Terceira Lista de Exercícios Integrais de linha

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO - UFPE 
Centro Acadêmico do Agreste - CAA 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
Terceira Lista de Exercícios 
 
Integrais de Linha 
 
1. Calcule a integral de linha onde 𝐶 é a curva dada. 
 
a) ∫ 𝑦3𝐶 𝑑𝑠, 𝐶: 𝑥 = 𝑡
3, 𝑦 = 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2. 
b) ∫ 𝑥𝑦4𝑑𝑠, 𝐶 𝐶 é a metade direita do círculo 𝑥
2 + 𝑦2 = 16. 
c) ∫ 𝑥𝑦𝑧2𝐶 𝑑𝑠, 𝐶 é o segmento de reta de (−1, 5, 0) a (1, 6, 4). 
d) ∫ 𝑧𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑧, 𝐶: 𝑥 = 𝑡2 , 𝑦 = 𝑡3 , 𝑧 = 𝑡2 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 1𝐶 
e) ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥, 𝐶𝐶 é o arco da curva 𝑥 = 𝑦
4 de (1, −1) a (1, 1). 
f) ∫ 𝑥√𝑦𝑑𝑥 + 2𝑦√𝑥𝑑𝑦,𝐶 𝐶 consiste na metade superior da circunferência 𝑥
2 + 𝑦2 = 1 de e 
no segmento de reta (1, 0) a (4, 3). 
 
2. Calcule a integral de linha ∫ �⃗� ∙ 𝑑𝑟,𝐶 onde 𝐶 é dada pela função vetorial 𝑟(𝑡). 
 
a) �⃗�(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦𝑖 + 3𝑦2𝑗, 𝑟(𝑡) = 11𝑡4𝑖 + 𝑡3𝑗, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 
b) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦)𝑖 + (𝑦 − 𝑧)𝑗 + 𝑧2�⃗⃗�, 𝑟(𝑡) = 𝑡2𝑖 + 𝑡3𝑗 + 𝑡2�⃗⃗�, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1 
c) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑧𝑖 + 𝑦𝑗 − 𝑥�⃗⃗�, 𝑟(𝑡) = 𝑡𝑖 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡𝑗 + 𝑐𝑜𝑠 𝑡�⃗⃗�, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋. 
 
3. Determine o trabalho realizado pelo campo de força �⃗�(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑖 + 𝑥𝑦𝑗 sobre uma partícula 
que dá uma volta no círculo 𝑥2 + 𝑦2 = 4 no sentido anti-horário. 
 
4. Um arame fino é entortado no formato da semicircunferência 𝑥2 + 𝑦2 = 4, 𝑥 ≥ 0. Se a 
densidade linear for uma constante 𝑘, determine a massa do arame. 
 
5. Suponha que um arame fino com densidade linear 𝜌(𝑥, 𝑦) está sob uma curva plana 𝐶. Seu 
centro de massa está localizado no ponto (�̅�, �̅�), onde 
�̅� =
1
𝑚
∫ 𝑥𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠
𝐶
 �̅� =
1
𝑚
∫ 𝑦𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠
𝐶
. 
Um arame fino tem a forma da parte que está no primeiro quadrante da circunferência com 
centro na origem e raio 𝑎. Se a função densidade for 𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝑘𝑥𝑦, encontre a massa e o centro 
de massa do arame. 
 
6. Se um arame com densidade linear 𝜌(𝑥, 𝑦) está sob uma curva plana 𝐶, seus momentos de 
inércia em relação aos eixos 𝑥 e 𝑦 são definidos por 
𝐼𝑥 = ∫ 𝑦
2𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠
𝐶
 𝐼𝑦 = ∫ 𝑥
2𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠
𝐶
. 
Calcule os momentos de inércia do arame de formato semicircular 𝑥2 + 𝑦2 = 1, 𝑦 ≥ 0, cuja 
densidade linear em qualquer um de seus pontos é proporcional à sua distância da reta 𝑦 = 1. 
 
7. Determine o trabalho realizado pelo campo de força �⃗�(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑖 + (𝑦 + 2)𝑗 sobre um objeto 
que se move sobre um arco da cicloide 𝑟(𝑡) = (𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 𝑡)𝑖 + (1 − cos 𝑡)𝑗, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋. 
 
8. Determine o trabalho realizado pelo campo de força �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦 + 𝑧)𝑖 + (𝑥 + 𝑧)𝑗 + (𝑥 +
𝑦)�⃗⃗� sobre uma partícula que se move ao longo do segmento de reta (1, 0, 0) a (3, 4, 2). 
 
9. A força exercida pela carga elétrica colocada na origem sobre uma partícula carregada em um 
ponto (𝑥, 𝑦, 𝑧) com vetor posição 𝑟 = 〈𝑥, 𝑦, 𝑧〉 é �⃗�(𝑟) =
𝐾�⃗�
‖�⃗�‖3
 , onde 𝐾 é uma constante. 
Determine o trabalho realizado quando a partícula se move sobre o segmento de reta de (2, 0, 0) 
a (2, 1, 5). 
 
 
 
Bons Estudos!