Lista 2

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TCM - Lista de Exercícios 2
Questão 1: Um gás está contido em um dis-
positivo vertical pistão-cilindro e sem atrito
(ver Figura 1). O pistão tem massa de 4 kg
e uma seção transversal de 35 cm2. Uma
mola comprimida acima do pistão exerce
uma força de 60N sobre ele. Se a pressão
atmosférica for de 95 kPa determine a pres-
são dentro do cilindro. Resposta: 123, 4 kPa.
Figura 1: Figura referente à questão 1.
Questão 2: Ummanômetro a mercúrio (ρ =
13600 kg/m3) está conectado a um duto de ar
para medir a pressão interna, como mostra a
Figura 2. A diferença nos níveis do manô-
metro é de 10mm e a pressão atmosférica
é de 100 kPa. (a) Julgando pela Figura 2,
determine se a pressão no duto está acima
ou abaixo da pressão atmosférica. (b) Deter-
mine a pressão absoluta no duto. Resposta:
101, 3 kPa.
Questão 3: A carga de 500 kg do macaco
hidráulico mostrado na Figura 3 deve ser
elevada despejando-se óleo (ρ = 780 kg/m3)
dentro de um tubo fino. Determine quão alto
h deve ser e o volume de óleo necessário para
começar a levantar o peso. O diâmetro do ci-
lindro maior é 1, 2m e o diâmetro do cilindro
Figura 2: Figura referente à questão 2.
Figura 3: Figura referente à questão 3.
menor é 1 cm. Resposta: 0, 567m.
Questão 4: Considere um manômetro de
fluido duplo preso a um tubo de ar mostrado
na Figura 4. A densidade de um fluido, ou
do inglês specific gravity SG, é a massa es-
pecífica do fluido dividida pela massa especí-
fica da água. Se a densidade do fluido 1 for
SG1 = 13, 55, determine a densidade do ou-
tro fluido para a pressão absoluta indicada
do ar. Tome a pressão atmosférica como
1
100 kPa. A massa específica da água a 4 ◦C
é ρ = 1000 kg/m3. Resposta: SG = 1, 34.
Figura 4: Figura referente à questão 4.
Questão 5: A diferença de pressão entre um
tubo de óleo e um tubo de água é medida por
um manômetro de fluido duplo, como mostra
a Figura 5. Para as alturas de fluido e den-
sidades dadas, calcule a diferença de pressão
∆P = PB − PA. Dados: massa específica da
água ρ = 1000 kg/m3 e aceleração gravitaci-
onal g = 9, 81m/s2. Resposta: 27, 6 kPa.
Figura 5: Figura referente à questão 5.
Questão 6: A pressão manométrica do ar no
tanque mostrado na Figura 6 é medida como
65 kPa. Determine a altura diferencial h da
coluna de mercúrio. Resposta: h = 0, 47m.
Questão 7: Os dois tanques de água estão
Figura 6: Figura referente à questão 6.
conectados entre si através de um manôme-
tro de mercúrio com tubos inclinados, como
mostra a Figura 7. Se a diferença de pressão
entre os dois tanques for de 20 kPa, calcule
a e θ. Resposta: a = 7, 5 cm e θ = 34, 0◦.
Figura 7: Figura referente à questão 7.
Questão 8: A água de um tanque é pres-
surizada a ar, e a pressão é medida por um
manômetro de vários fluidos, como mostra a
Figura 8. Determine a pressão manométrica
do ar no tanque se h1 = 0, 4m, h2 = 0, 6m
e h3 = 0, 8m. Considere as massas especí-
ficas da água, do óleo e do mercúrio como
1000 kg/m3, 850 kg/m3 e 13600kg/m3, res-
pectivamente. Resposta: P1,manometrica =
97, 8 kPa.
Questão 9: Calcule a força hidrostática,
e sua linha de ação, exercida pela água so-
bre uma superfície triangular submersa como
mostrado na Figura 9. A superfície é um tri-
ângulo isósceles com vértice A e base BC =
2m. Resposta: F = 130800N , yp = 3, 75m.
Questão 10: A comporta retangular AB, de
comprimento L e largura b (dimensão que en-
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Figura 8: Figura referente à questão 8.
Figura 9: Figura referente à questão 9.
tra na página), está articulada em B, como
mostra a Figura 10. Considere que a com-
porta tem peso desprezível. Determine a
força P , que atua perpendicularmente à su-
perfície, necessária para manter a comporta
em equilíbrio. O líquido possui massa espe-
cífica ρ. Resposta: P = ρgL2b sin θ/6.
Figura 10: Figura referente à questão 10.
Questão 11: A comporta circular ABC (Fi-
gura 11) tem um raio de 1m e é articulada
em B. Calcule a força P exatamente sufi-
ciente para impedir que a comporta se abra
quando h = 8m. Resposta: P = 7704N .
Questão 12: A barragem mostrada na Fi-
gura 12 tem 20m de largura e retém 7m de
água. Calcule a força resultante agindo na
barragem e o seu ponto de aplicação. Res-
posta: F = 5548 kN e hcp = 4, 667m.
Questão 13: O tanque mostrado na Figura
13 possui 6m de largura (dimensão que en-
tra na página) e é preenchido com um óleo
com massa específica ρ = 880 kg/m3. (a) De-
termine a intensidade e a localização da força
resultante que age sobre a superfície AB. (b)
Determine a força resultante que age sobre a
3
Figura 11: Figura referente à questão 11.
Figura 12: Figura referente à questão 12.
Figura 13: Figura referente à questão 13.
Figura 14: Figura referente à questão 14.
superfície BD. (c) A força resultante que
age sobre BD é igual ao peso do óleo no tan-
que? Explique. Resposta: (a) FAB = 615 kN
e yp = 4, 86m ; (b) FBD = 2, 52MN ; (c)
Não.
Questão 14: O tanque da Figura 14 ace-
lera para a direita com o líquido em movi-
mento de corpo rígido. (a) Calcule ax. (b)
Determine a pressão manométrica no ponto
A se o fluido possui massa específica ρ =
1260 kg/m3. Respostas: (a) 1, 28m/s2 e (b)
3460Pa.
Questão 15: O tanque de água na Figura
15 tem 12 cm de largura normal ao papel.
Se ele é acelerado para a direita em movi-
mento de corpo rígido a 6, 0m/s2 , calcule
(a) a profundidade da água no lado AB e (b)
a força causada pela pressão da água sobre
o painel AB. Considere que não há derrama-
mento. Resposta: (a) 16, 3 cm e (b) 15, 7N .
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Figura 15: Figura referente à questão 15.
Figura 16: Figura referente à questão 17.
Questão 16: Um cilindro aberto de 16 cm
de diâmetro e 27 cm de altura está cheio de
água. Calcule a rotação de corpo rígido em
torno do seu eixo central, em rpm, (a) para
a qual 1/3 da água será derramada para fora
e (b) para a qual o fundo começará a ficar
exposto. Resposta: (a) 224 rpm , (b) 275
rpm.
Questão 17: Para que rotação uniforme em
rpm em torno do eixo C o tubo em U da
Figura 16 assumirá a configuração mostrada?
Resposta: 138 rpm.
Questão 18: Seja o campo vetorial
~G = 2xz eˆx − 1
2
x2 eˆy − z2 eˆz .
Calcule o divergente e o rotacional de de ~G.
Resposta: 0 e (2xeˆy − xeˆz).
Questão 19: Seja f = f(x, y, z) uma função
escalar e ~G = Gx(x, y, z)eˆx +Gy(x, y, z)eˆy +
Gz(x, y, z)eˆz um campo vetorial. Mostre que
as seguintes relações são válidas:
(a) ~∇ · (f ~G) = ~G · ~∇f + f ~∇ · ~G
(b) ~∇ · (~∇× ~G) = 0
(c) ~∇× (~∇f) = ~0
(d) ~∇× (~∇× ~G) = ~∇(~∇ · ~G)−∇2 ~G
(e) (~G · ~∇)~G = 1
2
~∇(~G · ~G)− ~G× (~∇× ~G)
Questão 20: Sejam dois vetores ~A =
(1, 2, 3) e ~B = (−3, 0, 1). Calcule os produtos
escalar ~A · ~B, vetorial ~A× ~B e tensorial ~A~B.
Calcule também o produto tensorial ~B ~A.
Existe alguma relação entre ~A~B e ~B ~A? Res-
postas: ~A · ~B = 0, ~A× ~B = 2eˆx−10eˆy + 6eˆz,
~A~B =
 −3 0 1−6 0 2
−9 0 3

~B ~A =
 −3 −6 −90 0 0
1 2 3

Questão 21: Uma sonda fixa é colocada em
um escoamento de fluido e mede a pressão
e a temperatura como funções do tempo em
determinado local do escoamento, como es-
quematiza a Figura 17. Essa é uma medição
lagrangiana ou euleriana? Essa análise se as-
semelha à análise de sistema ou de volume
de controle? Justifique.
Questão 22: Considere o escoamento em re-
gime permanente, incompressível e bidimen-
sional através de um duto convergente, Fi-
gura 18. Um campo de velocidade aproxi-
mado simples para esse escoamento é
~v = (vx, vy) = (vo + bx) eˆx − (by) eˆy ,
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Figura 17: Figura referente à questão 21.
Figura 18: Figura referente à questão 22.
em que vo é a velocidade horizontal em x =
0. Observe que essa equação ignora os efei-
tos viscosos ao longo das paredes, mas é
uma aproximação razoável na maior parte do
campo de escoamento. Primeiro mostre que
esse campo de velocidade é incompressível.
Em seguidacalcule a aceleração material das
partículas de fluido que passam através desse
duto. Resposta: ~a = b(vo + bx) eˆx + b2y eˆy.
Questão 23: Um campo de velocidade per-
manente e bidimensional é dado pelas seguin-
tes componentes no plano xy
vx = 1, 1 + 2, 8x+ 0, 65y e
vy = 0, 98− 2, 1x− 2, 8y .
Esse campo de velocidade é incompressível?
Explique. Calcule o campo de aceleração,
e calcule a aceleração no ponto (x, y) =
(−2, 3). Resposta: Sim, é incompressível.
~a(x = −2, y = 3) = −9, 23 eˆx + 14, 37 eˆy.
Questão 24: Um campo de velocidade per-
manente, incompressível e bidimensional é
dado pelas seguintes componentes
vx = 0, 205 + 0, 97x+ 0.851y e
vy = −0, 509 + 0.953x− 0.97y .
Calcule o campo de aceleração e calcule a
aceleração no ponto x = 2 e y = 1, 5. Res-
posta: ~a(x = 2, y = 1, 5) = 3.27 eˆx + 3.32 eˆy.
Questão 25: Uma equação geral para um
campo de velocidade bidimensional e em re-
gime permanente que é linear nas direções
espaciais x é y é
~v = (vx, vy) = (C1 + a1x+ b1y) eˆx +
+(C2 + a2x+ b2y)eˆy ,
em que C1, C2, a1, a2, b1 e b2 são constantes.
(a) Calcule as componentes x e y do campo
de aceleração. Resposta: ax = (C1 + a1x +
b1y)a1 +(C2 +a2x+b2y)b1 ; ay = (C1 +a1x+
b1y)a2 + (C2 + a2x+ b2y)b2.
(b) Qual relação deve existir entre os coefi-
cientes para garantir que o campo de escoa-
mento seja incompressível? Resposta: a1 +
b2 = 0.
(c) Calcule o vetor vorticidade ~Ω. Resposta:
~Ω = (a2 − b1) eˆz.
Questão 26: Considere o escoamento de
Couette - o escoamento entre duas placas pa-
ralelas infinitas separadas pela distância h,
com a placa superior se movendo com velo-
cidade V e a placa inferior fixa, como ilustra
a Figura 19. O escoamento é em regime per-
manente, incompressível e bidimensional no
plano xy. O campo de velocidade é dado por:
~v = V
y
h
eˆx + 0 eˆy .
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Mostre que esse escoamento é incompressível.
Esse escoamento é rotacional ou irrotacional?
Se ele for rotacional, calcule a componente
da vorticidade na direção z. As partículas de
fluido desse escoamento giram no sentido ho-
rário ou anti-horário? Respostas : rotacional,
−V/h.
Figura 19: Figura referente à questão 26.
Questão 27: Considere o escoamento de
Poiseuille totalmente desenvolvido e bidi-
mensional - o escoamento entre duas placas
paralelas separadas pela distância h, com as
placas superior e inferior fixas, e um gradi-
ente de pressão forçado dP/dx movendo o
escoamento como ilustra a Figura 20. Para
esse escoamento dP/dx é uma constante ne-
gativa. O escoamento é incompressível, em
regime permanente e bidimensional no plano
xy. As componentes da velocidade são dadas
por:
~v =
1
2µ
dP
dx
(y2 − hy) eˆx + 0 eˆy ,
em que µ é a viscosidade do fluido. Esse es-
coamento é rotacional ou irrotacional? Se ele
for rotacional, calcule o vetor vorticidade ~Ω.
As partículas de fluido desse escoamento gi-
ram no sentido horário ou anti-horário? Res-
posta: O escoamento é rotacional.
~Ω = − 1
2µ
dP
dx
(2y − h) eˆz .
Figura 20: Figura referente à questão 27.
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