Introdução aos sistemas elétricos de potência Prof. Wilson Aragão Filho ISEP. Edição do Autor

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Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISEP 
 
 
 
Edição do Autor 
2014 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
WILSON ARAGÃO FILHO 
INTRODUÇÃO AOS 
SISTEMAS ELÉTRICOS 
DE POTÊNCIA 
 O essencial para estudantes 
de engenharia elétrica 
 
1ª Edição 
Vitória – ES – Brasil 
Wilson Correia Pinto de Aragão Filho 
2014 
 
 
 
 ©: 2014, Aragão Filho, Wilson 
 
 
 Formato: digital (pdf) 
 
 
 Capa: Tânia Aragão 
 
 
 
 
Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP) 
(Biblioteca Central da Universidade Federal do Espírito Santo, ES, Brasil) 
 
 
 Aragão Filho, Wilson Correia Pinto de, 1957- 
A659i 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência [recurso 
eletrônico] : o essencial para estudantes de engenharia elétrica / 
Wilson Aragão Filho. - Dados eletrônicos. - 1. ed. - Vitória : Ed. do 
Autor, 2014. 
 115 p. : il. 
 
 Inclui bibliografia. 
 ISBN: 978-85-9099-104-5 
 Modo de acesso: 
<https://sites.google.com/site/livroseletronicosprofaragao/docume
nts-assignments> 
 
 1. Sistemas de energia elétrica. 2. Energia elétrica - 
Transmissão. 3. Energia elétrica. I. Título. 
 
 CDU: 621.311 
 
 
 
 
 
DEDICATÓRIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este livro é dedicado, com muito carinho e agradecimento, 
àqueles que me têm feito muito feliz: 
 Minha esposa, Tânia Aragão, e 
 Meus filhos: 
André (e Jennifer) 
Eliane (e Maxwel) 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência é uma unidade curricular de muitos 
cursos de engenharia elétrica. Visa a dar aos alunos os conhecimentos fundamentais 
para a compreensão dos elementos constituintes de um sistema elétrico de potência 
e de suas inter-relações. Esta disciplina, ou unidade curricular, é, também, conhecida 
como introdução aos sistemas de energia elétrica. 
 
Este autor tem oferecido esta unidade curricular há alguns anos na Universidade 
Federal do Espírito Santo. É uma unidade que visa a proporcionar aos alunos a base 
para estudos posteriores tais como Instalações elétricas, linhas de transmissão, 
linhas de distribuição, proteção de sistemas elétricos, etc. 
 
Ao estudar os tópicos apresentados neste curso, os alunos são motivados a olhar com 
visão mais interessada e crítica os sistemas elétricos que os cercam. Situando-se no 
início dos estudos de unidades mais profissionais, isto é, mais voltadas para os 
conteúdos próprios de um curso de engenharia elétrica, os alunos têm a 
oportunidade de rever certos aspectos de unidades já estudas, mas que precisam ser 
vistas, agora, a partir de um ponto de vista mais profissional e aplicado. É o caso dos 
conhecimentos sobre “por unidade”, que especialmente, agora, passam a ter 
significado pleno, quando se mostra a importância e a necessidade imperiosa de uso 
desse conceito no dia a dia de um engenheiro eletricista, particularmente na área de 
sistemas de potência (ou de energia). 
 
Além da revisão e da melhor compreensão dos conceitos sobre “por unidade”, 
também os conceitos e as definições sobre circuitos elétricos, particularmente, 
circuitos trifásicos, passam a ter uma melhor e mais aplicada compreensão. Os 
capacitores, por exemplo, passam a ser vistos como elementos, não mais 
simplesmente passivos, mas, agora, ativos, na medida em que passam a ser vistos 
como elementos fornecedores de energia reativa. 
Prof. Wilson Aragão Filho 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho v 
 
 
CONTEÚDO 
 
O livro é constituído de cinco (05) capítulos que cobrem os seguintes assuntos. 
 
Primeiro capítulo: Faz uma revisão dos conceitos básicos em sistemas elétricos de 
potência, cobrindo: visão geral de um sistema de potência, conceitos de fluxo de 
potências ativa e reativa na linha, mecanismo carga frequência, revisão de circuitos 
trifásicos, fator de potência, uso de “por unidade”, estudo da qualidade do 
fornecimento da energia elétrica, e o conceito de fator de potência generalizado. 
Segundo capítulo: trata dos modelos de linhas de transmissão (LT) curta e média e do 
estudo dos seus principais parâmetros: resistência e indutância séries, e capacitância 
em derivação. 
Terceiro capítulo: trata das fontes convencionais e alternativas (ou melhor, 
complementares) de energia elétrica, focalizando, particularmente, as centrais 
hidrelétricas e suas turbinas hidráulicas. O dimensionamento básico dessas turbinas 
é, também, abordado. 
Quarto capítulo: aborda a questão da configuração do sistema de aterramento, 
fazendo-se um estudo sobre a filosofia e os tipos de aterramento, e sobre 
características de sistemas elétricos aterrados e não aterrados e sobre aterramento 
em diferentes níveis de tensão. 
Quinto capítulo: apresenta alguns problemas propostos a serem resolvidos pelo 
leitor, cobrindo, praticamente, todo o conteúdo do livro. 
 
 
 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho vi 
 
 
SOBRE O AUTOR 
 
 
Wilson Aragão Filho é professor Associado do Departamento de 
Engenharia Elétrica do Centro Tecnológico da Universidade Federal do 
Espírito Santo (UFES) desde 1984, tendo iniciado sua carreira de professor 
federal em 1981, na antiga Escola Técnica Federal do Espírito Santo, atual 
Instituto Federal de Ensino Tecnológico do Espírito Santo (IFES). 
 
Obteve seu Mestrado em 1988 e seu Doutorado em 1998, tendo sido 
ambos os cursos realizados na Universidade Federal de Santa Catarina 
(UFSC), sob a orientação do Prof. Ivo Barbi. Tanto sua dissertação de 
mestrado quanto sua tese de doutorado trataram do mesmo tema: 
Eletrônica de Potência. 
 
O Prof. Aragão interessa-se, também, pelos temas: instalações elétricas 
residenciais e industriais, sistema de energia elétrica, proteção de sistemas 
elétricos, auditoria energética e conservação de energia, eficiência 
energética, segurança contra acidentes, carga eletrônica regenerativa, 
língua portuguesa, e Esperanto – língua internacional. 
 
O currículo Lattes do Prof. Aragão pode ser acessado em: 
http://lattes.cnpq.br/9279730500937858 
 
O Blog do Professor pode ser acessado em: 
http://mondaespero-blog-uilso.blogspot.com.br/ 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho vii 
 
 
 
Outros livros já publicados pelo Prof. Aragão: 
 
 Curso básico bilíngue de Esperanto; 
 Segurança na engenharia e na vida – consciência segura; 
 Eletrônica de Potência I – Retificadores monofásicos e trifásicos; 
 Instalações elétricas industriais – o essencial para estudantes de 
engenharia elétrica; 
 Proteção de sistemas elétricos – o essencial para estudantes de 
engenharia elétrica. 
 
Todos esses livros, em formato eletrônico (pdf), podem ser baixados, sem 
custo, a partir do endereço da internet: 
https://sites.google.com/site/livroseletronicosprofaragao/documents-
assignments 
 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho viii 
 
 
SUMÁRIO 
 
Cap. 1 – CONCEITOS BÁSICOS ......................................................................................................................... 12 
1 Visão geral de um Sistema de Potência (SP) .................................................................................................... 121.1 Geração, transmissão e distribuição (Subestações: SE) .......................................................................... 12 
1.2 Geração (controle de P e de Q) ............................................................................................................... 13 
1.3 Distribuição (SEs e seus equipamentos) ................................................................................................. 15 
2 Sistema de transmissão ................................................................................................................................... 16 
2.1 Linhas curtas, médias e longas: [6] ........................................................................................................ 17 
2.2 Capacidade de transmissão .................................................................................................................... 17 
2.3 Potência ativa versus frequência do sistema .......................................................................................... 18 
2.3.1. O mecanismo carga frequência .......................................................................................................... 19 
2.3.2. Um análogo mecânico ........................................................................................................................ 19 
2.4 Potência reativa versus tensão na barra ................................................................................................. 19 
3 Revisão de circuitos trifásicos .......................................................................................................................... 21 
3.1 Tensões de rede ...................................................................................................................................... 21 
3.2 Tensões na carga ..................................................................................................................................... 22 
3.3 Fator de potência (fp) ............................................................................................................................. 23 
4 Revisão de sistema por unidade (pu) ............................................................................................................... 24 
4.1 Aplicação de valores pu a circuitos trifásicos simétricos com carga equilibrada [9] .............................. 27 
4.2 Choque de bases [9] ................................................................................................................................ 33 
4.3 Representação de transformadores com comutador de tap [9] ............................................................ 36 
5 Horário de verão (HV) ...................................................................................................................................... 42 
5.1 Objetivo do horário de verão. ................................................................................................................. 42 
5.2 A economia é marginal (secundária) ...................................................................................................... 43 
6 Qualidade do fornecimento de energia elétrica [8]......................................................................................... 43 
6.1 Distúrbios relacionados com a QEE ........................................................................................................ 44 
6.2 Três distúrbios mais comuns:.................................................................................................................. 46 
6.3 Fator de potência generalizado .............................................................................................................. 47 
6.4 Melhoria da QEE: .................................................................................................................................... 48 
Cap. 2 – MODELOS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO [6] ................................................................................... 50 
1. Caracterização .................................................................................................................................................. 50 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho ix 
 
 
2. Classificação e representação. ......................................................................................................................... 50 
2.1. Linhas Curtas ........................................................................................................................................... 51 
2.2. Parâmetros-série de uma LT ................................................................................................................... 53 
2.2.1. Resistência série ................................................................................................................................. 54 
2.2.2. Indutância ........................................................................................................................................... 57 
2.2.2.1 Indutância de um condutor devida ao fluxo interno ....................................................................... 58 
2.2.2.2 Fluxo concatenado entre dois pontos externos de um condutor isolado ....................................... 60 
2.2.2.3 Indutância de uma linha monofásica a dois fios ............................................................................. 61 
2.2.2.4 Indutância de uma linha com condutores tipo cabo ........................................................................ 63 
2.2.2.5 Indutância de linhas trifásicas com espaçamento simétrico............................................................ 65 
2.2.2.6 Indutância de linhas trifásicas com espaçamento assimétrico ........................................................ 66 
2.2.2.7 Cabos múltiplos ................................................................................................................................ 67 
2.2.2.8 Linhas trifásicas de circuitos em paralelo ......................................................................................... 68 
2.3. Linhas Médias ......................................................................................................................................... 70 
2.3.1. Parâmetros-paralelo de uma LT.......................................................................................................... 71 
2.3.1.1. Capacitância ............................................................................................................................... 71 
2.3.1.2. Capacitância de uma linha a dois fios ......................................................................................... 72 
2.3.1.3. Capacitância de uma linha trifásica com espaçamento equilátero ............................................ 74 
2.3.1.4. Capacitância de uma linha trifásica com espaçamento assimétrico .......................................... 75 
2.3.1.5. Efeito da terra sobre a capacitância de LT trifásicas .................................................................. 77 
2.3.2. Cabos múltiplos................................................................................................................................... 78 
2.3.3. Linhas trifásicas de circuitos em paralelo ........................................................................................... 79 
2.4. Linhas longas ........................................................................................................................................... 80 
Cap. 3 – CENTRAIS ELÉTRICAS (CE) .................................................................................................................. 86 
1. Caracterização ..................................................................................................................................................86 
2. Aproveitamento primário da energia. ............................................................................................................. 86 
2.1. Fontes convencionais de energia ............................................................................................................ 86 
2.1.1. Vazão e queda das águas (hidráulica) ................................................................................................. 86 
2.1.2. Combustíveis fósseis/carvões (térmica) ............................................................................................. 86 
2.1.3. Núcleos atômicos (termonuclear) ...................................................................................................... 87 
2.2. Fontes alternativas de energia ................................................................................................................ 87 
2.2.1. Luz do sol (fotovoltaica) ...................................................................................................................... 87 
2.2.2. Biomassas (resíduos energéticos vegetais) ........................................................................................ 87 
2.2.3. Ventos (eólica) .................................................................................................................................... 87 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho x 
 
 
2.2.4. Mar (ondas e marés) ........................................................................................................................... 87 
2.2.5. Célula a combustível (energia química) .............................................................................................. 87 
2.3. Fontes primárias de energia ................................................................................................................... 87 
2.3.1. Água: ................................................................................................................................................... 87 
2.3.2. Combustíveis fósseis: .......................................................................................................................... 87 
2.3.3. Núcleos atômicos: ............................................................................................................................... 87 
2.3.4. Luz do sol: ........................................................................................................................................... 88 
2.3.5. Biomassas (I): ...................................................................................................................................... 88 
2.3.6. Biomassas (II): ..................................................................................................................................... 88 
2.3.7. Ventos: ................................................................................................................................................ 88 
2.3.8. Ondas do mar: .................................................................................................................................... 88 
2.3.9. Marés: ................................................................................................................................................. 88 
2.3.10. Célula a combustível (CaC): ............................................................................................................ 88 
2.4. A energia elétrica pode ser produzida: ................................................................................................... 89 
2.4.1. Energia hidráulica ............................................................................................................................... 89 
2.4.2. Energia térmica ................................................................................................................................... 89 
2.4.3. Fissão nuclear ..................................................................................................................................... 89 
2.4.4. Luz do sol: (ver item 2.3.4) .................................................................................................................. 89 
2.4.5. Biomassas (I): ...................................................................................................................................... 89 
2.4.6. Biomassas (II): ..................................................................................................................................... 89 
2.4.7. Ventos: ................................................................................................................................................ 89 
2.4.8. Ondas do mar: .................................................................................................................................... 89 
2.4.9. Marés: ................................................................................................................................................. 89 
2.4.10. Célula a combustível: ...................................................................................................................... 89 
2.5. Classificação das CE [1] .......................................................................................................................... 89 
2.5.1. Classificação das usinas hidroelétricas ............................................................................................... 90 
2.5.1.1. Quanto à altura de queda: ......................................................................................................... 90 
2.5.1.2. Quanto ao tipo de aproveitamento: .......................................................................................... 90 
2.5.1.3. Quanto à função da usina:.......................................................................................................... 90 
2.5.1.4. Quanto à fonte do potencial hidráulico ..................................................................................... 90 
2.5.2. Caracterização de uma central hidrelétrica ........................................................................................ 90 
2.5.3. Turbinas hidráulicas ............................................................................................................................ 91 
2.5.4. Dimensionamento básico das turbinas hidráulicas [1] ....................................................................... 92 
2.5.4.1. Queda útil e perdas de carga: ..................................................................................................... 92 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho xi 
 
 
2.5.4.2. Perda de carga na tomada d'água (
1
H
): ................................................................................ 93 
2.5.4.3. Perda de carga na linha adutora (
2H
): ................................................................................... 93 
2.5.4.4. Perda de carga nas tubulações forçadas (
3
H
): ...................................................................... 94 
2.5.4.5. Perda de carga no tubo de sucção (
4H
): ................................................................................ 94 
Cap. 4 – CONFIGURAÇÃO DO SISTEMA DE ATERRAMENTO .......................................................................... 95 
1. Filosofia e tipos de aterramento ...................................................................................................................... 95 
2. Características de um sistema elétrico não-aterrado ...................................................................................... 97 
3. Vantagens do aterramento do neutro do sistema elétrico .............................................................................98 
4. Métodos de aterramento do neutro.............................................................................................................. 100 
5. Instalação industrial e redes de distribuição ................................................................................................. 104 
6. Aterramento em cada nível de tensão ........................................................................................................... 105 
7. Aterrar na fonte de potência e não na carga ................................................................................................. 106 
Cap. 5 – PROBLEMAS PROPOSTOS ............................................................................................................... 108 
ANEXO I .......................................................................................................................................................... 111 
BIBLIOGRAFIA ................................................................................................................................................. 114 
Referências do Cap. 1: ................................................................................................................................ 114 
Referências do Cap. 2: ................................................................................................................................ 114 
Referências do Cap. 3: ................................................................................................................................ 115 
Referências do Cap. 4: ................................................................................................................................ 115 
 
 
 
 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
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 INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA – ISEP 
 
 
Cap. 1 – CONCEITOS BÁ SICOS 
 
 
1 Visão geral de um Sistema de Potência (SP) 
 
Um sistema elétrico de potência é constituído por cinco segmentos distintos e intimamente 
relacionados: Geração, Transmissão, Distribuição, Subestações e Consumidor (ou Carga). Tal 
sistema é, na verdade um gigantesco (nos dias de hoje, e no Brasil) circuito elétrico, comparável 
àquele, em pequena escala, constituído por uma bateria (geração), sua fiação (transmissão e 
distribuição), seus nós e interruptores (subestações) e suas lâmpadas (cargas). 
O sistema elétrico de potência (chamado também de sistema de energia) atual é baseado na 
geração de corrente alternada (CA ou AC = alternating current), sendo a corrente contínua (CC ou 
DC = direct current) restrita a longas, e de tensões extra-altas, linhas de transmissão, como é o caso 
da linha de transmissão (LT) em CC que liga a usina de Itaipu (Furnas/Brasil-Paraguai), em Foz do 
Iguaçu à subestação de Ibiúna em São Paulo. 
Em CA, fala-se em potência ativa e reativa, ambas necessárias aos consumidores e que 
devem ser fornecidas pelo sistema elétrico, sob níveis adequados, e regulados por Lei, de tensão 
(amplitude), frequência (que deve ser a mais constante possível) e sob alta confiabilidade (= 
presença de energia de qualidade na maior parte do tempo). 
No Brasil consideram-se, atualmente, linhas de transmissão (LT) aquelas de extra-altas 
tensões (maior ou igual a 345 kV). As linhas de tensões iguais ou menores que 230 kV são 
consideradas como linhas de distribuição (LD). O sistema Escelsa, a rigor, só tem LD, embora, na 
prática, ainda se possa designar suas linhas como LT, sem cometer grande erro. 
 
1.1 Geração, transmissão e distribuição (Subestações: SE) 
 
A estrutura de um grande sistema elétrico de potência (SEP) pode ser representada, 
basicamente, pelo esquema da Fig. 1. 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
13 
 
 
 
 
 
Fig. 1 – Estrutura básica de um sistema de potência. 
A geração é realizada em níveis de 6kV a 20kV, através de geradores síncronos trifásicos, 
acionados por meio de turbinas hidráulicas ou térmicas. 
Uma subestação (SE) é constituída, basicamente, por um transformador e mecanismos de 
chaveamento (disjuntores), medição, controle de potência reativa, para-raios, etc. 
As LT podem ser curtas, médias e longas, de acordo com seu comprimento (normalmente 
medido em quilômetros). Às vezes podem existir SEs "passantes", no meio da LT, apenas para 
compensar potência reativa e controlar a tensão da linha. 
As LD (entendidas como aquelas que alimentam diretamente os consumidores) podem ser 
consideradas LD primárias (AT = alta tensão) ou secundárias (BT = baixa tensão). 
Os consumidores podem ser tanto de alta como de baixa tensão (<1kV) e, portanto, devem 
ser alimentados nos correspondentes níveis. 
O sistema elétrico representado na Fig. 1 corresponde ao caso de um pequeno sistema 
elétrico isolado e radial. Na prática, os grandes sistemas elétricos são interligados e em anel, isto 
é, todas as suas usinas geradoras são interconectadas, em sincronismo elétrico, através de 
subestações, de sorte que se aumenta a confiabilidade, já que os consumidores não deixarão de ser 
atendidos se alguma usina sair do sistema por algum problema, ou mesmo alguma LT, já que haverá 
outros caminhos para o fluxo de potência (sistema em anel). 
 
1.2 Geração (controle de P e de Q) 
 
O controle das potências ativa e reativa geradas é feito por meio de duas variáveis de 
controle disponíveis ao operador da usina. O esquema da Fig. 2 ilustra tais relações. 
Sob a hipótese de um sistema de potência interligado, de grande tamanho, com linhas de 
transmissão longas e médias, pode-se falar em desacoplamento entre as variáveis de controle 
acima, de tal forma que a vazão da turbina e a tensão de excitação da excitatriz produzam efeitos 
praticamente independentes uma da outra. 
 
~
Geração Subestação LT LD Consumidores
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
14 
 
 
 
 
 
 
Fig. 2– Relações entre variáveis de controle e potências geradas. 
 
Se a vazão for aumentada pelo operador da usina, a consequência será o aumento da 
potência ativa, já que esta corresponde à potência efetivamente consumida (kW) e ao trabalho útil 
realizado. Este fenômeno pode ser compreendido como estando associado ao ângulo de carga (ou 
de torque) entre o campo do rotor e o campo girante induzido: como a frequência não pode 
aumentar (pois é mantida constante pelo sistema de controle) o aumento do ângulo (avanço do 
rotor pela maior vazão) se traduz em maior potência ativa fornecida à LT. 
Se a tensão de excitação for aumentada pelo operador, o efeito será o aumento da potência 
reativa fornecida pelo gerador à LT. Este fenômeno pode ser imaginado da seguinte forma: 
aumentando-se o número de linhas de campo magnético no campo indutor do gerador, este ficará 
com excesso de campo magnético, o que se traduzirá por maior capacidade de fornecer potência 
reativa, que é uma potência necessária para atender aos campos magnéticos de motores, reatores 
e similares. O módulo da tensão gerada aumenta efetivamente, justamente para provocar o fluxo 
de potência da fonte para a carga. A tensão na carga é que é mantida em valores estáveis, dentro 
de limites estabelecidos por Lei. 
Compensação de Reativos: O conceito de potência reativa, no âmbito dos circuitos elétricos, 
é duplo: fala-se em reativos indutivos (associados ao indutor L) e em reativos capacitivos (associados 
ao capacitor C). Em sistemas de potência (SP) considera-se apenas um único conceito, para efeito 
de simplificação: a potência reativa (Q), única!, é aquela associada às necessidades de consumo de 
equipamentos tais como motores,reatores, transformadores e LT. Portanto, a conclusão é que, no 
âmbito de um SP, as cargas do tipo indutivo (L) consomem potência reativa, enquanto as cargas do 
tipo capacitivo fornecem (ou geram) potência reativa. Daí dizer-se que equipamentos com base em 
capacitor (e seus equivalentes: compensadores síncronos, compensadores estáticos de reativos) 
são compensadores de reativos. A Fig. 3 ilustra tais conceitos. 
 
 ~ 
 P  jQ 
 P 
 jQ 
Excitatriz 
Turb. 
 Ger. 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
15 
 
 
Fig. 3 – Conceito de compensação de potência reativa. 
Portanto, um capacitor pode e deve ser considerado um verdadeiro gerador de potência 
reativa, fazendo o mesmo papel que faz um gerador síncrono ao fornecer (gerar) potência reativa! 
 
1.3 Distribuição (SEs e seus equipamentos) 
 
As linhas de distribuição situam-se, em geral, entre 11,4 kV e 34,5 kV e atendem aos 
consumidores finais, tanto em AT quanto em BT. 
As subestações (SEs) são constituídas por transformadores que têm a função de adaptar os 
níveis de tensão do sistema. Em geral são abaixadoras, mas existem as elevadoras (normalmente 
nas saídas dos geradores síncronos das usinas geradoras). 
Os principais componentes de uma SE são: 
1) Transformador; 
2) Disjuntor (interruptor sob carga); 
3) Chave seccionadora (interruptor sem carga, normalmente); 
4) Para-raios; 
5) Compensador de reativos (bancos de capacitores ou compensador síncrono); 
6) Compensador estático de reativos (solução mais moderna, ainda rara no Brasil); 
7) Filtros ativos (idem); 
8) Transformadores de medição (TP = transformador de potencial e TC = transformador de 
corrente); 
9) Sistema de aterramento (malha de aterramento, em geral). 
 
C 
L 
Q 
–Q 
(Consumidor de Q) 
(Fornecedor de Q) C  
Q 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
16 
 A disposição básica dos disjuntores (Disj.), transformadores (TR) e chaves seccionadoras (CS) 
é conforme se vê na Fig. 4. 
 
Fig. 4 – Disposição básica de disjuntor, transformador e seccionadoras. 
 A lógica dos esquemas de conexão é a seguinte: os equipamentos devem poder ser 
"isolados" do restante do sistema, para efeito de manutenção, pela abertura das seccionadoras. No 
caso de transformador em série com o disjuntor, ambos são isolados pelas seccionadoras. O 
disjuntor se localiza, preferencialmente, no lado de AT porque tais equipamentos são mais caros em 
função dos níveis de corrente do que de tensão. Na AT, as correntes são relativamente mais baixas 
do que na BT. No caso de uma unidade geradora, em muitos casos, esta fica diretamente ligada ao 
seu transformador elevador (sem um disjuntor entre eles). 
 
2 Sistema de transmissão 
 
Em geral tal sistema é formado por uma rede em anel, em que as subestações (barras do 
sistema) são ligadas por meio de linhas de transmissão que se fecham em malha (ou anel), conforme 
a Fig. 5. Os sistemas de subtransmissão e distribuição são, ao contrário, formados por redes radiais 
(embora, em algumas partes efetivamente sejam fechados em anel). 
 
Fig. 5 – Sistemas radial e em anel. 
 
Disj. 
Disj. 
TR 
CS1 CS2 
CS 
 ~ 
~
~
 ~
(Sistema radial)
(Sistema em anel)
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
17 
 2.1 Linhas curtas, médias e longas: [6] 
 
As linhas de transmissão (LT) podem ser classificadas como: 
a) Linhas curtas: até 80 km de comprimento; (Modelo: |----- x -----| ) 
b) Linhas médias: entre 80 e 240 km de comprimento; (Modelo de parâmetros 
concentrados aproximados, do tipo PI nominal) 
c) Linhas longas: acima de 240 km. (Modelo de parâmetros concentrados, mas calculados 
de forma mais exata, do tipo PI equivalente) 
As LT curtas podem ser representadas por uma impedância concentrada (R + jXL). Mas como, 
geralmente, XL >> R (para qualquer comprimento da LT), esta resistência pode ser desconsiderada 
em um modelo mais simples, onde as perdas são desprezadas (linha sem perdas). 
Em geral, os parâmetros são concentrados; mas para LT longas, tais parâmetros devem ser 
calculados a partir de uma consideração de parâmetros distribuídos. 
Nas linhas médias e longas, a capacitância acumulada ao longo da linha é usualmente 
dividida em duas partes e colocadas em paralelo nos terminais fonte e receptor da linha – circuito 
 – , conforme Fig. 6. 
 
Fig. 6 – Equivalente monofásico (ou unifilar) de uma LT média ou longa. 
 
2.2 Capacidade de transmissão 
 
A capacidade de transmissão de potência ativa é fundamental para o perfeito e estável 
funcionamento de uma LT. Conceitualmente, uma LT não é projetada para transmitir potência 
reativa (Q), mas apenas potência ativa (P). A potência reativa que flui na linha deve ser somente 
aquela necessária ao seu funcionamento, isto é: ao chamado carregamento da linha; uma inevitável 
reatância indutiva (XL) sempre existirá como um elemento série da linha, representando sua 
indutância equivalente (parâmetro da linha), consumindo potência reativa sempre que a LT estiver 
energizada. 
 
C/2 C/2 
XL RL 
i j 
Y/2 Y/2 
2X 2X 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
18 
 Considerando-se uma linha sem perda (R=0), tem-se o seguinte equacionamento para a 
potência transmitida de uma barra (i) para uma barra (j): 
 
Fig. 7 – Potência transmitida em uma LT. 
 
)sen(


L
ji
ij
X
VV
P
 
O ângulo  é o ângulo entre as duas tensões e é, também, o ângulo de carga, pois se relaciona (como 
numa máquina síncrona) ao nível de carga do consumidor (ou receptor). A Fig. 7 ilustra a LT (tipo 
curta) e o fluxo de potência ativa associado. Observa-se que a potência máxima ocorre para  = 90o, 
quanto então, P = Pmax . 
L
ji
X
VV
P

max
 
 
2.3 Potência ativa versus frequência do sistema 
 
Em um SEP, o conjunto dos geradores deve, continuamente, produzir a potência total sendo 
consumida, mais as perdas do sistema (nas LT, nos transformadores (transformadores), nos próprios 
geradores, motores, etc.). 
Se uma variação brusca de potência ativa ocorre (aumento ou diminuição), a frequência 
tende a alterar-se (diminuindo ou aumentando). No entanto, um sistema de controle existe, 
obrigatoriamente, que tentará – por meio da atuação nas máquinas motrizes primárias – compensar 
tais variações da carga e buscando a manutenção da frequência. Esta permanece, atualmente, em 
grandes sistemas elétricos interligados, praticamente constante, dentro de uma variação de  0,1%. 
XL
i j
Pij
~
CargaGerador
Vi
Vj
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
19 
 A interligação do sistema, em conjunto com a grande inércia associada aos grandes 
hidrogeradores, contribui para a obtenção de uma frequência constante. E esta, sendo constante, 
facilita o controle das demais variáveis: potências ativa, reativa e tensão nas barras. 
 Em resumo: o balanço (ou equilíbrio) da potência ativa em uma barra de um SEP estará 
garantido se a frequência da tensão na barra for mantida constante. 
 
2.3.1. O mecanismo carga frequência 
 
Quando ocorre uma diminuição de carga em um sistema isolado, a tendência é de que a 
frequência aumente – já que a inércia elétrica é muito menor do que a inércia mecânica, associada 
aos reguladores de velocidade das turbinas. Aumentando-se a frequência, motores de indução e 
síncronos tendem a desenvolver maior velocidade, drenando mais potência, o que acabacontribuindo para uma natural compensação da diminuição inicial da potência da carga, novamente 
afetando, para baixo, o valor da frequência elétrica. 
Este mecanismo “carga-frequência” está no cerne dos sistemas de controle de frequência e 
de potência gerada de um SEP. Verifica-se que a frequência deve ser mantida constante para que, 
dentre outras razões, as cargas compostas (motores na maior parte e iluminação/aquecimento) não 
tenham sua potência aumentada em função da frequência. (Observar que para cargas indutivas – 
RL – a potência diminui com o aumento da frequência! ...) 
 
2.3.2. Um análogo mecânico 
 
Um análogo mecânico do mecanismo “carga-frequência” de um SEP é uma composição 
ferroviária, em que a locomotiva deve puxar seus vagões com uma velocidade constante, apesar 
das variações da inclinação da linha férrea. Como esta pode ora estar subindo (embora não 
fortemente), ora estar descendo, a velocidade do trem tenderia a diminuir ou aumentar, 
respectivamente. Um sistema de controle baseando-se no monitoramento da velocidade deve 
existir para que a velocidade não se altere, sendo continuamente compensada pelo ajuste 
adequado na potência desenvolvida pela locomotiva. 
 
2.4 Potência reativa versus tensão na barra 
 
Supondo-se que grandes eletromagnetos (ímãs industriais), consumidores de potência 
reativa, sejam ligados a uma barra de um sistema elétrico, sendo mantida a mesma potência ativa 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
20 
 total da carga, maior corrente elétrica circulará na linha que alimenta a barra (SE) da instalação. Isto 
provocará maior queda de tensão na linha, o que diminuirá a tensão na barra. Esta relação entre 
potência reativa e tensão na barra caracteriza uma necessidade de equilíbrio (balanço) entre níveis 
de potência reativa solicitada pela carga e o nível de tensão na barra alimentadora. 
O análogo hidráulico relativo à corrente elétrica, visto nos estudos de circuitos elétricos, 
para explicar o fluxo de corrente, fica mais bem aplicado – nos estudos de SEP – ao fluxo de potência 
reativa. A Fig. 8 ilustra, portanto, o análogo hidráulico relativo ao fluxo de potência reativa entre 
duas barras de um SEP. 
 
 
 
 
Fig. 8 – Análogo hidráulico para o fluxo de reativos no SEP 
 
Em resumo: o balanço (ou equilíbrio) da potência reativa em uma barra de um SEP estará 
garantido se o módulo da tensão na barra for mantido constante. 
 
Para uma LT sem perdas (R = 0), a expressão que calcula a potência reativa fluindo entre 
duas barras "i" e "j" (de i para j) é a seguinte: 
)cos(
2



L
ji
L
i
ij
X
VV
X
V
Q
 
Este valor também se relaciona com a “perda” de reativos ou “consumo” de reativos na linha (QLT), 
que depende da queda de tensão (V): 
jiij
L
LT QQ
X
V
Q 


2
 
Finalmente, no campo das instalações elétricas costuma-se associar potência reativa 
(proveniente de banco de capacitores) à melhoria do fator de potência da instalação. No âmbito do 
SEP, é mais comum associar-se potências reativas e controle de tensão nas barras, já que a grande 
preocupação do engenheiro eletricista que atua em um SEP é a manutenção da tensão numa barra, 
o que é conseguido, em muitos casos, pela injeção/absorção de potência reativa na barra. 
 
Nível d’água 
|Vi| |Vj| 
Qij 
Fluxo d’água 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
21 
 3 Revisão de circuitos trifásicos 
 
A representação de circuitos trifásicos, por meio de seus valores eficazes de linha e de fase, 
e de seus diagramas fasoriais, tem sido um tópico que deixa os estudantes um pouco confusos. 
Especialmente quando se afirma que, para circuitos ligados em delta (), a “tensão de linha é igual 
à tensão de fase”. 
A abordagem abaixo visa a superar tais confusões. E para iniciar, faz-se a distinção entre 
tensões de rede e tensões de carga (ou de impedância). 
3.1 Tensões de rede 
 
As tensões de uma rede elétrica trifásica são sempre bem definidas. A Fig. 9 ilustra o 
diagrama fasorial das tensões de um sistema trifásico com suas relações angulares e de tensão. 
 
 
Fig. 9 – Rede trifásica e diagrama fasorial 
 
Os terminais da rede elétrica correspondem aos quatro terminais de uma linha de quatro 
fios (3F+N). Um voltímetro irá medir, sempre, tensões com a relação dada na figura. Isto é: a tensão 
de linha (VL) é, sempre, igual a 3 vezes a tensão de fase (VF): VL=3.VF. Qualquer que seja a rede 
elétrica trifásica, de alta ou de baixa tensão, essas relações da Fig. 9 se aplicam! 
Tensões de linha são, também, denominadas de tensão fase-fase; tensões de fase são, 
também, denominadas de tensão fase-neutro. 
A 
B 
C 
N 
A 
B 
C 
N 
120o 
 
VA VC 
VB VAB 
VCA 
VBC 
Terminais da 
rede elétrica 
Diagrama 
fasorial 
VF: VA, VB, VC 
VL: VAB, VBC, VCA 
(Seq.: ABC) 
VL=3.VF 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
22 
 No item a seguir, são estudadas as relações de tensão que se aplicam a cargas trifásicas 
equilibradas. 
3.2 Tensões na carga 
 
As cargas trifásicas podem ser ligadas em estrela (Y) ou em triângulo (ou delta, ). 
Considerando-se cargas trifásicas equilibradas, com impedâncias Z, em cada fase, tem-se a Fig. 10. 
 
Fig. 10 – Cargas (Z) ligadas em estrela e triângulo. 
O estudo comparativo entre essas duas figuras permite a compreensão mais clara e pode 
ajudar a eliminar as confusões que usualmente são feitas pelo estudante. Verifica-se que as tensões 
sobre as cargas Z ligadas em estrela correspondem às tensões de fase (VF) enquanto sobre as cargas 
Z ligadas em triângulo correspondem às tensões de linha (VL). Entenda-se que as letras da Fig. 10 
correspondem aos pontos de ligação dos terminais das fases da rede elétrica mostrada na Fig. 9. 
A título de exemplo, se for conhecida uma tensão de fase (VF) de uma dada rede elétrica (VA= 
12745o V, ficam conhecidas, de resto, todas as demais tensões. As demais tensões de fase ficam 
defasadas de 120o, dependendo da sequência de fase dada. E as tensões de linha (VL) ficam 
determinadas pelo módulo 3 vezes maior e por ângulos de fase 30o à frente ou atrás das 
respectivas tensões de fase, conforme esclarece a Fig. 9. Esta figura deve ser estuda com atenção 
para que sejam dominadas as relações básicas entre tensões de fase e de linha, válidas para 
qualquer rede elétrica trifásica! Verifica-se, facilmente, que a tensão de linha VAB terá ângulo de fase 
igual a 45o (da fase A) mais 30o, conforme a Fig. 9, na sequência considerada (positiva): VAB = 
22075o V. 
OBSERVAÇÃO: Não confundir os termos “fase” e “defasamento”. A fase de um fasor é o seu 
ângulo em relação à referência zero grau (0o), no eixo X (eixo real). Exemplo: a fase da tensão VB, da 
N 
VZ = VA 
V VZ = VAB 
Estrela (Y) Triângulo () 
A 
B B 
C C A 
Z Z 
Z 
Z 
Z 
Z 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
23 
 Fig. 9, é “– 90
o”. Já o defasamento entre as tensões VAB e VA é 30o, não tendo qualquer sinal. Se uma 
tensão estiver à frente ou atrás de outra isto é definido pelo diagrama fasorial ou pela informação 
de seus ângulos de fase. 
 Quando se diz que uma rede elétrica industrial é de 440 V, deve-se entender, 
imediatamente, que a rede apresenta tensão de linha de 440 V e tensão de fase de 254 V. Portanto, 
quando nada se diz, uma tensão deve ser entendida como tensão de linha. Uma exceção é a tensão 
doméstica de 127 V, que, neste caso, denota a tensão fase-neutroda rede. 
 
3.3 Fator de potência (fp) 
 
O fator de potência é um conceito estritamente monofásico. Expressa o percentual de 
potência ativa em relação à potência total (aparente) sendo fornecida. E está totalmente 
relacionado ao conceito de impedância equivalente de uma carga. O fator de potência de cargas 
trifásicas equilibradas coincide com o fator de potência de uma das impedâncias de carga (Z). Os 
triângulos de potência e de impedância, também, ajudam a melhor compreender-se o conceito de 
fator de potência. 
A Fig. 11 ilustra três considerações que devem ser feitas pelo técnico para identificar o fator 
de potência ou as variáveis dos sistema rede-carga. 
 
Fig. 11 – Fator de potência e suas considerações. 
 Para os estudos e cálculos relativos a fator de potência, o técnico deverá consultar, 
simultaneamente, essas três considerações: o diagrama fasorial, o triângulo de impedância e o 
 
V 
I 
 
I 
V Z 
Rede Carga 
 
Z 
R 
X 
 
S 
P 
Q 
Triângulo de potência Triângulo de impedância 
Diagrama fasorial 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
24 
 triângulo de potência. No caso da Fig. 11 o ângulo de defasamento visto no diagrama fasorial indica, 
sem qualquer dúvida, que a impedância é indutiva, pois a corrente está atrasada em relação à 
tensão. O triângulo de potência, portanto, deverá ser como na figura, com o vetor X apontado para 
cima (reatância positiva, + jX.) Igualmente para a potência reativa: + jQ. O ângulo do fator de 
potência (cos ) será dado por qualquer uma das três considerações. 
 O fator de potência, finalmente, para circuitos trifásicos equilibrados e com cargas lineares 
(fasores perfeitamente senoidais) é dado por meio das seguintes expressões: 
𝑓𝑝 =
𝑃
𝑆
 ; 𝑓𝑝 = cos ∅ 
 OBSERVAÇÃO: A reatância e a potência reativa são variáveis que têm, aliás, como a potência 
ativa, valores sempre positivos. Valores negativos, quando aparecem (por exemplo: – j 30 , – j 400 
Var e – 50 kW), são apenas para indicar que o valor referido é o contrário daquele, inicialmente, 
considerado positivo. Nos casos da reatância e da potência reativa, é apenas para indicar a posição 
do vetor no espaço cartesiano, ao se desenhar os diagramas correspondentes. Portanto, uma 
reatância, seja indutiva seja capacitiva, valendo 40  é indicada X = 40 . Isto é: não existe o 
conceito de reatância negativa (nem de potência reativa negativa). Nos cálculos com números 
complexos, sim: o operador “± j”, para indicar a posição do vetor reatância específico, terá de ser 
adequadamente utilizado. 
4 Revisão de sistema por unidade (pu) 
 
O termo "por unidade" é unanimemente usado em um SEP porque facilita enormemente a 
percepção, por parte do engenheiro, da situação de tensões, correntes e potências no sistema, em 
relação aos seus valores nominais. 
Fig. 12 – SEP com valores absolutos de tensão e corrente. 
 A Fig. 12 ilustra um SEP em que os valores indicados expressam os valores absolutos das 
tensões nas barras do sistema. 
 
 
~ 
 
 ~ 
1 
2 
4 
3 
 
13kV 
 
5,46kV 
 
12,83kV 
 
139,5kV 
 
137kV 
 
157,5kV 
 
130kV 
 
11,97kV 
 
500A 
 
G2 
 
G1 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
25 
 Para responder a tais perguntas, ele deverá buscar informações sobre os valores nominais 
dos transformadores e fazer algumas contas. Sabendo-se que as tensões nominais dos lados de BT 
dos transformadores são: 
BT1 = 15 kV; BT2 = 13,8 kV; BT3 = 6 kV; BT4 = 11,4 kV. 
Então o engenheiro poderá calcular as margens de tensão, acima ou abaixo dos valores 
nominais, para saber se estão dentro ou fora da faixa legal ou permissível. 
 Ora, considerando-se tais valores nominais como sendo BASES (ou referências) do sistema, 
e sabendo-se que os transformadores estão ajustados com suas relações de tensão nominais, pode-
se chegar aos valores "pu" indicados na Fig. 13 correspondente ao mesmo sistema elétrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 13 – SEP com valores também em pu (entre parênteses). 
 
 Sabendo-se ainda, que o valor BASE adotado para a tensão na AT é 150 kV, conclui-se que 
será necessário somente um valor pu de tensão para a barra, em vez de dois para os valores 
absolutos. 
 Para obter-se o valor pu da corrente no transformador T4, há que se conhecer o seu valor 
nominal (= BASE) de potência. Supondo-se uma potência de 30 MVA para ele, chega-se ao valor de 
0,33 pu para a corrente no secundário do transformador. – Por quê? Como se calcula este valor?... 
 A grande conclusão é que, utilizando-se valores em "pu", as informações sobre a situação 
das tensões nas barras ficam imediatamente aparentes ao engenheiro! A informação salta aos olhos 
indicando o quanto distante do valor 1,0 pu estão as tensões (ou as correntes). 
 Uma "mudança de base" será necessária para expressar as impedâncias de linha e dos 
equipamentos (transformadores, geradores, etc.) se os valores originais em pu não estiverem nas 
mesmas bases do sistema. Portanto, utiliza-se a expressão: 
 
 
 
~ 
 
 ~ 
1 
2 
4 
3 
 
13kV 
 
5,46kV 
 
12,83kV 
 
139,5kV 
 
137kV 
 
157,5kV 
 
130kV 
 
11,97kV 
 
500A 
 
G2 
 
G1 
 
(0,87) 
 
(0,93) 
 
(1,05) 
 
(0,91) 
 
(0,33) 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
26 
 
2







bn
bv
bv
bn
vn
V
V
S
S
ZZ
 (valor em pu) 
 
Onde: Zn e Zv significam impedâncias em pu "nova" e "velha"; Sbn e Sbv  potências de base 
"nova" e "velha"; Vbn e Vbv  tensões de base "nova" e "velha". 
 O uso de valores em por unidade (pu) exige algumas considerações: 
1. As cargas estarão sempre conectadas em estrela (Y) e supostas equilibradas! 
Isto porque o circuito equivalente monofásico de impedâncias supõe um 
ponto neutro, para a definição da tensão fase-neutro (a conexão delta não 
permite isto); 
2. Os valores-base dos equipamentos serão iguais aos seus valores nominais; 
3. Os valores-base de um circuito trifásico serão definidos e relacionados 
conforme as leis dos circuitos elétricos e como que “guardados”: 
Dados: Vb e Sb (valores trifásicos), obtêm-se: 
𝐼𝑏 =
𝑆𝑏
√3. 𝑉𝑏
 𝑒 𝑍𝑏 =
𝑉𝑏
2
𝑆𝑏
 
4. O uso de pu elimina os transformadores e a relação √3 entre tensões de 
linha (VL) e de fase (VF); 
5. Os valores-base nos lados BT e AT relacionam-se pela relação de tensão do 
transformador; 
6. A impedância-base de um equipamento trifásico é igual à sua impedância 
nominal, isto é: calculada como se fosse uma carga ligada em estrela com a 
potência trifásica do equipamento: 𝑍𝑏 = 𝑉𝑏
2 𝑆𝑏⁄ ; 
7. Os cálculos realizados no circuito monofásico equivalente de impedâncias, 
com grandezas todas em pu, são feitos como em circuitos monofásicos; 
𝑠 = 𝑣. 𝑖; 𝑖 =
𝑣
𝑧
 
8. Z e S são os valores-base para as duplas R e X, e P e Q, respectivamente! 
 
𝑞 =
𝑄
𝑆𝑏
; 𝑟 =
𝑅
𝑍𝑏
 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
27 
 4.1 Aplicação de valores pu a circuitos trifásicos simétricos 
com carga equilibrada [9] 
 
Qualquer circuito trifásico pode ser reduzido a um circuito equivalente monofásico (em 
diagrama unifilar) desde que todos os componentes ligados em triângulo () sejam substituídos por 
equivalentes ligados em estrela (Y). 
 
ESCOLHA DE BASES: 
 Considere-se um circuitotrifásico qualquer em que todos os seus componentes estejam 
ligados em estrela onde: 
 V = tensão de linha 
 Vf = tensão de fase 
 I = corrente de linha ou de fase (estrela: If = IL) 
 S = potência aparente trifásica 
 Sf = potência aparente por fase 
 Z = impedância da carga (conceito estritamente monofásico!) 
 
Ao se adotar para valores de base por fase, Vbf e Sbf , obtêm-se (em módulos): 
bf
bf
bf
V
S
I 
 , 
bf
bf
bf
bf
bf
S
V
I
V
Z
2

 
como corrente e impedância de base por fase. Os módulos das grandezas de fase, em pu, são (letras 
minúsculas para valores pu): 
bf
f
f
V
V
v 
 , 
bf
f
f
S
S
s 
 , 
bf
I
I
i 
 , 
bf
Z
Z
z 
 
 
 Se agora os valores de base são escolhidos como sendo os valores de linha, ou trifásicos, da 
rede, pode-se demonstrar que as grandezas de base corrente e impedância serão iguais aos valores 
obtidos com bases por fase. Isto é, pode-se demonstrar que Ib = Ibf e Zb = Zbf . 
𝐼𝑏 =
𝑆
√3. 𝑉
=
3. 𝑆𝑓
√3. (√3. 𝑉𝑓)
= 𝐼𝑏𝑓 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
28 
 
𝑍𝑏 =
𝑉2
𝑆
=
(√3. 𝑉𝑓)
2
3. 𝑆𝑏𝑓
=
𝑉𝑓
2
𝑆𝑏𝑓
= 𝑍𝑏𝑓 
Pode-se demonstrar, ainda, que os valores em pu das grandezas de linha (em módulo) serão 
iguais aos valores em pu das grandezas de fase. 
𝑣 =
𝑉𝐿
𝑉𝑏
=
√3. 𝑉𝑓
√3. 𝑉𝑏𝑓
=
𝑉𝑓
𝑉𝑏𝑓
 
 
 𝑖 =
𝐼
𝐼𝑏
=
𝐼𝑓
𝐼𝑏𝑓
 
(Neste caso: I = Ibf e Ib = Ibf .) 
 
𝑧 =
𝑍
𝑍𝑏
=
𝑍
𝑍𝑏𝑓
 
(Neste caso: Zb = Zbf, conforme visto acima.) 
 
 Conclui-se que, com a escolha adequada dos valores de base, os módulos das grandezas de 
linha e de fase, expressos em pu, são iguais! Quanto à fase dessas grandezas, deve-se lembrar que 
a tensão de linha adianta-se de 30o em relação à de fase para a sequência positiva (ABC). 
 
EXERCÍCIO (1): 
 Três impedâncias de 1060o  são ligadas em estrela e alimentadas por tensão de linha de 
220 V. Pede-se determinar a corrente (em A) e a potência complexa trifásica absorvida pela carga 
(em kVA) da seguinte forma: 
(a) Cálculos em pu com as bases fixadas por fase; 
(b) Cálculos em pu com as bases fixadas por valores de linha. 
 
Orientações: 
(i) Definir os valores-base de tensão e de potência (seja Sbf = 1000 VA); 
(ii) Calcular os valores base de corrente e de impedância; 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
29 
 (iii) Adotar a sequência de fase direta (positiva ou ABC) e VAN na fase 0
o (Considera-se apenas 
a fase A do circuito monofásico equivalente.); 
(iv) Calcular a corrente e a potência. 
 
EXERCÍCIO (2): 
 Um alternador trifásico de 100 kVA alimenta, por meio de uma linha (de transmissão), uma 
carga trifásica equilibrada. Conhecendo-se: 
(1) A impedância da linha: 0,05 + j0,15 ; 
(2) A tensão de linha na carga: 220 V, 60 Hz; 
(3) A potência (3) absorvida pela carga: 60 kW, cos = 0,6, indutivo. 
 
Pede-se determinar (com cálculos em pu): 
(a) As tensões fase-neutro e fase-fase no alternador em V; 
(b) Os reativos que deverão ser ligados em paralelo com a carga para tornar seu fator de 
potência 0,95 indutivo; 
(c) A tensão no alternador nas condições do item (b). 
 
Orientações: 
(i) Adotar a tensão de linha como tensão-base e a potência trifásica como potência-base; 
(ii) Desenhar o circuito monofásico equivalente para a fase A (colocar a tensão na carga 
como AN e a tensão no alternador como A’N); 
(iii) Colocar o fasor-corrente da fase A na referência (0º); 
(iv) Calcular as tensões no alternador; 
(v) Calcular a potência reativa (3) do banco de capacitores; 
(vi) Calcular a tensão do alternador (em pu) e compará-la com o valor de antes da 
compensação reativa. 
 
SOLUÇÃO E RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS: 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
30 
 EXERCÍCIO (1): 
 
SOLUÇÃO: 
 
Para o item (a): 
 
(i) Os valores base por fase são escolhidos: Vbf = 127 V; Sbf = 1.000 VA. 
 
(ii) Então, têm-se: Ibf = 7,87 A; Zbf = 16,15 . 
 
(iii) Seja a tensão real na fase A: VAN = 1270º V  vAN = 1,0 pu 
 
 A impedância da carga vale: z = 0,6260o pu. 
 
 Portanto, podem ser calculados os valores de iAN e de sf : 
iAN = 1,615-60o pu ; sf = 1,61560o pu. 
 
 Daqui obtêm-se os valores reais da corrente (linha = fase) e da potência por fase. Lembrando-
se de multiplicar por 3 a potência por fase para obter-se a potência trifásica (total), têm-se: IAN = 
12,7-60o A , S3 = 4.84560o VA. 
 
Para o item (b): 
 
(i) Os valores base de linha são escolhidos: Vb = 220 V; Sb = 3.000 VA. 
 
(ii) Então, têm-se: Ib = 7,87A; Zb = 16,15 . 
(iii) Seja a tensão real na fase A: VAN = 1270o V  VAB = 22030o V 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
31 
 O que dá: vAB = 1,030o pu. 
 
A impedância da carga vale: z = 0,6260o pu. 
 
 Portanto, podem ser calculados os valores de iAN = iA e de sf : 
iA = 1,615 60o pu ; sf = 1,61560o pu. 
 
Daqui obtêm-se os valores reais da corrente (linha = fase) e da potência trifásica. 
IA = 12,760o A 
Como a base já é trifásica tem-se: S3 = sf . Sb = 4.84560o VA. 
 
EXERCÍCIO (2): 
 
SOLUÇÃO: 
 
Para o item (a): 
 
(i) Sejam os valores de base: Vb = 220 V; Sb = 100 kVA (= 60 kW/0,6) 
 
(ii) Circuito monofásico equivalente: 
 
vAN e 
z 
zc 
A A
’ 
N 
~ 
 
Fig. 14 – Circuito monofásico equivalente (diagrama de impedâncias). Fonte: Referência [9] 
(iii) Seja a corrente na fase “A” a zero grau; a corrente resulta: iAN = 1,0 0o pu (a partir dos dados 
da carga); a impedância na carga resulta: zc=0,6+j0,8 pu = 1,053o pu. 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
32 
 A tensão na carga resulta: vAN = iAN (0,6+j0,8) = 1,053o pu 
(iv) Finalmente, obtém-se a tensão no alternador (e): e = vA’N = vAN + iAN.z 
 
(z = 0,103+j0,310 pu) 
 
 Então: vA’N = 1,3157,7o pu. Daqui são obtidas todas as tensões (F-N e F-F). 
 
 Resultados: VA’N = 166,557,7o V (valor-base-fase-neutro!) 
 VB’N = 166,5-62,3o V “ 
 VC’N = 166,5177,7o V “ 
 VA’B’ = 288,287,7o V (valor-base-linha!) 
 VB’C’ = 288,2-32,3o V “ 
 VC’A’ = 288,2207,7o V “ 
 
Para o item (b): 
 
(v) Potência aparente atual: s1 = 0,6 + j0,8 pu 
 Para um novo fator de potência 0,95  s2 = 0,6 + j0,197 
 
Então: j0,8 – j0,197 = j0,603 é a potência reativa que deve ser “injetada” localmente pelo 
banco de capacitores! 
 
Tem-se, finalmente: qcap = j0,603 pu  Qcap = 60,3 kvar. 
 
 
Para o item (c): 
(vi) O cálculo da tensão no gerador é feito calculando-se, antes, a (nova) corrente na carga: 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
33 
 
 p = vAN . iAN . cos = vAN . iAN . 0,95  iAN = 0,6310o pu 
 
 Então: vA’N = vAN + iAN.z  vA’N = 1,1426,4o pu. 
 
 Comparação: este módulo é menor do que aquele que existia antes da compensação reativa. 
Isto mostra que tal compensação exige menos esforço do gerador (ou do sistema elétrico) para 
fornecer a mesma potência ativa (0,6 pu)! 
 
 
4.2 Choque de bases [9] 
 
 Este item está baseado na referência [9], isto é: ROBBA, E. J. Introdução aos sistemas 
elétricos de potência – componentes simétricos. Edgar Blücher, São Paulo, 1973. São feitasalgumas 
observações e adaptações. 
O choque de bases ocorre quando uma base de tensão já previamente definida, ou já 
existente, entra em conflito com uma nova base que estaria sendo definida a partir da relação de 
tensões operacional de certo transformador. A Fig. 15 ilustra tal situação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 15 – Choque de bases. Fonte: Referência [9] 
A Escolha das bases do sistema da Fig. 15 iniciou-se pela definição da base Vb1. As demais 
foram sendo definidas pelas relações operacionais de tensão dos transformadores. Ao se atingir o 
transformador T4, a tensão de base dada pela relação de tensão deveria ser Vb5. No entanto, já 
 A A’ B B’ 
T1 T2 
D D’ C C’ 
T4 T3 
[Vb2] [Vb3] 
[Vb3] 
[Vb2] [Vb1] 
[Vb4] [Vb4] 
[Vb1 ] 
ou 
[Vb5]?? 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
34 
 existe, previamente definida, a tensão de base Vb1. Isto caracteriza um “choque de bases”. Há que 
se resolver o problema. 
Observações: a) Entenda-se relação de tensões operacional como sendo aquela definida para a 
operação do transformador, que pode ser a nominal ou diferente desta. Normalmente os 
transformadores de potência podem ter seus tapes ajustados, de forma manual ou 
automaticamente, o que define a sua relação operacional. b) Se as relações operacionais dos 
transformadores T1 e T4 fossem iguais entre si, e, também, as dos transformadores T2 e T3, pode-
se verificar que não haveria choque de bases, o que é muito comum. No entanto, se as relações 
operacionais são diferentes dois a dois, por serem diferentes os transformadores, ou por outra 
razão, pode ocorrer o choque de bases. 
Seja um transformador monofásico conforme a Fig. 16. 
 
 
 
 
 
 
Fig. 16 – Transformador monofásico e suas relações de tensão. Fonte: Referência [9] 
 
 As relações de tensão relativas a este transformador podem ser assim obtidas: 
nN
N
V
V
N
N 1
2
1
2
1 
  
12 NN
VnV 
 Igualmente: 
nN
N
V
V
b
b 1
2
1
2
1 
 
12 bb
VnV 
 
 Analisa-se o agora o caso de um choque de bases (como no transformador T4, na Fig. 17). 
 
 
 
 
 
Fig. 17 – Transformador com choque de bases. Fonte: Referência [9] 
 
 1:n 
VN1 VN2 
(N1) (N2) 
[Vb1] [V’b2] [V’b2]  [Vb2] 
 1:n 
VN1 VN2 
(N1) (N2) 
[Vb1] [Vb2] 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
35 
 Considere-se a tensão de base V
’
b2 como sendo a tensão de base “existente”, isto é, vez de 
ser aquela definida pela relação operacional (n) do transformador considerado ([Vb5], no caso de 
T4), passa a ser a tensão de base já previamente existente ou definida ([Vb1], no caso de T4). 
 As seguintes relações de tensão são obtidas. 
nN
N
V
V
N
N 1
2
1
2
1 
  
12 NN
VnV 
 Analogamente: 
nN
N
V
V
b
b 1
2
1
'
2
1 
  
1
'
2 bb
VnV 
 !! 
 Seja a tensão V1 aplicada ao primário. Tem-se, então, no secundário: 
12
VnV 
. 
 Considerando variáveis em letras minúsculas representando valores em “pu”, obtêm-se: 
1
1
1
bV
V
v 
 ; 
'
2
2
2
bV
V
v 
  
'
21
2
'
2
1 1
12
bN
N
b V
V
V
V
Vn
Vv 
 (1) 
Multiplicando e dividindo por Vb1 esta última expressão (1), obtém-se: 
 
 
'
2
2
1
1
1
1
2
b
N
N
b
b V
V
V
V
V
V
v 
  
'
2
2
1
1
1
12
b
N
bV
NV V
V
vv 
  
1
2
12
N
N
v
v
vv 
  
12
vv   
 
Onde: 
1
1
'
2
2
1
2
bV
NV
bV
NV
N
N
v
v
 pode ser considerada uma relação de tensões em pu ou fora da 
nominal (off-nominal turns-ratio). 
Ao se observar que a relação operacional n é, também, como visto acima, igual a Vb2/Vb1 , 
pode-se expressar essa relação de tensões em pu (α), de outra forma, como sendo: 
𝛼 =
𝑉𝑁2
𝑉𝑁1
.
𝑉𝑏1
𝑉𝑏2
′ = 𝑛.
𝑉𝑏1
𝑉𝑏2
′ =
𝑉𝑏2
𝑉𝑏1
.
𝑉𝑏1
𝑉𝑏2
′ => 𝛼 =
𝑉𝑏2
𝑉𝑏2
′ 
Isto é, a relação α pode, também, ser dada e entendida como a relação entre a tensão base 
operacional e a tensão base existente. 
 Conclusão: o transformador que se encontra em situação de “choque de bases”, deverá ser 
representado no sistema equivalente monofásico, em pu, do sistema de potência real, como um 
transformador (ou autotransformador) ideal em série com sua impedância percentual (ou pu), 
conforme a Fig. 18. 
vN2 
vN1 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
36 
 . 
 
 
 
 
 
 
Fig. 18 – Representação em diagrama monofásico equivalente. Fonte: Referência [9] 
 
4.3 Representação de transformadores com comutador de 
tap [9] 
 
 
É comum em sistema de potência existir transformadores com relação de espiras ajustável, 
sob carga. São os chamados transformadores de tap ajustável (tap changing transformers). Como 
as tensões base dos lados de AT e BT do transformador se relacionam pela sua relação de tensões 
(ou de espiras), a mudança da relação de espiras exigiria a alteração das tensões base! Isto não é 
possível... A solução é a fixação da relação das tensões base pela relação nominal de tensões do 
transformador. Quando o transformador sofre um ajuste na sua relação de espiras, ficando com 
relação de espiras fora da nominal (off nominal), o transformador precisa ser representado no 
diagrama unifilar, em pu, por meio de um transformador (ou autotransformador) em série com sua 
impedância de curto-circuito (ou impedância percentual), como foi analisado no assunto Choque de 
Bases. 
 Para expressar a variação de tap do transformador usa-se a letra “a”, cujo valor sendo maior 
que 1 (a >1) indica aumento ou, sendo menor que 1 (a <1) indica diminuição do número de espiras 
do enrolamento. Tal número normalmente indica uma fração das espiras, ou um valor percentual 
em relação ao número de espiras em situação nominal. 
 Se, por exemplo, o secundário de um transformador tem um total de 110 espiras, e 100 
espiras na tensão nominal, e um ajuste é feito de +5 espiras, tem-se que: a = 5% ou a = 0,05 pu. Ora, 
como as 100 espiras constituem a relação nominal do transformador, tem-se que o transformador 
estará com relação fora da nominal () igual a:  = 1 + a = 1,05 pu. 
 
1: 
v1 v2 
[Vb1] [V’b2] 
ou: 
v1 
v2 
1: 
zT 
zT 
[Vb1] [V’b2] 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
37 
 Diz-se, então, que um transformador está com relação nominal quando  = 1 pu, e estará 
com relação fora da nominal para   1,0 pu. E a variação de tap em relação ao ponto nominal (a = 
0) é a diferença: a =  - 1 (pu). 
 Seja um transformador com tensões nominais V1 e V2, com comutador de tap no secundário 
(V2), com um valor-limite de ae espiras, que está ajustado para um determinado valor a. 
Considerando-se os valores nominais (V1 e V2) como os valores-base das tensões dos dois lados do 
transformador, e aplicando-se uma tensão V no primário, tem-se, para a tensão secundária (V’): 
 
1
2'
)1(
V
aV
VV


 
Em pu, tem-se: 
1
V
V
v 
 ; 
)1()1(
12
'
'
ava
V
V
V
V
v 
 
 
Portanto, o autotransformador ideal que será inserido no circuito monofásico equivalente 
de impedâncias (em pu) terá relação de espiras: 1: (1 + a), conforme a Fig. 19. 
 
 
 
 
 
Fig. 19 - Representação de um transformador com relação fora da nominal: (esquerda)circuito 
equivalente; (direita) circuito em pu. Fonte: Referência [9] 
 
 
Os modelos utilizados atualmente nos computadores, para representar sistemas de 
potência, nunca incluem o transformador (ou autotransformador), mas apenas a sua representação. 
Para tanto é necessário substituir-se o autotransformador e sua impedância série (z) por um modelo 
do tipo quadripolo equivalente. 
A Fig. 20, abaixo, ilustra os dois circuitos que devem ser equivalentes. 
 
v v
'=v(1+a) 
1: 
A 
B 
A 
B 
v 
z 
z 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
38 
 
 
 
 
 
(a) (b) 
Fig. 20 – (a) transformador fora da derivação nominal; (b) Circuito passivo equivalente. 
Fonte: Referência [9] 
 
 
As equações que representam o autotransformador são: 
sse
i
a
z
v
a
v




11
1
 
sse
iavi )1(0 
 
 
Já para o quadripolo equivalente, têm-se: 
sse
izv
z
z
v
2
3
21 








 
sse
i
z
z
v
zz
z
zz
i 














1
2
31
2
31
1
11
 
 
Portanto, forçando a igualdade dos coeficientes dos dois sistemas de equação, obtêm-se: 
 
)1(
1



z
z
 

z
z 
2
 


1
3
z
z
 (onde: 
a1
) 
 
que são as impedâncias em pu a serem inseridas no circuito passivo equivalente (Fig. 20–b) para 
representar, no sistema de potência (em pu), o transformador com tap fora da derivação nominal. 
Obtém-se, novamente, um sistema de potência monofásico, em pu, sem transformadores! 
 
ve vs 
1: (=1+a) 
ie z is 
ve vs z1 
z2 
z3 
ie is 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
39 
 Observação: A impedância do transformador é, normalmente, considerada uma reatância indutiva 
pura (reatância de dispersão). Portanto, um denominador negativo (1  , para  > 1) transforma 
jx em jx : um reator em um capacitor!) 
 
EXERCÍCIO: 
 Um barramento infinito alimenta, por meio de um transformador e de uma linha, uma carga 
indutiva monofásica que absorve 50 MVA e 40 MW quando alimentada por tensão de 62,8 kV e 60 
Hz. São dados: 
(1) Tensão do barramento infinito: 220 kV; 
(2) Transformador monofásico, 100 MVA, 220/69 kV, x = 8% com variador de derivação no 
enrolamento de BT que permite ajuste de  10 %, em 24 pontos; 
(3) Impedância de linha, 0,04 + j0,06 pu nas bases de 69 kV e 100 MVA. 
 
Pede-se: 
(a) Ajustar o tap de derivação do transformador de modo tal que a tensão na carga 
esteja o mais próximo possível de 69 kV. 
(b) Calcular os valores das impedâncias-pu do circuito equivalente a ser usado em 
cálculos computacionais para estudo de fluxo de carga no sistema de potência. 
 
Orientações para a solução do problema: 
(i) Adotar os valores-base do sistema como os do barramento infinito. 
(ii) Colocar a impedância percentual do transformador no lado de BT em série com as 
impedâncias da linha e da carga (esta última deve ser calculada para a tensão real aplicada 
à carga). 
(iii) Supor a tensão de 69 kV aplicada à carga (já que se quer um valor real o mais próximo 
possível deste). 
(iv) Entenda-se  10 %, em 24 pontos, como sendo a’ = (2 x 0,10)/24 a variação pu por cada ponto 
do variador. 
 
 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
40 
 SOLUÇÃO E RESPOSTAS DO EXERCÍCIO PROPOSTO 
 
SOLUÇÃO: 
Para o item (a): 
 
(i) Valores-base: Vb = 220 kV no barramento infinito; Sb = 100 MVA (esta, para todo o sistema) 
 
 No secundário do transformador: Vbsec = 69 kV (já que a relação nominal é justamente: 
220/69kV) 
 
(ii) O transformador será representado pela sua impedância de curto-circuito em série com um 
autotransformador de relação de tensões 1 :  , onde  = 1+ a . (Ver Fig. 21, à frente.) 
 
Os parâmetros (zT, zL) não são alterados em seus valores pu já que os valores de tensão 
nominal (bases da impedância do transformador) e os valores base da LT equivalem aos valores base 
escolhidos para o sistema. 
 
Já o valor de zc deve ser calculado para a tensão real dada: 50 MVA e 40MW em 62,8 kV! 
Esta tensão se transforma em 0,91 pu e zc é calculado: 
 
Então: zc = 1,65637o pu. 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 21 – Representação do transformador por um autotransformador. Fonte: Referência [9] 
 
 
vbi vc 
1: ( =1+a) 
ibi zT 
ic 
zc 
zL 
vsec 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
41 
 (iii) Para uma tensão na carga suposta 69kV ou 1,0 pu, calcula-se a ic. Adotando-se a corrente na 
referência, tem-se: 
 
 vc = 1,0 37o pu; ic = 0,604 0o pu. 
 
 Calcula-se a tensão no secundário: vsec = vc + ic(zT+zL)  vsec = 1,0739,7o pu. 
 
 Portanto a relação do transformador fica definida como:  = 1 + a = 1,07  a = 0,07 pu 
 
 Como a variação por ponto do secundário é a’ = 0,00833 pu/ponto  o número de pontos 
será: 
4,8
/00833,0
07,0
'

ptopu
pu
a
a
n
pontos. 
 
 Não sendo possível tomar um número de pontos fracionário (o cursor da tomada do 
secundário faz contato com um ponto por vez) têm-se duas opções: 
 
a1 = 8 . a’ ou a2 = 9 . a’ (pu) 
 
 Aplicando-se divisor de tensão: 










cLT
c
bic
zzz
z
vv 
 (vbi = 1,0 pu) 
 
 Substituindo-se os valores a1 e a2 , obtêm-se: 
 
vc1 = 1,066.(0,936-2,8o) pu = 0,99-2,8o pu 
 
vc2 =1,075.(0,936-2,8o) pu = 1,006-2,8o pu  Parece ser a melhor ! (0,006 pu acima do valor 
desejado, contra 0,010 pu abaixo, no caso 1) 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
42 
 Portanto: o tap será ajustado para 9 pontos acima do ajuste nominal (ou 7,5% acima do valor 
nominal). 
 
Para o item (b): – É só fazer as contas!... 
 
 
5 Horário de verão (HV) 
 
O horário de verão foi uma ideia que Benjamin Franklin teve, já no século XVIII (1784). No 
entanto, só começou a ser aplicada muitos anos mais tarde, na Alemanha, em 1916, no início da 
primeira guerra mundial, para economizar carvão (Wikipédia: Horário de Verão). A ideia básica é 
aproveitar a luz do sol durante o verão, em que o dia dura mais do que a noite em relação às outras 
estações, para locais situados a partir de cerca de 20o de latitudes norte ou sul. 
No Brasil, o HV teve início em 1931, e foi aplicado a todo o território nacional. A experiência 
mostrou que não se justifica utilizá-lo nas regiões NE e N do País. Atualmente, o HV é aplicado a 
apenas nas regiões SE, S e CO. Desde de 2008 um decreto (No 6558) determina que o início do HV no 
Brasil ocorra no terceiro domingo de outubro e termine no terceiro domingo de fevereiro (exceto 
se este for um domingo de carnaval, quando então se desloca para o domingo seguinte). 
 
5.1 Objetivo do horário de verão. 
 
Tecnicamente, o horário de verão (HV) se justifica como uma medida para diminuir a 
demanda de potência elétrica no momento em que a iluminação pública entra no sistema. 
Normalmente, sem o HV, esse momento tem coincidido com a demanda máxima ocorrente no início 
da noite. Nesse momento (suponha-se, 18h), a população está retornando para suas residências e 
liga luzes, chuveiros e condicionadores de ar, havendo a coincidência da entrada da iluminação 
pública, que é uma demanda de potência considerável para a concessionária de energia local. 
Tendo-se em vista os dias mais longosdo verão, o adiantar de uma hora no horário oficial 
fará com que, naquele momento (18h, agora sendo igual às 17h do horário normal), a demanda 
fique reduzida, visto que a demanda da iluminação pública e das luzes das residências somente 
entrará no sistema uma hora mais tarde. Este desacoplamento entre “iluminação pública e 
residencial” e “cargas de chuveiros e condicionadores de ar” faz com que a demanda máxima, 
costumeiramente ocorrente nesse horário, fique abatida, reduzida de um valor significativo. Isto é 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
43 
 favorável à manutenção de um sistema mais estável, que não venha a cair (apagão) pelo excesso de 
demanda de potência. O HV diminui, portanto, os riscos de falta de energia elétrica. 
 
5.2 A economia é marginal (secundária) 
 
A economia de energia elétrica, isto é, a diminuição do consumo de energia elétrica 
(quilowatt-hora = kWh) não é objetivo do HV. Qualquer diminuição é marginal e ocorrerá pelo fato 
de a noite ser menor, já que o dia é maior e terá sido mais bem aproveitado pelo adiantar dos 
relógios. 
O objetivo do HV, conforme o ONS (Operador Nacional do Sistema) é o seguinte: “O Horário 
de Verão tem como objetivo principal a redução da demanda máxima do Sistema Interligado 
Nacional no período de ponta. Isso é possível, pelo fato da parcela de carga referente à iluminação 
ser acionada mais tarde, que normalmente o seria, motivada pelo adiantamento do horário 
brasileiro em 1 hora”. 
 Em inglês, utiliza-se a sigla DST ("Daylight Saving Time" = Horário de economia com luz do 
dia, em tradução livre), para enfatizar o aspecto técnico da medida, embora o termo economia de 
energia confunda as pessoas e a mídia. Esta, normalmente, fala em economia de “5% de energia” e 
cita valores de potência (700 MW). Na verdade, no Brasil, o HV produz uma redução de cerca de 5% 
na demanda máxima de potência, em relação aos períodos de horário normal. Mas a economia de 
energia (kWh) fica em valores entre 0,1 a 0,5% dos valores que, normalmente, seriam gastos. O 
objetivo não é, definitivamente, economizar energia, como se divulga, amplamente, na mídia. 
 
6 Qualidade do fornecimento de energia elétrica [8] 
 
Falar em qualidade da energia elétrica é buscar identificar se o sistema elétrico apresenta suas 
grandezas elétricas com boa qualidade, má qualidade ou qualidade aceitável. 
 
Qualidade do ar  poluição do ar 
 
Qualidade da energia elétrica (QEE)  poluição harmônica (das grandezas elétricas) 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
44 
 Boa QEE: "é aquela que garante o funcionamento contínuo, seguro e adequado dos 
equipamentos elétricos e processos associados, sem afetar o meio ambiente e o bem-estar das 
pessoas" (Bronzeado, 1997, in Referência [8]). 
 
Causa básica do problema de poluição harmônica: novas cargas não-lineares: 
 
Antigamente: somente se falava na 3a harmônica (saturação de transformadores) 
Hoje: 
 fornos elétricos a arco 
 pontes conversoras trifásicas 
 computadores e impressoras (suas fontes de alimentação) 
 compensadores estáticos 
 televisores 
 fornos de micro-ondas 
 fotocopiadoras 
 reatores eletrônicos e eletromagnéticos 
 conversores CC 
 inversores de frequência ou controladores de velocidade de motores (ASD: Adjustable 
Speed Drives) 
 
6.1 Distúrbios relacionados com a QEE 
 
Quatro parâmetros principais devem ser observados: 
 Frequência 
 Forma-de-onda 
 Amplitude da tensão 
 Equilíbrio das tensões (módulo e ângulo) 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
45 
 Principais fenômenos que afetam a QEE: 
a) Variações transitórias de tensão (Transient Voltages) 
 Surtos de tensão (Impulsive Transients) - descargas atmosféricas 
 Transitórios oscilatórios de tensão (Oscillatory Transients) - manobras de 
grandes equipamentos e LT 
 Recortes de tensão (Notching) – distorcendo a forma-de-onda da tensão. 
 
b) Variações momentâneas de tensão (1/2 ciclo a 1 min) (RMS) 
 Subtensões momentâneas ou depressão (Voltage Sags) 10 % a 90 % 
 Sobretensões momentâneas ou elevações (Voltage Swell) >110 % 
 Interrupções momentâneas de tensão (Short Duration Interruption) <10 % 
 
c) Variações sustentadas de tensão (Long Duration Voltage Variation) (RMS) >= 1min 
 Subtensões sustentadas (Under Voltage) 10% a 90% 
 Sobretensões sustentadas (Over Voltage) >110% 
 Interrupções sustentadas de tensão (Sustained Interruption) <10% 
 
d) Variações momentâneas de frequência 
 Tais variações são mínimas e, em geral, estão associadas a fenômenos dinâmicos 
(transitórios), que dependem de variações abruptas e muito grandes da carga, e 
do tempo de resposta do sistema de controle automático. 
 
e) Distorção harmônica total, flutuação de tensão, cintilação e desequilíbrio de tensões. 
 
 Distorção harmônica total (THD) 
 Flutuação de tensão (Voltage Fluctuation) (RMS) 95 % a 105% 
 Cintilação (Flicker) 
 Desequilíbrio de tensões (Voltage Imbalance) 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
46 
  Distorção harmônica total (THD) – É um parâmetro que denuncia o nível de "poluição 
harmônica" da onda de tensão ou de corrente; baseia-se na teoria da Série de Fourier, que afirma 
que qualquer sinal pode ser sintetizado pela somatória adequada de uma onda senoidal de 
frequência fundamental (a frequência do sinal original) com infinitas ondas, todas senoidais, de 
frequências múltiplas da fundamental e com amplitudes variadas e ângulos de fase específicos. 
 
 Flutuação de tensão (Voltage Fluctuation) –Trata-se de variações sistemáticas de tensão 
eficaz, intermitentes, dentro de uma faixa entre 95 e 105 %. 
 
 Cintilação (Flicker) – É a sensação visual correspondente à variação do fluxo luminoso de 
lâmpadas elétricas (normalmente, incandescentes) causada, esta última, por flutuações de tensão 
da rede elétrica. 
 
 Desequilíbrio de tensões (Voltage Imbalance) – É o desequilíbrio, em termos de 
amplitude e fase, das tensões de um sistema trifásico de energia elétrica. Afastamentos da 
igualdade de amplitudes e da fase de 120o elétricos entre as tensões podem causar grandes 
desequilíbrios de corrente no sistema. 
 
6.2 Três distúrbios mais comuns: 
 
Segundo o EPRI (Electrotechnical Power Research Institute) três distúrbios, mais comuns, que 
afetam a qualidade da energia elétrica são os seguintes: 
 
 Variações transitórias de tensão 
Os surtos de tensão provocam degradação ou falha imediata nos isoladores de 
equipamentos elétricos, além de outras consequências negativas. 
 
 Depressão de tensão (Voltage Sags) 
Provocam alterações no funcionamento de CLPs, relés, microprocessadores, etc. Ainda: 
variação da velocidade de motores; falhas em inversores de frequência, etc. 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
47 
  Harmônicos 
Aparecem como consequência da tentativa de conservação de energia e melhoria da 
eficiência energética, pelo uso de inversores de frequência, reatores eletrônicos, e, em 
geral, equipamentos baseados na eletrônica de potência. 
 
6.3 Fator de potência generalizado 
 
Resgatar o conceito generalizado do fator de potência é muito importante, hoje em dia, 
devido,justamente, à presença crescente das chamadas cargas não lineares: aquelas baseadas em 
diodos, tiristores, transistores (eletrônica de potência). 
Até o final da década de 80 (século XX), pode-se afirmar que o conceito de fator de potência 
utilizado era um conceito particularizado, porque aplicado aos sistemas elétricos de formas de onda 
perfeitamente senoidais. Com o advento e o crescimento das cargas eletrônicas na indústria e, 
depois, no comércio, nas residências e na iluminação pública, a corrente elétrica drenada da rede 
elétrica passou a ter uma forma-de-onda não senoidal. Isto fez com que o uso do conceito de fator 
de potência particularizado não fosse mais adequado. 
 
 Conceito de fator de potência (particularizado) aplicado a cargas lineares (corrente com 
forma de onda perfeitamente senoidal): 
)cos(
S
P
fp
 
 
 Conceito de fator de potência (generalizado) aplicado a cargas não-lineares (corrente com 
forma-de-onda não-senoidal): 
2
1
)cos(
)cos()cos(
THDS
P
fp



 
 
Para maiores esclarecimentos, recorrer à referência [10]. 
 
Interpretando-se o conceito generalizado acima, pode-se afirmar que o fator de potência a 
ser usado, atualmente, tem de contemplar, além do fator de deslocamento (cos()), o fator de 
distorção harmônica (cos()). Este último também pode ser dado pela expressão 
2
1
1
)cos(
THD

 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
48 
 Onde, THD é a distorção harmônica total da forma-de-onda de corrente não-senoidal circulando 
pela rede elétrica. Caso a distorção harmônica seja nula, verifica-se que o fator de distorção torna-
se unitário, o que resulta no caso particularizado do fator de potência para formas-de-onda 
senoidais, em que ele é dado, apenas, pelo fator de deslocamento, cos(). Este último corresponde 
ao cosseno do ângulo () entre a corrente e a tensão (ambas de formato senoidal), ou ângulo da 
impedância da carga. 
 
6.4 Melhoria da QEE: 
 
Algumas medidas podem ser tomadas para melhoria do fator de potência (generalizado) de 
uma determinada instalação elétrica. Abaixo são comentadas, brevemente, algumas dessas 
soluções: 
 
 Utilização de sistemas ininterruptos de energia (UPS = Uninterruptible Power System), 
também conhecidos popularmente como No-breaks. Esta solução é adotada apenas para 
proteger o equipamento ligado à UPS, pois independentemente da forma-de-onda da 
tensão da rede elétrica (que pode estar com baixa qualidade), tal equipamento receberá 
tensão senoidal e de boa qualidade geral. 
 
 Utilização de Filtros Harmônicos: como o próprio nome indica, são filtros que eliminam 
ou minimizam o conteúdo harmônico da corrente a ser drenada da rede elétrica, 
preservando, por consequência, a forma de onda senoidal da tensão (que deve ser 
sempre o mais senoidal possível). Tais filtros podem ser: passivos (LC) ou ativos 
(baseados em eletrônica de potência = circuitos chaveados a IGBT, por exemplo). 
 
 Utilização de condicionadores de potência (power conditioners): para variações 
momentâneas de tensão (como os Sags, ou depressões de tensão), existem 
equipamentos baseados em supercondutores, como o SMES – Superconductor Magnetic 
Energy Storage, capazes de fornecer altas potências em intervalos pequenos de tempo. 
O SMES foi projetado pela Babcock & Wilcox para o sistema isolado do Alasca (600 MW) 
e é capaz de fornecer 30 MW durante um período superior a 20 segundos, corrigindo, 
durante este tempo, a anomalia da forma-de-onda da tensão da rede elétrica. 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
49 
  Utilização de equipamentos de melhor qualidade: equipamentos de alto fator de 
potência, que drenem da rede elétrica correntes com forma-de-onda praticamente 
senoidal (ou com baixíssimo conteúdo harmônico) devem ser preferencialmente 
projetados, fabricados e comercializados. É o caso de equipamentos com correção de 
fator de potência que lhes confere a característica de, apesar de serem equipamentos de 
eletrônica de potência e cargas não lineares, funcionarem, do ponto de vista da rede 
elétrica, como se fossem cargas lineares. 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
50 
 INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA – ISEP 
 
Cap. 2 – MODELOS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO [6] 
 
1. Caracterização 
 
Uma linha de transmissão (LT) é caracterizada, fisicamente, por torres de sustentação dos cabos 
condutores, com seus isoladores, sistema de aterramento e cabo para-raios. Em geral a cada LT está 
associada uma "faixa de passagem", que de acordo com legislação já antiga, seria de propriedade 
da concessionária de energia elétrica e não poderia haver quaisquer tipos de construção no seu 
interior. No entanto, atualmente, o que se constata é a utilização dessas faixas de passagem pela 
população de forma quase desordenada, o que pode estar representando riscos de vida 
desnecessários. 
As LT trifásicas funcionam na hipótese (suficientemente exata) de que as cargas estejam 
equilibradas nas suas três fases. 
Sobre as reatâncias das linhas, pode-se dizer que, mesmo que os espaçamentos entre as fases 
não sejam equilibrados (como ocorre numa disposição triangular equilátera), considera-se a 
assimetria resultante pequena, e as fases podem ser consideradas equilibradas, em termos de suas 
reatâncias indutivas totais. Para linhas muito longas, um processo de "transposição" de fases pode 
ser previsto no projeto e realizado já na sua construção. 
Este capítulo tem por base o já clássico livro do Prof. William D. Stevenson, Elementos de Análise 
de Sistemas de Potência (2ª Ed. brasileira), em seus capítulos 3, 4 e 5. Este autor faz, apenas, uma 
abordagem mais objetiva e sintética, contribuindo, também, especialmente, na parte de linhas 
longas. 
2. Classificação e representação. 
 
As LT, como já citado no capítulo introdutório, podem ser classificadas como linhas curtas (de 
comprimento menor que 80km), médias (entre 80km e 240km) e longas (maiores que 240km). 
Para as linhas mais longas, a relação entre a reatância indutiva por fase e a resistência por fase 
é da ordem de 7 a 15 vezes, o que permitirá ao engenheiro de sistemas, em muitas situações, 
desconsiderar a resistência e tratar a LT como uma linha sem perdas, o que em muito simplifica a 
análise de suas relações de tensão e de corrente. 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
51 
 As LT trifásicas são, em geral, representadas de forma unifilar (ou pelo seu equivalente 
monofásico), com seus parâmetros (R, L e C) considerados concentrados em elementos-série (R e L) 
e elemento-paralelo (C). Este último (a capacitância da linha), quando for considerado, é 
normalmente dividido em duas partes e estas colocadas em cada extremidade da LT. 
 
2.1. Linhas Curtas 
 
Uma LT curta pode ser representada pelo circuito equivalente mostrado na Fig. 22, a seguir. 
 
Fig. 22 – Modelo de linha de transmissão curta. Fonte: Referência [6] 
 
 O traço vertical mais grosso representa uma "barra" ou "barramento" do sistema, na prática, 
uma subestação (SE). Como já visto, o efeito capacitivo da linha é desconsiderado; portanto, a 
susceptância capacitiva não aparece nos terminais da LT (mas deverá ser considerada no caso da 
linha média). 
 
 Um conceito importante em sistemas de energia é o de "regulação", significando o quanto 
regular é uma variável independentemente da flutuação da carga do sistema. A referência, em geral, 
é a tensão nominal da barra receptora. (Nocaso de máquinas, é a velocidade nominal, ou a plena 
carga; para transformadores é a tensão nominal secundária.) Portanto, a expressão fica: 
 
PC
PCVZ
eg
V
VV
R


 (2.1) 
 
Onde: VVZ =Tensão em vazio na barra R; VPC = Tensão em plena carga (ou nominal) na barra R. 
Z=R+jL
VS
VR
Terminal
Supridor
Terminal
Receptor
IRIS
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
52 
 O valor percentual ideal da regulação de tensão da uma LT (ou de qualquer equipamento) é 
zero! Isto significando que não há variação de tensão entre a situação em vazio e em plena carga. 
Tal valor também poderá ser negativo, quando a tensão em vazio é menor (em módulo) do que a 
tensão em plena carga. Os diagramas fasoriais da Fig. 23 (próxima página), relacionando tensão na 
barra supridora, tensão na barra receptora e a queda de tensão na linha (I.Z), ilustram três casos 
típicos: fator de potência na carga (barra R) unitário, atrasado e adiantado. Será suposto que a 
tensão na barra R seja mantida constante (o que é sempre desejável), além de manter-se constante 
o módulo da corrente IR (corrente eficaz aparente). 
 
 Observe-se que o triângulo de quedas de tensão (I.Z como hipotenusa) como que bascula em 
torno do ponto extremo de VR, de acordo com a direção do vetor IR . 
 
 O engenheiro de potência deve poder tirar algumas conclusões a partir dos esquemas fasoriais 
da Fig. 23. Por exemplo: 
 
1) O ângulo  (delta), é proporcional ao fluxo de potência ativa na LT da barra S para a barra 
R; No diagrama central (fp ind.), verifica-se que tal ângulo diminuiu: de fato, a corrente ativa 
(IR.cos()) é menor do que no caso à esquerda; 
 
2) O módulo de VS aumentou, da situação de fp = unitário para a situação de fp = ind., 
indicando que a potência reativa fluindo pela LT, que é proporcional aos módulos das barras, 
também aumentou; 
 
3) O diagrama inferior (Fig. 23) mostra que para uma suposta situação de carga adiantada, 
isto é, fator de potência capacitivo (na barra R), a tensão desta última tende a ser maior que a tensão 
da barra supridora; isto resultará numa regulação de tensão negativa! A tensão na barra R também 
costuma aumentar, em carga leve, porque, em geral, os capacitores ligados à barra, calculados para 
situação de carga pesada, nem sempre são retirados na situação de carga leve, além do quê, em 
linhas médias e longas, o efeito capacitivo da própria linha também contribui para tal fp capacitivo. 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
53 
 
 
Fig. 23 – Diagramas fasoriais para cargas de diferentes fatores de potência. Fonte: Referência [6] 
 
2.2. Parâmetros-série de uma LT 
 
 Toda LT, teoricamente, apresenta quatro (4) parâmetros: resistência (R) e indutância (L) em 
série com a linha, e capacitância (C) e condutância (G) em paralelo com a linha. 
 A condutância G, é geralmente, considerada nula! E os parâmetros restantes (R,L e C) são 
considerados concentrados no circuito equivalente da linha e não, distribuídos, como ocorre na 
realidade. 
 
 CONDUTORES – dois tipos mais importantes são: 
 
a) CAA – cabo de alumínio com alma de aço (ACSR = Aluminum Cable Steel Reinforced) 
b) CA – cabo de alumínio puro. 
 
VR
VS
IR IR.R
IR.XLIR.Z

VR
VS
IR
IR.R
IR.XL
IR.Z


VR
VSIR
IR.R
IR.XL
IR.Z

fp unitário 
fp indutivo 
(cerca de 0,7) 
fp capacitivo 
(cerca de 0,7) 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
54 
 O mais usado, talvez, seja o CAA, por ter maior resistência mecânica, dada pelo seu núcleo feito 
de fios de aço. O alumínio é usado preferencialmente ao cobre devido ao fato de ser mais econômico 
e ter um diâmetro maior do que o equivalente de cobre. Esta última característica é vantajosa pelo 
fato de que, com diâmetro maior, a densidade superficial de campo elétrico é menor, para uma 
mesma tensão, resultando um gradiente de potencial menor e, por consequência, um EFEITO 
CORONA mais reduzido. [O Efeito Corona é provocado pela ionização do ar em volta do condutor 
devido aos elevados gradientes de potencial, em altíssimas tensões; está associado e efeitos visuais, 
sonoros e perdas ativas nas LT e subestações.] 
 
OBS: A ESP Escelsa utiliza, normalmente, para efeitos de economia e praticidade, os seguintes 
cabos elétricos de alumínio em suas LT (ou LD): Linnet (para tensões < 138kV) e Dove (para tensões 
 138kV). Conferir Tabela A.1 – características elétricas de condutores de alumínio nu com alma de 
aço, referência [06] – ANEXO I. 
 
2.2.1. Resistência série 
 
 A resistência efetiva de um condutor percorrido por corrente alternada (RCA), devido à 
distribuição não uniforme da corrente em sua seção transversal, diferencia-se da resistência 
oferecida por este mesmo condutor à corrente contínua (RCC). Esta é dada por: 
 
A
l
CC
R



 () (2.2) 
 
Onde:  = resistividade do condutor (.m2/m = .m); l = comprimento do condutor; A = área da 
seção transversal. 
 A resistência em CC de condutores encordoados é maior do que o valor expresso pela Equação 
(2.2) porque o encordoamento helicoidal das camadas torna os condutores individuais mais longos 
do que o próprio cabo. Acréscimos de 1 a 2% são cabíveis. 
EFEITO PELICULAR: É efeito decorrente da distribuição não uniforme de corrente na seção 
transversal de um condutor percorrido por corrente alternada. Quanto maior a frequência desta, 
maior tal efeito: maiores intensidades de corrente estarão associadas às áreas mais próximas da 
superfície. É como se a reatância das áreas mais internas do condutor aumentasse, com o aumento 
da frequência, em relação às áreas mais externas da seção transversal. A Figura a seguir ilustra tal 
fenômeno. 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
55 
 Mesmo em 60Hz o efeito pelicular já é significativo em grandes condutores! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 24 - Ilustração do efeito pelicular. 
 
CONDUTIVIDADE PADRÃO: A condutividade padrão internacional é a do cobre recozido (seja esta = 
G). O fio de cobre de têmpera dura tem 97,3% de G; o de alumínio tem 61% de G. [, a 20oC, vale 
1,77.10-8 .m para o cobre de têmpera dura (10,66 .CM por pé), e 2,83.10-8 .m, para o alumínio 
de têmpera dura (17,00 .CM por pé).] 
 
OBS.: CM significa Circular Mil, que é a área de um círculo com o diâmetro de um milésimo de 
polegada (mil). /// Algumas relações: A (CM) de um condutor sólido = d (mils)2; 
A(mm2) = 5,067.10-4. A(CM). 
 
EXEMPLO: Seja A(CM) = 1.113.000 CM. A área transversal em mm2 será: A (mm2) = 5,067.10-4x 
1.113.000 = 563,96 mm2. De fato, o diâmetro desse condutor em mpol (milipolegada ou mil) será: 
√1113000 = 1.055 mpol = 1,055 pol. Passando esse valor para mm, tem-se: 1,055x25,4 = 26,8 
mm, que é o diâmetro desse condutor em mm. Calculando-se a área em mm2, tem-se: A(mm2)= 
.26,82/4 = 563,97 mm2, aproximadamente o valor calculado acima. Portanto, este é um condutor 
com diâmetro aproximado de 1 pol, cuja área é 1.000.000 CM ou 506,71 mm2. 
 
VARIAÇÃO COM A TEMPERATURA: A Figura seguinte ilustra a variação proporcional da 
resistência com a temperatura. Tal variação, para condutores metálicos, numa faixa normal de 
operação, é praticamente linear. 
 
Densidades maiores 
de corrente 
Densidades menores 
de corrente 
ICA 
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56Fig. 25 - R de um condutor metálico em função da temperatura. Fonte: Referência [6] 
 
 O ponto de interseção do prolongamento da reta com o eixo da temperatura para resistência 
nula é uma constante do material (em oC) . Seus valores para os materiais já citados são: 
 
 
T = 
 
234,5 para o cobre recozido 
241,0 para cobre têmpera dura 
228,0 para alumínio têmpera dura 
 
 É válida a relação: 
 2 2
1 1
R T t
R T t


 (2.3) 
Onde: R1 e R2 são as resistências do condutor nas temperaturas t1 e t2, respectivamente. 
 
EXEMPLO: Pelas tabelas de características elétricas de condutores encordoados de alumínio puro, 
o condutor Marigold de 1.113.000 CM e de 61 fios tem resistência CC a 20oC de 0,01558 Ω por 1000 
pés e resistência CA a 50oC de 0,0956 Ω por milha. Verifique a resistência CC e determine a relação 
entre as resistências CA e CC. [1mi = 1.609,3m; 1m = 3,2808 pés] 
 
 
t2 
R1 R2 
t1 
T 
t 
R 
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57 
 Solução: Para 20
oC, da Equação (2.2) com o aumento de 2% por conta do encordoamento, 
tem-se: 
01558,002,1
10113,1
10000,17
6




CC
R
 Ω por 1.000 pés. 
 
 Para 50oC, da Equação (2.3): 
 
228 50
0,01558 0,01746
228 20
CC
R

  

 Ω por 1.000 pés 
 
 A relação entre R efetiva (em CA) e a RCC valerá: 
 
0, 0956
1, 037
0, 01746 5, 280
CA
CC
R
R
 

 
 
 Portanto, o efeito pelicular causa um aumento de 3,7% na resistência do condutor em relação 
àquela existente em CC. 
 
2.2.2. Indutância 
 
DEFINIÇÃO: Indutância própria (ou autoindutância) é o fluxo concatenado com o circuito 
(= N.) por unidade de corrente elétrica. 
 
De fato, a partir das seguintes expressões se conclui tal definição: 
 
dt
d
e


 e 
dt
di
Le .
  
di
d
L


 (2.4) 
 
Onde: e = fem induzida (V); L = indutância (H); i = corrente (A); = fluxo concatenado (Wb). 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
58 
 Para o caso em que o fluxo concatenado varia linearmente com a corrente (isto é, circuito 
magnético não saturado), tem-se: 
i
L


 (valores instantâneos) (2.5) 
 Para uma corrente alternada senoidal tem-se um fluxo também senoidal: Os fasores se 
relacionarão: 
IL.
 (fasores) (2.6) 
 
onde  é o fasor fluxo concatenado em Wb-e (Weber-espira, Web-turn=Wbt, em inglês). 
 
 Indutância mútua (M): A indutância mútua entre dois circuitos é definida como sendo o fluxo 
concatenado com um circuito, devido à corrente no outro circuito, por ampère de corrente nesse 
circuito. Se a corrente I2 produz no circuito 1 o fluxo concatenado 12 , a indutância mútua será: 
2
12
12
I
M


 (2.7) 
 
2.2.2.1 Indutância de um condutor devida ao fluxo interno 
 
A Figura Fig. 26 ilustra as linhas de força (externas) dos campos elétrico e magnético 
associados a uma linha elétrica de dois fios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 26 - Campos elétrico e magnético associados a uma linha com dois fios. Fonte: Referência [6] 
 No interior do condutor também existe campo magnético. A indutância devida ao fluxo 
interno pode ser calculada pela relação entre o fluxo concatenado e a corrente, levando-se em conta 
 
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59 
 que cada linha de fluxo interno enlaça (concatena) apenas uma fração da corrente total. Considere-
se um condutor, representado pela sua seção transversal (Figura a seguir), percorrido por uma 
corrente elétrica I. 
 
 
r 
x dx 
ds 
fluxo 
 
Fig. 27 - Seção transversal de um condutor cilíndrico. Fonte: Referência [6] 
 
 Partindo-se das leis do eletromagnetismo, pode-se chegar à expressão para o fluxo 
concatenado com um raio “r” no interior do condutor (int): 
 
 


r
dx
r
xI
0
4
3
int
2 


 (2.8) 
O fluxo concatenado total resulta: 






8
int
I
 Wb-e/m (2.9) 
Para uma permeabilidade relativa unitária (vácuo ou ar), 
7
10.4

 
 H/m, tem-se: 
 
7
int
10
2


I

 Wb-e/m 
 
7
10
2
1 
L
 H/m (2.10) 
 A indutância, portanto, de um condutor cilíndrico, por unidade de comprimento, devida 
apenas ao fluxo magnético interno ao condutor é uma constante, independentemente do valor do 
raio ou da corrente circulante. 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
60 
 2.2.2.2 Fluxo concatenado entre dois pontos externos de um condutor isolado 
 
 Seja a Fig. 28, a seguir, ilustrando uma porção de fluxo externo a um condutor isolado 
percorrido por uma corrente I. 
 A partir da Lei de Ampère (
IHx
x
.2
), em que Hx é a intensidade de campo magnético 
numa distância x do centro do condutor, pode-se deduzir (vide referência [06]) expressões para a 
indução magnética e para o fluxo no elemento tubular de espessura dx. Este fluxo é numericamente 
igual ao fluxo concatenado por metro. Entre P1 e P2 o fluxo concatenado total é obtido a partir de: 
1
2
12
ln
22
2
1
D
DI
dx
x
I
D
D









 
 Wb-e/m (2.11) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 28 - Um condutor e os pontos externos P1 e P2. Fonte: Referência [6] 
E para uma permeabilidade relativa unitária: 
 
1
27
12
ln102
D
D
I 

 Wb-e/m (2.12) 
 
E a indutância devida apenas ao fluxo entre P1 e P2 resulta dada por: 
 
7 2
12
1
2 10 ln
D
L
D

  
 H/m (2.13) 
 
 
 
D1 
D2 
P1 
P2 
fluxo 
x dx 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
61 
 2.2.2.3 Indutância de uma linha monofásica a dois fios 
 
 Seja uma linha simples constituída de dois condutores sólidos de seção circular, conforme a 
Fig. 29 A corrente I vai por um e retorna pelo outro condutor. Será considerado, inicialmente, apenas 
o fluxo, concatenado com o circuito, gerado pela corrente do condutor 1. Uma simplificação 
admitirá D muito maior do que os raios (r1 e r2). Ainda: o fluxo produzido pela corrente do condutor 
1, compreendido desde o raio r1 até o centro do condutor 2, será admitido enlaçando toda a 
ocorrente I, e a parcela de fluxo que ultrapassa essa distância, não enlaçando nenhuma corrente. 
 
A indutância do circuito devida à corrente no condutor 1 é determinada pela equação (2.13), 
substituindo-se D2 pela distância D entre os condutores 1 e 2, e D1 pelo raio r1, do condutor 1. 
Considerando-se apenas o fluxo externo, tem-se: 
 
7
1,
1
2 10 ln
ext
D
L
r

  
 H/m (2.14) 
Para o fluxo interno: 
 
7
,int1
10
2
1 
L
 H/m (2.15) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 29 - Condutores de diferentes raios e o campo magnético devido apenas à corrente no condutor 1. 
Fonte: Referência [6] 
 
 
r2 D 
1 2 
r1 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
62 
 A indutância total do circuito devida apenas à corrente do condutor 1 vale: 
 
7
1
1
1
2 ln 10
2
D
L
r
 
    
 
 H/m (2.16) 
Fazendo uma manipulação algébrica, obtém-se: 
7 1/ 4
1
1
2 10 ln ln
D
L
r

 
   
 
 H/m (2.17) 
Juntando os termos, obtém-se:7
1 '
1
2 10 ln
D
L
r

 
 H/m (2.18) 
 
Onde: 
' 1/ 4
1 1
r r   
 , e é interpretado como sendo o raio de um condutor fictício, sem fluxo interno, 
porém com a mesma indutância do condutor real, de raio r1. (A constante 
1/ 4
0,7788  
, para 
condutores sólidos de seção circular.) 
 Analogamente, a indutância no condutor 2 valerá: 
 
7
2 '
2
2 10 ln
D
L
r

 
 H/m (2.19) 
Para o circuito completo, tem-se: 
7
1 2
' '
1 2
4 10 ln
D
L L L
r r

   

 H/m (2.20) 
Se os raios são iguais, obtém-se: 
7
'
4 10 ln
D
L
r

 
 H/m (2.21) 
 
 Esta é a indutância de uma linha a dois condutores, considerando os fluxos concatenados 
produzidos pelas correntes em ambos, e sendo um deles considerado o retorno do outro. Também 
é chamada de indutância por metro de linha. A indutância de um condutor, apenas, é dada pela 
Equação (2.18). 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
63 
 2.2.2.4 Indutância de uma linha com condutores tipo cabo 
 
Um condutor composto (ou tipo cabo) é constituído de dois ou mais elementos ou fios em 
paralelo. Tal condutor composto forma, por sua vez, uma fase de um sistema trifásico. 
Seja uma linha de transmissão monofásica, constituída de dois condutores compostos (X e Y), com 
quantidades “n” e “m” de subcondutores idênticos, respectivamente, conforme a Fig. 30. 
Analogamente ao caso anterior, pode-se determinar uma expressão idêntica à (2.18) que permita 
calcular a indutância do condutor X: 
 
 
 
 
 
Fig. 30 – LT monofásica com condutores do tipo cabo (condutor composto). Fonte: Referência [6] 
 
7
2 10 ln m
X
s
D
L
D

 
 (2.22) 
 
Onde: 
nm
nmncnbnabmbcbbbaamacabaam
DDDDDDDDDDDDD   )())(( '''''''''
 
 
 e 
2
)())((n
nnncnbnabnbcbbbaanacabaas
DDDDDDDDDDDDD 
 
 
 A expressão Dm é denominada distância média geométrica e é interpretada como a raiz de 
ordem m.n de m.n termos que são os produtos das distâncias de todos os n elementos do condutor 
composto X a todos os m elementos do condutor Y. É também conhecida como DMG ou DMG mútua 
entre os dois condutores compostos. (Índice m, de Dm , vem de mútua.) 
 A expressão Ds é denominada de DMG própria e é interpretada como a raiz de ordem n2 de 
n.n termos, que são as distâncias de cada condutor a si próprio e aos demais de um mesmo condutor 
composto (no caso o condutor X). Como a distância de um condutor a si próprio é o seu próprio raio, 
a DMG própria é também denominada raio médio geométrico, ou RMG. (Índice s, de Ds , vem de 
“self” = própria, do inglês.) 
 
Cond. X Cond. Y 
a 
b c 
n m a
’ 
b’ c
’ 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
64 
 Comparando-se as expressões (2.22) e (2.18) verifica-se que são análogas. A equação da 
indutância de um condutor de uma linha de condutor composto é obtida substituindo-se na 
equação (2.18) a distância entre os condutores sólidos de uma linha de condutores simples pela 
DMG entre condutores de uma linha de condutores compostos e pela substituição do RMG (r’ ) do 
condutor simples pela RMG do condutor composto. 
 A indutância do condutor Y é determinada de modo análogo, resultando uma indutância 
total da linha dada por: 
YX LLL 
 (2.23) 
 
 Se uma linha monofásica for constituída de dois cabos encordoados, raramente será 
necessário calcular a DMG entre os cabos, uma vez que esta será aproximadamente igual à distância 
entre os centros dos dois cabos. Este cálculo da DMG mútua só será necessário quando os diversos 
fios (ou condutores) em paralelo estiverem separados entre si por distâncias da mesma ordem de 
grandeza que a distância entre os dois lados do circuito. 
 
USO DE TABELAS 
 Normalmente, estão disponíveis tabelas de valores de RMG dos condutores encordoados, 
Onde também constam informações para serem utilizadas no cálculo da reatância indutiva, da 
reatância capacitiva em derivação e também da resistência. Os valores de RMG dados nas tabelas 
são valores de Ds equivalentes considerando o efeito pelicular, que afeta significativamente os valor 
da indutância. Como normalmente é mais interessante o valor da reatância indutiva do que o da 
indutância faz-se, para uma linha monofásica a dois condutores: 
 
s
m
L
D
D
fX ln1022
7


  
s
m
L
D
D
fX ln10022,2
3


 /mi (2.24) 
 
Onde Dm é a distância entre condutores. 
 
 Algumas tabelas (vide tabelas A.1, A.2 e A.3, Anexo I, p. 108)), além dos valores do RMG, 
fornecem valores da reatância indutiva (e capacitiva). Um dos métodos é a expansão do termo 
logarítmico da equação (2.24), da seguinte forma: 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
65 
 
m
s
L
Df
D
fX ln10022,2
1
ln10022,2
33


 (2.25) 
 Se Ds e Dm forem dados em pés, o primeiro termo da equação (2.25) será a reatância indutiva 
de um condutor de uma linha constituída por dois condutores afastados em 1 pé! (Numerador igual 
a 1pé!) Este termo é, portanto, chamado reatância indutiva para 1 pé de espaçamento ou Xa , sendo 
função do RMG e da frequência. 
 O segundo termo da equação (2.25) é chamado fator de espaçamento da reatância indutiva 
ou Xd . Este segundo fator é independente do tipo de cabo, dependendo apenas da frequência e do 
espaçamento. As Tabelas A.1 e A.2 (Ver anexo à p.108) fornecem os valores de Xa e Xd . 
 
Exemplo (3.3): Determine a reatância indutiva por milha de uma linha monofásica, que opera na 
frequência de 60 Hz. Os cabos são do tipo Patridge e a distância entre os centros dos cabos é 20 
pés. 
 
 Solução: Da tabela A.1, para este tipo de condutor, Ds = 0,0217 pés. 
 Da equação (2.24), para um cabo 
0217,0
20
ln6010022,2
3


L
X
  
828,0LX
 /mi. 
 
O método acima só será usado quando for conhecido o valor de Ds. Pela Tabela A.1, no entanto, 
obtém-se o valor de Xa: 0,465 /mi. Da tabela A.2 obtém-se o fator de espaçamento Xd: 0,3635 
/mi. A reatância indutiva de um cabo é então: 
 
8285,03635,0465,0 
 /mi. 
 
Como a linha é composta por dois condutores idênticos, a reatância indutiva da linha será: 
 
657,18285,02 LX
 /mi. 
2.2.2.5 Indutância de linhas trifásicas com espaçamento simétrico 
 
As equações para linha monofásica podem ser facilmente adaptadas para linhas trifásicas 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
66 
 com condutores espaçados de forma equidistante, como numa distribuição em forma de triângulo 
equilátero. Supondo três condutores (a, b, c) distanciados, numa disposição triangular equilátera, 
de uma distância D entre si, obtém-se, para a indutância do condutor “a”: 
 
7
2 10 ln
a
s
D
L
D

 
 H/m ; 
s
a
D
D
L ln103218,0
3

 H/mi (2.26) 
 
 A indutância dos outros dois condutores será igual à da fase “a”. Portanto, a equação (2.26) 
dá a indutância por fase de uma linha trifásica de condutor simples. 
 
2.2.2.6 Indutância de linhas trifásicas com espaçamento assimétrico 
 
Quando o espaçamento de um circuito trifásico é assimétrico, as indutâncias das fases 
resultam diferentes. Para que se tornem iguais, costumafazer-se a chamada transposição das fases 
a intervalos regulares. Mas se não for feita tal transposição, nem por isso a diferença entre as 
indutâncias das fases é muito significativa... 
 Supondo que haja transposição, isto é, cada fase ocupe, em um ciclo completo de 
transposição, a posição das outras duas fases, a indutância de cada fase resulta um valor médio, 
como o dado para a fase “a”: 
 
7
2 10 ln
eq
a
s
D
L
D

 
 [H/m] (2.27) 
 
Onde Ds é o RMG do condutor e Deq é a DMG mútua, ou a média geométrica das três distâncias da 
linha assimétrica, ou o espaçamento equilátero equivalente. 
 
 OBSERVAÇÃO: Para efeito de memorização dessas equações estudadas acima, verifique-se 
que a forma básica é dada pelo produto de uma constante (2.10-7) por um logaritmo neperiano, 
onde o denominador sempre será o equivalente à distância média geométrica (Deq) e o 
denominador será, sempre o equivalente ao RMG, ou raio médio geométrico, ou Ds. Isto vale, tanto 
para linhas monofásicas quanto trifásicas. Lembrar, no entanto, que o valor da indutância da linha 
monofásica é multiplicado por dois (2) pois o condutor vai e volta; no caso da linha trifásica isto não 
acontece, porque só há condutores de ida: a indutância da LT é considerada apenas a indutância de 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
67 
 um condutor (ou uma fase). 
 
2.2.2.7 Cabos múltiplos 
 
Para LT de tensões muito altas (extra altas tensões/EAT, acima de 230kV) o “efeito corona” 
é significativo (efeito corona: perdas de potência pela ionização do ar em volta dos condutores como 
consequência do elevado gradiente de potencial nessa região). Uma maneira de minimizar o efeito 
corona, já durante o projeto de uma LT, é a colocação de dois ou mais condutores em paralelo por 
fase, com distâncias entre si bem menores do que as distâncias entre as fases. Não confundir com 
“condutores compostos”, que são cabos encordoados: diversos condutores ligados em paralelo e 
constituindo o condutor composto. 
A redução da reatância indutiva é outra vantagem importante dos cabos múltiplos. Esta se 
dá pelo aumento do RMG. Os condutores dos cabos triplos são colocados em uma disposição 
triangular equilátera, enquanto os condutores dos cabos quádruplos são colocados nos vértices de 
um quadrado. 
Sejam Dsb o RMG de um cabo múltiplo (“b” vem de “bundle” = feixe, conjunto) e Ds o RMG 
dos condutores individuais que compõem o cabo. Tem-se: 
 
– Para um cabo de dois condutores: 
dDdDD ss
b
s 
4 2)(
 
– Para um cabo de três condutores: 
3 29 3)( dDddDD ss
b
s 
 
– Para um cabo de quatro condutores: 
4 316 42/1 09,1)2( dDdddDD ss
b
s 
 
 
Onde d é a distância entre os condutores. 
 Na equação 
7
2 10 ln
eq
a
s
D
L
D

 
 (2.27), portanto, o Ds será substituído por Dsb do cabo 
múltiplo. Para Deq obtém-se precisão suficiente utilizando as distâncias entre os centros dos cabos 
múltiplos. 
 
Exemplo [3.5] Cada condutor da linha múltipla apresentada na Fig. 31 é de CAA tipo Pheasant com 
1.272.000 CM. Determine a reatância indutiva em ohms por km (e por milha) por fase para d = 45 
cm. Determine a reatância em série em p.u. se a linha tiver 160 km, com bases de 100 MVA e 345 
kV. 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
68 
 
 
 
 
Fig. 31 – Linha múltipla (ou com condutores múltiplos). Fonte: Referência [6] 
 Solução: Da Tabela A.1, Ds = 0,0466 pés; multiplicando-se por 0,3048 para converter a 
unidade de pé para metro: 
 
080,045,03048,00466,0 
b
s
D
 m 
08,1016883 
eq
D
 m 
365,0
08,0
08,10
ln102602
7


L
X
 /km por fase 
(
587,0609,1365,0 
/mi por fase) 
 
1190
100
345
2

base
Z
 
 
049,0
1190
160365,0


X
 pu. 
 
2.2.2.8 Linhas trifásicas de circuitos em paralelo 
 
Se dois circuitos estiverem montados na mesma torre de transmissão, o método da DMG 
pode ser usado para determinar a indutância por fase, considerando-se os condutores de cada fase 
como componentes de um condutor múltiplo. 
Exemplo [3.6]: Uma linha trifásica de circuito duplo é constituída de condutores CAA 26/7 
tipo Ostrich de 300.000 CM dispostos de acordo com o esquema da 
Fig. 32. Determine a reatância indutiva a 60 Hz em ohms por milha por fase. 
 Solução: Da Tabela A.1 para o condutor tipo Ostrich  Ds = 0,0229 pés. 
 
d 
8 m 
 
 8 m
 
d d 
a a’ b’ c’ b c 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
69 
 
 Distância de a a b: Posição original = 
1,105,110
22

 pés 
 Distância de a a b’ : Posição original = 
9,215,1910
22

 pés 
 
As DMG entre fases são: 
 
 
88,14)9,211,10(4
2

b
bc
b
ab
DD
pés 
97,18)1820(4
2

b
caD
 pés 
1,1697,1888,1488,143 
eq
D
 pés 
 
O RMG para a linha de circuitos em paralelo é encontrado a partir dos valores de RMG para as três 
posições (do ciclo de transposição, supostamente realizado). A distância real de a até a’ é 
9,261820
22

 pés. Então, o RMG de cada fase é 
 
 Na posição a-a’ : 
785,00229,09,26 
 pés 
 Na posição b-b’ : 
693,00229,021 
 pés 
 Na posição c-c’ : 
785,00229,09,26 
 pés 
 
Então: 
753,0785,0693,0785,03 
b
s
D
 pés 
77
1013,6
753,0
1,16
ln102

L
 H/m por fase 
372,01013,61609602
7


L
X
 /mi por fase. 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
70 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 32 – LT trifásica de circuito duplo: disposição dos condutores para o exemplo acima. Fonte: 
Referência [6] 
 
2.3. Linhas Médias 
 
 A Fig. 33 ilustra o modelo pi () nominal de uma LT de comprimento médio. As equações abaixo, 
que caracterizam a LT como um quadripolo, podem, facilmente, ser deduzidas. 
 
 
Fig. 33 – Modelo  nominal para LT média. Fonte: Referência [6] 
 
RRS
IBVAV 
 
RRS
IDVCI 
 
Onde: 
1
2



YZ
DA
; 
ZB 
; e 





 

4
1
YZ
YC
. 
Z=R+jL
VS VR
Terminal
Supridor
Terminal
Receptor
IRIS
Y/2 Y/2
 
10’ 
10’ 
a 
a' 
b' 
c' 
b 
c 
18’ 
18’ 
21’ 
Fases 
A: a e a’; 
B: b e b’; 
C: c e c’. 
Obs.: 
apóstrofo = pé. 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
71 
 Estas constantes são chamadas constantes generalizadas do quadripolo correspondente à LT 
média. São números complexos, em geral. Suas dimensões são facilmente verificadas a partir da 
observação das equações em que se inserem. 
 No caso particular em que a carga seja nula (IR = 0), obtém-se a definição de A: 
R
S
V
V
A 
 , que é 
a relação entre as tensões nas barras para situação em vazio. 
 A regulação, no caso da LT média, resulta um pouco diferente do caso anterior (linha curta), 
porque agora, a tensão na barra R, em vazio, não é mais, simplesmente, a tensão VS; agora é a 
relação |VS| / |A|. Temos, então: 
PC
PCS
V
VAV
g


/
Re
 
 Verifica-se, portanto, que a regulação de tensão tem mais chances de se tornar negativa, para 
o modelo da LT média, do que para o modelo da LT curta, numa situação igual de carga. 
 OBSERVAÇÃO: O uso de tais coeficientes de quadripolos, para os cálculos de Vs e Is,não é 
recomendado, visto que o engenheiro não terá como comprovar a correção valores encontrados, 
tendo de confiar inteiramente, nos resultados da calculadora. O melhor é utilizar o circuito 
equivalente monofásico de impedâncias (o circuito pi nominal acima) e o diagrama fasorial 
apropriado (para tensões e correntes envolvidas). Com isto, o engenheiro terá como confrontar os 
resultados numéricos com os resultados fasoriais. 
 
2.3.1. Parâmetros-paralelo de uma LT 
 
 Os parâmetros em paralelo de uma LT, ou elementos do ramo em derivação, são constituídos 
pela condutância de uma linha à terra e pela capacitância dessa linha à terra. A condutância (G) é 
considerada sempre nula, enquanto a capacitância deve ser estudada, como se faz a seguir. 
 
2.3.1.1. Capacitância 
 
A admitância em derivação de uma LT é constituída por uma condutância (normalmente 
desconsiderada) e uma reatância capacitiva. 
 
DEFINIÇÃO: Capacitância entre duas superfícies condutoras é definida como a quantidade 
de carga armazenada nessas superfícies por unidade de diferença de potencial entre elas. Isto é: 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
72 
 
V
Q
C 
 (2.28) 
Onde, para um sistema considerado linear, Q e V são grandezas fasoriais, dadas, normalmente, por 
seus valores de módulo eficaz e ângulo de fase. 
 
2.3.1.2. Capacitância de uma linha a dois fios 
 
Considerando-se dois condutores sólidos de raio “r”, separados por uma distância D, entre 
seus centros, pode-se chegar à seguinte expressão para a capacitância entre esses condutores: 
 
 
r
D
k
C
ab
ln


 F/m (2.29) 
 
onde k é a permissividade do meio (dielétrico), e para o vácuo vale: ko = 8,85.10-12 F/m. 
 
 Supondo-se a existência de um ponto neutro entre os condutores, conforme a Fig. 34, obtém-
se: 
 
 
r
D
k
CCC bnann
ln
2 

 F/m ao neutro (2.30) 
 
 
 
 
 
Fig. 34 – Capacitância em relação ao neutro. Fonte: Referência [6] 
 
Tendo sido obtida a capacitância ao neutro, a reatância capacitiva entre um condutor e o 
neutro, para uma permissividade relativa kr = 1, resulta: 
 
 
a Cab b
 a b n 
Can=2Cab Cbn=2Cab 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
73 
 
r
D
ffC
X
c
ln10
862,2
2
1 9
 
 .m para o neutro (2.31) 
ou 
r
D
f
X
c
ln10
779,1 6

 .mi para o neutro (2.32) 
 
Como foi feito para o caso da indutância, podem ser definidos a reatância capacitiva para um pé de 
espaçamento (Xa’ ) e o fator de espaçamento (Xd’ ): 
 
D
frf
X
c
ln10
779,11
ln10
779,1 66

 .mi para o neutro (2.33) 
 
 
A Tabela A.1 inclui os valores de Xa’ para as bitolas mais comuns de cabos (compostos) CAA; 
a Tabela A.3 mostra valores de Xd’ (lá está anotado Xd , sem o apóstrofo...). 
 
Exemplo [4.1]: Determine a susceptância capacitiva por milha de uma LT monofásica que opera a 
60 Hz. O condutor é o Partridge, e o espaçamento entre centros é de 20 pés. 
 
Solução: Para este condutor, a Tabela A.1 fornece um diâmetro de 0,642 pol. Portanto: 
 
0268,0
122
642,0


r
 pés 
 
e da equação (2.32) 
66
101961,0
0268,0
20
ln10
60
779,1

c
X
 .mi para o neutro 
 
6
1010,5
1 

c
C
X
B
 S/mi para o neutro 
ou, em termos da reatância capacitiva a 1 pé de espaçamento e do fator de espaçamento obtidos 
Xa’ Xd’ 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
74 
 nas tabelas A.1 e A.3: 
 
1074,0
'

a
X
 M.mi 
0889,0
'

d
X
 M.mi 
1963,00889,01074,0 
c
X
 M.mi para o neutro 
 
A reatância e a susceptância capacitivas específicas da linha (linha-linha) resultam: 
 
66
103926,0101963,02 
c
X
 .mi 
 
6
1055,2
1 

c
c
X
B
 S/mi. 
OBSERVAÇÃO: Atente-se para a unidade de reatância capacitiva específica, que é dada por um 
PRODUTO ohm x milha ou ohm x quilômetro. Normalmente o valor da reatância específica será 
muito grande. Ao ser dividido pelo comprimento da LT, dará um valor, ainda grande, o que 
caracteriza a reatância total, ao neutro, de um dos condutores da LT trifásica para a terra, ou entre 
condutores, para a linha monofásica. 
 
2.3.1.3. Capacitância de uma linha trifásica com espaçamento 
equilátero 
 
Para o caso de uma LT trifásica, de três condutores idênticos de raio “r” montados em 
configuração triangular equilátera, chega-se à seguinte expressão para a capacitância por fase em 
relação ao neutro: 
 
r
D
k
C
n
ln
2 

 F/m para o neutro (2.34) 
 
Comparando-se as equações (2.34) com a (2.30), vê-se que são iguais. Estas equações 
representam a capacitância ao neutro de linhas trifásicas com espaçamento equilátero e de linhas 
monofásicas, respectivamente. Foi visto no item anterior que as equações de indutância por 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
75 
 condutor também são as mesmas para linhas monofásicas e linhas trifásicas com espaçamento 
equilátero. 
 
CORRENTE DE CARREGAMENTO: Este termo é aplicado à corrente associada à capacitância 
de uma linha. Para um circuito monofásico, a corrente de carregamento é o produto da tensão de 
linha pela susceptância linha-linha, ou, em notação fasorial: 
 
ababchg VCjI 
 A/m (2.35) 
Onde o índice “chg” refere-se ao termo inglês: charge, que significa ‘carga’. 
 
Para uma linha trifásica, a corrente de carregamento é obtida multiplicando-se a tensão de 
fase pela susceptância capacitiva ao neutro. Esta corresponde a uma corrente de carregamento por 
fase, a ser usada em um circuito monofásico equivalente com retorno pelo neutro (usualmente 
aterrado). Então: 
ananchg VCjI 
 A/m (2.36) 
 
A tensão a ser usada nestas últimas expressões deveria ser a tensão no ponto da linha considerado. 
Mas em geral, como tal tensão varia ao longo da linha, usa-se a sua tensão nominal. 
 
2.3.1.4. Capacitância de uma linha trifásica com espaçamento 
assimétrico 
 
Para o caso de uma linha trifásica em que os condutores não estejam em espaçamento 
equilátero, pode-se chegar à seguinte expressão para a capacitância por fase, em relação ao neutro: 
 







r
D
k
C
eq
n
ln
2  F/m para o neutro (2.37) 
 Compare-se esta expressão (2.37) com aquela para a indutância de uma LT semelhante 
(2.27). Observe-se que o denominador da expressão é, agora, o raio, simplesmente, e não o RMG, 
ou o Ds. Explica-se isto pelo fato de que a capacitância é dependente da carga elétrica armazenada 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
76 
 na superfície dos condutores, não dependendo da forma específica desse condutor, se um fio sólido 
ou um cabo (condutor composto por muitos subcondutores). 
 
Exemplo [4.2]: Determine a capacitância e a reatância capacitiva por milha de uma linha trifásica 
de circuito simples, em60Hz, com espaçamento assimétrico, conforme Fig. 35. Os condutores são 
de CAA tipo Drake, distribuídos conforme a figura abaixo. 
 Se o comprimento da linha for de 175 milhas e a tensão normal de operação de 220kV, 
determine a reatância capacitiva ao neutro para toda a linha e a sua corrente de carregamento por 
milha, bem como os Mvar totais de carregamento. 
 
 
 
 
 
 
Fig. 35 – LT trifásica com espaçamento assimétrico 
 
 Solução: 
0462,0
122
108,1


r
 pés 
 
8,243820203 
eq
D
 pés 
 
12
2
108466,8
)0462,0/8,24ln(
1085,82 





n
C
 F/m 
6
12
101864,0
16098466,8602
10


 cX
 .mi 
 
Obs.: 1 milha = 1609 metros. 
 
Ou, pelas tabelas: 
 
 38’ 
 
20’ 20’ 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
77 
 
6'
100912,0 
a
X
 
6'
100953,0 
d
X
 
66
101865,010)0953,00912,0( 
c
X
 .mi para o neutro. 
 
Para um comprimento de 175 milhas: 
 
1066
175
101865,0
6



c
X
 para o neutro 
 
681,01609108466,8
3
000.220
602
12


chg
I
 A/mi 
119175681,0 chgI
 A, para toda a linha. 
 
A potência reativa total será: 
3,45101192203
3


Q
 Mvar, que é uma potência reativa 
injetada pelo capacitor equivalente da LT na própria linha. 
 
2.3.1.5. Efeito da terra sobre a capacitância de LT trifásicas 
 
A terra afeta a capacitância de uma LT porque sua presença altera o campo elétrico da linha. 
No que se refere ao cálculo da capacitância de um único condutor aéreo, a terra pode ser substituída 
por um condutor fictício denominado condutor-imagem colocado abaixo da superfície da terra a 
uma distância igual à distância do condutor aéreo à terra e carregado com uma carga elétrica igual 
e de sinal contrário à do condutor aéreo. 
Estendendo-se esse método ao caso de uma LT trifásica, pode-se chegar a uma expressão 
para o cálculo da capacitância da linha ao neutro: veja-se a referência Stevenson Jr. 2a edição em 
português, pág.87 [6]. 
 A interpretação da citada expressão evidencia que o efeito da terra é de aumentar a 
capacitância de uma linha, visto que o denominador logarítmico fica diminuído de um outro fator 
logarítmico dependente das distâncias entre os condutores reais e os condutores-imagens. 
 Tal efeito da terra é geralmente desprezado em linhas trifásicas, exceto no caso de cálculos 
para componentes simétricos quando a soma das três correntes de linha não é nula. Esta 
desconsideração acontece pelo fato de que as distâncias entre os condutores reais e os seus 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
78 
 correspondentes imaginários são feitas muito grandes nos projetos práticos de LT (grandes alturas 
das torres), minimizando, assim, a parcela a ser diminuída na equação da capacitância. 
 
2.3.2. Cabos múltiplos 
 
No caso de uso de cabos múltiplos faz-se a consideração de que a carga por cabo (cujos 
condutores estão em paralelo) divide-se igualmente por todos os condutores individuais, pois o 
afastamento entre esses condutores (de mesma fase/cabo) é usualmente cerca de 15 vezes menor 
do que o espaçamento entre cabos (ou fases). 
 Considerando-se “d” como a distância entre os condutores individuais e “r” o raio de cada 
um desses condutores, pode-se chegar à seguinte expressão para a capacitância da linha, em 
relação ao neutro: 
 drD
k
C
eq
n


ln
2 
 F/m para o neutro (2.38) 
 
O termo 
dr 
 é equivalente a 
b
s
D
 para um cabo múltiplo de dois condutores, exceto pela 
substituição de Ds (o raio médio geométrico) por r (o raio externo do condutor individual). Isto 
acarreta a importante conclusão de que se pode aplicar um método DMG modificado ao cálculo da 
capacitância de uma linha trifásica de cabos múltiplos com dois, três e quatro condutores por fase. 
A modificação consiste no uso do raio externo do condutor em lugar do RMG de um condutor. 
 
 Utilizando-se a notação 
b
sC
D
para o RMG modificado para ser usado em cálculos de 
capacitância para distingui-lo da 
b
s
D
usada no cálculo da indutância, tem-se: 
 
 
 b
sCeq
n
DD
k
C
ln
2 

 F/m para o neutro (2.39) 
 
Então, para um cabo múltiplo de dois condutores: 
drdrD
b
sC 
4 2)(
 
Para um cabo múltiplo de três condutores: 
3 29 3)( drddrD
b
sC 
 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
79 
 Para um cabo múltiplo de quatro condutores: 
4 316 42/1 09,1)2( drdddrD
b
sC 
 
 
Exemplo [4.3]: Determine a reatância capacitiva ao neutro da linha descrita no Exemplo 3.5 (p. 67), 
em ohm-quilômetro (e em ohm-milha) por fase. 
 
 Solução: Calculando a partir do diâmetro dado na Tabela A.1 (1 pé = 0,3048m) 
 
01755,0
122
3048,0382,1



r
m 
0889,045,001755,0 
b
sC
D
m 
08,1016883 
eq
D
m 
12
12
10754,11
)0889,0/08,10ln(
1085,82 





n
C
 F/m 
 
6
312
102257,0
754,11602
1010





cX
 .km por fase para o neutro 
 
6
6
101403,0
609,1
102257,0



c
X
 .mi por fase para o neutro 
 
2.3.3. Linhas trifásicas de circuitos em paralelo 
 
O método de DMG modificado aplicado na obtenção da capacitância de linhas de cabos 
múltiplos pode ser aplicado também (como tem sido verificado na prática) a linhas trifásicas com 
diversas configurações de condutores múltiplos, incluindo linhas de circuitos duplos em paralelo. 
 
Exemplo [4.4] Determine a susceptância capacitiva ao neutro em 60 Hz por milha por fase para a 
linha de circuito duplo descrita no Exemplo 3.6 (p.68). 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
80 
 Solução: Pelo Exemplo 3.6: Deq = 16,1 pés. 
 O cálculo de 
b
sC
D
 é semelhante ao cálculo de 
b
s
D
do Exemplo 3.6, exceto pelo uso do raio 
externo do condutor Ostrich em lugar de seu RMG. O diâmetro externo do condutor CAA 26/7, 
Ostrich é 0,680 polegadas. 
 
 
0283,0
122
680,0


r
pés 
 
 
  3/10283,09,260283,0210283,09,26 b
sC
D
 
 
  837,09,26219,260283,0 6/1 b
sC
D
 pés 
 
12
12
10807,18
)837,0/1,16ln(
1085,82 





n
C
 F/m 
 
6
1041,111609807,18602

 
c
B
 S/mi por fase para o neutro. 
 
2.4. Linhas longas 
 
Uma LT longa deve, preferencialmente, ser analisada por meio de parâmetros distribuídos, e 
não por meio de parâmetros concentrados, como tem sido o caso até aqui (LT curtas e médias). Isto, 
simplesmente, por uma questão de maior exatidão nos cálculos. O modelo para LT média, aplicado 
a uma LT longa, dá resultados tanto menos exatos quanto maior for o comprimento da LT. A Fig. 
36, a seguir, ilustra o esquema unifilar de uma LT longa, em que seu equacionamento será feito com 
base em parâmetros distribuídos. 
 
O elemento x é um elemento finito, mas muito pequeno, que será levado a uma dimensão 
infinitesimal quando do processo de análise, por meio de diferenciação. Observar que x é a distância 
arbitrariamente escolhida a partir da barra receptora. (Pensar sobre algumas razões para tal 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
81 
 escolha...) Considerando-se que todalinha pode ser caracterizada por parâmetros específicos (por 
quilômetro ou milha), têm-se, inicialmente, as seguintes equações básicas: 
 
xzIV 
 
xyVI 
 
 
Onde: z = impedância em série, por fase, por unidade de comprimento; 
 y = admitância em derivação, por fase, por unidade de comprimento. 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 36 – Análise do equacionamento de uma LT longa 
 
Ao se fazer a análise por diferenciação dessas duas equações (vide ref. [6]), obtém-se: 
 
xcRRxcRR ZIVZIV
V






 
22
 
 
x
R
c
R
x
R
c
R I
Z
V
I
Z
V
I






 
22
 
 
Onde: 
yzZ
c

 = impedância característica da LT (); 
 
zy 
 = constante de propagação da LT (adimensional). 
 
VS VR 
IR IS I+I I 
V+V V 
x x 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
82 
 Tais equações para V e I, fornecem os seus valores eficazes e seus ângulos de fase em qualquer 
ponto da LT, em termos da distância x, supostos conhecidos VR , IR e os parâmetros específicos da 
linha. 
 
INTERPRETANDO: 
A constante de propagação da linha é dada por meio da seguinte expressão retangular: 
 
  j
 
onde: 

 = constante de atenuação (unidade: neper/km*); 
 

 = constante de fase (unidade: rad/km). 
 
*OBS.: Neper (John Neper, 1550-1617, físico escocês): medida de amortecimento num processo 
periódico amortecido, igual ao log natural da razão de 2 variáveis do processo em 2 ciclos sucessivos 
(Símbolo: np). 
 
 Com base nesta última definição da constante de propagação (

), as equações de V e I acima 
ficam ligeiramente modificadas para: 
 
xjxcRRxjxcRR ZIVZIVV






 
22
 
xjx
R
c
R
xjx
R
c
R I
Z
V
I
Z
V
I






 
22
 
 
 Os valores exponenciais dessas equações indicam que as parcelas são exponencialmente 
alteradas (devido ao termo
x
) e sofrem um deslocamento de fase (devido ao termo 
xj 
). O 
primeiro termo da tensão cresce em amplitude e avança em fase, no sentido de x; já o segundo 
termo, ao contrário, diminui em amplitude e atrasa em fase, no sentido de x. Estas características 
se assemelham a uma onda viajante, como uma onda provocada por uma pedra jogada num lago: 
sua amplitude varia no tempo, em um ponto qualquer do deslocamento, enquanto seu valor 
máximo diminui com a distância à origem e sua fase é retardada. Portanto, os primeiros termos 
podem ser chamados de ondas incidentes, enquanto os segundos termos, ondas refletidas. A figura 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
83 
 a seguir ilustra a afirmação de que num dado ponto do deslocamento a amplitude da onda varia 
com o passar do tempo. 
 
 Mas esta interpretação de onda viajante somente se aplica às equações sob análise num caso 
estático, isto é: em regime permanente, as tensões em qualquer ponto da LT são dadas pela soma 
algébrica das duas parcelas (para V ou para I). 
 
Fig. 37 – Interpretação de uma onda viajante 
 
 
 Para I, particularmente, verifica-se que a segunda parcela é negativa, o que significa que esta 
parcela tem sentido oposto à primeira. Portanto, se esta primeira parcela de corrente é considerada 
deslocando-se no sentido da barra R, a segunda (refletida) terá sentido contrário. Daqui se conclui 
que, para carga nula, as duas parcelas, para x=0 (na barra R) devem ser iguais e contrárias, para 
resultar uma corrente nula nessa barra; mas não em qualquer outro ponto da LT!... 
 
 A impedância característica da linha (
yzZ
c

) é um valor que costuma ser "casado" com o 
valor da impedância da carga, em linhas de telecomunicações. Em sistemas de potência isto não 
acontece. No entanto, os engenheiros de potência utilizam este valor, para o caso de uma LT sem 
perdas (R= 0 e G= 0) – o que se reduz a: 
CLZ
c

 – e o denominam de impedância de surto. Isto 
porque, ao analisar-se o caso de propagação de ondas de energia oriundas de descargas 
atmosféricas (raios) caindo na ou próximas da LT, uma linha sem perdas pode e deve ser 
considerada, para simplificação dos cálculos e da análise. 
 
Valores típicos de 
CL
são: 400 ohms para linha simples e 200 ohms para linha de circuito duplo 
(dois circuitos em paralelo). 
t1
t2
Num mesmo ponto, a amplitude varia (t1 ,t2).
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
84 
 A Fig. 38 ajuda a ilustrar o comportamento da tensão ao longo da linha, para o caso de uma LT 
de comprimento igual ao comprimento de onda da onda de energia que se propaga praticamente à 
velocidade da luz (um pouco menor). Tal comprimento de onda é dado por: 
fC /
, onde C = 
velocidade da luz; o valor resulta cerca de 4.800km. O defasamento total das parcelas de tensão 
incidente e refletida é de 360o, ao longo de um comprimento de onda. Verifica-se que as parcelas 
sofrem ampliação e adiantamento (parcela refletida) e atenuação e atraso (parcela incidente), 
considerando-se da barra S para a barra R. Em qualquer ponto da linha a tensão V é dada pela soma 
algébrica das parcelas consideradas. 
 
 Na realidade, o comprimento de uma LT é bem menor do que o apresentado na figura (igual a 
um comprimento de onda = 4.800km), ficando em torno de algumas centenas de quilômetros, e 
resultando em defasamentos totais bem menores do que os 360o mostrados na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 38 – Comportamento da onda de tensão na LT longa. 
 
SIL: CARREGAMENTO PELA IMPEDÂNCIA DE SURTO: 
 
 Sabendo-se que 
CL
 corresponde uma resistência pura, esta pode ser inserida nos terminais 
da barra R para comportar-se como uma "carga". Este caso particular chama-se "carregamento (da 
linha) pela impedância de surto". Esta potência pode ser calculada pela expressão: 

t=0
t
t
t
inc
ref
inc refS R
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
85 
 
CL
V
SIL
L
2

 MW 
Onde: |VL| em kV. Esta expressão pode ser obtida partindo-se da consideração de uma carga 
equilibrada (em Y), formada por três impedâncias dadas por 
CL
, definindo-se a corrente de linha 
a partir da potência aparente (igual à ativa) e considerando a tensão de linha (VL). 
 
SIL pode ser ainda tomada por uma potência-base. Daí algumas linhas serem designadas por 
frações de SIL. 
 
 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
86 
 INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA – ISEP 
 
Cap. 3 – CENTRAIS ELÉTRICAS (CE) 
 
1. Caracterização 
Uma central elétrica é caracterizada pela existência de uma fonte primária de energia 
(hidráulica, térmica, etc.) que é aproveitada para a produção de energia elétrica. É constituída por 
equipamentos geradores de energia elétrica e uma instalação de transformação elevadora de 
tensão (subestação) ligada a um conjunto de linhas de transmissão (ou distribuição) para a entrega 
da energia gerada aos centros consumidores.2. Aproveitamento primário da energia. 
A Geração de eletricidade depende do aproveitamento das chamadas fontes primárias de 
energia. São discutidas, brevemente, a seguir. 
 
2.1. Fontes convencionais de energia 
 
2.1.1. Vazão e queda das águas (hidráulica) 
 
As fontes convencionais de energia à base de água aproveitam o potencial gravitacional da 
água armazenada em reservatórios (barragens) para definir uma altura de queda e uma vazão 
d’água através de grandes turbinas. A energia potencial da água é, então, transformada em energia 
cinética e capaz de acionar ou movimentar turbinas hidráulicas, que, normalmente, apresentam 
grandes potências e, por consequência, grandes inércias mecânicas, o que contribui, enormemente, 
para a estabilidade do sistema elétrico. 
 
2.1.2. Combustíveis fósseis/carvões (térmica) 
 
Outra fonte convencional de energia elétrica são os combustíveis fósseis (carvão, óleo diesel, 
gás natural, etc.) que são queimados em caldeiras (ou fornalhas) produzindo vapor d’água sob altas 
temperatura e pressão e sendo injetados nas turbinas a vapor para a geração final de energia 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
87 
 elétrica, através do gerador acoplado. O comentário feito em relação às hidrelétricas, no que diz 
respeito à estabilidade do sistema elétrico também se aplica a este tipo de geração elétrica. 
2.1.3. Núcleos atômicos (termonuclear) 
 
A terceira e igualmente importante fonte convencional de energia elétrica está associada ao 
aproveitamento da energia nuclear, isto é: à liberação de grande quantidade de energia térmica a 
partir da fissão dos átomos de urânio (U 235). Esta produção de energia térmica é aproveitada para 
a geração de vapor e, de resto, tem funcionamento semelhante às termelétricas. 
 
2.2. Fontes alternativas de energia 
 
Observar que o correto é referir-se a fontes “alternativas”, e não “energias” 
alternativas. A alternativa se dá em relação às fontes, comparativamente às convencionais. 
E, melhor, ainda: são fontes complementares, e não alternativas. 
2.2.1. Luz do sol (fotovoltaica) 
2.2.2. Biomassas (resíduos energéticos vegetais) 
2.2.3. Ventos (eólica) 
2.2.4. Mar (ondas e marés) 
2.2.5. Célula a combustível (energia química) 
 
2.3. Fontes primárias de energia 
 
A fonte primária de energia é o material ou algum fenômeno da natureza que está 
associado a algum tipo de energia. A seguir algumas dessas fontes primárias. 
2.3.1. Água: 
Energia potencial das quedas d'água (convertem-se em vazões d'água). 
2.3.2. Combustíveis fósseis: 
A sua queima produz calor, daí, energia térmica. 
2.3.3. Núcleos atômicos: 
Sua desintegração (fissão nuclear) gera energia térmica. 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
88 
 2.3.4. Luz do sol: 
Sua incidência em 'chips' de silício, pela alteração das energias quânticas, 
fornece diretamente energia elétrica. É a chamada energia fotovoltaica. Não 
confundir com o aproveitamento da energia solar através dos coletores solares, que 
são serpentinas pintadas de preto para o aquecimento solar da água circulante. 
2.3.5. Biomassas (I): 
A queima do gás metano produzido fornece calor (energia térmica). 
2.3.6. Biomassas (II): 
A queima de materiais orgânicos (resíduos bioenergéticos) produz calor 
(energia térmica). 
2.3.7. Ventos: 
A força dos ventos atuando sobre hélices rotativas pode provocar movimento 
(energia mecânica); fala-se em energia eolioelétrica quando produz eletricidade. É 
uma fonte complementar de energia elétrica, cuja característica é a pouca firmeza, 
isto é: o vento não pode ser armazenado (como nas fontes convencionais) e depende, 
totalmente da existência ou não dos ventos. Não havendo vento, não há produção 
de energia elétrica. 
2.3.8. Ondas do mar: 
Seus movimentos verticais (sobe e desce) estão associados a energia 
mecânica. Esta energia de movimento pode ser aproveitada para, ao final, obter-se 
energia elétrica a partir do acionamento de turbinas hidráulicas. 
2.3.9. Marés: 
Sua subida e descida pode ser aproveitada (energia mecânica). Da mesma 
forma que a anterior, pode-se aproveitar os fluxos das marés enchentes e vazantes 
para, ao final, obter-se energia elétrica pelo movimento de turbinas hidráulicas. 
2.3.10. Célula a combustível (CaC): 
É o aproveitamento da energia química. Diferentemente das muito 
conhecidas baterias de chumbo-ácido, extensamente utilizadas em veículos 
automotores, as células a combustível (CaC) funcionam à base da dissociação do 
hidrogênio, que, em combinação do o oxigênio, produz tanto energia elétrica quanto 
água quente. É uma fonte complementar de energia limpa! 
 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
89 
 2.4. A energia elétrica pode ser produzida: 
 
Pela conversão de cada um desses tipos de energia. Portanto: 
2.4.1. Energia hidráulica 
Energia potencial das quedas d'água  energia cinética  energia elétrica. 
2.4.2. Energia térmica 
Queima de combustíveis fósseis  energia cinética (gases/vapor)  energia 
elétrica. 
2.4.3. Fissão nuclear 
Energia atômica  energia térmica  energia cinética (vapor)  energia 
elétrica. 
2.4.4. Luz do sol: (ver item 2.3.4) 
2.4.5. Biomassas (I): 
Energia térmica  energia cinética (vapor)  energia elétrica. 
2.4.6. Biomassas (II): 
Energia térmica  energia cinética (vapor)  energia elétrica. 
2.4.7. Ventos: 
Energia mecânica (cinética)  energia elétrica. 
2.4.8. Ondas do mar: 
Energia mecânica (cinética)  energia elétrica. 
2.4.9. Marés: 
Energia mecânica (cinética)  energia elétrica. 
2.4.10. Célula a combustível: 
Energia química  energia elétrica. 
 
2.5. Classificação das CE [1] 
 
Classificam-se as centrais elétricas (ou usinas elétricas) convencionais nos seguintes 
tipos básicos: 
 Centrais hidroelétricas (ou hidrelétricas); 
 Centrais termoelétricas (ou termelétricas); 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
90 
  Centrais termonucleares. 
 
As centrais não-convencionais, ou complementares, erroneamente classificadas como 
“alternativas”, são denominadas de acordo com sua fonte primária: centrais eólicas (ou 
eolioelétricas), fotovoltaicas, de marés, de ondas, etc. 
 
2.5.1. Classificação das usinas hidroelétricas 
As centrais hidrelétricas podem ser classificadas sob variadas e diferentes formas, como se 
trata a seguir. 
2.5.1.1. Quanto à altura de queda: 
 De quedas baixas : menor que 30m 
 De quedas médias: entre 30m e 150m 
 De quedas altas: acima de 150m 
2.5.1.2. Quanto ao tipo de aproveitamento: 
 Aproveitamento conjugado 
 Aproveitamento repartido 
2.5.1.3. Quanto à função da usina: 
 Usina de base 
 Usina de ponta 
2.5.1.4. Quanto à fonte do potencial hidráulico 
 Usina a fio-d’água 
 Sem reservatório 
 Com reservatório 
 Usina com bacia de acumulação ou com grande reservatório 
 
2.5.2. Caracterização de uma central hidrelétrica 
As seguintes obras caracterizam, fisicamente, uma usina hidrelétrica: 
 Obras de derivação: 
 Barragens 
 Tomada d´água 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
91 
  Câmaras de sedimentação: a tomada d'água é protegida por grades, e após esta, 
existe uma câmara de sedimentação, com objetivos de reter o material sólido trazido 
pelo rio. 
 
 Obras de transporte 
 Canais de adução e galerias em pressão: o canal de adução aberto (um rasgo de seção 
retangular, por exemplo) é típico de usinas menores; dos canais de adução partemas tubulações 
forçadas (penstock) que levam a água até as turbinas. Em usinas maiores, para pequenos 
comprimentos da linha adutora, o canal de adução aberto é substituído diretamente por tubulações 
forçadas; para grandes comprimentos da linha adutora, esta é dividida em duas partes: inicialmente 
uma galeria de pressão, de pequena inclinação, seguida por tubulações forçadas (de grande 
inclinação) com água sob pressões elevadas. 
 Chaminés de equilíbrio: entre a galeria de pressão e a tubulação forçada (último caso, 
acima), encontra-se a chaminé de equilíbrio, destinada a amortecer os efeitos do golpe de aríete 
provocado pelas variações na vazão através da tubulação forçada, especialmente quando do 
fechamento da válvula de controle do fluxo de vazão turbinada. 
 Tubulações forçadas 
 
 Obras de evacuação 
 Casa de força e subestação elevadora 
 Obras de restituição: constituídas pelo tubo de aspiração (ou sucção) que leva a vazão 
turbinada até o canal de fuga, que entrega a água de volta ao rio, a jusante. 
 
2.5.3. Turbinas hidráulicas 
Podem ser classificadas como: 
 Turbinas de ação: aproveita, exclusivamente, a energia cinética da água, que é injetada 
sobre as pás da turbina (exemplo: turbina Pelton); há uma perda de queda entre o rotor 
e o nível inferior da água. 
 Turbinas de reação: aproveita tanto a energia cinética, quanto a de pressão da água; a 
água é conduzida ao rotor por meio de estruturas espirais (distribuidor, parte fixa da 
turbina) que acionam a turbina (exemplos: turbina Francis: vazão em sentido radial; 
turbina Kaplan: vazão em sentido axial). 
As turbinas hidráulicas têm uma característica de alto rendimento associado a baixas 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
92 
 velocidades de rotação. A turbina Pelton (tipo roda-d'água) é usada em aproveitamentos de altas 
quedas e baixas vazões. A turbina Francis é indicada para aproveitamentos de quedas médias. A 
turbina Kaplan (do tipo hélice, ajustável) é indicada para aproveitamentos de baixas quedas. Estas 
duas últimas estão associadas a elevadas vazões de água. 
As de reação (Francis e Kaplan) sofrem um processo de deterioração das suas pás 
denominado cavitação, que é um processo de erosão da superfície das pás provocado pela 
passagem da água sob pressão e velocidade, acompanhada de bolhas de ar: o projeto do tubo de 
aspiração e do canal de fuga é feito de tal forma a minimizar a necessidade de manutenção contra 
a cavitação, que, no entanto, sempre existirá. 
 
2.5.4. Dimensionamento básico das turbinas hidráulicas [1] 
 
2.5.4.1. Queda útil e perdas de carga: 
 
A potência hidráulica bruta em um curso d'água é dada por: 
75
*
* HQ
N



 
Onde: 
N* = potência hidráulica bruta em cv; 
Q = vazão turbinada ou descarga derivável, em m3/s; 
H* = altura bruta ou queda bruta topográfica entre as cotas do nível d'água de montante e jusante, 
em metro. 
 
 A queda útil ou efetiva de uma usina (H) leva em conta o fato de que a queda bruta não é 
aproveitada integralmente devido às perdas de carga existentes. Portanto, tem-se para a queda útil: 
 
HHH 
* 
 
Sendo 
H
, a perda de carga total, dada por: 
 
4321
HHHHH 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
93 
 Onde: 
1
H
 = perda de carga na tomada d'água (grades), em m; 
2H
= perda de carga no canal de adução ou galeria em pressão, em m; 
3
H
 = perda de carga nas tubulações forçadas, em m; 
4H
 = perda de carga no tubo de sucção, em m. 
 
 Essas parcelas podem ser calculadas pelas seguintes expressões: 
 
2.5.4.2. Perda de carga na tomada d'água (
1
H
): 
 
g
V
H


2
2
1
1
, onde: V1 = velocidade da água na tomada, em m/s; g = aceleração da gravidade, em 
m/s2. 
 
 Velocidade da água na tomada d'água: 
1
1
S
Q
V 
, onde: S1 = seção transversal da tomada, em m2. 
 Normalmente o valor 
1
H
é pequeno, podendo ser desprezado em quedas altas. 
 
2.5.4.3. Perda de carga na linha adutora (
2H
): 
 
1,1
2
9,1
2
2
410
D
Vk
H


, onde: V2 = velocidade da água na linha adutora, em m/s; D2 = diâmetro do 
tubo adutor, em m; k = valor constante que depende do tipo de união dos tubos. 
 
 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
94 
 2.5.4.4. Perda de carga nas tubulações forçadas (
3
H
): 
 
1,1
3
9,1
3
3
410
D
Vk
H


, onde: V3 = velocidade da água no penstock, em m/s; D3 = diâmetro do 
penstock, em m. 
 
2.5.4.5. Perda de carga no tubo de sucção (
4H
): 
 
g
V
H


2
2
4
4
, onde: V4 = velocidade da água no início do tubo de sucção, em m/s. 
 
 Finalmente, a potência hidráulica disponível e a potência efetiva da turbina serão dadas 
por: 
 
75
HQ
P
disp



 
 





75
HQ
P
e
 
Onde: 
Pdisp = potência hidráulica disponível, em cv; 
Pe = potência hidráulica efetiva (potência no eixo da turbina hidráulica), em cv; 
Q = vazão turbinada, em m3/s; 
H = queda útil ou efetiva, em m; 
 = rendimento da turbina, em % (em estimativas:  = 85%). 
 = peso específico da água (kgf/m3). 
 
 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
95 
 INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA – ISEP 
 
Cap. 4 – CONFIGURAÇÃO DO SISTEMA DE ATERRAMENTO 
 
1. Filosofia e tipos de aterramento 
 
Inicialmente, os sistemas elétricos industriais não eram unanimemente aterrados. Vários 
existiam com neutros não-aterrados, isto é: sistemas elétricos isolados. Ocorre que, na verdade, 
todo sistema elétrico acaba sendo "aterrado", indiretamente, por meio das capacitâncias fase-terra 
dos condutores-fase. Certamente tais impedâncias são muito elevadas e as correntes resultantes 
de um primeiro contato acidental (falta) fase-terra têm valor muito baixo. 
 
Fig. 39 – Segunda falta ocorrendo em um sistema não aterrado provoca corte no fornecimento de dois 
circuitos, além de correntes de curto-circuito bem elevadas. Fonte: Referência [20] 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
96 
 No entanto – e aqui está um grande problema experimentalmente constatado! – por ocasião 
de uma segunda falta, numa outra fase (não tendo sido a primeira falta removida), ocorrerá uma 
circulação de corrente entre fases de valor já bastante elevado para provocar danos e desligamentos 
ao sistema elétrico (Fig. 39 e Fig. 40). 
 
 
Fig. 40 – A segunda falta pode provocar a circulação de corrente de curto-circuito de valor muito elevado 
e envolvendo mais de um equipamento. Fonte: Referência [20] 
 
Uma revisão aprofundada nos problemas relacionados ao aterramento ou não de neutros 
de sistemas elétricos industriais, mostrou claramente que é, geralmente, vantajoso aterrar todos os 
neutros de um sistema de potência, independentemente dos níveis de tensão e dos processos de 
produção envolvidos. 
 OBS: A palavra “aterramento” éutilizada tanto para “aterramento de sistema”, quanto para 
“aterramento de equipamentos”. Os argumentos técnicos apresentados neste capítulo estão 
baseados na referência única deste capítulo: BEEMAN, Donald. Industrial power system handbook. 
McGraw-Hill, Nova York, 1955. 
Por que os dois motores 
falharam ao mesmo tempo? ... 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
97 
 2. Características de um sistema elétrico não-aterrado 
 
Como já dito, um sistema elétrico não-aterrado é, na verdade, um sistema aterrado 
"capacitivamente" em virtude das capacitâncias distribuídas entre os condutores e a terra. 
Quando o neutro de um sistema é não-aterrado, é possível ocorrerem sobretensões 
transitórias destrutivas, de várias vezes a tensão normal, entre uma fase e a terra durante 
chaveamentos normais de um circuito contendo uma falta fase-terra. Alguns testes demonstraram 
(juntamente com algumas experiências práticas danosas...) que tais sobretensões podem se 
desenvolver a partir da ocorrência de repiques de arcos elétricos em uma falta fase-terra, 
particularmente em sistemas de baixa tensão. Esta "flutuação" de tensão é típica de sistemas não-
aterrados, onde o neutro, particularmente pode sofrer o chamado "deslocamento de neutro", 
quando a tensão de um neutro resulta diferente de zero (potencial normal da terra) diante de uma 
falta fase-terra (Fig. 41). 
 
Fig. 41 – Efeito de deslocamento de neutro quando ocorre uma falta fase terra em um sistema não 
aterrado. Fonte: Referência [20] 
 
Tais sobretensões, embora não provoquem prejuízo imediato aos equipamentos submetidos 
a elas, no entanto, as experiências têm provado que a exposição das isolações a tais sobretensões, 
por longo tempo, provoca sua deterioração e consequente falha em algum momento no futuro. 
Portanto, um falta fase-terra em um circuito (que, a princípio, não causa prejuízos imediatos), pode 
resultar em prejuízos a equipamentos e interrupção de serviço em outros circuitos. 
Detectores de falta para terra em sistemas não-aterrados existem, mas não indicam a 
localização da falta. Há dispositivos especiais, no entanto, que podem indicar aproximadamente a 
localização da falta para terra que estiver corrente. Isto não evitará que, uma vez encontrada a falta 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
98 
 fase-terra, o circuito correspondente tenha de ser desligado para a reparação do problema... 
Argumentava-se, a favor de um sistema não-aterrado, que a primeira falta fase-terra 
pudesse ser deixada no sistema até que fosse conveniente localizá-la e eliminá-la, sem interferir 
com a produção. A experiência mostrou, no entanto, que faltas duplas eram constantes, 
simplesmente porque a primeira falta era deixada, por longo tempo, no sistema na expectativa de 
que o operador viesse a localizá-la e removê-la antes da ocorrência de uma segunda falta!... 
 
3. Vantagens do aterramento do neutro do sistema 
elétrico 
 
As vantagens de se operar um sistema industrial elétrico aterrado, em comparação com sua 
operação não aterrada, podem ser uma ou mais das seguintes: 
 
1) Redução dos custos de operação e manutenção do sistema com base em: 
a. Redução nas amplitudes das sobretensões transitórias; 
b. Melhoria da proteção contra descargas atmosféricas e diminuição das oscilações de 
tensão induzidas nos equipamentos; 
c. Simplificação da localização das faltas; 
d. Melhoria da proteção do sistema e de equipamentos. 
2) Melhoria na confiabilidade do sistema; 
3) Maior segurança para pessoas e equipamentos. 
O peso relativo dessas vantagens varia com as classes de tensão do sistema e, em menor 
grau, com as condições da instalação. O QUADRO 1 resume e compara vantagens e características 
de sistemas aterrados e não aterrados (ou com neutro isolado). 
 
QUADRO 1 Vantagens do Sistema industrial de BT com neutro aterrado (Suposto: 480V de linha) 
 Sistema com neutro aterrado Sistema com neutro isolado 
Segurança O mais seguro: 277V fase-neutro, 
garantidos todo o tempo 
(assumindo-se bom aterramento e 
Normalmente 277V fase-neutro, 
sem falta para terra; mas, 480V, 
fase-neutro!, nos dois outros 
condutores, quando uma fase vai à 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
99 
 tensão fase-fase de 480V e 
condutor neutro disponível). 
 
terra. (Não existe condutor neutro 
disponível.) 
 
Confiabilidade de serviço A mais alta: faltas à terra são 
rapidamente localizadas e 
consertadas; o sistema não precisa 
ser desligado para encontrá-la. 
A mais alta: minimiza sobretensões 
transitórias no sistema. 
A mais alta: faltas à terra são 
localizadas e desconectadas 
imediatamente. 
 
 
Parte ou todo o sistema tem de ser 
desligado para encontrar-se a falta à 
terra. 
Sistema sujeito a severas 
sobretensões transitórias. 
Faltas à terra, se não removidas 
rapidamente, podem, na ocorrência 
de uma segunda falta, provocar o 
desligamento de dois circuitos 
simultaneamente, causando a perda 
do dobro dos equipamentos de 
produção. 
Custo de manutenção O mais baixo: faltas à terra são 
facilmente localizadas. 
Gasta-se tempo para a pesquisa do 
ponto de localização da falta à terra. 
Iluminação fluorescente O sistema fornece 277V para 
operação direta de lâmpadas 
fluorescentes, resultando em 
economia de custos pela eliminação 
de transformadores de iluminação. 
Deve-se usar um transformador 
abaixador para atender à 
iluminação (alimentação a 3 fios). 
(Se o neutro estivesse disponível, 
não haveria necessidade do 
transformador! – sistema a 4 fios.) 
Fonte: Referência [20] 
 
 É frequentemente vantajoso operar-se sistemas industriais de BT, trifásicos, a quatro fios. 
Assim, sistemas de 220V/127V ou 480V/277V, com o neutro do transformador da subestação 
solidamente aterrado, podem ser usados diretamente para alimentar motores trifásicos e 
iluminação fluorescente monofásica sem uso de algum transformador especial para iluminação 
(como seria o caso para um sistema não aterrado, a três fios). 
 
 Uma proteção mais eficiente pode ser obtida em sistemas de neutro aterrado do que em 
sistemas isolados (não-aterrados) porque a proteção, baseada em relés diferenciais, de motores e 
transformadores é tornada mais eficiente. Por exemplo, se o neutro do sistema não for aterrado, a 
proteção contra falta à terra no enrolamento de uma máquina por relé diferencial somente é 
possível após a ocorrência de uma segunda falta à terra em outra fase do sistema, enquanto em um 
sistema de neutro aterrado, tal relé diferencial irá operar para uma única falta dentro de sua zona 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
100 
 de proteção. Já com o neutro aterrado, o relé diferencial perceberá, imediatamente, a falta à terra 
em qualquer lado do equipamento. 
 
 A experiência de operadores que utilizaram tanto sistemas aterrados quanto não-aterrados 
sugere que a taxa de falhas seja substancialmente menor, como também o tempo em que o sistema 
fica desligado, em sistemas aterrados. Isto resulta do fato de que sobretensões transitórias são 
muito reduzidas em sistema aterrados, aumentando, por consequência, a vida útil da isolação 
elétrica e minimizando o tempo de interrupção do serviço. Embora as sobretensões de um sistema 
não-aterrado possam não ser elevadas demais, a ponto de causar múltiplas falhas, a cada vez que 
ocorre uma falta à terra, é a aplicação repetida dessas sobretensões que enfraquecerá a isolação, 
provocando maior taxa de falha do queem sistemas aterrados. 
 
4. Métodos de aterramento do neutro 
 
As vantagens do aterramento do neutro de um sistema elétrico industrial de BT serão 
atingidas dependendo da impedância do circuito entre o neutro do sistema e a terra. Vários 
métodos de aterramento de neutro existem e podem ser classificados como: (Vide Fig. 43, p. 102, 
Fig. 44, p.103 e 
Fig. 45, p. 103.) 
1) Aterramento sólido; 
2) Aterramento por resistência; 
3) Aterramento por reatância; 
4) Aterramento por neutralizador de falta. (Vide Fig. 42, p. 101) 
 
Algumas características desses métodos serão descritas, a seguir, com base nos seguintes 
critérios (Vide QUADRO 2, p. 104): 
a) Efeito no desenvolvimento de sobretensões transitórias; 
b) Estragos no ponto da falta devidos à amplitude da corrente de falta; 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
101 
 c) Aplicação de relé-padrão e outros dispositivos de proteção para desligamento seletivo 
da falta à terra; 
 
Fig. 42 – Aterramento por neutralizador de falta. Fonte: Referência [20] 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
102 
 
 
Fig. 43 – Métodos de aterramento de neutro I. Fonte: Referência [20] 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
103 
 
 
Fig. 44 – Métodos de aterramento de neutro II. Fonte: Referência [20] 
 
 
Fig. 45 – Métodos de aterramento de neutro em sistemas trifásicos. Fonte: Referência [20] 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
104 
 
QUADRO 2 Características do sistema para vários métodos de aterramento 
 Não-aterrado Aterramento 
essencialmente sólido 
Aterramento 
por reatância 
Neutraliza-
dor de falta à 
terra 
Aterramento 
por resistência 
 Sólido Reator de 
baixo valor 
Reator de alto 
valor 
 Resistência 
Corrente de falta 
à terra em % da 
corrente de falta 
trifásica 
Menor que 
1% 
Varia; pode 
ser 100% ou 
maior 
Normalmente 
projetado 
para ser de 
25 a 100% 
5 a 25% Aproximada-
mente nula 
5 a 20% 
Sobretensões 
transitórias 
Muito altas Não 
excessivas 
Não 
excessivas 
Muito altas Não 
excessivas 
Não excessivas 
Seleção 
automática da 
zona de falta 
Não Sim Sim Sim Não Sim 
Observações Não 
recomendado 
devido a 
sobretensões 
e não seleção 
de faltas 
Geralmente usados em 
sistemas de BT e de AT (até 
15kV) 
Não usado 
devido a 
excessivas 
sobretensões 
Mais 
apropriados 
para linhas 
aéreas de AT 
onde as 
faltas se 
auto 
extinguem. 
Geralmente 
usado em 
sistemas 
industriais de 
AT (até 15kV) 
Fonte: Referência [20] 
5. Instalação industrial e redes de distribuição 
 
Instalações elétricas industriais e redes de distribuição (ou de transmissão), também 
chamadas de “utilidades”, têm características físicas e operacionais diferentes. Suas práticas de 
aterramento resultam, também, diferentes entre si, embora o princípio básico de aterramento do 
neutro seja seguido por ambos os sistemas. 
A prática do aterramento sólido do neutro tem sido aplicada às redes de distribuição, 
permitindo o uso de para-raios do tipo neutro aterrado com resultados de maior economia e melhor 
eficiência da proteção contra descargas atmosféricas. 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
105 
 Um grande percentual de faltas à terra em redes de distribuição ocorre por meio de 
faiscamentos de isoladores. E a elevada corrente de falta, decorrente do aterramento sólido não 
causa estragos excessivos a equipamentos no ponto da falta. 
 No caso de sistemas industriais, o aterramento por resistência é mais indicado para níveis de 
média tensão (até 15kV), por garantir menores correntes de falta e consequente redução de 
possíveis danos no ponto da falta. Isto se torna particularmente importante no caso de falta à terra 
em enrolamentos de motores e geradores. Embora uma falta à terra de magnitude e duração 
limitadas possa causar, ainda, suficiente dano a ponto de requerer a troca de várias bobinas da 
máquina afetada, os resultados serão considerados bons se os danos se restringirem às bobinas e 
não afetarem o pacote de lâminas da máquina. O QUADRO 3 resume algumas dessas características 
comparando a indústria e as redes de distribuição (utilidades). 
 
QUADRO 3 Comparação entre práticas de aterramento em sistemas industriais e redes de 
distribuição 
 Indústria Redes (utilidades) 
Exigência de elevada 
continuidade do serviço 
Sim Sim 
Método predominante de 
fornecimento de potência 
Cablagem Linhas aéreas 
Percentual do sistema sujeito a 
descargas atmosféricas 
Pequeno Grande 
Investimento em para-raios Pequeno Grande 
Predominância de sistemas 
acima de 15kV 
Poucos sistemas 
 
Muitos sistemas 
 Fonte: Referência [20] 
6. Aterramento em cada nível de tensão 
 
Conforme a Fig. 46 (p. 107), é necessário aterrar cada nível de tensão para obter-se a 
proteção e as vantagens do aterramento de neutro. Por exemplo, se o sistema de 4,16kV no 
diagrama não fosse aterrado, este nível teria todas as características de um sistema não-aterrado; 
ao mesmo tempo, os sistemas de 33kV e 480V teriam as características de sistemas de neutro 
aterrado (Fig. 46, p. 107). 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
106 
 Cada nível de tensão deve ser aterrado no neutro do gerador ou do transformador de 
potência. Qualquer gerador ou transformador usado para o aterramento do sistema deve, tanto 
quanto possível, estar sempre conectado ao sistema. Alternativamente, um número suficiente de 
geradores ou transformadores deve estar aterrado para garantir, a qualquer tempo, que o sistema 
se mantenha aterrado. 
7. Aterrar na fonte de potência e não na carga 
 
Quando um sistema de potência é aterrado pelo neutro de um motor conectado em Y, ou 
pelos primários de transformadores abaixadores Y-delta, é necessário aterrar um certo número 
desses pontos simultaneamente para assegurar que o sistema permaneça aterrado quando uma ou 
mais dessas cargas estiverem desligadas. Consequentemente, a corrente de falta à terra pode ser 
excessivamente elevada quando todos os pontos aterrados estiverem em serviço. Este raciocínio 
está sendo feito para uma suposição de esquema de aterramento do tipo TT (Vide a Norma 
ABNT/NBR 5410). Neste caso, a corrente de curto-circuito fase-terra retorna em caminhos em 
paralelo, o que faz a resistência equivalente de aterramento cair de valor quanto maior o número 
de pontos efetivamente aterrados. 
Partindo-se do suposto de que fontes de potência sejam em número menor do que cargas e 
menos passíveis de serem desligadas, elas devem ser escolhidas para pontos de aterramento. 
 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
107 
 
 
 
Fig. 46 – Cada nível de tensão é aterrado independentemente. Fonte: Referência [20] 
 
 
 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
108 
 INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA – ISEP 
 
Cap. 5 – PROBLEMAS PROPOSTOS 
 
5.1) Considerando uma linha trifásica de 13,8kV (tensão de linha ou fase-fase), sequência ABC, 
alimentando uma carga trifásica indutiva equilibrada (Z = 300 + j 80 ), pede-se: 
a) O diagrama fasorial das tensões de linha e de fase (fase-neutro),supondo fase A na 
referência (0o), calculando os valores das tensões de fase; 
b) O triângulo de potências da carga trifásica (qualitativo; sem valores numéricos); 
c) O fator de potência da instalação consumidora. 
 
5.2) Certa carga trifásica, equilibrada, ligada em estrela, absorve da rede elétrica uma corrente 
de linha igual a 100 -20º A, sob tensão de fase de 6,5820º kV. Pede-se: 
a) A potência aparente (em kVA) da carga; 
b) As potências ativa (kW) e reativa (kvar) da carga; 
c) O fator de potência; 
d) A corrente numa carga monofásica, supondo-as, agora, conectadas em delta. 
 
5.3) Um SEP INTERLIGADO é constituído de algumas usinas hidrelétricas e algumas linhas de 
distribuição, estas de 138kV, alimentando algumas pequenas cidades de certa região do País. 
Explique como um operador de usina consegue fazer com que um determinado gerador 
forneça mais ou menos potência ativa à carga do sistema, sabendo-se que, normalmente, 
em um circuito elétrico simples, com fonte e carga, é esta última quem determina a potência 
solicitada da fonte. (Não é o controle de mais ou menos vazão e torque...) 
5.4) Explique por que as redes de distribuição urbanas, de média tensão (redes primárias), são, 
normalmente, do tipo RADIAL, enquanto as redes de distribuição e de transmissão regionais 
(que percorrem grandes distâncias para atender aquelas) são do tipo ANEL. 
5.5) Explique qual dever ser a sequência de comando de abertura, para efeito de manutenção, 
de um esquema constituído por um disjuntor de potência entre duas chaves seccionadoras. 
Justificar. 
5.6) Considere uma LT, caracterizada por R = 0 , funcionando na sua plena capacidade, isto é, 
com  = 90º, e com ambas as tensões terminais iguais a 1,0 pu. Defina Pmax como a base de 
potência. Pede-se: 
a) Desenhar o diagrama fasorial de tensões e correntes envolvidas; 
b) Calcular o valor da reatância série da LT, em pu; 
c) Provar que o consumo de reativo na linha atinge o enorme valor de 2,0 pu; 
d) Provar que a tensão medida no meio da linha é de apenas 0,71 pu. 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
109 
 5.7) Seja um banco 3 /Y: 3 transformadores 1s de 1,38kV/6,58kV, 2MVA, xT = 8%. Dado ainda 
um sistema de potência com bases Vb = 2,4kV, Sb = 10MVA na BT, pede-se: 
e) zbase de cada transformador 1, na BT, em ohm; 
f) xT na AT de cada transformador, em ohm; 
g) xT em pu do banco 3, no sistema. 
 
5.8) Demonstre a expressão de mudança de base de impedâncias entre dois sistemas de bases 
diferentes. 
5.9) Desenhe um circuito equivalente básico de um transformador monofásico e posicione a sua 
reatância (ou impedância) de dispersão. Esta é a impedância percentual do transformador. 
Qual é a diferença desta para o caso de um transformador trifásico? 
5.10) Dadas as bases Vb = 69 kV e Sb = 50 MVA de um dado sistema (LT) pede-se calcular as outras 
bases. Que significado físico tem a impedância base? E a corrente base? 
5.11) Se um gerador de 30 MVA produz tensão de 13,8 kV e apresenta reatância síncrona de 5%, 
qual será sua reatância, em pu, no sistema acima, supondo que o gerador se liga à LT de 69 
kV por meio de um transformador de 13,8/65 kV. Qual é a tensão em pu do gerador no 
diagrama monofásico equivalente? 
5.12) Se três impedâncias de 1500 Ω são conectadas em  e ligadas a um sistema de LT de bases 
34,5 kV e 40 MVA, pede-se calcular o valor da impedância da carga no diagrama monofásico 
equivalente, em pu. 
5.13) Considere um banco 3 Y/Y constituído por 3 transformadores monofásicos de 
2,4kV/6,58kV, 1,5MVA, com reatância xT = 10%. Se o sistema (LT) tem bases Vb = 11,4 kV e 
Sb = 10MVA, pede-se: 
a) xBase de cada transformador 1, na BT, em ohm; 
b) xT na AT de cada transformador, em ohm; 
c) xT em pu do banco 3, no sistema. 
 
5.14) Determine as reatâncias indutiva e capacitiva, por milha, de uma linha monofásica que opera 
na frequência de 60Hz. Os cabos são do tipo Lapwing, e a distância entre os centros dos 
cabos é 25’ (25 pés). Use os dados das tabelas A1, A2 e A3, e compare esses resultados com 
os obtidos diretamente das expressões desenvolvidas teoricamente. Identifique os valores 
de reatância por condutor e de reatância da linha. 
 
5.15) Responda abaixo algumas questões ligadas à geração de energia elétrica. 
a) Quais são as principais diferenças entre turbogeradores e hidrogeradores? (Citar e explicar 
pelo menos três.) 
b) Como se classificam as turbinas hidráulicas quanto à altura de quedas? 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
110 
 c) Como se dá o funcionamento de uma chaminé de equilíbrio (ou uma câmara de carga)? 
d) O que é cavitação, processo que ocorre dentro de uma turbina? 
e) O que são pás distribuidoras fixas e ajustáveis? Para que servem? 
 
5.16) Responda abaixo algumas questões ligadas à geração de energia termelétrica. 
a) Quais são as principais partes de uma usina termelétrica a carvão? 
b) Quais são algumas características físicas de uma turbina a vapor? 
c) Em que diferem, fundamentalmente, uma turbina a vapor e uma turbina a gás? 
d) Como se faz o controle de potência elétrica de uma usina termonuclear? 
e) Em que consiste o circuito duplo de água em uma central nuclear do tipo água pressurizada? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
111 
 ANEXO I 
 
TABELA A.1 
 
Fonte: Referência [6] 
 
Tabela A.2, na próxima página. 
 
 
 
 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
112 
 
TABELA A.2 
 
Fonte: Referência [6] 
 
Tabela A.3, na próxima página. 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
113 
 TABELA A.3 
 Fonte: Referência [6] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
114 
 BIBLIOGRAFIA 
 
Referências do Cap. 1: 
 
[1] ELGERD, Olle I. Introdução à Teoria de Sistemas de Energia Elétrica. McGraw–Hill do Brasil, 
1976. 
[2] WEEDY, B. M. Sistemas Elétricos de Potência. EDUSP, 1973. 
[3] MILLER, Robert H. Operação de Sistemas de Potência. Eletrobrás / McGraw–Hill, 1987. 
[4] CHIPMAN, Robert A. Linhas de Transmissão. Coleção Schaum, McGraw–Hill, 1972. 
[5] RAMOS, Dorel Soares & DIAS, Eduardo Mário. Sistemas Elétricos de Potência – Regime 
permanente (vol. 1 e 2). Guanabara Dois, 1982. 
[6] STEVENSON JR, William D. Elementos de Análise de Sistemas de Potência. McGraw–Hill, 1986. 
[7] ELETROBRÁS, COMITÊ DE DISTRIBUIÇÃO. Coleção distribuição de energia elétrica. Editora 
Campus, Rio de Janeiro (05 volumes). 
[8] ELETROBRÁS/PROCEL/EFEI. Conservação de energia – eficiência energética de instalações e 
equipamentos. Itajubá, Editora da Efei, 2001, 467p. 
[9] ROBBA, E. J. Introdução aos sistemas elétricos de potência – componentes simétricos. Edgar 
Blücher, São Paulo, 1973. 
[10] ARAGÃO FILHO, W. C. P. de. Eletrônica de Potência I. Livro da disciplina de mesmo nome. Ed. 
do Autor. Versão eletrônica. Universidade Federal do Espírito Santo, 2012. 
 
Referências do Cap. 2: 
 
[11] ELGERD, Olle I. Introdução à Teoria de Sistemas de Energia Elétrica. McGraw–Hill do Brasil, 
1976. 
[12] WEEDY, B. M. Sistemas Elétricos de Potência. EDUSP, 1973. 
[13] MILLER, Robert H. Operação de Sistemas de Potência. Eletrobrás / McGraw–Hill, 1987. 
[14] CHIPMAN, Robert A. Linhas de Transmissão. Coleção Schaum, McGraw–Hill, 1972. 
[15] RAMOS, Dorel Soares & DIAS, Eduardo Mário. Sistemas Elétricos de Potência – Regime 
permanente(vol. 1 e 2). Guanabara Dois, 1982. 
[16] STEVENSON JR, William D. Elementos de Análise de Sistemas de Potência. McGraw–Hill, 1986. 
Introdução aos sistemas elétricos de potência – Prof. Wilson Aragão Filho – 2014 
 
 
115 
 [17] ELETROBRÁS, COMITÊ DE DISTRIBUIÇÃO. Coleção distribuição de energia elétrica. Editora 
Campus, Rio de Janeiro (05 volumes). 
[18] ELETROBRÁS/PROCEL/EFEI. Conservação de energia – eficiência energética de instalações e 
equipamentos. Itajubá, Editora da Efei, 2001, 467p. 
 
Referências do Cap. 3: 
 
 [19] CARVALHO, Djalma F. Usinas Hidroelétricas Turbinas. FUMARC/PUC–MG, 1985. 
 
 
Referências do Cap. 4: 
 
[20] BEEMAN, Donald. Industrial power system handbook. McGraw-Hill, Nova York, 1955.