Aula 01

Prévia do material em texto

Prof. Esp. Eduardo Gullo
eduardo.gullo@estacio.br
AULA 01
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA
ENGENHARIA CIVIL
Objetivos Gerais:
Fundamentos do método dos elementos finitos; Formulação; 
Aplicações em estruturas. 
Objetivos Específicos:
1 - Apresentar o método dos elementos finitos;
2 - Propiciar a compreensão dos conceitos e recursos do método;
3 - Apresentar os diversos tipos de elementos finitos e suas 
aplicações;
4 - Apresentar o método como ferramenta para resolução de 
problemas estruturais;
Prof. Esp. Eduardo Gullo
Ementa:
Unidade 1: Introdução ao método dos elementos finitos; 
1.1 Definições básicas
1.2 Histórico
1.3 Aplicações na engenharia
Unidade 2: Fundamentos do método dos elementos finitos
2.1 O conceito de um elemento
2.2 Tipos de elementos
2.3 Modelagem – Discretização do meio
Unidade 3: Formulação do método dos elementos finitos através 
do elemento de treliça
3.1 Matriz de Rigidez de um elemento 
3.2 Matriz de rigidez global 
3.3 Condições de contorno
3.4 Solução de sistemas de equações 
3.5 Análise dos resultados Prof. Esp. Eduardo Gullo
Ementa:
Unidade 4: Aplicações em estruturas
4.1 Treliças planas
4.2 Vigas e Vigas-Parede (Estado plano de tensão)
4.3 Lajes
Prof. Esp. Eduardo Gullo
Procedimento de Avaliação:
O processo de avaliação será composto por Nota final única 
baseada em duas etapas:
1 - Teórica: prova ou trabalho com desenvolvimento manual do 
processo computacional (construção e resolução de um sistema de 
uma pequena estrutura,
por exemplo);
2 - Prática de modelagem por elementos finitos: aplicações para lajes 
e/ou estado plano de tensões com estudo de convergência e 
validação do modelo.
A nota final deverá ser calculada pelo docente pela média 
das duas avaliações. Para aprovação o aluno deverá obter Nota Final 
superior ou igual a 6,0 (seis) e frequentar, no mínimo, 75% das aulas 
ministradas. Prof. Esp. Eduardo Gullo
Bibliografia Básica:
CHANDRUPATLA, Tirupathi R. ; BELEGUNDU, Ashok D. Elementos 
finitos. São Paulo: Pearson, 2014.
KIM, Nam-Ho ; SANKAR, Bhavani V. Introdução a Análise e ao 
projeto em elementos finitos. 1ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
Prof. Esp. Eduardo Gullo
Bibliografia Complementar:
MELCONIAM, Marcos Vinícius. Modelagem Numérica e 
Computacional com similitude e Elementos Finitos. São Paulo: 
Blucher, 2014.
Introdução
Prof. Esp. Eduardo Gullo
No dia a dia das atividades de engenharia, os engenheiros e 
os projetistas são colocados diante de problemas técnicos, alguns 
mais simples e outros mais complexos, tendo de resolvê-los de 
forma satisfatória. Para isso utilizam um verdadeiro arsenal de 
fórmulas, tabelas, que aprenderam nos cursos de engenharia.
Em particular, na área de cálculo estrutural, o engenheiro 
deve garantir que a estrutura objeto de análise não estará sujeita a 
falhas sob as diversas condições de operação. Os subsídios para 
essa missão são normalmente obtidos a partir da resistência dos 
materiais, que trata da resistência e da rigidez dos elementos das 
estruturas, apoiando-se nos Teoremas da Mecânica Geral e em 
particular no estudo da estática.
Introdução
Prof. Esp. Eduardo Gullo
No desenvolvimento dos cálculos de uma estrutura, o sucesso 
dessa tarefa não está apenas condicionado ao conhecimento de um 
aparato matemático muitas vezes complicado, mas à capacidade que o 
engenheiro apresenta de entender a natureza física do fenômeno que 
se propõe a resolver. A identificação dos pontos relevantes do problema 
em estudo permite tecer hipóteses sobre o comportamento do sistema 
estrutural a ser analisado, que constituirão a base para um bom 
desenvolvimento do projeto em curso.
Ao iniciar um processo de cálculo da estrutura objeto de analise, 
o engenheiro deve formular um Esquema de Cálculo para essa estrutura 
ou, em outras palavras, um Modelo de Cálculo, em que a estrutura é
idealizada de sorte que se possa analisá-la.
A seguir, um exemplo bastante simples de flexão de vigas:
Introdução
Prof. Esp. Eduardo Gullo
Problema Real
Estrutura a ser analisada
Modelo para Análise
Representação da estrutura
Equações de equilíbrio 
aplicáveis ao modelo
Relações matemáticas 
conhecidas do estudo de 
mecânica que traduzem um 
dado comportamento físico
Interpretação dos 
resultados
Análise dos resultados em 
função das expectativas no 
modelo proposto e verificação 
da coerência do modelo com 
o problema real
Flexão de vigas:
Introdução
Prof. Esp. Eduardo Gullo
A “solução pronta” do problema de flexão de vigas, que os 
engenheiros utilizam a partir das tabelas e soluções analíticas 
encontradas nos livros de resistência dos materiais, como ilustrado 
no Slide anterior, é o produto do tratamento matemático clássico 
baseado no estudo das Equações Diferenciais, que descrevem o 
equilíbrio da estrutura. Embora a utilização dessas expressões 
finais seja até certo ponto “cômoda” no dia a dia dos trabalhos de 
engenharia, o desenvolvimento dessas soluções é bastante 
trabalhoso e necessita de um conhecimento matemático 
aprofundado não muito agradável à maioria dos engenheiros.
Assim como o exemplo ora citado acima, já constituímos de 
diversos outros, também com soluções de Métodos analíticos 
prontos.
Introdução
Prof. Esp. Eduardo Gullo
Assim como o exemplo ora citado nos slides anteriores 
(slides 1.9 e 1.10), já possuímos diversos outros, também com 
soluções de Métodos analíticos prontos.
Porém:
E quando a estrutura não for “usual e/ou complexa”?
Fora dos “padrões”?
Introdução
Prof. Esp. Eduardo Gullo
Estamos então diante da questão central que motiva o 
estudo desta disciplina:
 Os Métodos Analíticos Clássicos permitem o calculo da resposta 
exata dos deslocamentos, deformações e tensões na estrutura em 
todos os seus pontos, isto é, nos seus infinitos pontos, porém essas 
soluções são somente conhecidas para alguns casos, que fogem da 
maioria das aplicações praticas que encontramos no dia a dia.
 Seria interessante desenvolver procedimentos aproximados, que 
pudessem ser aplicados em caráter geral, independente da forma da 
estrutura e da condição de carregamento, dentro da precisão 
aceitável do problema de engenharia. Esse caminho alternativo aos 
procedimentos analíticos clássicos constitui o foco central do estudo 
a partir de agora, e que dará́ origem ao Método dos Elementos 
Finitos.
Introdução
Prof. Esp. Eduardo Gullo
Estruturas com geometria, 
carregamento e condição 
de apoio simples
Solução exata
Estruturas complexas
Solução 
aproximada
Método dos 
elementos 
finitos
Introdução
Prof. Esp. Eduardo Gullo
 Geometria regular;
 Carregamento regular;
 Apoios uniforme;
Solução fechada!
Introdução
Prof. Esp. Eduardo Gullo
 Geometria irregular;
 Carregamento irregular;
 Apoio não uniforme;
Solução???
Método 
numérico
MEF
Introdução
Prof. Esp. Eduardo Gullo
Prof. Esp. Eduardo Gullo
MEF - Método dos Elementos Finitos
O método dos elementos finitos (MEF) é uma análise numérica 
que busca a discretização de um meio contínuo em elementos menores.
Esses elementos são descritos por equações diferenciais e resolvidos 
por modelos matemáticos, para se obter os resultados.
Introdução
Histórico
Prof. Esp. Eduardo Gullo
Desde a Grécia antiga, já se tinha o pensamento que todas 
as coisas eram formadas por inúmeras partículas e, assim, Leucipo 
e Demócrito estabeleceram a ideia do átomo. Na mesma época, 
Eudóxio criou o método da exaustão, que consiste em inscrever e 
circunscrever figuras retilíneas em figuras curvilíneas.
Histórico
Prof. Esp. Eduardo Gullo
Durante o século XX, vários pesquisadores contribuíram 
para o desenvolvimento do método, mas sua formulação foi 
estabelecida como é hoje em 1956, com o trabalho de Turner, 
Clough, Martin e Topp, que trabalhavam projetos estruturais de 
aeronaves.
Com a evolução dos computadores, o método dos 
elementos finitos passou a ser utilizado em diversos campos da 
engenharia, sendo hoje uma ferramenta fundamental para a 
solução de diversos problemasFormulação básica
Prof. Esp. Eduardo Gullo
. u = F