MatDisc-Cap01-Slides.pdf

Prévia do material em texto

Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Matemática para Computação
(Matemática Discreta)(Matemática Discreta)
Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Capítulo 01
Fundamentos de Lógica Formal
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Introdução ao Estudo da Lógica Formal
• A Lógica é a ciência dos argumentos, ou seja, ela trata das 
“A Lógica é o estudo dos processos válidos e gerais pelos quais 
atingimos a verdade [...] É a ciência das leis do pensamento.”
(FONTES, 2008)
• A Lógica é a ciência dos argumentos, ou seja, ela trata das 
conclusões a que chegamos a partir das evidências que as 
sustentam.
– Teve seu início com Aristóteles, no século IV a.C.
– A maior revolução sofrida foi em meados do século XIX, quando foi 
concebida como uma álgebra.
– Atingiu elevado grau de formalização no século XX.
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Proposições
• As proposições constituem o alicerce das estruturas 
fundamentais da Lógica.
Uma proposição, ou sentença, é qualquer oração que pode ser 
avaliada como verdadeira ou falsa.
• Exemplos
– Todo número divisível por 2 é par.
– Que horas são?
– Vá dormir.
– Dez menos três.
– Como você está bonita hoje!
É uma proposição.
Não são proposições.
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Proposições
Normalmente, indicamos uma 
proposição por uma letra 
latina minúscula.
a: Todo número divisível por 2 é par.
b: São Luís é a capital do Maranhão.
p: Barack Obama é o presidente do Brasil.
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Valor Lógico de uma Proposição
• O valor lógico de uma proposição está associado 
ao resultado de sua avaliação como verdadeira
ou falsa.
– O valor lógico verdade (V) está associado às 
proposições verdadeiras.proposições verdadeiras.
– O valor lógico falsidade (F) está associado às 
proposições falsas.
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Valor Lógico das Proposições
• Exemplo
– p: O Maranhão está localizado na região Nordeste.
• O valor lógico desta proposição é a verdade.
• Indica-se por: V(p) = V
– q: Santos Dumont é o pai da Informática.
• O valor lógico desta proposição é a falsidade.
• Indica-se por: V(q) = F
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Valor Lógico das Proposições
• Os possíveis valores lógicos de uma proposição 
simples podem ser representados por meio de 
uma tabela ou como uma árvore de 
possibilidades.
V
possibilidades.
p
V
F
p
V
F
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Valor Lógico das Proposições
• Axiomas
– Princípio da Não-Contradição
Uma proposição nunca será verdadeira e falsa 
simultaneamente.
– Princípio do Terceiro Excluído
simultaneamente.
Uma proposição sempre assume um dos valores 
lógicos: ou é verdadeira ou é falsa.
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Classificação das Proposições
• Proposições Simples ou Atômicas
– Não podem ser decompostas.
• a: Pelé é o Rei do futebol.
• b: Imperatriz é a capital do Maranhão.
• Proposições Compostas ou Moleculares• Proposições Compostas ou Moleculares
– Formadas por duas ou mais proposições ligadas 
por conectivos lógicos.
» P: Pelé é o Rei do futebol e Lula é o Presidente do Brasil.
» Q: São Luís é capital do Maranhão ou Teresina é a capital do 
Piauí.maiúsculas
As proposições 
compostas são 
representadas por 
letras latinas 
maiúsculas
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Conectivos Lógicos
• Os mais importantes conectivos lógicos são em 
número de cinco:
– NÃO (¬¬¬¬)
– E (∧∧∧∧)
– OU (∨∨∨∨)
– SE...ENTÃO (→→→→)
– SE, E SOMENTE SE (↔↔↔↔)
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Refletindo
Como determinar o valor lógico de 
uma proposição composta?
O valor lógico de uma proposição composta é definido 
pelo valor lógico das proposições simples que a compõe e 
pelos conectivos empregados.
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Valor Lógico de Proposições Compostas
• Para facilitar o cálculo do valor lógico de uma 
proposição composta, utilizamos uma estrutura 
chamada de tabela verdade.
“Uma tabela verdade é uma tabela que descreve os “Uma tabela verdade é uma tabela que descreve os 
valores lógicos de uma proposição em termos das 
possíveis combinações dos valores lógicos das 
proposições componentes e dos conectivos usados.”
Menezes (2008)
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Ilustração: Tabela Verdade
• Considerando uma proposição composta formada 
pelas proposições simples p e q. Como representar 
as possíveis valores lógicos de p e q?
p qp q
1 V V
2 V F
3 F V
4 F F
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Ilustração: Tabela Verdade
• Os valores lógicos são dispostos na tabela verdade de 
acordo com a seguinte árvore de possibilidades.
V
V
p
V
F
F
V
F
q
q
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Refletindo
De que forma os conectivos 
interferem na definição do valor 
lógico de uma proposição 
composta?composta?
Os conectivos estão associados a operações lógicas que são 
realizadas sobre as proposições.
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Operações Lógicas
Operação Operador Símbolo
Negação NÃO ¬
Conjunção E ∧Conjunção E ∧
Disjunção OU ∨
Condicional (Implicação) SE...ENTÃO →
Bicondicional (Bi-implicação) SE, E SOMENTE SE ↔
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Negação
• Pode-se utilizar o conectivo NÃO (¬) para formar 
uma nova proposição, cujo valor lógico é oposto ao 
da proposição original.
– Representação da negação na tabela verdade
p ¬¬¬¬p
1 V F
2 F V
O operador NÃO 
inverte o valor lógico 
da proposição original.
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Negação
• Exemplos
a: A capital do Maranhão é São Luís.
¬a: A capital do Maranhão não é São Luís.
¬a: É falso que a capital do Maranhão é São Luís.
b: Todos os alunos aprenderão Lógica .b: Todos os alunos aprenderão Lógica .
¬b: Nem todos os alunos aprenderão Lógica.
¬b: Existem alunos que não aprenderão Lógica.
c: Existem alunos estudiosos.
¬c: Não existem alunos estudiosos.
¬c: Todos os alunos não são estudiosos.
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Conjunção
• Com o uso do conectivo E (∧∧∧∧) é possível ligar duas 
proposições, formando uma nova proposição chamada 
conjunção, cujo valor lógico é a verdade (V) quando 
ambas as proposições que a compõe forem verdadeiras.
– Representação da conjunção na tabela verdade– Representação da conjunção na tabela verdade
p q p ∧∧∧∧ q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
Uma conjunção só é 
verdade quando ambas as 
proposições que a compõe 
forem simultaneamente 
verdade.
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Conjunção
• Exemplos
a: Lula é brasileiro.
b: O Maranhão pertence ao Paraguai
a ∧∧∧∧ b: Lula é brasileiro e o Maranhão pertence ao 
Paraguai.Paraguai.
• A conjunção a ∧ b tem como valor lógico a falsidade.
• V(a) = V e V(b) = F, portanto 
V(a ∧ b) = V(a) ∧ V(b) = V ∧ F = F
a b a ∧∧∧∧ b
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Conjunção
• Exemplos
p: 5 – 3 = 2
q: 10 é um número par.
p ∧∧∧∧ q: 5 – 3 = 2 e 10 é um número par.
• A conjunção p ∧ q tem como valor lógico a verdade.• A conjunção p ∧ q tem como valor lógico a verdade.
• V(p) = V e V(q) = V, portanto 
V(p ∧ q) = V(p) ∧ V(q) = V ∧ V = V a b a ∧∧∧∧ b
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F F
Matemática Discreta| Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Disjunção
• Com o uso do conectivo OU (∨∨∨∨) é possível ligar duas 
proposições, formando uma nova proposição chamada 
conjunção, cujo valor lógico é a falsidade (F) quando 
ambas as proposições que a compõe forem falsas.
– Representação da conjunção na tabela verdade– Representação da conjunção na tabela verdade
p q p ∨∨∨∨ q
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
Uma disjunção só é uma 
falsidade quando ambas as 
proposições que a compõe 
forem simultaneamente 
uma falsidade.
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Disjunção
• Exemplos
a: Gonçalves Dias é um poeta maranhense.
b: A Lua é quadrada.
a ∨∨∨∨ b: Gonçalves Dias é um poeta maranhense ou a Lua é 
quadrada.quadrada.
• A disjunção a ∨ b tem como valor lógico a verdade.
• V(a) = V e V(b) = F, portanto 
V(a ∨ b) = V(a) ∨ V(b) = V ∨ F = V
a b a ∨∨∨∨ b
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Disjunção
• Exemplos
p: 5 – 3 > 2.
q: 10 é um número primo.
p ∨∨∨∨ q: 5 – 3 > 2 ou 10 é um número primo.
• A disjunção p ∨ q tem como valor lógico a falsidade.• A disjunção p ∨ q tem como valor lógico a falsidade.
• V(p) = F e V(q) = F, portanto 
V(p ∨ q) = V(p) ∨ V(q) = F ∨ F = F p q p ∨∨∨∨ q
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Condição ou Implicação
• Dadas duas proposições p e q, é possível escrever uma nova 
proposição p � q, chamada condição ou implicação, onde p é 
chamado antecedente e q consequente, e cujo valor verdade 
é a falsidade quando p for uma verdade e q uma falsidade.
– Representação da conjunção na tabela verdade
p q p →→→→ q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
A proposição p � q, é uma 
verdade se p e q forem 
simultaneamente verdade ou se 
p for uma falsidade. Caso p seja 
uma verdade e q uma falsidade, 
p � q será uma falsidade.
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Condição
• Exemplos
a: O relógio marca as horas.
b: Grande parte da Amazônia Legal fica no Brasil.
a →→→→ b: Se o relógio marca as horas, então grande parte 
da Amazônia Legal fica no Brasil.da Amazônia Legal fica no Brasil.
• A condição a → b tem como valor lógico a verdade.
• V(a) = V e V(b) = V, portanto 
V(a→ b) = V(a) → V(b) = V → V = V
a b a →→→→ b
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Condição
• Exemplos
p: Machado de Assis escreveu Dom Casmurro.
q: 10 é um número primo.
p →→→→ q: Se Machado de Assis escreveu Dom Casmurro, 
então 10 é um número primo.então 10 é um número primo.
• A condição p → q tem como valor lógico a falsidade.
• V(p) = V e V(q) = F, portanto 
V(p→ q) = V(p) → V(q) = V → F = F
p q p →→→→ q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Condição
• Exemplos
m: O Brasil foi colonizado pelos franceses.
n: A capital do Maranhão é Teresina.
m →→→→ n: Se o Brasil foi colonizado pelos franceses, então a 
capital do Maranhão é Teresina.capital do Maranhão é Teresina.
• A condição m → n tem como valor lógico a verdade.
• V(m) = V e V(n) = F, portanto 
V(m→ n) = V(m) → V(n) = F → F = V
p q p →→→→ q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Condição
O que uma condicional O que uma condicional 
afirma é somente uma 
relação entre os valores 
lógicos do antecedente e 
do consequente.
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Bicondição ou Bi-implicação
• Dadas duas proposições p e q, é possível escrever uma nova 
proposição p ↔ q, chamada bicondição, cujo valor verdade é 
a verdade quando p e q forem simultaneamente uma verdade 
ou uma falsidade.
– Representação da conjunção na tabela verdade
p q p ↔↔↔↔ q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F V
Uma bicondição é uma 
verdade quando as 
proposições que a compõe 
possuem o mesmo valor 
lógico.
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Bicondição
• Exemplos
a: O Brasil fica na América do Sul.
b: No verão faz calor.
a ↔↔↔↔ b: O Brasil fica na América do Sul se, e somente se, 
no verão faz calor.no verão faz calor.
• A bicondição a ↔ b tem como valor lógico a verdade.
• V(a) = V e V(b) = V, portanto 
V(a↔ b) = V(a) ↔ V(b) = V ↔ V = V
a b a ↔↔↔↔ b
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F V
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Bicondição
• Exemplos
m: 13 é divisível por 2.
n: 10 é um número primo.
m ↔↔↔↔ n: 13 é divisível por 2 se, e somente se, 10 é um 
número primo.número primo.
• A bicondição m ↔ n tem como valor lógico a verdade.
• V(m) = F e V(n) = F, portanto 
V(m↔ n) = V(m) ↔ V(n) = F ↔ F = V
m n m ↔↔↔↔ n
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F V
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Bicondição
• Exemplos
r: Domingo é um dia útil.
t: O Sol é uma estrela.
r ↔↔↔↔ t: Domingo é um dia útil se, e somente se, o Sol é 
uma estrela.uma estrela.
• A bicondição r ↔ t tem como valor lógico a verdade.
• V(r) = F e V(t) = V, portanto 
V(r↔ t) = V(r) ↔ V(t) = F ↔ V = F
r t r ↔↔↔↔ t
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F V
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Fórmulas Bem Formuladas
– Exemplos:
Uma fórmula é uma sentença lógica corretamente 
construída, sobre um alfabeto cujos símbolos são 
conectivos, parênteses, identificadores, constantes, etc
Menezes (2008)
– Exemplos:
• p
• (p →→→→ q) ∧∧∧∧ c
• p ↔↔↔↔ (¬¬¬¬a ∨∨∨∨b)
• ∧∧∧∧q¬¬¬¬p
• ¬¬¬¬p∧∧∧∧∧∧∧∧(a ↔↔↔↔ p¬¬¬¬)
• Pqr∧∧∧∧s¬¬¬¬t
São Fórmulas
Não São Fórmulas
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Fórmulas Bem Formuladas
• Considere a seguinte fórmula:
p ∧∧∧∧ q →→→→ r
p: Maria adoeceu.
q: João viajou.
E agora, como saber qual 
das duas expressões está 
representada pela 
fórmula?
q: João viajou.
r: Hércules não pode sair de casa.
A fórmula, como está escrita, pode representar duas expressões:
1 - “Se Maria adoeceu e João viajou, então Hércules não pode sair de casa”
2 - “Maria adoeceu e, se João viajou, então Hércules não pode sair de casa.”
fórmula?
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Fórmulas Bem Formuladas
• Precedência de Operadores
1. Conectivos entre parênteses, dos mais internos para os mais 
externos.
2. Negação (¬).
3. Conjunção (∧) e Disjunção (∨).
4. Condição (→).4. Condição (→).
5. Bicondição (↔).
E então, qual das duas expressões está 
representada pela fórmula p ∧∧∧∧ q →→→→ r?
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Fórmulas Bem Formuladas
• A conjunção tem precedência sobre a condição. 
Então, a expressão simbolizada pela fórmula é:
“Se Maria adoeceu e João viajou, então Hércules 
não pode sair de casa”
– Para representar a segunda expressão é preciso 
fazer uso de parênteses.
não pode sair de casa”
p ∧∧∧∧ (q →→→→ r)
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Determinação do Valor Lógico de uma Fórmula
• Consideremos a fórmula:
p →→→→ (q ∧∧∧∧ r)
• Regras para a Construção de Tabelas Verdade
1. Conte o número de proposições simples e calcule o número 1. Conte o número de proposições simples e calcule o número 
de linhas da tabela (Nº de Linhas = 2n, onde n é o número de 
proposições simples).
Para a fórmula considerada, temos:
Proposições simples: p, q, r
Número de linhas da tabela: 23 = 8 linhas
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Determinação do Valor Lógico de uma Fórmula
• Regras para a Construção de Tabelas Verdade
2. Desenhe a tabela e escreva cada proposição simples sobre a 
primeira linha.
p q r
122
3
4
5
6
7
8
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Determinação do Valor Lógico de uma Fórmula
• Regras para a Construção de Tabelas Verdade
3. Para a iésima proposição simples (i ≤ n), atribua 
alternadamente 2n – i valores V seguidos da mesma 
quantidade de valores F.
p q r
1 V V VLinha 1: 23 – 1 = 4
Linha 2: 22 – 1 = 2 2 V V F
3 V F V
4 V F F
5 F V V
6 F V F
7 F F V
8 F F F
Linha 2: 22 – 1 = 2
Linha 3: 21 – 1 = 1
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Determinação do Valor Lógico de uma Fórmula
• Regras para a Construção de Tabelas Verdade
4. Realize as operações lógicas, obedecendo a ordem de 
precedência. Para cada operação, crie uma nova coluna na 
tabela.
p q r
1 V V V
q ∧∧∧∧ r
V
p →→→→ (q ∧∧∧∧ r)
V
2 V V F
3 V F V
4 V F F
5 F V V
6 F V F
7 F F V
8 F F F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
V
V
V
V
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Determinação do Valor Lógico de uma Fórmula
• Também podemos determinar o valor lógico de uma 
fórmula a partir do valor lógico das proposições que 
a compõem.
• Exemplos
– p →→→→ (a ∧∧∧∧ b), onde V(p) = V, V(a) = F e V(b) = V.– p →→→→ (a ∧∧∧∧ b), onde V(p) = V, V(a) = F e V(b) = V.
• Substituindo os valores lógicos de cada proposição, temos:
V → (F ∧ V) = V → F = F 
– p ∧∧∧∧ (q ↔↔↔↔ r), onde V(p) = V, V(q) = F e V(r) = F.
• Substituindo os valores lógicos de cada proposição, temos:
V ∧ (F ↔ F) = V ∧ V = V
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Determinação do Valor Lógico de uma Fórmula
• Exemplo: 
Determinar o valor lógico da proposição:
“Se o Brasil é um país em desenvolvimento e o “Se o Brasil é um país em desenvolvimento e o 
Maranhão é o maior estado do Nordeste, então a 
raiz quadrada de 25 é igual ao dobro de 100 ou o 
Maranhão não é o maior estado do Nordeste”.
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Determinação do Valor Lógico de uma Fórmula
• Solução
– Inicialmente, escrevemos a expressão em forma 
simbólica:
a: o Brasil é um país em desenvolvimento.
b: o Maranhão é o maior estado do Nordeste.b: o Maranhão é o maior estado do Nordeste.
c: a raiz quadrada de 25 é igual ao dobro de 100.
Com isso, temos:
(a ∧∧∧∧ b) →→→→ (c ∨∨∨∨ ¬¬¬¬b)
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Determinação do Valor Lógico de uma Fórmula
• Solução
– Em seguida, substituímos os valores lógicos de cada 
proposição simples na sentença encontrada e resolvemos 
as operações lógicas indicadas:
V(a) = V, V(b) = F e V(c) = FV(a) = V, V(b) = F e V(c) = F
(a ∧ b) → (c ∨ ¬b) = 
= (V ∧ F) → (V ∨ F) = 
= F → V =
= V
Portanto, a proposição tem a verdade (V) como valor lógico.
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Tautologias
Denomina-se tautologia, ou proposição tautológica, toda 
fórmula cujo valor lógico é sempre a verdade, 
independente dos valores lógicos das proposições simples 
que a compõe.
– Podemos comprovar uma tautologia pela construção da 
tabela verdade.
– Exemplo
Provar a seguinte tautologia: p ∧∧∧∧ r ¬¬¬¬q ∨∨∨∨ r 
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Tautologias
• A tabela verdade para a fórmula é a seguinte
p q r
1 V V V
2 V V F
¬¬¬¬q
F
F
p ∧∧∧∧ r
V
F
¬¬¬¬q ∨∨∨∨ r
V
F
p ∧∧∧∧ r →→→→¬¬¬¬q ∨∨∨∨ r
V
V
3 V F V
4 V F F
5 F V V
6 F V F
7 F F V
8 F F F
V
V
F
F
V
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
F
V
V
V
V
V
V
V
V
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Contradições
As contradições são fórmulas cujo valor lógico é sempre a 
falsidade quaisquer que sejam os valores das proposições 
simples componentes
– Constituem-se a negação de uma tautologia.
– Podem ser demonstradas por tabelas verdade.
– Exemplo
A fórmula (p → q) ∧ (p ∧ ¬q) é uma contradição
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Contradições
• A tabela verdade para a fórmula é a seguinte:
p q
1 V V
2 V F
¬¬¬¬q
F
V
p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q
F
V
p→→→→ q
V
F
(p→→→→ q) ∧∧∧∧ (p ∧∧∧∧ ¬¬¬¬q)
F
F2 V F
3 F V
4 F F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
F
F
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Contingências
As fórmulas que não 
constituem tautologia nem 
contradição são chamadas 
de contingências
– Exemplo
A fórmula p ∧ (q →¬p) é uma contingência.
de contingências
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira
Contingências
• A tabela verdade para a fórmula é a seguinte:
p q
1 V V
2 V F
¬¬¬¬p
F
F
q →→→→¬¬¬¬ p
V
F
p ∧∧∧∧ (q →→→→¬¬¬¬ p)
F
F2 V F
3 F V
4 F F
F
V
V
F
V
V
F
F
F
Matemática Discreta | Prof. Raimundo Osvaldo Vieira