Calculo Numerico
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linha para que se obtenha um pivo\u2c6 na\u2dco nulo.
Se isto na\u2dco for poss´\u131vel, enta\u2dco o sistema na\u2dco possui soluc¸a\u2dco u´nica.
58 Cap´\u131tulo 3 - Sistemas Lineares e na\u2dco -Lineares
Exemplo 3.2: Expresse o sistema na forma matricial, encontre um sistema trian-
gular superior equivalente e calcule a sua soluc¸a\u2dco.
x1 + 2x2 + x3 + 4x4 = 13
2x1 + 4x3 + 3x4 = 28
4x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 20
\u22123x1 + x2 + 3x3 + 2x4 = 6
Soluc¸~ao: A matriz aumentada para este sistema e´
pivo\u2c6 \u2192 1 2 1 4 13
m21 = 2 2 0 4 3 28
m31 = 4 4 2 2 1 20
m41 = \u22123 \u22123 1 3 2 6
A primeira linha e´ usada para eliminar os elementos na primeira coluna abaixo da
diagonal. Multiplicando a linha i por mi1 e subtraindo-a da linha j para j = 2, 3, 4,
o resultado apo´s a eliminac¸a\u2dco e´
1 2 1 4 13
pivo\u2c6 \u2192 0 -4 2 \u22125 2
m32 = 1, 5 0 \u22126 \u22122 \u221215 \u221232
m42 = \u22121, 75 0 7 6 14 45
A segunda linha e´ utilizada para eliminar os elementos na segunda coluna que
esta\u2dco abaixo da diagonal. A linha 2 e´ multiplicada por mi2 e subtra´\u131da da linha k
para k = 3, 4; o resultado da eliminac¸a\u2dco e´
1 2 1 4 13
0 \u22124 2 \u22125 2
pivo\u2c6 \u2192 0 0 -5 \u22127, 5 \u221235
m43 = \u22121, 9 0 0 9, 5 5, 25 48, 5
Finalmente, o mu´ltiplo m43 da terceira linha e´ utilizado e o resultado do sistema
triangular superior e´
1 2 1 4 13
0 \u22124 2 \u22125 2
0 0 \u22125 \u22127, 5 \u221235
0 0 0 \u22129 \u221218
Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 59
Obte´m-se a soluc¸a\u2dco,
x4 = 2 x3 = 4 x2 = \u22121 x1 = 3.
O me´todo de Gauss ira´ falhar quando um pivo\u2c6 for nulo pois, neste caso, na\u2dco
sera´ poss´\u131vel calcular os multiplicadores mij utilizados na eliminac¸a\u2dco. Este se´rio
problema pode ser evitado pelo uso da estrate´gia da pivotac¸a\u2dco. Esta consiste em
trocar linhas (ou colunas) de forma a minimizar a propagac¸a\u2dco de erros nas operac¸o\u2dces.
Existem basicamente dois tipos: o parcial e o total. Como o total geralmente na\u2dco e´
conveniente, discute-se apenas o parcial.
Pivotamento Parcial: A pivotac¸a\u2dco parcial garante que o pivo\u2c6 seja na\u2dco nulo,
exceto quando a matriz for singular. A escolha dos pivo\u2c6s e´ feita de acordo com o
seguinte esquema:
1o Pivo\u2c6 - Elemento de maior valor absoluto na coluna 1;
2o Pivo\u2c6 - Elemento de maior valor absoluto na coluna 2;
e assim por diante.
Exemplo 3.3:Resolver o sistema
{
2x \u2212 4y + 7z = 3
9x \u2212 3z = 3
4x \u2212 8y + 5z = \u22124
pelo me´todo de eliminac¸a\u2dco de Gauss com pivotamento parcial com 2 algarismos
significativos:
60 Cap´\u131tulo 3 - Sistemas Lineares e na\u2dco -Lineares
Soluc¸~ao: Para o problema tem-se
2 \u22124 7
..
. 3
9 0 \u22123
..
. 3
4 \u22128 5
..
. \u22124
Fazendo-se o pivotamento parcial e eliminando os elementos abaixo da linha do pivo\u2c6
resulta
9 0 \u22123
... 3
0 4 7, 67
... 2, 33
0 \u22128 6, 33
... \u22125, 33
Da mesma forma, para o segundo pivo\u2c6 obte´m-se
9 0 \u22123
... 3
0 \u22128 7, 67
... \u22125, 33
0 0 9, 84
... \u22120, 34
e finalmente
x = 0, 322
y = 0, 639
z = \u22120, 034
3.1.1.1 Inversa\u2dco de matrizes
Uma pequena modificac¸a\u2dco no algoritmo de eliminac¸a\u2dco de Gauss da´ origem a um
algoritmo para determinar a inversa de uma matriz. Neste caso, ao inve´s de adicionar
Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 61
apenas um vetor a` matriz aumentada, adiciona-se a matriz identidade do lado direito
de A, resultando [AI]. Uma sucessa\u2dco de operac¸o\u2dces com as linhas e´ realizada para
eliminar tanto os elementos acima como os abaixo da diagonal da matriz aumentada.
O objetivo e´ obter a matriz identidade do lado esquerdo e os vetores soluc¸a\u2dco do lado
direito da matriz aumentada, resultando [I A\u22121].
Exemplo 3.4: Encontre a inversa da matriz
\uf8ee\uf8ef\uf8f02 0 13 2 5
1 \u22121 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
Soluc¸~ao: Inicia-se com a matriz aumentada, ou seja,\uf8ee\uf8ef\uf8f02 0 1 1 0 03 2 5 0 1 0
1 \u22121 0 0 0 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
Troca-se as linhas 1 e 2 para que a11 = 3, resultando\uf8ee\uf8ef\uf8f03 2 5 0 1 02 0 1 1 0 0
1 \u22121 0 0 0 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
Elimina-se os elementos na coluna 1 que esta\u2dco abaixo da diagonal principal, con-
forme \uf8ee\uf8ef\uf8f03 2 5 0 1 00 \u22124/3 \u22127/3 1 \u22122/3 0
0 \u22125/3 \u22125/3 0 \u22121/3 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
62 Cap´\u131tulo 3 - Sistemas Lineares e na\u2dco -Lineares
Como a32 > a22, troca-se a segunda com a terceira linha, obtendo\uf8ee\uf8ef\uf8f03 2 5 0 1 00 \u22125/3 \u22125/3 0 \u22121/3 1
0 \u22124/3 \u22127/3 1 \u22122/3 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
e elimina-se o elemento na segunda linha que esta´ abaixo da diagonal, conforme\uf8ee\uf8ef\uf8f03 2 5 0 1 00 \u22125/3 \u22125/3 0 \u22121/3 1
0 0 \u22121 1 \u22122/5 \u22124/5
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
Agora que a matriz ja´ esta´ na forma triangular superior, deve-se comec¸ar o processo
de re-escalonamento eliminando os elementos da terceira coluna que esta\u2dco acima da
diagonal: \uf8ee\uf8ef\uf8f03 2 0 5 \u22121 \u221240 \u22125/3 0 \u22125/3 1/3 7/3
0 0 \u22121 1 \u22122/5 \u22124/5
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
Elimina-se o elemento na segunda coluna acima da diagonal, ficando com\uf8ee\uf8ef\uf8f03 0 0 3 \u22123/5 \u22126/50 \u22125/3 0 \u22125/3 1/3 7/3
0 0 \u22121 1 \u22122/5 \u22124/5
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
Para obter a matriz identidade do lado esquerdo da matriz aumentada multiplica-se
a primeira linha por 1/3, a segunda por \u22123/5 e a terceira por \u22121, resultando\uf8ee\uf8ef\uf8f01 0 0 1 \u22121/5 \u22122/50 1 0 1 \u22121/5 \u22127/5
0 0 1 \u22121 2/5 4/5
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 63
ou seja,
A\u22121 =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 1 \u22121/5 \u22122/51 \u22121/5 \u22127/5
\u22121 2/5 4/5
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
Nu´mero de operac¸o\u2dces para o me´todo de eliminac¸a\u2dco de Gauss
Os me´todos diretos empregados na soluc¸a\u2dco de sistemas lineares sa\u2dco, algumas vezes,
comparados quanto a` eficie\u2c6ncia, servindo como base o nu´mero de operac¸o\u2dces ar-
itme´ticas requerido. Durante o processo de triangularizac¸a\u2dco e´ feita uma contagem
do nu´mero de operac¸o\u2dces, conforme 3.1:
Tabela 3.1: Nu´mero de operac¸o\u2dces para o me´todo de eliminac¸a\u2dco de Gauss
Esta´gio Diviso\u2dces Multiplicac¸o\u2dces Subtrac¸o\u2dces
1 n\u2212 1 n(n\u2212 1) n(n\u2212 1)
2 n\u2212 2 (n\u2212 1)(n\u2212 2) (n\u2212 1)(n\u2212 2)
...
...
...
...
n\u2212 1 1 2 · 1 2 · 1
Totais
\u2211n\u22121
k=1 k
\u2211n
k=2 k(k \u2212 1)
\u2211n
k=2 k(k \u2212 1)
Usando as fo´rmulas da a´lgebra
n\u2211
k=1
k =
n(n+ 1)
2
e
n\u2211
k=1
k2 =
n(n+ 1)(2n + 1)
6
obte´m-se que o total de diviso\u2dces e´
n(n\u2212 1)
2
e o total de multiplicac¸o\u2dces e de subtrac¸o\u2dces
e´
1
3
(n3 \u2212 n).
Durante as substituic¸o\u2dces sucessivas o nu´mero de operac¸o\u2dces e´
64 Cap´\u131tulo 3 - Sistemas Lineares e na\u2dco -Lineares
- Diviso\u2dces: n;
- Multiplicac¸o\u2dces e Subtrac¸o\u2dces: 1 + 2 + · · ·+ (n\u2212 1) = n(n\u2212 1)
2
.
Desta forma, o nu´mero de operac¸o\u2dces total corresponde a
n(n+ 1)
2
diviso\u2dces e
n3
3
+
n2
2
\u2212 5n
6
multiplicac¸o\u2dces e subtrac¸o\u2dces.
3.1.2 Fatorac¸a\u2dco LU
Considere um sistema linear AX = B. O objetivo e´ construir uma matriz triangu-
lar superior U com uii 6= 0, uma matriz triangular inferior L com lii = 1 e lij = mij3
(para i = 1, 2, . . . ) e uma matriz de permutac¸a\u2dco P , matriz identidade permutada de
acordo com as transformac¸o\u2dces realizadas em A, que rearranja as linhas de A tal que
PA = LU
A soluc¸a\u2dco X e´ determinada seguindo os passos:
1. ca´lculo das matrizes L, U e P ;
2. determinac¸a\u2dco do vetor PB;
3. soluc¸a\u2dco do sistema triangular inferior LY = PB para Y ;
4. soluc¸a\u2dco do sistema triangular superior UX = Y para X.
Exemplo 3.5: Resolva o sistema linear\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
3x1 \u2212 4x2 + x3 = 9
x1 + 2x2 + 2x3 = 3
4x1 \u2212 3x3 = \u22122
3Dispostos na mesma ordem da matriz A triangularizada.
Fund. de Ca´lculo Nume´rico para Engenheiros 65
com pivotamento parcial.
Soluc¸~ao: Os fatores
L =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 1 0 03/4 1 0
1/4 \u22121/2 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fb, U =
\uf8ee\uf8ef\uf8f04 0 \u221230 \u22124 13/4
0 0 35/8
\uf8f9\uf8fa\uf8fb e P =
\uf8ee\uf8ef\uf8f00 0 11 0 0
0 1 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
sa\u2dco os fatores da matriz
PA4 =
\uf8ee\uf8ef\uf8f00 0 11 0 0
0 1 0
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
\uf8ee\uf8ef\uf8f03 \u22124 11 2 2
4 0 \u22123
\uf8f9\uf8fa\uf8fb =
\uf8ee\uf8ef\uf8f04 0 \u221233 \u22124 1
1 2 2
\uf8f9\uf8fa\uf8fb .
A soluc¸a\u2dco dos sistemas LY = PB e UX = Y fornece
Y =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 \u2212221/2
35/4
\uf8f9\uf8fa\uf8fb e X =
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 1\u22121
2
\uf8f9\uf8fa\uf8fb .
3.2 Me´todos Iterativos para Sistemas Lineares
Nesta sec¸a\u2dco descreve-se os me´todos iterativos de Jacobi, Gauss-Seidel e o SOR/SUR
(sub/sobre-relaxac¸o\u2dces sucessivas). Tais me´todos sa\u2dco eficazes para sistemas de grande
porte, economizando tempo computacional, principalmente os esparsos, na qual os
me´todos diretos