Calculo Numerico
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Calculo Numerico


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sendo esta uma medida mais significativa que a do erro absoluto. E´ mais

significativo dizer que o erro relativo e´ pequeno ou grande comparado com o

valor 1, pois quando ER = 1 significa que o erro absoluto e´ da mesma ordem

que o nu´mero que esta´ sendo aproximado.

Existem alguns procedimentos inexatos que podem levar a situac¸o\u2dces de erro,

como a soma de grandezas bastante desproporcionadas e a subtrac¸a\u2dco de grande-

zas muito pro´ximas em condic¸o\u2dces de precisa\u2dco limitada (precisa\u2dco definida n).

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 13

Exemplo 1.3: Um erro de 1km na medida da dista\u2c6ncia entre a terra e a lua e´

menos significativo que um erro de 1cm na realizac¸a\u2dco de uma cirurgia cerebral via

um robo\u2c6.

Na pra´tica, quando se obte´m um resultado de uma expressa\u2dco aritme´tica ava-

liada em uma ma´quina e na\u2dco se conhece o seu valor exato, torna-se imposs´\u131vel

calcular o erro relativo ou absoluto. Por isto, trata-se com d´\u131gitos significativos

exatos (DIGSE) de um determinado nu´mero.

Dado um nu´mero x¯, aproximado de um valor exato x, diz-se que ele tem pelo

menos n d´\u131gitos significativos \u201dexatos\u201d se

|ER | \u2264 1
2
10\u2212n.

Uma outra maneira de calcular o DIGSE corresponde em utilizar a expressa\u2dco

DIGSE(xk\u22121, xk) = \u2212
[
0, 3 + log

(
µ+

| xk \u2212 xk\u22121 |
xk

)]
,

onde µ e´ a unidade de arredondamento da ma´quina. Se o arredondamento for

para o nu´mero de ma´quina mais pro´ximo, µ = 1
2
101\u2212m (sendo m o nu´mero de

algarismos da mantissa da ma´quina). Observe que o DIGSE 2 e´ suficiente para

uma grande quantidade de problemas em engenharia. Assim, trabalhar com 3

ou 4 casa decimais para nu´meros de ordem 1 e´ o suficiente.

Adiciona-se dois conceitos relacionados a` qualidade dos resultados obtidos

computacional- mente, que sa\u2dco precisa\u2dco e exatida\u2dco. A precisa\u2dco de uma ma´quina

digital e´ definida como o nu´mero de d´\u131gitos da mantissa desta ma´quina e exa-

tida\u2dco e´ uma medida da perfeic¸a\u2dco do resultado. Sendo assim, a precisa\u2dco e´ algo

claro, na\u2dco varia´vel de ma´quina para ma´quina, pore´m a exatida\u2dco depende da

14 Cap´\u131tulo 1 - Introduc¸a\u2dco

precisa\u2dco da ma´quina e do me´todo utilizado para obtenc¸a\u2dco deste resultado.

Exemplo 1.4: Considere o nu´mero irracional \u3c0 = 3, 14159265 . . . .

Assim:

- 3, 1415926 e´ mais preciso e mais exato do que 3, 14159;

- 3, 1415929 e´ mais preciso e menos exato do que 3, 14159;

Ale´m da existe\u2c6ncia de erros, existem outros problemas que devem ser leva-

dos em conta ao se resolver uma situac¸a\u2dco numericamente. Eles podem ser

analisados do ponto de vista da instabilidade.

Para a maioria das situac¸o\u2dces na\u2dco importa o procedimento utilizado, o re-

sultado e´ sempre o mesmo. Entretanto, em outros casos, diferentes modos de

soluc¸a\u2dco podem conduzir a diferentes resultados. Isto caracteriza um tipo de

instabilidade, que pode ser entendida como uma sensibilidade a perturbac¸o\u2dces

e pode ocorrer tanto no problema em si como no algoritmo, isto e´, na maneira

de resolver o problema.

Exemplo 1.5: Considere o problema da determinac¸a\u2dco das ra´\u131zes da equac¸a\u2dco

ax2 + b x + c = 0.

Da a´lgebra, sabe-se que as ra´\u131zes sa\u2dco fornecidas pela fo´rmula (Bhaskara)

x1 =
\u2212b+\u221ab2 \u2212 4ac

2a
e x2 =

\u2212b\u2212\u221ab2 \u2212 4ac
2a

.

Se 4ac for muito menor que b2 existe a possibilidade de acontecer a subtrac¸a\u2dco de

grandezas muito pro´ximas. Para o procedimento ser mais preciso, usa-se o algoritmo:

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 15

1. Se b > 0 enta\u2dco x1 =
\u2212b\u2212

\u221a
b2 \u2212 4ac
2a

e x2 =
c

a x1
;

2. Se b < 0 enta\u2dco x1 =
\u2212b+

\u221a
b2 \u2212 4ac
2a

e x2 =
c

a x1
.

Este processo impede que se fac¸a uma segunda subtrac¸a\u2dco na fo´rmula ale´m daquela

que ocorre inevitavelmente no radical.

Exemplo 1.6: A func¸a\u2dco e\u2212x em termos da se´rie de Taylor e´ escrita conforme:

e\u2212x = 1\u2212 x
1!

+
x2

2!
\u2212 x

3

3!
+
x4

4!
\u2212 ...

Assim, considerando ate´ 4 d´\u131gitos apo´s a v´\u131rgula resulta

e\u22127 = 1\u2212 7 + 24, 5 \u2212 57, 1667 + ...+ 163, 4013 \u2212 ... = \u22124, 1482 com 25 termos

Comparando esta soluc¸a\u2dco com a exata, e\u22127 = 0, 0009119, verifica-se haver

uma grande diferenc¸a nos resultados. Isto ocorre pois parcelas inferiores a

10\u22124 foram desconsideradas e o problema e´ constitu´\u131do de inu´meras grandezas

desta ordem. Portanto, as causas deste erro sa\u2dco:

1. adic¸a\u2dco de grandezas de ordens diferentes;

2. subtrac¸a\u2dco de grandezas muito pro´ximas.

1.1.1 Propagac¸a\u2dco de erros nas operac¸o\u2dces aritme´ticas

Se a dois nu´meros, exatos ou na\u2dco, forem realizados operac¸o\u2dces aritme´ticas,

podem surgir erros de arredondamento devido a` essas operac¸o\u2dces, que corres-

pondem aos:

16 Cap´\u131tulo 1 - Introduc¸a\u2dco

\u2022 Erros na adic¸a\u2dco:
Sejam x¯ e y¯ valores aproximados de x e y, respectivamente. Assim

A = x + y

A¯ = x¯ + y¯

e(x+y) = A\u2212 A¯ = (x+ y)\u2212 (x¯+ y¯) = ex + ey
Desta forma,

e(x+y)| \u2264 |ex|+ |ey|

\u2022 Erros na subtrac¸a\u2dco:
De forma semelhante ao erro na adic¸a\u2dco tem-se

S = x - y

S¯ = x¯ - y¯

e(x\u2212y) = ex \u2212 ey
ou seja,

|e(x\u2212y)| \u2264 |ex|+ |ey|

\u2022 Erros na multiplicac¸a\u2dco:
Neste caso resulta

|exy| \u2264 |x¯||ey|+ |y¯||ex|

\u2022 Erro na divisa\u2dco:
Apo´s simplificac¸o\u2dces obte´m-se |ex/y| \u2243 |y¯||ex|+|x¯||ey|

y¯2

Portanto, torna-se complicado prever o erro quando um co´digo realiza um

grande nu´mero de operac¸o\u2dces aritme´ticas, o que e´ frequente em engenharia.

Desta forma, nem toda sequ¨e\u2c6ncia de operac¸o\u2dces (algoritmo) tem boa quali-

dade.

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 17

1.2 Caracter´\u131sticas de um algoritmo nume´rico de boa

qualidade

Um algoritmo nume´rico, uma sequ¨e\u2c6ncia de passos que visam atingir um ob-

jetivo, de boa qualidade deve ter as seguintes caracter´\u131sticas:

\u2022 Inexiste^ncia de erro lo´gico: o procedimento na\u2dco devera´ conter erros;

\u2022 Inexiste^ncia de erro operacional: Na\u2dco devem surgir erros de \u201dunder-
flow\u201d ou \u201doverflow\u201d;

\u2022 Quantidade finita de ca´lculos: o algoritmo deve terminar apo´s um nu´-
mero finito de iterac¸o\u2dces;

\u2022 Existe^ncia de um crite´rio de exatid~ao: deve se enquadrar a um crite´-
rio previamente fornecido e aceita´vel;

\u2022 Independe^ncia de ma´quina: de prefere\u2c6ncia o programa dever ser indepen-
dente da ma´quina utilizada para resolve\u2c6-lo;

\u2022 Precis~ao infinita: os limites do erro devem convergir a zero;

\u2022 Eficie^ncia: obter respostas corretas do problema no menor custo poss´\u131vel.

Overflow ocorre quando a operac¸a\u2dco aritme´tica resultou em um nu´mero que

em mo´dulo e´ maior que o maior nu´mero representa´vel do computador. Under-

flow a sequ¨e\u2c6ncia de ca´lculos resultou em um nu´mero que em mo´dulo e´ inferior

ao menor nu´mero diferente de zero representa´vel da ma´quina.

Para uma melhor compreensa\u2dco das causas do erro de arredondamento se faz

necessa´rio conhecer como os nu´meros sa\u2dco armazenados em um computador.

18 Cap´\u131tulo 1 - Introduc¸a\u2dco

1.3 Aritme´tica de ponto flutuante e sua representac¸a\u2dco

As leis que regem as operac¸o\u2dces aritme´ticas, quando executadas em um com-

putador, na\u2dco obedecem a` mesma estrutura dos nu´meros reais. Isso acontece

porque uma ma´quina digital tem recursos finitos.

Exemplo 1.7: Considere os nu´meros x1 = 0, 3491 × 104 e x2 = 0, 2345 × 100.
Suponha que as operac¸o\u2dces sejam realizadas em uma ma´quina com precisa\u2dco de quatro

d´\u131gitos significativos. Observe que:

(x2 + x1)\u2212 x1 = (0, 2345 × 100 + 0, 2394 × 104)\u2212 0, 2394 × 104 = 0, 000

mas, por outro lado,

x2 + (x1 \u2212 x1) = 0, 2345 × 100 + (0, 2394 × 104 \u2212 0, 2394 × 104) = 0.2345 × 100.

O exemplo mostra que as operac¸o\u2dces executadas em uma ma´quina digital na\u2dco

so´ esta\u2dco sujeitas a erros, mas podem inclusive gerar erros.

A representac¸a\u2dco usual dos nu´meros e´ feita usando um sistema na base 10,

isto e´, um sistema decimal.

327,302 = 3 \u2217 102 + 2 \u2217 101 + 7 \u2217 100 + 3 \u2217 10\u22121 + 0 \u2217 10\u22122 + 2 \u2217 10\u22123.
As converso\u2dces