Aula 1 - Fundamentos da Matemática

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Fundamentos da 
Matemática 
Professor Dimas Cássio Simão 
1 Noções de Lógica 
Aula 01 
Introdução 
A lógica pode ser entendida como a área da filosofia que 
estuda o processo racional. Nesta a aula 1, nossos objetivos 
são compreender o papel da lógica no dia-a-dia; introduzir a 
lógica como parte da Filosofia e introduzir a lógica como 
forma de avaliar o raciocínio humano. 
O que é Lógica? 
Lógica é uma parte da filosofia que estuda o fundamento, a 
estrutura e as expressões humanas do conhecimento. A lógica 
foi criada por Aristóteles no século IV a.C. para estudar o 
pensamento humano e distinguir interferências e argumentos 
certos e errados. 
 
 
Origem 
•  Na Grécia Antiga, 342 a.C, o filósofo Aristóteles 
sistematizou o conhecimento existente em Lógica, 
elevando-o à categoria de ciência. 
•  Em sua obra chamada Organum (“ferramenta para o 
correto pensar”), estabeleceu princípios tão gerais e tão 
sólidos que até hoje são considerados válidos. 
Do que a lógica trata? 
•  A lógica trata da correção do pensamento; 
•  Ensina-nos a usar corretamente as leis do pensamento: 
 
É a arte de pensar corretamente; 
A forma mais complexa do pensamento é o raciocínio; 
Ordem da r azão (nos sa r azão pode func iona r 
desordenadamente) ou ordem no pensamento. 
A lógica no dia a dia 
•  Sempre que pensamos; 
•  Quando falamos, pois a palavra falada é a representação do 
pensamento; 
•  Quando escrevemos, pois a palavra escrita é a 
representação da palavra falada ou até mesmo do nosso 
pensamento; 
•  Daí a importância da lógica em nossa vida, pois quando 
pensamos, escrevemos ou falamos corretamente 
precisamos colocar Ordem no Pensamento. 
Exemplos da lógica no dia a dia 
Exemplo 1 
•  O armário está fechado. 
•  A xícara está no armário. 
•  Preciso primeiro abrir o armário, para depois pegar a 
xícara. 
 
Exemplo 2 
•  Maria é mais velha do que João. 
•  João é mais velho do que Luiz. 
•  Portanto, Maria é mais velha do que Luiz. 
 
Raciocínio Lógico – Exercício 1 
Um homem precisa atravessar um rio com um barco que 
possui capacidade de transportar apenas ele mesmo e mais 
uma de suas três cargas, que são: um lobo, um bode e uma 
caixa de alfafa. Indique as ações necessárias para que o 
homem consiga atravessar o rio sem perder suas cargas. 
 
•  O lobo não pode ficar sozinho com o bode, senão ele o 
come; 
•  O bode não pode ficar sozinho com a alfafa, senão a come. 
 
Raciocínio Lógico – Exercício 2 
Três jesuítas e três canibais precisam atravessar um rio; para 
tal, dispõem de um barco com capacidade para duas pessoas. 
Por medida de segurança, não se permite que em alguma 
margem a quantidade de jesuítas seja inferior à de canibais 
(senão o canibal come o jesuíta). Pense numa estratégia para 
que a travessia aconteça com segurança. 
Raciocínio Lógico – Exercício 3 
Torre de Hanói 
 
Objetivo: mover todos os discos para a estaca da direita no 
menor número de movimentos. 
Regras: mover um disco de cada vez, sendo que um disco 
maior nunca pode ficar em cima de um disco menor. 
 
Proposição 
Uma proposição é uma declaração (afirmativa ou negativa) 
que exprime um pensamento de sentido completo. 
Uma proposição pode ser verdadeira, cujo valor lógico é V; 
Ou uma proposição pode ser falsa, cujo valor lógico atribuído 
é F. 
Exemplo 1 
Sete mais dois é igual a nove. 
 
•  É uma declaração (afirmativa). 
•  Logo, é uma proposição. 
 
Valor lógico V 
 
	
Exemplo 2 
Belém não é a capital do Brasil. 
 
•  É uma declaração negativa. 
•  Logo, é uma proposição. 
 
Valor Lógico V 
 
 
 
Exemplo 3 
O dobro de cinco é 10? 
 
•  É uma pergunta, não uma declaração. 
•  Logo, não é proposição. 
•  Portanto, não podemos atribuir valor lógico V ou F. 
 
 
 
Praticando 
Construa em seu caderno: 
1.  Um exemplo de proposição com valor lógico V. 
2.  Um exemplo de proposição com valor lógico F. 
3.  Um exemplo que não possa ser classificado como uma 
proposição. 
Princípios Fundamentais 
Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo. 
 
•  Princípio da Não Contradição: Uma proposição não pode 
ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. 
•  Princípio do Terceiro Excluído: Toda proposição ou é 
verdadeira ou é falsa, ou seja, verifica-se sempre um desses 
casos, nunca um terceiro. 
Proposição Simples (Atômica) 
Como o próprio nome diz, é uma proposição única, isolada. 
 
Podemos considerá-las como frases formadas por apenas uma 
oração que exprime apenas um fato. 
 
Representaremos as proposições simples por letras latinas 
minúsculas (p, q, r, s). 
Exemplo de Proposição Simples 
Tiradentes foi enforcado (p) 
Eu sou estudioso (q) 
3 + 4 > 12 (r) 
O número 25 é um quadrado perfeito (s) 
 
 
Proposição Composta 
Uma proposição é dita composta quando for formada por duas 
ou mais proposições ligadas entre si por conectivos 
operacionais. 
Podemos considerá-las como um período composto de várias 
orações. 
Indicaremos as proposições compostas por letras latinas 
maiúsculas. 
Exemplo 
Paulo é estudioso e Maria é bonita. 
 
P é a composta das proposições simples 
p: Paulo é estudioso 
 e 
q: Maria é bonita 
 
Exemplos 
Jorge é careca e Pedro é Estudante. 
Um número é par ou um número é impar. 
Se um número é par, então é divisível por 2. 
 
 
 
Praticando 
Construa em seu caderno 3 exemplos de: 
Proposição Simples 
Proposição Composta 
 
Exercícios 
1) Determine o valor lógico (V ou F) de cada uma das 
sentenças: 
a)  O número 17 é primo. 
b)  Fortaleza é capital do Maranhão. 
c)  Tiradentes morreu afogado. 
d)  (3 + 5)2 = 32 + 52 
e)  - 1 < - 7 
Conectivos Lógicos 
Chamamos conectivos ou operadores lógicos qualquer palavra 
ou símbolo que se usa para formar novas proposições 
compostas a partir de outras proposições simples. 
 
São conectivos usuais em lógica matemática: e, ou, não, se, 
então, se e somente se. 
 
 
 
Operadores Lógicos 
O operador não é unário e os outros são binários, isto é, ligam 
duas proposições para formar uma proposição composta. 
 
Operações Lógicas sobre Proposições 
A partir dos conectivos lógicos pode-se definir operações 
fundamentais entre proposições. Tais operações obedecem às 
regras do cálculo proposicional. 
Negação 
Chama-se negação de uma proposição p a proposição 
representada por “não p”, cujo valor lógico é verdadeiro (V) 
quando p é falsa e falso (F) quando p é verdadeira. 
Simbolicamente:~p 
Lê-se: “não p” 
~V=F 
~F=V 
	
	
Na linguagem comum, a negação efetua-se, nos casos mais 
simples, antepondo o advérbio “não” ao verbo da proposição 
dada. 
p: O Sol é uma estrela 
~p: O Sol não é uma estrela 
p: Pedro é mecânico 
~p: Não é verdade que Pedro é mecânico 
ou 
~p: É falso que Pedro é mecânico 
	
	
Observe que: 
“Todos os homens são elegantes.” 
 
A negação pode ser: 
 
“Nem todos os homens são elegantes.” 
	
	
Observe que: 
“Nenhum homem é elegante.” 
 
A negação pode ser: 
 
“Algum homem é elegante.” 
Conjunção (∧) 
Uma proposição que constitui-se de duas proposições ligadas 
por “e” denomina-se conjunção. 
 
O valor lógico de uma proposição é verdadeiro se as 
proposições simples p e q que a compõe são verdadeiras. Nos 
demais casos, é falso. 
 
Simbolicamente: “p∧q” 
 
Lê-se: “p e q” 
Simbolicamente: p^q 
Exemplos 
p: A neve é branca (V) 
q: 2<5 (V) 
p^q = A neve é branca e 2<5 (V) 
 
p: O enxofre é verde (F) 
q: 7 é um número primo (V) 
p^q = O enxofre é verde e 7 é um número primo (V) 
p: George Cantor nasceu na Rússia (V) 
q: Pierre de Fermat era médico (F) 
p^q = George Cantor nasceu na Rússia e Pierre de Fermat era 
médico (F) 
 
p: π > 4 (F) 
q: sen π /3 = 0 (F) 
p^q= π > 4 e sen π /3 = 0 (F) 
Exercícios 
1)  Sejam as proposições p: Está frio e q: Está chovendo. 
Faça a tradução para a linguagem corrente das seguintes 
proposições: 
a)  ~p 
b)  p^q 
c)  ~p^q 
d)  p^~q 
e)  ~p^~q2) Sejam as proposições p: Cláudio fala inglês e q:Cláudio 
fala alemão. Faça a tradução para a linguagem corrente 
das seguintes proposições: 
a)  ~p 
b)  p^q 
c)  ~p^q 
d)  p^~q 
e)  ~p^~q 
	
	
3) Sejam as proposições: 
 
p: Marcos é alto 
q: Marcos é elegante 
 
Faça a tradução para a linguagem simbólica das seguintes 
proposições: 
 
a)  Marcos é alto e elegante. 
b)  Marcos é alto, mas não é elegante. 
c)  Marcos não é alto nem elegante. 
 
Disjunção (∨) 
Chama-se disjunção uma proposição composta por duas 
proposições p e q. O valor lógico de uma disjunção é 
verdadeiro se ao menos uma das proposições simples p e q 
que a compõe é verdadeiro, e falso se ambas as proposições 
são falsas. 
Simbolicamente: “p∨q” 
Lê-se: “p ou q” 
	
Simbolicamente: p∨q 
p q p ∨q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
Exemplos 
p: Paris é a capital da França (V) 
q: 9 – 4 = 5 (V) 
p∨q = Paris é a capital da França ou 9 – 4 = 5 (V) 
 
p:Camões escreveu Os Lusíadas (V) 
q: π = 3 (F) 
p∨q= Camões escreveu Os Lusíadas ou π = 3 (V) 
 
p: Roma é a capital da Rússia (F) 
q: 5/7 é uma fração própria (V) 
p∨q= Roma é capital d Rússia ou 5/7 é uma fração própria (V) 
 
p:Lula é governador do Paraná (F) 
q: (-2)2= - 4 (F) 
p∨q = Lula é governador do Paraná ou (-2)2 = 4 (F) 
	
Disjunção Exclusiva (∨) 
Chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a 
proposição representada simbolicamente por p V q, que se lê: 
"ou p ou q" ou "p ou q, mas não ambos", cujo valor lógico 
é a verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é 
verdadeira, mas não quando p e q são verdadeiras 
simultaneamente, e a falsidade (F) quando p e q são 
simultaneamente falsas. 
Disjunção Inclusiva ou Disjunção Exclusiva 
P: Carlos é médico ou professor. 
Q: Mário é alagoano ou paranaense. 
Observe: 
Na proposição P, pelo menos uma das proposições: “Carlos é 
médico” ou “Carlos é professor” é verdadeira, podendo ser as 
duas verdadeiras. 
 
 
Já na proposição Q, somente uma delas será verdadeira, 
“Mario é alagoano” ou “Mário é paranaense”. 
 
Dizemos que a proposição P é inclusiva, enquanto que a 
proposição Q é exclusiva. 
Simbolicamente: p∨q 
p q p ∨q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
Condicional (→) 
Chama-se condicional uma proposição representada por “se p 
então q”, cujo valor lógico é a falsidade (F), no caso em que p 
é verdadeira e q é falsa, e a verdade(V) nos demais casos. 
 
 
 
Bicondicional (↔) 
Chama-se bicondicional uma proposição representada 
por “p se e somente se q”, cujo valor lógico é a verdade 
(V) quando p e q são ambas verdadeiras ou falsas, e a 
falsidade (F) nos demais casos. 
Lê-se: 
(i) p é condição necessária e suficiente para q 
(ii) q é condição necessária e suficiente para p 
Simbolicamente: p↔q 
p q p ↔q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
Exemplos 
p: Roma fica na Europa (V) 
q: A neve é branca (V) 
p↔q = Roma fica na Europa se e somente se a neve é branca 
(V) 
 
p: Lisboa é capital de Portugal (V) 
q: π = 3 (F) 
p↔q= Lisboa é capital de Portugal se e somente se π = 3 (F) 
Exemplos 
p: Vasco da Gama descobriu o Brasil (F) 
q: Tiradentes foi enforcado (V) 
p↔q = Vasco da Gama descobriu o Brasil se e somente se 
Tiradentes foi enforcado (F) 
 
p: A terra é plana (F) 
q: o canário é um mamífero (F) 
p↔q = A terra é plana se e somente se o Canário é um 
mamífero (V)