Matemática ENEM 2017 aula 07

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Aula 07
Matemática e suas Tecnologias p/ ENEM 2017 (Com videoaulas)
Professores: Arthur Lima, Hugo Lima
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AULA 07: Funções exponenciais e logarítmicas 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 02 
2. Resolução de exercícios 08 
3. Questões apresentadas na aula 41 
4. Gabarito 55 
 
 
Olá! 
Nesta sétima aula aprenderemos os tópicos relacionados a funções 
exponenciais e funções logarítmicas. Tenha uma excelente aula. 
Permaneço à disposição e deixo abaixo meus contatos: 
 
 
E-mail: ProfessorArthurLima@hotmail.com 
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Ah, e não deixe de me seguir no aplicativo Instagram, onde posto 
dicas gratuitas para seu estudo: profarthurlima 
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1. TEORIA 
1.1.FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
 De maneira geral, dizemos que funções do tipo f(x) = ax são 
funções exponenciais. A função f(x) = 2x é um exemplo de função 
exponencial. Repare que, neste caso, a variável x encontra-se no 
expoente. 
Numa função exponencial do tipo f(x) = ax��R�FRHILFLHQWH�³D´�SUHFLVD�
ser maior do que zero, e também diferente de 1 (afinal 1 elevado a 
qualquer número é sempre igual a 1). 
 Você verá que todos os valores de f(x) serão positivos. Assim, a 
função exponencial tem domínio no conjunto dos números reais (R) e 
contradomínio no conjunto dos números reais positivos (isto é, o zero não 
está incluso). Ou seja, temos uma função do tipo f: R Æ R+*. 
 Se a > 1, a função é crescente. Já se 0 < a < 1, a função é 
decrescente. A título de exemplo, veja como são os gráficos de f(x) = 2x 
(crescente) e de g(x) = 0,5x (decrescente): 
 
 
 Repare que g(x) = 0,5x aproxima-se bastante do eixo horizontal à 
medida que o valor de x cresce (para a direita), entretanto esta função 
nunca toca o eixo horizontal. Da mesma forma, f(x) = 2x aproxima-se 
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bastante do eixo horizontal à medida que o valor de x decresce (para a 
esquerda), mas esta função também nunca toca o eixo horizontal. 
 Um caso especial da função exponencial é aquele onde o coeficiente 
D�p�R�IDPRVR�³Q~PHUR�GH�(XOHU´��UHSUHVHQWDGR�SHOD�OHWUD�³H´��H�FXMR�YDORU�
é um número irracional: e = 2,718281... Trata-se da função f(x) = ex 
que, como veremos ao estudar as funções logarítmicas, é o inverso da 
função g(x) = lnx. 
Esta função f(x) = ex é crescente, dado que e > 1: 
 
 
1.2 FUNÇÕES LOGARÍTMICAS 
 Antes de conhecermos as funções logarítmicas, penso ser 
interessante relembrar o conceito de logaritmo e suas principais 
propriedades. 
Sabemos que 32 = 9. Portanto, o número ao qual 3 precisa ser 
elevado para atingir o valor 9 é o número 2. É exatamente isto que o 
logaritmo expressa. Ou seja, o logaritmo de 9 na base 3 é 2: log39 = 2. 
Grave esta relação: 
32 = 9 œ log39 = 2 
 
 De maneira equivalente, podemos dizer que: 
24 = 16 œ log216 = 4 
 
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 Na expressão logab � F�� FKDPDPRV� R� Q~PHUR� ³D´� GH� EDVH� GR�
logaritmo. Veja que o resultado do logaritmo (c) é justamente o expoente 
ao qual deve ser elevada a bDVH�³D´�SDUD�DWLQJLU�R�YDORU�E��RX�VHMD��Dc =b. 
 
De modo bastante resumido, as propriedades mais importantes dos 
logaritmos são: 
a) 
logbaa b . Exemplo: 175log5 17 
b) log .logna ab n b . Exemplo: 25 5log 12 2.log 12 
c) log ( . ) log loga a ab c b c � . Exemplo: 2 2 2log (3.4) log 3 log 4 � 
d) log ( / ) log loga a ab c b c � . Exemplo: 2 2 2log (3/ 4) log 3 log 4 � 
e) 
loglog
log
c
a
c
bb
a
 . Exemplo: 52
5
log 10log 10
log 2
 
 
 Para exercitar as propriedades do logaritmo, resolva a questão a 
seguir: 
 
1. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre o valor de X na expressão 
abaixo: 
logX = log 5 + log2 5 + log2 
RESOLUÇÃO: 
 Se logX = log 5 + log2 5 + log2, então podemos dizer também 
que: 
 
log log 5 log2 5 log210 10X � � 
 
 Lembrando das propriedades das potências, temos que: 
log log 5 log2 5 log210 10 10 10X u u 
 
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 E lembrando da propriedade dos logaritmos de que log
b
aa b , 
temos: 
5 2 5 2X u u 
20X 
Resposta: 20 
 Obs.: na resolução acima utilizamos a propriedade a) dos 
logaritmos. Veja uma segunda forma de resolver (e mais rápida), com 
base na propriedade c) que estudamos: 
logX = log 5 + log2 5 + log2 
logX = log( 5 ×2 5 ×2) 
logX = log(20) 
X = 20 
 
A função f(x) = log5(x) é um exemplo de função logarítmica. Veja 
que nela a variável x encontra-se dentro do operador logaritmo. De 
maneira mais genérica, dizemos que as funções do tipo f(x) = loga(x) são 
funções logarítmicas. Assim como nas exponenciais, o coeficiente a 
precisa ser positivo (a > 0) e diferente de 1. 
 Aqui há uma inversão: o domínio é formado apenas pelos números 
reais positivos (pois não há logaritmo de número negativo) e o 
contradomínio é o conjunto dos números reais. Ou seja, temos f: R+* Æ 
R. 
Para exercitar, vamos calcular o domínio da função f(x) = log2(3x ± 
1). Veja que é preciso que 3x ± 1 seja positivo, ou seja: 
3x ± 1 > 0 
x > 1/3 
 
 Assim, o domínio é D = {x R | x > 1/3}. 
 
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 Se a > 1, a função é crescente. Já se 0 < a < 1, a função é 
decrescente. A título de exemplo, veja os gráficos de f(x) = log2x e de 
g(x) = log0,5x: 
 
 
 
 Observe ainda a relação entre os gráficos da função logarítmica 
crescente f(x) = log2x e da função exponencial crescente g(x) = 2x: 
 
 
 Repare que estes gráficos são simétricos em relação à reta 
SRQWLOKDGD��TXH�p�FRQKHFLGD�FRPR�³ELVVHWUL]�GRV�TXDGUDQWHV� tPSDUHV´��e�
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como se esta linha funcionasse FRPR�XP�³HVSHOKR´�HQWUH�DV�GXDV�IXQo}HV��
de modoque uma reflete a outra. 
 
 Da mesma forma, veja a relação entre os gráficos da função 
logarítmica decrescente f(x) = log0,5x e da função exponencial 
decrescente g(x) = 0,5x: 
 
 Mais uma vez os gráficos também são simétricos em relação à 
bissetriz dos quadrantes ímpares. É por isso que dizemos que as funções 
logarítmica e exponencial são inversas entre si. 
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2. RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
 
Trabalharemos agora alguns exercícios de fixação, quatro do ENEM 
e também questões de outros vestibulares. O assunto desta aula não é 
um assunto muito cobrado pelo ENEM, mas pode cair! Lembre-se: é 
muito importante que você execute os cálculos à mão, pois é assim que 
você deverá fazer na hora da prova. Além disso, é com a prática que 
vamos ficar cada vez melhores. 
 
 
 
2. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Diga se a função abaixo é uma função 
exponencial: 
f(x) = (-2)x 
RESOLUÇÃO: 
Sabemos que uma função exponencial é do tipo f(x) = ax, onde a deve 
ser um número positivo (a>0) e diferente de 1. Na função do enunciado 
WHPRV�XP�Q~PHUR�QHJDWLYR�QD�EDVH��SRVLomR�³D´��e, portanto, não é uma 
exponencial. 
RESPOSTA: Sim 
 
3. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Calcule f(8) na função abaixo: 
f(x) = 2. Log6(3x/4) 
RESOLUÇÃO: 
 Para obter f(8), basta substituir x por 8: 
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f(x) = 2. Log6(3x/4) 
f(8) = 2. Log6(3.8/4) 
f(8) = 2. Log6(24/4) 
f(8) = 2. Log6(6) = 2 
RESPOSTA: 2 
 
4. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Calcule o valor de y na expressão abaixo 
para x = 3. 
y = 500 ڄ 2x 
RESOLUÇÃO: 
 Com x = 3, temos: 
y = 500 . 23 
y = 500 . 8 
y = 4000 
RESPOSTA: 4000 
 
5. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre o valor de x na função abaixo 
para y = 640. 
y = 10 . 2x 
RESOLUÇÃO: 
Sendo y = 640, temos: 
y = 10 . 2x 
640 = 10 . 2x 
64 = 2x 
26 = 2x 
 Portanto, x = 6. 
RESPOSTA: 6 
 
6. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Sendo x a variável e r e NJ duas 
constantes, encontre a relação entre r e NJ�QD�LJXDOGDGH�DEDL[R: 
eNJ[ = (1+r)x 
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RESOLUÇÃO: 
Como temos variáveis nos expoentes, devemos lembrar de utilizar 
logaritmos para resolver. Podemos igualar os logaritmos neperianos (ln) 
de ambos os lados, e em seguida utilizar as propriedades básicas dos 
logaritmos: 
ln (eNJx) = ln(1+r)x 
NJx.ln (e) = x.ln(1+r) 
NJx.1 = x.ln(1+r) 
NJx = x.ln(1+r) 
NJ� �OQ���U� 
eNJ = 1 + r 
eNJ ± 1 = r 
RESPOSTA: eNJ ± 1 = r 
 
7. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Sabendo que f(5) = 
1
2
 para a função f(x) 
= logb x, descubra qual a base b do logaritmo dessa função. 
RESOLUÇÃO: 
f(x) = logb x 
f(5) = logb 5 
1/2 = logb 5 
b1/2 = 5 
5b 
b = 25 
RESPOSTA: 25 
 
8. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Reescreva a função abaixo em função da 
variável y: 
y = 10x+3 - 7 
RESOLUÇÃO: 
 Temos: 
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y = 10x+3 ± 7 
y + 7 = 10x+3 
log (y + 7) = log 10x+3 
log (y + 7) = (x + 3) . log 10 
log (y + 7) = (x + 3) . 1 
log (y + 7) = x + 3 
log (y + 7) ± 3 = x 
 
RESPOSTA: x = log (y + 7) ± 3 
 
9. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Reescreva a função abaixo em função da 
variável y: 
y = 53x 
RESOLUÇÃO: 
Tirando o logaritmo de base 5 dos dois lados, ficamos com: 
log5 (y) = log5 (53x) 
log5 (y) = 3x.log5 (5) 
log5 (y) = 3x.1 
log5 (y) = 3x 
(1/3) . log5 (y) = x 
log5 (y1/3) = x 
� �35log y = x 
RESPOSTA: x = � �35log y 
 
10. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre a expressão que dá o valor de x 
a partir da igualdade abaixo: 
6 25
2
x
 
RESOLUÇÃO: 
 
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Temos: 
6 25
2
x
 
6x = 2 . 25 
(2.3)x = 2.25 
log(2.3)x = log(2.25) 
x. log(2.3) = log(2.25) 
x. (log2 + log3) = log2 + log25 
 
Vamos tentar substituir o log25 por outros mais usuais. Vamos 
WHQWDU�³IRUoDU´�DSDUHFHU�DOJXP�ORJDULWPR�Fonhecido. Uma possibilidade é 
lembrar que 25 = 100 / 4. Assim, 
x. (log2 + log3) = log2 + log(100/4) 
x. (log2 + log3) = log2 + (log100 - log4) 
x. (log2 + log3) = log2 + (log102 ± log22) 
x. (log2 + log3) = log2 + (2.log10 ± 2.log2) 
x. (log2 + log3) = log2 + 2.1 ± 2.log2 
x. (log2 + log3) = 2 ± log2 
x = (2 ± log2) / (log2 + log3) 
 
RESPOSTA: x = (2 ± log2) / (log2 + log3) 
 
11. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Calcule f(0) na função abaixo: 
f(x) = 20 + 15log125(x + 5) 
RESOLUÇÃO: 
 Para obter f(0), basta substituir x por 0. Assim, 
f(x) = 20 + 15 x log125(x + 5) 
f(0) = 20 + 15 x log125(0 + 5) 
f(0) = 20 + 15 x log125(5) 
 
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 Repare que 53 = 125, ou seja, 1/335 125 125 . Sabendo disso, 
temos: 
f(0) = 20 + 15 x log125(1251/3) 
f(0) = 20 + 15 x (1/3) x log125(125) 
f(0) = 20 + 15 x (1/3) x 1 
f(0) = 20 + 5 = 25 
RESPOSTA: 25 
 
12. ENEM ± 2016) Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala 
Richter causou um devastador tsunami no Japão, provocando um alerta 
na usina nuclear de Fukushima. Em 2013, outro terremoto, de magnitude 
7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando 
centenas de mortos e milhares de feridos. A magnitude de um terremoto 
na escala Richter pode ser calculada por 
0
2
log
3
E
M
E
§ · ¨ ¸¨ ¸© ¹
 
Sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e E0 uma constante 
real positiva. Considere que E1 e E2 representam as energias liberadas nos 
terremotos ocorridos no Japão e na China, respectivamente. 
Disponível em: www.terra.com.br. Acesso em: 15 ago. 2013 (adaptado). 
Qual a relação entre E1 e E2? 
A) E1 = E2 + 2 
B) E1 = 102 . E2 
C) E1 = 103 . E2 
D) 
9
7
1 2
10E E ˜ 
E) 
1 2
9
7
E E ˜ 
RESOLUÇÃO: 
 Aplicando a fórmula para o terremoto do Japão, temos: 
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Prof. Hugo Lima§ · ¨ ¸¨ ¸© ¹
§ · ¨ ¸¨ ¸© ¹
§ · ¨ ¸¨ ¸© ¹
0
1
0
1
0
2
log
3
2
9 log
3
27
log
2
E
M
E
E
E
E
E
 
 
 
27
1 2
0
1
0 27
2
10
10
E
E
E
E
 
 Aplicando a fórmula para o terremoto da China, temos: 
§ · ¨ ¸¨ ¸© ¹
§ · ¨ ¸¨ ¸© ¹
§ · ¨ ¸¨ ¸© ¹
 
 ˜
0
2
0
2
0
21
2 2
0
21
2
2 0
2
log
3
2
7 log
3
21
log
2
10
10
E
M
E
E
E
E
E
E
E
E E
 
 
 Substituindo a expressão de E0 que encontramos anteriormente na 
igualdade acima, temos: 
�
 ˜
 
 ˜
21
1 2
2 27
2
1 1
2 27 21 3
2 2
3
1 2
10
10
10
10
10
E
E
E E
E
E E
 
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Resposta: C 
 
Texto para a questão 13 
 A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade 
diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são 
apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das 
Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos 
ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam 
as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas 
com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 
15% da população total nos países desenvolvidos. 
 
 
13. ENEM - 2009) Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x, em 
que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e 
assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes 
no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais 
de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse 
modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60 anos 
ou mais estará, em 2030, entre 
A) 490 e 510 milhões. 
B) 550 e 620 milhões. 
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C) 780 e 800 milhões. 
D) 810 e 860 milhões. 
E) 870 e 910 milhões. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 
2001, e assim sucessivamente. Logo, o ano 2030 corresponde a x = 30. 
Substituindo esse valor na função que dá a população, temos: 
y = 363e0,03x 
y = 363e0,03(30) 
y = 363e0,9 
y = 363e0,3+0,3+0,3 
y = 363e0,3e0,3e0,3 
y = 363(1,35)(1,35)(1,35) 
y = 893 milhões 
Resposta: E 
 
14. ENEM - 2013) Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior 
acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, 
removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada 
inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material 
radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se 
reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade 
restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada 
pela expressão � � � � · 2,7 ktM t A , onde A é a massa inicial e k é uma 
constante negativa. 
Considere 0,3 como aproximação para log102. Qual o tempo necessário, 
em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 
10% da quantidade inicial? 
A) 27 
B) 36 
C) 50 
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D) 54 
E) 100 
RESOLUÇÃO: 
Utilizaremos nessa questão as seguintes propriedades: 
log ( / ) log loga a ab c b c � 
log .logna ab n b 
 
Primeiramente, vamos encontrar o valor da constante k. A meia-
vida do césio-137 é de 30 anos. Logo, para M(t) = A/2 (correspondente à 
massa após decorrido o período de uma meia-vida) temos: 
� � � � · 2,7 ktM t A 
A/2 = A (2,7)30k 
1/2 = 2,730k 
log (1/2) = log 2,730k 
log 1 ± log 2 = 30k log 2,7 
-0,3 = 30k log 2,7 
k = -0,01 / (log 2,7) 
 
A partir de uma massa inicial A, queremos saber quanto tempo leva 
para chegarmos à massa M(t) = 10% A. Substituindo na fórmula, temos: 
M(t) = A(2,7)kt 
10% A = A(2,7)kt 
0,1=2,7kt 
log(0,1)=log(2,7kt) 
log(10-1)=log(2,7kt) 
-log(10)=kt.log(2,7) 
-1= t.log(2,7)[-0,01 / (log 2,7)] 
-1 = t (-0,01) 
t = 100 anos 
Resposta: E 
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15. ENEM ± 2015) Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros 
das portas dianteiras foram desenhados de forma que suas bordas 
superiores fosse representadas pela curva de equação y = log (x), 
conforme a figura. 
 
A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao 
meio a altura h do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo x. 
Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma expressão 
que fornece a altura h do vidro em função da medida n de sua base, em 
metros. 
A expressão algébrica que determina a altura do vidro é 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
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(E) 
RESOLUÇÃO: 
 Reveja a Figura abaixo com algumas marcações importantes: 
 
 Sabemos que a equação da curva é dada por y = log(x). O que 
vamos fazer é relacionar os valores n e h com a equação dessa curva. 
Veja que os pontos extremos da curva (em vermelho) são de nosso 
conhecimento. As coordenadas do ponto mais à esquerda são (x;-h/2). Já 
para o outro ponto temos as seguintes coordenadas: (x+n;h/2). 
Substituindo as coordenadas do primeiro ponto na curva y = log(x) 
temos: 
-h/2 = log x 
Substituindo as coordenadas do segundo ponto na curva y = log(x) 
temos: 
h/2 = log (x+n) 
 
 Somando as duas equações anteriores temos: 
-h/2 + h/2 = log x + log (x+n) 
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0 = log x + log (x+n) 
 
 Usando a propriedade log ( . ) log loga a ab c b c � temos: 
log x + log (x+n) = log(x(x+n)) = 0 
log (x2+nx) = 0 
 
 Sabemos que para um log ser zero é necessário que estejamos 
fazendo o log do número 1, visto que 100 = 1. Assim: 
x2+nx = 1 
x2+nx ± 1 = 0 
 
 Aplicando Báskara temos: 
2
2
4(1)( 1)
2(1)
4
2
n n
x
n n
x
� r � � 
� r � 
 
 
Repare na Figura que o gráfico está todo à esquerda do eixo y, ou 
seja, a curva apresenta apenas valores positivos para x. Assim, ficamos 
apenas com:2 4
2
n n
x
� � � 
 
 
Substituindo o valor de x encontrado em função de n na equação do 
ponto mais à direita no gráfico, temos: 
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2
2
log( )
2
42 log
2
42log
2
h
x n
n nh n
n nh
 �
§ ·§ ·� � �¨ ¸ �¨ ¸¨ ¸¨ ¸© ¹© ¹
§ ·� � ¨ ¸¨ ¸© ¹ 
Resposta: E 
 
16. ENEM - 2011) A Escala e Magnitude de Momento (abreviada como 
MMS e denotada como MW), introduzida em 1979 por Thomas Haks e 
Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude 
dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo 
público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes 
de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala 
Richter, a MMS é uma escala logarítmica. 
MW e M0 se relacionam pela fórmula: 
� �10 02� ±����� � �3WM log M � 
onde M0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos 
registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja 
unidade é o dinaڄcm. O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de 
janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no 
Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude MW = 
7,3. 
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes. 
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 
(adaptado). 
Mostrando que é possível determinar a medida por meio de 
conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M0 do terremoto 
de Kobe (em dinaڄcm)? 
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A) 
5,1010� 
B) 
0,7310� 
C) 
12,0010
 
D) 
21,6510 
E) 
27,0010 
RESOLUÇÃO: 
 Basta substituir os valores na fórmula. O enunciado nos disse que 
MW = 7,3. Logo: 
� �10 02� ±����� � �3WM log M � 
7,3 = -10,7 + (2/3) log M0 
18 = (2/3) log M0 
18 (3/2) = log M0 
27 = log M0 
M0=1027 
Resposta: E 
 
17. UFRGS ± VESTIBULAR ± 2012) O número log27 está entre: 
a) 0 e 1 
b) 1 e 2 
c) 2 e 3 
d) 3 e 4 
e) 4 e 5 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos chamar o número log27 de x. Assim: 
x = log27 ĺ 2x = 7 
 
 Sabemos que 22 = 4 e 23 = 8. Como 2x = 7, então podemos afirmar 
que x está entre 2 e 3. 
RESPOSTA: C 
 
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18. ESPM ± VESTIBULAR ± 2011/1) Sendo log 2 = a e log 3 = b, o 
valor do log9160 é igual a: 
a) 
4
2
a b�
 
 
b) 
4 1
2
a
b
�
 
 
c) 
2 3
2
a b�
 
 
d) 
4 2b
a
�
 
 
e) 
1
3
a
b
�
 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos chamar de x o valor pedido pelo enunciado. Ou seja, x = 
log9160, o que implica em dizer que 9x=160. Como 9 e 160 não têm 
fatores em comum, vamos aplicar log na base 10 dos dois lados: 
log 9x = log 160 
x log(3×3) = log(4×4×10) 
 
 Utilizando a propriedade log ( . ) log loga a ab c b c � dos dois lados temos: 
x (log3 + log3) = log4 + log4 + log10 
x (log3 + log3) = log(2×2) + log(2×2) + log10 
x (log3 + log3) = log2 + log2 + log2 + log2 + log10 
 
 Como sabemos que log 2 = a, log 3 = b e log 10 = 1, temos: 
x (2b) = 4a + 1 
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x = (4a + 1)/2b 
RESPOSTA: B 
 
19. UFRGS ± VESTIBULAR ± 2015) Atribuindo para log 2 o valor 0,3, 
então o valor de 1000,3 é: 
a) 3 
b) 4 
c) 8 
d) 10 
e) 33 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos chamar 1000,3 de x. Logo x = 1000,3. Aplicando log dos dois 
lados temos: 
log x = log 1000,3 
log x = 0,3 log 100 
log x = 0,3 log 102 
log x = 0,3 × 2 
 
 Substituindo o 0,3 na equação acima por log 2, temos: 
log x = (log 2) × 2 
log x = log 22 
x = 22 = 4 
RESPOSTA: B 
 
20. FGV-SP ± VESTIBULAR ± 2014/2) Considere a seguinte tabela, 
em que ln(x) representa o logaritmo neperiano de x: 
 
x 1 2 3 4 5 
ln(x) 0 0,69 1,10 1,39 1,61 
 
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 O valor de x que satisfaz a equação 6x = 10 é aproximadamente 
igual a: 
a) 1,26 
b) 1,28 
c) 1,30 
d) 1,32 
e) 1,34 
RESOLUÇÃO: 
6x = 10 
ln(6x) = ln10 
x.ln6 = ln10 
x.ln(2×3) = ln(2×5) 
x(ln2 + ln3) = ln2 + ln5 
x(0,69 + 1,10) = 0,69 + 1,61 
1,79x = 2,3 
x = 1,28 
RESPOSTA: B 
 
21. ESPM ± VESTIBULAR ± 2014/1) Se log x + log x2 + log x3+ log x4 
= 20, o valor de x é: 
a) 10 
b) 0,1 
c) 100 
d) 0,01 
e) 1 
RESOLUÇÃO: 
log x + log x2 + log x3+ log x4 = 20 
log (x.x2.x3.x4) = 20 
log x10=20 
1020=x10 
(100)10=x10 
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X=100 
RESPOSTA: C 
 
22. USF ± VESTIBULAR ± 2013/2 - adaptada) A massa de uma 
substância se decompõe exponencialmente segundo a lei m(t) = a.3(-t/2), 
em que a é uma constante, t indica o tempo, em horas, e m(t) indica a 
massa da substância, em gramas, no instante t. Sabe-se que para t = 4 
horas temos m(4) = 729 g. Determine a massa da substância no tempo t 
= 10 horas. 
a) 27 g 
b) 30 g 
c) 33 g 
d) 60 g 
e) 81 g 
RESOLUÇÃO: 
 A partir de m(4) = 729 podemos descobrir o valor de a: 
m(t) = a.3(-t/2) 
m(4) = a.3(-4/2) 
729 = a.3(-2) 
729×32 = a 
 
 Vamos agora determinar a massa da substância no tempo t = 10 
horas: 
m(t) = a.3(-t/2) 
m(10) = 729×32×3(-10/2) 
m(10) = 729×32×3(-5) 
m(10) = 729×3(-3) 
m(10) = 729/27 
m(10) = 27 g 
RESPOSTA: A 
 
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23. UFG ± VESTIBULAR ± 2013/1) Para a segurança da população, o 
lixo radioativo produzido pelo acidente com o césio-137, na cidade de 
Goiânia, foi revestido com paredes de concreto e chumbo. A intensidade 
da radiação I decai exponencialmente quando atravessa essas paredes, 
de acordo com a relação I(x) = I0.e-a.x, onde I0 é a intensidade que incide 
sobre a parede de espessura x e a é o coeficiente de atenuação, conforme 
esboçado no gráfico a seguir: 
 
De acordo com essas informações,o valor do coeficiente de atenuação da 
parede que reveste o lixo é: 
Dados: 
ln e = 1 
ln 2 = 0,69 
ln 3 = 1,10 
ln 10 = 2,30 
a) 0,552 cm-1 
b) 0,825 cm-1 
c) 1,275 cm-1 
d) 1,533 cm-1 
e) 2,707 cm-1 
RESOLUÇÃO: 
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 Repare que o gráfico apresenta no eixo y valores para I/I0. Veja que 
quando x = 0,4, temos I/I0 = 0,6. Substituindo na fórmula temos: 
I(x) = I0.e
-a.x 
I(x)/I0 =e
-a.x 
0,6 = e(-a.0,4) 
ln(0,6) = ln(e(-a.0,4)) 
ln(2×3÷10) = (-0,4a) ln e 
ln 2 + ln 3 ± ln 10 = -0,4a 
0,69 + 1,10 - 2,30 = -0,4a 
-0,51 = -0,4a 
a = 0,51/0,4 = 1,275 cm-1 
RESPOSTA: C 
 
Texto para as questões 24 e 25 
Para certo modelo de computadores produzidos por uma empresa, o 
percentual dos processadores que apresentam falhas após T anos de uso 
é dado pela seguinte função: 
P(T) = 100(1 - 2-0,1T) 
 
24) UNICAMP ± VESTIBULAR ± 2011) Em quanto tempo 75% dos 
processadores de um lote desse modelo de computadores terão 
apresentado falhas? 
RESOLUÇÃO: 
75 = 100(1 - 2-0,1T) 
0,75 = 1 - 2-0,1T 
0,25 = 2-0,1T 
1/4 = 2-0,1T 
2-2 = 2-0,1T 
-2 = -0,1T 
T = 20 anos 
RESPOSTA: 20 
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25) UNICAMP ± VESTIBULAR ± 2011) Os novos computadores dessa 
empresa vêm com um processador menos suscetível a falhas. Para o 
modelo mais recente, embora o percentual de processadores que 
apresentam falhas também seja dado por uma função da forma Q(T) = 
100(1 ± 2cT), o percentual de processadores defeituosos após 10 anos de 
uso equivale a 1/4 do valor observado, nesse mesmo período, para o 
modelo antigo (ou seja, o valor obtido empregando-se a função P(T) 
acima). Determine, nesse caso, o valor da constante c. Se necessário, 
utilize log2(7) = 2,81. 
RESOLUÇÃO: 
 Pela função P(T), após 10 anos de uso temos: 
P(T) = 100(1 - 2-0,1T) 
P(10) = 100(1 - 2-0,1×10) 
P(10) = 100(1 - 2-1) 
P(10) = 100(1 ± 0,5) 
P(10) = 100(0,5) 
P(10) = 50 
 
Em Q(T), o percentual de processadores defeituosos após 10 anos 
de uso equivale a 1/4 do valor observado em P(T). Logo, para T = 10 
anos, temos: 
Q(T) = 100(1 ± 2cT) 
Q(10) = 100(1 ± 210c) = (1/4) × P(10) 
100(1 ± 210c) = (1/4) × 50 
100(1 ± 210c) = 12,5 
1 ± 210c = 0,125 
± 210c = -0,875 
210c = 0,875 
log2 (210c) = log2 (0,875) 
10c = log2 (0,875) 
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10c = log2 (7/8) 
10c = log2 7 ± log2 8 
10c = log2 7 ± log2 23 
10c = log2 7 ± 3 log2 2 
10c = 2,81 ± 3 
c = -0,019 
RESPOSTA: -0,019 
 
26. UCS ± VESTIBULAR ± 2011) Em geral, materiais radioativos se 
desintegram (se transmutam) espontaneamente com o passar do tempo, 
por meio da emissão de radiação. Como a desintegração se dá de forma 
proporcional à massa remanescente do material, o modelo matemático 
para o cálculo da quantidade em função do tempo é um modelo 
exponencial. O tempo necessário para que a quantidade de massa se 
reduza à metade é chamado, nesse caso, de meia-vida do elemento. 
Se considerarmos que a meia-vida do césio-137 é de 30 anos e que 100 
mg desse elemento tenham sido liberados para o meio ambiente, a 
expressão que permite calcular a quantidade que restará t anos após a 
liberação, é 
ln2
30100
t
e
�u . 
De acordo com essa expressão, usando ln2 = 0,7 e ln5 = 1,61, qual é o 
tempo mínimo, em anos, para que a quantidade liberada para o meio 
ambiente seja reduzida a 5% da quantidade inicial? 
a) 125 
b) 127 
c) 129 
d) 135 
e) 134 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos chamar de Q(t) a quantidade que restará t anos após a 
liberação. Para Q(t) = 5 mg temos: 
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ln 2
30( ) 100 tQ t e� u 
ln 2
30
ln 2
30
ln 2
30
5 100
0,05
ln 0,05 ln
t
t
t
e
e
e
�
�
�
 u
 
§ · ¨ ¸© ¹ 
2
2
ln 2ln(5 10 ) ln
30
ln 2ln 5 ln10
30
ln 2ln 5 2(ln 2 5)
30
t e
t
t
�
�
u �
� �
� u �
 
ln 2ln 5 2(ln 2 ln 5)
30
0,71,61 2(0,7 1,61)
30
0,73,01
30
t
t
t
� � �
� � �
� �
 
0,73,01
30
90,3 0,7
129
t
t
t anos
 
 
 
RESPOSTA: C 
 
27. UCS ± VESTIBULAR ± 2011) Os carros de determinada marca, que 
desvalorizam exponencialmente em função do tempo t, em meses 
decorridos desde a sua aquisição, têm seu valor P estabelecido pela 
equação P=A.Bt, com A e B constantes positivas. Se, na compra, um 
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carro dessa marca custou R$ 40 000,00 e, após dois anos, o seu valor 
passou a ser R$ 32 000,00, qual será o seu valor após 4 anos? 
a) R$ 23 500,00 
b) R$ 24 000,00 
c) R$ 24 600,00 
d) R$ 25 600,00 
e) R$ 32 000,00 
RESOLUÇÃO: 
 Em t=0 (na compra), o valor do carro era de 40 mil reais. Logo: 
P=A.Bt 
40.000=A.B0 
A = 40.000 
 
 Em t=2 anos, o valor do carro é de 32 mil reais. Logo: 
P=A.Bt 
32.000=40.000.B2 
B2=32000/40000 
B2=0,8 
B=0,81/2 
 
Em t=4 anos, o valor do carro é de: 
P=A.Bt 
P=40.000. (0,81/2)4 
P=40.000(0,82) 
P = 25.600 reais 
RESPOSTA: D 
 
28. UNEMAT ± VESTIBULAR ± 2009/1) Os biólogos consideram que, 
ao chegar a 100 indivíduos, a extinção da espécie animal é inevitável. A 
população de determinada espécie animal ameaçada de extinção diminui 
segundo a função f(t) = kat, na qual k e a são números reais e f(t) indica 
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o número de indivíduos dessa espécie no instante t (em anos). 
Atualmente (instante t = 0) existem 1.500 indivíduos da espécie e 
estima-se que, daqui a 10 anos, haverá 750. 
Caso nenhuma providência seja tomada, mantido tal decrescimento 
exponencial, daqui a quantos anos será atingido o nível de população que 
os biólogos consideram irreversível para a extinção? 
Para os cálculos utilize, se necessário, alguns dos valores da tabela 
abaixo: 
n 2 3 7 10 
log n 0,30 0,47 0,85 1 
 
a) 25 
b) 40 
c) 30 
d) 15 
e) 39 
RESOLUÇÃO: 
 Em t=0 existem 1.500 indivíduos da espécie. Logo: 
f(t) = kat 
1500 = ka0 
k = 1500Daqui a 10 anos, haverá 750 indivíduos da espécie. Logo: 
f(t) = kat 
750 = 1500.a10 
a10= 1/2 
a = (2)-1/10 
 
O nível de população que os biólogos consideram irreversível para a 
extinção é de 100 indivíduos. Logo: 
f(t) = kat 
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100 = 1500. (2)-t/10 
1 = 15. (2)-t/10 
log 1 = log (30/2) + log (2)-t/10 
0 = log 30 - log 2 ± (t/10) log 2 
0 = log 3 + log 10 - log 2 ± (t/10) log 2 
0 = 0,47 + 1 ± 0,30 - (t/10) 0,30 
1,17 = (t/10) 0,30 
3,9 = t/10 
t = 39 anos 
RESPOSTA: E 
 
29. FUVEST ± VESTIBULAR ± 2010) A magnitude de um terremoto na 
escala Richter é proporcional ao logaritmo, na base 10, da energia 
liberada pelo abalo sísmico. Analogamente, o pH de uma solução aquosa 
é dado pelo logaritmo, na base 10, do inverso da concentração de íons 
H+. Considere as seguintes afirmações: 
I. O uso do logaritmo nas escalas mencionadas justifica-se pelas 
variações exponenciais das grandezas envolvidas. 
II. A concentração de íons H+ de uma solução ácida com pH 4 é 10 mil 
vezes maior que a de uma solução alcalina com pH 8. 
III. Um abalo sísmico de magnitude 6 na escala Richter libera duas vezes 
mais energia que outro, de magnitude 3. 
Está correto o que se afirma somente em: 
a) I 
b) II 
c) III 
d) I e II 
e) I e III 
RESOLUÇÃO: 
 Analisando item a item, temos: 
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 I. CORRETO. O logaritmo de um número é justamente o expoente 
ao qual deve ser elevada a base para encontrar aquele número. 
 II. CORRETO. O pH de uma solução aquosa é dado pelo logaritmo, 
na base 10, do inverso da concentração de íons H+., ou seja, pH = log 
(1/C), sendo C a concentração de íons H+. 
 A concentração de íons H+ de uma solução ácida com pH 4 é: 
pH = log (1/C1) 
4 = log (1/C1) 
104 = 1/C1 
C1=10-4 
 
A concentração de íons H+ de uma solução alcalina com pH 8 é: 
pH = log (1/C2) 
8 = log (1/C2) 
108 = 1/C2 
C2=10-8 
 
 Dividindo C1 por C2 temos: 
C1/ C2 = 10-4/10-8 = 108-4 = 104 = 10 mil. 
 
 III. ERRADO. A magnitude (M) de um terremoto na escala Richter é 
proporcional ao logaritmo, na base 10, da energia (E) liberada pelo abalo 
sísmico. Logo M = k log E, em que k é a constante de proporcionalidade. 
Para um abalo sísmico de magnitude 6 temos: 
M = k log E1 
6 = k log E1 
6/k = log E1 
E1 = 106/k 
 
Para um abalo sísmico de magnitude 3 temos: 
M = k log E2 
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3 = k log E2 
3/k = log E2 
E2 = 103/k 
 
Dividindo E1 por E2 temos: 
E1/E2= 106/k/103/k 
E1/E2= 106/k-3/k=103/k 
 
 Um abalo sísmico de magnitude 6 na escala Richter libera 103/k 
vezes mais energia que outro, de magnitude 3. 
RESPOSTA: D 
 
30. UDESC ± VESTIBULAR ± 2008) Sabendo que log3(7x - 1) = 3 e 
que log2(y
3 + 3) = 7 pode-se afirmar que logy(x
2 + 9) é igual a: 
a) 6 
b) 2 
c) 4 
d) -2 
e) -4 
RESOLUÇÃO: 
log3(7x - 1) = 3 
33 = 7x -1 
27 = 7x -1 
x = 4 
 
log2(y
3 + 3) = 7 
27 = y3 + 3 
128 = y3 + 3 
y3 = 125 
y = 5 
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Assim, para x = 4 e y = 5 temos: 
logy(x
2 + 9) = log5(42 + 9) = 
= log5(16 + 9) 
= log5(25) 
= log5(52) 
= 2 log5(5) 
= 2 
RESPOSTA: B 
 
31. ENEM ± 2016) O governo de uma cidade está preocupado com a 
possível epidemia de uma doença infectocontagiosa causada por bactéria. 
Para decidir que medidas tomar, deve calcular a velocidade de reprodução 
da bactéria. Em experiências laboratoriais de uma cultura bacteriana, 
inicialmente com 40 mil unidades, obteve-se a fórmula para a população: 
p(t) = 40 . 23t em que t é o tempo, em hora, e p(t) é a população, em 
milhares de bactérias. Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 
20 min, a população será 
A) reduzida a um terço. 
B) reduzida à metade. 
C) reduzida a dois terços. 
D) duplicada. 
E) triplicada. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que na fórmula p(t) o tempo é dado em horas. Sabemos que 
20 minutos corresponde a 1/3 hora. Assim, fazendo t = 1/3 na fórmula, 
temos: 
p(1/3) = 40 . 23(1/3) 
p(1/3) = 40 . 21 
p(1/3) = 80 milhares 
 
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 A população inicial, em t = 0, corresponde a: 
p(0) = 40 . 23(0) 
p(0) = 40 . 20 
p(0) = 40 milhares 
 
 Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 20 min, a 
população será duplicada, visto que irá de 40 milhares para 80 milhares. 
Resposta: D 
 
32. ENEM ± 2016) Admita que um tipo de eucalipto tenha expectativa 
de crescimento exponencial, nos primeiros anos após seu plantio, 
modelado pela função y(t) = at-1, na qual y representa a altura da planta 
em metro, t é considerado em ano, e a é uma constante maior que 1. O 
gráfico representa a função y. 
 
Admita ainda que y(0) fornece a altura da muda quando plantada, e 
deseja-se cortar os eucaliptos quando as mudas crescerem 7,5 m após o 
plantio. 
O tempo entre a plantação e o corte, em ano, é igual a 
A) 3. 
B) 4. 
C) 6. 
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D) log27. 
E) log215 
RESOLUÇÃO: 
 y(0) fornece a altura da muda quando plantada, portanto, essa 
altura é de 0,5 m, visto que esse é o valor de y que corresponde ao 
tempo t = 0. Substituindo esses valores na fórmula, temos: 
y(t) = at-1 
y(0) = a-1 = 0,5 
1/a = 0,5 
a = 1/0,5 
a = 2 
 
 Assim, nossa fórmula fica sendo y(t) = 2t-1. Deseja-se cortar os 
eucaliptos quando as mudas crescerem 7,5 m após o plantio. Como a 
altura inicial é de 0,5 m, após crescerem 7,5 m os eucaliptos terão 8 m. 
Logo, substituindo na fórmula, temos: 
y(t) = 2t-1 
8 = 2t-1 
2t-1 = 23 
t ± 1 = 3 
t = 4 anos 
Resposta: B 
 
33. ENEM ± 2016) Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 
3 000 °C e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min. Use 0,477 
como aproximação para log10(3) e 1,041 como aproximação para 
log10(11). 
O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30 °C é mais próximo 
de 
A) 22. 
B) 50. 
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C) 100. 
D) 200. 
E) 400. 
RESOLUÇÃO: 
 Seja Tf a temperatura final, Ti a temperatura inicial e n o número 
de períodos. Podemos dizer que: 
Tf = Ti . (1 ± 1%)n 
 
 Substituindo os valores de Tf e Ti temos: 
30 = 3000 . 0,99n 
0,01 = 0,99n 
log 10-2 = n log 0,99 
-2 = n log (3 x 3 x 11 x 10-2) 
-2 = n (2 log 3 + log 11 ± 2 log 10) 
-2 = n (2 x 0,477 + 1,041 - 2) 
-2 = n (-0,005) 
n = 2/0,005 = 400 
 
 Ou seja, são necessários 400 períodos de 30 minutos, o que 
corresponde a 200 horas. 
Resposta: D 
 
Fim de aula!!! Nos vemos na aula 08. Abraço, 
Prof. Arthur Lima 
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3. QUESTÕES APRESENTADAS NA AULA 
 
1. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre o valor de X na expressão 
abaixo: 
logX = log 5 + log2 5 + log2 
 
2. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Diga se a função abaixo é uma função 
exponencial: 
f(x) = (-2)x 
 
3. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Calcule f(8) na função abaixo: 
f(x) = 2. Log6(3x/4) 
 
4. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Calcule o valor de y na expressão abaixo 
para x = 3. 
y = 500 ڄ 2x 
 
5. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre o valor de x na função abaixo 
para y = 640. 
y = 10 . 2x 
 
6. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Sendo x a variável e r e NJ duas 
constantes, encontre a relação entre r e NJ�QD�LJXDOGDGH�DEDL[R: 
eNJ[ = (1+r)x 
 
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7. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Sabendo que f(5) = 
1
2
 para a função f(x) 
= logb x, descubra qual a base b do logaritmo dessa função. 
 
8. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Reescreva a função abaixo em função da 
variável y: 
y = 10x+3 - 7 
 
9. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Reescreva a função abaixo em função da 
variável y: 
y = 53x 
 
10. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Encontre a expressão que dá o valor de x 
a partir da igualdade abaixo: 
6 25
2
x
 
 
11. EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO) Calcule f(0) na função abaixo: 
f(x) = 20 + 15log125(x + 5) 
 
12. ENEM ± 2016) Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala 
Richter causou um devastador tsunami no Japão, provocando um alerta 
na usina nuclear de Fukushima. Em 2013, outro terremoto, de magnitude 
7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando 
centenas de mortos e milhares de feridos. A magnitude de um terremoto 
na escala Richter pode ser calculada por 
0
2
log
3
E
M
E
§ · ¨ ¸¨ ¸© ¹
 
Sendo E a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e E0 uma constante 
real positiva. Considere que E1 e E2 representam as energias liberadas nos 
terremotos ocorridos no Japão e na China, respectivamente. 
Disponível em: www.terra.com.br. Acesso em: 15 ago. 2013 (adaptado). 
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Qual a relação entre E1 e E2? 
A) E1 = E2 + 2 
B) E1 = 102 . E2 
C) E1 = 103 . E2 
D) 
9
7
1 2
10E E ˜ 
E) 
1 2
9
7
E E ˜ 
 
Texto para a questão 13 
 A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade 
diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são 
apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das 
Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos 
ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam 
as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas 
com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 
15% da população total nos países desenvolvidos. 
 
 
13. ENEM - 2009) Suponha que o modelo exponencial y = 363e0,03x, em 
que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e 
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assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes 
no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais 
de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse 
modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60 anos 
ou mais estará, em 2030, entre 
A) 490 e 510 milhões. 
B) 550 e 620 milhões. 
C) 780 e 800 milhões. 
D) 810 e 860 milhões. 
E) 870 e 910 milhões. 
 
14. ENEM - 2013) Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior 
acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, 
removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada 
inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material 
radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se 
reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade 
restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada 
pela expressão � � � � · 2,7 ktM t A , onde A é a massa inicial e k é uma 
constante negativa. 
Considere 0,3 como aproximação para log102. Qual o tempo necessário, 
em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 
10% da quantidade inicial? 
A) 27 
B) 36 
C) 50 
D) 54 
E) 100 
 
15. ENEM ± 2015) Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros 
das portas dianteiras foram desenhados de forma que suas bordas 
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superiores fosse representadas pela curva de equação y = log (x), 
conforme a figura. 
 
A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao 
meio a altura h do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo x. 
Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma expressão 
que fornece a altura h do vidro em função da medida n de sua base, em 
metros. 
A expressão algébrica que determina a altura do vidro é 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
 
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16. ENEM - 2011) A Escala e Magnitude de Momento (abreviada como 
MMS e denotada como MW), introduzida em 1979 por ThomasHaks e 
Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude 
dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo 
público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes 
de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala 
Richter, a MMS é uma escala logarítmica. 
MW e M0 se relacionam pela fórmula: 
� �10 02� ±����� � �3WM log M � 
onde M0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos 
registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja 
unidade é o dinaڄcm. O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de 
janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no 
Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude MW = 
7,3. 
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes. 
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 
(adaptado). 
Mostrando que é possível determinar a medida por meio de 
conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M0 do terremoto 
de Kobe (em dinaڄcm)? 
A) 
5,1010� 
B) 
0,7310� 
C) 
12,0010
 
D) 
21,6510 
E) 
27,0010 
 
17. UFRGS ± VESTIBULAR ± 2012) O número log27 está entre: 
a) 0 e 1 
b) 1 e 2 
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c) 2 e 3 
d) 3 e 4 
e) 4 e 5 
 
18. ESPM ± VESTIBULAR ± 2011/1) Sendo log 2 = a e log 3 = b, o 
valor do log9160 é igual a: 
a) 
4
2
a b�
 
 
b) 
4 1
2
a
b
�
 
 
c) 
2 3
2
a b�
 
 
d) 
4 2b
a
�
 
 
e) 
1
3
a
b
�
 
 
19. UFRGS ± VESTIBULAR ± 2015) Atribuindo para log 2 o valor 0,3, 
então o valor de 1000,3 é: 
a) 3 
b) 4 
c) 8 
d) 10 
e) 33 
 
20. FGV-SP ± VESTIBULAR ± 2014/2) Considere a seguinte tabela, 
em que ln(x) representa o logaritmo neperiano de x: 
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x 1 2 3 4 5 
ln(x) 0 0,69 1,10 1,39 1,61 
 
 O valor de x que satisfaz a equação 6x = 10 é aproximadamente 
igual a: 
a) 1,26 
b) 1,28 
c) 1,30 
d) 1,32 
e) 1,34 
 
21. ESPM ± VESTIBULAR ± 2014/1) Se log x + log x2 + log x3+ log x4 
= 20, o valor de x é: 
a) 10 
b) 0,1 
c) 100 
d) 0,01 
e) 1 
 
22. USF ± VESTIBULAR ± 2013/2 - adaptada) A massa de uma 
substância se decompõe exponencialmente segundo a lei m(t) = a.3(-t/2), 
em que a é uma constante, t indica o tempo, em horas, e m(t) indica a 
massa da substância, em gramas, no instante t. Sabe-se que para t = 4 
horas temos m(4) = 729 g. Determine a massa da substância no tempo t 
= 10 horas. 
a) 27 g 
b) 30 g 
c) 33 g 
d) 60 g 
e) 81 g 
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23. UFG ± VESTIBULAR ± 2013/1) Para a segurança da população, o 
lixo radioativo produzido pelo acidente com o césio-137, na cidade de 
Goiânia, foi revestido com paredes de concreto e chumbo. A intensidade 
da radiação I decai exponencialmente quando atravessa essas paredes, 
de acordo com a relação I(x) = I0.e-a.x, onde I0 é a intensidade que incide 
sobre a parede de espessura x e a é o coeficiente de atenuação, conforme 
esboçado no gráfico a seguir: 
 
De acordo com essas informações, o valor do coeficiente de atenuação da 
parede que reveste o lixo é: 
Dados: 
ln e = 1 
ln 2 = 0,69 
ln 3 = 1,10 
ln 10 = 2,30 
a) 0,552 cm-1 
b) 0,825 cm-1 
c) 1,275 cm-1 
d) 1,533 cm-1 
e) 2,707 cm-1 
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Texto para as questões 24 e 25 
Para certo modelo de computadores produzidos por uma empresa, o 
percentual dos processadores que apresentam falhas após T anos de uso 
é dado pela seguinte função: 
P(T) = 100(1 - 2-0,1T) 
 
24) UNICAMP ± VESTIBULAR ± 2011) Em quanto tempo 75% dos 
processadores de um lote desse modelo de computadores terão 
apresentado falhas? 
 
25) UNICAMP ± VESTIBULAR ± 2011) Os novos computadores dessa 
empresa vêm com um processador menos suscetível a falhas. Para o 
modelo mais recente, embora o percentual de processadores que 
apresentam falhas também seja dado por uma função da forma Q(T) = 
100(1 ± 2cT), o percentual de processadores defeituosos após 10 anos de 
uso equivale a 1/4 do valor observado, nesse mesmo período, para o 
modelo antigo (ou seja, o valor obtido empregando-se a função P(T) 
acima). Determine, nesse caso, o valor da constante c. Se necessário, 
utilize log2(7) = 2,81. 
 
26. UCS ± VESTIBULAR ± 2011) Em geral, materiais radioativos se 
desintegram (se transmutam) espontaneamente com o passar do tempo, 
por meio da emissão de radiação. Como a desintegração se dá de forma 
proporcional à massa remanescente do material, o modelo matemático 
para o cálculo da quantidade em função do tempo é um modelo 
exponencial. O tempo necessário para que a quantidade de massa se 
reduza à metade é chamado, nesse caso, de meia-vida do elemento. 
Se considerarmos que a meia-vida do césio-137 é de 30 anos e que 100 
mg desse elemento tenham sido liberados para o meio ambiente, a 
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expressão que permite calcular a quantidade que restará t anos após a 
liberação, é 
ln2
30100
t
e
�u . 
De acordo com essa expressão, usando ln2 = 0,7 e ln5 = 1,61, qual é o 
tempo mínimo, em anos, para que a quantidade liberada para o meio 
ambiente seja reduzida a 5% da quantidade inicial? 
a) 125 
b) 127 
c) 129 
d) 135 
e) 134 
 
27. UCS ± VESTIBULAR ± 2011) Os carros de determinada marca, que 
desvalorizam exponencialmente em função do tempo t, em meses 
decorridos desde a sua aquisição, têm seu valor P estabelecido pela 
equação P=A.Bt, com A e B constantes positivas. Se, na compra, um 
carro dessa marca custou R$ 40 000,00 e, após dois anos, o seu valor 
passou a ser R$ 32 000,00, qual será o seu valor após 4 anos? 
a) R$ 23 500,00 
b) R$ 24 000,00 
c) R$ 24 600,00 
d) R$ 25 600,00 
e) R$ 32 000,00 
 
28. UNEMAT ± VESTIBULAR ± 2009/1) Os biólogos consideram que, 
ao chegar a 100 indivíduos, a extinção da espécie animal é inevitável. A 
população de determinada espécie animal ameaçada de extinção diminui 
segundo a função f(t) = kat, na qual k e a são números reais e f(t) indica 
o número de indivíduos dessa espécie no instante t (em anos). 
Atualmente (instante t = 0) existem 1.500 indivíduos da espécie e 
estima-se que, daqui a 10 anos, haverá 750. 
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Caso nenhuma providência seja tomada, mantido tal decrescimento 
exponencial, daqui a quantos anos será atingido o nível de população que 
os biólogos consideram irreversível para a extinção? 
Para os cálculos utilize, se necessário, alguns dos valores da tabela 
abaixo: 
n 2 3 7 10 
log n 0,30 0,47 0,85 1 
 
a) 25 
b) 40 
c) 30 
d) 15 
e) 39 
 
29. FUVEST ± VESTIBULAR ± 2010) A magnitude de um terremoto na 
escala Richter é proporcional ao logaritmo, na base 10, da energia 
liberada pelo abalo sísmico. Analogamente, o pH de uma solução aquosa 
é dado pelo logaritmo, na base 10, do inverso da concentração de íons 
H+. Considere as seguintes afirmações: 
I. O uso do logaritmo nas escalas mencionadas justifica-se pelas 
variações exponenciais das grandezas envolvidas. 
II. A concentração de íons H+ de uma solução ácida com pH 4 é 10 mil 
vezes maior que a de uma solução alcalina com pH 8. 
III. Um abalo sísmico de magnitude 6 na escala Richter libera duas vezes 
mais energia que outro, de magnitude 3. 
Está correto o que se afirma somente em: 
a) I 
b) II 
c) III 
d) I e II 
e) I e III 
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30. UDESC ± VESTIBULAR ± 2008) Sabendo que log3(7x - 1) = 3 e 
que log2(y
3 + 3) = 7 pode-se afirmar que logy(x
2 + 9) é igual a: 
a) 6 
b) 2 
c) 4 
d) -2 
e) -4 
 
31. ENEM ± 2016) O governo de uma cidade está preocupado com a 
possível epidemia de uma doença infectocontagiosa causada por bactéria. 
Para decidir que medidas tomar, deve calcular a velocidade de reprodução 
da bactéria. Em experiências laboratoriais de uma cultura bacteriana, 
inicialmente com 40 mil unidades, obteve-se a fórmula para a população: 
p(t) = 40 . 23t em que t é o tempo, em hora, e p(t) é a população, em 
milhares de bactérias. Em relação à quantidade inicial de bactérias, após 
20 min, a população será 
A) reduzida a um terço. 
B) reduzida à metade. 
C) reduzida a dois terços. 
D) duplicada. 
E) triplicada. 
 
32. ENEM ± 2016) Admita que um tipo de eucalipto tenha expectativa 
de crescimento exponencial, nos primeiros anos após seu plantio, 
modelado pela função y(t) = at-1, na qual y representa a altura da planta 
em metro, t é considerado em ano, e a é uma constante maior que 1. O 
gráfico representa a função y. 
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Admita ainda que y(0) fornece a altura da muda quando plantada, e 
deseja-se cortar os eucaliptos quando as mudas crescerem 7,5 m após o 
plantio. 
O tempo entre a plantação e o corte, em ano, é igual a 
A) 3. 
B) 4. 
C) 6. 
D) log27. 
E) log215 
 
33. ENEM ± 2016) Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 
3 000 °C e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min. Use 0,477 
como aproximação para log10(3) e 1,041 como aproximação para 
log10(11). 
O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30 °C é mais próximo 
de 
A) 22. 
B) 50. 
C) 100. 
D) 200. 
E) 400. 
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01 20 02 Sim 03 2 04 4000 05 6 06 * 07 25 
08 ** 09 *** 10 **** 11 25 12 C 13 E 14 E 
15 E 16 E 17 C 18 B 19 B 20 B 21 C 
22 A 23 C 24 20 25 -0,019 26 C 27 D 28 E 
29 D 30 B 31 D 32 B 33 D 
 
 
* eNJ ± 1 = r 
** x = log (y + 7) ± 3 
*** x = � �35log y 
**** x = (2 ± log2) / (log2 + log3) 
 
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