apostila poligonos-regulares (1)

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APOSTILA-POLÍGONOS REGULARES-ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 
 1 
 
 
 
 
 
 
 
ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI 
 
 
 
UNITAU 
 
 
 
APOSTILA 
 
 
 
POLÍGONOS REGULARES 
 
 
 
PROF. CARLINHOS 
 
 
 
 
NOME: NO: 
 
 
 
APOSTILA-POLÍGONOS REGULARES-ELABORADA PELO PROF. CARLINHOS 
 2 
POLÍGONOS REGULARES 
 
É todo polígono eqüilátero (todos os lados congruentes) e eqüiângulo(todos os 
ângulos internos congruentes e externos congruentes). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POLÍGONO INSCRITO E CIRCUNSCRITO 
 
Todo o polígono regular e inscritível e circunscritível a uma circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ELEMENTOS DE UM POLÍGONO REGULAR 
�Raio(R) da circunferência circunscrita. 
�Ângulo central (αααα). 
�Ângulo interno (ai). 
�Ângulo externo (ae). 
�Apótema(m) ou raio da circunferência inscrita (r) 
� Soma dos ângulos internos (Si) 
 
 
 º180).2( −= nS i 
R R αααα 
ai ae 
m 
 
 L 
 
 L 
 
αααα 
 
αααα 
 
 αααα 
 
 αααα 
 
 αααα 
 
αααα 
 
 αααα 
 
 αααα 
 
L 
 
L 
 
 L 
 
 L 
 
 L 
 
L 
r 
 r R 
n
ae
º360
== α
n
n
ai
º180).2( −
=
º180=+ ei aa
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Área de um polígono regular circunscrito 
 
Dizemos que polígono é circunscrito quando ele admite uma circunferência inscrita. 
Seja A a sua área, p o seu semi-perímetro e r o raio da circunferência inscrita ou o 
apótema, então: A = p.r 
 
Relações métricas nos polígonos regulares inscritos 
 
Seja L a medida do lado do polígono, R a do raio da circunferência 
circunscrita e m a do seu apótema, podemos estabelecer relações entre essas 
medidas as quais chamaremos de relações métricas. Estudaremos a seguir as relações 
métricas no triângulo eqüilátero, no quadrado e no hexágono regular todo 
inscritos numa circunferência de raio R. 
 
TRIÂNGULO EQUILÁTERO QUADRADO HEXÁGONO REGULAR 
 
 
 
QUADRADO 
 
 
 
 
 
3Rl = 2Rl = Rl = 
2
R
m = 
2
2
2
Rl
m == 
2
3
2
3 Rl
m == 
mpA .= mpA .= mpA .= 
4
33 2RA = 22RA = 
2
33 2l
A = 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM 
 
1) Calcule a medida do ângulo interno e do ângulo externo dos seguintes polígonos 
regulares: 
 
a) triângulo resp: 60º e 120º b) quadrado resp: 90º e 90 c) hexágono resp: 120º e 60º 
 
2) Quantos lados tem um polígono regular cujo o ângulo interno mede: 
 
a) 140º resp: 9 b) 135º resp: 8 c) 144º resp: 10 d) 120º resp: 6 
 
rpraaarararaA nn ..
2
)...(
2
.
...
2
.
2
. 2121
=
+++
=+++=
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 4 
3) Quantos lados tem um polígono regular cujo ângulo externo mede: 
 
 a) 20º resp: 18 b) 18º resp: 20 c) 90º resp: 4 d) 30º resp: 12 
 
4) O apótema de um quadrado inscrito em uma circunferência mede 6cm. Calcule a 
medida da sua diagonal. resp: 12 2 cm 
 
5) A maior diagonal de um hexágono regular tem 6cm. Calcule as medidas do apótema 
e do lado desse hexágono. resp: m = 
2
23
 cm l = 3cm 
 
6) Em uma mesma circunferência estão inscritos um quadrado e um triângulo 
eqüilátero. O apótema do quadrado mede 3,5 cm. Calcule o apótema do triângulo. 
resp: 
4
27
cm 
 
7) Na figura abaixo, o segmento AB corresponde ao lado de um hexágono regular 
inscrito, enquanto o segmento BC corresponde ao lado de um quadrado inscrito. 
Considerando 2 =1,41, qual é a distância que se percorre indo, em linha reta, de A até 
C, passando por E ? Resp: 24,1 cm 
 
8) Determine a área de um quadrado inscrito numa circunferência de 5 dm de 
raio. Resp: 50dm2 
 
9) Calcule a área de um triângulo eqüilátero, sabendo que seu apótema mede 3 
cm. Resp: 27 3 cm2 
 
10) A figura abaixo foi cortada de uma cartolina e é formada por um hexágono regular e 
seis quadrados. Cada lado do hexágono mede 10cm Considerando 3 = 1,73, 
quantos centímetros quadrados de cartolina foram usados para fazer a figura? Resp: 
859,5cm2