Notas de Matemática Básica

Prévia do material em texto

Notas de Matema´tica Ba´sica
Jorge Delgado Sebastia˜o Firmo Pedro No´brega
Depto. de Matema´tica Aplicada
Instituto de Matema´tica - UFF
PROIN-CAPES 1998
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega ii Instituto de Matema´tica - UFF
Conteu´do
1 Conjuntos 1
2 Os Inteiros 19
3 Os Racionais e os Irracionais 69
0
Capı´tulo 1
Conjuntos
1.1 Introduc¸a˜o
As teorias estudadas emmatema´tica sa˜o construı´das sempre partindo de alguns fatos con-
siderados ba´sicos. Tais fatos sa˜o chamados axiomas. Os axiomas junto com as definic¸o˜es dos
conceitos que a teoria pretende estudar da˜o lugar, apo´s raciocı´nios lo´gicos, a resultados cha-
mados proposic¸o˜es. A sequ¨eˆncia de concluso˜es lo´gicas utilizadas para chegar a um resultado
determinado partindo das definic¸o˜es, axiomas e outros resultados, e´ chamada demonstrac¸a˜o.
A palavra teorema e´ reservada a proposic¸o˜es de cara´ter relevante na teoria em questa˜o, da
mesma maneira, um lema e´ uma proposic¸a˜o que sera´ usada como ferramenta fundamental para
provar outras proposic¸o˜es. Os corola´rios sa˜o proposic¸o˜es que se obteˆm como consequ¨eˆncia di-
reta de proposic¸o˜es e teoremas importantes.
Todo lema, proposic¸a˜o, teorema e corola´rio, tem um enunciado. Todo enunciado se divide
em duas partes, as hipo´teses e as teses. A demonstrac¸a˜o do resultado (seja um lema, uma
proposic¸a˜o, um teorema ou um corola´rio) pode ser descrita da seguinte maneira: usar os axio-
mas, definic¸o˜es e resultados pre´vios da teoria para chegar a`s teses partindo das hipo´teses por
meio de um raciocı´nio lo´gico. Isto se resume dizendo que a hipo´tese implica a tese e escreve-se
Hipo´tese =⇒ Tese
O sı´mbolo =⇒ significa que partindo da parte da esquerda (Hipo´tese) e usando um ra-
ciocı´nio lo´gico baseado nos axiomas, definic¸o˜es e resultados anteriores da teoria, se obte´m
como consequ¨eˆncia o lado direito (Tese).
Por exemplo consideremos o seguinte enunciado:
1
Conjuntos 1.2 Conjuntos
Teorema. (Pita´goras) Seja T um triaˆngulo retaˆngulo cujos catetos medem a e b respectivamente
e cuja hipotenusa mede c. Enta˜o a2 + b2 = c2.
A hipo´tese diz que a, b e c sa˜o respectivamente os catetos e a hipotenusa de um triaˆngulo
retaˆngulo T , e a tese diz que a2 + b2 = c2. Mais tarde no texto veremos uma demonstrac¸a˜o do
teorema de Pita´goras.
Devemos observar tambe´m a validade das hipo´teses dos nossos resultados, assim como a
veracidade de cada um dos passos lo´gicos nas demonstrac¸o˜es. Veja por exemplo a passagem
de B. Russell citada nas primeiras pa´ginas desta apostila, na qual uma hipo´tese falsa da´ origem
a concluso˜es absurdas.
Em matema´tica e´ frequ¨ente o uso de quantificadores. Estes sa˜o apenas um simbolismo
que nos permite descrever a abrangeˆncia de fatos ou propriedades sobre uma determinada
colec¸a˜o de objetos. Temos dois tipos de quantificadores: o quantificador de existeˆncia, escrito
simbolicamente ∃ (leia-se “existe...” ou “existem...”), e o quantificador de universalidade, escrito
∀ (leia-se “para todo...”). O quantificador de existeˆncia e´ algumas vezes usado com o ponto de
exclamac¸a˜o ∃ ! para indicar que certo objeto existe e e´ o u´nico que possui as propriedades que
o determinam.
1.2 Conjuntos
Neste capı´tulo introduziremos algumas noc¸o˜es ba´sicas da teoria de conjuntos. Na˜o apre-
sentaremos uma exposic¸a˜o axioma´tica e rigorosa da teoria, mas sim uma exposic¸a˜o intuitiva e
simples, incluindo apenas o material e a terminologia que usaremos mais adiante.
Para no´s um conjunto sera´ qualquer colec¸a˜o dada de objetos.
Embora esta “definic¸a˜o” do termo “conjunto” seja intuitivamente clara, ela na˜o e´ formal-
mente correta, pois a palavra “colec¸a˜o” e´ ainda indefinida. Na verdade, a noc¸a˜o de conjunto em
matema´tica e´ uma noc¸a˜o indefinida (da mesma maneira que a noc¸a˜o de ponto na Geometria
Euclidiana) e e´ necessa´ria uma lista de axiomas para trabalhar com conjuntos e suas propri-
edades. Na pra´tica, uma introduc¸a˜o heurı´stica, como a que apresentamos a continuac¸a˜o, e´
suficiente.
Os conjuntos sera˜o designados (salvo menc¸a˜o explı´cita) por letras maiu´sculas, deixando
as minu´sculas para designar objetos dos conjuntos. Se a e´ um objeto do conjunto A, dizemos
que a pertence a A, ou que a e´ elemento do conjunto A e escrevemos a ∈ A. Se a e´ um objeto
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 2 Instituto de Matema´tica - UFF
Conjuntos 1.2 Conjuntos
que na˜o pertence ao conjunto A escrevemos a /∈ A e dizemos que a na˜o e´ um elemento do
conjunto A. Se a, b ∈ A, a notac¸a˜o a = b significa que a e b sa˜o o mesmo elemento de A.
Os conjuntos podem ser descritos de duas maneiras:
A. Escrevendo numa lista os seus elementos, e englobando tal lista entre chaves {. . .}. Por
exemplo,
A = {azul, verde, vermelho, laranja, mac¸a˜},
B = {banana, morango, mac¸a˜, azul}.
Quando representamos um conjunto por extensa˜o mediante uma lista, as repetic¸o˜es e a
ordem na qual aparecem os elementos na lista sa˜o irrelevantes. Por exemplo, o conjunto A
acima e´ tambe´m representado como
A = {azul,verde, vermelho, laranja, azul, mac¸a˜, verde},
ou ainda
A = {vermelho,laranja azul, mac¸a˜, verde}.
B. Por meio de uma propriedade que caracteriza dos elementos do conjunto. Por exemplo
C e´ o conjunto que consiste dos nomes das cores do arco-ı´ris,
D e´ o conjunto dos nomes das frutas tropicais.
Se P e´ uma propriedade sobre objetos, dizemos que o objeto x satisfaz a propriedade P
e escrevemos P(x) se a propriedade P e´ verdadeira para x.
Designamos por {x ; P(x)} o conjunto formado pelos objetos x para os quais P(x).
Por exemplo, segundo os exemplos acima,
C = {x ; x e´ o nome de uma cor do arco-ı´ris}
D = {x ; x e´ o nome de uma fruta tropical}.
A caracterizac¸a˜o (b) e´ principalmente u´til quando o conjunto tem tantos elementos que
seria praticamente impossı´vel coloca´-los numa lista. Consideremos por exemplo:
E = {x ; x e´ o nome de um assinante do cata´logo telefoˆnico do Rio de Janeiro},
ou pior ainda,
F = {x ; x e´ o nome de um assinante de algum cata´logo telefoˆnico de alguma cidade do mundo}.
Quando todo elemento de um conjunto A e´ tambe´m elemento de um conjunto B, dizemos
que A e´ um subconjunto de B, ou que A esta´ contido em B e escrevemos A ⊂ B. As vezes di-
zemos tambe´m que B conte´m A e escrevemos B ⊃ A. Se A na˜o esta´ contido em B escrevemos
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 3 Instituto de Matema´tica - UFF
Conjuntos 1.2 Conjuntos
A 6⊂ B. Dizemos tambe´m que A na˜o e´ subconjunto de B ou que B na˜o conte´m A e escrevemos
B 6⊃ A.
Nos nossos exemplos vemos que,
A = {azul, verde, vermelho, laranja, mac¸a˜} 6⊂ B = {banana, morango, mac¸a˜, azul},
e nos conjuntos dos assinantes dos cata´logos telefoˆnicos E ⊂ F.
Dizemos que dois conjuntos sa˜o iguais quando conteˆm exatamente os mesmos elementos.
Neste caso escrevemos A = B. Quando os conjuntos A e B na˜o sa˜o iguais escrevemos A 6= B.
Quando A ⊂ B mas A 6= B dizemos que A e´ um subconjunto pro´prio de B.
A partir das definic¸o˜es acima podemos inferir que
i. Qualquer que seja o conjunto A vale A ⊂ A.
ii. Se A ⊂ B e B ⊂ C, enta˜o A ⊂ C.
iii. Se A e B sa˜o conjuntos, (A = B ) ⇐⇒ (A ⊂ B e B ⊂ A ).
Vamos explicar o significado do sı´mbolo ⇐⇒, se p e q sa˜o proposic¸o˜es ou afirmativas.
Escrever p ⇐⇒ q significa que, tomando como hipo´tese p podemos obter como consequ¨eˆncia
lo´gica q (isto e´ “p implica q”, que se escreve p =⇒ q) e similarmente, tomando como hipo´tese
q podemos obter como consequ¨eˆncia lo´gica p (isto e´ q implica p, que se escreve q =⇒ p).
Resumindo, p⇐⇒ q equivale a`s duas afirmativas simultaˆneas p =⇒ q e q =⇒ p.
Dado um conjunto A podemos considerar o conjunto {x ; x ∈ A e x 6= x}. Tal conjunto e´
chamado o subconjunto vazio de A e se designa por∅A. E´ claro da definic¸a˜o que ∅A ⊂ A.
Vamos apresentar agora a nossa primeira proposic¸a˜o. A sua demonstrac¸a˜o sera´ feita pelo
me´todo do absurdo. Tal me´todo consiste em negar a tese e apo´s uma sequ¨eˆncia de concluso˜es
lo´gicas, obter uma afirmativa que seja claramente falsa ou que entre em contradic¸a˜o com as
nossas premissas ou conhecimentos anteriores.
Proposic¸a˜o 1.2.1. Se A e B sa˜o conjuntos quaisquer, enta˜o ∅A = ∅B.
Demonstrac¸a˜o. Procedendo pelo absurdo, vamos supor que A e B sejam conjuntos tais que
∅A 6= ∅B.
Segundo o item iii. acima, ∅A 6= ∅B significa que ∅A 6⊂ ∅B ou que ∅B 6⊂ ∅A.
Caso ∅A 6⊂ ∅B, devera´ existir um elemento x ∈ ∅A tal que x /∈ ∅B.
Pela definic¸a˜o de ∅A vemos que x sera´ um elemento de A tal que x 6= x, “o qual e´ absurdo,
pois qualquer objeto e´ igual a se pro´prio”.
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 4 Instituto de Matema´tica - UFF
Conjuntos 1.3 Operac¸o˜es com Conjuntos
Caso seja ∅B 6⊂ ∅A se procede da mesma maneira.
O absurdo indica enta˜o que a nossa hipo´tese de existirem conjuntos A e B tais que ∅A 6=
∅B e´ errada. A conclusa˜o disto e´ a veracidade da proposic¸a˜o. C.Q.D.
O quadrado que temos colocado no extremo direito da u´ltima linha acima indica que a
demonstrac¸a˜o esta´ terminada. Alguns autores escrevem as letras CQD que significam “Como
Queria-se Demonstrar” para indicar o fim de uma demonstrac¸a˜o.
Como consequ¨eˆncia da proposic¸a˜o anterior obtemos o seguinte resultado.
Corola´rio 1.2.2. Existe um u´nico conjunto ∅, chamado o conjunto vazio, que na˜o conteˆm
elementos e esta´ contido em qualquer conjunto.
Demonstrac¸a˜o. Para provar este resultado simplesmente consideramos um conjunto qualquer
A e definimos ∅ = ∅A. Pela definic¸a˜o de ∅A obtemos que ∅ na˜o conte´m elementos, pela
proposic¸a˜o, ∅ = ∅B ⊂ B qualquer que seja o conjunto B. Isto prova que o conjunto ∅ existe.
Agora provaremos que ele e´ u´nico. Seja ∅ ′ um conjunto com as mesmas propriedades de
∅. Pela proposic¸a˜o anterior, ∅ = ∅∅ ′ ⊂ ∅ ′. Como ∅ ′ possui as mesmas propriedades de ∅,
temos que ∅ ′ ⊂ ∅. Logo ∅ ′ = ∅, e portanto o conjunto ∅ existe e e´ u´nico. C.Q.D.
O corola´rio acima e´ um exemplo de um resultado de “Existeˆncia” e “Unicidade”. Ele diz
que sob certas hipo´teses, certos objetos “existem” e sa˜o “u´nicos”. A demonstrac¸a˜o deste tipo
de resultados divide-se em duas partes: provar a existeˆncia do objeto e depois demonstrar que
ele e´ u´nico. Existem va´rios procedimentos para provar a existeˆncia de um certo objeto, um deles
e´ construir ou exemplificar um objeto com as propriedades requeridas. A demonstrac¸a˜o da parte
da unicidade pode ser feita, por exemplo, das seguintes maneiras
(a) Mostrando que qualquer objeto com as mesmas propriedades do nosso tera´ ne-
cessariamente que ser igual ao nosso (como foi feito na demonstrac¸a˜o acima).
(b) Pelo absurdo, isto e´, supo˜e-se a existeˆncia de outro objeto (“outro” significa dis-
tinto) com as mesmas propriedades do objeto em questa˜o e chega-se a um absurdo.
1.3 Operac¸o˜es com Conjuntos
Nesta parte vamos introduzir as leis ba´sicas de formac¸a˜o e operac¸a˜o com conjuntos.
Definic¸a˜o. Dados dois conjuntos A e B, definimos a unia˜o A ∪ B e a intersec¸a˜o A ∩ B de
A e B da seguinte maneira:
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 5 Instituto de Matema´tica - UFF
Conjuntos 1.3 Operac¸o˜es com Conjuntos
A ∪ B = {x ; x ∈ A ou x ∈ B} e A ∩ B = {x ; x ∈ A e x ∈ B}.
Dito em palavras, A ∪ B e´ o conjunto cujos elementos pertencem ao conjunto A ou ao
conjunto B. O conjunto A ∩ B e´ o conjunto cujos elementos pertencem ao conjunto A e ao
conjunto B simultaneamente.
Na figura abaixo vemos dois conjuntos A e B, a sua unia˜o A ∪ B e a sua intersec¸a˜o A ∩ B
respectivamente.
Fig. 1 (a). Representac¸a˜o de A ∪ B. Fig. 1 (b). Representac¸a˜o de A ∩ B.
Por exemplo, se A e B sa˜o os conjuntos dos exemplos da sec¸a˜o anterior, tem-se
A ∪ B = {azul, verde, vermelho, laranja, mac¸a˜, banana, morango},
A ∩ B = {azul, mac¸a˜}.
Observe que os elementos repetidos foram eliminados.
Da definic¸a˜o acima vemos que A e B possuem elementos em comum se, e somente se,
A ∩ B 6= ∅.
Dois conjuntos A e B sa˜o chamados disjuntos se A∩B = ∅, isto e´, se A e B na˜o possuem
elementos em comum.
Outro fato evidente da definic¸a˜o e´ que, qualquer que seja o conjuntoA valem as igualdades
A = A ∪∅ ∅ = A ∩∅.
Tambe´m da definic¸a˜o obte´m-se diretamente a seguinte proposic¸a˜o:
Proposic¸a˜o 1.3.1. Sejam A, B, C, D conjuntos quaisquer. Enta˜o
(a) A ∩ B ⊂ A ⊂ A ∪ B.
(b) Se A ⊂ C e B ⊂ D, enta˜o A ∪ B ⊂ C ∪D e A ∩ B ⊂ C ∩D.
Demonstrac¸a˜o. Exercı´cio.
As propriedades formais das operac¸o˜es de unia˜o (∪) e intersec¸a˜o (∩) sa˜o colocadas no
seguinte resultado:
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 6 Instituto de Matema´tica - UFF
Conjuntos 1.3 Operac¸o˜es com Conjuntos
Teorema 1.3.2. Para quaisquer conjuntos A, B, C, valem as seguintes propriedades:
(1) Idempoteˆncia: A ∪A = A = A ∩A.
(2) Associatividade: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C e A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
(3) Comutatividade: A ∪ B = B ∪A e A ∩ B = B ∩A.
(4) Distributividade: A∩ (B∪C) = (A∩B)∪ (A∩C) e A∪ (B∩C) = (A∪B)∩ (A∪C).
Demonstrac¸a˜o. Na˜o e´ difı´cil provar (1)-(3), exercı´cio. Vamos provar apenas a primeira das
fo´rmulas de distributividade.
Lembramos que dois conjuntos sa˜o iguais se, e somente se, um esta´ contido no outro.
Portanto, provar a fo´rmula em questa˜o equivale a provar que o conjunto do lado esquerdo esta´
contido no conjunto do lado direito e que este, por sua vez, esta´ contido no primeiro:
Prova da inclusa˜o A ∩ (B ∪ C) ⊂ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C):
x ∈ A ∩ (B ∪ C) =⇒ (x ∈ A) e (x ∈ B ∪ C)
=⇒ (x ∈ A) e [(x ∈ B) ou (x ∈ C)]
=⇒ [(x ∈ A) e (x ∈ B)] ou [(x ∈ A) e (x ∈ C)]
=⇒ [(x ∈ A ∩ B) ou (x ∈ A ∩ C)]
=⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Prova da inclusa˜o A ∩ (B ∪ C) ⊃ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C):
As implicac¸o˜es =⇒ da prova da inclusa˜o anterior podem ser invertidas a ⇐= (verifique!).
Leia enta˜o a prova de baixo para cima. C.Q.D.
O seguinte resultado relaciona os sı´mbolos ⊂, ∪ e ∩.
Proposic¸a˜o 1.3.3. Sejam A e B conjuntos quaisquer. As seguintes afirmativas sa˜o equivalen-
tes:
(1) A ⊂ B.
(2) A = A ∩ B.
(3) B = A ∪ B.
Demonstrac¸a˜o. Primeiramente vejamos o significado do enunciado: Dizer que duas proposic¸o˜es
p e q sa˜o equivalentes significa que p⇐⇒ q, isto e´, p =⇒ q e q =⇒ p. Temos que provar, enta˜o,
que (1)⇐⇒ (2), (1)⇐⇒ (3) e (2)⇐⇒ (3). Basta provar (1)⇐⇒ (2) e (1)⇐⇒ (3).
Prova de (1) ⇐⇒ (2): Suponhamos que (1) e´ verdadeira. Enta˜o A = A ∩ A ⊂ A ∩ B ⊂ A,
isto e´, A = A ∩ B provando assim (2). Se (2) e´ verdadeira, A = A ∩ B ⊂ B, provando (1).
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 7 Instituto de Matema´tica - UFF
Conjuntos 1.3 Operac¸o˜es com Conjuntos
Prova de (1) ⇐⇒ (3): Se (1) e´ verdadeira, B = B ∪ B ⊃ A ∪ B ⊃ B, isto e´, B = A ∪ B. Se
(3) e´ verdadeira, B = A ∪ B ⊃ A, provando (1). C.Q.D.
Embora as operac¸o˜es ∩ e ∪ foram definidas para dois conjuntos, podemos generalizar e
reescrever a definic¸a˜o para mais de dois conjuntos, mesmo para famı´lias de conjuntos:
Definic¸a˜o. Seja Λ um conjunto na˜o vazio. Se a cada elemento λ ∈ Λ corresponde um conjunto
Aλ, dizemos que a colec¸a˜o F = {Aλ ; λ ∈ Λ} (que tambe´m se designa por F = {Aλ}λ∈Λ) e´ uma
famı´lia de conjuntos indexada por Λ. O conjunto Λ e´ chamado o conjunto de ı´ndices da famı´lia.
Observamos que qualquer conjunto na˜o vazio A pode servir como conjunto de ı´ndices de
uma famı´lia de conjuntos. Com efeito, para cada a ∈ A seja Aa = {a} e consideremos a famı´lia
F = {Aa}a∈A. Tambe´m todo conjunto F , cujos elementos sa˜o conjuntos, pode ser considerado
como uma famı´lia de conjuntos indexada por F (i.e. auto-indexada). De fato, F = {AF}F∈F , onde
AF = F para todo F ∈ F .
Definic¸a˜o. Seja X um conjunto dado e F = {Aλ}λ∈Λ uma famı´lia de subconjuntos de X.Se
define a unia˜o e a intersec¸a˜o da famı´lia F como⋃
λ∈Λ
Aλ = {x ∈ X ; ∃ λ ∈ Λ tal que x ∈ Aλ} e
⋂
λ∈Λ
Aλ = {x ∈ X ; x ∈ Aλ ∀λ ∈ Λ}
Por exemplo, se X e´ um conjunto qualquer, e para cada x ∈ X escrevemos Ax = {x}
podemos considerar a famı´lia {Ax}x∈X indexada por X. Resulta que
⋃
x∈X
Ax = X e
⋂
x∈X
Ax = ∅.
Observando com cuidado, podemos ver que a unia˜o e a intersec¸a˜o de uma famı´lia inde-
pende da maneira como esta´ indexada. Isto e´, se Λ = Γ e F = {Aλ}λ∈Λ e´ uma famı´lia indexada
por Λ, enta˜o ⋃
λ∈Λ
Aλ =
⋃
γ∈Γ
Aγ e
⋂
λ∈Λ
Aλ =
⋂
γ∈Γ
Aγ.
Pode-se provar com um pouco de esforc¸o, que a unia˜o de famı´lias distribui sobre a intersec¸a˜o e
que a intersec¸a˜o de famı´lias distribui sobre a unia˜o. Para enunciar este fato usaremos a noc¸a˜o
de produto cartesiano que introduziremos em breve.
Definimos a seguir uma outra operac¸a˜o entre conjuntos
Definic¸a˜o. Sejam A e B conjuntos. Definimos o conjunto diferenc¸a A − B como sendo o
conjunto que consiste dos elementos de A que na˜o sa˜o elementos de B, i.e.
A− B = {x ; x ∈ A e x /∈ B}.
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 8 Instituto de Matema´tica - UFF
Conjuntos 1.3 Operac¸o˜es com Conjuntos
E´ importante observar que, se A e B sa˜o conjuntos, A−B e B−A sa˜o, em geral, conjuntos
diferentes. Tambe´m e´ claro que A− B ⊂ A.
Fig. 2 (a). Representac¸a˜o de A − B. Fig. 2 (b). Representac¸a˜o de B −A.
Por exemplo, se A e B sa˜o os conjuntos dos exemplos anteriores, enta˜o
A− B = {verde, vermelho, laranja} e B−A = {banana, morango}.
Definic¸a˜o. Se A, X sa˜o conjuntos e A ⊂ X, o complementar de A com respeito a X e´ o
conjunto {XA = X−A.
Por exemplo, se A = {azul, verde, vermelho, laranja, mac¸a˜} e´ o conjunto dos nossos exem-
plos anteriores e B = {azul, verde, vermelho}, enta˜o {AB = {laranja, mac¸a˜}.
A figura abaixo e´ uma representac¸a˜o da noc¸a˜o de complementar.
Fig.3. O complementar de A em relac¸a˜o a X.
Proposic¸a˜o 1.3.4. Sejam A, B e C conjuntos quaisquer e X um conjunto que conte´m A ∪ B.
Enta˜o
i. A−∅ = A e A−A = ∅.
ii. B ⊂ C =⇒ A− C ⊂ A− B.
iii. A− B = A− (A ∩ B).
iv. A− B = A ∩ {XB.
Demonstrac¸a˜o. Prova de i. Ja´ que ∅ na˜o conte´m elementos,
A−∅ = {x ; x ∈ A e x /∈ ∅} = {x ; x ∈ A} = A.
E observando que nenhum objeto x pode ser tal que x ∈ A e x /∈ A, obtemos que A−A = ∅.
Prova de ii. Observe que,
B ⊂ C⇐⇒ (x ∈ B =⇒ x ∈ C)⇐⇒ (x /∈ C =⇒ x /∈ B).
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 9 Instituto de Matema´tica - UFF
Conjuntos 1.3 Operac¸o˜es com Conjuntos
Portanto
(x ∈ A− C) =⇒ (x ∈ A e x /∈ C) =⇒ (x ∈ A e x /∈ B) =⇒ x ∈ (A− B),
isto e´, todo elemento de A− C e´ tambe´m elemento de A− B. Logo A− C ⊂ A− C.
Prova de iii. A inclusa˜o A − B ⊂ A − (A ∩ B) e´ consequ¨eˆncia de ii., pois A ∩ B ⊂ B. Para
a outra inclusa˜o observamos que
(x ∈ A− (A ∩ B)) =⇒ (x ∈ A e x /∈ A ∩ B) =⇒ (x ∈ A e (x /∈ A ou x /∈ B)) =⇒
((x ∈ A e x /∈ A) ou (x ∈ A e x /∈ B)) =⇒ ((x ∈ A−A) ou (x ∈ A− B)).
Como, por i., A−A = ∅, obtemos
((x ∈ A−A) ou (x ∈ A− B)) =⇒ (x ∈ A− B),
e portanto A − (A ∩ B) ⊂ A − B. Observe que as implicac¸o˜es =⇒ do argumento podem ser
invertidas a⇐=, isto e´, substituı´das por⇐⇒ para provar as duas incluso˜es simultaneamente.
Prova de iv. Ja´ que A ∪ B ⊂ X, isto e´, (x ∈ A ∪ B) =⇒ x ∈ X, obtemos
A− B = {x ; x ∈ A e x /∈ B} = {x ∈ X ; x ∈ A e x /∈ B}
= {x ∈ X ; x ∈ A} ∩ {x ∈ X ; x /∈ B} = {x ; x ∈ A} ∩ {x ; x ∈ X e x /∈ B}
= A ∩ (X− B) = A ∩ {XB. C.Q.D.
As propriedades ba´sicas do complementar sa˜o dadas no seguinte resultado:
Proposic¸a˜o 1.3.5. Sejam A e B conjuntos e X um conjunto que conte´m A ∪ B. Enta˜o:
(a) A ∩ {XA = ∅, e A ∪ {XA = X.
(b) {X({XA) = A.
(c) {X∅ = X, e {XX = ∅.
(d) A ⊂ B⇐⇒ {XB ⊂ {XA
(e) (Leis de De Morgan) As relac¸o˜es entre as operac¸o˜es ∪ e ∩ com {X sa˜o:
{X(A ∪ B) = ({XA) ∩ ({XB) e {X(A ∩ B) = ({XA) ∪ ({XB).
Demonstrac¸a˜o. Os itens (a)-(d) sa˜o simples e os deixaremos como exercı´cio para o leitor.
Provemos a primeira das leis de De Morgan:
x ∈ {X(A ∪ B) ⇐⇒ (x ∈ X e x /∈ A ∪ B)⇐⇒ (x ∈ Xe ((x /∈ A) e (x /∈ B)))
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 10 Instituto de Matema´tica - UFF
Conjuntos 1.3 Operac¸o˜es com Conjuntos
⇐⇒ (x ∈ X e x /∈ A) e (x ∈ X e x /∈ B)⇐⇒ (x ∈ {XA) e (x ∈ {XB)⇐⇒ x ∈ ({XA) ∩ ({XB).
A segunda das fo´rmulas de De Morgan pode ser provada de maneira similar, mas tambe´m
pode ser obtida da primeira com ajuda do item (b). De fato, como
{X({XA ∪ {XB) = {X({XA) ∩ {X({XB) = A ∩ B,
temos que {XA ∪ {XB = {X({X({XA ∪ {XB)) = {X(A ∩ B). C.Q.D.
As leis de De Morgan podem ser generalizadas, sem dificuldade, a unio˜es e intersecc¸o˜es
de famı´lias de conjuntos da seguinte maneira: Se F = {Aλ}λ∈Λ e´ uma famı´lia de subconjuntos
de um conjunto X, enta˜o
{X
( ⋃
λ∈Λ
Aλ
)
=
⋂
λ∈Λ
({XAλ), e {X
( ⋂
λ∈Λ
Aλ
)
=
⋃
λ∈Λ
({XAλ).
Vamos introduzir outra operac¸a˜o entre conjuntos, o produto cartesiano. O resultado desta
nova operac¸a˜o sera´ um conjunto de natureza diferente da natureza dos conjuntos envolvidos.
Na definic¸a˜o a seguir, a noc¸a˜o de par ordenado desempenha papel fundamental. Se a e b
sa˜o dois objetos quaisquer (na˜o necessariamente pertencentes ao mesmo conjunto), podemos
considerar o objeto (a, b) no qual os elementos a e b sera˜o denominados a primeira coordenada
e a segunda coordenada do par (a, b), respectivamente.
Dizemos que os pares ordenados (a, b) e (c, d) sa˜o iguais e escrevemos (a, b) = (c, d) se,
e somente se, a = c e b = d, isto e´, dois pares ordenados sa˜o iguais se, e somente se, as suas
coordenadas correspondentes sa˜o iguais.
Observemos enta˜o que, se (a, b) e´ um par ordenado, enta˜o
(a, b) = (b, a) se, e somente se, a = b.
Definic¸a˜o. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Designamos por A × B o conjunto cujos
elementos sa˜o todos os possı´veis pares ordenados (a, b) onde a ∈ A e b ∈ B. Isto e´,
A× B = {(a, b) ; a ∈ A e b ∈ B}.
Na Fig.4. mostramos uma representac¸a˜o gra´fica do produto cartesiano, na qual o conjunto
A consiste de treˆs “segmentos” horizontais de pontos (os elementos de A sa˜o os pontos dos
segmentos) e B consiste de um “segmento” vertical de pontos. O produto cartesiano destes dois
conjuntos e´ formado pelos pontos das faixas retangulares indicadas.
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 11 Instituto de Matema´tica - UFF
Conjuntos 1.3 Operac¸o˜es com Conjuntos
Fig.4. O produto cartesiano representado graficamente
Por exemplo, sejam A = {a, b, c} e B = {?, •}. Enta˜o
A× B = {(a, ?), (a, •), (b, ?), (b, •), (c, ?), (c, •)}.
Observe por exemplo, que os pares ordenados (?, a), (a, a), (•, ?) na˜o pertencem a A×B.
De maneira similar podemos definir o produto cartesiano de treˆs ou mais conjuntos. Se A,
B, e C sa˜o conjuntos, definimos A×B×C como sendo o conjunto (A×B)×C e similarmente, se
A1, A2, . . . , An sa˜o conjuntos, definimos A1 ×A2 × . . .×An como sendo o conjunto (A1 ×A2 ×
. . .×An−1)×An. Os elementos de A1×A2× . . .×An sa˜o as n-u´plas ordenadas (a1, a2, . . . , an)
onde a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, . . . , an ∈ An, e duas n-u´plas (a1, a2, . . . , an) e (b1, b2, . . . , bn) de A1 ×
A2 × . . . × An sa˜o consideradas iguais se, e so´ se, a1 = b1, a2 = b2, . . . , an = bn. Todas as
propriedades que estudaremos sobre o produto cartesiano de dois conjuntos continuam va´lidas
para o produto cartesiano de mais de 2 conjuntos.
A seguinte proposic¸a˜o descreve duas propriedades ba´sicas do produto cartesiano.
Proposic¸a˜o 1.3.6. Sejam A, B, C, D conjuntos. Enta˜o:
(a) A× B = ∅⇐⇒ (A = ∅) ou (B = ∅).
(b) Se C×D 6= ∅, tem-se: (C×D ⊂ A× B)⇐⇒ ( (C ⊂ A) e (D ⊂ B) ).
Demonstrac¸a˜o.
(a) A propriedade do enunciado (a) equivale1 a
(A× B 6= ∅)⇐⇒ (A 6= ∅) e (B 6= ∅).
Se A × B 6= ∅, existe (a, b) ∈ A × B, e pela definic¸a˜o de A × B, a ∈ A e b ∈ B. Logo A 6= ∅ e
B 6= ∅.
1Se p e q sa˜o proposic¸o˜es lo´gicas, a proposic¸a˜o (p ⇐⇒ q) ⇐⇒ (qp⇐⇒qq) e´ sempre verdadeira independen-
temente dos valores lo´gicos de p e q, onde qp e qq sa˜o as negativas de p e q respectivamente.
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 12 Instituto de Matema´tica - UFF
Conjuntos 1.3 Operac¸o˜es com Conjuntos
Reciprocamente, se A 6= ∅ e B 6= ∅, existem elementos a ∈ A e b ∈ B. Portanto o par
ordenado (a, b) pertence ao produto A× B, i.e., A× B 6= ∅.
(b) Suponhamos primeiro que C×D ⊂ A× B. Como, por hipo´tese, C×D 6= ∅, pelo item
(a), C 6= ∅ e D 6= ∅. Seja d0 ∈ D um elemento fixo. Pela definic¸a˜o do produto cartesiano temos
c ∈ C =⇒ (c, d0) ∈ C×D ⊂ A× B =⇒ (c, d0) ∈ A× B =⇒ c ∈ A,
logo C ⊂ A. Similarmente verifica-se que D ⊂ B (exercı´cio).
Reciprocamente, para todo (c, d) ∈ C×D, tem-se c ∈ C e d ∈ D, e por hipo´tese, c ∈ A e
d ∈ B. Logo (c, d) ∈ A× B, provando que C×D ⊂ A× B. C.Q.D.
No item (b) da proposic¸a˜o acima, e´ importante observar que a hipo´tese C × D 6= ∅ e´
fundamental. Por exemplo, sejam A ⊂ C, A 6= C, B qualquer conjunto na˜o vazio e D = ∅.
Enta˜o C ×D = ∅ ⊂ A × B, mas e´ falso que C ⊂ A. A hipo´tese C ×D 6= ∅ e´ usada apenas na
implicac¸a˜o =⇒.
O u´ltimo resultado desta sec¸a˜o diz que o produto cartesiano verifica a propriedade distri-
butiva sobre as operac¸o˜es ∪, ∩ e −.
Proposic¸a˜o 1.3.7. Se A, B, C sa˜o conjuntos, valem as seguintes fo´rmulas de distributividade:
(a) A× (B ∪ C) = (A× B) ∪ (A× C).
(b) A× (B ∩ C) = (A× B) ∩ (A× C).
(c) A× (B− C) = (A× B) − (A× C).
Demonstrac¸a˜o. Prova de (a): Para todo (a, b) tem-se
(a, b) ∈ A× (B ∪ C) ⇐⇒ (a ∈ A) e (b ∈ B ∪ C)⇐⇒ (a ∈ A) e (b ∈ B ou b ∈ C)⇐⇒ (a ∈ A e b ∈ B) ou (a ∈ A e b ∈ C)⇐⇒ (a, b) ∈ A× B ou (a, b) ∈ A× C⇐⇒ (a, b) ∈ (A× B) ∪ (A× C).
Os itens (b) e (c) podem ser demonstrados de maneira similar. C.Q.D.
Consideremos, de novo, duas famı´lias de conjuntos F = {Aλ}λ∈Λ e G = {Bγ}γ∈Γ . Pode-se
provar, sem dificuldade, que valem as seguintes propriedades distributivas:( ⋃
λ∈Λ
Aλ
) ∩ ( ⋃
γ∈Γ
Bγ
)
=
⋃
(λ,γ)∈Λ×Γ
(Aλ ∩ Bγ), e
( ⋂
λ∈Λ
Aλ
) ∪ ( ⋂
γ∈Γ
Bγ
)
=
⋂
(λ,γ)∈Λ×Γ
(Aλ ∪ Bγ),
Dito em palavras, a intersec¸a˜o (resp. unia˜o) de duas unio˜es (resp. intersecc¸o˜es) de famı´lias e´
igual a` unia˜o (resp. intersec¸a˜o) da famı´lia I = {Aλ ∩ Bγ}(λ,γ)∈Λ×Γ (resp. U = {Aλ ∪ Bγ}(λ,γ)∈Λ×Γ )
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 13 Instituto de Matema´tica - UFF
Conjuntos 1.4 O Conjunto Poteˆncia
indexada pelo conjunto Λ × Γ . Mais ainda, ao inve´s de considerar duas famı´lias podemos con-
siderar uma famı´lia de famı´lias e provar propriedades similares, mas este ponto e´ bem mais
delicado e o deixaremos para um curso avanc¸ado.
De maneira similar, podemos demonstrar que as unio˜es e intersecc¸o˜es de famı´lias se
distribuem sobre o produto cartesiano, isto e´, se F e G sa˜o as famı´lias acima, enta˜o( ⋃
λ∈Λ
Aλ
)× ( ⋃
γ∈Γ
Bγ
)
=
⋃
(λ,γ)∈Λ×Γ
(Aλ × Bγ), e
( ⋂
λ∈Λ
Aλ
)× ( ⋂
γ∈Γ
Bγ
)
=
⋂
(λ,γ)∈Λ×Γ
(Aλ × Bγ),
1.4 O Conjunto Poteˆncia
Finalizamos o nosso primeiro capı´tulo com um exemplo muito importante.
Definic¸a˜o. Se A e´ um conjunto qualquer, designamos por P(A) ou 2A o conjunto cujos elemen-
tos sa˜o todos os subconjuntos de A. Tal conjunto e´ chamado o conjunto poteˆncia de A. Isto e´, o
conjunto poteˆncia e´ determinado pela propriedade B ⊂ A⇐⇒ B ∈ P(A).
Resumimos alguns fatos ba´sicos sobre o conjunto poteˆncia de um conjunto dado na se-
guinte proposic¸a˜o:
Proposic¸a˜o 1.4.1. Sejam A, B e X conjuntos quaisquer, tais que A ⊂ X. Enta˜o:
(a) a ∈ A⇐⇒ {a} ∈ P(A).
(b) ∅, A ∈ P(A). Em particular P(A) 6= ∅.
(c) A ⊂ B =⇒ P(A) ⊂ P(B).
(d) P e ∩ comutam, isto e´, P(A ∩ B) = (P(A)) ∩ (P(B)).
(e) P e ∪ NA˜O comutam. Mais exatamente, vale que P(A ∪ B) ⊃ (P(A)) ∪ (P(B))
mas a igualdade nem sempre se verifica.
(f) P(A) ∩ P({XA) = P(∅) = {∅}.
Demonstrac¸a˜o. Os itens (a)-(c) seguem facilmente da definic¸a˜o. O item (f) e´ consequ¨eˆncia
direta de (d) e do fato de que A e {XA sa˜o conjuntos disjuntos.
Prova de (d): Para todo conjunto C tem-se que
C ∈ P(A ∩ B) ⇐⇒ (C ⊂ A ∩ B)⇐⇒ (C ⊂ A e C ⊂ B)⇐⇒ (C ∈ P(A) e C ∈ P(B))⇐⇒ C ∈ P(A) ∩ P(B).
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 14 Instituto de Matema´tica - UFF
Conjuntos Exercı´cios
Prova de (e): Observamos que, como A ⊂ A ∪ B e B ⊂ A ∪ B tem-se, em virtude de (c),
que P(A) ⊂ P(A ∪ B) e P(B) ⊂ P(A ∪ B). Logo,
P(A) ∪ P(B) ⊂ P(A ∪ B).
Para mostrar que a igualdade nem sempre e´ verdadeira basta dar um exemplo (isto e´, um
contra-exemplo para a igualdade da afirmativa):
Consideremos A = {?} e B = {•}, enta˜o P(A) = {∅, A}, P(B) = {∅, B}, e portanto, P(A) ∪
P(B) = {∅, A, B}. Por outro lado, A ∪ B = {?, •} e P(A ∪ B) = {∅, A, B, A ∪ B}. Como
A ∪ B /∈ P(A) ∪ P(B), os conjuntos P(A ∪ B) e P(A)) ∪ (P(B) sa˜o distintos. C.Q.D.
E´ interessante observar aqui que (e) e (f) podem ser generalizados a famı´lias de conjuntos.
Isto e´, se F = {Aλ}λ∈Λ e´ uma famı´lia de conjuntos, enta˜o valem as relac¸o˜es:
⋂
λ∈Λ
P(Aλ) = P
(⋂
λ∈Λ
Aλ
)
e
⋃
λ∈Λ
P(Aλ) ⊂ P
(⋃
λ∈Λ
Aλ
)
.
Exercı´cios
1. Prove que a relac¸a˜o ⊂ e´ uma relac¸a˜o transitiva, i.e., se A, B e C sa˜o conjuntos tais que A ⊂ B
e B ⊂ C, enta˜o A ⊂ C. Prove, dando um contra-exemplo, que a relac¸a˜o ∈ na˜o e´ transitiva.
2. Sejam A, B e C conjuntos. Prove que
(a) Se B ⊂ A, enta˜o B ∪ C ⊂ A ∪ C e B ∩ C ⊂ A ∩ C.
(b) As operac¸o˜es ∩ e ∪ sa˜o comutativas e associativas:
A ∩ B = B ∩A e A ∪ B = B ∪A,
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C e A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
3. Sejam A = {?} e B = {?, •}. Diga se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o falsas ou verdadeiras, e
justifique sua resposta:
(a) A ⊂ B (b) A ∈ B (c) ? ∈ A (d) • ⊂ B
4. Sejam A e B subconjuntos de um conjunto X. Prove que:
(a) A ∩ B = ∅⇐⇒ A ⊂ {XB⇐⇒ B ⊂ {XA.
(b) A ∪ B = X⇐⇒ {XB ⊂ A⇐⇒ {XA ⊂ B.
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 15 Instituto de Matema´tica - UFF
Conjuntos Exercı´cios
5. Sejam A e B conjuntos quaisquer. Prove que:
(a) Os conjuntos (A ∩ B) e (A− B) sa˜o disjuntos e A = (A ∩ B) ∪ (A− B).
(b) Os conjuntos A e B−A sa˜o disjuntos e A ∪ B = A ∪ (B−A).
6. Prove que A ⊂ {A} se, e somente se, A = ∅.
7. Prove as seguintes relac¸o˜es:
(a) (A− C) − (B− C) = (A− B) − C, (b) (A− C) ∪ (B− C) = (A ∪ B) − C,
(c) (A− C) ∩ (B− C) = (A ∩ B) − C, (d) (A− B) − (A− C) = A ∩ (C− B),
(e) (A− B) ∪ (A− C) = A− (B ∩ C), (f) (A− B) ∩ (A− C) = A− (B ∪ C).
8. Sejam A e B conjuntos quaisquer. Prove que existe um u´nico conjunto X que verifica as
igualdades A ∪ X = A ∪ B e A ∩ X = ∅ simultaneamente.
9. Sejam A = {0, 1, 2, {2}, 3} e B = {{1}, 1, 4}.
(a) Determine A ∪ B e A ∩ B.
(b) Diga se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o falsas ou verdadeiras, e justifique sua resposta:
• 2 ∈ A • {2} ∈ A • {2} ⊂ A
• {2, {2}} 6= {{2}, 2} • {2, {2}} ⊂ A • 2 ⊂ A .
10. Dados dois conjuntos A e B sua diferenc¸a sime´trica e´ definida como sendo o conjunto
A∆B = (A− B) ∪ (B−A). Prove que A∆B = (A ∪ B) − (A ∩ B). Interprete a diferenc¸a sime´trica
por meio de um desenho.
11. SejamA e B conjuntos na˜o vazios. Prove que, se (A×B)∪(B×A) = C×C, enta˜oA = B = C.
12. Sejam A,B ⊂ X e C,D ⊂ Y conjuntos. Prove que:
(a) (A× C) ∩ (B×D) = (A ∩ B)× (C ∩D).
(b) (A× C) ∪ (B×D) ⊂ (A ∪ B)× (C ∪D).
(d) (A ∪ B)× (C ∪D) = (A× C) ∪ (B×D) ∪ (A×D) ∪ (B× C).
(e) {X×Y(B×D) = (({XB)× Y) ∪ (X× ({YD)).
(e) Deˆ um contra-exemplo para mostrar que a igualdade em (b) nem sempre e´ verdadeira.
13. Designamos por N o conjunto dos nu´meros naturais N = {0, 1, 2, 3, . . .}. Dizemos que um
conjunto A e´ finito se podemos fazer uma correspondeˆncia entre os elementos de A e os ele-
mentos de um subconjunto de N da forma {1, 2, 3, . . . , n} para algum n ∈ N. Convencionamos
que o conjunto vazio e´ finito. Se A e´ um conjunto finito que se corresponde com o subconjunto
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 16 Instituto de Matema´tica - UFF
Conjuntos Exercı´cios
{1, 2, . . . , n}, dizemos que A possui n elementos. O natural n e´ o cardinalde A e o designamos
por #A. O conjunto vazio tem cardinal 0, isto e´, #∅ = 0. Os conjuntos com cardinal 1 sa˜o
chamados conjuntos unita´rios.
Se A e B sa˜o conjuntos finitos mostre que
#(A ∪ B) = #(A) + #(B) − #(A ∩ B) .
14. Sejam A um conjunto com 10 elementos e B um conjunto com 15 elementos. O que se
pode dizer do cardinal de A ∪ B, A ∩ B e A× B ?
15. Uma pesquisa mostra que 63% do povo americano gosta de queijo enquanto 76% gosta
de mac¸a˜. O que se pode dizer sobre a porcentagem do povo americano que gosta de queijo e
mac¸a˜?
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 17 Instituto de Matema´tica - UFF
Conjuntos Exercı´cios
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 18 Instituto de Matema´tica - UFF
Capı´tulo 2
Os Inteiros
2.1 Notac¸a˜o
Este capı´tulo sera´ dedicado a estudar as propriedades do conjunto Z dos nu´meros inteiros:
Z = {. . . ,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .}.
Dentre os subconjuntos de Z destacamos os seguintes:
• O conjunto dos nu´meros naturais N = {0, 1, 2, 3, . . .}.
• O conjunto dos nu´meros naturais na˜o nulos N∗ = N− {0} = {1, 2, 3, . . .}.
Este conjunto tambe´m e´ chamado o conjunto dos nu´meros inteiros positivos e se designa por
Z+.
• O conjunto dos nu´meros inteiros na˜o nulos Z∗ = Z− {0} = {. . . ,−3,−2,−1, 1, 2, 3, . . .}.
• O conjunto dos nu´meros inteiros negativos Z− = {−1,−2,−3, . . .}.
Do acima estabelecido segue que o conjunto dos inteiros na˜o positivos e´ o conjunto
{ZZ+ = Z− Z+ = {0,−1,−2,−3, . . .}.
Analogamente, o conjunto dos inteiros na˜o negativos e´ o conjunto
{ZZ− = Z− Z− = {0, 1, 2, 3, . . .}.
Dizemos que um nu´mero inteiro a ∈ Z tem sinal positivo, se a e´ positivo, isto e´, a ∈ Z+, e
dizemos que tem sinal negativo, se a e´ negativo, a ∈ Z−.
19
Os Inteiros 2.2 Operac¸o˜es
Dados a, b ∈ Z, dizemos que a e b teˆm o mesmo sinal quando ambos teˆm sinal positivo ou
ambos teˆm sinal negativo, isto e´, ambos pertencem a Z+ ou ambos pertencem a Z−. Diremos
que a e b teˆm sinais contra´rios quando um deles e´ positivo e o outro e´ negativo.
2.2 Operac¸o˜es
No capı´tulo anterior estudamos algumas operac¸o˜es sobre conjuntos. Estas operac¸o˜es nos per-
mitiram construir, a partir de conjuntos dados, um novo conjunto. Nesta sec¸a˜o vamos introduzir
a noc¸a˜o de operac¸a˜o desde um ponto de vista global e depois enfocar a nossa atenc¸a˜o em
operac¸o˜es definidas no conjunto Z dos nu´meros inteiros.
Definic¸a˜o. Seja A um conjunto na˜o vazio. Uma operac¸a˜o sobre A e´ uma lei que a cada par
ordenado de elementos de A faz corresponder um elemento de A. Se ? e´ uma operac¸a˜o em
A e (a, b) ∈ A × A, escrevemos ?(a, b) ou a ? b para designar o elemento de A determinado
ao aplicar a operac¸a˜o ao par ordenado (a, b). Dizemos que a ? b e´ o resultado de aplicar a
operac¸a˜o ? ao par ordenado (a, b) ∈ A×A.
Em sı´mbolos escrevemos
? : A×A −→ A
(a, b) 7−→ a ? b .
Da definic¸a˜o de operac¸a˜o obtemos que: dados a, b ∈ A, se a = a ′ e b = b ′ enta˜o, a?b = a ′?b ′.
Por exemplo, consideremos um conjunto A = {α,β} contendo dois elementos. Definimos uma
operac¸a˜o ? : A×A −→ A mediante a seguinte tabela:
? α β
α α β
β β α
Nesta tabela, escrevemos a primeira coordenada dos pares ordenados
de A × A na coluna embaixo de ?, e a segunda coordenada na fila a`
direita de ?. A primeira fila da tabuada se lee: α ? α = α, α ? β = β, e a
segunda fila β ? α = β e β ? β = α.
Neste exemplo observamos que, quaisquer que sejam x, y ∈ A tem-se x ? y = y ? x. Uma
operac¸a˜o verificando esta propriedade e´ chamada comutativa. Tambe´m, quaisquer que sejam
x, y, z ∈ A, vale x? (y? z) = (x?y)? z (verifique este fato!). Uma operac¸a˜o com esta propriedade
e´ chamada associativa. O elemento α de A tem a propriedade de que α ? x = x ? α = x, isto e´,
α e´ um elemento neutro para a operac¸a˜o ?.
Vejamos outro exemplo. Seja B = {0, 1, 2, 3, 4} e consideremos a operac¸a˜o ? : B × B −→ B
definida pela tabela abaixo:
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 20 Instituto de Matema´tica - UFF
Os Inteiros 2.2 Operac¸o˜es
? 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1
Segundo esta tabela vemos que 1?x = x?1 = x qualquer
que seja x ∈ B, isto e´, 1 e´ um elemento neutro para a
operac¸a˜o ?. Observando com cuidado vemos que a tabu-
ada e´ sime´trica em relac¸a˜o a` diagonal, logo a operac¸a˜o ?
e´ comutativa. Podemos verificar que a operac¸a˜o ? e´ as-
sociativa e que para cada x ∈ B− {0}, existe y ∈ B tal que
x ? y = 1, pois 1 ? 1 = 1, 2 ? 3 = 3 ? 2 = 1 e 4 ? 4 = 1.
Vamos agora enfocar a nossa atenc¸a˜o no conjunto Z dos nu´meros inteiros.
Sobre o conjunto Z dos nu´meros inteiros podemos definir muitas operac¸o˜es. As operac¸o˜es
de soma e de multiplicac¸a˜o, com as quais ja´ estamos familiarizados, sera˜o de fundamental
importaˆncia no resto deste capı´tulo:
+ : Z× Z −→ Z (m,n) 7−→ m+ n (operac¸a˜o de soma ou adic¸a˜o)
· : Z× Z −→ Z (m,n) 7−→ m · n (operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o ou produto)
A multiplicac¸a˜o de dois nu´meros inteiros a e b sera´ tambe´m designada pela justaposic¸a˜o ab,
isto e´, colocando um nu´mero apo´s o outro. Esta terminologia devera´ ser usada com cuidado,
por exemplo: 15 e´ o inteiro quinze e na˜o 1 ·5. Por outro lado, se a ∈ Z, 2a se entende como 2 ·a.
Da noc¸a˜o geral de operac¸a˜o, tem-se a seguinte regra que utilizaremos com frequ¨eˆncia:
Dados a, b, c ∈ Z temos que
• (i) se a = b enta˜o a+ c = b+ c ,
• (ii) se a = b enta˜o a · c = b · c .
Mais tarde voltaremos a falar sobre esta regra, ou mais especificamente, sobre a sua recı´proca
(vide as leis de cancelamento para adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o).
Na pra´tica fazemos uso das operac¸o˜es de soma e multiplicac¸a˜o, junto com uma se´rie de pro-
priedades ou regras de manipulac¸a˜o, que na maioria dos casos aplicamos de maneira quase
automa´tica sem reparar muito nos detalhes.
Com o objetivo de entender com mais detalhe a natureza destas operac¸o˜es e mesmo para en-
tender o por queˆ de alguns erros que se cometem com frequ¨eˆncia na pra´tica, vamos apresentar
tais propriedades e fazer uma ana´lise cuidadosa das consequ¨eˆncias e fatos que delas se obteˆm
.
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 21 Instituto de Matema´tica - UFF
Os Inteiros 2.2 Operac¸o˜es
Propriedades das operac¸o˜es de soma e de multiplicac¸a˜o em Z:
• (1) Comutatividade:
• a+ b = b+ a para todo a, b ∈ Z,
• a · b = b · a para todo a, b ∈ Z.
• (2) Associatividade:
• (a+ b) + c = a+ (b+ c) para todo a, b, c ∈ Z,
• (a · b) · c = a · (b · c) para todo a, b, c ∈ Z.
• (3) Distributividade:
• a · (b+ c) = a · b+ a · c para todo a, b, c ∈ Z,
• (a+ b) · c = a · c+ b · c para todo a, b, c ∈ Z.
• (4) Existeˆncia de elementos neutros (0 para a adic¸a˜o e 1 para a multiplicac¸a˜o):
• 0+ a = a = a+ 0 para todo a ∈ Z.
• 1 · a = a = a · 1 para todo a ∈ Z.
• (5) Existeˆncia de sime´tricos:
• a+ (−a) = 0 = (−a) + a para todo a ∈ Z.
Notac¸a˜o. Dados a, b ∈ Z, escrevemos a − b para significar a + (−b), isto e´, a soma de a com
o sime´trico de b. O nu´mero a− b se leˆ a menos b.
Observamos que a propriedade descrita no item (5) diz respeito apenas a` operac¸a˜o de
soma. Dado a ∈ Z, o nu´mero −a ∈ Z e´ chamado o sime´trico de a.
Como dito anteriormente, podemos definir va´rias operac¸o˜es sobre Z. Uma delas, com a
qual estamos bastante familiarizados e´ a operac¸a˜o diferenc¸a dada pela notac¸a˜o acima:
− : Z× Z −→ Z
(a, b) 7−→ a− b = a+ (−b),
Outro exemplo de operac¸a˜o definida sobre o conjunto Z e´:
� : Z× Z −→ Z
(a, b) 7−→ a � b = 2 · a+ b.
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 22 Instituto de Matema´tica - UFF
Os Inteiros 2.2 Operac¸o˜es
Muita atenc¸a˜o!!
• Observe que no´s sabemos somar apenas dois elementos de cada vez. O que significa
enta˜o uma expressa˜o ta˜o conhecida como a + b + c onde a, b, c ∈ Z? Melhor dizendo,
faz sentidoa expressa˜o acima? De fato, mantendo a ordem em que a, b, c aparecem na
expressa˜o so´ podemos opera´-los como a + (b + c) ou (a + b) + c o que da´ na mesma,
segundo a propriedade de associatividade da soma. E´ por esta raza˜o que a + b + c faz
sentido. Se quisermos alterar a ordem em que a, b, c aparecem na expressa˜o tambe´m
podemos fazeˆ-lo, desta vez, lanc¸ando ma˜o da propriedade de comutatividade.
Em virtude das propriedades associativa e comutativa da multiplicac¸a˜o, as mesmas
considerac¸o˜es acima podem ser aplicadas ao produto de treˆs ou mais inteiros, isto e´,
se a, b, c ∈ Z, o produto a · b · c pode ser entendido como a · (b · c) ou como (a · b) · c, ou
ainda como b · (a · c) etc. Outro exemplo, se a, b, c, d, e, f, g ∈ Z,
a+ b+ c+ d+ e+ f+ g = (a+ (b+ (c+ (d+ (e+ f))))) + g
= ((a+ b) + (c+ d)) + ((e+ f) + g) = etc.
a · b · c · d · e · f · g = ((a · b) · (c · (d · (e · f)))) · g
= ((a · b) · (c · (d · (e · f)))) · g = etc.
• Do item anterior concluı´mos que nas expresso˜es a+ (b+ c) e (a+ b) + c com a, b, c ∈ Z
podemos ignorar o pareˆnteses, isto e´, a + (b + c) = a + b + c = (a + b) + c. Sera´ que
podemos fazer isto na expressa˜o a − (b − c), escrevendo a − (b − c) = a − b − c =
(a−b)−c ? Se a operac¸a˜o diferenc¸a fosse associativa, poderı´amos fazeˆ-lo mas isto na˜o e´
verdade (prove!). Exatamente por esta raza˜o tambe´m na˜o podemos ignorar o pareˆnteses
na expressa˜o a−(b+c), escrevendo a−(b+c) = a−b+c. De fato, a−(b+c) = (a−b)−c.
O que e´ intrigante e´ que apesar da operac¸a˜o diferenc¸a na˜o ser associativa no´s bem que
entendemos o que significa a − b − c ! Bem, neste caso quando lemos a expressa˜o
a− b− c de fato estamos lendo (a− b) − c e na˜o a− (b− c). Isto e´ uma convenc¸a˜o que,
evidentemente, respeitaremos.
Trabalhando com as operac¸o˜es de soma e multiplicac¸a˜o sobre Z no´s utilizaremos com
frequ¨eˆncia as propriedades de (1) a` (5). Ale´m delas, utilizaremos tambe´m va´rias de suas con-
sequeˆncias, listadas abaixo e de fa´cil demonstrac¸a˜o.
Consequ¨eˆncia 1. 0 · a = 0 = a · 0 , ∀a ∈ Z.
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 23 Instituto de Matema´tica - UFF
Os Inteiros 2.2 Operac¸o˜es
Demonstrac¸a˜o. Das propriedades acima descritas temos que 0 · a = (0 + 0) · a = 0 · a + 0 · a.
Agora, somando −(0 · a) a cada membro da equac¸a˜o 0 · a = 0 · a + 0 · a no´s concluı´mos que
0 · a = 0 para todo a ∈ Z. Daı´ segue que 0 · a = 0 = a · 0 para todo a ∈ Z. C.Q.D.
Consequ¨eˆncia 2. (−1) · a = −a , ∀a ∈ Z.
Demonstrac¸a˜o. Temos que (−1) · a + a = (−1) · a + (1) · a = (−1 + 1) · a = 0 · a = 0.
Agora, somando −a a cada um dos membros da equac¸a˜o (−1) · a+ a = 0 no´s concluı´mos que
(−1) · a = −a, ∀a ∈ Z. C.Q.D.
Destas duas consequ¨eˆncias temos: 0 = (−1) · 0 = −0.
Consequ¨eˆncia 3. Mais geralmente, repetindo adequadamente os argumentos acima, no´s
concluı´mos que
a · (−b) = (−a) · b = −a · b , ∀a, b ∈ Z.
E´ esta propriedade que nos permite garantir que
a · (b− c) = a · b− a · c , ∀a, b, c ∈ Z.
De fato,
a · (b− c) = a · (b+ (−c)) = a · b+ a · (−c) = a · b+ (−a · c) = a · b− a · c.
Consequ¨eˆncia 4. a− b = 0⇐⇒ a = b.
Demonstrac¸a˜o. Com efeito,
a− b = 0 ⇐⇒ a+ (−b) = 0 pela definic¸a˜o da diferenc¸a a− b⇐⇒ (a+ (−b)) + b = 0+ b somando b em ambos lados da igualdade⇐⇒ a+ ((−b) + b) = b pela propriedade associativa⇐⇒ a+ 0 = b pela propriedade dos sime´tricos⇐⇒ a = b pela propriedade do elemento neutro aditivo. C.Q.D.
Consequ¨eˆncia 5. (−1)(−1) = 1 e portanto, −(−a) = a, para todo a ∈ Z.
Demonstrac¸a˜o. Com efeito, tem-se
(−1)(−1) − 1 = (−1)(−1) + (−1) = (−1)(−1) + (−1) · 1 = (−1)(−1+ 1) = (−1) · 0 = 0.
e enta˜o, pelo item anterior (−1)(−1) = 1.
Logo, −(−a) = (−1)((−1)a) = ((−1)(−1))a = 1 · a = a, para todo a ∈ Z. C.Q.D.
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 24 Instituto de Matema´tica - UFF
Os Inteiros 2.2 Operac¸o˜es
Repare que, se a ∈ Z+ enta˜o −a ∈ Z− e reciprocamente, se a ∈ Z− enta˜o −a ∈ Z+.
Portanto devemos ter cuidado com o seguinte:
E´ falso que: Se a e´ um inteiro, enta˜o −a e´ um inteiro negativo.
Com efeito, observe que
−(−1) = (−1)[(−1)1] = [(−1)(−1)]1 = 1 · 1 = 1
−(−(−3)) = (−1)[(−1){(−1)3}] = (−1)[{(−1)(−1)}3] = (−1)[1 · 3] = (−1)3 = −3
−(−(−(−(−n)))) = −n, para todo n ∈ Z, e assim por diante.
Consequ¨eˆncia 6. Lei do cancelamento para a adic¸a˜o.
Dados a, b, c ∈ Z temos:
a+ c = b+ c =⇒ a = b
Demonstrac¸a˜o. Sejam a, b, c ∈ Z e suponhamos que a+ c = b+ c. Assim , obtemos:
a+ c = b+ c =⇒ a+ c+ (−c) = b+ c+ (−c) =⇒ a+ 0 = b+ 0 =⇒ a = b,
e a demonstrac¸a˜o esta´ terminada. C.Q.D.
Para demonstrar a lei do cancelamento para a multiplicac¸a˜o precisamos do seguinte lema.
Lema 2.2.1. Sejam a, b ∈ Z. Se a · b = 0 enta˜o a = 0 ou b = 0.
A demonstrac¸a˜o deste lema sera´ feita mais tarde quando introduzirmos o conceito de divisi-
bilidade. Vamos agora utiliza´-lo para demonstrar a lei do cancelamento para a multiplicac¸a˜o.
Consequ¨eˆncia 7. Lei do cancelamento para a multiplicac¸a˜o.
Dados a, b, c ∈ Z com c 6= 0 temos:
a · c = b · c =⇒ a = b
Demonstrac¸a˜o. Sejam a, b, c ∈ Z e suponhamos que a · c = b · c. Assim , obtemos:
a · c = b · c =⇒ a · c− b · c = 0 =⇒ (a− b) · c = 0 =⇒ a− b = 0 ou c = 0.
Como c 6= 0 por hipo´tese, segue do lema acima que a−b = 0, isto e´, a = b e a demonstrac¸a˜o
esta´ terminada. C.Q.D.
Definic¸a˜o. Seja a ∈ Z. O valor absoluto ou mo´dulo de a, denotado |a| se define por
|a| =

a , se a e´ positivo
0 , se a = 0
−a , se a e´ negativo .
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 25 Instituto de Matema´tica - UFF
Os Inteiros Exercı´cios
Desta definic¸a˜o temos que, se a ∈ Z∗, enta˜o |a| e´ um inteiro positivo. Ale´m disso,
|a| = 0⇐⇒ a = 0.
Por exemplo, |2| = 2 = −(−2) = | − 2|.
E´ importante observar que, | − a| = a se, e somente se, a e´ um inteiro positivo.
Exercı´cios
1. Calcule
(a) 2− 2(3− (−1)) + (−5− 3(5− 2(−1(2− 4)))).
(b) −3+ (−3− (4− 2(1− 2)2)(2− 3(−1+ (−3 · 2+ 2))(−2))).
(c) −2− |2(−2+ (5− 2(3− | − 4|)))| − | − |3− |2| | − 1| |.
2. Sejam a ∈ Z∗ e b ∈ Z. Diga se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o falsas ou verdadeiras e justifique
suas respostas.
(i) −a e´ um inteiro negativo,
(ii) a+ b e´ um inteiro positivo,
(iii) 2a e´ um inteiro positivo,
(iv) a · a e´ um inteiro positivo,
(v) −100− a e´ um inteiro na˜o negativo,
(vi) 0 e 2 teˆm o mesmo sinal,
(vii) 1+ (a− b)(a− b) e´ um inteiro positivo,
(viii) |b| e´ na˜o negativo,
(ix) |a+ 3| = a+ 3,
3. Elimine os pareˆnteses nas expresso˜es abaixo.
(i) a− 3(2a− (−a+ b) − a(b− 2(−a+ b))a− b),
(ii) 2(−a+ 1− b(2− 2a(1− b)) − 3b− 2(−4− (a− 2))),
(iii) (2− |a| + 3(a− (a− 1) + |a+ 1|) − 2(1− |a+ 3|)).
4. Determinar treˆs inteiros, sabendo que a soma do primeiro com o segundo e´ 32, a soma do
segundo com o terceiro e´ 36 e a soma do primeiro com o terceiro e´ 34.
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 26 Instituto de Matema´tica - UFF
Os Inteiros Exercı´cios
5. Considere dois inteiros de soma S, de diferenc¸a D e de produto P. Responda as questo˜es
seguintes selecionando a resposta correta dentre as propostas.
(a) Adicionamos 5 a um dos inteiros e 3 ao outro. O que acontece com S?
(b) Adicionamos 4 a cada um dos inteiros. O que acontece com S? E com D?
(c) Multiplicamos cada inteiro por 2. O que acontece com S? E com D? E com P?
(d) Multiplicamos um dos inteiros por 5 e o outro por 3. O que acontece com P?
Respostas propostas.
(i) Na˜o varia.
(ii) Aumenta de 5.
(iii) Diminui de 8.
(iv) Dobra.
(v) Fica multiplicada por 15.
(vi) Triplica.
(vii) Fica multiplicada por 4.
(viii) Aumenta de 8.
6. Um filho tem 11 anos e sua ma˜e 35 anos. Daqui a quantos anos a idade da ma˜e sera´ o triplo
da idade do filho.
7. A idade de duas pessoas somam 120 anos. Subtraindo-se 10 anos da idade da mais velha e
acrescentando-os a` da mais moc¸a, as idades tornam-se iguais. Qual a idadede cada uma?
8. Um ra´dio e uma televisa˜o custam juntos R$ 1.500,00. Comprando apenas o ra´dio me sobraria
R$ 200,00mas para adquirir a televisa˜o precisava ter mais R$ 300,00 do que possuo. Quanto
custou o ra´dio, a televisa˜o e quanto possuo?
9. Duas cidades A e B distam 200 km. A`s 8 horas, parte de A para B, um trem com velocidade
de 30 km por hora e, duas horas depois, parte de B para A um outro trem com velocidade de 40
km por hora. A que distaˆncia de A, dar-se-a´ o encontro dos trens?
10. Determine o valor de a ∈ Z na equac¸a˜o
2(a− (2− a) + (1− 2a)(2− 3(5− 2))) = 3a− (a− 2(a− 3(a− 1))).
11. Use o Lema 2.2.1 para mostrar que se a, b, c ∈ Z sa˜o tais que abc = 0 enta˜o ou a = 0 ou
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 27 Instituto de Matema´tica - UFF
Os Inteiros Exercı´cios
b = 0 ou c = 0.
12. Determine todas as soluc¸o˜es inteiras das equac¸o˜es:
(i) (a+ 2)(2− a)(a− 2(a− 2)) = 0,
(ii) (a− 2)(3+ b)ab = 0,
(iii) (a− 1)(3+ b)(a− b) = 0,
(iv) ab+ 3a− 2b = 6,
(v) |a| = 1,
(vi) |a− 2| = 3,
(vii) |2− a| · |b+ 3| = 0,
(ix) |a| + a = 0.
13. Use a lei de cancelamento da multiplicac¸a˜o para determinar todas as soluc¸o˜es inteiras das
equac¸o˜es:
(i) 2a = 2, (ii) 2a = a, (iii) ab = b.
14. Mostre que a hipo´tese, a 6= 0 na lei de cancelamento para a multiplicac¸a˜o, e´ essencial.
15. Da associatividade da operac¸a˜o soma podemos concluir que (a − b) + c = a − (b + c)?
Justifique sua resposta.
16. Mostre que o Lema 2.2.1 usado para demonstrar a lei do cancelamento para a multiplicac¸a˜o
e´ de fato equivalente a tal lei, i.e., mostre que a lei implica o lema e que o lema implica a lei.
Alia´s, esta u´ltima parte no´s ja´ fizemos.
17. Sejam a, b ∈ Z. Mostre que |a| = |b| se, e somente se, a = b ou a = −b.
18. Considere dois inteiros iguais a e b.
Temos enta˜o que:
a = b =⇒ a2 = ab =⇒ a2 − b2 = ab− b2 =⇒ (a− b)(a+ b) = (a− b)b.
Usando a lei do cancelamento para a multiplicac¸a˜o, obtemos a+b = b. agora tomando a = 1 =
b concluı´mos que 2 = 1.
Onde esta´ o erro?
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 28 Instituto de Matema´tica - UFF
Os Inteiros Exercı´cios
2.3 Poteˆncias Naturais de Nu´meros Inteiros
Definic¸a˜o:
• a0 = 1 para todo a ∈ Z∗
• ak = a · . . . · a︸ ︷︷ ︸
k vezes
para todo a ∈ Z e k ∈ N∗.
Nesse contexto temos: a1 = a , a2 = a · a , a3 = a · a · a = a2 · a , e assim por diante.
Na definic¸a˜o acima, no´s dizemos que an e´ uma poteˆncia tendo como base o inteiro a e como
expoente o natural n.
Propriedades das poteˆncias.
Dados a, b ∈ Z∗ e m,n ∈ N temos:
1. am+n = am · an
2. (a · b)n = an · bn
3. (an)m = an·m
Voceˆ entendeu o porque da condic¸a˜o a, b ∈ Z∗ ao inve´s da condic¸a˜o a, b ∈ Z ? Ela serve
apenas para evitar a poteˆncia 00 que na˜o foi definida. Uma outra forma de enunciar a primeira
regra, poderia ser, por exemplo:
Sejam a ∈ Z e m,n ∈ N tais que am+n, am e an esta˜o definidos. Enta˜o am+n = am · an.
Exercı´cios
1. Sejam a, b ∈ Z. Mostre que:
(i) (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2,
(ii) (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2,
(iii) (a+ b)(a− b) = a2 − b2,
(iv) (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3.
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 29 Instituto de Matema´tica - UFF
Os Inteiros Exercı´cios
2. Use o desenvolvimento de (a+ b)3 para concluir que
(a− b)3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3.
3. Diga se e´ falso ou verdadeiro e justifique sua resposta:
(a) 2k+1 + 6 = 2(3+ 2k) para todo k ∈ N,
(b) 6n+1 − 6n = 2n · 3n+1 + 2n+1 · 3n para todo n ∈ N,
(c) 2n + 10m = 2n(1+ 10m−n · 5n) para todo m,n ∈ N com m ≥ n.
4. Seja a ∈ Z. Mostre que a2 = 1 se, e somente se a = 1 ou a = −1.
Demonstrac¸a˜o. Temos que a2 = 1 ⇐⇒ a2 − 1 = 0 ⇐⇒ (a − 1)(a + 1) = 0. Agora, usando o
Lema 2.2.1 obtemos
(a− 1)(a+ 1) = 0⇐⇒ a+ 1 = 0 ou a− 1 = 0⇐⇒ a = −1 ou a = 1. C.Q.D.
5. Use o Lema 2.2.1 para mostrar que se a2 = 0, a ∈ Z, enta˜o a = 0.
6. Use uma das leis de cancelamento para demonstrar que se a2 = 0 com a ∈ Z enta˜o a = 0.
7. Determine os valores da varia´vel n para os quais as expresso˜es abaixo fazem sentido em Z.
(a) 2n,
(b) (−5)n−2,
(c) 2n−3 + (2+ n)n+1,
(d) (2+ n)2+n,
(e) 2n−1,
(f) 32(n−4) · 53n−n2.
8. Determine as soluc¸o˜es inteiras das equac¸o˜es:
(a) (a− 1)2 = 0,
(b) (a− 2)2 = 1,
(c) a2 − b2 = 0,
(d) a2 − a+ 6 = 0,
(e) a2(b+ 1) = a(b+ 1),
(f) (a− 1)3 = a(1− a)2.
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 30 Instituto de Matema´tica - UFF
Os Inteiros 2.4 O Binoˆmio de Newton
(g) a4 − 16 = 0.
9. Sejam a, b ∈ Z e coloquemos c = a− b. Temos enta˜o que a = b+ c. Multiplicando ambos os
membros por a− b temos:
(a− b)a = (a− b)(b+ c) =⇒ a2 − ab = ab+ ac− b2 − bc =⇒ a2 − ab− ac = ab− b2 − bc
=⇒ a(a− b− c) = b(a− b− c).
Agora, pela lei do cancelamento para a multiplicac¸a˜o concluı´mos que a = b.
E voceˆ, o que acha disto?
2.4 O Binoˆmio de Newton
Muitas vezes temos necessidade de considerar somas com um grande nu´mero de parcelas,
ou somas com um nu´mero n de termos, onde n e´ um inteiro positivo qualquer. Por exemplo,
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a10 ,
b1 + b2 + . . .+ b7 ,
b1 + . . .+ b8 + b9 ,
c1 + . . .+ cn , onde n ∈ Z+,
a0 + a1 + . . .+ ak , onde k ∈ N .
Fixaremos agora uma notac¸a˜o que facilitara´ a manipulac¸a˜o destas somas.
Sejam n ∈ Z+ e a1, a2, . . . , an ∈ Z. Escrevemos
n∑
i=1
ai (leˆ-se somato´rio de ai variando i de 1 ate´ n)
para indicar a soma a1 + a2 + . . .+ an.
De forma similar, escrevemos:
n+1∑
i=0
ai = a0 + a1 + . . .+ an+1 , onde n ∈ Z+,
k∑
j=2
bj = b2 + . . .+ bk , onde k ∈ {2, 3, 4, . . .},
m+2∑
k=−4
ck = c−4 + c−3 + . . .+ cm + cm+1 + cm+2 , onde m ∈ Z+,
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 31 Instituto de Matema´tica - UFF
Os Inteiros 2.4 O Binoˆmio de Newton
p∑
n=0
a2n = a0 + a2 + a4 + . . .+ a2(p−1) + a2p , onde p ∈ Z+.
Note que cada uma das quatro u´ltimas somas possui um nu´mero mı´nimo de termos e um
nu´mero total (na˜o confundir com ma´ximo) de termos: a primeira delas possui no mı´nimo 3
termos e um total de n+ 2 termos, a segunda possui um mı´nimo de 1 termo e um total de k− 1
termos, a terceira possui um mı´nimo de 8 termos e um total de ...
Atenc¸a˜o! Ainda com relac¸a˜o a`s u´ltimas quatro somas, e´ importante voceˆ perceber que, na
primeira delas, o resultado da adic¸a˜o de suas parcelas depende de n mas na˜o de i, na segunda
o resultado depende de k mas na˜o de j, na terceira o resultado depende de m mas na˜o de k, e
na quarta o resultado depende de p e na˜o de n.
Lema 2.4.1 Para quaisquer a, b ∈ Z∗ e n ∈ Z+, vale a seguinte identidade:
an − bn = (a− b)
n−1∑
i=0
an−1−i · bi .
Demonstrac¸a˜o. Para demonstrar o lema efetuamos as operac¸o˜es indicadas no segundo mem-
bro da identidade com o objetivo de obter o primeiro membro.
Temos:
n−1∑
i=0
an−1−i · bi = an−1b0 + an−2b1 + an−3b2 + . . .+ a2bn−3 + a1bn−2 + a0bn−1.
Multiplicando ambos os membros desta identidade por a− b e efetuando as operac¸o˜es:
(a− b)
n−1∑
i=0
an−1−i · bi = a ·
(
n−1∑
i=0
an−1−i · bi
)
− b ·
(
n−1∑
i=0
an−1−i · bi
)
= (anb0 + an−1b1 + an−2b2 + . . .+ a3bn−3 + a2bn−2 + a1bn−1)
−(an−1b1 + an−2b2 + an−3b3 + . . .+ a2bn−2 + a1bn−1 + a0bn)
= anb0 − a0bn = an − bn,
e a demonstrac¸a˜o esta´ terminada. C.Q.D.
Teorema (do binoˆmio de Newton). Dados a, b ∈ Z∗ e n ∈ Z+ temos:
(a+ b)n =
n∑
k=0
(
n
k
)
akbn−k,
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 32 Instituto de Matema´tica - UFF
Os Inteiros Exercı´cios
onde
(
n
k
)
e´ o nu´mero de combinac¸o˜es de n elementos k a` k.
Veremos mais tarde uma fo´rmula para a combinac¸a˜o de n elementos k a` k mas, voceˆ pode
concluir com facilidade que:
1. combinar n elementos 0 a` 0 so´ podemos faze-lo atrave´s da colec¸a˜o com zero elementos,
isto e´, da colec¸a˜o vazia, e enta˜o (
n
0
)
= 1,
2. podemos combinarn elementos 1 a` 1 de n maneiras diferentes, e enta˜o(
n
1
)
= n,
3. podemos combinar n elementos n a` n de uma u´nica maneira, e enta˜o(
n
n
)
= 1,
4. podemos combinar n elementos n−1 a` n−1 de n maneiras diferentes, para isto basta ver
que uma combinac¸a˜o com n−1 elementos e´ construı´da retirando um elemento da colec¸a˜o
com n elementos, e enta˜o (
n
n− 1
)
= n.
Por enquanto, vamos nos contentar com isso.
Exercı´cios
1. Quantas parcelas teˆm as expresso˜es escritas abaixo:
(a) a1 + a2 + . . .+ an, onde n ∈ Z+,
(b) am + am+1 + . . .+ am+s, onde m ∈ Z e s ∈ Z+,
(c)
n−1∑
i=0
ai+1, onde n− 3 ∈ Z+,
(d) am−1 + am + . . .+ am+s, onde m ∈ Z e s ∈ Z+.
2. Qual o nu´mero mı´nimo de parcelas que podera´ ocorrer em cada uma das expresso˜es do
exercı´cio anterior?
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 33 Instituto de Matema´tica - UFF
Os Inteiros Exercı´cios
3. Reescreva as expresso˜es abaixo sem usar o sı´mbolo de somato´rio.
(a)
n∑
j=0
aj + 3, onde n ∈ N,
(b)
2n∑
i=0
(−1)i · ai+1, onde n ∈ N,
(c)
n−1∑
k=−4
δk+2, onde n ∈ N.
4. Qual o nu´mero mı´nimo de parcelas que podera´ ocorrer em cada uma das expresso˜es do
exercı´cio anterior?
5. Sejam p ∈ Z e n ∈ Z+. Mostre que:
(a) (a− b)n =
n∑
k=0
(−1)n−k
(
n
k
)
akbn−k,
(b) (1+ a)n =
n∑
i=0
(
n
i
)
ai,
(c)
n∑
k=0
ak =
n−p∑
i=−p
ai+p,
(d)
n∑
i=0
ai = a0 +
n−1∑
i=0
ai+1,
(e)
n∑
i=0
(
n
i
)
= 2n,
(f)
n∑
k=0
(−1)k
(
n
k
)
= 0.
6. Mostre que
(a)
n∑
i=0
(ai + bi) =
n∑
i=0
ai +
n∑
i=0
bi,
(b)
n∑
i=0
(c · ai) = c
n∑
i=0
ai,
(c)
n∑
i=1
(ai − ai−1) = an − a0.
7. Diga se as afirmac¸o˜es abaixo sa˜o falsas ou verdadeiras justificando suas respostas.
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 34 Instituto de Matema´tica - UFF
Os Inteiros 2.5 A Reta Orientada e os Nu´meros Inteiros
(a)
100∑
n=0
n2 =
100∑
n=1
n2,
(b)
n∑
k=0
(1+ k) = 1+
n∑
k=0
k, onde n ∈ Z+,
(c)
n∑
i=1
(i+ 1)4 =
n−1∑
i=0
i4, onde n ∈ Z+,
(d)
n∑
k=1
k2 =
n−s∑
j=1−s
(j+ s)2.
8. Mostre que (
n
2
)
=
n−1∑
k=1
(n− k) = n(n− 1) −
n−1∑
k=1
k,
para todo n ∈ {2, 3, 4, . . .}.
9. Compare
(
n
p
)
e
(
n
n− p
)
.
10. Seja A um conjunto com n elementos (n ∈ N). Mostre que o nu´mero de subconjuntos de A
e´ 2n. Isto e´, #P(A) = 2n.
11. Qual e´ o coeficiente de a2x2 no desenvolvimento de (2x+ a)4?
12. Qual e´ o coeficiente de x4 no desenvolvimento de (x+ 3)5?
13. Qual e´ o coeficiente de ax3 no desenvolvimento de (a− x+ 1)4?
Indicac¸a˜o: Desenvolva (a− x+ 1)4 como ((a− x) + 1)4.
2.5 A Reta Orientada e os Nu´meros Inteiros
Considere uma reta e sobre ela fixemos uma orientac¸a˜o, isto e´, fixemos um sentido de
percurso.
Representac¸o˜es gra´ficas:
reta sem orientac¸a˜o
sentido de percurso fixado−−−−−−−−−−→ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→reta anterior com orientac¸a˜o fixada
←−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−reta anterior com orientac¸a˜o oposta
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 35 Instituto de Matema´tica - UFF
Os Inteiros 2.5 A Reta Orientada e os Nu´meros Inteiros
Uma reta sobre a qual fixamos uma orientac¸a˜o (i.e. um sentido de percurso) sera´ dita uma
reta orientada. Assim, uma reta orientada e´ constituı´da de dois ingredientes: da reta e da
orientac¸a˜o escolhida sobre ela.
Os treˆs pontinhos colocados a` direita e a` esquerda nas representac¸o˜es gra´ficas acima ser-
vem apenas para indicar que estamos representando graficamente uma parte da reta ou da reta
orientada. Daqui para frente vamos propositadamente esqueceˆ-los, na˜o esquecendo no entanto
que estamos representando graficamente uma parte da reta ou da reta orientada.
Numa reta orientada podemos falar em pontos a` direita (resp. a` esquerda) de um ponto
dado, da seguinte maneira.
Seja P um ponto de uma reta orientada. Os pontos a` direita de P sa˜o aqueles que podem
ser atingidos a partir de P, seguindo o sentido de percurso fixado. Os pontos a` esquerda sa˜o
aqueles que podem ser atingidos a partir de P, seguindo o sentido de percurso oposto a`quele
fixado.
pontos a` direita de P
◦−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
reta orientadaP
pontos a` esquerda de P
Pois bem, fixemos em definitivo uma reta orientada r, um ponto arbitra´rio O sobre ela (cha-
mado de origem) e um segmento de reta u (dito, unidade de comprimento).
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
O ru
(segmento de reta)︸ ︷︷ ︸
unidade de comprimento
Agora, vamos inserir os nu´meros inteiros na reta orientada, colocando o nu´mero 0 (zero) na
origem, os inteiros positivos a` direita da origem e os inteiros negativos a` esquerda da origem,
como mostrado na figura a seguir.
u u u u u u u u
· · ·
︷ ︸︸ ︷
· · ·
︷ ︸︸ ︷︷ ︸︸ ︷︷ ︸︸ ︷︷ ︸︸ ︷︷ ︸︸ ︷︷ ︸︸ ︷
· · ·
︷ ︸︸ ︷
· · ·−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
−n −n + 1 −3 −2 −1 0 1 2 3 (n − 1) n r
Isto e´ feito da seguinte maneira:
1 e −1 sa˜o colocados a` uma unidade da origem,
2 e −2 sa˜o colocados a` 2 unidades da origem,
3 e −3 sa˜o colocados a` 3 unidades da origem,
...
...
...
n e −n sa˜o colocados a` n unidades da origem, para cada n ∈ Z+.
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 36 Instituto de Matema´tica - UFF
Os Inteiros 2.5 A Reta Orientada e os Nu´meros Inteiros
Diremos que n e −n foram colocados na reta orientada, simetricamente em relac¸a˜o a ori-
gem. Tambe´m diremos que o nu´mero 1 foi obtido da origem por translac¸a˜o a` direita de uma
unidade, que o nu´mero −1 foi obtido da origem por translac¸a˜o a` esquerda de uma unidade, que
2 foi obtido da origem por translac¸a˜o a` direita de 2 unidade (ou de 1 por translac¸a˜o a` direita de
uma unidade), que −2 foi obtido da origem por translac¸a˜o a` esquerda de 2 unidade (ou de 1 por
translac¸a˜o de 3 unidades), e assim por diante.
De forma mais geral, dados a ∈ Z e b ∈ Z+ diremos que
1. a + b (na reta orientada) foi obtido de a (na reta orientada) pela translac¸a˜o a` direita de b
unidades, ou simplesmente, a+ b foi obtido transladando a de b,
2. a− b (na reta orientada) foi obtido de a (na reta orientada) pela translac¸a˜o a` esquerda de
b unidades, ou simplesmente, a− b foi obtido transladando a de −b.
Assim, dados a, b ∈ Z entenderemos que a + b e´ obtido transladando a de b (translac¸a˜o a`
direita se b e´ positivo, a` esquerda se b e´ negativo e translac¸a˜o nula se b = 0).
Uma outra propriedade importante desta forma de inserir os inteiros na reta orientada, ou
digamos assim, de mergulhar os inteiros na reta orientada, e´ a seguinte.
Dados dois pontos P,Q da reta orientada, existem no ma´ximo um nu´mero finito de inteiros
entre eles.
Em particular,
dado um ponto P da reta orientada, sempre existem inteiros a` direita de P e inteiros a`
esquerda de P.
Mais precisamente,
i. dado um ponto P da reta orientada, existe n0 ∈ Z+ tal que n0 esta´ a` direita de P,
P• ◦−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
n0 ∈ Z−
ii. dado um ponto P da reta orientada, existe n0 ∈ Z− tal que n0 esta´ a` esquerda de P.
P◦ •−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
n0 ∈ Z−
Observe que em ambos os casos o inteiro n0 depende do ponto P considerado.
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 37 Instituto de Matema´tica - UFF
Os Inteiros Exercı´cios
Agora, seja A um subconjunto de Z. Diremos que A e´ limitado inferiormente (ou, cotado
inferiormente) se existe um ponto P da reta orientada tal que todo elemento de A esta´ a` direita
de P. Diremos que A e´ limitado superiormente (ou, cotado superiormente) se existe um ponto Q
da reta orientada tal que todo elemento de A esta´ a` esquerda de P.
Exemplos.
a. O conjunto N e´ limitado inferiormente. Paraver isso, fixe um ponto P da reta, a` esquerda
da origem. Neste caso, todo elemento de N esta´ a` direita de P, o que mostra que N e´
limitado inferiormente.
b. O conjunto Z+ na˜o e´ limitado superiormente, pois, ja´ vimos que dado um ponto Q das reta
orientada sempre existe um inteiro positivo a` sua direita.
c. O conjunto Z− e´ limitado superiormente, pois, todo elemento de Z− esta´ a` esquerda da
origem.
d. O conjunto Z na˜o e´ limitado inferiormente nem superiormente. Isto segue do fato que dado
um ponto P sempre existem inteiros a` direita e a` esquerda de P.
Na pro´xima sec¸a˜o falaremos de uma outra propriedade de Z enquanto subconjunto da reta
orientada. Esta importante propriedade estara´ relacionada com o conceito de subconjuntos
limitados inferiormente e superiormente.
Exercı´cios
1. Diga se e´ falso ou verdadeiro e justifique sua resposta.
(a) O conjunto dos inteiros na˜o positivos e´ limitado inferiormente,
(b) O conjunto dos inteiros na˜o negativos e´ limitado inferiormente.
2. Sejam A,B ⊂ Z. Mostre que
(a) Se A e B sa˜o limitados superiormente enta˜o, A ∪ B e A ∩ B sa˜o limitados superiormente.
(b) Se A e´ limitado inferiormente e B e´ limitado superiormente enta˜o, A ∩ B e´ limitado superior-
mente e inferiormente.
3. Diga se e´ falso ou verdadeiro e justifique sua resposta.
(a) Entre dois pontos distintos da reta orientada existe pelo menos um nu´mero inteiro,
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 38 Instituto de Matema´tica - UFF
Os Inteiros 2.6 A Relac¸a˜o de Ordem
(b) Dado um ponto P da reta orientada existe um inteiro n0 ∈ Z+ tal que n0 − 5 esta´ a` direita de
P,
(c) Dado um ponto P da reta orientada existe um inteiro n0 ∈ Z+ tal que n0+100 esta´ a` esquerda
de P.
4. Seja P um ponto da reta orientada e M ∈ Z. Mostre que existe n0 ∈ Z+ tal que n0 −M esta´
a` direita de P.
5. Mostre que subconjuntos de conjuntos limitados superiormente (resp. inferiormente) sa˜o
limitados superiormente (resp. inferiormente).
6. Nesta sec¸a˜o, no´s definimos o que significa um subconjunto de Z ser limitado superiormente.
Colocamos agora uma nova definic¸a˜o: Dizemos que um subconjunto na˜o vazio A ⊂ Z e´ limitado
superiormente quando existe um nu´mero inteiro N tal que todo elemento de A esta´ a` esquerda
de N.
Mostre que a definic¸a˜o antiga e a nova sa˜o de fato equivalentes, isto e´, mostre que todo sub-
conjunto na˜o vazio de Z que e´ limitado superiormente em relac¸a˜o a uma das definic¸o˜es tambe´m
sera´ limitado superiormente em relac¸a˜o a` outra.
2.6 A Relac¸a˜o de Ordem (primeiro contato)
Apo´s representar o conjunto Z na reta orientada vamos utilizar a orientac¸a˜o fixada na reta
para introduzir em Z uma ordenac¸a˜o.
Definic¸a˜o. Sejam a, b ∈ Z. Diremos que a e´ menor que b (notac¸a˜o a < b) quando a esta´
a` esquerda de b na reta orientada. Equivalentemente, diremos que a e´ maior que b (notac¸a˜o
b > a) quando b esta´ a` direita de a.
Neste contexto, os inteiros positivos sa˜o aqueles que sa˜o maiores do que zero e os inteiros
negativos sa˜o aqueles que sa˜o menores do que zero.
Esta forma de comparac¸a˜o entre elementos de Z, introduzida pela definic¸a˜o acima, sera´ dita
relac¸a˜o de ordem.
Observe que, definida a relac¸a˜o “ < ”ao definir a relac¸a˜o “ > ”na˜o introduzimos nada de novo,
a na˜o ser uma nova notac¸a˜o. Dizer que b > a e´, exatamente, dizer que a < b.
A relac¸a˜o de ordem que acabamos de introduzir tem algumas propriedades fundamentais
que utilizaremos com muita frequ¨eˆncia, sem demonstrac¸a˜o.
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 39 Instituto de Matema´tica - UFF
Os Inteiros 2.6 A Relac¸a˜o de Ordem
Propriedades da relac¸a˜o “ < ”.
• Sejam a, b, c ∈ Z.
(1) se a < b e b < c enta˜o a < c (transitividade),
(2) se a 6= b enta˜o a < b ou b < a (dois elementos distintos sa˜o compara´veis),
(3) se a < b enta˜o a+ c < b+ c,
(4) se a < b e c > 0 enta˜o ac < bc,
(5) se a < b e c < 0 enta˜o ac > bc.
• Ale´m disso, segue das propriedades acima que
(6) 0 < a < b =⇒ 0 < an < bn , quando n ∈ Z+.
De posse destas propriedades podemos demonstrar com facilidade os seguintes lemas que
nos sa˜o muito familiares.
Lema 2.6.1. Dados a, b ∈ Z temos que
(i) a, b > 0 =⇒ a · b > 0,
(ii) a, b < 0 =⇒ a · b > 0.
Demonstrac¸a˜o. Suponhamos enta˜o que a e b sa˜o ambos positivos. Como b e´ positivo, multipli-
cando ambos os membro da desigualdade a > 0 por b, obtemos
a > 0 =⇒ a · b > 0 · b =⇒ a · b > 0,
e a demonstrac¸a˜o do caso (i) esta´ terminada. A demonstrac¸a˜o do caso (ii) e´ uma repetic¸a˜o da
demonstrac¸a˜o do caso (i). C.Q.D.
Lema 2.6.2. Se a, b ∈ Z∗ teˆm sinais contra´rios (i.e. se um e´ positivo e o outro e´ negativo) enta˜o
a · b < 0.
Demonstrac¸a˜o. Para demonstrar este lema basta considerar o caso em que a > 0 e b < 0.
Admitamos pois este fato. Como b e´ positivo, multiplicando ambos os membros da desigualdade
a < 0 por b, obtemos
a < 0 =⇒ a · b < 0 · b =⇒ a · b < 0,
e a demonstrac¸a˜o esta´ terminada. C.Q.D.
No lema seguinte, no´s enunciamos a recı´proca da afirmac¸a˜o do Lema 2.6.1.
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 40 Instituto de Matema´tica - UFF
Os Inteiros 2.6 A Relac¸a˜o de Ordem
Lema 2.6.3 Sejam a, b ∈ Z tais que a · b > 0. Enta˜o, ou ambos sa˜o positivos, ou ambos sa˜o
negativos.
Demonstrac¸a˜o. Primeiramente observamos que se a · b > 0 enta˜o a, b ∈ Z∗ pois se um deles
se anula, o produto a.b tambe´m sera´ nulo. Por outro lado, se a, b ∈ Z∗ e teˆm sinais contra´rios
enta˜o, o Lema 2.6.2 garante que a ·b < 0. Agora, segue das duas afirmac¸o˜es acima que, ou a e
b sa˜o ambos positivos, ou a e b sa˜o ambos negativos e a demonstrac¸a˜o esta´ terminada. C.Q.D.
Agora, demonstraremos a recı´proca da afirmac¸a˜o do Lema 2.6.2.
Lema 2.6.4 Sejam a, b ∈ Z tais que a · b < 0. Enta˜o a e b teˆm sinais contra´rios.
Demonstrac¸a˜o. Novamente observamos que se a · b < 0 enta˜o a, b ∈ Z∗. Por outro lado, o
Lema 2.6.3 nos diz que a e b na˜o podem ter o mesmo sinal pois, neste caso terı´amos a · b > 0.
So´ nos resta enta˜o a possibilidade de termos a e b com sinais contra´rios, o que demonstra o
resultado. C.Q.D.
A proposic¸a˜o abaixo enuncia os resultados descritos nos Lemas 2.6.1 a 2.6.4.
Proposic¸a˜o 2.6.5 Dados a, b ∈ Z temos:
(i) a · b < 0⇐⇒ a e b teˆm sinais contra´rios,
(ii) a · b > 0⇐⇒ a e b teˆm o mesmo sinal.
Este resultado tem papel importante no estudo de certos tipos de inequac¸o˜es.
Vamos agora falar de uma nova e importante propriedade da qual dotamos o conjunto dos
nu´meros inteiros ao inserı´-lo na reta orientada, como descrito na sec¸a˜o 2.5. Esta propriedade
diz o seguinte:
Seja A um subconjunto na˜o vazio de Z que e´ limitado inferiormente. Enta˜o, existe um ele-
mento a0 ∈ A com a seguinte propriedade: todo elemento do conjunto A, distinto do elemento
a0, e´ maior do que a0.
O elemento a0 e´ dito omenor elemento (oumı´nimo) do conjunto A e e´ denotado por min(A).
Analogamente,
Seja A um subconjunto na˜o vazio de Z que e´ limitado superiormente. Enta˜o, existe um
elemento b0 ∈ A com a seguinte propriedade: todo elemento do conjuntoA, distinto do elemento
b0, e´ menor do que b0.
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 41 Instituto de Matema´tica - UFF
Os Inteiros 2.6 A Relac¸a˜o de Ordem
O elemento b0 e´ dito omaior elemento (ouma´ximo) do conjuntoA e e´ denotado por max(A).
Exemplos.
(a) O conjunto Z+ tem como menor elemento o nu´mero 1. O conjunto Z+ na˜o tem maior
elemento pois na˜o e´ limitado superiormente.
(b) O conjunto Z− tem como maior elemento o nu´mero −1. O conjunto Z− na˜o tem menor
elemento pois na˜o e´ limitado inferiormente.
(c) O conjunto Z na˜o tem menor elemento nem maior elemento.
A propriedade descrita acima nos permite fazer a seguinte construc¸a˜o.
Sejam A um subconjunto de Z e P um ponto da reta orientada.
Se o conjunto A tem pontos a` direita de P enta˜oo conjunto de tais pontos , Adir , e´ na˜o
vazio e limitado inferiormente logo, podemos falar em min(Adir). Tal elemento e´ dito o primeiro
elemento de A a` direita de P.
Se o conjunto A tem pontos a` esquerda de P enta˜o o conjunto de tais pontos , Aesq , e´
na˜o vazio e limitado superiormente logo, podemos falar em max(Aesq). Tal elemento e´ dito o
primeiro elemento de A a` esquerda de P.
Exemplos.
1. Considere o caso em que A = Z. Assim, dado um ponto P da reta orientada temos
elementos de A a` direita e a` esquerda de P. Se P e´ um ponto da reta que na˜o representa um
nu´mero inteiro, enta˜o P esta´ entre dois inteiros consecutivos n0 e n0 + 1, onde o primeiro e´ o
inteiro mais pro´ximo de P pela esquerda e o segundo e´ o inteiro mais pro´ximo de P pela direita.
E´ importante lembrar que o inteiro n0 depende de P.
2. O que fizemos no exemplo anterior pode ser feito com um subconjunto qualquer A ⊂ Z
que tenha a seguinte propriedade: dado um ponto P da reta existem elementos de A a` direita e a`
esquerda de P. Neste caso, o conjunto Adir(P) e´ na˜o vazio e limitado inferiormente, similarmente
Adir(P) e´ na˜o vazio e limitado superiormente. Consequ¨entemente, podemos falar no primeiro
elemento de A a` direita de P e no primeiro elemento de A a` esquerda de P. Em particular, dado
n ∈ Z podemos falar no primeiro elemento de A a` esquerda de n e no primeiro elemento de A
a` direita de n.
Antes de seguir adiante voceˆ deve tentar resolver alguns exercı´cios desta sec¸a˜o.
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 42 Instituto de Matema´tica - UFF
Os Inteiros 2.6 A Relac¸a˜o de Ordem
Combinando as relac¸o˜es de menor e de igual, definimos a relac¸a˜o de menor ou igual
(notac¸a˜o ‘‘ ≤ ”) por:
a ≤ b se, e somente se a < b ou a = b.
Propriedades da relac¸a˜o “ ≤ ”.
• Sejam a, b, c ∈ Z. (1) a ≤ a,
(2) se a ≤ b e b ≤ a enta˜o a = b,
(3) se a ≤ b e b ≤ c enta˜o a ≤ c (transitividade),
(4) a ≤ b ou b ≤ a (dois elementos quaisquer sa˜o compara´veis),
(5) se a ≤ b enta˜o a+ c ≤ b+ c,y
(6) se a ≤ b e c > 0 enta˜o ac ≤ bc,
(7) se a ≤ b e c < 0 enta˜o ac ≥ bc.
• Ale´m disso, segue das propriedades acima que
(8) 0 < a ≤ b =⇒ 0 < an ≤ bn, quando n ∈ N.
Terminaremos esta sec¸a˜o demonstrando o seguinte teorema.
Teorema 2.6.6. Se a, b ∈ Z sa˜o tais que a · b = 1 enta˜o a = 1 = b ou enta˜o a = −1 = b
Demonstrac¸a˜o. Primeiramente observamos que se ab = 1 enta˜o ou ambos sa˜o positivos ou
ambos sa˜o negativos. Assim, para resolver o problema e´ suficiente analisar dois casos.
• Caso 1. a, b ∈ Z+.
Neste caso, e´ de observac¸a˜o imediata que se a = 1 enta˜o b = 1 e vice-versa. Resta agora
analisar o que ocorre quando ambos sa˜o maiores do que 1. Nesta condic¸a˜o podemos escrever
a = 1+ n ; n ≥ 1 e b = 1+m ; m ≥ 1. Segue daı´ que
1 = ab = (1+ n)(1+m) = 1+m+ n+mn > 1,
o que e´ absurdo. Logo, a = 1 = b.
• Caso 2. a, b ∈ Z−.
Como ab = 1 e a, b ∈ Z− enta˜o −a,−b ∈ Z+ e temos que
(−a)(−b) = ab = 1.
Desta forma reduzimos o problema ao caso anterior e, consequ¨entemente, podemos concluir
que −a = 1 = −b, isto e´, a = −1 = b. C.Q.D.
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 43 Instituto de Matema´tica - UFF
Os Inteiros Exercı´cios
Este teorema nos diz que a equac¸a˜o xy = 1 , analisada no universo dos nu´meros inteiros,
apresenta apenas duas soluc¸o˜es: a soluc¸a˜o x = 1 e y = 1 e a soluc¸a˜o x = −1 e y = −1.
Veremos mais tarde que a mesma equac¸a˜o, analisada no universo dos nu´meros racionais, tera´
uma infinidade de soluc¸o˜es.
Corola´rio 2.6.7. Sejam a ∈ Z+ e n ∈ N tais que an = 1. Enta˜o n = 0 ou a = 1.
Demonstrac¸a˜o. Se n = 0 nada resta a demonstrar. Se n = 1 enta˜o temos a1 = 1, isto e´, a = 1,
mostrando que o corola´rio e´ verdadeiro tambe´m para n = 1. Suponhamos agora que n ≥ 2.
Neste caso, an pode ser escrito na forma an = a · b e a equac¸a˜o an = 1 toma a forma a · b = 1.
Como a, b ∈ N segue do Teorema 2.6.6 que a = 1 e a demonstrac¸a˜o esta´ terminada. C.Q.D.
Este corola´rio descreve uma propriedade importante das poteˆncias naturais de nu´meros
inteiros que na˜o foi citada na secc¸a˜o 2.3.
De pose da relac¸a˜o de ordem podemos reescrever a definic¸a˜o de valor absoluto de um
nu´mero inteiro a da seguinte forma:
|a| =
 a , se a ≥ 0−a , se a < 0 .
Exercı´cios
1. Diga se e´ falso ou verdadeiro e justifique sua resposta.
Sejam x, y, z ∈ Z tais que x ≥ y > 0 e z 6= 0.
• x+ z > y+ z • z ≥ z+ 1 • xy+ x ≥ y
• xz2 ≥ yz2 • xz4 > 0 • z2 + xy > y2.
2. Sejam a, b ∈ Z. Mostre que
(a) (a+ b)2 = a2 + b2 se, e somente se a = 0 ou b = 0 ,
(b) (a+ b)2 > a2 + b2 se, e somente se a e b teˆm o mesmo sinal,
(c) (a+ b)2 < a2 + b2 se, e somente se a e b teˆm sinais contra´rios.
3. Considere os conjuntos:
(a) A = {2n;n ∈ Z e n ≥ 0}
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 44 Instituto de Matema´tica - UFF
Os Inteiros Exercı´cios
(b) B = {4n ; n ∈ Z e n ≥ 0}
(c) C = {4n+ 3 ; n ∈ Z e n ≥ 0}
(d) D = {3n+ 1 ; n ∈ Z e n ≥ 0}
(e) E = {2n(−1)n ; n ∈ Z e n ≥ 0}
Descreva A ∩ B, C ∩D, A ∩ E, A ∪ E e C ∪D.
4. Para cada uma das inequac¸o˜es abaixo, determine o subconjunto dos nu´meros inteiros que a
satisfaz.
(a) x+ 2 < 2x+ 1,
(b) x− (2− x) > 2x+ 1,
(c) x− 2(x− 1) > 2− (1+ x).
5. Mostre que a equac¸a˜o 2x = 1 na˜o tem soluc¸a˜o em Z.
6. Determine as soluc¸o˜es inteiras das inequac¸o˜es
(a) x2 − 9 > 0,
(b) x2 ≤ 3,
(c) 2x < 1.
7. Sejam a,m,n ∈ Z+ com a > 1. Mostre que am < an quando m < n.
8. Mostre que 2n > n para todo n ∈ N. • Sugesta˜o. Use o binoˆmio de Newton.
9. Use o Teorema 2.6.6 para concluir que se a, b ∈ Z sa˜o tais que ab = −1 enta˜o a = 1 = −b
ou a = −1 = −b.
10. Determine todas as soluc¸o˜es inteiras da equac¸a˜o |ab| = 1.
11. Sejam a, b, c ∈ Z. Determine todas as soluc¸o˜es da equac¸a˜o abc = 1.
12. Ate´ que ponto a hipo´tese a ∈ Z+ no Corola´rio 2.6.7 e´ essencial ?
13. Sejam a ∈ Z e n ∈ N. Determine as soluc¸o˜es da equac¸a˜o an = 1.
14. Sejam a, b ∈ N tais que a + b = 0. Mostre que a = 0 = b. • Sugesta˜o. Fac¸a uma
demonstrac¸a˜o por absurdo, supondo inicialmente que a > 0.
15. Sejam a, b ∈ Z tais que |a| + |b| = 0. Mostre que a = 0 = b.
J. Delgado - S. Firmo - P. No´brega 45 Instituto de Matema´tica - UFF
Os Inteiros 2.7 Uma Primeira Noc¸a˜o de limite
16. Sejam p, q ∈ N e n ∈ N∗. Mostre que se pn = qn enta˜o p = q.
Sugesta˜o. Suponha que p > q, use o binoˆmio de Newton e o exercı´cio anterior.
17. Sejam a1, a2, . . . , an ∈ Z tais que a1 · a2 · . . . · an = 0. Mostre que existe um inteiro k com
1 ≤ k ≤ n tal que ak = 0.
18. Sejam a1, a2, . . . , an ∈ N tais que a1·a2·. . .·an = 1. Mostre que ai = 1 para todo i ∈ {1, . . . , n}.
19. Sejam a1, a2, . . . , an ∈ N tais que
n∑
i=1
ai = 0. Mostre que ai = 0 para todo i ∈ {1, . . . , n}.
20. Mostre que todo subconjunto na˜o vazio de Z+ (resp. de Z−) possui um menor elemento
(resp. um maior elemento).
21. Mostre que |a2| = |a|2 = a2 para todo a ∈ Z.
22. Sejam a1, a2, . . . , an ∈ Z tais que
n∑
i=1
|ai| = 0. Mostre que ai = 0 para todo i ∈ {1, . . . , n}.
2.7 Uma Primeira Noc¸a˜o de limite
Uma ide´ia muito interessante e sutil que segue das noc¸o˜es que acabamos de introduzir, ou
mais especificamente, da representac¸a˜o dos inteiros na reta orientada, e´ a seguinte:
Considere a sucessa˜o 1, 2, 3, . . . constituı´da de todos os inteiros positivos, colocados em
ordem crescente, e seja P um ponto da reta orientada. Vimos, como propriedade da nossa
representac¸a˜o, que existe n0 ∈ Z+ tal que n0 esta´ a` direita de P. Consequ¨entemente, todo
inteiro n > n0 estara´ a` direita de P.
Ou seja, a sucessa˜o 1, 2, 3, . . . tem a seguinte propriedade:
Dado um ponto P da reta orientada, existe n0 ∈ Z+ tal que,
n > n0 =⇒ n esta´ a` direita de P.
Nos referiremos a esta propriedade dizendo que,
a sucessa˜o 1, 2, 3, . . . , n, . . . tende a` infinito,
ou escrevendo, n −→∞