Cálculo 2 - Prof. José Jozelmo - Prova 1 resolvida

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Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais - CEFET MG
Departamento de Matemática - DM
Disciplina: Cálculo 2
Prof.: José Jozelmo G. Vieira
Primeira Prova - 25 pontos - 05/09/2018
Observações:
• Respostas sem justificativas não serão consideradas;
• Não é permitido a comunicação entre os alunos durante a prova;
• Não é permitido o uso de quaisquer aparelhos eletrônicos durante a prova, inclusive calculadora;
• A interpretação das questões faz parte da avaliação.
Aluno:
Questão 1. (4 pontos) Defina f (0; 0) de modo que f (x; y) =
x2y
x2 + y 2
se estenda a uma função
contínua na origem.
Questão 2. (5 pontos) Determine e esboce o domínio da função
f (x; y) =
q
(x2 − 4)(y 2 − 9) :
Questão 3. (5 pontos) Uma plataforma representada no plano xy ocupa a região retangular do
plano em que x e y estão limitados por: 0 ≤ x ≤ 5 e 0 ≤ y ≤ 10. A temperatura em cada ponto
(x; y) da plataforma é dada por T (x; y) = x + 3y . Suponha que duas partículas P1 e P2 estejam
localizadas nos pontos (1; 1) e (3; 7), respectivamente.
(a) Se a partícula P1 se deslocar na direção em que se esquentará mais rapidamente e a partícula
P2 se deslocar na direção em que se resfriará mais rapidamente, elas se encontrarão? Justifique
a sua resposta.
(b) Responda à mesma pergunta do item (a) supondo que a partícula P2 esteja no ponto (4; 2).
(c) Encontre uma equação para a trajetória da partícula P1 e represente-a sobre a plataforma
indicando as partículas P1 e P2.
Questão 4. (5 pontos) A temperatura em um ponto (x; y) de uma placa de metal é T (x; y) =
4x2− 4xy + y 2. Uma formiga sobre a placa anda ao redor de uma circunferência de raio 5 e centro
na origem. Quais são as temperaturas mais alta e mais baixa encontradas pela formiga?
Questão 5. (6 pontos) Considere a função f (x; y) = x2+y 2+2xy −x−y +1 sobre o quadrado
0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1.
(a) Mostre que f assume o seu mínimo absoluto ao longo da reta 2x + 2y = 1 nesse quadrado.
Qual é o valor mínimo absoluto?
(b) Encontre o valor máximo absoluto de f sobre o quadrado.
Questão 1. Solução: Para que f (x; y) = x
2y
x2+y2
seja contínua em (0; 0) devemos ter
lim
(x;y)→(0;0)
f (x; y) = f (0; 0) :
Para calcular o limite de f , observe que
− x
2|y |
x2 + y 2
≤ x
2y
x2 + y 2
≤ x
2|y |
x2 + y 2
:
Como
x2|y |
x2+y2
≤ x2|y |
x2
= |y |, concluímos que
−|y | ≤ x
2y
x2 + y 2
≤ |y | :
Além disso, como lim
(x;y)→(0;0)
(−|y |) = lim
(x;y)→(0;0)
|y | = 0, pelo Teorema do Confronto,
lim
(x;y)→(0;0)
x2y
x2 + y 2
= 0 :
Portanto, para que f seja contínua em (0; 0) devemos definir f (0; 0) = 0.
Questão 2. Solução: O domínio de f é o conjunto
D =
n
(x; y) ∈ R2; (x2 − 4)(y 2 − 9) ≥ 0
o
:
Para garantirmos que (x2−4)(y 2−9) ≥ 0 é necessário que aconteça pelo menos uma das condições
(I) ou (II) a seguir:
(I) x2 − 4 ≥ 0 e y 2 − 9 ≥ 0 =⇒ x ≤ −2 ou x ≥ 2; e, y ≤ −3 ou y ≥ 3
=⇒
8>>><>>>:
x ≤ −2 e y ≤ −3; ou;
x ≤ −2 e y ≥ 3; ou;
x ≥ 2 e y ≤ −3; ou;
x ≥ 2 e y ≥ 3:
.
(II) x2 − 4 ≤ 0 e y 2 − 9 ≤ 0 =⇒ −2 ≤ x ≤ 2; e, − 3 ≤ y ≤ 3:
O esboço do domínio está representado na figura abaixo.
x
y
2−2
3
−3
(I)(I)
(I) (I)
(II)
Questão 3. Solução: (a) Veja que o sentido de maior aquecimento em qualquer ponto da plata-
forma é
∇T (x; y) = (Tx ; Ty ) = (1; 3)
e, consequentemente, o de maior resfriamento é
−∇T (x; y) = −(1; 3) :
Assim, P1 estará se deslocando sempre no sentido de ∇T = (1; 3) e P2 no sentido de −∇T =
−(1; 3). Além disso, veja que essas direções de deslocamento são paralelas ao vetor −−→P1P2 = 2(1; 3),
isto é, paralelas à reta
←−→
P1P2. Portanto, as partículas estão indo uma de encontro à outra e, sendo
assim, irão se encontrar.
(b) Se P2 está no ponto (4; 2),
−−→
P1P2 = (3; 1) não é paralelo a ∇T = (1; 3), ou seja, a direção P1P2
não é a mesma da trajetória de P1. Logo, as partículas não se encontrão, nesta situação.
(c) Como P1 seguirá sempre na direção de ∇T = (1; 3), a sua trajetória será sobre a semirreta com
início em P1(1; 1) e é paralela a ∇T . Ou seja, a semirreta de equações(
x = 1 + t
y = 1 + 3t
; com t ≥ 0; ou y = 3x − 2; com x ≥ 1 :
x
y
P1
P2
P2
∇T
−∇T
1
1
2
3 4 5
7
10
y = 3x − 2, x ≥ 1
Questão 4. Solução: Queremos determinar os extremos da função T (x; y) = 4x2 − 4xy + y 2
condicionada aos pontos (x; y) sobre o círculo x2 + y 2 = 25. Ou seja, pelo Método de Lagrange,
buscamos pontos (x; y) que satisfazem
( ∇T (x; y) = –∇g(x; y)
g(x; y) = 25
=⇒
8><>:
8x − 4y = 2–x
−4x + 2y = 2–y
x2 + y 2 = 25
Somando a primeira equação a duas vezes a segunda, encontramos
0 = 2–x + 4–y =⇒ 2–(x + 2y) = 0 =⇒
(
x + 2y = 0; ou
– = 0
Se x+2y = 0, na terceira equação encontramos os pontos extremos A(−2√5;√5) e B(2√5;−√5).
Agora, se – = 0, na segunda equação, temos y = 2x que, novamente, na terceira equação nos dá
C(
√
5; 2
√
5) e D(−√5;−2√5). Logo os pontos extremos de T sobre o círculo são
A(−2
√
5;
√
5); B(2
√
5;
√
5); C(
√
5; 2
√
5) e D(−
√
5;−2
√
5) :
Segue que T (A) = T (B) = 125◦ e T (C) = T (D) = 0◦ são as temperaturas máximas e mínimas
encontradas pela formiga.
Questão 5. Solução:
(a) Como f (polinômio) é contínua sobre o qua-
drado, o Teorema do Valor Extremo garante que
f tem um máximo e um mínimo absoluto sobre o
quadrado. Primeiro buscamos os pontos críticos
de f , que acontecem quando
fx(x; y) = 2x+2y−1 = 0 fy (x; y) = 2x+2y−1 = 0 :
Como as duas equações são iguais, isso mostra que
os pontos críticos estão sobre a reta L de equação
x
y
1
1
L
L1
L2
L3
L4
1=2
1=2
2x + 2y = 1 ou y = 1
2
− x . Sobre os pontos de L, temos
f
“
x;
1
2
− x
”
= x2 +
“1
2
− x
”2
+ 2x
“1
2
− x
”
− x −
“1
2
− x
”
+ 1
=��x
2 +
1
4
−Zx +��x2 +Zx −��2x2 −Zx − 1
2
+Zx + 1
= 1− 1
4
=
3
4
:
Agora precisamos analisar os valores de f sobre a fronteira do quadrado, formada pelos segmentos
L1, L2, L3 e L4. (Veja a figura acima.) Em L1, temos y = 0 e
f (x; 0) = x2 − x + 1; 0 ≤ x ≤ 1
e assim, ao longo de L1, f tem um ponto crítico em x =
1
2
(sobre L), com f
“
1
2
; 0
”
= 3
4
, f (0; 0) = 1
e f (0; 1) = 1. Em L2, temos x = 1 e
f (1; y) = y 2 + y + 1 0 ≤ y ≤ 1 :
Assim, f (1; 1) = 3. (Neste caso, o ponto crítico está fora do quadrado.) Em L3, temos
f (x; 1) = x2 + x + 1 0 ≤ x ≤ 1
e f (0; 1) = 1. (Ponto crítico fora do quadrado.) Agora, em L4, temos x = 0 e
f (0; y) = y 2 − y + 1 0 ≤ y ≤ 1 :
Neste caso, f tem um ponto crítico em y = 1
2
(sobre L). Portanto, o mínimo de f se dá sobre os
pontos da reta L e vale 3
4
.
(b) O valor máximo absoluto de f acontece no ponto (1; 1), como vimos no item (a), e vale 3.