Calculo Numerico
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equac¸a\u2dco f(x) = 0

quando:

Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 51

(a) f(x) = ex \u2212 3x;
(b) f(x) = x2 \u2212 x\u2212 2.

5. Comece com x0 = 3, 1 e use o me´todo da iterac¸a\u2dco linear para encontrar x1 e x2

das seguintes func¸o\u2dces:

(a) g(x) = (x+ 9/x)/2

(b) g(x) = (18x)(x2 + 9)

(c) g(x) = x3 \u2212 24

(d) g(x) = 2x3/(3x2 \u2212 9)
(e) g(x) = 81/(x2 + 18)

6. Considere que as equac¸o\u2dces de movimento de um proje´til sejam

a)
y = f(t) = 1600

[
1\u2212 e\u2212 t5

]
\u2212 160t

x = r(t) = 800
[
1\u2212 e\u2212 t5

]
.

Comece com x0 = 8 e determine o tempo ate´ que ocorra o impacto.

b)
y = f(t) = 9600

[
1\u2212 e\u2212 t15

]
\u2212 480t

x = r(t) = 2400
[
1\u2212 e\u2212 t15

]
.

Comece com x0 = 9 e determine a dista\u2c6ncia percorrida ate´ o impacto.

7. Seja f(x) = (x \u2212 2)4. Use o me´todo de Newton-Raphson para determinar x1, x2,
x3 e x4. Determine se a sequ¨e\u2c6ncia esta´ convergindo linear ou quadraticamente,

fornecendo evide\u2c6ncias da sua conclusa\u2dco.

8. Uma caixa sem tampa e´ constru´\u131da com um pedac¸o de metal retangular que mede

10cm × 16cm. Quadrados de que tamanho devem ser retirados dos cantos se o
volume da caixa e´ de 100cm3?

9. Calcular uma aproximac¸a\u2dco para uma das ra´\u131zes de f(x) = x3\u2212sen(x) pelo me´todo
da bissecc¸a\u2dco com pelo menos DIGSE 3.

52 Cap´\u131tulo 2 - Ra´\u131zes de Func¸o\u2dces

10. Calcular uma raiz negativa da equac¸a\u2dco f(x) = x4 \u2212 2x3 \u2212 6x2 + 2 pelo me´todo da
posic¸a\u2dco falsa.

11. Calcule a raiz de f(x) = 2x\u2212 cos x com o me´todo da iterac¸a\u2dco linear.

12. Aplique o me´todo de Newton a` equac¸a\u2dco p (x) = x3 \u2212 2x2 \u2212 3x+ 10 com x0 = 1, 9.
Justifique o que acontece e discuta a ordem de converge\u2c6ncia.

13. Calcule a menor raiz positiva de f(x) = 4sen x\u2212 ex com o me´todo das secantes.

14. Suponha que uma certa calculadora pode realizar apenas as operac¸o\u2dces de soma,

de subtrac¸a\u2dco e de multiplicac¸a\u2dco. Calcule 3/13 nesta calculadora. Indique a ordem

de converge\u2c6ncia.

15. Utilizar o me´todo de Newton-Raphson para determinar
\u221a
5 com no m\u131´nimo DIGSE

9.

16. Utilize o me´todo das secantes para encontrar o zero positivo de f(x) = x\u22122sen(x)
com x0 = \u3c0/2 e x1 = 2\u3c0/3.

17. Calcular todas as ra´\u131zes do polino\u2c6mio p (x) = x3 \u2212 x\u2212 1.

18. Seja f(x) = x\u22122 sen(x). Escolha uma func¸a\u2dco de iterac¸a\u2dco g(x) apropriada e calcule
uma aproximac¸a\u2dco para a raiz que esta´ no intervalo [\u3c0/2, 2\u3c0/3].

19. Determine um intervalo aproximado que contenha a raiz de f(x) = 2x \u2212 cos x.
Calcule esta raiz com o me´todo da iterac¸a\u2dco linear. Interrompa o processo quando

o erro relativo for menor do que 0, 05.

20. Utilize o me´todo das secantes para calcular a menor raiz positiva de f(x) =

4 sen x \u2212 ex com 4 d´\u131gitos significativos exatos. Indique como se faz a escolha
dos pontos iniciais.

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21. Seja f(x) = ex\u2212 12 ln x. Determine suas ra´\u131zes reais usando o me´todo da iterac¸a\u2dco
linear com pelo menos 3 algarismos significativos exatos.

22. Utilize o me´todo das secantes para encontrar as ra´\u131zes de

(a) p (x) = x2 \u2212 2x\u2212 1;
(b) p (x) = 0, 5\u2212 x+ 0, 5 sen x;
(c) p (x) = x3 \u2212 x+ 2.

23. Encontre todas as ra´\u131zes de p (x) = x4 + 2x3 \u2212 x2 \u2212 2x + 10. Se for necessa´rio
utilizar o me´todo de Bairstow escolha \u3b10 = 1 e \u3b20 = \u22121.

24. Obtenha os pontos cr´\u131ticos de f(x) = x
2

2 + x(ln x\u2212 1).

54 Cap´\u131tulo 3 - Sistemas Lineares e na\u2dco -Lineares

3 SOLUC¸A\u2dcO DE SISTEMAS LINEARES E

NA\u2dcO LINEARES

Sistemas de equac¸o\u2dces lineares aparecem frequ¨entemente em problemas te´cnicos. O

Exemplo que segue da´ uma ide´ia de como isto acontece.

Exemplo 3.1: O concreto utilizado em calc¸adas, por exemplo, e´ uma mistura de

cimento portland, de areia e de cascalho. Um distribuidor disponibiliza tre\u2c6s lotes

para os empreiteiros. O lote 1 conte´m cimento, areia e cascalho misturados em

proporc¸o\u2dces 18 :
3
8 :

4
8 . O lote 2 tem as proporc¸o\u2dces

2
10 :

5
10 :

3
10 e o lote 3,

2
5 :

3
5 :

0
5 .

Determinar as quantidades x1, x2, x3 a serem usadas de cada lote para formar uma

mistura de 10m3. Suponha que a mistura deva conter b1 = 2, 3m
3, b2 = 4, 8m

3 e

b3 = 2, 9m
3 de cimento portland, areia e cascalho, respectivamente.

Soluc¸~ao: O sistema de equac¸o\u2dces lineares para os ingredientes e´

cimento 0, 125x1 + 0, 200x2 + 0, 400x3 = 2, 3

areia 0, 375x1 + 0, 500x2 + 0, 600x3 = 4, 8

cascalho 0, 500x1 + 0, 300x2 + 0, 000x3 = 2, 9

A soluc¸a\u2dco deste sistema linear e´ x1 = 4, x2 = 3 e x3 = 3, o que pode ser verificado

por substituic¸a\u2dco direta nas equac¸o\u2dces acima.

Um sistema linear da forma AX = B, onde A \u2208 Rn×n, X \u2208 Rn e B \u2208 Rn
pode ser resolvido atrave´s de me´todos diretos1 e de iterativos2. Um me´todo e´ direto

1Exemplos: Regra de Cramer, Eliminac¸a\u2dco de Gauss, Gauss Jordan, etc.
2Exemplos: Gauss-Seidel, Jacobi, etc.

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quando a soluc¸a\u2dco exata X \u2208 Rn e´ obtida realizando-se um nu´mero finito de operac¸o\u2dces
aritme´ticas em R. Um me´todo e´ iterativo quando a soluc¸a\u2dco X \u2208 Rn e´ obtida como
limite de uma sequ¨e\u2c6ncia de aproximac¸o\u2dces sucessivas X1,X2, . . . , isto e´, limn\u2192\u221e |X\u2212
Xn | = 0.

3.1 Me´todos diretos para sistemas lineares

Um sistema linear da forma

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a22x2 + · · · + a2nxn = b2

...

annxn = bn

onde aii 6= 0 para i = 1, 2, . . . , n e´ dito um sistema triangular. Sua soluc¸a\u2dco e´ dada
por retro-substituic¸a\u2dco atrave´s da fo´rmula de recorre\u2c6ncia

xi =

bi \u2212
n\u2211

j=i+1

aijxj

aii
, i = n\u2212 1, n \u2212 2, . . . , 1

onde xn =
bn
ann

. Este algoritmo pode ser incorporado ao me´todo de eliminac¸a\u2dco de

Gauss para encontrar a soluc¸a\u2dco de um sistema.

3.1.1 Me´todo de Eliminac¸a\u2dco de Gauss

Este e´ um esquema eficiente para resolver um sistema AX = B de n equac¸o\u2dces

a n inco´gnitas de pequeno tamanho (ordem 101). O passo crucial e´ construir um

sistema triangular superior A\u2032X = B\u2032 equivalente que pode ser resolvido por retro-
substituic¸a\u2dco.

56 Cap´\u131tulo 3 - Sistemas Lineares e na\u2dco -Lineares

Dois sistemas lineares de dimensa\u2dco n×n sa\u2dco equivalentes desde que os seus conjun-
tos de soluc¸o\u2dces sejam os mesmos. Teoremas de a´lgebra linear mostram que quando

certas operac¸o\u2dces sa\u2dco aplicadas a um dado sistema, os conjuntos soluc¸o\u2dces na\u2dco muda.

As seguintes operac¸o\u2dces, quando aplicadas a um sistema linear, resultam num sis-

tema equivalente:

1. Mudanc¸a de ordem de duas equac¸o\u2dces.

2. Multiplicac¸a\u2dco de uma equac¸a\u2dco por uma constante na\u2dco nula.

3. Adic¸a\u2dco de um mu´ltiplo de uma equac¸a\u2dco a uma outra equac¸a\u2dco.

Descreve-se, a seguir, o me´todo de eliminac¸a\u2dco de Gauss para um sistema de ordem

3, sendo que o mesmo processo pode ser aplicado a sistemas de qualquer ordem.

Assim, considere um sistema do tipo\uf8ee\uf8ef\uf8f0a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33

\uf8f9\uf8fa\uf8fb
\uf8ee\uf8ef\uf8f0x1x2
x3

\uf8f9\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0b1b2
b3

\uf8f9\uf8fa\uf8fb
que pode ser representado pela matriz aumentada\uf8ee\uf8ef\uf8f0a11 a12 a13 b1a21 a22 a23 b2

a31 a32 a33 b3

\uf8f9\uf8fa\uf8fb linha pivo\u2c6 se a11 6= 0

O objetivo e´ obter um sistema triangular da forma\uf8ee\uf8ef\uf8f0a11 a12 a13 b10 a\u203222 a\u203223 b\u20322
0 0 a

\u2032\u2032

33 b
\u2032\u2032

3

\uf8f9\uf8fa\uf8fb

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A primeira etapa do processo consiste em zerar os elementos da primeira coluna

abaixo da diagonal principal, obtendo\uf8ee\uf8ef\uf8f0a11 a12 a13 b10 a\u203222 a\u203223 b\u20322
0 a\u203232 a

\u2032
33 b

\u2032
3

\uf8f9\uf8fa\uf8fb
Os novos valores sa\u2dco dados por

a\u203222 = a22 \u2212m21a12
a\u203223 = a23 \u2212m21a13
b\u20322 = b2 \u2212m21b1

a\u203232 = a32 \u2212m31a12
a\u203233 = a33 \u2212m31a13
b\u20323 = b3 \u2212m31b1

onde m21 = a21/a11 e m31 = a31/a11.

A etapa seguinte consiste da repetic¸a\u2dco da primeira etapa no sistema 2× 2:[
a\u203222 a

\u2032
23 b

\u2032
2

a\u203232 a
\u2032
33 b

\u2032
3

]

Neste caso,

a
\u2032\u2032

33 = a
\u2032
33 \u2212m32a\u203223

b
\u2032\u2032

3 = b
\u2032
3 \u2212m32b\u20322

onde m32 = a
\u2032
32/a

\u2032
22.

Se aii = 0, a linha i na\u2dco pode ser utilizada para eliminar os elementos da coluna

i; a linha i deve ser trocada por outra