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II -A- AULA - EQUAÇÃO DE TCM
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II AULA TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA • EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO DE CALOR 𝟖𝟎 Τ𝑾 𝒎𝟐 𝟓𝟎 °𝑪 Batata assada quente Magnitude da temperatura no ponto A (sem direção) Magnitude e direção de fluxo de calor no ponto A 𝑨 Transferência de calor tem direção magnitude, portanto é uma grandeza vetorial INTRODUÇÃO Meio frio Meio quente Meio frio 0 L x ሶ𝑸 = 𝟓𝟎𝟎𝑾 Meio quente 0 L x ሶ𝑸 = −𝟓𝟎𝟎𝑾 Direção da transferência de calor (positiva na direção positiva e negativa na direção negativa) INTRODUÇÃO Coordenadas retangulares INTRODUÇÃO 𝒛 𝒙 𝒚 𝑷(𝒙, 𝒚, 𝒛) 𝒙 𝒚 𝒛 𝑻(𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝒕)Temperatura no ponto 𝒙, 𝒚, 𝒛 no tempo t: 𝑷 𝒓, ∅, 𝒛 𝒛 𝒚 𝒙 ∅ 𝒓 𝒛 Coordenadas cilíndricas INTRODUÇÃO 𝑻(𝒓,𝝓, 𝒛, 𝒕)Temperatura no ponto 𝒓,𝝓, 𝒛 no tempo t: ∅ 𝒛 𝒓 𝜽 𝒚 𝒙 𝑷(𝒓, ∅, 𝜽) Coordenadas esféricas ou polares INTRODUÇÃO 𝑻(𝒓,𝝓, 𝜽, 𝒕)Temperatura no ponto 𝒓,𝝓, 𝜽 no tempo t: Transferência de calor permanente versus transiente Transferência de calor em regime permanente em uma parede 15 °C 7 °C ሶ𝑸𝟏 ∆𝑻 = 𝟐𝒎𝒊𝒏 ሶ𝑸𝟐 = ሶ𝑸𝟏 15 °C 7 °C ∆𝑻 = 𝟓𝒎𝒊𝒏 INTRODUÇÃO Permanente implica que não há variação em nenhum ponto no meio ao longo do tempo. A temperatura, por exemplo, pode variar de uma posição para outra, mas não em relação ao tempo. 15 °C 7 °C ሶ𝑸𝟏 ∆𝑻 = 𝟐𝒎𝒊𝒏 ሶ𝑸𝟐 ≠ ሶ𝑸𝟏 12 °C 5 °C ∆𝑻 = 𝟓𝒎𝒊𝒏 Transferência de calor em regime transiente em uma parede INTRODUÇÃO Transferência de calor permanente versus transiente Transiente implica que há variação ao longo do tempo ou dependência do tempo. A temperatura, por exemplo, varia com o tempo e posição. INTRODUÇÃO Transferência de calor permanente versus transiente No caso específico de variação apenas com o tempo e não com a posição, a temperatura do meio, por exemplo, varia uniformemente com o tempo Transferência de calor multidimensional Transferência de calor Unidimensional Bidimensional Tridimensional INTRODUÇÃO Distribuição da temperatura em função do sistema de coordenadas: Cartesianas x, y, z 𝑻 𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝒕 Cilíndricas 𝒓, ∅, 𝒛 𝑻 𝒓, ∅, 𝒛, 𝒕 Esféricas 𝒓, ∅, 𝜽 𝑻 𝒓, ∅, 𝜽, 𝒕 INTRODUÇÃO Transferência de calor multidimensional 65 °C 70 °C 65 °C 70 °C 70 °C 80 °C 80 °C 80 °C 65 °Cy x ሶ𝑸𝒚 ሶ𝑸𝒙 Transferência de calor bidimensional em uma barra longa retangular 𝑻(𝒙, 𝒚) INTRODUÇÃO Transferência de calor multidimensional Transferência de calor bidimensional A transferência de calor pela janela de uma casa pode ser considerada unidimensional Transferência de calor multidimensional 𝑻(𝒙) INTRODUÇÃO Transferência de calor unidimensional ሶ𝑸𝒄𝒐𝒏𝒅 = −𝒌𝑨 𝒅𝑻 𝒅𝒙 𝑾 𝑻(𝒙) 𝒅𝑻 𝒅𝒙 < 𝟎Inclinação 𝑻 𝒙 ሶ𝑸 > 𝟎 Fluxo de calor O gradiente de temperatura dT/dx é simplesmente a inclinação da curva da temperatura em um diagrama T-x Lei da condução de calor de Fourier (unidimensional) Transferência de calor multidimensional ሶ𝑸𝒄𝒐𝒏𝒅 = −𝒌𝑨 𝝏𝑻 𝝏𝒏 𝑾 Lei da condução de calor de Fourier (Tridimensional) ሶ𝑸𝒏 = ሶ𝑸𝒙Ԧ𝒊 + ሶ𝑸𝒚 Ԧ𝒋 + ሶ𝑸𝒛𝒌 O vetor da transferência de calor é sempre normal à superfície isotérmica e pode ser decomposto em seus componentes como qualquer outro vetor 𝑨𝒚 𝑨𝒙 𝑨𝒛 ሶ𝑸𝒛 ሶ𝑸𝒙 ሶ𝑸𝒚 Isotérmica 𝒙 𝑷 z 𝒚 𝒏 Transferência de calor multidimensional Lei da condução de calor de Fourier (Tridimensional) ሶ𝑸𝒏 = ሶ𝑸𝒙Ԧ𝒊 + ሶ𝑸𝒚 Ԧ𝒋 + ሶ𝑸𝒛𝒌 ሶ𝑸𝒙 = −𝒌𝑨𝒙 𝝏𝑻 𝝏𝒙 ሶ𝑸𝒚 = −𝒌𝑨𝒚 𝝏𝑻 𝝏𝒚 ሶ𝑸𝒛 = −𝒌𝑨𝒛 𝝏𝑻 𝝏𝒛 𝑨𝒚 𝑨𝒙 𝑨𝒛 ሶ𝑸𝒛 ሶ𝑸𝒙 ሶ𝑸𝒚 Isotérmica 𝒙 𝑷 z 𝒚 𝒏 Para materiais isotrópicos, não é necessário se preocupar com a direção da variação das propriedades Geração de calor INTRODUÇÃO A condução de calor através de um meio pode envolver conversão de energia mecânica, elétrica, nuclear ou química em calor (energia térmica). Geração de calor 𝒙 Água Energia solar absorvida pela água ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 𝒙 = ሶ𝒒𝒔,𝒂𝒃𝒔 𝒙 A absorção da radiação solar pela água pode ser tratada como geração de calor SolINTRODUÇÃO Geração de calor é um fenômeno volumétrico, ou seja ocorre por todo um corpo ou meio ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓 = න 𝑽 ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓𝒅𝑽 𝑾 ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 Τ𝑾 𝒎𝟑 Taxa de calor gerado por unidade de volume Taxa total de calor gerado no meio, de volume V INTRODUÇÃO Geração de calor Para casos específicos quando a geração de calor é uniforme: ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓 = ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓. 𝑽 ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 Taxa de geração de calor constante por unidade de volume INTRODUÇÃO Geração de calor Geração de calor em um secador de cabelo O fio da resistência de um secador de cabelo de 1.200 W tem 80 cm de comprimento e diâmetro D = 0,3 cm. Determine a taxa de geração de calor no fio por unidade de volume, em W/cm3 , e o fluxo de calor na superfície externa do fio como resultado da geração de calor. A taxa de calor gerado no fio Potência consumida pelo aquecedor elétrico ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓 𝑽𝒇𝒊𝒐 Taxa de geração de calor no fio ሶ𝑸𝒔 = ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓 𝑨𝒇𝒊𝒐 Fluxo de calor na superfície externa do fio ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓 𝑽𝒇𝒊𝒐 ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓 = 𝟏. 𝟐𝟎𝟎𝑾 𝑽𝒇𝒊𝒐 = Τ𝝅𝑫 𝟐 𝟐 𝑳 = Τ𝝅 𝟎, 𝟑 𝒄𝒎 𝟐 𝟒 𝟖𝟎 𝒄𝒎 ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝟏. 𝟐𝟎𝟎𝑾 Τ𝝅 𝟎, 𝟑 𝒄𝒎 𝟐 𝟒 𝟖𝟎 𝒄𝒎 ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝟐𝟏𝟐 Τ𝑾 𝒄𝒎 𝟑 Fluxo de calor na superfície externa do fio ሶ𝑸𝒔 = ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓 𝑨𝒇𝒊𝒐 ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓 = 𝟏. 𝟐𝟎𝟎𝑾 𝑨𝒇𝒊𝒐 = 𝝅𝑫𝑳 = 𝝅 𝟎, 𝟑 𝒄𝒎 𝟖𝟎 𝒄𝒎 ሶ𝑸𝒔 = 𝟏. 𝟐𝟎𝟎𝑾 𝝅 𝟎, 𝟑 𝒄𝒎 𝟖𝟎 𝒄𝒎 ሶ𝑸𝒔 = 𝟏𝟓, 𝟗 Τ𝑾 𝒄𝒎 𝟑 EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL 𝒙 𝒙 𝑳 𝑨 𝒙 + ∆𝒙 Elemento de volume ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓 ሶ𝑸𝒙 ሶ𝑸𝒙+∆𝒙 Condução de calor unidimensional através de um elemento de volume em extensa parede plana 𝑨𝒙 = 𝑨𝒙+∆𝒙 = 𝑨 ሶ𝑸𝒙 − ሶ𝑸𝒙+∆𝒙 + ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓,𝒆𝒍𝒆𝒎 = ∆𝑬𝒆𝒍𝒆𝒎 ∆𝒕 Equação de condução de calor em uma extensa parede plana O balanço de energia durante um pequeno intervalo de tempo Δt pode ser expresso como: ሶ𝑸𝒙 − ሶ𝑸𝒙+∆𝒙 + ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓,𝒆𝒍𝒆𝒎 = ∆𝑬𝒆𝒍𝒆𝒎 ∆𝒕 EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL Equação de condução de calor em uma extensa parede plana Taxa de condução de calor em x Taxa de condução de calor em x + ∆x Taxa de geração de calor dentro do elemento Taxa de variação da energia contida no elemento − + = Balanço de energia: ሶ𝑸𝒙 − ሶ𝑸𝒙+∆𝒙 + ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓,𝒆𝒍𝒆𝒎 = ∆𝑬𝒆𝒍𝒆𝒎 ∆𝒕 EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL Equação de condução de calor em uma extensa parede plana ∆𝑬𝒆𝒍𝒆𝒎= 𝑬𝒕+∆𝒕 − 𝑬𝒕 ∆𝑬𝒆𝒍𝒆𝒎= 𝒎𝒄 𝑻𝒕+∆𝒕 − 𝑻𝒕 ∆𝑬𝒆𝒍𝒆𝒎= 𝝆𝒄𝑨∆𝒙 𝑻𝒕+∆𝒕 − 𝑻𝒕 Variação da quantidade de energia do elemento ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓,𝒆𝒍𝒆𝒎 = ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓𝑽𝒆𝒍𝒆𝒎 ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓,𝒆𝒍𝒆𝒎 = ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓𝑨∆𝒙 Taxa de geração de calor no interior ሶ𝑸𝒙 − ሶ𝑸𝒙+∆𝒙 + ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓,𝒆𝒍𝒆𝒎 = ∆𝑬𝒆𝒍𝒆𝒎 ∆𝒕 ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓,𝒆𝒍𝒆𝒎 = ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓𝑨∆𝒙 ∆𝑬𝒆𝒍𝒆𝒎= 𝝆𝒄𝑨∆𝒙 𝑻𝒕+∆𝒕 − 𝑻𝒕 ሶ𝑸𝒙 − ሶ𝑸𝒙+∆𝒙 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓𝑨∆𝒙 = 𝝆𝒄𝑨∆𝒙 𝑻𝒕+∆𝒕 − 𝑻𝒕 ∆𝒕 ÷ 𝑨∆𝒙 − 𝟏 𝑨 ሶ𝑸𝒙+∆𝒙 − ሶ𝑸𝒙 ∆𝒙 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝝆𝒄 𝑻𝒕+∆𝒕 − 𝑻𝒕 ∆𝒕 ∆𝒙 → 𝟎 ∆𝒕 → 𝟎 𝟏 𝑨 𝝏 𝝏𝒙 𝒌𝑨 𝝏𝑻 𝝏𝒙 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝝆𝒄 𝝏𝑻 𝝏𝒕 EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL Equação de condução de calor em uma extensa parede plana 𝟏 𝑨 𝝏 𝝏𝒙 𝒌𝑨 𝝏𝑻 𝝏𝒙 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝝆𝒄 𝝏𝑻 𝝏𝒕 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒙→𝟎 ሶ𝑸𝒙+∆𝒙 − ሶ𝑸𝒙 ∆𝒙 = 𝝏 ሶ𝑸 𝝏𝒙 = 𝝏 𝝏𝒙 −𝒌𝑨 𝝏𝑻 𝝏𝒙 𝝏 𝝏𝒙 𝒌 𝝏𝑻 𝝏𝒙 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝝆𝒄 𝝏𝑻 𝝏𝒕 Condutividade variável EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL Equação de condução de calor em uma extensa parede plana Equação de condução de calor transiente unidimensional: 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒙𝟐 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 𝒌 = 𝟏 𝜶 𝝏𝑻 𝝏𝒕 Condutividade constante 𝜶 = Τ𝒌 𝝆𝒄 Difusividade térmica EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL Equação de condução de calor em uma extensa parede plana Equação de condução de calor transiente unidimensional, assumindo que a condutividade térmica permaneça constante no valor médio. 𝝏 𝝏𝒙 𝒌 𝝏𝑻 𝝏𝒙+ ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝝆𝒄 𝝏𝑻 𝝏𝒕 Condutividade variável Equação de condução de calor transiente unidimensional • Regime permanente: 𝒅𝟐𝑻 𝒅𝒙𝟐 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 𝒌 = 𝟎 Τ𝝏 𝝏𝒕 = 𝟎 • Regime permanente sem geração de calor: 𝒅𝟐𝑻 𝒅𝒙𝟐 = 𝟎 Τ𝝏 𝝏𝒕 = 𝟎 𝒆 ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝟎 • Regime transiente sem geração de calor: 𝒅𝟐𝑻 𝒅𝒙𝟐 = 𝟏 ∝ 𝝏𝑻 𝝏𝒕 ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝟎 EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL Equação de condução de calor em uma extensa parede plana 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒙𝟐 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 𝒌 = 𝟏 𝜶 𝝏𝑻 𝝏𝒕 ሶ𝑸𝒙 − ሶ𝑸𝒙+∆𝒙 + ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓,𝒆𝒍𝒆𝒎 = ∆𝑬𝒆𝒍𝒆𝒎 ∆𝒕 EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒙𝟐 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 𝒌 = 𝟏 𝜶 𝝏𝑻 𝝏𝒕 Equação geral unidimensional 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒙𝟐 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 𝒌 = 𝟏 𝜶 𝝏𝑻 𝝏𝒕 𝟎 Sem geração 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒙𝟐 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 𝒌 = 𝟏 𝜶 𝝏𝑻 𝝏𝒕 𝟎 Regime permanente 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒙𝟐 = 𝟎 Permanente, unidimensional Simplificação da equação de condução de calor unidimensional em um parede plana para o caso de condutividade constante para a condução permanente sem geração de calor. Elemento de volume 𝒓ሶ𝑸𝒓+∆𝒓 ሶ𝑸𝒓 𝟎 𝒓 ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓 𝑳 𝒓 + ∆𝒓 Equação de condução de calor em um cilindro longo ሶ𝑸𝒓 − ሶ𝑸𝒓+∆𝒓 + ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓,𝒆𝒍𝒆𝒎 = ∆𝑬𝒆𝒍𝒆𝒎 ∆𝒕 EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL O balanço de energia durante um pequeno intervalo de tempo Δt pode ser expresso como: Equação de condução de calor em um cilindro longo EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL ሶ𝑸𝒓 − ሶ𝑸𝒓+∆𝒓 + ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓,𝒆𝒍𝒆𝒎 = ∆𝑬𝒆𝒍𝒆𝒎 ∆𝒕 Taxa de condução de calor em r Taxa de condução de calor em r +∆r Taxa de geração de calor dentro do elemento Taxa de variação da energia contida no elemento − + = Balanço de energia: ሶ𝑸𝒓 − ሶ𝑸𝒓+∆𝒓 + ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓,𝒆𝒍𝒆𝒎 = ∆𝑬𝒆𝒍𝒆𝒎 ∆𝒕 Equação de condução de calor em um cilindro longo EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL 𝑨 = 𝟐𝝅𝒓𝑳 ∆𝑬𝒆𝒍𝒆𝒎= 𝑬𝒕+∆𝒕 − 𝑬𝒕 ∆𝑬𝒆𝒍𝒆𝒎= 𝒎𝒄 𝑻𝒕+∆𝒕 − 𝑻𝒕 ∆𝑬𝒆𝒍𝒆𝒎= 𝝆𝒄𝑨∆𝒓 𝑻𝒕+∆𝒕 − 𝑻𝒕 Variação da quantidade de energia do elemento ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓,𝒆𝒍𝒆𝒎 = ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓𝑽𝒆𝒍𝒆𝒎 ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓,𝒆𝒍𝒆𝒎 = ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓𝑨∆𝒓 Taxa de geração de calor no interior ሶ𝑸𝒓 − ሶ𝑸𝒓+∆𝒓 + ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓,𝒆𝒍𝒆𝒎 = ∆𝑬𝒆𝒍𝒆𝒎 ∆𝒕 ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓,𝒆𝒍𝒆𝒎 = ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓𝑨∆𝒓 ∆𝑬𝒆𝒍𝒆𝒎= 𝝆𝒄𝑨∆𝒓 𝑻𝒕+∆𝒕 − 𝑻𝒕 ሶ𝑸𝒓 − ሶ𝑸𝒓+∆𝒓 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓𝑨∆𝒓 = 𝝆𝒄𝑨∆𝒓 𝑻𝒕+∆𝒕 − 𝑻𝒕 ∆𝒕 ÷ 𝑨∆𝒓 − 𝟏 𝑨 ሶ𝑸𝒓+∆𝒓 − ሶ𝑸𝒓 ∆𝒓 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝝆𝒄 𝑻𝒕+∆𝒕 − 𝑻𝒕 ∆𝒕 ∆𝒓 → 𝟎 ∆𝒕 → 𝟎 𝟏 𝑨 𝝏 𝝏𝒓 𝒌𝑨 𝝏𝑻 𝝏𝒓 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝝆𝒄 𝝏𝑻 𝝏𝒕 Equação de condução de calor em um cilindro longo EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL 𝟏 𝑨 𝝏 𝝏𝒓 𝒌𝑨 𝝏𝑻 𝝏𝒓 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝝆𝒄 𝝏𝑻 𝝏𝒕 Condutividade variável 𝟏 𝒓 𝝏 𝝏𝒓 𝒓𝒌 𝝏𝑻 𝝏𝒓 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝝆𝒄 𝝏𝑻 𝝏𝒕 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒙→𝟎 ሶ𝑸𝒓+∆𝒓 − ሶ𝑸𝒓 ∆𝒓 = 𝝏 ሶ𝑸 𝝏𝒓 = 𝝏 𝝏𝒓 −𝒌𝑨 𝝏𝑻 𝝏𝒓 𝑨 = 𝟐𝝅𝒓𝑳 Equação de condução de calor em um cilindro longo EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL Equação da condução de calor transiente unidimensional no cilindro 𝟏 𝒓 𝝏 𝝏𝒓 𝒓𝒌 𝝏𝑻 𝝏𝒓 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝝆𝒄 𝝏𝑻 𝝏𝒕 Condutividade térmica variável 𝟏 𝒓 𝝏 𝝏𝒓 𝒓 𝝏𝑻 𝝏𝒓 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 𝒌 = 𝟏 𝜶 𝝏𝑻 𝝏𝒕 Condutividade térmica constante 𝜶 = Τ𝒌 𝝆𝒄 Difusividade térmica Equação de condução de calor em um cilindro longo EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL Equação da condução de calor transiente unidimensional no cilindro Equação de condução de calor transiente unidimensional, assumindo que a condutividade térmica permaneça constante no valor médio. • Regime permanente: 𝟏 𝒓 𝒅 𝒅𝒓 𝒓 𝒅𝑻 𝒅𝒓 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 𝒌 = 𝟎 Τ𝝏 𝝏𝒕 = 𝟎 • Regime transiente sem geração de calor: 𝟏 𝒓 𝝏 𝝏𝒓 𝒓 𝝏𝑻 𝝏𝒓 = 𝟏 𝜶 𝝏𝑻 𝝏𝒕 ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝟎 • Regime permanente sem geração de calor: 𝒅 𝒅𝒓 𝒓 𝒅𝑻 𝒅𝒓 = 𝟎 Τ𝝏 𝝏𝒕 = 𝟎 𝒆 ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝟎 Equação de condução de calor em um cilindro longo EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL 𝟏 𝒓 𝝏 𝝏𝒓 𝒓 𝝏𝑻 𝝏𝒓 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 𝒌 = 𝟏 𝜶 𝝏𝑻 𝝏𝒕 ሶ𝑸𝒓 − ሶ𝑸𝒓+∆𝒓 + ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓,𝒆𝒍𝒆𝒎 = ∆𝑬𝒆𝒍𝒆𝒎 ∆𝒕 Equação de condução de calor em um cilindro longo 𝟏 𝒓 𝝏 𝝏𝒓 𝒓 𝝏𝑻 𝝏𝒕 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 𝒌 = 𝟏 𝜶 𝝏𝑻 𝝏𝒕 a. Forma pronta para integrar b. Forma alternativa equivalente 𝒅 𝒅𝒓 𝒓 𝒅𝑻 𝒅𝒓 = 𝟎 𝒓 𝒅𝟐𝑻 𝒅𝒓𝟐 = 𝒅𝑻 𝒅𝒓 = 𝟎 Duas formas equivalentes da equação diferencial para condução de calor permanente unidimensional em um cilindro sem geração de calor Equação de condução de calor em uma esfera: 𝒓 + ∆𝒓 𝒓𝑹𝒓 ሶ𝑸𝒓+∆𝒓 ሶ𝑸𝒓 ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓 Elemento de volume 𝟏 𝒓𝟐 𝝏 𝝏𝒓 𝒓𝟐𝒌 𝝏𝑻 𝝏𝒓 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝝆𝒄 𝝏𝑻 𝝏𝒕 Condutividade constante 𝑨 = 𝟒𝝅𝒓𝟐 𝟏 𝒓𝟐 𝝏 𝝏𝒓 𝒓𝟐 𝝏𝑻 𝝏𝒓 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 𝒌 = 𝟏 ∝ 𝝏𝑻 𝝏𝒕 Condutividade variável EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL • Regime permanente: 𝟏 𝒓𝟐 𝒅 𝒅𝒓 𝒓𝟐 𝒅𝑻 𝒅𝒓 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 𝒌 = 𝟎 Τ𝝏 𝝏𝒕 = 𝟎 • Regime transiente sem geração de calor: 𝟏 𝒓𝟐 𝝏 𝝏𝒓 𝒓𝟐 𝝏𝑻 𝝏𝒓 = 𝟏 𝜶 𝝏𝑻 𝝏𝒕 ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝟎 • Regime permanente sem geração de calor: 𝒅 𝒅𝒓 𝒓𝟐 𝒅𝑻 𝒅𝒕 = 𝟎 Τ𝝏 𝝏𝒕 = 𝟎 𝒆 ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝟎 𝒓 𝒅𝟐𝑻 𝒅𝒓𝟐 + 𝟐 𝒅𝑻 𝒅𝒓 = 𝟎𝒐𝒖 Equação de condução de calor em uma esfera: EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL 𝟏 𝒓𝟐 𝝏 𝝏𝒓 𝒓𝟐 𝝏𝑻 𝝏𝒓 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 𝒌 = 𝟏 ∝ 𝝏𝑻 𝝏𝒕 ሶ𝑸𝒓 − ሶ𝑸𝒓+∆𝒓 + ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓,𝒆𝒍𝒆𝒎 = ∆𝑬𝒆𝒍𝒆𝒎 ∆𝒕 Equação de condução de calor unidimensional combinada: 𝟏 𝒓𝒏 𝝏 𝝏𝒓 𝒓𝒏𝒌 𝝏𝑻 𝝏𝒓 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝝆𝒄 𝝏𝑻 𝝏𝒕 𝒏 = 𝟎 𝒏 = 𝟏 𝒏 =2 Parede plana Cilindro Esfera EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL Condução de calor através do fundo de uma panela Considere uma panela de aço colocada em um fogão elétrico para cozinhar macarrão. O fundo da panela tem 0,4 cm de espessura e 18 cm de diâmetro. Uma boca do fogão elétrico consome 800 W de potência durante o cozimento, e 80 % do calor gerado é transferido uniformemente para a panela. Assumindo que a condutividade térmica seja constante, determine a equação diferencial que descreve a variação da temperatura no fundo da panela durante uma operação em regime permanente. 800 W O fundo da panela pode ser considerado como uma parede plana infinita O fluxo de calor aplicado no fundo da panela é uniforme 𝒙 𝑻 = 𝑻(𝒙) A temperatura depende apenas de x A condutividade térmica pode ser considerada constante, e a panela não gera calor, logo: 𝒅𝟐𝑻 𝒅𝒙𝟐 = 𝟎𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒙𝟐 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 𝒌 = 𝟏 𝜶 𝝏𝑻 𝝏𝒕 Condução de calor em um aquecedor A resistência de um aquecedor de 2 kW usado para ferver água é um fio com condutividade térmica k = 15 W/m.K, diâmetro D = 0,4 cm e comprimento L = 50 cm. Supondo que a variação da condutividade térmica do fio em função da temperatura é desprezível, obtenha a equação diferencial que descreve a variação de temperatura no fio durante uma operação em regime permanente. 𝑻 = 𝑻(𝒓) ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓 𝑽𝒇𝒊𝒐 𝑳 > > 𝑫 → 𝑳 > 𝟏𝟎𝟎.𝑫 O fio pode ser considerado como um cilindro longo. 𝟏 𝒓 𝝏 𝝏𝒓 𝒓 𝝏𝑻 𝝏𝒕 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 𝒌 = 𝟏 𝜶 𝝏𝑻 𝝏𝒕 ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓 𝑽𝒇𝒊𝒐 ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓 = 𝟐. 𝟎𝟎𝟎𝑾 𝑽𝒇𝒊𝒐 = 𝝅 Τ𝑫 𝟐 𝟑 𝑳 = Τ𝝅 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝒎 𝟐 𝟒 𝟎, 𝟓 𝒎 ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝟐. 𝟎𝟎𝟎𝑾 Τ𝝅 𝟎, 𝟎𝟎𝟒𝒎 𝟐 𝟒 𝟎, 𝟓 𝒎 ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝟎, 𝟑𝟏𝟖𝒙𝟏𝟎 𝟗 Τ𝑾 𝒎𝟑 A equação diferencial que rege a variação de temperatura no fio é: O fio pode ser tratado como um longo cilindro. O calor é gerado uniformemente no fio e as condições na superfície externa são uniformes, é razoável esperar que a temperatura varie apenas na direção radial r. 𝟏 𝒓 𝒅 𝒅𝒓 𝒓 𝒅𝑻 𝒅𝒓 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 𝒌 = 𝟏 𝜶 𝒅𝑻 𝒅𝒕 𝟏 𝒓 𝝏 𝝏𝒓 𝒓 𝝏𝑻 𝝏𝒕 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 𝒌 = 𝟏 𝜶 𝝏𝑻 𝝏𝒕 𝟎 𝟏 𝒓 𝒅 𝒅𝒓 𝒓 𝒅𝑻 𝒅𝒓 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 𝒌 = 𝟎 Uma esfera metálica de raio R é aquecida em um forno até a temperatura de 300 °C e retirada para resfriar em temperatura ambiente 𝑻∞ = 𝟐𝟓 °𝑪 por convecçãoe radiação. Sabe-se que a condutividade térmica do material que compõem a esfera varia linearmente com a temperatura. Considerando que a esfera é resfriada uniformemente em toda superfície externa, obtenha a equação diferencial que descreve a variação da temperatura da esfera durante o resfriamento 𝟐𝟓 °𝑪 ሶ𝑸Esfera de metal 300 °C • Resfriamento uniforme ao longo de toda a superfície • A temperatura em qualquer ponto da esfera muda com o tempo durante o resfriamento • A temperatura da esfera varia com a distância radial r e com o tempo t, ou seja, T=T(r, t) 𝟏 𝒓𝟐 𝝏 𝝏𝒓 𝒓𝒓𝒌 𝝏𝑻 𝝏𝒓 = 𝝆𝒄 𝝏𝑻 𝝏𝒕 EQUAÇÃO GERAL DE CONDUÇÃO DE CALOR EQUAÇÃO GERAL DE CONDUÇÃO DE CALOR Coordenadas retangulares ሶ𝑸𝒙 ሶ𝑸𝒙+∆𝒙 ሶ𝑸𝒚 ሶ𝑸𝒚+∆𝒚 ሶ𝑸𝒛+∆𝒛 ሶ𝑸𝒛 ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓. ∆𝒙∆𝒚∆𝒛 Elemento de volume 𝒙 𝒚𝒛 ∆𝒙 ∆z Condução de calor multidimensional Condução de calor tridimensional através de um elemento de volume retangular Taxa de condução de calor em x, y e z Taxa de condução de calor em x+∆x, y+ ∆y e z + ∆z Taxa de geração de calor dentro do elemento Taxa de variação da energia do elemento ሶ𝑸𝒙 + ሶ𝑸𝒚 + ሶ𝑸𝒛 − ሶ𝑸𝒙+∆𝒙 − ሶ𝑸𝒚+∆𝒚 − ሶ𝑸𝒛+∆𝒛 + ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓,𝒆𝒍𝒆𝒎 = ∆𝑬𝒆𝒍𝒆𝒎 ∆𝒕 EQUAÇÃO GERAL DE CONDUÇÃO DE CALOR Coordenadas retangulares O balanço de energia durante um pequeno intervalo de tempo Δt pode ser expresso como ሶ𝑸𝒙 + ሶ𝑸𝒚 + ሶ𝑸𝒛 − ሶ𝑸𝒙+∆𝒙 − ሶ𝑸𝒚+∆𝒚 − ሶ𝑸𝒛+∆𝒛 + ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓,𝒆𝒍𝒆𝒎 = ∆𝑬𝒆𝒍𝒆𝒎 ∆𝒕 ∆𝑬𝒆𝒍𝒆𝒎= 𝑬𝒕+∆𝒕 − 𝑬𝒕 ∆𝑬𝒆𝒍𝒆𝒎= 𝒎𝒄 𝑻𝒕+∆𝒕 − 𝑻𝒕 ∆𝑬𝒆𝒍𝒆𝒎= 𝝆𝒄∆𝒙∆𝒚∆𝒛 𝑻𝒕+∆𝒕 − 𝑻𝒕 ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓,𝒆𝒍𝒆𝒎 = ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓𝑽𝒆𝒍𝒆𝒎 ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓,𝒆𝒍𝒆𝒎 = ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓∆𝒙∆𝒚∆𝒛ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓,𝒆𝒍𝒆𝒎 = ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓∆𝒙∆𝒚∆𝒛 EQUAÇÃO GERAL DE CONDUÇÃO DE CALOR Coordenadas retangulares 𝑽𝒆𝒍𝒆𝒎 = ∆𝒙∆𝒚∆𝒛 ሶ𝑸𝒙 + ሶ𝑸𝒚 + ሶ𝑸𝒛 − ሶ𝑸𝒙+∆𝒙 − ሶ𝑸𝒚+∆𝒚 − ሶ𝑸𝒛+∆𝒛 + ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓,𝒆𝒍𝒆𝒎 = ∆𝑬𝒆𝒍𝒆𝒎 ∆𝒕 ∆𝑬𝒆𝒍𝒆𝒎= 𝝆𝒄∆𝒙∆𝒚∆𝒛 𝑻𝒕+∆𝒕 − 𝑻𝒕 ሶ𝑸𝒙 + ሶ𝑸𝒚 + ሶ𝑸𝒛 − ሶ𝑸𝒙+∆𝒙 − ሶ𝑸𝒚+∆𝒚 − ሶ𝑸𝒛+∆𝒛 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓∆𝒙∆𝒚∆𝒛 = 𝝆𝒄∆𝒙∆𝒚∆𝒛 𝑻𝒕+∆𝒕 − 𝑻𝒕 ∆𝒕 ሶ𝑬𝒈𝒆𝒓,𝒆𝒍𝒆𝒎 = ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓∆𝒙∆𝒚∆𝒛 ÷ ∆𝒙∆𝒚∆𝒛 − 𝟏 ∆𝒚∆𝒛 ሶ𝑸𝒙+∆𝒙 − ሶ𝑸𝒙 ∆𝒙 − 𝟏 ∆𝒙∆𝒛 ሶ𝑸𝒚+∆𝒚 − ሶ𝑸𝒚 ∆𝒚 − 𝟏 ∆𝒙∆𝒚 ሶ𝑸𝒛+∆𝒛 − ሶ𝑸𝒛 ∆𝒛 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝝆𝒄 𝑻𝒕+∆𝒕 − 𝑻𝒕 ∆𝒕 ∆𝒙, ∆𝐲, ∆𝒛 → 𝟎 𝑨𝒙 = ∆𝒚∆𝒛 𝑨𝒚 = ∆𝒙∆𝒛 𝑨𝒛 = ∆𝒙∆y 𝟏 𝝏𝒙 𝒌 𝝏𝑻 𝝏𝒙 + 𝟏 𝝏𝒚 𝒌 𝝏𝑻 𝝏𝒚 + 𝟏 𝝏𝒛 𝒌 𝝏𝑻 𝝏𝒛 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝝆𝒄 𝝏𝑻 𝝏𝒕 Equação geral de condução de calor para coordenadas retangulares, para condutividade térmica variável EQUAÇÃO GERAL DE CONDUÇÃO DE CALOR Coordenadas retangulares − 𝟏 ∆𝒚∆𝒛 ሶ𝑸𝒙+∆𝒙 − ሶ𝑸𝒙 ∆𝒙 − 𝟏 ∆𝒙∆𝒛 ሶ𝑸𝒚+∆𝒚 − ሶ𝑸𝒚 ∆𝒚 − 𝟏 ∆𝒙∆𝒚 ሶ𝑸𝒛+∆𝒛 − ሶ𝑸𝒛 ∆𝒛 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝝆𝒄 𝑻𝒕+∆𝒕 − 𝑻𝒕 ∆𝒕 ∆𝒙 → 𝟎 ∆𝐲 → 𝟎 ∆𝒛 → 𝟎 ∆𝒕 → 𝟎 Condução de calor multidimensional 𝟏 𝝏𝒙 𝒌 𝝏𝑻 𝝏𝒙 + 𝟏 𝝏𝒚 𝒌 𝝏𝑻 𝝏𝒚 + 𝟏 𝝏𝒛 𝒌 𝝏𝑻 𝝏𝒛 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝝆𝒄 𝝏𝑻 𝝏𝒕 Pela definição de derivada e da lei de condução de calor de Fourier, 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒙→𝟎 𝟏 ∆𝒚∆𝒛 ሶ𝑸𝒙+∆𝒙 − ሶ𝑸𝒙 ∆𝒙 = 𝟏 ∆𝒚∆𝒛 𝝏𝑸𝒙 𝝏𝒙 = 𝟏 ∆𝒚∆𝒛 𝝏 𝝏𝒙 −𝒌∆𝒚∆𝒛 𝝏𝑻 𝝏𝒙 = − 𝝏 𝝏𝒙 𝒌 𝝏𝑻 𝝏𝒙 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒚→𝟎 𝟏 ∆𝒙∆𝒛 ሶ𝑸𝒙+∆𝒙 − ሶ𝑸𝒙 ∆𝒚 = 𝟏 ∆𝒙∆𝒛 𝝏𝑸𝒚 𝝏𝒚 = 𝟏 ∆𝒙∆𝒛 𝝏 𝝏𝒚 −𝒌∆𝒙∆𝒛 𝝏𝑻 𝝏𝒚 = − 𝝏 𝝏𝒚 𝒌 𝝏𝑻 𝝏𝒚 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒛→𝟎 𝟏 ∆𝒙∆𝒚 ሶ𝑸𝒙+∆𝒙 − ሶ𝑸𝒙 ∆𝒛 = 𝟏 ∆𝒙∆𝒚 𝝏𝑸𝒚 𝝏𝒛 = 𝟏 ∆𝒙∆𝒚 𝝏 𝝏𝒛 −𝒌∆𝒙∆𝒚 𝝏𝑻 𝝏𝒛 = − 𝝏 𝝏𝒛 𝒌 𝝏𝑻 𝝏𝒛 Equação geral de condução de calor para coordenadas retangulares 𝟏 𝝏𝒙 𝒌 𝝏𝑻 𝝏𝒙 + 𝟏 𝝏𝒚 𝒌 𝝏𝑻 𝝏𝒚 + 𝟏 𝝏𝒛 𝒌 𝝏𝑻 𝝏𝒛 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝝆𝒄 𝝏𝑻 𝝏𝒕 Condutividade térmica variável 𝜶 = Τ𝒌 𝝆𝒄 Difusividade térmica do material EQUAÇÃO GERAL DE CONDUÇÃO DE CALOR Coordenadas retangulares 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒙𝟐 + 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒚𝟐 + 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒛𝟐 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 𝒌 = 𝟏 𝜶 𝝏𝑻 𝝏𝒕 Condutividade térmica constante (Equação de Fourier-Biot) 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒙𝟐 + 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒚𝟐 + 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒛𝟐 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 𝒌 = 𝟏 𝜶 𝝏𝑻 𝝏𝒕 EQUAÇÃO GERAL DE CONDUÇÃO DE CALOR • Regime permanente: 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒙𝟐 + 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒚𝟐 + 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒛𝟐 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 𝒌 = 𝟎 (Equação de Poisson) 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒙𝟐 + 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒚𝟐 + 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒛𝟐 = 𝟏 𝜶 𝝏𝑻 𝝏𝒕 • Transiente, sem geração de calor: (Equação de difusão) 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒙𝟐 + 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒚𝟐 + 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒛𝟐 = 𝟎• Regime permanente sem geração de calor: (Equação de Laplace) Coordenadas retangulares 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒙𝟐 + 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒚𝟐 + 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒛𝟐 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 𝒌 = 𝟏 𝜶 𝝏𝑻 𝝏𝒕 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒙𝟐 + 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒚𝟐 + 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒛𝟐 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 𝒌 = 𝟎 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒙𝟐 + 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒚𝟐 + 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒛𝟐 = 𝟏 𝜶 𝝏𝑻 𝝏𝒕 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒙𝟐 + 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒚𝟐 + 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒛𝟐 = 𝟎 Regime permanente Transiente, sem geração de calor Regime permanente sem geração de calor Equações de condução de calor tridimensionais são reduzidas para o caso unidimensional quando a temperatura varia apenas em uma direção. EQUAÇÃO GERAL DE CONDUÇÃO DE CALOR Coordenadas retangulares EQUAÇÃO GERAL DE CONDUÇÃO DE CALOR Coordenadas cilíndricas Elemento de volume diferencial em coordenadas cilíndricas 𝒙 = 𝒓𝒄𝒐𝒔∅ 𝒚 = 𝒓𝒔𝒆𝒏∅ 𝒛 = 𝒛 ∅ 𝒛 𝒚 𝒙 𝒓 𝒙 = 𝒓𝒄𝒐𝒔∅ 𝒚 = 𝒓𝒔𝒆𝒏∅ 𝒛 = 𝒛 𝒙 = 𝒓𝒄𝒐𝒔∅ 𝒚 = 𝒓𝒔𝒆𝒏∅ 𝒛 = 𝒛 𝟏 𝝏𝒙 𝒌 𝝏𝑻 𝝏𝒙 + 𝟏 𝝏𝒚 𝒌 𝝏𝑻 𝝏𝒚 + 𝟏 𝝏𝒛 𝒌 𝝏𝑻 𝝏𝒛 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝝆𝒄 𝝏𝑻 𝝏𝒕 𝟏 𝒓 𝝏 𝝏𝒓 𝒌𝒓 𝝏𝑻 𝝏𝒓 + 𝟏 𝒓𝟐 𝝏𝑻 𝝏∅ 𝒌 𝝏𝑻 𝝏∅ + 𝝏 𝝏𝒛 𝒌 𝝏𝑻 𝝏𝒛 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝝆𝒄 𝝏𝑻 𝝏𝒕 EQUAÇÃO GERAL DE CONDUÇÃO DE CALOR Coordenadas cilíndricas 𝒙 = 𝒓𝒄𝒐𝒔∅𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒚 = 𝒓𝒔𝒆𝒏∅𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒛 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 EQUAÇÃO GERAL DE CONDUÇÃO DE CALOR Coordenadas esféricas Elemento de volume diferencial em coordenadas esféricas ∅ 𝜽 𝒓 𝒛 𝒚 𝒙 𝒓𝒙 𝒓𝒚 𝒓𝒛 𝟏 𝝏𝒙 𝒌 𝝏𝑻 𝝏𝒙 + 𝟏 𝝏𝒚 𝒌 𝝏𝑻 𝝏𝒚 + 𝟏 𝝏𝒛 𝒌 𝝏𝑻 𝝏𝒛 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝝆𝒄 𝝏𝑻 𝝏𝒕 𝒙 = 𝒓𝒄𝒐𝒔∅𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒚 = 𝒓𝒔𝒆𝒏∅𝒔𝒆𝒏𝒖 𝒛 = 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟏 𝒓𝟐 𝝏 𝝏𝒓 𝒌𝒓𝟐 𝝏𝑻 𝝏𝒓 + 𝟏 𝒓𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 𝝏 𝝏∅ 𝒌 𝝏𝑻 𝝏∅ + 𝟏 𝒓𝟐𝒔𝒆𝒏𝜽 𝝏 𝝏𝜽 𝒌𝒔𝒆𝒏𝜽 𝝏𝑻 𝝏𝜽 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝝆𝒄 𝝏𝑻 𝝏𝒕 EQUAÇÃO GERAL DE CONDUÇÃO DE CALOR Coordenadas esféricas Condução de calor em um cilindro curto Um pequeno lingote metálico de formato cilíndrico de raio R e altura h é aquecido em um forno até a temperatura de 300 °C, retirado e deixado para resfriar em temperatura ambiente de 20 °C por convecção e radiação. Considerando que o lingote é resfriado uniformemente em toda sua superfície externa e a variação da condutividade térmica do material em função da temperatura é desprezível, determine a equação diferencial que descreve a variação de temperatura do lingote durante o processo de resfriamento. ∅R r Lingote metálico 300 °C Perda de calor 𝑻∞ = 𝟐𝟓 °𝑪 z ∅R r Lingote metálico 300 °C Perda de calor 𝑻∞ = 𝟐𝟓 °𝑪 z • Lingote a uma temperatura uniforme e resfriamento uniforme • Resfriamento na superfície superior e inferior na direção do eixo z • Resfriamento também a partir da superfície lateral na direção radial r • A temperatura do lingote em qualquer ponto varia com tempo durante o resfriamento Análise: • A condutividade térmica é constante, e não há geração de calor no lingote ∅R r Lingote metálico 300 °C Perda de calor 𝑻∞ = 𝟐𝟓 °𝑪 z Condução de calor transiente bidimensional, com temperatura dentro do lingote variando de acordo com a distância radial r, axial z e tempo t, e não gera calor: Conclusão: 𝟏 𝒓 𝝏 𝝏𝒓 𝒌𝒓 𝝏𝑻 𝝏𝒓 + 𝝏 𝝏𝒛 𝒌 𝝏𝑻 𝝏𝒛 = 𝝆𝒄 𝝏𝑻 𝝏𝒕 𝟏 𝒓 𝝏 𝝏𝒓 𝒓 𝝏𝑻 𝝏𝒓 + 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒛𝟐 = 𝟏 𝜶 𝝏𝑻 𝝏𝒕 No caso de condutividade térmica constante, a equação é reduzida a: 𝑻 = 𝑻 𝒓, 𝒛, 𝒕 𝟏 𝒓 𝝏 𝝏𝒓 𝒌𝒓 𝝏𝑻 𝝏𝒓 + 𝟏 𝒓𝟐 𝝏𝑻 𝝏∅ 𝒌 𝝏𝑻 𝝏∅ + 𝝏 𝝏𝒛 𝒌 𝝏𝑻 𝝏𝒛 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝝆𝒄 𝝏𝑻 𝝏𝒕 𝟎 𝟎 CONDIÇÕES INICIAL E DE CONTORNO As equações de condução de calor descritas anteriormente foram desenvolvidas usando o balanço deenergia do elemento diferencial dentro do meio e permaneceram as mesmas independente das condições térmica nas superfícies desse meio. Isso significa que as equações diferenciais não incorporam nenhuma informação relacionada às condições na superfície, como temperatura ou fluxo de calor especificado. O fluxo de calor e a distribuição de temperatura em um meio dependem das condições nas superfícies. As expressões matemáticas das condições térmicas nas fronteiras são chamadas de condições de contorno. CONDIÇÃO INICIAL E DE CONTORNO Equação diferencial: 𝑻 𝒙 = 𝑪𝟏𝒙 + 𝑪𝟐 𝒅𝟐𝑻 𝒅𝒙𝟐 = 𝟎 Solução geral: Algumas soluções específicas: 𝑻 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟓 𝑻 𝒙 = −𝒙 + 𝟏𝟐 𝑻 𝒙 = −𝟑 𝑻 𝒙 = 𝟔, 𝟐𝒙 Constantes arbitrárias CONDIÇÃO INICIAL E DE CONTORNO Do ponto de vista matemático, resolver uma equação diferencial é essencialmente um processo de remoção de derivadas ou um processo de integração. A solução geral de equação diferencial típica envolve constantes arbitrárias e, portanto, fornece infinitas soluções. 50°C 15°C x L 0 T 𝒅𝟐𝑻 𝒅𝒙𝟐 = 𝟎 Algumas soluções de A única solução que satisfaz as condições T(0) = 50 °C T(L) = 15 °C Para descrever completamente o problema de transferência de calor, duas condições de contorno devem ser fornecidas para cada direção do sistema de coordenadas, onde a transferência de calor é significativa CONDIÇÃO INICIAL E DE CONTORNO Equação geral de condução de calor é de 2ª ordem com relação às variáveis espaciais CONDIÇÃO INICIAL E DE CONTORNO Coordenadas retangulares: 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒙𝟐 + 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒚𝟐 + 𝝏𝟐𝑻 𝝏𝒛𝟐 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 𝒌 = 𝟏 𝜶 𝝏𝑻 𝝏𝒕 Derivada de 2ª ordem Derivada espacial de 1ª ordem 𝒅𝟐𝑻 𝒅𝒙𝟐 = 𝟎Equação diferencial Duas constantes arbitrárias Duas condições de contorno 𝑻 𝒙 = 𝑪𝟏𝒙 + 𝑪𝟐Solução geral Coordenadas cilíndricas: Coordenadas esféricas: CONDIÇÃO INICIAL E DE CONTORNO 𝟏 𝒓 𝝏 𝝏𝒓 𝒌𝒓 𝝏𝑻 𝝏𝒓 + 𝟏 𝒓𝟐 𝝏𝑻 𝝏∅ 𝒌 𝝏𝑻 𝝏∅ + 𝝏 𝝏𝒛 𝒌 𝝏𝑻 𝝏𝒛 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝝆𝒄 𝝏𝑻 𝝏𝒕 Derivada de 2ª ordem Derivada espacial de 1ª ordem 𝟏 𝒓𝟐 𝝏 𝝏𝒓 𝒌𝒓𝟐 𝝏𝑻 𝝏𝒓 + 𝟏 𝒓𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 𝝏 𝝏∅ 𝒌 𝝏𝑻 𝝏∅ + 𝟏 𝒓𝟐𝒔𝒆𝒏𝜽 𝝏 𝝏𝜽 𝒌𝒔𝒆𝒏𝜽 𝝏𝑻 𝝏𝜽 + ሶ𝒆𝒈𝒆𝒓 = 𝝆𝒄 𝝏𝑻 𝝏𝒕 Derivada de 2ª ordem Derivada espacial de 1ª ordem Duas condições de contorno devem ser fornecidas para cada direção do sistema de coordenadas: Unidimensional Bidimensional Duas condições de contorno Quatro condições de contorno Seis condições de contornoTridimensional CONDIÇÃO INICIAL E DE CONTORNO Unidimensional Condições de contorno em cada superfície da parede Parede Tridimensional Uma condição de contorno em cada face do paralelepípedo A solução geral da equação linear de segunda ordem envolve duas constantes arbitrárias para cada direção à ordem da equação diferencial na mesma direção. CONDIÇÃO INICIAL E DE CONTORNO Condição inicial • É necessário apena uma condição inicial para um problema de condução de calor, independentemente de sua dimensão. Sob condições permanentes, a equação de condução de calor não envolve nenhuma deriva de tempo, portanto não é necessário especificar nenhuma condição inicial CONDIÇÃO INICIAL E DE CONTORNO • A condição inicial seria t = 0 e envolve a derivada espacial de 1ª ordem, que é a expressão matemática de distribuição inicial da temperatura do meios 𝑻 𝒙, 𝒚, 𝒛, 𝟎 = 𝒇(𝒙, 𝒚 𝒛)(𝒕 = 𝟎) Condições de normais e contorno na prática: • Temperatura especificada, • Fluxo de calor especificado • Condições de contorno de convecção e radiação CONDIÇÃO INICIAL E DE CONTORNO • A equação de condução de calor é de primeira ordens em relação ao tempo. A condição inicial não pode envolver nenhuma derivada (sendo limitada à temperatura específica • A equação de condução de calor é de segunda ordem em relação às coordenadas espaciais A condição de contorno pode envolver derivadas de primeira ordem nas fronteiras, bem como valores especificados de temperatura CONDIÇÃO INICIAL E DE CONTORNO 1. Condição de contorno de temperatura especificada Condições de contorno de temperatura especificada em ambas as superfícies de uma parede plana 𝑳 𝒙 𝟎 𝟏𝟓𝟎 °𝑪 𝟕𝟎 °𝑪 𝑻 𝟎, 𝒕 = 𝟏𝟓𝟎 °𝐂 𝑻 𝑳, 𝒕 = 𝟕𝟎 °𝐂 𝑻(𝒙, 𝒕) CONDIÇÃO INICIAL E DE CONTORNO 𝑻(𝒙, 𝒕) 𝑻 𝟎, 𝒕 = 𝑻𝟏 𝑻 𝟎, 𝒕 = 𝟏𝟓𝟎 °𝐂 𝑻 𝑳, 𝒕 = 𝑻𝟐 𝑻 𝑳, 𝒕 = 𝟕𝟎 °𝐂 As temperaturas especificadas podem ser constantes, como ocorre em condução de calor permanente, ou variar com o tempo. 2. Condição de contorno de fluxo de calor especificado ሶ𝒒 = −𝒌 𝝏𝑻 𝝏𝒙 Τ𝑾 𝒎𝟐 ሶ𝒒 < 𝟎 ሶ𝒒 > 𝟎 𝒙 CONDIÇÃO INICIAL E DE CONTORNO 𝑳 𝒙 𝟎 Fluxo de calor Condução Condução Fluxo de calor ሶ𝒒𝟎 = −𝒌 𝝏𝑻 𝟎, 𝒕 𝝏𝒙 −𝒌 𝝏𝑻 𝑳, 𝒕 𝝏𝒙 = ሶ𝒒𝑳 Condições de contorno de fluxo de calor especificado em ambas as superfícies de uma placa plana. Caso especial: contorno isolado 𝑳 𝒙𝟎 𝑻(𝒙, 𝒕)Isolamento Chapa 𝟔𝟎 °C 𝝏𝑻 𝟎, 𝒕 𝝏𝒙 = 𝟎 𝑻 𝑳, 𝒕 = 𝟔𝟎 °𝑪 𝝏𝑻 𝟎, 𝒕 𝝏𝒙 = 𝟎𝒌 𝝏𝑻 𝟎, 𝒕 𝝏𝒙 = 𝟎 • Em condição de contorno para superfície perfeitamente isolada (x = 0) • Em uma superfície isolada, a primeira derivada da temperatura em relação à variável espacial (gradiente de temperatura) na direção normal à superfície isolada é zero CONDIÇÃO INICIAL E DE CONTORNO Caso especial: simetria térmica 𝑳 𝒙 𝟎 Plano central Inclinação nula Distribuição de temperatura (simetria em relação ao plano central) 𝝏𝑻 Τ𝑳 𝟐 , 𝒕 𝝏𝒙 = 𝟎 ൗ𝑳 𝟐 • Não há fluxo de calor ao longo do plano central • O plano central pode ser visto como uma superfície isola • O fluxo de calor em qualquer ponto da placa estará dirigido para a superfície mais próxima CONDIÇÃO INICIAL E DE CONTORNO 𝝏𝑻 Τ𝑳 𝟐 , 𝒕 𝝏𝒙 = 𝟎 Caso especial: simetria térmica CONDIÇÃO INICIAL E DE CONTORNO Para objetos cilíndricos ou esféricos que tenham simetria térmica em relação ao eixo central (ou ponto médio), a condição de contorno de simetria requer que a primeira derivada da temperatura em função de r (variável radial) seja zero no eixo central (ou ponto médio). Condição de contorno de fluxo de calor Considere uma panela de alumínio usada para cozinhar um ensopado de carne em um fogão elétrico. O fundo da panela tem espessura de L = 0,3 cm e diâmetro D = 20 cm. A boca do fogão elétrico consome 800 W de potência durante o cozimento, e 90 % do calor gerado é transferido para a panela. Durante a operação em regime permanente, a temperatura da superfície interna da panela é de 110 °C. Expresse as condições de contorno para o fundo da panela durante o processo de cozimento. • A transferência de calor pelo fundo da panela ocorre da superfície inferior em direção ao topo e pode ser considerada como unidimensional • A transferência de calor é em regime permanente e a temperatura dependerá apenas de x T=T(x) • A condição de contorno na superfície externa do fundo da panela em x = 0 pode ser aproximada como o fluxo de calor especificado ሶ𝑸𝟎 = −𝒌 𝒅𝑻(𝟎) 𝒅𝒙 𝟖𝟎𝟎𝑾.𝟗𝟎% = 𝟕𝟐𝟎𝑾 Condição de calor inicial ሶ𝑸𝟎 = 𝟕𝟐𝟎𝑾 ሶ𝒒𝟎 = 𝟎, 𝟕𝟐𝟎𝑾 𝝅 𝟎, 𝟏 𝒎 𝟐 ሶ𝒒𝟎 = 𝟐𝟐, 𝟗 Τ𝒌𝑾 𝒎 𝟐 ሶ𝒒𝟎 = ሶ𝑸 𝑨 ሶ𝑸 = 𝟕𝟐𝟎𝑾 = 𝟎, 𝟕𝟐𝟎 𝒌𝑾 𝑨 = 𝝅𝒓𝟐 = 𝝅 𝟎, 𝟏 𝒎 𝟐 Fluxo de calor para a panela A segunda condição de calor será na superfície interna da panela, em x = L. 𝑻 𝑳 = 𝟏𝟏𝟎 °𝑪 3. Condição de contorno de convecção Condução de calor na superfície em direção selecionada Convecção de calor na superfície na mesma direção = CONDIÇÃO INICIAL E DE CONTORNO A condição de contorno de convecção é baseada no balanço de energia da superfície: A superfície tem espessura zero, então não tem massa e não pode armazenar nenhuma energia. 3. Condição de contorno de convecção CONDIÇÃO INICIAL E DE CONTORNO 𝑳 𝒙 𝟎 ConvecçãoCondução Condução Convecção −𝒌 𝝏𝑻 𝑳, 𝒕 𝝏𝒙 = 𝒉𝟐 𝑻(𝑳, 𝒕) − 𝑻∞𝟐 𝒉𝟏 𝑻∞𝟏 𝒉𝟐 𝑻∞𝟐 As condições de contorno de convecção, sobre duas superfícies de uma parede plana 𝒉𝟏 𝑻∞𝟏 − 𝑻(𝟎, 𝒕) = −𝒌 𝝏𝑻 𝟎, 𝒕 𝝏𝒙 𝑳 𝒙 𝟎 Convecção Condução ConduçãoConvecção 𝒉𝟏 𝑻∞𝟏 𝒉𝟐 𝑻∞𝟐 𝒉𝟏 𝑻(𝟎, 𝒕) − 𝑻∞𝟏) = 𝒌 𝝏𝑻 𝟎, 𝒕 𝝏𝒙 𝒉𝟏 𝑻∞𝟏 − 𝑻(𝟎, 𝒕) = −𝒌 𝝏𝑻 𝟎, 𝒕 𝝏𝒙 A direção assumida da transferência de calor em um contorno não tem efeito sobre a expressão da condição de contorno. 3. Condição de contorno de convecção CONDIÇÃO INICIAL E DE CONTORNO Condições de contorno de convecção e isolamento Vapor flui através da tubulação a uma temperatura média de 𝑻∞ = 𝟐𝟎𝟎 °𝑪 . Os raios internos e externo da tubulação medem 𝒓𝟏 = 𝟖 𝒄𝒎 e 𝒓𝟐 = 𝟖, 𝟓 𝒄𝒎 , respectivamente, e a superfície externa da tubulação é bem isolada. Considerando que o coeficiente de transferência de calor por convecção na superfícies interna é 𝒉 = 𝟔𝟓 Τ𝑾 𝒎𝟐. 𝑲, expresse as condições de contorno nas superfícies interna e externa da tubulação durante os período transientes. 𝒓𝟐 𝒓𝟏 𝑻∞ 𝒉 Isolamento • Durante os períodos transientes iniciais, a transferência de calor através da tubulação predomina na direção radial e pode ser aproximada como unidimensional. • A temperatura varia com a distância radial r e com tempo, ou seja T = T(r, t) 𝒓𝟐 𝒓𝟏 𝑻∞ 𝒉 Isolamento Análise: −𝒌 𝝏𝑻 𝒓𝟏, 𝒕 𝝏𝒓 = 𝒉 𝑻∞ − 𝑻 𝒓𝟏 A transferência de calor entre o vapor e a superfície interna da tubulação ocorre por convecção e dentro da parede da tubulação ocorre por condução. Não há perda de calor pela superfície externa devido ao isolamento. A condição de contorno pode então ser expressa como: 𝝏𝑻 𝒓𝟐, 𝒕 𝝏𝒓 = 𝟎 O gradiente de temperatura deve ser zero na superfície externa da tubulação, em qualquer instante Fluxo de vapor −𝒌 𝝏𝑻 𝒓𝟏, 𝒕 𝝏𝒓 𝒉 𝑻∞ − 𝑻 𝒓𝟏 𝝏𝑻 𝒓𝟐, 𝒕 𝝏𝒓 = 𝟎 Isolamento 4. Condição de contorno de radiação Condução de calor na superfície em direção selecionada Troca de radiação na superfície na mesma direção = CONDIÇÃO INICIAL E DE CONTORNO Balanço de energia da superfície: Condições de contorno de radiação em ambas as superfícies de uma parede plana A condição de contorno de radiação que envolve a quarta potência da temperatura é não linear. Resulta na potência de coeficiente desconhecidos, tornando difícil determiná-los. 4. Condição de contorno de radiação CONDIÇÃO INICIAL E DE CONTORNO 𝑳 𝒙𝟎 Radiação Condução Condução 𝜺𝟏𝝈 𝑻𝒄𝒊𝒓,𝟏 𝟒 − 𝑻(𝟎, 𝒕)𝟒 = −𝒌 𝝏𝑻 𝟎, 𝒕 𝝏𝒙 Radiação 𝜺𝟏 𝑻𝒄𝒊𝒓,𝟏 𝜺𝟐 𝑻𝒄𝒊𝒓,𝟐 −𝒌 𝝏𝑻 𝑳, 𝒕 𝝏𝒙 = 𝜺𝟐𝝈 𝑻(𝑳, 𝒕) 𝟒 − 𝑻𝒄𝒊𝒓,𝟐 𝟒 𝝈 = 𝟓, 𝟔𝟕𝒙𝟏𝟎−𝟖 Τ𝑾 𝒎𝟐𝑲𝟒 𝑻𝒄𝒊𝒓 Temperaturas médias das superfícies 𝜺 Emissividades das superfícies 5. Condição de contorno da interface Material A Material B 𝑻𝑨 𝒙, 𝒕 𝑻𝑩 𝒙, 𝒕 𝑻𝑨 𝒙𝟎, 𝒕 = 𝑻𝑩 𝒙𝟎, 𝒕 Condução Condução −𝒌𝑨 𝝏𝑻𝑨 𝒙𝟎, 𝒕 𝝏𝒙 = −𝒌𝑩 𝝏𝑻𝑩 𝒙𝟎, 𝒕 𝝏𝒙 𝟎 𝑳𝒙𝟎 𝒙 Interface Condições de contorno em uma interface: • Dois corpos em contato devem ter a mesma temperatura na área de contato • A interface (que é uma superfície) não pode armazenar energia, e, assim, o fluxo de calor nos dois lados da interface deve ser o mesmo 𝑻𝑨 𝒙𝟎, 𝒕 = 𝑻𝑩 𝒙𝟎, 𝒕 −𝒌𝑨 𝝏𝑻𝑨 𝒙𝟎, 𝒕 𝝏𝒙 = −𝒌𝑩 𝝏𝑻𝑩 𝒙𝟎, 𝒕 𝝏𝒙 CONDIÇÃO INICIAL E DE CONTORNO Condições de contorno na interface de dois corpos em perfeito contato. 6. Condição de contorno generalizada Transferência de calor para a superfície em todos os modos Transferência de calor a partir da superfície em todos os modos = Quando a transferência de calor em uma superfície envolve os três modos simultaneamente CONDIÇÃO INICIAL E DE CONTORNO Balanço de energia da superfície: Condições de convecção e radiação combinadas Uma esfera metálica de raio r0 é aquecida em um forno até alcançar a temperatura de 300 °C, sendo então retirada do forno e colocada para resfriar em temperatura ambiente (T∞ = 27 °C). A condutividade térmica do material que compõe a esfera é k = 14,4 W/m.K, e o coeficiente médio de transferência de calor por convecção na superfícies externa é h = 25 W/m2.K. Além disso, a emissividade da superfície externa da esfera é ε = 0,6, e a temperatura média das superfícies ao redor é Tcir = 290 K. Assumindo que a esfera é resfriada uniformemente a partir de toda sua superfície externa, expresse as condições inicial e de contorno para o processo de resfriamento. 𝑻𝒄𝒊𝒓 = 𝟐𝟗𝟎 𝑲 𝒓 𝟎 𝒓𝟎 𝑻𝒊 = 𝟑𝟎𝟎 °𝑪 𝑻∞ = 𝟐𝟕 °𝑪 𝑻𝒄𝒊𝒓 = 𝟐𝟗𝟎 𝑲 𝒓 𝟎 𝒓𝟎 𝑻𝒊 = 𝟑𝟎𝟎 °𝑪 𝑻∞ = 𝟐𝟕 °𝑪 Análise: • Inicialmente, a esfera encontra-se a uma temperatura uniforme, sendo uniformemente resfriada a partir da superfície externa • Isso ocorrendo, trata-se então de transferência de calor transiente unidimensional. • O regime transiente ocorre porquê a temperatura no interior da esfera varia com a distância radial e o tempo t, ou seja T = T(r, t) • A condição inicial, no momento que é retirada do forno será: 𝑻 𝒓, 𝟎 = 𝑻𝒊 = 𝟑𝟎𝟎 °𝑪 𝑻𝒄𝒊𝒓 = 𝟐𝟗𝟎 𝑲 𝒓 𝟎 𝒓𝟎 𝑻𝒊 = 𝟑𝟎𝟎 °𝑪 𝑻∞ = 𝟐𝟕 °𝑪 • O calor conduzido para a superfície externa da esfera é dissipado no meio por convecção e radiação. • A condição de contorno da superfície externa pode ser escrita como: −𝒌 𝝏𝑻 𝒓𝟎, 𝒕 𝝏𝒓 = 𝒉 𝑻 𝒓𝟎 − 𝑻∞ + 𝜺𝝈 𝑻 𝒓𝟎 𝟒 − 𝑻𝒄𝒊𝒓 𝟒 • No centro da esfera (r = 0) devido as condições de simetria, não há calor atravessando esse ponto. Assim, a condição de contorno, em r = 0, será: 𝝏𝑻 𝟎, 𝒕 𝝏𝒓 = 𝟎 Convecção, radiação e fluxo de calor combinados Considere a parede sul de espessura L = 0,2 m de uma casa. A superfície externa da parede é exposta à radiação solar com absortividade α = 0,5 para energia solar. O interior da casa é mantido em temperatura T∞, 1 = 20 °C, enquanto a temperatura do meio externo é de T∞, 2 = 5 °C. O céu, o solo e as superfícies das estruturas ao redor do local podem ser modelados como superfície com temperatura efetiva de Tcéu = 255 K que troca radiação com a superfície externa da parede. A troca de radiação entre a superfície interna da parede e o teto, o piso e outras paredes da casa é desprezível. Os coeficientes de transferência de calor por convecção nas superfícies interna e externa da parede são h1 = 6 W/m 2.K e h2 = 25 W/m 2.K, respectivamente. A condutividade térmica do material que compõe a parede é k = 0,7 W/m.K, e a emissividade da superfície externa é ε2 = 0,9. Considerando que a transferência de calor pela parede é unidimensional e permanente, expresse as condições de contorno nas superfícies interna e externa da parede. Sol 𝒉𝟏 𝑻∞,𝟏 𝒉𝟐 𝑻∞,𝟐 𝑻𝒄é𝒖 Superfície interna Convecção Condução Superfície externa Solar Radiação Convecção Condução Parede sul 𝒙𝑳 𝟎 Análise: • A transferência de calor pela parede é unidimensional e permanente. • A temperatura depende apenas de x, ou seja, T = T(x). • A condição de contorno na superfície interna em x = 0 é uma típica condição de convecção, já que não há radiação ou fluxo de calor envolvido. • A condição de contorno na superfície interna pode ser expressa como: 𝒉𝟏 𝑻∞,𝟏 − 𝑻(𝟎) = −𝒌 𝒅𝑻 𝟎 𝒅𝒙 Sol 𝒉𝟏 𝑻∞,𝟏 𝒉𝟐 𝑻∞,𝟐 𝑻𝒄é𝒖 Superfície interna Convecção Condução Superfície externa Solar Radiação Convecção Condução Parede sul 𝒙𝑳 𝟎 −𝒌 𝒅𝑻(𝑳) 𝒅𝒙 = 𝒉𝟐 𝑻 𝑳 − 𝑻∞𝟐 + 𝜺𝟐𝝈 𝑻(𝑳) 𝟒 − 𝑻𝒄é𝒖 𝟒 − 𝜶 ሶ𝒒𝒔𝒐𝒍𝒂𝒓 • A condição de contorno na superfície externa em x = L é uma condição geral que envolve condução, convecção, radiação e fluxo de calor. • A condição de contorno na superfície externa pode ser expressa como: ሶ𝒒𝒔𝒐𝒍𝒂𝒓 Fluxo de energia solar incidente SOLUÇÃO DEPROBLEMAS DE CONDUÇÃO DE CALOR UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE
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