ACE 06 01 FTE Fundamentos da Teoria das Estruturas

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Teoria das Estruturas de Comportamento Linear
Fundamentos
Prof. Henrique Mariano C. Amaral
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
O objeto da Teoria das Estruturas é a análise estrutural, isto é, a determinação dos estados de tensão e deformação que se instalam numa estrutura como resposta a uma dada solicitação.
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
A linearidade do comportamento mecânico é uma hipótese perfeitamente válida para a maioria das estruturas em funcionamento normal.
Dessa forma a Teoria da Elasticidade Linear constitui o instrumento mais importante da análise estrutural
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
A Teoria da Elasticidade Linear é pois, de toda a Mecânica dos Sólidos Deformáveis, o ponto de partida conveniente e o conjunto de sólidos conceitos cuja aplicação à análise estrutural se dá pela discretização do problema contínuo, mediante a utilização do conceito lagrangiano de variável generalizada.
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
As duas contribuições mais relevantes à Teoria das Estruturas nos últimos anos, foram:
Teoremas Variacionais da Teoria da Elasticidade, que se considera a base para se introduzir as teoria mais modernas de aproximações, base para a resolução de problemas através de computadores.
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
Fundamentos da Teoria das Estruturas
Desenvolvimento do Método dos Elementos Finitos, cuja importância é fundamental e imprescindível para o estudo dos comportamento das estruturas lineares e não-lineares; isso foi possível com o desenvolvimento da matemática computacional, ponto que permite processos de discretização robustos e representação gráficas dinâmicas dos campos de esforços e solicitações.
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Henrique Mariano Costa do Amaral
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Teoria da Elasticidade
Fundamentos da Teoria das Estruturas
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
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As incógnitas fundamentais na teoria da elasticidade são representadas por:
O vetor campo de deslocamento:
O tensor campo de deformações:
O tensor campo de tensões:
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
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As 15 incógnitas anteriores, definidas em um domínio  com contorno , podem ser resolvidas pelas 15 equações básicas:
3 equações de equilíbrio (Eq. de Cauchy):
6 equações deformação-deslocamento:
6 equações constitutivas:
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
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onde:
W e W* são potenciais acoplados pelo que se chama de transformada de Legendre:
O vetor B é o vetor das forças de corpo:
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
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Nas equações constitutivas e de deformação-deslocamento, aparece um operador matricial  definido por:
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
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Como parte fundamental da formulação baseada sobre equações diferenciais, são as condições de contorno prescritas sobre o contorno  = u  p; onde
u denota o contorno onde deslocamentos são prescritos e 
p denota o contorno onde trações são prescritas;
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
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Assim, se tem as seguintes condições de contorno:
3 condições de contorno estáticas sobre p :
3 condições de contorno cinemáticas sobre u :
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Nas equações de contorno aparece uma matriz denotada por n que é a matriz dos co-senos diretores, que tem estrutura similar a matriz :
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O campo de tensão  e o campo de deslocamentos u são acoplados por uma relação integral chamada de teorema da divergência ou teorema da Clapeyron:
Que pode ser interpretado como uma igualdade entre o trabalho interno (lado esquerdo) e o externo realizado por forças de superfície e de corpo.
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Teoria da Elasticidade
Equações Constitutivas para Materiais Anisotrópicos
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Um material linear elástico é caracterizado pela densidade de energia de deformação:
onde D é uma matriz simétrica de ordem 6, representando a matriz de rigidez do material.
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
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Para materiais anisotrópicos, a matriz D tem 21 elementos independentes ou constantes elásticas.
O vetor de deformação inicial 0 
representa os efeitos devido a mudanças de temperaturas, contrações, etc.
Por exemplo, para dilatação devido a temperatura se tem:
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Onde T é a variação de temperatura em Kelvin e x, y, z são os coeficientes de expansão térmica em [K-1];
Para materiais construtivos comuns (aço, concreto) pode-se fazer:
 x = y = z = 0,000012=12x10-6
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
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Combinando a função densidade de energia de deformação
com as equações constitutivas , obtém-se
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Usando a densidade de energia complementar de uma material elástico linear, se tem:
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
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Anisotropia total ocorre apenas para materiais especiais arranjados em um sistema triclínico.
Um caso menos geral porém muito importante para a engenharia é a anisotropia rômbica com três planos ortogonais de simetria elástica, referenciado como ortotropia.
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Usando as constantes técnicas E (modulo de elasticidade),  (coeficiente de Poisson) e G (modulo de elastici-dade transversal), a matriz de confor-midade do material, C, é expressa por:
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Devido a simetria, a matriz C contém apenas 9 constantes independentes, pois o bloco superior esquerdo de elementos apresentam a seguinte condição:
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Por inversão da matriz de compatibilidade C, se acha a matriz de rigidez do material D:
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Denotando
Se pode escrever
o seguinte:
Os demais elementos podem ser obtidos por uma permutação cíclica dos índices.
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Duas formulações especiais podem ser feitas para problemas bidimensionais:
Estado plano de deformação, onde
Estado plano de tensão, onde
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A descrição de estado plano de deformação é baseado na redução da matriz D, após o que as equações constitutivas ficam:
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As relações inversas têm a seguinte forma:
onde 
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A descrição do estado plano de tensões é baseado na redução da matriz C, após o que as equações constitutivas são:
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Suas relações inversa têm a seguinte forma:
onde
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Introduzindo o conceito de coeficiente de Poisson equivalente, dado por
As últimas relações constitutivas passam a ter a forma:
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Em um meio isotrópico, todas as constantes do material são independentes da orientação dos eixos coordenados; dessa forma se pode suprimir os índices x e y, e as matrizes C e D nos estados planos de tensão e deformação são dadas a seguir. Observamos que:
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Materiais Elásticos Lineares
Transformação de Equações Constitutivas para Materiais Ortotrópicos
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Em geral, os planos de simetria elástica não coincidem com os planos coordenados globais, os quais servem como referencia para uma estrutura por inteira. 
Assim, é necessário transformar a matriz de rigidez do material D (ou a matriz de compatibilidade C) do sistema de coordenadas local, no qual as constantes elásticas foram determinadas, no sistema de coordenadas global.
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Essa transformação é baseada na expressão da densidade de energia de deformação W (ou na densidade de energia complementar W*), a qual, sendo um escalar, independe do sistema de coordenadas:
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Supondo conhecida a matriz definida com relação ao sistema de coordenadas local, se quer achar a matriz relacionada ao sistema de coordenadas global.
Restringindo o foco à descrição planar de um material ortotrópico se tem que o tensor deformação é transformado de acordo com a conhecida fórmula:
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Onde s = sen  e c = cos 
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De forma compacta se tem:
Ou ainda
Realizando as multiplicações matriciais vê-se que:
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Ou ainda
onde 
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Como mostrado na figura abaixo, se tem d11 = d12 = 0, logo os elementos de D2 se anulam e, assim, D1 corresponde a rigidez do material danificado por fendas na direção 2 (d22≠0) devido ao cisalhamento.
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Materiais Elásticos Lineares
Forma Tensorial das Equações da Elasticidade
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A notação tensorial é preferível nos problemas em que a notação matricial se torna complicada.
A notação tensorial, é particularmente útil no método dos elementos finitos onde produz expressões simples para as matrizes de rigidez de certos elementos importantes. 
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Para o estado geral de tensões, a equação tensorial é:
onde Dijkl é o tensor de rigidez do material, que para o caso de materiais isotrópicos é dado por: 
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Onde ij é um tensor chamado tensor isotrópico (que também chamado de delta de Kronecker) assume valores 1 (para i=j) e 0 (para j ≠ i). 
Similarmente, o tensor de compatibilidade de um material isotrópico é dado por
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Agora se pode escrever a relação inversa da equação de estado geral de tensão:
da seguinte maneira
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Essas duas equações podem ser escritas omitindo o símbolo de somatória, assumindo a regra de somação sobre os subscritos repetidos, da seguinte forma
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A partir dessas equações a relação de deformação-deslocamento, , na notação tensorial, é dada por:
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É sempre útil combinar as equações constitutivas com a equação deformação-deslocamento. Fazendo 0kl = 0, se tem:
Esta equação é válida para o estado plano de deformação, com os índices de somação variando de 1 até 2.
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A equação tensorial para o estado plano de tensão é obtida da relação anterior trocando  por . A simples manipulação, leva a:
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Para retornar da equação do estado plano de tensão para a equação do estado plano de deformação, deve-se trocar  por 
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Para completar a formulação, precisa-se das equações de Cauchy:
na forma tensorial 
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Com suas respectivas condições de contorno:
onde os co-senos diretores nj são as componentes do versor normal ao contorno.
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Princípios Variacionais
Princípio do Trabalho Virtual
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O Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) e os princípios variacionais
da mecânica, provêem a base de muitos dos métodos de aproximação usados na mecânica, como o Método dos Elementos Finitos (MEF), o Método dos Elementos de Contorno (MEC), etc.
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O Princípio do Trabalho Virtual – PTV tem duas versões básicas:
O Princípio dos Deslocamentos Virtuais – PDV; e
O Princípio das Forças Virtuais – PFV
A palavra virtual aqui significa hipotético, que poderia ocorrer, embora, de fato, não ocorra. É um deslocamento infinitesimal que se impõe a um ponto ou a um sistema rígido de modo a não alterar a configuração estática ou geométrica do corpo e das forças que nele atuam, preservando as condições de equilíbrio a que essas forças estão sujeitas.
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Pode-se dizer que o trabalho virtual realizado pelas forças externas, quando se dá a uma estrutura deformável em equilíbrio um deslocamento virtual, é igual ao trabalho realizado pelas forças internas.
Um deslocamento virtual consiste em uma translação em qualquer direção, uma rotação em torno de qualquer eixo ou ambas
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Princípios Variacionais
Princípio dos Deslocamentos Virtuais – PDV
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Seja um corpo sólido solicitado por forças de superfície e de volume, as quais induzem um estado de tensões  em equilíbrio com as mesmas.
Em correspondência a este estado de tensões existirá um estado de deformações  e um campo de deslocamentos u, que definem a configuração deformada do sólido.
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Se si agrega à configuração deformada de equilíbrio um estado de deslocamentos virtuais u, fictícios, com a única limitação de que o campo de deslocamentos finais, u+ u continue satisfazendo as condições de contorno, então, sobre a superfície u se deve ter:
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Como já dito, para se manter o equilíbrio, o trabalho virtual realizado pelas forças externas, quando se dá a uma estrutura deformável em equilíbrio um deslocamento virtual u, é igual ao trabalho realizado pelas forças internas.
Assim, o PDV é uma exigência de equilíbrio, podendo ser aplicado tanto a problemas lineares como não lineares.
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O princípio dos deslocamentos virtuais – PDV é usualmente escrito como:
O lado esquerdo representa o trabalho virtual das forças internas (tensões x deformações) enquanto o lado direito corresponde ao trabalho virtual das forças externas (forças x deslocamen-tos).
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Os deslocamentos virtuais  e u precisam ser cinematicamente admissíveis. Isto significa o seguinte:
O deslocamento virtual u precisa satisfazer as condições de contorno cinemáticas:
As deformações virtuais  precisam ser ligadas aos deslocamentos virtuais pela relação:
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Trocando u por u na equação de Clapeyron (teorema da divergência): 
pode-se transformar a equação do PDV em:
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A equação anterior é satisfeita para deslocamentos virtuais arbitrários u apenas se as condições de equilíbrio também forem satisfeitas, isto é:
as equações de Cauchy são satisfeitas sobre ;
as condições de contorno são satisfeitas sobre .
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Assim, as equações
representam o Princípio Geral de Equilíbrio.
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O PDV pode ser facilmente estendido para problemas dinâmicos. De acordo com o Princípio de D’Alembert, pode-se tratar as forças de inércia, , como forças de corpo aplicadas externamente ( denota a segunda derivada parcial com relação ao tempo;  é a massa específica).
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Se esse procedimento for realizado, a equação:
se transforma em:
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Princípios Variacionais
Princípio das Forças Virtuais – PFV
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Seja agora um campo de deslocamen-tos u e um estado de deformações compatíveis no qual se introduz uma variação  do estado de tensões. Esta variação  será arbitrária deven-do o estado de tensões total + satisfazer as condições de equilíbrio e as condições de contorno sobre a superfície u.
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O Princípio das Forças Virtuais – PFV é usualmente escrito como:
O lado esquerdo da expressão acima representa o trabalho virtual complementar das forças internas, enquanto o lado direito representa o trabalho virtual complementar das forças externas.
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Os campos virtuais , B e p precisam ser estaticamente admissíveis, isto é, para B = 0 em  e para p = 0 em p, as condições de equilíbrio incluem:
As equações homogêneas de Cauchy
Condições de contorno estáticas homogêneas:
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Usando a equação de Clapeyron ou teorema da divergência 
pode-se transformar a equação do PFV em:
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Esta equação é satisfeita tensões arbitrárias virtuais  (p = n. ≠ 0 sobre u) apenas se as equações cinemáticas também forem satisfeitas, isto é,
Relação cinemática -Tu=0 em ;
Condições cinemáticas u-ū = 0 em u.
Dessa forma, vê-se que PFV é um princípio da continuidade.
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Princípios Variacionais
Princípios Variacionais
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Os princípios variacionais se seguem diretamente do Princípio do Trabalho Virtual - PTV:
O Princípio dos Deslocamentos Virtuais – PDV – leva ao Princípio Variacional de Lagrange ou Princípio de Energia Potencial Mínima;
O Princípio das Forças Virtuais – PFV – leva ao Princípio Variacional de Castigliano ou Princípio da Energia Complementar Mínima.
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Princípios Variacionais
Princípio da Lagrange
Princípio da Energia Potencial Mínima
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Em um sólido elástico
o trabalho desenvolvido em correspondência com o processo de deformação, quando esse processo é adiabático, resulta igual à mudança produzida na energia interna de deformação, que é, por definição
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A variação dessa energia de deformação é:
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Por outro lado, quando as forças de corpo B e de superfície p são independentes dos deslocamentos, pode-se definir o potencial das forças externas como:
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Similarmente, sua variação é:
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O princípio de Lagrange nos afirma:
“Dentre todos os estados cinematicamente admissíveis de um corpo elástico, o estado real é aquele que minimiza a energia potencial total que é igual a soma da energia interna de deformação mais a energia potencial das cargas externas.”
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Os estados cinematicamente admissíveis são especificados por:
Deslocamentos que são contínuos e têm derivadas contínuas por partes no domínio de solução e satisfazem as condições de contorno cinemáticas sobre u, e
Deformações que são derivadas dos deslocamentos usando as equações cinemáticas de deformação-deslocamento.
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Como a energia potencial deve ser mínima, então sua variação deve ser nula, logo
ou
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Nota-se que a energia potencial p depende somente dos deslocamentos u. Assim a expressão de p implica uma condição a ser aplicada sobre os deslocamentos.
Por outro lado esse princípio foi deduzido a partir do PDV- princípio dos deslocamentos virtuais, que representa um requerimento de equilíbrio
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Disso se conclui o princípio de Lagrange.
Para se certificar da natureza do ponto estacionário é necessário estudar o sinal da segunda variação da energia potencial:
que é a expressão que define uma forma quádrica.
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Na expressão da forma quádrica
A matriz D é positiva definida para materiais estáveis, logo 2p será sempre positiva; portanto o princípio da energia potencia mínima indica que o campo de deslocamentos produzidos por tensões em equilíbrio corresponde a um mínimo da energia potencial.
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E X E M P L O
Exemplo
Considere o caso de uma viga prismática como a indicada abaixo:
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E X E M P L O
Exemplo
Desprezando as deformações por efeito de corte, se tem:
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E X E M P L O
Exemplo
onde  é a inclinação da linha neutra deformada, e
e mais, como:
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E X E M P L O
Exemplo
Por outro lado se tem:
Com o que a energia de deformação da viga resulta ser:
Donde, o momento de inércia da seção transversal da viga é:
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E X E M P L O
Exemplo
Dessa forma, se tem:
Assim, a energia potencial da viga prismática será:
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E X E M P L O
Exemplo
A primeira variação p resulta:
A segunda variação 2p resulta:
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Princípios Variacionais
Princípio de Castigliano
Princípio da Energia Complementar Mínima
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Fundamentos da Teoria das Estruturas
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O Princípio de Castigliano pode ser formulado como o princípio da energia complementar mínima:
“Dentre todos os estados estaticamente admissíveis, o estado real é aquele que minimiza a energia complementar:
Onde *i por definição é a variação da energia complementar de tensões *e é igual ao incremento do potencial complementar das forças externas”
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Isto é:
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Se as condições de contorno cinemáticas prescritas sobre u forem homogêneas, isto é, ū = 0, então a energia potencial complementar das forças externas (trabalho complementar) é nulo e então:
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Os estados estaticamente admissíveis precisam satisfazer 
as condições de equilíbrio internas ao corpo (equações não homogêneas de Cauchy) e sobre parte de seu contorno (condições de contorno estáticas sobre p). 
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Então para que o funcional * seja mínimo é necessário que sua primeira variação seja nula, isto é:
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Substituindo a derivada parcial do potencial complementar pela equação constitutiva correspondente, se tem:
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Assim, tanto o PFV quanto o principio da energia complementar mínima levam às mesmas equações:
Equações deformação-deslocamento (ou após a eliminação dos deslocamentos, às equações de compatibilidade), e
Condições de contorno cinemáticas.
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Assim
O PDV e o princípio variacional de Lagrange estabelecem a base para o método dos deslocamentos na analise estrutural, pois o principio da energia potencial mínima que o envolve é um requisito de equilíbrio;
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Similarmente, o PFV e o principio variacional de Castigliano estabelece a base do método das forças na analise estrutural, pois o principio da energia complementar mínima é uma exigência de compatibilidade do estado de deformações.
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Princípios Variacionais
Princípio de 
Hellinger-Reissner
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O funcional correspondente ao princípio variacional de Hellinger-Reissner, ou princípio geral, envolve tanto equilíbrio como compatibilidade, e nele se pode variar tanto as tensões e forças como os deslocamentos.
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A expressão matemática do princípio variacional de Hellinger-Reissner é:
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No princípio variacional de Hellinger-Reissner os campos u e  são independentes e requer
que as equações constitutivas sejam satisfeitas a priori e levam às seguintes condições de estacionariedade:
Equações de Cauchy;
Relações tensão-deslocamento;
Condições de contorno estáticas sobre p;
Condições de contorno cinemáticas sobre u.
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E X E M P L O
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Exemplo
Seja a viga prismática abaixo com inércia constante::
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E X E M P L O
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A energia potencial, neste caso é
Para aplicar o método de Rayleigh-Ritz escolhe-se como primeira aproximação a família de funções
Que cumpre as condições de contorno essenciais do problema.
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E X E M P L O
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O funcional aproximado será, então
Aplicando a condição de ponto estacionário se tem:
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E X E M P L O
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Levando esse resultado à função de aproximação, se tem:
Essa solução aproximada não é muito boa, pois produz um momento fletor constante. Assim é necessário uma aproximação com um número maior de termos.
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E X E M P L O
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Seja agora a aproximação:
que substituindo em fica:
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E X E M P L O
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Aplicando a condição de estacionariedade, se tem
Que equivale a zerar cada parcela do funcional p:
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E X E M P L O
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Resolvendo as duas equações lineares, se obtém:
Que produz no ponto x = L o valor exato do deslocamento, mas não o valor do momento:
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E X E M P L O
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Seja agora uma terceira aproximação:
Fazendo os mesmos procedimentos realizados anteriormente, se encontra:
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E X E M P L O
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Esta solução
Corresponde à uma solução exata (dentro de um intervalo de erro admissível) para o problema dado.
Usando o MathCad mostra-se a seguir uma tabela comparativa dos valores do deslocamento e momento, para as tres aproximações consideradas.
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E X E M P L O
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E X E M P L O
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E X E M P L O
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E X E M P L O
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E X E M P L O
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Seja agora a viga prismática indicada abaixo (L=10 e p=10):
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E X E M P L O
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Neste exemplo, se sabe que o valor exato da fecha no ponto onde se aplica a carga concentrada é 1875.
Para essa viga a expressão da energia potencial é:
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E X E M P L O
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Se vê na expressão da energia potencial que a integral que define o potencial das forças externas se transformou em um termo simples, uma vez que a carga é concentrada e não distribuída.
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E X E M P L O
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Como a viga tem dois trechos com inércia diferente, o potencial anterior pode ser reescrito como:
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E X E M P L O
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Pelo fato da existência de uma descontinuidade em L/2 é necessário que a derivada segunda de v também a represente; 
Logo é necessário que se trabalhe com duas funções de aproximação, uma no intervalo de 0 a L/2 e outra no intervalo L/2 a L, ambas porem satisfazendo as condições de continuidade em x=L/2.
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E X E M P L O
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Assim, seja as seguintes funções de aproximação:
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E X E M P L O
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Essas funções precisam cumprir, como citado, as seguintes condições de continuidade:
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E X E M P L O
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Assim, eliminando 3 e 4, se obtém as seguintes expressões para v1 e v2 respectivamente:
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E X E M P L O
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Fazendo todo o procedimento:
Substitui no funcional ;
Acha a condição de estacionariedade: ;
Acha os valores dos coeficientes i;
Substitui i nas equações das funções de aproximação
Se obtém a seguinte solução:
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E X E M P L O
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Se adotarmos polinômios de terceiro grau, e procedendo de forma similar, se obtém a seguinte solução:
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Resumo do Processo
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Pelo que foi visto até aqui pode-se afirmar que o processo de solução é o seguinte:
1 – Determina-se o princípio variacional que rege o problema, através de um funcional ;
2 – Desenvolve-se a função básica u em série aproximando-a por 
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3 – Substitui a função u e suas derivadas no funcional pela função aproximada, a qual deve satisfazer as condições de admissibilidade e de contorno;
4 – Acha-se a condição de estacionariedade do funcional :
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5 – Daí se obtém um sistema de equações algébricas, das quais se pode determinar os parâmetros i.
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6 – Se o funcional  é de segunda grau, isto é, as funções u e suas derivadas aparecem com expoentes menores ou iguais a dois, se diz que o funcional  é linear, e pode-se reescrever sua variação da seguinte forma:
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Vale observar, antes de concluir esta aula, que as equações que se obtém por meios variacionais são simétricas mas também têm outras vantagens, como a de se poder escrever o funcional  de forma aproximada, da seguinte forma:
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ATÉ A PRÓXIMA AULA
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