Oitava Lista de Exercícios Integrais de Superfície

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO - UFPE 
Centro Acadêmico do Agreste - CAA 
Cálculo Diferencial e Integral III 
 
Oitava Lista de Exercícios 
 
Integrais de Superfícies 
 
1. Suponha que 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑔(√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2), onde 𝑔 é uma função de uma variável tal que 
𝑔(2) = −5. Calcule ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆,𝑆 onde 𝑆 é a esfera 𝑥
2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4. 
 
2. Calcule a integral de superfície. 
 
a) ∬ 𝑥2𝑦𝑧𝑑𝑆𝑆 , 𝑆 é a parte do plano 𝑧 = 1 + 2𝑥 + 3𝑦 que está acima do retângulo [0, 3] × [0,2]. 
b) ∬ 𝑦𝑧𝑑𝑆𝑆 , 𝑆 é a parte do plano 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 que está no primeiro octante. 
c) ∬ 𝑦𝑑𝑆𝑆 , 𝑆 é a superfície 𝑧 =
2
3
(𝑥
3
2 + 𝑦
3
2) , 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1. 
d) ∬ √1 + 𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑆𝑆 , 𝑆 é o helicoide com equação vetorial 𝑟(𝑢, 𝑣) = 𝑢 cos 𝑣 𝑖 +
𝑢 𝑠𝑒𝑛 𝑣 𝑗 + 𝑣�⃗⃗�, 0 ≤ 𝑢 ≤ 1, 0 ≤ 𝑣 ≤ 𝜋. 
e) ∬ 𝑦𝑑𝑆𝑆 , 𝑆 é a parte do paraboloide 𝑦 = 𝑥
2 + 𝑧2 que está dentro do cilindro 𝑥2 + 𝑧2 = 4. 
f) ∬ 𝑥𝑧𝑑𝑆, 𝑆𝑆 é a fronteira da região delimitada pelo cilindro 𝑦
2 + 𝑧2 = 9 e os planos 𝑥 = 0 e 
𝑥 + 𝑦 = 5. 
g) ∬ (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)𝑑𝑆𝑆 , 𝑆 é a parte do cilindro 𝑥
2 + 𝑦2 = 9 entre os planos 𝑧 = 0 e 𝑧 = 2, 
juntamente com os discos do fundo e do topo. 
 
3. Calcule a integral de superfície ∬ �⃗� ∙ 𝑑𝑆𝑆 para o campo vetorial �⃗� e superfície orientada 𝑆. 
Em outras palavras, determine o fluxo de �⃗� através de 𝑆. Para superfícies fechadas, use a 
orientação positiva. 
 
a) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑖 + 𝑦𝑧𝑗 + 𝑧𝑥�⃗⃗�, 𝑆 é a parte do paraboloide 𝑧 = 4 − 𝑥2 − 𝑦2 que está acima 
do quadrado 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1, com orientação para cima. 
b) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧4 �⃗⃗�, 𝑆 é a parte do cone 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 abaixo do plano 𝑧 = 1, com 
orientação para baixo. 
c) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧�⃗⃗�, 𝑆 é a esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 9. 
d) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑖 − 𝑧�⃗⃗�, 𝑆 é formada pelo paraboloide 𝑦 = 𝑥2 + 𝑧2 , 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 e pelo círculo 
𝑥2 + 𝑧2 ≤ 1 , 𝑦 = 1. 
e) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑖 + 4𝑥2𝑗 + 𝑦𝑧�⃗⃗�, 𝑆 é a superfície 𝑧 = 𝑥𝑒𝑦 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1, com 
orientação para cima. 
f) �⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑖 + (𝑧 − 𝑦)𝑗 + 𝑥�⃗⃗�, 𝑆 é a superfície do tetraedro com vértices 
(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). 
 
4. Considere que uma folha fina tem a forma de uma superfície 𝑆 e que a densidade em um 
ponto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) é dada por 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧). A massa total da folha é 
𝑚 = ∬ 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆
𝑆
 
e o centro de massa é (�̅�, �̅�, 𝑧̅), onde 
�̅� =
1
𝑚
∬ 𝑥𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆
𝑆
 �̅� =
1
𝑚
∬ 𝑥𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆
𝑆
 𝑧̅ =
1
𝑚
∬ 𝑧𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑆
𝑆
. 
Determine o centro de massa do hemisfério 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑎2, 𝑧 ≥ 0, se ele tiver densidade 
constante. 
 
5. A água do mar tem densidade 1025𝑘𝑔/𝑚3 e escoa em um campo de velocidade �⃗� = 𝑦𝑖 + 𝑥𝑗, 
onde 𝑥, 𝑦 e 𝑧 são medidos em metros e as componentes de �⃗� em metros por segundo. Encontre a 
vazão para fora do hemisfério 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 9, 𝑧 ≥ 0. 
 
6. Uma importante lei da eletrodinâmica conhecida como Lei de Gauss afirma que a carga total 
englobada por uma superfície 𝑆 é 
𝑄 = 𝜀0 ∬ �⃗⃗� ∙ 𝑑𝑆
𝑆
, 
onde �⃗⃗� é um campo elétrico e 𝜀0 é uma constante (permissividade no vácuo). Use a lei de Gauss 
para achar a carga contida no hemisfério sólido 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 𝑎2, 𝑧 ≥ 0, se o campo elétrico 
for �⃗⃗�(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 2𝑧�⃗⃗�. 
 
7. A temperatura em um ponto (𝑥, 𝑦, 𝑧) em uma substância com condutividade 𝐾 = 6,5 é 
𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑦2 + 2𝑧2. Determine a taxa de transmissão de calor nessa substância para dentro 
da superfície cilíndrica 𝑦2 + 𝑧2 = 6, 0 ≤ 𝑥 ≤ 4. 
 
Bons Estudos!