Estruturas de Madeira

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Estruturas de Madeira
Prof. Glauco José de O. Rodrigues, D.Sc.
Ago/2017
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Bibliografia:
2
• Dimensionamento de Elementos Estruturais de Madeira – Carlito Calil Junior /
Francisco Antonio Rocco Lahr / Antonio Alves Dias – Editora Manole (Livro
Texto);
• Estruturas de Madeira – Walter Pfeil / Michèle Pfeil – Editora LTC (Livro 
Complementar);
• NBR 7190/97 – Projeto de Estruturas de Madeira – Associação Brasileira de 
Normas Técnicas;
• Caderno de Projetos de Telhados em Estruturas de Madeira – Antonio
Moliterno – 3ª Edição – Editora Blucher;
• Coberturas em Estruturas de Madeira, Exemplos de Cálculo – Carlito Calil 
Junior / Julio Cesar Molina, Editora PINI;
• Manual de Projeto e construção de Passarelas com Estruturas de Madeira –
Carlito Calil Junior / Julio Cesar Molina / Pedro Gutemberg de Alcântara 
Segundinho / Erica Fernanda Aiki Kimura, Editora PINI.
2
Conteúdo Programático:
1. Algumas informações fundamentais sobre a madeira;
2. Características físicas e mecânicas da madeira relevantes para o
projeto de estruturas;
3. Propriedades de resistência e rigidez da madeira;
4. Considerações sobre ações e segurança em projetos de estruturas de 
madeira;
5. Critérios de dimensionamento;
6. Ligações em estruturas de madeira;
7. Flexão Oblíqua;
8. Seções Compostas.
3
1. Algumas informações fundamentais sobre a madeira
4
3
5
Treliça de cobertura de ginásio (Finlandia)
6
Shopping Vilarejo – Itaipava - Petrópolis
4
7
Shopping Via Parque – Barra da Tijuca – Rio de Janeiro
8
Shopping Via Parque – Barra da Tijuca – Rio de Janeiro
5
9
Residência na Estrada do Rio Grande – Jacarepaguá – Rio de Janeiro
10
Deck – Siesta Key Beach – Sarasota, Fl., USA.
6
11
Estádio Olímpico de Tóquio - Modelo
12
Estádio Olímpico de Tóquio - Modelo
7
Benefícios proporcionados pelas árvores :
• Melhora da qualidade do ar devido à fotossíntese;
• Biodiversidade (fauna e flora);
• Redução da erosão e suas consequências.
1. Algumas informações fundamentais sobre a madeira
13
Atividade florestal:
Uma das poucas que, com utilização de métodos racionais de
exploração, poderá conjugar a expansão econômica à conservação da
qualidade de vida (desenvolvimento sustentado).
Vantagens da produção de madeiras para estruturas:
• A extração e o desdobro (corte das toras) envolvem baixo consumo de
energia;
• No aço e no concreto, os processos de produção são altamente poluentes,
antecedidos por agressões ambientais consideráveis para obtenção de
matéria prima. Os referidos processos requerem alto consumo energético e a
matéria prima retirada da natureza jamais será reposta;
• A madeira apresenta alta resistência em relação à densidade, ou seja, são
dotadas de baixo peso próprio;
• Conveniente desempenho a altas temperaturas apesar da sua
inflamabilidade;
1. Algumas informações fundamentais sobre a madeira
14
8
Comportamento dos materiais estruturais em situação de incêndio
Perfil “I” de aço
Viga de madeira
15
1. Algumas informações fundamentais sobre a madeira
Materiais Estruturais – Dados Comparativos
Material
Peso 
Específico 
(g/cm3)
Energia 
consumida na 
produção 
(MJ/m3)
Resistência 
(MPa)
Módulo de 
Elasticidade 
(GPa)
Concreto 2,4 1920 20 20
Aço 7,8 234000 250 210
Madeira 
conífera
0,6 600 50 12
Madeira 
dicotiledônea
0,9 630 75 8
16
1. Algumas informações fundamentais sobre a madeira
9
Emprego da madeira:
• Coberturas: residenciais, comerciais, industriais, construções rurais;
• Cimbramentos: para estruturas de concreto (armado e protendido);
• Transposição de obstáculos: pontes, viadutos, passarelas;
• Armazenamento: silos verticais e horizontais;
• Linhas de transmissão (energia elétrica de baixa tensão e telefonia);
• Obras portuárias;
• Componentes não estruturais para edificações: painéis divisórios, esquadrias,
lambris, forros, pisos, etc.
1. Algumas informações fundamentais sobre a madeira
17
Este curso abordará apenas os aspectos inerentes à madeira com função estrutural.
Principais preconceitos inerentes à madeira:
• Divulgação insuficiente de informações tecnológicas;
• Falta de projetos específicos desenvolvidos por profissionais habilitados;
• Mão de obra não qualificada e maquinário obsoleto ou adaptado;
• Associação do uso da madeira à “catástrofes ecológicas”.
1. Algumas informações fundamentais sobre a madeira
18
...“Não está sendo defendida aqui, a exploração irracional e predatória. O que se almeja é a
aplicação de um manejo de cultura e exploração inteligente, fundamentado em técnicas há
muito dominadas por engenheiros florestais e profissionais de área correlatas, que poderá
garantir a perenidade de nossas reservas florestais.”
(extraído do livro texto, pág. 06).
10
19
1. Algumas informações fundamentais sobre a madeira
Classificação botânica das Árvores
Classe de Vegetais: Fanerógramas
Gimnospermas Angiospermas
Classe mais importante: 
Coníferas, também conhecidas 
como softwoods, ou seja, 
madeiras moles.
Classe mais importante: 
Dicotiledôneas, também 
conhecidas como hardwoods, ou 
seja, madeiras duras.
Coníferas:
• Folhas perenes, em formato de escamas ou agulhas;
• Típicas de climas temperados e frios (Hemisfério Norte);
• Na América do Sul: (Sul do Brasil).
Pinho do Paraná;
Pinus: Pinus Taeda;
Pinus Elliottii;
Pinus Oocarpa;
Pinus Caribea.
20
1. Algumas informações fundamentais sobre a madeira
11
21
1. Algumas informações fundamentais sobre a madeira
Dicotiledôneas:
• Folhas de diferentes formatos renovadas periodicamente;
• Quase totalidade das florestas tropicais. 
Algumas dicotiledôneas:
Aroeira do Sertão Peroba Rosa Ipê
Mogno Cedro Imbuia
Caviúna Angico Garapa
Pau-marfim Cerejeira Cabriúva
Amendoim Jacarandá-da-Bahia Angelim Vermelho
Canela Freijó Itaúba
Virola Jequitibá Rosa Copaíba
Pau-Brasil Peroba-do-Campo Canafístula
Cambará Sucupira Maçaranduba
22
1. Algumas informações fundamentais sobre a madeira
Estrutura macroscópica da madeira
12
23
Cerne
Alburno
Estrutura microscópica e fisiologia da árvore - Coníferas
24
1. Algumas informações fundamentais sobre a madeira
13
Estrutura microscópica e fisiologia da árvore - Dicotiledôneas
25
1. Algumas informações fundamentais sobre a madeira
Anisotropia – reações diferentes segundo a direção da solicitação
26
1. Algumas informações fundamentais sobre a madeira
14
27
2. Características físicas e mecânicas da madeira relevantes para 
o projeto de estruturas:
Variação da resistência e do módulo de elasticidade (E) da madeira com o seu 
peso específico:
28
2. Características físicas e mecânicas da madeira relevantes para o projeto de estruturas:
15
29
2. Características físicas e mecânicas da madeira relevantes para o projeto de estruturas:
• Temperatura ambiente;
• Composição e umidade do solo no local de crescimento da árvore;
• Densidade do povoamento e tipo de manejo a ele aplicado;
• Posição da árvore no terreno;
• Incidência de chuvas;
• Geometria dos anéis de crescimento;
• Idade das diferentes camadas;
• Posição da amostra em relação a altura da árvore ou ao seu diâmetro;
• Maior ou menor incidência de nós e de fibras reversas;
• Umidade;
• Número e dimensões dos corpos-de-prova ensaiados.
Fatores que influenciam nas propriedades da madeira:
Fatores anatômicos
• Densidade;
• Inclinação das Fibras;
• Falhas naturais da madeira: encurvamento do tronco e dos galhos durante o
crescimento; Presença de alburno (A); Presença de medula (B) e faixas de
parênquima (C);
30
2. Características físicas e mecânicas da madeira relevantes para o projeto de estruturas:
1631
a) Nó
b) Fendas
c) Gretas
d) Abaulamento
e) Arqueamento
f) Fibras 
Reversas
g) Esmoado
h) Empenamento
Defeitos:
Fatores ambientais e de utilização
• Umidade;
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2. Características físicas e mecânicas da madeira relevantes para o projeto de estruturas:
• Defeitos por ataques biológicos.
17
33
� Madeira Bruta ou madeira roliça.
� Madeira Falquejada, obtida trabalhando 
o tronco com machados.
Tipos de Madeira
34
� Madeira Serrada
Obtida com corte e desdobro das peças.
Melhor época para abate são as épocas secas. 
No Brasil, meses sem “R”. (maio, junho, 
julho, agosto).
18
35
Desdobros mais comuns
36
2. Características físicas e mecânicas da madeira relevantes para o projeto de estruturas:
Umidade
• A umidade da madeira tem grande importância sobre suas propriedades. O
grau de umidade (U) é o peso de água contido na madeira expresso por uma
porcentagem da massa da madeira seca em estufa (ms) (até a estabilização
do peso):
(mi ) massa inicial
• A umidade está presente na madeira de duas formas:
- água no interior da cavidade das células ocas e
- água absorvidas paredes das fibras.
• Exposta ao meio ambiente ele perde continuamente umidade por evaporação
das moléculas livres de água das células ocas.
100(%) ×−=
s
si
m
mmU
19
37
2. Características físicas e mecânicas da madeira relevantes para o projeto de estruturas:
Exercício 2.1: Deseja-se determinar a porcentagem de umidade de uma peça de Jatobá, a
ser empregada na confecção de um piso. Dela se retira uma amostra, de acordo com
recomendações da NBR 7190/1997. A massa inicial da amostra é 42,88g. A massa seca é
28,76g. Qual é o valor da umidade procurada (U)?
%1,49(%)
100
76,28
76,2888,42100(%)
=
×
−
=×
−
=
U
m
mmU
s
si
38
2. Características físicas e mecânicas da madeira relevantes para o projeto de estruturas:
Exercício 2.2: Uma peça de madeira para emprego estrutural tem massa de 6148g a U%
de umidade e deve ser submetida à secagem até atingir 12%, condição na qual será
utilizada. Sabendo-se que uma amostra retirada da referida peça, nas dimensões indicadas
pela NBR 7190/1997, pesou 34,52g (com U% de umidade) e 25,01g (massa seca), pede-se
estimar o peso da peça em questão quando for atingida a umidade de 12%.
%0,38(%)100
01,25
01,2552,34100(%) =∴×−=×−= U
m
mmU
s
si
Massa seca (U= 38%):
g
U
m
m
m
mmU is
s
si 4455
1000,38
6148100
100(%)
100100(%) =
+
×
=
+
=∴×
−
=
gmmmUm ss 6,49894455100
445512
100
(%)
1212 =+
×
=∴+=
Massa (U= 12%):
Cálculo da umidade inicial (U%)
20
39
3. Propriedades de resistência e rigidez da madeira:
Eixos de Referência:
Paralelo às fibras (0)
Perpendicular às fibras (90)
40
3. Propriedades de resistência e rigidez da madeira:
21
Comportamento da madeira na compressão:
(A) Paralelo à fibras (grande resistência);
(B) Perpendicular às fibras (aprox.1/4 de A).
41
3. Propriedades de resistência e rigidez da madeira:
Tipos de compressão na madeira:
42
3. Propriedades de resistência e rigidez da madeira:
Paralelo à fibras Perpendicular às fibras Inclinada
22
Perpendicular às fibras: 
alta resistência
Paralelo às fibras: menor resistência
Cisalhamento horizontal Cisalhamento rolling
43
Tipos de cisalhamento na madeira:
3. Propriedades de resistência e rigidez da madeira:
44
Comportamento da madeira na flexão simples:
3. Propriedades de resistência e rigidez da madeira:
23
45
Caracterização das resistências da madeira:
Caracterização completa:
É recomendada para espécies de madeira não conhecidas, e consiste na
determinação de todas as suas propriedades:
• Resistência à compressão paralela às fibras (fc0);
• Resistência à tração paralela às fibras (ft0);
• Resistência à compressão perpendicular às fibras (fc90);
• Resistência à tração perpendicular às fibras (ft90);
• Resistência ao cisalhamento paralelo às fibras (fv0);
• Resistência de embutimento paralelo (fe0) e normal às fibras (fe90);
• Densidade básica e densidade aparente.
3. Propriedades de resistência e rigidez da madeira:
46
Caracterização das resistências da madeira:
Caracterização mínima:
É recomendada para espécies de madeira pouco conhecidas, e consiste na
determinação das seguintes propriedades:
• Resistência à compressão paralela às fibras (fc0);
• Resistência à tração paralela às fibras (ft);
• Resistência ao cisalhamento paralelo às fibras (fv);
• Densidade básica e densidade aparente.
OBS: No caso da impossibilidade da execução dos ensaios de tração, admite-se
este valor igual ao da resistência à tração na flexão (ftM).
3. Propriedades de resistência e rigidez da madeira:
24
47
Caracterização das resistências da madeira:
Caracterização simplificada:
Permite-se a caracterização simplificada das resistências da madeira de espécies
usuais, a partir dos ensaios de compressão paralela às fibras, adotando-se as
seguintes relações para os valores característicos:
• fc0,k /ft,k = 0,77
• ftM,k / ft,k = 1,0
• fc90,k / fc0,k = 0,25
• fe0,k / fc0,k = 1,0
• fe90,k / fc0,k = 0,25
• fv,k / fc0,k = 0,15 (para coníferas)
• fv,k / fc0.k = 0,12 (para dicotiledôneas)
3. Propriedades de resistência e rigidez da madeira:
Valores característicos das propriedades da madeira:
A realização de ensaios de laboratório para a determinação das propriedades da
madeira fornece, com base na análise estatística dos resultados, valores médios (Xm).
Estes valores médios devem ser transformados em valores característicos (Xk).
12,12, 7,0 mk XX = O índice 12 refere-se à umidade de 12%
1,1
1
2
...
2
2
1
2
21










−
−
+++
=
−
n
n
k Xn
XXX
X
•n deve ser, no mínimo, 6 para caracterização simplificada e 12 para caracterização 
mínima;
•Os resultados devem ser colocados em ordem crescente (X1< X2<... <Xn), desprezando o 
valor mais alto se o número de CP for ímpar;
•Xk não deve ser inferior a X1 e nem a 0,7 Xm.
25
Exemplo 3.1: Determinar o valor característico da resistência à compressão paralela às 
fibras (fc0,k) de um lote de madeira na espécie Canafístula. Para este lote, foram efetuados 
ensaios de compressão paralela às fibras em doze CPs com teor de umidade de 12%, 
tendo sido obtidos os seguinte valores:
CP 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Média
fc0 (MPa) 56.7 43.0 61.9 64.7 59.6 54.9 38.6 34.9 43.0 58.0 58.1 50.1 52.0
Solução:
CP 8/1 7/2 2/3 9/4 12/5 6/6 1/7 10/8 11/9 5/10 3/11 4/12 Média
fc0 (MPa) 34.9 38.6 43.0 43.0 50.1 54.9 56.7 58.0 58.1 59.6 61.9 64.7 52.0
n/2=6 menores valores
MPaf kc 8,311,19,54
1
2
12
1,500,430,436,389,342
,0 =










−
−
++++
=
1,1
1
2
...
2
2
1
2
21












−
−
+++
=
−
n
n
k Xn
XXX
X MPaff kckc 4,364,360,527,0
9,34
,0,0 =⇒





=×
≥
Menor valor dos ensaios
Valor médio
50
Tabela de Resistências das Espécies Conforme a NBR 7190/97
Dicotiledôneas
Nome ρap (kg/m
3 ) fc0 (MPa) ft0 (MPa) fv (MPa) Ec0 (MPa)
Angelim araroba 688 50,5 69,2 7,1 12 876
Angelim ferro 1 170 79,5 117,8 11,8 20 827
Angelim pedra 694 59,8 75,5 8,8 12 912
Angelim pedra verdadeiro 1 170 76,7 104,9 11,3 16 694
Branquilho 803 48,1 87,9 9,8 13 481
Cafearana 677 59,1 79,7 5,9 14 098
Canafístula 871 52,0 84,9 11,1 14 613
Casca grossa 801 56,0 120,2 8,2 16 224
Castelo 759 54,8 99,5 12,8 11 105
Cedro amargo 504 39,0 58,1 6,1 9 839
Cedro doce 500 31,5 71,4 5,6 8 058
Champagne 1 090 93,2 133,5 10,7 23 002
Cupiúba 838 54,4 62,1 10,4 13627
Catiúba 1 221 83,8 86,2 11,1 19 426
E. Alba 705 47,3 69,4 9,5 13 409
E. Camaldulensis 899 48,0 78,1 9,0 13 286
3. Propriedades de resistência e rigidez da madeira:
26
51
Tabela de Resistências das Espécies Conforme a NBR 7190/97
Dicotiledôneas
Nome ρap (kg/m
3 ) fc0 (MPa) ft0 (MPa) fv (MPa) Ec0 (MPa)
E. Citriodora 999 62,0 123,6 10,7 18 421
E. Cloeziana 822 51,8 90,8 10,5 13 963
E. Dunnii 690 48,9 139,2 9,8 18 029
E. Grandis 640 40,3 70,2 7,0 12 813
E. Maculata 931 63,5 115,6 10,6 18 099
E. Maidene 924 48,3 83,7 10,3 14 431
E. Microcorys 929 54,9 118,6 10,3 16 782
E. Paniculata 1 087 72,7 147,4 12,4 19 881
E. Propinqua 952 51,6 89,1 9,7 15 561
E. Punctata 948 78,5 125,6 12,9 19 360
E. Saligna 731 46,8 95,5 8,2 14 933
E. Tereticornis 899 57,7 115,9 9,7 17 198
E. Triantha 755 53,9 100,9 9,2 14 617
E. Umbra 889 42,7 90,4 9,4 14 577
E. Urophylla 739 46,0 85,1 8,3 13 166
Garapa Roraima 892 78,4 108,0 11,9 18 359
3. Propriedades de resistência e rigidez da madeira:
52
Tabela de Resistências das Espécies Conforme a NBR 7190/97
Dicotiledôneas
Nome ρap (kg/m
3 ) fc0 (MPa) ft0 (MPa) fv (MPa) Ec0 (MPa)
Guaiçara 825 71,4 115,6 12,5 14 624
Guarucaia 919 62,4 70,9 15,5 17 212
Ipê 1 068 76,0 96,8 13,1 18 011
Jatobá 1 074 93,3 157,5 15,7 23 607
Louro preto 684 56,5 111,9 9,0 14 185
Maçaranduba 1 143 82,9 138,5 14,9 22 733
Oiticica amarela 756 69,9 82,5 10,6 14 719
Quarubarana 544 37,8 58,1 5,8 9 067
Sucupira 1 106 95,2 123,4 11,8 21 724
Tatajuba 940 79,5 78,8 12,2 21 724
3. Propriedades de resistência e rigidez da madeira:
27
53
Tabela de Resistências das Espécies Conforme a NBR 7190/97
Coníferas
Nome ρap (kg/m
3 ) fc0 (MPa) ft0 (MPa) fv (MPa) Ec0 (MPa)
Pinho do Paraná 580 40,9 93,1 8,8 15 225
Pinus caribea 579 35,4 64,8 7,8 8 431
Pinus bahamensis 537 32,6 52,7 6,8 7 110
Pinus hondurensis 535 42,3 50,3 7,8 9 868
Pinus elliottii 560 40,4 66,0 7,4 11 889
Pinus oocarpa 538 43,6 60,9 8,0 10 904
Pinus taeda 645 44,4 82,8 7,7 13 304
Pinho do Paraná 580 40,9 93,1 8,8 15 225
Pinus caribea 579 35,4 64,8 7,8 8 431
Pinus bahamensis 537 32,6 52,7 6,8 7 110
3. Propriedades de resistência e rigidez da madeira:
54
Observação:
Os valores obtidos nas tabelas acima são considerados como valores 
médios. Os mesmos devem ser minorados à valores característicos, 
multiplicando-os por 0,7:
fc0,k = 0,7 fc0
ft0,k = 0,7 ft0
fv,k = 0,7 fv
Onde:
fc0,k é a resistência característica à compressão paralela às fibras;
ft0,k é a resistência característica à tração paralela às fibras;
fv,k é a resistência característica ao cisalhamento.
3. Propriedades de resistência e rigidez da madeira:
28
55
Classes de resistência:
Visando-se a padronização, a NBR 7190/1997 adota também o conceito de
classes de resistência, permitindo a utilização de várias espécies com
propriedades similares em um mesmo projeto. O lote deve ter sido classificado e
o revendedor deve apresentar certificados de laboratórios idôneos para um
determinado lote.
Coníferas (U=12%)
Classe fc0k 
(MPa)
fvk (MPa) Ec0,m 
(MPa)
Densbas
(kg/m3)
Densap
(kg/m3)
C20 20 4 3500 400 500
C25 25 5 8500 450 550
C30 30 6 14500 500 600
Dicotiledôneas (U=12%)
Classe fc0k 
(MPa)
fvk (MPa) Ec0,m 
(MPa)
Densbas
(kg/m3)
Densap
(kg/m3)
C20 20 4 9500 500 650
C30 30 5 14500 650 800
C40 40 6 19500 750 950
C60 60 8 24500 800 1000
3. Propriedades de resistência e rigidez da madeira:
Valores de cálculo das propriedades da madeira:
Os valores característicos das propriedades da madeira permitem que se
obtenham os valores de cálculo Xd, empregando-se o coeficiente de modificação
( ) e o coeficiente de minoração das propriedades da madeira ( ).wγ
deelasticida de módulo o para
asresistênci as para
 
 
,.mod,0
mod
mcoefc
w
k
d
EKE
XKX
=
=
γ
3mod,2mod,1mod,mod KKKK =
• Kmod,1 – classe de carregamento e tipo de material empregado;
• Kmod,2 – classe de umidade e tipo de material empregado;
• Kmod,3 – categoria da madeira utilizada.
56
modK
3. Propriedades de resistência e rigidez da madeira:
29
57
Kmod,1
Classes de 
carregamento
Madeira serrada, 
laminada, colada 
ou compensada
Madeira Recomposta
Permanente 0,60 0,30
Longa duração 0,70 0,45
Média duração 0,80 0,65
Curta duração 0,90 0,90
Instantânea 1,10 1,10
Valores de cálculo das propriedades da madeira:
3. Propriedades de resistência e rigidez da madeira:
Classes de carregamento:
Classe Duração acumulada da ação característica
Permanente Vida útil da construção
Longa duração Mais de seis meses
Média duração Uma semana a seis meses
Curta duração Menos de uma semana
Instantânea Muito curta
58
Kmod,2
Classes de 
umidade
Madeira serrada,
laminada, colada
ou compensada
Madeira 
Recomposta
(1) e (2) 1,0 1,0
(3) e (4) 0,8 0,9
No caso particular de madeira serrada submersa, admite-se o valor Kmod,2 = 0,65
3. Propriedades de resistência e rigidez da madeira:
Classes de 
umidade
Umidade relativa 
do ar
Umidade da 
madeira
1 <65% 12%
2 65<U<75% 15%
3 75%<U<85% 18%
4 U>85% >25%
Valores de cálculo das propriedades da madeira:
30
59
60
Kmod,3
Categoria Valor
Dicotiledôneas
1a 1,0
2a 0,8
Coníferas
1a 0,8
2a 0,8
• 1a categoria – Peças isentas de defeitos;
• 2a categoria – Peças com poucos defeitos;
• 3a categoria – Peças com muitos defeitos (nós em ambas as faces, não pode
ser utilizada como estrutura permanente).
• A NBR 7190 recomenda que em caso de dúvida, seja sempre considerada 2a
categoria.
• Para uso das coníferas na forma de peças estruturais maciças de madeira
serrada sempre deve ser tomado o valor de 0,8.
3. Propriedades de resistência e rigidez da madeira:
Valores de cálculo das propriedades da madeira:
31
61
OBS: Para verificação de estados limite de utilização (verificação de flechas), adota-se o
valor básico de 1,0.
fibras às paralelo toCisalhamen
fibras às paralela Tração
fibras às paralela Compressão
 - 
 - 
 - 
8,1
8,1
4,1
=
=
=
wv
wt
wc
γ
γ
γ
3. Propriedades de resistência e rigidez da madeira:
Coeficientes de ponderação
Exercício 3.2: Determinar os valores de cálculo para a resistência à compressão paralela às
fibras (fc0,d) e ao cisalhamento (fv,d) para a espécie Eucalipto Citriodora, com base nos
resultados fornecidos na Tabela 1, do Anexo E, da NBR 7190/97. Considerar madeira
serrada, de segunda categoria, classe de umidade 2 e carregamento de longa duração.
Da Tabela E.1 da NBR 7190/97, obtém-se os valores médios para as resistências
fc0 = 62,0 MPa, então fc0,k = 0,7 fc0 = 0,7(62,0) = 43,2MPa
fv = 10,7 MPa, então fv0,k = 0,7 fv = 0,7 (10,7) = 7,5MPa
Kmod,1 = 0,7 (madeira serrada, carregamento de longa duração)
Kmod,2 = 1,0 (madeira serrada, classe de umidade 1 ou 2)
Kmod,3 = 0,8 (segunda categoria)
Kmod = Kmod,1 Kmod,2 Kmod,3 = 0,56 
MPa
f
Kf
MPa
f
Kf
wv
kv
dv
wc
kc
dc
3,2
8,1
5,756,0
3,17
4,1
2,4356,0
,0
mod,
,0
mod,0
===
===
γ
γ
62
3. Propriedades de resistência e rigidez da madeira:
32
MPaEKKKE
MPa
f
Kf
MPa
f
Kf
mcefc
wv
kv
dv
wc
kc
dc
137202450056,0
5,2
8,1
0,856,0
0,24
4,1
6056,0
,03mod,2mod,1mod,,0
,0
mod,
,0
mod,0
=×==
===
===
γ
γ
Exercício 3.3: Determinar os valores de cálculo para a resistência à compressão paralela às
fibras (fc0,d) e ao cisalhamento (fv0,d) bem como o valor efetivo do módulo de elasticidade na
direção paralela às fibras (Ec0,ef) para a classe C-60 (dicotiledônea). Considerar madeira
serrada, de segunda categoria, classe de umidade 2 e carregamento delonga duração.
Das tabelas anteriores, para a Classe C-60 (dicotiledônea), colhemos os valores seguintes:
fc0,k = 60,0 MPa
Fv,k = 8,0 MPa
Ec0,m = 24500 MPa
Kmod = Kmod,1 Kmod,2 Kmod,3 = 0,56 (ver exemplo anterior)
63
3. Propriedades de resistência e rigidez da madeira:
64
4. Considerações sobre ações e segurança em projetos de 
estruturas de madeira
33
Estados Limites Últimos:
• Perda do equilíbrio, global ou parcial, admitida a estrutura como corpo rígido;
• Ruptura ou deformação plástica excessiva dos materiais;
• Transformação da estrutura, no todo ou em parte, em sistema hipostático;
• Instabilidade por deformação;
• Instabilidade dinâmica (ressonância).
Estados Limites de Utilização:
• Deformações excessivas que afetam a utilização normal da construção,
comprometem seu aspecto estético, prejudicam o funcionamento de
equipamentos ou instalações e causam danos aos materiais de acabamento
ou às partes não estruturais da construção;
• Vibrações de amplitude excessiva que causam desconforto aos usuários e 
danos à construção ou ao seu conteúdo.
65
4. Considerações sobre ações e segurança em projetos de estruturas de madeira:
Ações nas estruturas de madeira:
• Ações permanentes: Apresentam pouca variação durante praticamente toda a vida
da construção;Ex.: Peso próprio da madeira, forrações, telhas, etc.
• Ações variáveis (acidentais): Ao contrário das ações permanentes, apresentam
variação significativa durante a vida da construção; Ex.: Manutenção, vento, acúmulo
de fuligem, etc.
• Ações excepcionais: Apresentam duração extremamente curta, com baixa
probabilidade de ocorrência, durante a vida da construção. Ex.: Impacto.
Vento:
A ação do vento deve ser determinada de acordo com os procedimentos da norma NBR
6123/1988 – Forças devidas ao vento em edificações.
66
4. Considerações sobre ações e segurança em projetos de estruturas de madeira:
34
Combinação de ações:
Estados limites últimos:
• Combinações últimas normais;
• Combinações últimas especiais ou de construção;
• Combinações últimas excepcionais.
Estados limites de utilização:
• Combinações de longa duração;
• Combinações de media duração;
• Combinação de curta duração;
• Combinações de duração instantânea.
67
4. Considerações sobre ações e segurança em projetos de estruturas de madeira:
Combinação de ações para os estados limites últimos
Combinações últimas normais:
Neste caso, as ações variáveis estão divididas em dois grupos: as principais ( )
e as secundárias ( ), com seus valores reduzidos pelo coeficiente , que
leva em conta a baixa probabilidade de ocorrência simultânea das ações variáveis.
Para as ações permanentes ( ), devem ser feitas duas verificações: a favorável
e a desfavorável, o que é feito pelo coeficiente .
Coeficientes:
Gg γγ =
Qγ Coeficiente para as ações variáveis;
0Ψ Fator de combinação para as ações variáveis secundárias;
68
4. Considerações sobre ações e segurança em projetos de estruturas de madeira:








Ψ++×= ∑∑
=
×
=
n
j
kQjjkQQkgi
m
i
gid FFFF
2
,0,1,
1
γγ
kQF ,1
kQjF , j0Ψ
kgiF ,
giγ
Coeficiente para as ações permanentes;
Quando representar a ação variável principal, o vento poderá ser ponderado com o fator
0,75.
35
Combinação de ações para os estados limites de utilização
Combinações de longa duração:
Esta combinação é utilizada no controle usual das deformações das estruturas,
onde as ações variáveis atuam com seus valores correspondentes à classe de
longa duração.
Coeficientes:
2Ψ Fator de combinação para ações variáveis em deslocamentos (flechas).
69
4. Considerações sobre ações e segurança em projetos de estruturas de madeira:








×Ψ+= ∑∑
==
n
j
kQjjkgi
m
i
utid FFF
1
,2,
1
,
70
4. Considerações sobre ações e segurança em projetos de estruturas de madeira:
Gg γγ =
Combinações Desfavoráveis Favoráveis
Normais 1,3 1,0
Construção 1,2 1,0
Excepcionais 1,1 1,0
Combinações Desfavoráveis Favoráveis
Normais 1,4 0,9
Construção 1,3 0,9
Excepcionais 1,2 0,9
Gg γγ =
NBR 7190/97 
Grande variabilidade: peso
próprio da estrutura de
madeira não superior a 75%
do somatório das cargas
permanentes
Tabela de coeficientes para ações permanentes (pequena variabilidade)
Tabela de coeficientes para ações permanentes (grande variabilidade)
Combinações Desfavoráveis Efeitos de Temperatura
Normais 1,4 1,2
Construção 1,2 1,0
Excepcionais 1,0 0
Tabela de coeficientes para ações variáveis Qγ
36
71
4. Considerações sobre ações e segurança em projetos de estruturas de madeira:
Ações em estruturas correntes 0 1 2
Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 0,6 0,5 0,3
Pressão dinâmica do vento 0,5 0,2 0
Ações em estruturas correntes 0 1 2
Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos fixos ou 
elevada concentração de pessoas
0,4 0,3 0,2
Locais onde há predominância de pesos de equipamentos fixos ou 
elevada concentração de pessoas
0,7 0,6 0,4
Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6
Cargas móveis e seus efeitos dinâmicos 0 1 2
Pontes de pedestres 0,4 0,3 0,2
Pontes rodoviárias 0,6 0,4 0,2
Pontes ferroviárias 0,8 0,6 0,4
Fatores de combinação e de utilização: Ψ
NBR 7190/97 - Admite-se =0 quando a ação variável principal corresponde a um efeito 
sísmico.
Ψ
72
4. Considerações sobre ações e segurança em projetos de estruturas de madeira:
Exercício 4.1: Uma treliça utilizada na estrutura de cobertura de um galpão industrial está
sujeita à ação permanente (peso próprio e outras sobrecargas permanentes), à ação do
vento (sobrepressão e sucção) e a uma ação decorrente da movimentação de equipamentos,
para a qual se utiliza uma talha. Uma barra da mencionada treliça está submetida aos
esforços normais originados das mencionadas ações. Pede-se que se determine os valores
de cálculo dos esforços de compressão e de tração que ocorrem na barra em questão.
-6kN (Talha)
-12,5kN (Vento Sobrepressão)
14kN (Vento sucção)
-12kN (Cargas Permanentes)
-5kN (Peso Próprio)
37
73
4. Considerações sobre ações e segurança em projetos de estruturas de madeira:
SOLUÇÃO:
( ) 75,030,0125
5 ≤=
+
(Grande variabilidade)
Verificação da variabilidade das cargas
Compressão – Vento como ação principal:
( ) ( ) ( )( ) kNFd 29,4064,05,1275,04,11254,1 −=−+−+−−=
Compressão – Talha como ação principal:
( ) ( ) ( )( ) kNFd 95,405,125,064,11254,1 −=−+−+−−=
Tração – Vento como ação principal:
( ) ( )( ) kNFd 6,01475,04,11259,0 −=++−−=
( ) ( ) kNFd 3,4144,11259,0 =++−−=
Resumo: 40,95kN (compressão)
4,3kN (tração)








Ψ++= ∑∑
==
n
j
kQjjkQQkgi
m
i
gid FFFF
2
,0,1,
1
γγCálculo das combinações de ações:
4. Considerações sobre ações e segurança em projetos de estruturas de madeira:
Exercício 4.2: Determinar os valores de cálculo do momento fletor para a viga abaixo,
submetida às seguintes ações:
• Ação permanente: g=2kN/m (considerar de grande variabilidade)
• Ação variável: q=3kN/m
SOLUÇÃO:
Como só há uma ação variável, não há sentido em eleger ‘a principal’. Neste caso, a ação
variável será considerada normal e seu coeficiente de majoração será considerado 1,4.
74
38
4. Considerações sobre ações e segurança em projetos de estruturas de madeira:
( ) ( ) kNmM 275,18
2
28,1
8
52,48,2)(
22
=




 ×
−




 ×+
=+
75
Cálculo do momento positivo:
As cargas dispostas nos balanços apresentam efeito favorável na determinação do
momento máximo positivo. Entretanto, ela não deve ser disposta em posições que
provoquem diminuição no efeito do momento que será calculado. Assim sendo temoscomo condição mais desfavorável para o cálculo do momento máximo positivo M(+):
76
Cálculo do momento negativo:
Para o momento máximo negativo M(-) utiliza-se a ação permanente, mais a ação
variável aplicadas no balanço:
( ) kNmM 14
2
22,48,2)(
2
=




 ×+
=−
39
5. Critérios de dimensionamento
77
Dimensões mínimas:
A área mínima das seções transversais deve ser de 50cm2, e a espessura mínima
de 5cm. Nas peças secundárias esses limites reduzem-se para 18cm2 e 2,5cm.
No caso de elementos estruturais comprimidos (por exemplo pilares), o
comprimento máximo não pode ultrapassar 40 vezes a dimensão da seção
transversal correspondente ao eixo de flambagem. Nos elementos tracionados
(por exemplo tirantes), este limite sobe para 50 vezes.
Nas peças principais múltiplas, a área mínima da seção transversal de cada
elemento componente será de 35cm2 e a espessura mínima de 2,5cm.
Nas peças secundárias múltiplas, esse limite reduzem-se respectivamente a 18cm2
e 1,8cm.
78
5. Critérios de dimensionamento:
40
Dimensões de peças de madeira serrada (cm):
79
5. Critérios de dimensionamento:
Nomenclatura Padronização (PB-5) Comerciais
Ripas 1,2 x 5,0 1,0 x 5,0
1,5 x 5,0
1,5 x 10,0
2,0 x 5,0
Tábuas 2,5 x 11,5 1,9 x 10 1,9 x 30
2,5 x 15,0 2,5 x 10 2,5 x 30
2,5 x 23,0
Sarrafos 2,2 x 7,5 2,0 x 10
3,8 x 7,5 2,5 x 10
3,0 x 15
Caibros 5,0 x 6,0 5,0 x 5,0
5,0 x 7,0 5,0 x 6,0
7,5 x 5,0 6,0 x 6,0
7,5 x 7,5 7,0 x 7,0
Vigas 5,0 x 15,0 5,0 x 16,0
5,0 x 20,0 6,0 x 12,0
7,5 x 11,5 6,0 x 15,0
7,5 x 15,0 6,0 x 16,0
15,0 x 15,0 10,0 x 10,0
12,0x12,0
20,0 x 20,0
25,0 x 25,0
25,0 x 30,0
Pranchões 7,5 x 23,0 3,0 x 30,0
10,0 x 20,0 4,0 x 20,0 até 4,0 x 40,0
15,0 x 23,0 6,0 x 20,0 até 6,0 x 30,0
9,0 x 30,0
Estados limites últimos:
São estados que, por sua simples ocorrência, determinam a paralisação, no todo
ou em parte, do uso da construção, como por exemplo, ruptura ou deformação
excessiva dos materiais, instabilidade etc. A condição de segurança relativa a
possíveis estados limites últimos é garantida por:
80
dd RS ≤
Sd – Valor de cálculo da solicitação;
Rd – Valor de cálculo da resistência.
5. Critérios de dimensionamento:
41
lim. US utid ≤
Sd,uti – Valor de cálculo dos deslocamentos;
Ulim – Valor limite fixado para o deslocamento.
Limites para os deslocamentos:
L = comprimento da barra (vão da viga) em cm
OBS: Deve ser utilizado o módulo de elasticidade Ec0,ef
5. Critérios de dimensionamento:
Estados limites de utilização:
A verificação da segurança em relação a estados limites de utilização deve ser
feita pela condição de segurança:
Para construções correntes
Vãos Balanços
Ulim=L/200 Ulim=L/100
Para construções com materiais frágeis ligados à estrutura
Vãos Balanços
Ulim=L/350 Ulim=L/175
81
82
5. Critérios de dimensionamento:
Peças tracionadas axialmente:
Ocorrem na maior parte das vezes em estruturas treliçadas.
dt
útil
d
td fA
N
,0≤=σ
= Valor de cálculo da máxima tensão atuante de tração;tdσ
= Valor de cálculo do esforço de tração;dN
= Área da seção transversal da peça, descontando-se eventuais furos e/ou 
entalhes;
utilA
= Valor de cálculo da resistência à tração paralela às fibras.dtf ,0
OBS: Deve ser dada atenção especial na verificação à tração quando da
consideração da área útil (Aútil) em peças perfuradas por pinos ou entalhadas.
Neste caso, devem ser descontadas da área da seção o valor referente à área dos
eventuais furos e/ou entalhes.
42
Denominam-se peças tracionadas, as peças submetidas à tração axial conforme o 
exemplo abaixo.
Outras condições para ocorrência de peças tracionadas são possíveis, 
conforme os exemplos seguintes:
Tração Excêntrica
Flexotração
Em Estruturas de Madeira, será considerado sempre o caso da tração centrada
5. Critérios de dimensionamento:
83
Algumas tipologias estruturais em madeira apresentam peças tracionadas:
5. Critérios de dimensionamento:
84
43
Devido a ocorrência de limitações no comprimento das peças de madeira
(principalmente as de origem serrada, cujos comprimentos máximos variam
entre 4,0 e 6,0m), por vezes faz-se necessário emendar peças.
Estas emendas podem ser feitas de várias formas. Entretanto, deve-se
ressaltar que, geometricamente, tais elementos constitutivos da emenda,
devem ser posicionados de forma que garantam que a emenda não “abrirá”
sob o efeito da referida força axial trativa, conforme os exemplos mostrados à
seguir:
5. Critérios de dimensionamento:
85
Emenda com talas de madeira 
com pregos, pinos, parafusos ou 
conectores
Emenda com talas metálicas com 
pregos ou parafusos
Exemplos de emendas
5. Critérios de dimensionamento:
86
44
Emenda com talas de madeira
apertada com parafusos em
tarugos de madeira
Emenda com talas de madeira
apertada com parafusos com
entalhes
5. Critérios de dimensionamento:
87
Conforme o caso em estudo de peças tracionadas, a força axial trativa
atuante no eixo da peça (tração centrada), irá se distribuir pelos elementos
constituintes da emenda, provocando tensões internas em tais elementos,
cujos limites de resistência devem ser verificados.
No caso das talas metálicas por exemplo, estas deverão ser estruturalmente
dimensionadas conforme a norma adequada (NBR 8800:2008).
No caso dos pinos metálicos (pregos e parafusos), por exemplo a NBR 7190
apresenta os procedimentos necessários para as verificações de segurança
necessárias.
Serão aqui apresentados, exemplos de verificação de emendas constituídas
especificamente por elementos em madeira conforme preconiza a NBR 7190,
ou seja, nos Estados Limites Últimos.
5. Critérios de dimensionamento:
88
45
5. Critérios de dimensionamento:
Emendas:
Nas emendas deverão ser verificados os valores máximos de tensão de
compressão, tração e cisalhamento nas superfícies onde ocorrem.
dt
útil
d
td fA
N
,0≤=σdc
d
cd f
cA
N
,0≤=σ dv
v
d
d fA
N
,
≤=τ
Valor de cálculo da máxima tensão normal atuante de compressão;cdσ
Valor de cálculo do esforço atuante;
dN
Área da seção transversal da peça, descontando-se eventuais furos e/ou entalhes;útilA
dτ
Valor de cálculo da máxima tensão normal atuante de tração;tdσ
Valor de cálculo da máxima tensão cisalhante atuante;
Área da seção transversal da peça à compressão;cA
Área da seção transversal da peça ao cisalhamento.vA
Onde:
89
5. Critérios de dimensionamento:
Exercício 5.1: Verificar se a emenda em madeira mostrada na figura, da espécie
Canafístula, está suficientemente dimensionada para suportar a força axial de tração já
majorada de 40kN, sabendo-se que a mesma foi obtida através de madeira serrada, que o
carregamento a ser considerado é de longa duração, que ela estará submetida à classe de
umidade 1, e que verifica-se a presença de nó em apenas uma das faces. A largura das
peças e de 10cm.
40kN 40kN
15cm 15cm
5cm
5cm
5cm
MPafMPafMPaf vtc 1,119,8452 00 =∴=∴= 
MPaffMPafMPaf kvkvktkc 77,71,117,043,599,847,040,36527,0 ,,,0,0 =∴×=∴=×=∴=×= 
SOLUÇÃO:
Determinação dos valores médios de resistência para a espécie Canafístula: 
Cálculo dos valores característicos:
90
46
5. Critérios de dimensionamento:
Determinação dos coeficientes de modificação
• Carregamento de longa duração, serrada (Kmod,1 = 0,7)
• Classe de umidade 1 (Kmod,2 = 1,0)
• Segunda categoria (Kmod,3 = 0,8)
Kmod = Kmod,1 Kmod,2 Kmod,3 = 0,7 x 1,0 x 0,8 = 0,56
Determinação das superfícies de compressão, tração e cisalhamento
40kN 40kN
15cm 15cm
5cm
5cm
5cm
compressão
tração
cisalhamento
91
MPaf
MPaf
MPaf
dv
dt
dc
42,2
8,1
77,756,0
49,18
8,1
43,5956,0
56,14
4,1
4,3656,0
,
,0,0
=×=
=×=
=×=
Valores de cálculo
5. Critérios de dimensionamento:
( ) )( 56,1488,0105
40
 2 :Compressão atendeMPaMPacm
kN
c <==
×
=σ
Verificação da tensões resistentes
( ) 




>==
×
= =∴= cmx
x
falhaMPaMPa
cm
kN
v 5,7
15
5
10
 )( 42,255,0
105,7
40
 2:toCisalhamen τ
( ) )( 49,1888,0105
40
2 :Tração atendeMPaMPacm
kN
t <==
×
=σ
92
40kN 40kN
15cm 15cm
5cm
5cm
5cm
47
dt
t
d
td
dc
c
d
cd
f
W
M
f
W
M
,
,0
≤=
≤=
σ
σ
Valor de cálculo da máxima tensão atuante de tração;tdσ
Valor de cálculo do momento fletor atuante;dM
Módulo de resistência da seção transversal referente à borda comprimida;cW
Valor de cálculo da resistência à tração paralela às fibras;dtf ,
Valor de cálculo da máxima tensão atuante de compressão;cdσ
Valor de cálculo da resistência à compressão paralela às fibras.dcf ,0
Módulo de resistência da seção transversal referente à borda tracionada;tW
t
t
c
c
y
IW
y
IW
=
= 12
3bhI = yc
yt
dM
bct
yyh +=
5. Critérios de dimensionamento:
Peças solicitadas à flexão simples reta:
Ocorrem na maior parte das vezes em vigas.
93
5. Critérios de dimensionamento:
Cisalhamento:
Valor de cálculo da máxima de cisalhamento atuante;dτ
Valor de cálculo do esforço cortante atuante;dV
Momento de inércia de seção transversal;I
Valor de cálculo da resistência ao cisalhamento paralelo às fibras.dvf ,
Momento estático em relação ao centro de gravidade;S
Largura da seção transversal;b
dv
d
d fbI
SV
,
≤=τ
dv
d
d fbh
V
,2
3 ≤=τ
No caso de seção transversal retangular:
94
48
1. Sabendo-se que trata-se de madeira recomposta de primeira categoria, que o
carregamento atuante (peso da alvenaria) deve ser considerado de longa duração e
que a mesma se encontra em meio cuja umidade relativa do ar é, em média de 80%,
determine a resistência de cálculo à compressão paralela às fibras (fc0,d), a resistência
de cálculo à tração paralela às fibras (ft,d), a resistência de cálculo ao cisalhamento
paralelo às fibras (fv,d) e o módulo de elasticidade efetivo desta viga, a umidade de
12%.
2. Sabendo-se que o peso específico da alvenaria (γalv) é de 13 kN/m3, e considerando o
peso próprio (densidade) da viga, verifique se a viga suporta o carregamento indicado.
95
5. Critérios de dimensionamento:
Exercício 5.2: Uma viga de madeira dicotiledônea classe C40, cuja seção transversal mede
(15x30)cm, bi – apoiada em duas paredes divisórias em alvenaria e 4,0m de vão livre
sustentará uma outra parede de alvenaria em bloco cerâmico de 2,7 m de altura e 15 cm de
espessura, conforme mostra a figura. Com base nestas informações, de acordo com as
prescrições da NBR 7190/1997, pede-se:
3
ap,0,,0 /950 19500 0,6 40 mkgfMPaEMPafMPaf mckvkc =∴=∴=∴= ρ
96
5. Critérios de dimensionamento:
SOLUÇÃO:
Determinação dos valores característicos:
Determinação dos coeficientes de modificação
• Madeira recomposta, carregamento de longa duração (Kmod,1 = 0,45)
• Classe de umidade 3 (Kmod,2 = 0,9)
• Primeira categoria (Kmod,3 = 1,0)
Kmod = Kmod,1 x Kmod,2 x Kmod,3 = 0,45 x 0,9 x 1,0 = 0,405
Determinação da carga permanente:
( ) ( ) mkNg /7,54275,0265,55,930,015,0137,215,0 =+=××+××=
Verificação da variabilidade das cargas
75,0075,0
7,5
4275,0 ≤= (Grande variabilidade)
49
5. Critérios de dimensionamento:
kNcmkNmM dg 159696,158
0,47,54,1
2
,
==
×
×=
kNV dg 94,152
0,47,54,1
,
=
×
×=
Cálculo dos esforços:
Momento:
Cortante:
Cálculo da máxima tensão atuante de compressão
MPa,,EK
,mc, 5789719500405001mod =×=×
2,0 /19,5
77,0
0,4
77,0
cmkN
f kc
==
2,0
mod /135,035,18,1
6405,0 cmkNMPa
f
K
wv
kv
==×=×
γ
=ktf ,
=dvf ,
=efcE ,0
2,0
mod /16,157,114,1
40405,0 cmkNMPa
f
K
wc
kc
==×=
γ
Cálculo dos valores das resistências e rigidez 
=dcf ,0
97
12
 
2
 
3bhIh
I
w
W
M
xx
c
d
cd ===σ
=dtf , 2,0mod /17,18,1
19,5405,0 cmkN
f
K
wt
kt
==
γ
( )atendecmkNfcmkN
bh
V
dv
d
d
2
,
2 /135,0/05,0
30152
94,153
2
3
=≤=
××
×
==τ
cm
lU 2
200
400
200lim
===
)cm (atendeUcm,
,
,
EI
qL
δ 2710
3375075789384
40005705
384
5
lim
44
max =≤=
××
××
==
5. Critérios de dimensionamento:
Cálculo da máxima tensão atuante de cisalhamento
Verificação do estado limite de serviço:
98
34
33
2250
15
33750
2
 33750
12
3015
12
cmh
I
wcm
bhI xx ====
×
==
( )atendecmkNfcmkN dccd 2,02 /16,1/71,02250
1594
=≤==σ
50
99
5. Critérios de dimensionamento:
Instabilidade lateral de vigas de seção retangular:
Flambagem por compressão
A Flambagem Lateral é um tipo de flambagem 
provocado pela Flexão de vigas solicitadas por 
carregamento transversal ao seu eixo.
100
5. Critérios de dimensionamento:
Instabilidade lateral de vigas de seção retangular:
NBR 7190/97 – Evitar
Dispensa verificação de segurança nos seguintes casos:
• Os apoios de extremidade da viga impedem a rotação de suas seções
extremas em torno do eixo longitudinal da peça;
• Se existe um conjunto de elementos de travamento ao longo do comprimento
“L” da viga, afastados entre si a uma distância não maior que “L1”, que
também impede a rotação dessas seções transversais em torno do eixo
longitudinal da peça.
dcM
efco
f
E
b
L
,0
,1
×
≤ β 5,0
5,1
63,0
0,4
26,0
1






−






××
×
=
b
h
b
h
f
M γpi
β
h/b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
6,0 8,8 12,3 15,9 19,5 23,1 26,7 30,3 34,0 37,6 41,2 44,8 48,5 52,1 55,8 59,4 63,0 66,7 70,3 74,0
Quando pode-se obter o valor de diretamente da tabela abaixo:Mβ4,1=fγ
51
Mão Francesa
101
Instabilidade lateral de vigas de seção retangular:.
5. Critérios de dimensionamento:
L1
L0=L L0=0,7L L0=0,5L
L
L0=2L
dc
d
dc fA
N
,0,0 ≤=σ
Valor de cálculo da máxima tensão de compressão atuante;dc ,0σ
Valor de cálculo do esforço axial de compressão;dN
Área da seção transversal da peça;A
Valor de cálculo da resistência à compressão paralela às fibras.dcf ,0
40≤λ
bh
hb
i
A
Ii
i
L
12
3
0
=
=
=λ
102
5. Critérios de dimensionamento:
Compressão axial – peças curtas:
52
103
5. Critérios de dimensionamento:
Instabilidade – peças medianamente esbeltas: 8040 ≤< λ
1
,0,0
≤+
dc
Md
dc
Nd
ff
σσ
Valor de cálculo da tensão de compressão devida à solicitação axial de
compressão;
Ndσ






−
=
dE
E
dd NF
F
eNM 1
Valor de cálculo da máxima tensão de compressão devida ao momento fletor
Md;
Mdσ
)h (mínimoLe
)h (mínimo
N
M
e
eee
a
d
d
i
ai
30300
30
0
1
1
=
=
+= Excentricidade de primeira ordem;
Excentricidade inicial;
Excentricidade acidental mínima devida às imperfeições
geométricas das peças;
2
0
,0
2
L
IE
F efcE
pi
=Carga crítica de Euler
5. Critérios de dimensionamento:
1
,0,0
≤+
dc
Md
dc
Nd
ff
σσ
Valor de cálculo da tensão de compressão devida à solicitação axial de
compressão;
Ndσ






−
=
dE
E
efdd NF
F
eNM
,1
Valor de cálculo da máxima tensão de compressão devida ao momento fletor
Md;
Mdσ
Instabilidade – peças esbeltas: Valor limite: 140 (NBR 7190/1997)14080 ≤≤ λ
Para o cálculo da excentricidade efetiva de 1a ordem (e1,ef) deve-se aumentar a
excentricidade de 1a ordem (e1) de um valor referente à excentricidade
complementar de 1a ordem (ec) (que considera a fluênciada madeira).
104
53
14080 ≤≤ λ
d
dg
ig N
M
e
,1
=
( )
( )[ ]
( )[ ]








−×+= 







×Ψ+Ψ+−
×Ψ+Ψ+Φ
1exp 21
21
qkgkE
qkgk
NNF
NN
aigc eee
( ) 121 ≤Ψ+Ψ
Sendo:
5. Critérios de dimensionamento:
Instabilidade – peças esbeltas: Valor limite: 140 (NBR 7190/1997)
105
)h (mínimoLe
)h (mínimo
N
M
e
eeeeee
a
d
d
i
caicef
30300
30
0
1
1,1
=
=
++=+= Excentricidade efetiva de primeira ordem;
Excentricidade inicial;
Excentricidade acidental mínima – devida às
imperfeições geométricas das peças;
=Φ Coeficiente de fluência.
14080 ≤≤ λ
Coeficiente de fluência 
Classes de Carregamento
Classes de umidade
(1) e (2) (3) e (4)
Longa duração 0,8 2,0
Média duração 0,3 1,0
Curta duração 0,1 0,5
5. Critérios de dimensionamento:
Instabilidade – peças esbeltas
106
Valor de cálculo do momento fletor devido apenas à carga
permanente;
dqddg MMM ,11,1 −=
Valores característicos da força normal devidos às cargas
permanentes e variáveis, respectivamente;
qkgk NN ,
Fatores de utilização dados no capítulo anterior.21, ΨΨ
Φ
54
( )
 cm,
,
 i cm, I cmA 334
225
754218
 754218
12
15
 22515 4
4
22
======
MPa,EMPa,f efcdc 2886451801148,0 24184,1
7648,07,0
,00 =×==××=
 18011 76 
,00 MPaEMPaf mcc ==
Exercício 5.3: Verificar se uma coluna de Ipê (15x15) com 2,0m de comprimento, é capaz
de suportar uma carga de projeto de 184kN de compressão. Dados: Madeira serrada, classe
de umidade 2, classe de carregamento permanente, 2ª categoria;
107
5. Critérios de dimensionamento:
SOLUÇÃO:
Determinação dos valores médios (ipê):
Determinação dos coeficientes de modificação
• Madeira serrada, carregamento permanente (Kmod,1 = 0,6)
• Classe de umidade 2 (Kmod,2 = 1,0)
• Segunda categoria (Kmod,3 = 0,8)
Kmod = Kmod,1 x Kmod,2 x Kmod,3 = 0,6 x 1,0 x 0,8 = 0,48
Valores cálculo
Propriedades geométricas
( )esbeltatemedianamen,
,i
L
λ 246
334
2000
===
cmeee
cm
L
ecm
h
e
ai
ai
17,167,05,0
67,0
300
200
300
 5,0
30
15
30
1
0
=+=+=
======
108
5. Critérios de dimensionamento:
Verificação da esbeltez
Excentricidades
3
33
1
5,562
6
15
6
6,270
184900
90017,1184
cm
aW
kNcm
NF
F
eNM
dE
E
dd
===
=





−
××=





−
=
Carga crítica de Euler
( ) ( ) kN
L
IE
F efcE 9000,2
1075,42181028,8645
2
832
2
0
,0
2
=
××××
==
−pipi
Cálculo do momento e módulo de resistência
( )atendef
W
M
f
A
N
ff dc
d
dc
d
dc
Md
dc
Nd 0,171,0
824,1
5,562
6,270
824,1
225
184
,0,0,0,0
<=+=+=+
σσ
Verificação das tensões combinadas
55
Exercício 5.4: No cimbramento do oleoduto abaixo dimensionar a viga 2-3 e o pilar 1-2.
Desprezar o peso próprio das vigas e considerar o peso do líquido como ação variável.
• Será utilizada madeira Classe C60 (dicotiledônea) de segunda categoria, classe de
umidade 1, com carregamento de longa duração e ação permanente de grande
variabilidade;
• Peso do tubo = 1 kN/m;
• Peso específico do líquido = 20 kN/m3;
• Considerar viga com largura de 12cm;
• Considerar o pilar como sendo de seção quadrada.
109
5. Critérios de dimensionamento:
Cálculo das ações para a VIGA 2-3
Permanentes: Peso do tubo =
Ações Variáveis: Peso do líquido = kNm
m
kN
m
kNm
m
kN
27,395,220
4
0.1
5,25,21
3
2
2
=×××
×
=×
pi
110
5. Critérios de dimensionamento:
Determinação dos valores de cálculo
2,0
mod,0 /4,2244,1
6056,0 cmkNMPa
f
kf
wc
kc
dc ==×=×= γ
SOLUÇÃO:
Determinação dos coeficientes de modificação
• Carregamento longa duração (Kmod,1 = 0,7)
• Classe de umidade 1 (Kmod,2 = 1,0)
• Segunda categoria (Kmod,3 = 0,8)
Kmod = Kmod,1 x Kmod,2 x Kmod,3 = 0,7 x 1,0 x 0,8 = 0,56
Combinações das ações:
( ) ( ) kNFd 48,58)27,39(4,15,24,1 =×+×=
Cálculo dos esforços: kNcmPlM d 51174
35048,58
4
=
×
==








Ψ++= ∑∑
=
×
=
n
j
kQjjkQQkgi
m
i
gid FFFF
2
,0,1,
1
γγ
56
dc
c
d
cd fW
M
,0≤=σ
c
c y
IW =
12
3bhI =
2
hyc = 6
2
12
2
3
bh
h
bh
Wc ==
,dc
dd
cd fbh
M
bh
M
σ 022
6
6
≤==
Adotado h = 35cm
Verificação quanto aos estados limites últimos: (tensões)
111
5. Critérios de dimensionamento:
cmh 33
4,212
51176 ≥
×
×≥
Cálculo da altura adotando-se para a base o valor de b=12cm 
Verificação quanto a estabilidade lateral da viga: (não travada lateralmente)
5,11
63,0
12
35
12
35
4,1
0,4
26,0
1
63,0
0,4
26,0
1
5,0
5,1
5,0
5,1
=






−






××
×
=






−






××
×
=
piγpi
β
b
h
b
h
f
M
,dc
d
bf
Mh
0
6≥
2,0
mod, /42,224,248,1
77,0/6056,0
77,0/
cmkNMPa
f
kf
wt
kc
dt ==×=×= γ
Maior que a compressão – verificar apenas à compressão
( )okf
E
b
L
dcM
efco
 50
4,25,11
137229
12
350
,0
,1
=
×
≤=∴≤ β
2
0mod0 13721372024500560 kN/cmMPa,EkEE ,mc,efc ==×=×==
Não necessita de travamento lateral
Verificação quanto aos estados limites de utilização: (deslocamentos)








Ψ+= ∑∑
==
n
j
kQjjkGi
m
i
utid FFF
1
,2,
1
,
( ) kNFd 35,1027,392,05,2 =×+=
)(75,116,0
12
3512137248
35035,10
48 lim3
33
max okcmUcmEI
Pl
=≤=
×
××
×
==δ
cm
lU 75,1
200
350
200lim
===
112
5. Critérios de dimensionamento:
Seção adotada para a VIGA 2-3 = 12 x 35cm
57
113
5. Critérios de dimensionamento:
Cálculo das ações para o PILAR 1-2
Permanentes: Peso do tubo (Ngk) =
Ações Variáveis: Peso do líquido (Nqk) = kN,
m,
m
kN
m
.π
6419
2
5220
4
01
3
2
2
=
××
kN,
m,
m
kN
251
2
521
=
×
Combinações das ações:
( ) ( ) kN,,,,,Fd 252964194125141 =×+×=
∴≤∴≤ 140140 0
i
L
 Para: λ
Cálculo da seção mínima do pilar (esbeltez ≤ 140):
Considerando que a parte superior do pilar está contraventada nas duas direções, adota-se
para comprimento de flambagem: L0 = L = 450cm.
12
ai =∴=
12
2ai∴=
A
Ii ∴= 2
4
12
a
a
i








Ψ++= ∑∑
==
n
j
kQjjkQQkgi
m
i
gid FFFF
2
,0,1,
1
γγ
114
5. Critérios de dimensionamento:
∴≤ 140
12
0
a
L
kN
L
IE
F efcE 6,115450
12
121372
2
4
2
2
0
,0
2
=
××
==
pipi
Carga critica de Euler:
 
 
 
0
25,29
0
40,0
30
12
30
0
25,29
0
400
30
12
30
50,1
300
450
300
,1
1
0
===






======






======
d
dg
ig
d
d
i
a
N
M
e
cm
h
mínima
N
M
e
cm,
h
mínimacmLe
Cálculo das excentricidades:












≈== (esbelta)
i
L
λ 130
12
12
4500cm)o cm (adotad,aLa 121311
140
12 0 ≥∴≥
( ) K) (ΨΨ 0121 ≤+( ) 50)2030(21 ,,,ΨΨ =+=+
58
( )
( )[ ]
( )[ ]
( )
( )[ ]
( )[ ]
( ) cmee
e
eee
cc
c
NNF
NN
aigc
qkgkE
qkgk
13,01exp5,1
1exp50,10
1exp
53,104
86,8
64,192,03,025,16,115
64,192,03,025,18,0
21
21
=∴








−×=








−×+=








−×+=






×++−
×++








×Ψ+Ψ+−
×Ψ+Ψ+Φ
cmeeeee efcaief 03,213,050,140,0 ,1,1 =∴++=++=
115
5. Critérios de dimensionamento:
3
334
288
6
12
6
2
12
2
cmww
a
w
a
a
w
a
I
w =∴=∴=∴=∴=
kNcm
,,
,
,,
NF
F
eNM
dE
E
efdd 49,7925296115
61150322529 
,1 =





−
×=





−
=
Cálculo do momento e módulo de resistência
( )okff dc
Md
dc
Nd 120,012,008,0
4,2
288
49,79
4,2
144
25,29
1
,0,0
≤=+=+∴≤+ σσ
116
5. Critérios de dimensionamento:
Verificação das tensões combinadas
Seção adotada para o PILAR 1-2 = 12 x 12cm
59
dc
n
d
dc fA
F
,90,90 ≤=σ
dF
blAn =
ndcdc ff α,0,90 25,0=
É o valor de cálculo da tensão atuante de compressão normal
às fibras
É o valor de cálculo da força aplicada na direção normal às
fibras
É área de aplicação da força Fd
É o valor de cálculo da resistência na direção normal às
fibras, dada em função da resistência de cálculo na
compressão paralela às fibras
117
5. Critérios de dimensionamento:
Compressão perpendicular às fibras:
Deve ser feita quando são aplicadas forças
concentradas na direção normal às fibras
distribuídas em uma pequena região da peça.
Ocorre geralmente na região de apoio de
vigas ou de treliças.
Para a => 7,5cm e l < 15cm 
l (cm) 1 2 3 4 5 7,5 10 15
2,0 1,70 1,55 1,40 1,30 1,15 1,10 1,00nα
Se a<7,5cm ou l => 15cm 
1nα
ααα 290
2
0
900
coscc fsenf
fff
+
= (Fórmula de Hankinson)
118
5. Critérios de dimensionamento:
Resistências a tensões normais inclinadas em relação às fibras:
60
6. Ligações em estruturas de madeira
119
120
6. Ligações em estruturas de madeiras:
Principais tipos de ligações:
• Entalhes ou encaixes: A transmissão de esforços se dá por contato direto
entre as peças de madeira – Normalmente utilizada na união de barra
solicitada à compressão;
• Pinos metálicos: Conhecidos como pregos ou parafusos, onde a transmissão
de esforços se dá por solicitação do elemento de fixação – Normalmente
utilizada na união de barra solicitada à tração
O dimensionamento dos elementos de ligação deve obedecer a seguinte
condição de segurança, conforme o critério dos estados limites últimos:
dd RS ≤
Sd – Valor de cálculo das solicitações atuantes;
Rd – Valor de cálculo da resistência dos elementos de ligação.
61
dc
d
dc
d
c
d
dc bf
N
efbe
N
A
N
,
,,
cos
cos
α
αα
α
α
σ ≥⇒≤==
ααα 2
,90
2
,0
,90,0
,
cosdcdc
dcdc
dc fsenf
fff
+
=
dv
d
bf
Nf
,
cosα
≥
121
6. Ligações em estruturas de madeiras:
Ligação por entalhes ou encaixes (ligação com dente simples):
• A altura do entalhe (e) deve ser suficiente para impedir o esmagamento do
banzo inferior na área de contato (Ac), por compressão em direção inclinada
de um ângulo α em relação às fibras. Recomenda-se que a e<¼h. Caso seja
necessário uma altura de entalhe maior, devem ser utilizados mais dentes.
• O comprimento da folga (f) deve ser suficiente para impedir o cisalhamento
do topo do banzo inferior, em um plano horizontal, paralelo às fibras e seu
valor mínimo é de 20cm conforme preconizado pela NBR 7190/97. f>20cm.
Exercício 6.1: Projetar a emenda em entalhe entre duas peças de 20 x 20cm, sabendo que 
se trata de dicotiledônea C40 de 2a categoria, submetida ao carregamento de longa duração 
de 40kN indicado, à 70% de umidade. Considerar o ângulo de inclinação igual a 35 graus. 
 ,,,,KMPafMPa f kv,kc 560800170 6 40 mod,00 =××=∴=∴=
122
6. Ligações em estruturas de madeiras:
MPa
f
Kf
wv
kv
dv 9,18,1
656,0,0mod,0 =×== γ
MPa
f
Kf
wc
kc
dc 164,1
4056,0,0mod,0 =×== γ
MPafff dcnndcdc 40,11625,0 0,1 25,0 ,90,0,90 =××=∴=∴= αα
Determinação dos valores de cálculo:
62
( )cmadotadocm,e
,
,
e
bf
N
e
dcα
d 392
8020
35cos4041cos
,
−≥∴
×
××≥∴≥ α
MPa
sen
f
αfαsenf
fff
,dc
,dc,dc
,dc,dc
dcα
8
35cos43516
416
cos
2235
2
90
2
0
900
,
=
×+×
×
=
+
=
( )cmadotadocm,f
,
,f
bf
Nf
,dv
d 20112
19020
35cos4041cos
0
−≥∴
×
××≥∴≥ a
123
6. Ligações em estruturas de madeiras:
Cálculo do embutimento:
Cálculo da folga:
Esse tipo de ligação se caracteriza pela utilização de elementos que transmitem as
forças de uma peça para outra, conforme mostram as figuras abaixo:
124
6. Ligações em estruturas de madeiras:
Ligação por pinos metálicos:
63
Deve-se verificar a mais desfavorável das duas situações:
1. Embutimento da Madeira:
• Resistência ao embutimento (fea,d) das peças interligadas;
• Depende da espessura convencional da peça de madeira (t).
2. Flexão do Pino:
• Resistência de escoamento do pino (fyd);
• Depende do diâmetro do pino.
A ocorrência de uma ou outra situação é definida pelo parâmetro que leva em
conta resistências e características dos materiais envolvidos: madeira e do aço do
pino (prego ou parafuso).
125
6. Ligações em estruturas de madeiras:
limβ
126
Características de pregos ABNT
64
127
Características de
pregos Comerciais
edcdedcde
,de,de
,de,de
,des
s
yk
yd
,de
yd
ffff
αfαsenf
ff
 f , γ 
γ
f
 f f
f
,β
α
α
α
,0,90,0,0
2
90
2
0
900
lim
25,0 
cos
11251
=∴=
+
=∴=∴=∴=
d
t
=β
deVd ftR ,
2
1,lim 40,0 αβββ =⇒≤Se , para embutimento da madeira
yVd fdR
lim
2
1,lim 625,0 βββ =⇒>
RVd,1 – Resistência ao corte de um pino. Nos pinos em corte duplo considera-se
duas seções de corte. Dividindo-se o esforço de cálculo a ser transmitido pela
ligação pela resistência de cada pino, obtém-se a quantidade de pinos necessária.
128
6. Ligações em estruturas de madeiras:
Os valores do coeficiente são dados na tabela abaixo, em função do diâmetro 
do pino:
eα
d(cm) <0,62 0,95 1,25 1,6 1,9 2,2 2,5 3,1 3,8 4,4 5,0 >7,5
2,5 1,95 1,68 1,52 1,41 1,33 1,27 1,19 1,14 1,1 1,07 1,0
eα
Calcula-se o valor de pela equação: sendo: t = espessura da madeira
e d = diâmetro do pino.
β
Se d , para flexão do pino.
65
129
OBS:
• Nunca serão utilizadas ligações com um único pino;
• Os pregos estruturais devem ser feitos de aço com resistência característica de
escoamento (fyk) de, pelo menos, 600MPa e devem ter diâmetro mínimo de 3mm;
• Recomenda-se que os parafusos estruturais tenham diâmetros não menores que 10mm
e resistência característica mínima de escoamento (fyk) 240MPa (A307);
• Em obras estruturais normais deve sempre ser feita a pré-furação para evitar
fendilhamento;
Pré furação
• Pregos: d0 = 0,98def (dicotiledôneas) e 0,85xdef (coníferas)
• Parafusos: d0 = def + 0,5mm (máximo para ligações rígidas)
6. Ligações em estruturas de madeiras:
130
Pinos em corte simples:
6. Ligações em estruturas de madeiras:
66
131
Pinos em corte duplo:
6. Ligações em estruturas de madeiras:
132
Espaçamentos mínimos em ligações por pregos ou parafusos:
6. Ligações em estruturas de madeiras:
67
Exercício 6.2: Determinar o número de parafusos (diâmetro de 10mm) necessários para
efetuar a emenda do banzo inferior de uma treliça, solicitado por um esforço normal de
tração com valor de cálculo igual a 30 kN. Considerar madeira classe C-60 e Kmod=0,56.
Serão utilizadas duas chapas cobrejuntas laterais de aço com espessura de 6mm.
6. Ligações em estruturas de madeiras:
133
MPa
ffMPafKff
s
yk
yd
c
kc
dcde 2181,1
240
 24
4,1
6056,0,0mod,0,0 ===∴==== γγ
77,3
24
21825,1251 3
10
30
 30
2
60
2 lim
2
=×==∴===∴=== f
f
,
d
t
mm
t
t
,de
yd
α
ββ
Cálculo das tensões máximas
Verificação se há embutimento da madeira ou flexão do pino
)(lim oembutiment =≤ ββ
parafusosn 62,5
76,5
30
===
kNNftR deVd88,22880243
3040,040,0
2
,0
2
1, ==××== β
6. Ligações em estruturas de madeiras:
134
Cálculo da resistência ao corte de um pino
( )kN76,588,22 =×Para dois planos de corte:
Espaçamento entre pinos para peças tracionadas
68
Exercício 6.3: Dimensionar a ligação de uma viga com seção transversal 8x25cm que está
apoiada em um pilar composto por duas peças com seção transversal 6x16cm afastadas em
8cm. A reação vertical do apoio da viga tem um valor de cálculo igual a 12kN e deverá ser
transferida ao pilar por meio de parafusos. A madeira utilizada é classe C-40 e o é
Kmod=0,56. Usar Parafusos ASTM A307 (fyk=240MPa) de 16mm de diâmetro.
SOLUÇÃO:
Como o pilar tem largura total (2x6cm=12cm) maior que a viga (8cm), a situação mais
crítica está relacionada com a viga que é solicitada perpendicularmente em relação às suas
fibras. Assim sendo, apenas a viga será verificada. 135
6. Ligações em estruturas de madeiras:
( )kN, 12,35612 =×
MPa,,
,
,, α
γ
f
K,αf,f
MPa
,γ
ff
e
c
,kc
e,dc,de
s
yk
yd
086521
41
40560250250250
218
11
240
0
mod090 =×××===
===
136
6. Ligações em estruturas de madeiras:
Cálculo das tensões máximas
Verificação se há embutimento da madeira ou flexão do pino
5,7
08,6
21825,1251 50,2
16
40
 40
2
80
2 lim
2
===∴===∴=== f
f
,
d
t
mm
t
t
,de
yd
α
ββ
)(lim oembutiment =≤ ββ
parafusosn 48,3
12,3
12
===
kNNftR deVd 56,1155608,65,2
4040,040,0
2
,90
2
1, ==××== β
Para dois planos de corte:
Cálculo da resistência ao corte de um pino
69
137
6. Ligações em estruturas de madeiras:
7. Flexão Oblíqua
138
70
1
1
,,
,,
≤+
≤+
wd
dMy
wd
dMx
M
wd
dMy
M
wd
dMx
ffk
fkf
σσ
σσ
Tensões máximas devidas aos componentes de flexão atuantes 
segundo as direções principais da seção;
dMydMx ,, ,σσ
Respectiva resistência de cálculo, tração ou compressão, conforme 
atuação do momento fletor oblíquo;
wf
Seção retangular (0,5) e outras formas de seção (1,0).Mk
α
α
sen
cos
qq
qq
x
y
=
=q
α
x
y
yq xq
8
8
2
2
lq
M
lqM
y
x
x
y
=
=
Comprimento da viga;l
7. Flexão Oblíqua:
139
α
α
cosMM
MsenM
x
y
=
=
α
x
y
q ou P
M
My
Mx
7. Flexão Oblíqua:
140
71
Exemplo 7.1:Dimensionar uma terça disposta em um telhado com inclinação de 22o,
com madeira classe C-60, segunda categoria, classe de umidade 2. Considerar como
carregamento mais crítico o composto pela ação permanente (0,5kN/m) e pela ação
variável (1kN) relativa à previsão de um homem fazendo manutenção do telhado.
kNcmkNmMM
kNcmkNmMM
kqkq
kgkg
9494,0
4
75,31
8888,0
8
75,35,0
,,
,
2
,
==∴
×
=
==∴
×
=
(homem no meio do vão)
7. Flexão Oblíqua:
141
( ) ( )
( ) ( ) kNcmsensenMMM
kNcmMMM
oo
yQyGdy
oo
xQxGdx
9522944,122884,14,14,1
23622cos944,122cos884,14,14,1
,,,
,,,
=××+××=+=
=××+××=+=
8,1;4,1;8,0;1;7,0
24500;60
3mod,2mod,1mod,
,0,0
=====
==
wvwc
mckc
kkk
MPaEf
γγ
2,0
3mod,2mod,1mod,,0 /4,2244,1
608,00,17,0 cmkNMPa
f
kkkf
wc
kc
dc ==××== γ
Solicitações atuantes:
Resistência da madeira:
7. Flexão Oblíqua:
142
72
Será adotada a seção transversal b=6cm e h=12cm (comercial)
3
4
33
3
4
33
72
3
216
2
216
12
612
12
144
6
864
2
864
12
126
12
cmb
I
w
cm
hbI
cmh
I
w
cm
bhI
y
y
x
x
===
=
×
==
===
=
×
==
1
1
,,
,,
≤+
≤+
wd
dMy
wd
dMx
M
wd
dMy
M
wd
dMx
ffk
fkf
σσ
σσ
2,
,
2,
,
/32,1
72
95
/64,1
144
236
cmkN
w
M
cmkN
w
M
y
dy
dMy
x
dx
dMx
===
===
σ
σ
189,0
24
2,13
24
4,165,0
196,0
24
2,135,0
24
4,16
,0
,
,0
,
,0
,
,0
,
≤=+=+
≤=+=+
dc
dMy
dc
dMx
M
dc
dMy
M
dc
dMx
ffk
fkf
σσ
σσ
(Atende)
Neste caso não é necessária a verificação quanto à tração pois toda esta flexão é oblíqua
7. Flexão Oblíqua:
143
Verificação do estado limite de utilização: (deslocamento – flecha)
cmlU 88,1375
200
1
200
1
lim ===
Flecha limite para viga de madeira (NBR 7190/97).
EI
ql
384
5 4
max =δ
cm
sen
cm
o
x
o
y
63,1
2161372384
37522005,05
0,1
8641372384
37522cos005,05
4
max,
4
max,
=
××
×××
=
=
××
×××
=
δ
δ
)(0,188,1
)(63,188,1
max,lim
max,lim
atendecmU
atendecmU
y
x
=>=
=>=
δ
δ
7. Flexão Oblíqua:
144
73
Exemplo 7.2:Por razões de modificação de uso, uma viga de madeira terá seu vão
duplicado de 2,80m para 5,60m e passará a ser o extremo de sustentação da cobertura
de um galpão. Pede-se determinar a seção da nova viga sabendo-se que:
•Será utilizada madeira serrada Classe C60 (dicotiledônea) de segunda categoria, a
15% de umidade e carregamentos de longa duração;
•A mesma será submetida à uma carga vertical de 13,44kN considerada de grande
variabilidade, no meio do vão devida à cargas permanentes provenientes do peso
próprio da cobertura e do peso das telhas, e a uma força de 5kN, também no meio do
vão, decorrente da ação do vento na cobertura que faz um ângulo de 15o com a
vertical.
F
Q
8,1;4,1;8,0;1;7,0
24500;60
3mod,2mod,1mod,
,0,0
=====
==
wvwc
mckc
kkk
MPaEf
γγ
MPa
f
kkkf
MPafff
MPa
ff
MPa
f
kkkf
wv
kv
dv
dtdtdt
kc
kt
wc
kc
dc
5,2
8,1
88,017,0
24,24
8,1
9,778,00,17,077,0
9,77
77,0
60
77,0
24
4,1
608,00,17,0
,0
3mod,2mod,1mod,,0
,0,0,0
,0
,0
,0
3mod,2mod,1mod,,0
=××==
=××=∴=
===
=××==
γ
γ
7. Flexão Oblíqua:
145
kNF
kNF
kNF
o
xQ
o
yQ
yG
29,115sen5
83,415cos5
44,13
,
,
,
==
==
=
Verificação quanto ao estado limite de utilização (deslocamentos):
Flecha máxima para viga bi apoiada com carga concentrada no meio do vão (Res. Mat.).








Ψ+= ∑∑
==
n
j
kQjjkGi
m
i
utid FFF
2
,2,
1
,
( ) kNF utidy 44,1383,4044,13, =×+=
cmlU 8,2560
200
1
200
1
lim ===
EI
Pl
48
3
max =δ
lim
3
lim
3
limmax 4848 EU
PlIU
EI
PlU ≥∴≤∴≤δ
Flecha limite para viga de madeira (NBR 7190/97).
cmU
cmkNMPaEkkkEE
cml
kNFP
mcefc
utidy
8,2
/137213720245008,017,0
560
44,13
lim
2
,03mod,2mod,1mod,,0
,
=
==×××===
=
==
4
3
lim
3
12800
8,2137248
56044,13
48
cmI
EU
PlI ≥∴
××
×
=≥
Considerada seção 
retangular de 
(12x30)cm.
3
33
27000
12
3012
12
cm
bhI =×==
7. Flexão Oblíqua:
146
74
Verificação quanto ao estado limite último (tensões):








Ψ++= ∑∑
==
n
j
kQjjkQQkGi
m
i
Gid MMMM
2
,0,1,
1
γγ
( ) ( )
( ) ( ) kNcmMMM
kNcmMMM
yQyGdy
xQxGdx
2531814,104,14,14,1
35816764,118824,14,14,1
,,,
,,,
=×+×=+=
=×+×=+=
kNcm
lFPlM
lFPlM
kNcm
lFPlM
kNcm
lFPlM
xQ
yQ
xG
yG
yQ
xQ
yG
xG
181
4
56029,1
44
0
4
5600
44
676
4
56083,4
44
1882
4
56044,13
44
,
,
,
,
,
,
,
,
=
×
===
=
×
===
=
×
===
=
×
===
7. Flexão Oblíqua:
147
1
1
,,
,,
≤+
≤+
wd
dMy
wd
dMx
M
wd
dMy
M
wd
dMx
ffk
fkf
σσ
σσ
2,
,
2,
,
/35,0
720
253
/99,1
1800
3581
cmkN
w
M
cmkN
w
M
y
dy
dMy
x
dx
dMx
===
===
σ
σ
3
4
33
3
4
33
720
6
4320
2
4320
12
123012
1800
15
27000
2
27000
12
3012
12
cmb
I
w
cm
hbI
cmh
I
w
cm
bhI
y
y
x
x
===
=
×
==
===
=
×
==
156,0
24
5,3
24
9,195,0
190,0
24
5,35,0
24
9,19
,0
,
,0
,
,0
,
,0
,
≤=+=+
≤=+=+
dc
dMy
dc
dMx
M
dc
dMy
M
dc
dMx
ffk
fkf
σσ
σσ
Tração
Compressão
155,0
24,24
5,3
24,24
9,195,0
189,0
24,24
5,35,0
24,24
9,19
,0
,
,0
,
,0
,
,0
,
≤=+=+
≤=+=+
dt
dMy
dt
dMx
M
dt
dMy
M
dt
dMx
ffk
fkf
σσ
σσ
7. Flexão Oblíqua:
148
75
8. Vigas de Seção Composta
149
Devido a limitação nas dimensões das seções transversais das peças de
madeira (sobretudo das de origem serrada) é comum a associação de
peças de modo a aumentar a inércia e, consequentemente, a rigidez das
seções transversais.
Serão aqui apresentados alguns exemplos de vigas compostas em
estruturas de madeira.
As vigas compostas podem ser obtidas por superposição de vigas maciças
simples, desde que se disponham dos elementos de ligação nas interfaces
para impedir o deslocamento relativo e, consequentemente, que as vigas
trabalhem de forma independente.
Os pregos constituem meios de união particularmente econômicos em mão de
obra, sobretudo se não for necessária furação prévia. Pode-se ainda, fazer
utilização de cola.
As vigas compostas tem alturas limitadas pelas dimensões comerciais das
almas maciças (30cm a 40cm).
8. Vigas de Seção Composta:
150
76
28/08/2017 15:49
Peças sem ligação
Peças coladas
Peças ligadas com pregos
8. Vigas de Seção Composta:
151
Muito embora as ligações coladas forneçam uma distribuição mais
uniforme das tensões normais da flexão na seção transversal, não são
usuais. Para tanto, bastaria que se fossem determinadas as propriedades
geométricas da seção A (área) e I (momento de inércia) e proceder-se
todas as verificações preconizadas para ELU e ELUti para peças fletidas.
Considerando o caso mais corriqueiro para vigas de seção composta
constituídas por elementos pregados, a NBR 7190 adota o seguinte
critério de dimensionamento, para as propriedade geométricas da seção
transversal composta pregada:
Ar = A área da seção composta
Ir = 0,95I para seções T inércia da seção
Ir = 0,85I para seções I ou caixão composta
8. Vigas de Seção Composta:
152
77
Além de reduzir a inércia da seção transversal devido ao pequeno
deslizamento relativo devido à deformação dos conectores (pregos), os furos
ocasionados por estes enfraquecem as seções de madeira, devido à redução
de sua área útil;
Na zona comprimida os furos preenchidos por prego podem ser ignorados.
Na zona tracionada das seções, os furos preenchidos podem ser
desprezados, desde que a redução da área seja inferior a 10% da área da
zona tracionada na íntegra;
Nesta apresentação, foram adotados os critérios preconizados pela NBR
7190. Pode ser mencionada a existência de outro código normativo aplicável,
com critérios particulares (porém um pouco mais detalhistas): O Eurocode 5.
8. Vigas de Seção Composta:
153
Exemplo 8.1 – Uma viga com conexões pregadas (2 pregos 140 x 64 PB-
58, a cada 6,5cm) é formada com três pedaços de Ipê, com as dimensões
indicadas na figura. Verifique, conforme a NBR 7190, quais as tensões
normais máximas de flexão atuantes na seção. Md=20kNm.
A = 2(30x7,5)+(10x15) = 600cm2
Área da zona tracionada = A/2 = 300cm2
Área dos furos = 2x14x0,64 = 18cm2 < 10%(300) = 30cm2
Não é preciso descontar os furos para o cálculo das 
propriedades geométricas.
Momento de inércia da seção maciça em relação ao eixo x:
Momento de inércia efetivo: Ir = 0,85I = 52594cm4
Tensões de flexão máximas:
=5,7MPa
8. Vigas de Seção Composta:
154
78
Exemplo 8.2 – Uma viga “T” de pinho do paraná é formada por duas
peças serradas com ligação pregada (2 pregos 100x64 a cada 6,5 cm) e
vence um vão de 5m. Para uma seção sujeita a um momento fletor
positivo igual a 20kNm, calcular as tensões normais solicitantes conforme
a NBR 7190. Md=20kNm.
8. Vigas de Seção Composta:
155
156
Ligação pregada entre peças de seção composta / Fluxo de cisalhamento
Fluxo de cisalhamento
d
V força cortante média atuante na viga;
g1 Coeficiente de majoração das ações (adotar 1,4);
S1 Momento estático da mesa;
Ir Momento de inércia reduzido;
Rd Resistência ao corte do prego;
s espaçamento dos pregos 
Espaçamento dos pregos de conexão
79
157
158
80
159
160
Exemplo 8.3 – Considerando Kmod=0,56, verifique qual a força cortante
máxima pode ser submetida a viga do exemplo 8.2.
= 11,25cm
= 18,75cm
Ir = 34066cm4
S1 = (30x7,5)(11,25-7,5/2) = 1687,5cm3
d
kNVV 7,6
5,64,15,1687
34066026,3 ≤∴
××
×≤
( ) MPaff dcde 45,114,1
9,407,056,0
,0,0 =
×
==
Tabela com: d=6,4mm, t=75mm e 
(Considerar 10MPa)
MPaf de 10,0 =
N = Rd = 1513N (para 1 prego), 3026N (3,026kN) para 2 pregos 
(momento estático da mesa)