Calculo Numerico
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f(xi)

e f \u2032(xi), em alguns casos isto pode se tornar trabalhoso pois existem func¸o\u2dces cuja
derivada e´ muito complicada ou sujeita a erros, podendo ser ate´ desaconselhado de-

terminar f \u2032(x). Neste caso, usa-se um modelo baseado nos dois valores mais recentes
de f(x), o que conduz ao me´todo das secantes.

Me´todo das Secantes

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 35

Este me´todo requer apenas um ca´lculo de f(x) por iterac¸a\u2dco e e´ quase ta\u2dco ra´pido

quanto o me´todo de Newton.

A fo´rmula envolvida no me´todo das secantes e´ a mesma que a utilizada no me´todo

de Newton-Raphson; o que diferencia os dois me´todos sa\u2dco as deciso\u2dces lo´gicas que

definem cada novo termo da sequ¨e\u2c6ncia de aproximac¸o\u2dces. O termo geral e´ dado por

xi+1 = xi \u2212 (xi \u2212 xi\u22121)f(xi)
f(xi)\u2212 f(xi\u22121)

Exemplo 2.12: Calcule uma aproximac¸a\u2dco para a raiz positiva da equac¸a\u2dco polino-

mial p(x) = x5 \u2212 2x\u2212 1 utilizando x0 = 1, 2 e x1 = 1, 4.
Soluc¸~ao: Neste caso, a fo´rmula de iterac¸a\u2dco e´

xi+1 = xi \u2212 (x
5
i \u2212 2xi \u2212 1)(xi \u2212 xi\u22121)

x5i \u2212 x5i\u22121 \u2212 2xi + 2xi\u22121
,

e a sequ¨e\u2c6ncia de iterac¸o\u2dces e´ dada na tabela 2.5:

Tabela 2.5: Me´todo das secantes aplicado ao polino\u2c6mio p (x) = x5 \u2212 2x\u2212 1.
i xi p (xi)

0 1,2000 -0,912
1 1,2890 -0,0198
2 1,2906 -0,0003
3 1,2906 0,0000

Caracter´\u131sticas do me´todo de Newton e seus derivados:

Quando do emprego do me´todo de Newton, um bom algoritmo, sequ¨e\u2c6ncia de pas-

sos, deve prever a possibilidade de ocorre\u2c6ncia de divisa\u2dco por zero, ou por um valor

muito pequeno. Neste caso, a velocidade de converge\u2c6ncia do me´todo de Newton pode

baixar consideravelmente.

36 Cap´\u131tulo 2 - Ra´\u131zes de Func¸o\u2dces

Semelhantemente, se x¯ e´ uma raiz na\u2dco mu´ltipla de f(x) = 0, o me´todo converge

rapidamente e o nu´mero de casas decimais exatas praticamente dobra a cada iterac¸a\u2dco,

sendo necessa´rios poucas iterac¸o\u2dces para problemas de engenharia. Por outro lado, se

x¯ e´ uma raiz mu´ltipla, o erro em cada aproximac¸a\u2dco sucessiva e´ uma frac¸a\u2dco do erro

anterior. Isto e´ o resultado da ordem de aproximac¸a\u2dco do me´todo, que na\u2dco e´ a mesma

para os dois casos.

Dada uma sequ¨e\u2c6ncia {xi} que converge para x¯ e definindo o erro em cada iterac¸a\u2dco
por ei = x¯\u2212 xi para i = 0, 1, 2, . . . , se existe um nu´mero R e uma constante A 6= 0
tal que

lim
i\u2192\u221e

| ei+1 |
| ei |R = A,

enta\u2dco R e´ a ordem de converge\u2c6ncia da sequ¨e\u2c6ncia.

Para o me´todo de Newton, especificamente, se x¯ e´ uma raiz simples, enta\u2dco a

converge\u2c6ncia e´ quadra´tica, ou seja,

| ei+1 | \u2248 1
2

| f \u2032\u2032(x¯) |
| f \u2032(x¯) | | ei |

2 para i suficientemente grande.

Se x¯ e´ uma raiz mu´ltipla de ordem M , enta\u2dco a converge\u2c6ncia e´ linear, ou seja,

| ei+1 | \u2248 M \u2212 1
M

| f \u2032\u2032(x¯) |
| f \u2032(x¯) | | ei | para i suficientemente grande.

Comportamento oscilante e´ observado quando na\u2dco ha´ ra´\u131zes reais, quando a esti-

mativa inicial na\u2dco for adequada ou quando houver simetria em relac¸a\u2dco ao eixo dos

x, conforme indica a figura 2.6.

A estimativa da condic¸a\u2dco inicial no me´todo de Newton e´ muito importante. Pode-se

escolher x0 de forma que f(x0)f
\u2032\u2032(x0) > 0. A seguir indica-se outro me´todo iterativo

utilizado para a obtenc¸a\u2dco de ra´\u131zes de equac¸o\u2dces transcedentais onde a func¸a\u2dco f(x) e´

transformada em uma g(x) tal que xk+1 = g(xk).

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 37

Figura 2.6: Func¸o\u2dces onde ha´: a) Ause\u2c6ncia de ra´\u131zes reais; b) Segunda derivada
f \u2032\u2032(x¯) = 0 e c) Condic¸a\u2dco inicial inapropriada.

2.2.3 Me´todo da iterac¸a\u2dco linear

Dada f(x) = 0, determina-se uma func¸a\u2dco g(x) tal que x = g(x). Em geral, existem

muitas maneiras de expressar g(x), pore´m nem todas sa\u2dco igualmente satisfato´rias.

Exemplo 2.13: Para a func¸a\u2dco f(x) = x2\u2212x\u22122 = 0 algumas formas poss´\u131veis para
a func¸a\u2dco de iterac¸a\u2dco g(x) sa\u2dco:

xi+1 = x
2
i \u2212 2

xi+1 =
\u221a
2 + xi

xi+1 = 1 +
2

xi

Soluc¸~ao: Tomando a g(x) como sendo xi+1 =
\u221a
2 + xi, temos os resultados da

tabela 2.6

Como se pode ter va´rias func¸o\u2dces g(x), e´ preciso estabelecer algumas condic¸o\u2dces

para que, com a g(x) escolhida, o me´todo tenha converge\u2c6ncia garantida para uma

38 Cap´\u131tulo 2 - Ra´\u131zes de Func¸o\u2dces

Tabela 2.6: Me´todo da iterac¸a\u2dco linear aplicado ao polino\u2c6mio p (x) = x2\u2212x\u22121.
i xi p (xi)

0 1,2000 -1,7600
1 1,7889 -0,5887
2 1,9465 -0,1573
3 1,9866 0,0400
4 1,9966 -0,0102
5 1,9992 -0,0024
6 1,9998 -0,0006
7 2.0000 0,0000

determinada raiz de f(x) = 0. Evita-se, sempre que poss´\u131vel, formas envolvendo

inversas de func¸o\u2dces trigonome´tricas devido a propagac¸a\u2dco do erro.

Do ponto de vista gra´fico, o problema da converge\u2c6ncia pode ser ilustrado da

seguinte forma (Fig. 2.7): converge\u2c6ncia / diverge\u2c6ncia monoto\u2c6nica ou oscilante.

Exemplo 2.14: Determine a raiz de f(x) = ex \u2212 [cos(x) + 1]. Uma ana´lise do
gra´fico desta func¸a\u2dco indica que a raiz esta´ no intervalo [1, 0; 1, 5], conforme mostra a

(Fig. 2.8).

Soluc¸~ao: Escolher g(x) = ln[sen(x) + 1/2]; para evitar o uso de func¸o\u2dces do tipo

arc sen, arc cos, arc tg, etc, que geralmente conduzem a` propagac¸a\u2dco do erro. Para

aproximac¸a\u2dco inicial x0 = 1, 25, resultam os valores da tabela 2.7.

Assim, a raiz de f(x) = 0 que pertence ao intervalo em questa\u2dco e´ aproximadamente

0, 5991.

A seguir, apresenta-se um me´todo para determinar ra´\u131zes complexas, que sa\u2dco co-

muns em problemas vibrato´rios, na determinac¸a\u2dco de frequ¨e\u2c6ncias, etc.

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 39

Figura 2.7: Converge\u2c6ncia do me´todo da iterac¸a\u2dco linear.

2.2.4 Me´todo de Bairstow

A cada par de ra´\u131zes complexas conjugadas de um polino\u2c6mio com coeficientes reais

p (x) = anx
n+an\u22121xn\u22121+ · · ·+a1x+a0 esta´ associado um fator quadra´tico de p (x)

da forma x2 \u2212 \u3b1x \u2212 \u3b2, onde \u3b1, \u3b2 \u2208 R. Se R = a ± b i e´ uma raiz de p (x), enta\u2dco
\u3b1 = 2a e \u3b2 = \u2212(a2 + b2). De maneira geral, p (x) pode ser escrito como

p (x) = (x2 \u2212 \u3b1x\u2212 \u3b2)q(x) + b1(x\u2212 \u3b1) + b0,
onde b1(x\u2212\u3b1)+b0 e´ o resto da divisa\u2dco de p (x) por x2\u2212\u3b1x\u2212\u3b2 e q(x) e´ um polino\u2c6mio
de grau n\u2212 2 que pode ser representado por

q(x) = bnx
n\u22122 + bn\u22121xn\u22123 + · · ·+ b4x2 + b3x+ b2.

40 Cap´\u131tulo 2 - Ra´\u131zes de Func¸o\u2dces

Figura 2.8: Gra´fico da f(x).

Tabela 2.7: Resultado da raiz f(x) = ex\u2212 [cos(x)+1] pelo me´todo da iterac¸a\u2dco
linear.

i xi f(xi)

0 1,2500 2,1750
1 0,2741 -0,6473
2 0,6743 0,1815
3 0,5773 -0,0567
4 0,6087 0,0176
5 0,5991 -0,0054

Desta forma, p (x) fica

p (x) = (x2 \u2212 \u3b1x\u2212 \u3b2)(bnxn\u22122 + bn\u22121xn\u22123 + · · · + b3x+ b2) + b1(x\u2212 \u3b1) + b0

e os termos podem ser expandidos de maneira que

p (x) = bnx
n + (bn\u22121 \u2212 \u3b1bn)xn\u22121 + (bn\u22122 \u2212 \u3b1bn\u22121 \u2212 \u3b2bn)xn\u22122 + . . .

+ (bk \u2212 \u3b1bk+1 \u2212 \u3b2bk+2)xk + · · ·+ (b1 \u2212 \u3b1b2 \u2212 \u3b2b3)x+ b0 \u2212 \u3b1b1 \u2212 \u3b2b2.

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 41

Comparando esta equac¸a\u2dco com p (x) = anx
n+ an\u22121xn\u22121+ · · ·+ a1x+ a0, chega-se

a`s fo´rmulas recursivas para o ca´lculo dos coeficientes bk de q(x) conforme:

bn = an

bn\u22121 = an\u22121 + \u3b1bn (2.1)

bk = ak + \u3b1bk+1 + \u3b2bk+2 para k = n\u2212 2, n \u2212 3, . . . , 1, 0.

O ca´lculo destes coeficientes tambe´m pode ser expresso na forma de tabela 2.8:

Tabela 2.8: Ca´lculo dos coeficiente b\u2032ns

an an\u22121 an\u22122 an\u22123 · · · ak · · · a2 a1 a0

\u3b2 \u3b2bn \u3b2bn\u22121 · · · \u3b2bk+2 · · · \u3b2b4 \u3b2b3 \u3b2b2
\u3b1 \u3b1bn \u3b1bn\u22121 \u3b1bn\u22122 · · · \u3b1bk+1 · · · \u3b1b3 \u3b1b2 \u3b1b1

bn bn\u22121 bn\u22122 bn\u22123 · · · bk · · · b2 b1 b0

Exemplo 2.15: Mostre como dividir p (x) = x6\u2212x4\u22128x3+12x\u22125 por x2+x\u22124.
Soluc¸~ao: Neste caso, \u3b1 = \u22121 e \u3b2 = 4. Montando a tabela 2.9, tem-se

Tabela 2.9: Ca´lculo dos coeficientes bn do polino\u2c6mio p (x) = x
6 \u2212 x4 \u2212 8x3 +

12x\u2212 5.
1 0 \u22121 \u22128 0 12 \u22125

4 4 4 16 \u221232 96
\u22121 -1 1 \u22124 8 24 \u22124

1 \u22121 4 \u22128 24 4 97

42 Cap´\u131tulo 2 - Ra´\u131zes de Func¸o\u2dces

Sendo assim, p (x) = (x2 + x\u2212 4)(x4 \u2212 x3 + 4x2 \u2212 8x+ 2) + 4(x+ 1) + 97.
Esta ide´ia e´ usada no desenvolvimento do me´todo de Bairstow para o ca´lculo de

coeficientes \u3b1 e \u3b2 de tal forma que o fator quadra´tico