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f(xi)
e f ′(xi), em alguns casos isto pode se tornar trabalhoso pois existem func¸o˜es cuja
derivada e´ muito complicada ou sujeita a erros, podendo ser ate´ desaconselhado de-
terminar f ′(x). Neste caso, usa-se um modelo baseado nos dois valores mais recentes
de f(x), o que conduz ao me´todo das secantes.
Me´todo das Secantes
Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 35
Este me´todo requer apenas um ca´lculo de f(x) por iterac¸a˜o e e´ quase ta˜o ra´pido
quanto o me´todo de Newton.
A fo´rmula envolvida no me´todo das secantes e´ a mesma que a utilizada no me´todo
de Newton-Raphson; o que diferencia os dois me´todos sa˜o as deciso˜es lo´gicas que
definem cada novo termo da sequ¨eˆncia de aproximac¸o˜es. O termo geral e´ dado por
xi+1 = xi − (xi − xi−1)f(xi)
f(xi)− f(xi−1)
Exemplo 2.12: Calcule uma aproximac¸a˜o para a raiz positiva da equac¸a˜o polino-
mial p(x) = x5 − 2x− 1 utilizando x0 = 1, 2 e x1 = 1, 4.
Soluc¸~ao: Neste caso, a fo´rmula de iterac¸a˜o e´
xi+1 = xi − (x
5
i − 2xi − 1)(xi − xi−1)
x5i − x5i−1 − 2xi + 2xi−1
,
e a sequ¨eˆncia de iterac¸o˜es e´ dada na tabela 2.5:
Tabela 2.5: Me´todo das secantes aplicado ao polinoˆmio p (x) = x5 − 2x− 1.
i xi p (xi)
0 1,2000 -0,912
1 1,2890 -0,0198
2 1,2906 -0,0003
3 1,2906 0,0000
Caracter´ısticas do me´todo de Newton e seus derivados:
Quando do emprego do me´todo de Newton, um bom algoritmo, sequ¨eˆncia de pas-
sos, deve prever a possibilidade de ocorreˆncia de divisa˜o por zero, ou por um valor
muito pequeno. Neste caso, a velocidade de convergeˆncia do me´todo de Newton pode
baixar consideravelmente.
36 Cap´ıtulo 2 - Ra´ızes de Func¸o˜es
Semelhantemente, se x¯ e´ uma raiz na˜o mu´ltipla de f(x) = 0, o me´todo converge
rapidamente e o nu´mero de casas decimais exatas praticamente dobra a cada iterac¸a˜o,
sendo necessa´rios poucas iterac¸o˜es para problemas de engenharia. Por outro lado, se
x¯ e´ uma raiz mu´ltipla, o erro em cada aproximac¸a˜o sucessiva e´ uma frac¸a˜o do erro
anterior. Isto e´ o resultado da ordem de aproximac¸a˜o do me´todo, que na˜o e´ a mesma
para os dois casos.
Dada uma sequ¨eˆncia {xi} que converge para x¯ e definindo o erro em cada iterac¸a˜o
por ei = x¯− xi para i = 0, 1, 2, . . . , se existe um nu´mero R e uma constante A 6= 0
tal que
lim
i→∞
| ei+1 |
| ei |R = A,
enta˜o R e´ a ordem de convergeˆncia da sequ¨eˆncia.
Para o me´todo de Newton, especificamente, se x¯ e´ uma raiz simples, enta˜o a
convergeˆncia e´ quadra´tica, ou seja,
| ei+1 | ≈ 1
2
| f ′′(x¯) |
| f ′(x¯) | | ei |
2 para i suficientemente grande.
Se x¯ e´ uma raiz mu´ltipla de ordem M , enta˜o a convergeˆncia e´ linear, ou seja,
| ei+1 | ≈ M − 1
M
| f ′′(x¯) |
| f ′(x¯) | | ei | para i suficientemente grande.
Comportamento oscilante e´ observado quando na˜o ha´ ra´ızes reais, quando a esti-
mativa inicial na˜o for adequada ou quando houver simetria em relac¸a˜o ao eixo dos
x, conforme indica a figura 2.6.
A estimativa da condic¸a˜o inicial no me´todo de Newton e´ muito importante. Pode-se
escolher x0 de forma que f(x0)f
′′(x0) > 0. A seguir indica-se outro me´todo iterativo
utilizado para a obtenc¸a˜o de ra´ızes de equac¸o˜es transcedentais onde a func¸a˜o f(x) e´
transformada em uma g(x) tal que xk+1 = g(xk).
Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 37
Figura 2.6: Func¸o˜es onde ha´: a) Auseˆncia de ra´ızes reais; b) Segunda derivada
f ′′(x¯) = 0 e c) Condic¸a˜o inicial inapropriada.
2.2.3 Me´todo da iterac¸a˜o linear
Dada f(x) = 0, determina-se uma func¸a˜o g(x) tal que x = g(x). Em geral, existem
muitas maneiras de expressar g(x), pore´m nem todas sa˜o igualmente satisfato´rias.
Exemplo 2.13: Para a func¸a˜o f(x) = x2−x−2 = 0 algumas formas poss´ıveis para
a func¸a˜o de iterac¸a˜o g(x) sa˜o:
xi+1 = x
2
i − 2
xi+1 =
√
2 + xi
xi+1 = 1 +
2
xi
Soluc¸~ao: Tomando a g(x) como sendo xi+1 =
√
2 + xi, temos os resultados da
tabela 2.6
Como se pode ter va´rias func¸o˜es g(x), e´ preciso estabelecer algumas condic¸o˜es
para que, com a g(x) escolhida, o me´todo tenha convergeˆncia garantida para uma
38 Cap´ıtulo 2 - Ra´ızes de Func¸o˜es
Tabela 2.6: Me´todo da iterac¸a˜o linear aplicado ao polinoˆmio p (x) = x2−x−1.
i xi p (xi)
0 1,2000 -1,7600
1 1,7889 -0,5887
2 1,9465 -0,1573
3 1,9866 0,0400
4 1,9966 -0,0102
5 1,9992 -0,0024
6 1,9998 -0,0006
7 2.0000 0,0000
determinada raiz de f(x) = 0. Evita-se, sempre que poss´ıvel, formas envolvendo
inversas de func¸o˜es trigonome´tricas devido a propagac¸a˜o do erro.
Do ponto de vista gra´fico, o problema da convergeˆncia pode ser ilustrado da
seguinte forma (Fig. 2.7): convergeˆncia / divergeˆncia monotoˆnica ou oscilante.
Exemplo 2.14: Determine a raiz de f(x) = ex − [cos(x) + 1]. Uma ana´lise do
gra´fico desta func¸a˜o indica que a raiz esta´ no intervalo [1, 0; 1, 5], conforme mostra a
(Fig. 2.8).
Soluc¸~ao: Escolher g(x) = ln[sen(x) + 1/2]; para evitar o uso de func¸o˜es do tipo
arc sen, arc cos, arc tg, etc, que geralmente conduzem a` propagac¸a˜o do erro. Para
aproximac¸a˜o inicial x0 = 1, 25, resultam os valores da tabela 2.7.
Assim, a raiz de f(x) = 0 que pertence ao intervalo em questa˜o e´ aproximadamente
0, 5991.
A seguir, apresenta-se um me´todo para determinar ra´ızes complexas, que sa˜o co-
muns em problemas vibrato´rios, na determinac¸a˜o de frequ¨eˆncias, etc.
Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 39
Figura 2.7: Convergeˆncia do me´todo da iterac¸a˜o linear.
2.2.4 Me´todo de Bairstow
A cada par de ra´ızes complexas conjugadas de um polinoˆmio com coeficientes reais
p (x) = anx
n+an−1xn−1+ · · ·+a1x+a0 esta´ associado um fator quadra´tico de p (x)
da forma x2 − αx − β, onde α, β ∈ R. Se R = a ± b i e´ uma raiz de p (x), enta˜o
α = 2a e β = −(a2 + b2). De maneira geral, p (x) pode ser escrito como
p (x) = (x2 − αx− β)q(x) + b1(x− α) + b0,
onde b1(x−α)+b0 e´ o resto da divisa˜o de p (x) por x2−αx−β e q(x) e´ um polinoˆmio
de grau n− 2 que pode ser representado por
q(x) = bnx
n−2 + bn−1xn−3 + · · ·+ b4x2 + b3x+ b2.
40 Cap´ıtulo 2 - Ra´ızes de Func¸o˜es
Figura 2.8: Gra´fico da f(x).
Tabela 2.7: Resultado da raiz f(x) = ex− [cos(x)+1] pelo me´todo da iterac¸a˜o
linear.
i xi f(xi)
0 1,2500 2,1750
1 0,2741 -0,6473
2 0,6743 0,1815
3 0,5773 -0,0567
4 0,6087 0,0176
5 0,5991 -0,0054
Desta forma, p (x) fica
p (x) = (x2 − αx− β)(bnxn−2 + bn−1xn−3 + · · · + b3x+ b2) + b1(x− α) + b0
e os termos podem ser expandidos de maneira que
p (x) = bnx
n + (bn−1 − αbn)xn−1 + (bn−2 − αbn−1 − βbn)xn−2 + . . .
+ (bk − αbk+1 − βbk+2)xk + · · ·+ (b1 − αb2 − βb3)x+ b0 − αb1 − βb2.
Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 41
Comparando esta equac¸a˜o com p (x) = anx
n+ an−1xn−1+ · · ·+ a1x+ a0, chega-se
a`s fo´rmulas recursivas para o ca´lculo dos coeficientes bk de q(x) conforme:
bn = an
bn−1 = an−1 + αbn (2.1)
bk = ak + αbk+1 + βbk+2 para k = n− 2, n − 3, . . . , 1, 0.
O ca´lculo destes coeficientes tambe´m pode ser expresso na forma de tabela 2.8:
Tabela 2.8: Ca´lculo dos coeficiente b′ns
an an−1 an−2 an−3 · · · ak · · · a2 a1 a0
β βbn βbn−1 · · · βbk+2 · · · βb4 βb3 βb2
α αbn αbn−1 αbn−2 · · · αbk+1 · · · αb3 αb2 αb1
bn bn−1 bn−2 bn−3 · · · bk · · · b2 b1 b0
Exemplo 2.15: Mostre como dividir p (x) = x6−x4−8x3+12x−5 por x2+x−4.
Soluc¸~ao: Neste caso, α = −1 e β = 4. Montando a tabela 2.9, tem-se
Tabela 2.9: Ca´lculo dos coeficientes bn do polinoˆmio p (x) = x
6 − x4 − 8x3 +
12x− 5.
1 0 −1 −8 0 12 −5
4 4 4 16 −32 96
−1 -1 1 −4 8 24 −4
1 −1 4 −8 24 4 97
42 Cap´ıtulo 2 - Ra´ızes de Func¸o˜es
Sendo assim, p (x) = (x2 + x− 4)(x4 − x3 + 4x2 − 8x+ 2) + 4(x+ 1) + 97.
Esta ide´ia e´ usada no desenvolvimento do me´todo de Bairstow para o ca´lculo de
coeficientes α e β de tal forma que o fator quadra´tico