Cálculo 2 - Prof. José Jozelmo - Prova 4 resolvida

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Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais - CEFET MG
Departamento de Matemática - DM
Disciplina: Cálculo 2
Prof.: José Jozelmo G. Vieira
Quarta Prova - 25 pontos - 30/11/2018
Observações:
• Respostas sem justificativas não serão consideradas;
• Não é permitido a comunicação entre os alunos durante a prova;
• Não é permitido o uso de quaisquer aparelhos eletrônicos durante a prova, inclusive calculadora;
• A interpretação das questões faz parte da avaliação.
Aluno:
Questão 1. Se a função (x; y ; z) representa a densidade de uma lâmina que ocupa a região do
espaço determinada pela superfície S, então a massa total da lâmina é dada por
m =
ZZ
S
(x; y ; z)dS :
Determine a massa de um funil fino com o formato do cone z =
√
x2 + y 2, 1 ≤ z ≤ 4, se sua
função densidade é (x; y ; z) = 10− z .
Questão 2. Calcule
Z
C
~F · d~r , se ~F (x; y ; z) =
(x + y 2; y + z2; z + x2) e C é curva de interseção
entre o plano z = 4−x e o cilindro (x−2)2 +y 2 =
4. Suponha que C está orientada no sentido anti-
horário quando vista de baixo.
x y
z
Questão 3. Considere o campo vetorial
~F (x; y ; z) = (x;−2y + ex cos z; z + x2) e a
superfície aberta S, mostrada na figura ao lado,
definida pela união das superfícies:
• S1: z = 9− x2 − y 2, com 0 ≤ z ≤ 5;
• S2: z = 5; e,
• S3: z = 8− 3x2 − 3y 2, com 5 ≤ z ≤ 8.
Suponha que S tenha orientação para fora. Cal-
cule ZZ
S
~F · d ~S :
x
y
z
~n
~n
~n
S2 : z = 5
S1 : z = 9− x2 − y2
S3 : z = 8− 3x2 − 3y2
Questão 1. Solução: Uma parametrização do funil pode ser dada por ~r(r; „) = (r cos „; r sen „; r),
com 1 ≤ r ≤ 4; 0 ≤ „ ≤ 2ı. Segue que
~rr × ~r„ =
˛˛˛˛
˛˛˛ i j kcos „ sen „ 1
−r sen „ r cos „ 0
˛˛˛˛
˛˛˛ = (−r cos „;−r sen „; r)
e ‖~rr × ~r„‖ =
√
r 2 cos2 „ + r 2 sen 2„ + r 2 = r
√
2 :
x
y
zz
1 4
D
„ r
(r cos „; r sen „; r) x
y
D
r
1 4
„
Assim,
m =
ZZ
S
(x; y ; z)dS =
ZZ
D
(~r(r; „))‖~rr × ~r„‖dA
=
ZZ
D
(10− r)r
√
2dA =
√
2
Z 2ı
0
Z 4
1
(10r − r 2)drd„
= 2ı
√
2
»
5r 2 − r
3
3
–4
1
= 108
√
2ı u.m.
Questão 2. Solução: As funções componentes do campo
~F (x; y ; z) = (x + y 2; y + z2; z + x2)
possuem derivadas parciais contínuas em todo espaço R3, em particular sobre a superfície S, parte
do plano x + z = 4 limitada pela curva fechada C de interseção entre as superfícies. Assim,
x y
z
x y
z
SC
~n
x
y
D
4
r = 4 cos „
considerando a orientação de S para baixo de modo que C tenha orientação no sentido anti-horário,
pelo Teorema de Stokes, temosZ
C
~F · d~r =
ZZ
S
rot~F · d ~S =
ZZ
S
rot~F · ~n dS ;
com ~n = − 1√
2
(1; 0; 1) e
rot~F =
˛˛˛˛
˛˛˛ i j k@@x @@y @@z
x + y 2 y + z2 z + x2
˛˛˛˛
˛˛˛ = (−2z;−2x;−2y) :
Então, como S é o gráfico de z = 4− x sobre o disco D : (x − 2)2 + y 2 ≤ 4,ZZ
S
rot~F · ~n dS = 2√
2
ZZ
S
(z; x; y) · (1; 0; 1)dS = 2√
2
ZZ
S
(z + y)dS
= 2
ZZ
D
(4− x + y)dA
= 2
Z ı
2
−ı
2
Z 4 cos „
0
(4r − r 2 cos „ + r 2 sen „)drd„
= 64
Z ı
2
−ı
2
„
cos2 „ − 2
3
cos4 „ +
2
3
cos3 „ sen „
«
d„ :
Resolvendo cada uma das integrais acima, encontramos
Z ı
2
−ı
2
cos2 „d„ =
ı
2
,
Z ı
2
−ı
2
cos3 „ sen „d„ = 0
e
Z ı
2
−ı
2
cos4 „d„ =
3ı
8
. Portanto,
Z
C
~F · d~r = 64
„
ı
2
− 2
3
· 3ı
8
«
= 16ı :
Questão 3. Solução: Veja que não podemos aplicar o Teorema de Gauss diretamente, pois a
superfície S é aberta. Assim, considere S¯ = S∪S′ em que S′ é o disco de raio 3 e centro na origem,
x2 + y 2 ≤ 9, com orientação para baixo, de modo que S¯ tenha orientação positiva (para fora).
As componentes do campo
~F (x; y ; z) = (x;−2y + ex cos z; z + x2) possuem derivadas parciais
contínuas em todo espaço R3, em particular sobre o sólido E cuja fronteira é S¯.
x
y
z
S
S′
x
y
x2 + y2 ≤ 9
3
D
Assim, usando o Teorema de Gauss, temosZZ
S
~F · d ~S +
ZZ
S′
~F · d ~S =
ZZ
S¯
~F · d ~S =
ZZZ
E
div~FdV :
Como div~F = @
@x
(x) + @
@y
(−2y + ex cos z) + @
@z
(z + x2) = 1− 2 + 1 = 0, segue queZZ
S
~F · d ~S = −
ZZ
S′
~F · d ~S :
Considerando a orientação para S′, ~n = (0; 0;−1), temosZZ
S
~F · d ~S = −
ZZ
S′
~F · ~n dS = −
ZZ
S′
(x;−2y + ex cos z; z + x2) · (0; 0;−1) dS
=
ZZ
S′
(z + x2) dS =
ZZ
D
x2dA
=
Z 2ı
0
Z 3
0
r 3 cos2 „drd„ =
»
r 4
4
–3
0
·
»
„
2
+
sen 2„
4
–2ı
0
=
81ı
4
: