método da oscilação permanente no Exercício 11.5. 
 
12.3 Considere a malha de controle estudada no Exercício 8.4: 
 
 
 
 
Considere também que 
1s2
2)s(G pII += , 1s10
3)s(G pI += e cIIG (s) 5= 
Sabendo-se cIG (s) é um controlador PI, pede-se: 
252 
 
(a) determinar os parâmetros desse controlador que minimizem o ISE para uma variação em 
degrau em dII. 
(b) repita o item anterior para variação em degrau em dI. 
(c) compare as respostas da malha com as duas sintonia para variações em d1 e d2. 
 
12.4 Repita o item (a) do exercício anterior, considerando que a malha secundária interna está 
aberta. Para variação em dII compare as respostas do controlador com essa sintonia e a 
sintonia do item (a) considerando que a malha secundária está fechada. 
 
 
 
253 
 
13 Malhas complexas: Malhas em cascata. 
Controle antecipatório. Compensação de tempo 
morto. Sintonia de malhas complexas. 
 
 
 
 
 
 
Até agora, apresentamos e estudamos diversas ferramentas para a síntese e a análise de 
sistemas de controle por realimentação. Existem situações onde a ação de controle por 
realimentação não é suficiente para produzir a resposta desejada de um dado processo. 
Introduziremos neste capítulo várias estruturas de controle avançado que podem ser usadas, 
tais como controle em cascata, controle antecipatório, controle com compensação de tempo 
morto etc, que visam melhorar o comportamento da malha de controle do processo em relação 
ao que pode ser conseguido com o controle convencional PID. 
 
 
13.1 Controle em cascata 
 
Pelo que vimos até agora, é claro que manipulando apenas uma entrada, conseguimos 
controlar apenas uma saída. Entretanto, em alguns sistemas temos mais de uma saída medida 
que podem ser usadas no controle da saída principal. 
 
Uma desvantagem do controle feedback convencional é que ações corretivas para 
perturbações não se iniciam até que a variável controlada se desvie do seu setpoint e gere um 
erro na variável controlada. Uma maneira alternativa que melhora a resposta dinâmica a 
variações na perturbação é usar uma medida secundária e um controlador feedback secundário 
para o controle da variável secundária. A medida secundária deve ser tal que reconheça os 
efeitos do distúrbio mais rapidamente do que a variável controlada principal, embora a 
perturbação não seja necessariamente medida. Essa maneira de usar múltiplas malhas 
feedback é chamada de controle em cascata. 
 
Para mostrar a configuração docontrole em cascata, vamos considerar um sistema consistindo 
de duas partes, como mostra a Figura 13.1: processo I e processo II. O processo I (primário) 
tem a saída Iy como a variável que queremos controlar. O processo II (secundário) tem uma 
saída IIy que não temos interesse em controlar, mas que afeta a saída que queremos controlar, 
e deve ser, se possível, a principal perturbação para a variável controlada principal. Podemos 
observar que a perturbação Id afeta a saída Iy de forma mais rápida do que a perturbação 
IId , pois IId tem que passar antes pelo processo I antes de afetar Iy e, além disso, a variável 
manipulada IIu (entrada do processo II) atua sobre a saída do processo II e esta, por sua vez, é 
que afetará a saída Iy , que é a variável controlada. 
 
254 
 
 
 
Figura 13.1 Processo em malha aberta. 
 
O controle feedback convencional para esse sistema é mostrado na Figura 13.2. Nessa 
configuração, o controlador atua tanto para variações na perturbação Id quanto na 
perturbação IId , só que compensa com maior eficiência as variações em Id , por razões 
colocadas anteriormente. 
 
 
 
Figura 13.2 Controle feedback convencional. 
 
Agora, se pudermos controlar a saída do processo II, IIy , que é entrada do processo I, Iu , a 
despeito de variações em IId , então estas variações não chegarão a afetar significativamente a 
saída Iy . Essa é a idéia do controle em cascata. A Figura 13.3 mostra uma malha típica de 
controle em cascata. A malha é constituída basicamente por duas malhas de controle por 
realimentação, sendo uma chamada de “mestre” (primária) e a outra de “escrava” 
(secundária). A variável controlada para a malha mestre é a própria variável que se deseja 
controlar, enquanto a variável controlada para a malha escrava deve ser, se possível, a 
principal perturbação que afeta o sistema. 
 
 
255 
 
 
Figura 13.3. Controle em cascata. 
 
A Figura 13.3 mostra claramente o principal benefício com o controle em cascata, em que 
perturbações vindas da malha secundária são corrigidas pelo controlador secundário antes que 
elas afetem o valor da saída controlada primária. Esse importante benefício levou ao uso 
extensivo do controle em cascata nos processos químicos. 
 
O diagrama de blocos com as respectivas funções de transferência da estrutura de controle em 
cascata da Figura 13.3 é mostrado na Figura 13.4. 
 
 
 
Figura 13.4 Diagrama de blocos. 
 
Desse diagrama de blocos, as seguintes relações podem ser desenvolvidas: 
 
II
mIIpIIcII
spII
mIIpIIcII
pIIcII
III dGGG1
1y
GGG1
GG
yu
+
+
+
== (13.1) 
 
IIloadIIspIIspIIIII dGyGyu +== (13.2) 
 
e 
 
I
mIpIspIIcI
II
mIpIspIIcI
pIloadII
spI
mIpIspIIcI
pIspIIcI
I dGGGG1
1d
GGGG1
GG
y
GGGG1
GGG
y
+
+
+
+
+
= (13.3) 
 
A sintonia dos dois controladores de um sistema de controle em cascata é feita em duas 
etapas: 
 
Primeira etapa. Determinam-se os ajustes do controlador secundário cIIG usando um dos 
métodos de sintonia já vistos. Em geral, é usado na malha secundária um controlador P ou PI. 
Qualquer offset gerado pelo controlador P na malha secundária não é relevante, uma vez que 
não temos interesse em controlar a saída do processo secundário IIy em um setpoint definido. 
 
256 
 
Segunda etapa. Conhecidos os ajustes da malha secundária, escolhemos os ajustes para o 
controlador primário cIG . Normalmente, o controlador primário é um PI ou PID. 
 
 
Exemplo 13.1 
 
Considere um processo com as seguintes funções de transferência: 
 
( )( )1s1s5,0
1)s(G I,p ++= (13.4) 
 
e 
 
1s1,0
1)s(G II,p += (13.5) 
 
O processo secundário é mais rápido que o primário, como pode ser visto pelas respectivas 
constantes de tempo. Vamos comparar o desempenho entre a malha de controle feedback 
simples e a malha de controle em cascata para esse processo 
 
Controle feedback PI. Fazendo a aproximação do processo )s(G)s(G pIIpI por um modelo 
FOPDT pelo método de Sundaresan e Krishnaswamy, obtemos: 
 
1s1223,1
e)s(G
s5278,0
+
=
−
 (13.6) 
 
Os ajustes do controlador PI pelo método ZN via ensaio de resposta ao degrau são: 
9138,1K c = e 7576,1I =τ . Vamos simular a um distúrbio degrau unitário em IId . 
 
Programa 
 
//Controle feedback 
clear 
clc 
clearglobal 
 
s=%s 
 
//Processo I 
GpI=1/[(0.5*s+1)*(s+1)] //função de transferência 
GdI=1 
 
//Processo II 
GpII=1/(0.1*s+1) //função de transferência 
GdII=1 
 
//Medidor 
Gm=1 
 
//Controlador PI ZN 
Kc=1.9138 
257 
 
tauI=1.7576 
Gc=Kc*(1+1/(tauI*s)) 
 
//Simulação da malha de controle 
t=0:0.01:20 
//Variação degrau unitário na perturbação dII 
yspI=zeros(1,length(t)) //setpoint 
//Sistema linear 
sl=syslin('c',GpI/(1+Gc*GpII*GpI*Gm)); //definição do sistema linear 
y=csim('step',t,sl) 
//Plota gráficos 
scf(1) 
clf 
plot(t,yspI,t,y) 
xlabel('t') 
ylabel('y') 
legend(['Setpoint','y']) 
 
A Figura 13.5 mostra a resposta da malha de controle feedback ao distúrbio degrau unitário 
em IId . 
 
 
 
Figura 13.5 Resposta ao degrau unitário em IId da malha de controle feedback. 
 
 
Controle em cascata. Usando controle P na malha secundária e controle PI na malha 
primária. Como não há problema de estabilidade na malha secundária, pode-se usar valores 
elevados para o ganho II,cK para conseguir respostas rápidas em malha fechada para 
perturbações em IId . Uma vez escolhido o valor de II,cK para a malha secundária, ajustam-se 
258 
 
os valores de I,cK e I,Iτ . Os ajustes usados na simulação do controlador PI da malha primária 
são 12K I,c = e 1I,I =τ , e do ganho do controlador da malha secundária é 24K II,c = . 
 
Programa 
 
//Controle em cascata 
clear 
clc 
clearglobal 
 
s=%s 
 
//Malha primária 
GpI=1/[(0.5*s+1)*(s+1)] //função de transferência 
GdI=1 
GmI=1 
KcI=12 
tauII=1 
GcI=KcI*[1+1/(tauII*s)] 
 
//Malha secundária 
GpII=1/(0.1*s+1) //função de transferência 
GdII=1 
GmII=1 
KcII=24 
GcII=KcII 
GspII=GcII*GpII/(1+GcII*GpII*GmII) 
GloadII=1/(1+GcII*GpII*GmII) 
 
//Simulação da malha de controle em casacata fechada 
t=0:0.01:10 
//Variação degrau unitário na perturbação dII 
yspI=zeros(1,length(t)) //setpoint 
//Sistema linear 
sl=syslin('c',GloadII*GpI/(1+GcI*GspII*GpI*GmI)); //definição do sistema 
linear 
y=csim('step',t,sl) 
//Plota gráficos 
scf(1) 
clf 
plot(t,yspI,t,y) 
xlabel('t') 
ylabel('y') 
legend(['Setpoint','y']) 
 
A Figura 13.6 mostra a resposta malha de controle em cascata a uma variação degrau unitário 
em IId . 
 
259 
 
 
 
Figura 13.6 Resposta ao degrau unitário em IId da malha de controle em cascata. 
 
A comparação entre as duas respostas da saída a uma variação degrau unitário no distúrbio 
IId mostra um desempenho melhor para o sistema de controle em cascata, em que os desvios 
são bem menores. Pela Figura 13.6, podemos ver que a saída do sistema de controle em 
cascata praticamente não foi afetada (apenas cerca de 1,2% do caso sem cascata), ou seja, o 
distúrbio não causou nenhum efeito significativo na variável controlada. 
 
 
Exemplo 13.2 
 
Considere um processo com as seguintes funções de transferência de um processo composto 
por um trocador de calor e um reator como mostra a Figura13.7. 
 
 
 
260 
 
Figura 13.7 Controle feedback do reator. 
 
1s50
e19,0
)s(T
)s(c)s(G
s20
1
2A
I,p +
−
==
−
 (13.7) 
 
1s20
e57,0
)s(F
)s(T)s(G
s8
h
1
II,p +
==
−
 (13.8) 
 
e 
 
1s20
e
)s(P
)s(T)s(G
s8
h
1
II,d +
==
−(13.9) 
 
O processo secundário é mais rápido que o primário, como podemos ver pelas respectivas 
constantes de tempo e atrasos por transporte. Vamos comparar o desempenho da malha de 
controle feedback com o desempenho da malha de controle em cascata para esse processo 
 
Controle feedback PI. Para obter os ajustes do controlador PI, vamos, primeiramente, 
levantar a curva de reação do processo )s(G)s(G)s(F)s(c pIIpIh2A = aplicando uma 
perturbação degrau unitário na variável manipulada hF ( IIu ) e registrando-se a curva da 
variável medida 2Ac ( Iy ) versus tempo (Figura 13.8). 
 
 
Figura 13.8 Curva de reação do processo. 
 
Fazendo a aproximação do processo por um modelo FOPDT pelo método de Sundaresan e 
Krishnaswamy, obtemos: 
261 
 
 
1s2935,52
e1075,0)s(G
s8892,46
+
−
=
−
 (13.10) 
 
Portanto, os ajustes do controlador PI pelo método CC são: 1112,10K c −= e 9116,56I =τ . 
 
A simulação da malha de controle a um distúrbio degrau unitário em hP ( IId ) pode ser feita 
usando o modelo em Xcos da Figura 13.9. A resposta de Ac a essa perturbação é mostrada na 
Figura 13.10. O desvio máximo é de 0,1954. 
 
 
 
Figura 13.9 Modelo em Xcos para simular o sistema de controle feedback. 
 
 
 
262 
 
Figura 13.10 Resposta do controle feedback da planta. 
 
Controle em cascata. Vamos usar controle PI na malha secundária e também controle PI na 
malha primária. Os ajustes do controlador secundário cIIG podem ser calculados diretamente 
da função de transferência do processo II, que já se encontra na forma FOPDT. Os ajustes do 
controlador PI pelo método CC são: 0936,4K II,c = e 6824,14II,I =τ . 
 
Uma vez sintonizada a malha secundária, vamos ajustar o controlador cIG . Para tanto, 
fechamos a malha secundária. Com a malha primária aberta, damos uma variação degrau 
unitário em spIIy e registramos Iy . Esse procedimento gera a curva de reação do processo 
mostrado na Figura 13.11 e o modelo FOPDT dado pela equação 13.11. 
 
 
 
Figura 13.11 Curva de reação do processo. 
 
1s5465,49
e1892,0)s(G
s2622,26
+
−
=
−
 (13.11) 
 
Com esse modelo, podemos então calcular os ajustes do controlador PI e encontrar os 
seguintes valores: 4136,9K I,c −= e 3256,42I,I =τ . 
 
A simulação da malha de controle em cascata a um distúrbio degrau unitário em hP ( IId ) 
pode ser feita usando o modelo em Xcos da Figura 13.12. A resposta de 2Ac a essa 
perturbação é mostrada na Figura 13.13. 
 
263 
 
 
 
Figura 13.12 Modelo em Xcos para simular o sistema de controle em cascata. 
 
 
 
Figura 13.13 Resposta do controle em cascata da planta. 
 
A comparação entre as duas respostas da saída a uma variação degrau unitário no distúrbio hP 
mostra um desempenho melhor para o sistema de controle em cascata, em que os desvios são 
bem menores. Pela Figura 13.13, podemos ver que o distúrbio não causou um efeito 
significativo na variável controlada. O desvio máximo é de 0,0365, bem menor comparado a 
0,1954 do controle feedback. 
 
 
Exemplo 13.3 Controle em cascata de um reator CSTR encamisado 
 
O controle da temperatura de um reator químico é quase sempre uma variável crítica do 
processo, e o controle em cascata é frequentemente utilizado nesta aplicação. Considere o 
264 
 
CSTR mostrado na Figura 13.14. A reação é exotérmica e o calor gerado é removido pelo 
fluido de refrigeração, que circula na camisa do reator. O objetivo de controle é manter a 
temperatura do reator, T , constante no valor desejado. Possíveis perturbações no reator 
incluem a temperatura da alimentação iT e a temperatura do fluido refrigerante cT . A única 
variável manipulada é a vazão do fluido refrigerante cF . 
 
 
 
Figura 13.14 Reator CSTR. 
 
O modelo do reator é formado pelas equações: 
 
FF
dt
dV
i −= (13.12) 
 
VcekFccF
dt
)Vc(d
A
RTE
0AAii
A −
−−= (13.13) 
 
QVcekHFTCTFC
dt
)TV(dC ARTE0rpiipp −∆−ρ−ρ=ρ − (13.14) 
 
Vamos considerar que não há acúmulo na camisa, então o modelo da camisa é formado pelas 
equações: 
 
QTFCTFC0 ccpcccicpcc +ρ−ρ= (13.15) 
 
( ) ( )





 −+−
=
2
TTTTUAQ cci (13.16) 
 
O coeficiente global de troca térmica é relacionado com a vazão do fluido de refrigeração por: 
 
b
caFUA = (13.17) 
 
Então, substituindo as equações 13.15 e 13.17 na 13.16, resultará em: 
 
265 
 
( )ci
pcc
b
c
c
1b
c TT
C2
aFF
aFQ −
ρ
+
=
+
 (13.18) 
 
Se o volume do reator for constante, o modelo final do reator encamisado é dado pelas 
equações: 
 
( ) ARTE0AAiA cekccV
F
dt
dc
−
−−= (13.19) 
 
( ) ( )ci
pcc
b
c
cp
1b
c
A
p
RTE
0
ri TT
C2
aF
FCV
aF
c
C
ek
HTT
V
F
dt
dT
−








ρ
+ρ
−
ρ
∆−−=
+−
 (13.20) 
 
A linearização das equações 13.19 e 13.20 em torno de um ponto estacionário leva ao 
seguinte conjunto de equações lineares: 
 
( )
Ai
sAsAis
2
s
As
RTE
0
A
RTE
0
sA c
V
F
F
V
cc
T
RT
ceEk
cek
V
F
dt
cd s
s +
−
+−





+−=
−
−
 (13.21) 
 
( ) ( )
ci
p
s
i
s
c2
pcc
b
cs
csp
ciss
pcc
b
cs
cs
b
cs
sis
2
sp
As
RTE
0r
p
ss
A
p
RTE
0r
T
CV
UA
T
V
F
F
C2
aF
FVC
TT
C2
F
b
aFabF
F
V
TT
 
T
RTC
ceEkH
VC
UA
V
F
c
C
ekH
dt
Td ss
ρ
++








ρ
+ρ
−








ρ
+
−
−
+








ρ
∆
+
ρ
+−
ρ
∆
−=
−−
 (13.22) 
 
ou 
 
Ai111112A11
A cdFbTaca
dt
cd
+++= (13.23) 
 
ci23i22c222122A21 TdTdFbFbTacadt
Td
+++++= (13.24) 
 
em que: 
 






+−= − sRTE0
s
11 ekV
F
a 
 
2
s
As
RTE
0
12 RT
ceEk
a
s−
−= 
266 
 
 
( )
V
ccb AsAis11
−
= 
 
V
Fd s11 = 
 
p
RTE
0r
21 C
ekH
a
s
ρ
∆
−=
−
 
 








ρ
∆
+
ρ
+−=
−
2
sp
As
RTE
0r
p
ss
22 RTC
ceEkH
VC
UA
V
F
a
s
 
 
( )
V
TTb sis21
−
= 
 
( )
2
pcc
b
cs
csp
ciss
pcc
b
cs
cs
b
cs
22
C2
aFFVC
TT
C2
F
b
aFabF
b








ρ
+ρ
−








ρ
+
−= 
 
V
Fd s22 = 
 
p
s
23 CV
UAd
ρ
= 
 
A estrutura mais simples é a feedback, onde mede-se a temperatura T e manipula-se a vazão 
do fluido refrigerante cF (Figura 13.15). É claro que T responderá mais rapidamente a 
variações em iT do que a variações em cT . Portanto, o controle feedback é mais efetivo para 
compensar variações em iT e menos efetivo para compensar variações em cT . 
 
267 
 
 
 
Figura 13.15 Controle feedback do reator CSTR. 
 
Para acelerar a resposta do controle feedback a variações na temperatura do fluido refrigerante 
cT e tomar ações de controle antes que seu efeito seja sentido pelo reator, podemos adicionar 
uma segunda malha de controle feedback para a temperatura da camisa com seu setpoint 
determinado pelo controlador de temperatura do reator e formar o controle em cascata. Assim, 
se cT aumentar, antes que T seja afetada a malha secundária aumenta-se a vazão do fluido 
refrigerante para remover a quantidade de calor necessária para cT ficar constante. 
Analogamente, diminui-se a vazão do fluido